SKKN công tác bồi dưỡng học giỏi môn toán 7

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“CÔNG TÁC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 ”

1.

PHẦN MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài :
Được Ban Giám Hiệu nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều
nhăm liền, tôi nhận thấy các em chỉ đạt được thành tích cao hơn so với lớp học. Các
em chưa thật sự nắm được vấn đề một cách vững chắc, thiếu sáng tạo, linh hoạt trong
một số tình huống nhất định, chỉ biết vận dụng theo lối mịn sẵn có, cho nên sẽ khó đạt
được thành tích tốt trong học tập.
Từ những vấn đề nêu trên, tôi nghĩ rằng phải đầu tư nhiều hơn cho việc bồi
dưỡng cho các em về biện pháp học tập mơn Tốn, giúp các em có đủ khả năng hiểu
được vấn đề một cách chắc chắn, biết phân tích đề bài một cách rõ ràng chính xác,
giải quyết vấn đề hợp lí để đi đến việc giải bài toán đạt kết quả như mong muốn.
Để giải quyết những vấn đề nêu trên, tơi xin trình bày một số việc làm của mình
trong cơng tác bồi dưỡng học giỏi mơn Tốn 7 như sau.
1.2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài:
Thời gian thực hiện đề tài: từ 8/2013 đến nay.
Nghiên cứu và áp dụng trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 7 nói riêng
và tốn THCS nói chung.

2.

PHẦN NỘI DUNG:

2.1. Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu:
Với câu hỏi: “Năng lực các em như thế nào?”, tơi muốn tìm hiểu học sinh mình
có khả năng học tập cỡ nào, mức độ tiếp thu, tính sáng tạo, linh hoạt ra sao? để từ đó

tơi mới tìm ra cách hướng dẫn phù hợp với khả năng các em.
Việc tìm hiểu các em khơng chỉ về mặt kiến thức mà phải cịn tìm hiểu thêm
khả năng tiếp thu của các em ở mức độ nào? Các em có những thói quen tốt, thói quen
chưa tốt nào? Kể cả cách trình bày bài làm ra sao?
Bước đầu, tôi cho các em làm những bài tập đơn giản như các em đã được tiếp
xúc trong năm học lớp 6 và đầu năm học lớp 7. Qua đó, có thể đánh giá được khả
năng của các em.
Biết được học sinh của mình, tuỳ theo từng em tơi có cách nhắc nhở riêng với
những điểm yếu cần khắc phục.
Từ những việc làm trên qua khảo sát chất lượng đầu năm kết quả như sau:
TT

lớp

1
2

Mơn
7A
7B

Tốn
Tốn

Tổng

1


Kết quả cho thấy tỉ lệ học sinh giỏi còn thấp, trước thực trạng trên, để khơi dậy

trong các em sự hứng thú học tập, u thích bộ mơn, say mê khám phá, tìm tịi kiến
thức, phát triển tư duy, tính sáng tạo cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học,
và giúp học sinh học giỏi hơn môn Tốn tơi đi vào nghiên cứu và áp dụng thực tiễn đề
tài: “Cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 7” nhằm góp phần nâng cao chất lượng
học sinh giỏi mơn tốn ở trường THCS.
2.2. Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
2.2.1 Xây dựng nề nếp học tập:
Điều trước tiên tơi quan tâm đó là nề nếp học tập trên lớp. Không phải chỉ
nghiêng về trật tự lớp học mà tơi cịn chú ý ở các em cách dùng sách, vở, thước, bút,
… nói chung là dụng cụ học tập.
Khi nào sử dụng tập để làm bài, khi nào dùng nháp và sử dụng vở nháp như thế
nào ? Trình bày ở nháp có khoa học và cẩn thận không…? Khi nào phải làm bài một
cách độc lập, khi nào thì thảo luận nhóm. Điều này, trong khoảng 2 đến 3 tuần đầu các
em sẽ quen và hiểu được ý tôi muốn các em lúc nào phải làm gì?
Có như thế, các em sẽ biết tập trung nghe giảng lúc nào? Biết khi nào phải làm
bài? Khi nào cần phải thảo luận và phát biểu ý kiến đóng góp cùng các bạn hay cùng
với thầy để xây dựng bài mới.
2.2.2. Nghiên cứu chương trình mơn TỐN ở các khối lớp :
Để hướng dẫn cho các em được tốt thì trước tiên, ta phải biết được các em đã
học những gì và những gì chưa học. Trong quá trình bồi dưỡng mình mới hướng các
em đến những kiến thức có liên quan đến những điều đã học. Tránh việc bắt các em
phải làm những việc mà các em chưa biết, chưa học đến bao giờ.
Cho nên việc nghiên cứu chương trình ở các cấp lớp, giúp giáo viên bồi dưỡng
hiểu được các em đã học được những gì, và những gì chưa học. Từ đó nắm chắc được
kiến thức một cách có hệ thống và có kế hoạch bồi dưỡng một cách hợp lý phù hợp
đối với học sinh.
2.2.3. Nghiên cứu Sách Giáo Khoa và nhiều tài liệu khác để soạn riêng tài
liệu bồi dưỡng thích hợp:
Để soạn tài liệu bồi dưỡng cho các em, trước tiên tôi nghiên cứu ở Sách Giáo
Khoa (lớp 6 - lớp 7) về các dạng bài tập và cũng tự suy nghĩ về yêu cầu hệ thống các

mãng kiến thức trong từng chương, từng nhóm bài được trình bày qua các dạng bài
luyện tập trong Sách Giáo Khoa.
Ngồi ra, bản thân cịn tham khảo thêm nhiều tài liệu khác, cũng như những bộ
đề thi Học Sinh Giỏi của những năm trước đây. Với những tài liệu tham khảo này, tôi
phải chọn lọc những bài tập thích hợp với các em. Khơng phải chọn những bài tập quá
khó ngay từ đầu mà chọn những bài tập từ cơ bản dần dần đến nâng cao tạo cho các
em có cách học thoải mái nhẹ nhàng và dần dần u thích mơn học tạo cảm giác say
mê ham học ham khám phá những bài toán khó.
2


Tôi soạn tài liệu để bồi dưỡng cho các em, theo phương châm: “Biết đến đâu
học đến đấy. Học đến đâu hiểu đến đấy”, không thể bắt ép các em dồn vào đầu óc
mình những điều mà mình khơng hiểu được gì cả. Thà rằng chậm, từng bước tạo cho
các em có được những hành trang kiến thức thật sự của mình và biết được trong gói
hành trang đó có được những gì, nắm được tác dụng của từng loại hành trang có được.
Tơi nghĩ như thế những kiến thức các em có được sẽ ln ở bên mình trong suốt cuộc
hành trình vươn tới tương lai.
2.2.4. Xây dựng cho các em các bước để giải một bài toán:
Trước khi đi vào giải bài tập tốn, tơi tập cho các em có được thói quen thực
hiện theo từng bước cụ thể để tìm hiểu đề bài thật chính xác rồi giải bài tập một cách
có hiệu quả.
Tơi u cầu các em phải thực hiện qua các bước như sau:
B1: Đọc kĩ đề bài (2 – 3 lần)
B2: Phân tích đề bài tìm cách giải.
B3: Tóm tắt đề tốn (nếu cần).
B4: Giải bài tốn (nháp).
B5: Trình bày bài giải.
B6: Kiểm tra kết quả.
Cụ thể:

* B1: Đọc kĩ đề bài (2 – 3 lần)
Tìm xem đề bài cho biết gì? Chúng có quan hệ với nhau như thế nào? Vận
dụng những kiến thức nào đã hoc?
- Bài tốn hỏi gì? (Quan trọng)
*
B2: Phân tích đề bài tìm cách giải.
- Dựa vào câu hỏi của bài tốn, đi tìm những điều cần thiết để tính.
- Căn cứ vào những điều đã cho để tìm cách giải.
- Dự đốn bài tốn thuộc dạng bài tốn gì?
* B3: Tóm tắt đề tốn (nếu cần).
Ở
bước này, nếu thuộc những dạng toán “Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ
thuận, tỉ lệ nghịch, các bài toán chuyển động…” thì chúng ta tóm tắt bài tốn. Cịn
thuộc những dạng khác, tùy từng bài, nếu thấy cần thiết phải tóm tắt thì tóm tắt hoặc
những bài hình học, khi cần thiết phải biết vẽ hình cho rõ ràng chính xác để những dữ
kiện có liên quan được thể hiện một cách rõ hơn và tóm tắt bài tốn bằng giả thiết, kết
luận.
* B4: Giải bài toán (nháp).
Bước này tập cho các em rèn tính cẩn thận khi làm bài. Sau khi tìm hiểu đề bài
và đã thấy được hướng giải quyết bài toán, các em liền ghi suy nghĩ của mình ra nháp,
kể cả việc thực hiện các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và xem lại thật chính xác
trước khi ghi vào bài giải chính thức.
* B5: Trình bày bài giải.
Việc trình bày bài làm tuy các em đã được các thầy cô hướng dẫn qua từng năm
nhưng trong q trình học tập thì mỗi em có một tính nết riêng. Có em kĩ lưỡng, có
3


em cẩu thả, có em thì q tiết kiệm giấy,… nên mỗi em có thể có một biểu hiện riêng
trong cách trình bày bài làm của mình.

Qua quá trình bồi dưỡng, tơi thường theo dõi cách trình bày của các em để có
hướng nhắc nhở, giúp các em khắc phục được những hạn chế mà thể hiện bài làm một
cách rõ ràng, sạch sẽ, đúng quy định và khoa học.
Tuy là mơn Tốn nhưng tơi vẫn ln để ý và sửa chữa các em về những lỗi
chính tả thường gặp khi trình bày bài giải một bài tốn.
* B6: Kiểm tra kết quả.
Tôi nghĩ, đây là một bước rất cần thiết để các em tự kiểm tra và đánh giá lại kết
quả bài làm của mình.
Với các em bước kiểm tra kết quả bài làm, thường thì các em ít quan tâm đến.
Cho nên việc làm bài sai mà không hay, không biết là chuyện thường gặp ở các em.
Qua nhận định này, tôi luôn xây dựng cho các em một thói quen khơng thể thiếu là
biết kiểm tra lại kết quả khi đã giải xong bài tập, giúp các em xác định được bước đầu
kết quả bài giải của mình có đúng hay chưa? Khi cần thiết, các em biết kiểm tra lại
quá trình giải bài của mình, để chỉnh sửa lại cho chính xác, phù hợp với yêu cầu bài
tốn.
2.2.5. Ơn tập các kiến thức cơ bản:
Như tơi đã nói ở phần trên (soạn tài liệu để dạy), để bồi dưỡng nâng cao kiến
thức cho các em, điều trước tiên tôi cho rằng: Các em phải nắm được những kiến thức
cơ bản đã học, nắm hiểu và vận dụng linh hoạt kiến thức cơ bản là chìa khóa cho mọi
sự thành cơng trong giải tốn.
Thật ra, có một số em vào học bồi dưỡng mà kiến thức cơ bản, thậm chí tơi cho
là sơ đẳng các em cịn khơng nhớ được. Ở đây tơi nói là khơng nhớ, chứ khơng phải là
khơng biết. Ví dụ như: Các định nghĩa, đinh lí, các quy tắc,… các em cũng khơng phát
biểu được. Có em hiểu được vấn đề nhưng nói chẳng thành câu !
Cho nên, trong thời gian các em học ở những tuần đầu, tôi cố gắng tái hiện lại
cho các em những điều gì đã học được ở lớp 6. Có thể nói giống như dạy lại những
bài luyện tập ở lớp 6, nên ở từng mãng kiến thức tôi vừa ôn tập lại cho các em, đến
khi các em nhớ lại chính xác vấn đề, tơi lại có một số bài tập nâng dần một cách nhẹ
nhàng, đủ sức để các em hiểu được vấn dề một cách mạch lạc, vững chắc.
2.2.6. Cung cấp cho các em nhiều dạng bài tập:

Ngoài việc tái hiện cho các em các kiến thức cơ bản đã được học ở lớp 6 và đồng
hành cùng các em với chương trình lớp 7 đang học ở lớp. Tôi mở rộng thêm nhiều dạng
bài tập khác liên quan đến các kiến thức đã học để các em được làm quen.
Ngồi những dạng tốn điển hình, tơi cịn tham khảo, nghiên cứu và suy nghĩ
thêm nhiều dạng đề bài khác và từng loại bài tôi nâng dần vừa sức với các em.

Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán đại số
bắt đầu từ bài toán cơ bản, tơi thay đổi giả thiết của bài tốn để được bài toán
mới vẫn giữ nguyên bản chất của bài tốn cũ nhưng phải có mức độ tư duy cao
hơn; phải có tư duy tổng qt hố mới giải quyết được vấn đề ,tôi thấy vận dụng
4


vào q trình ơn tập cho học sinh giỏi lớp 7 rất phù hợp. Trước hết chúng ta bắt
đầu với bài toán khá đơn giản sau:
Bài toán1: Cho
Đối với bài tập này với học sinh lớp 7A mà tôi phụ trách, số lượng cac em làm
được là khá nhiều (25/29 học sinh), vì đơn thuần bài tập này chỉ việc áp dụng tính
aceace
chất dãy tỉ số bằng nhau
. Một học sinh đã lên bảng trình bày lời giải
b

d

f

b d

f

khá chuẩn như sau:
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ
x

x

y

z

, x+y+z=-360 ta có

y

253235

Suy ra:

x

2
5
3

36

x=-72

y

36

z

36z=-108

y=-180

Vậy: x=-72, y=-180, z=-108
Vẫn giữ nguyên dữ kiện thứ 2 của bài tốn nhưng tơi thay đổi dữ kiện thứ nhất
đi một chút, tơi có bài tốn thứ hai khó hơn như sau:
Bài tốn2: Cho 5x=2y,3y=5z và x+y+z=-360, tìm x,y,z.
Đến bài tốn này trong 28 học sinh lớp 7A tơi chỉ thấy có 5 em giơ tay xung
phong làm, các em cịn lại khơng biết bắt đầu từ đâu. vì vậy tơi đưa ra cho các em
một số gợi ý sau:
Gợi ý
? Bài toán này khác gì so với bài tốn
trước? H/S: khác dữ kiện đầu tiên.
? Hãy biến đổi 2 đẳng thức 5x=2y,3y=5z thành dãy tỉ số bằng nhau?
H/S: ???
Gợi ý thêm: ? Hãy viết 2 đẳng thức 5x=2y,3y=5z thành hai tỉ lệ thức có chứa
x,y,z ở “ tử ”?
x y
H/S: 5x=2y
(1)
y

3y=5z

2 5
(2)
5 3

z

? Từ (1) và (2) ta suy ra điều gì?
H/S:

x

y

z

2

5

3

Đến lúc này cả lớp ồ lên vì thực ra bài tốn này khơng khác gì so với bài tốn
trước và hào hứng làm vào vở.Tôi gọi 1 học sinh lên giải, lời giải của em như sau:

z


5

Giải:
Ta có: 5x=2y
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, và x+y+z=-360 ta có:
xy z x y z360
36 ,
2 5 3 2 3 5
10

Suy ra:

x

36

2
5
3

x=-72

y

36

z

36z=-108

y=-180

Vậy: x=-72, y=-180, z=-108
Vẫn giữ ngun dữ kiện thứ 2 của bài tốn tơi tiếp tục thay đổi dữ kiện thứ
nhất đi một chút, tôi có bài tốn thứ 3 khó hơn như sau:
Bài tốn3: Cho 15x=6y=10z và x+y+z=-360, tìm x,y,z.
Đến bài tốn này trong 29 học sinh lớp 7A khơng thấy có em nào giơ tay, vì các
em chưa thấy mối liên hệ nào giữa đẳng thứ kép 15x=6y=10z với dãy tỉ số bằng nhau
để có thể áp dụng T/C dãy tỉ số bằng nhau. do đó tơi đưa ra một số gợi ý để học sinh
làm như sau:
Gợi ý:
? BCNN(15;6;10)=?
H/S: 30
? Hãy chia các vế của đẳng thức cho BCNN(15;6;10)?
H/S: 15 x

6 y 10z

30

30

30

x
2

y
5

z

3

Đến đây học sinh lại ồ lên vì thực chất bài tốn 3 cũng chính là bài tốn 1,
cả lớp hào hứng bắt tay vào làm.
Từ cách gợi ý của hai bài tốn trên tơi lại giữ lại dữ kiện thứ nhất của bài toán 2
và bài toán 3 thay đổi dữ kiện thứ hai Tôi đưa ra cho học sinh bài tốn 4 khó hơn như
sau:
Bài tốn4: Cho 5x=2y,3y=5z và 2x-3y+z=288, tìm x,y,z
Cho 15x=6y=10z và 2x-3y+z=288, tìm x,y,z
Nhận xét: Rõ ràng H/S đã biết được cách biến đổi 5x=2y,3y=5z và 15x=6y=10z
xyz
thành dãy tỉ số bằng nhau
. Vấn đề đặt ra là các em chưa tìm được mối liên
hệ giữa

x
2

y

z

5

3

2 5 3
với dữ kiện 2x-3y+z=288 của bài toán. Để học sinh làm được bài

tốn này tơi đưa ra cho học sinh một số gợi ý sau:

Gợi ý:
? Để áp dụng được 2x-3y+z=288 Thì trên “tử” của các tỉ số
thêm các thừa số nào?
H/S: Trên tử phải xuất hiện các tích 2x và 3y trên “tử”

x
hiện

2 3

,

y

phải xuất


6


? Muốn xuất hiện 2x và 3y trên tử các tỉ số

x y
,

ta làm thế nào?

2 3

H/S: Nhân cả tử và mẫu của các tỉ số trên lần lượt với 2 và 3, ta được dãy tỉ số

2x

3y

z

bằng nhau mới

.

Đến đây thì các em đã tìm ra cách giải một cách không thể mĩ mãn hơn được.
Cả lớp hào hứng bắt tay vào làm. Kết quả học sinh tìm được là:
x=-72, y=-180, z=-108.
Tiếp tục khai thác bài toán trên, thay dữ kiện 2x-3y+z thành dữ kiện
2 2 2
x +y +z =152 ta có bài tốn mới khó hơn như sau:
Bài tốn 5: Cho 5x=2y,3y=5z và x2+y2+z2=152, tìm x,y,z
Cho 15x=6y=10z và x2+y2+z2=152, tìm x,y,z
Ở bài tốn này học sinh đã biết cách biến đổi 5x=2y,3y=5z và 15x=6y=10z
xyz
xyz
thành dãy tỉ số bằng nhau
. Vấn đề là làm cách nào để biến đổi
để
2

2

2

5

3

2

2

5

3

áp dụng được dữ kiện x +y +z =152.
Thật bất ngờ, đến bài này có rất nhiều học sinh giơ tay (22/28 học sinh). Rõ ràng
đúc kết từ kinh nghiệm bài trên các em đã rút ra được muốn áp dụng được dữ kiện
2

2

2

x +y +z =152 thì các em phải bình phương các tỉ số

x y z
,

,

để được dãy tỉ số bằng

2 5 3

nhau mới x

2

4

y

2

z

25

2

.

9

Một em lên bảng trình bày lời giải tương đối hồn chỉnh như sau:
Giải:
Ta có: x

y z

2

5

3

x2
4

y2
25

z2 .

9

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cùng với dữ kiện x2+y2+z2=152 ta được
x2

y2

z2

x 2 y 2 z2

152

4

4
x

y2

z

Vậy tồn tại 2 cặp giá trị (x, y, z) thõa mãn đề bài là:
(x=4; y=10;z=6) và (x=-4; y=-10; z=-6)
Các bạn thấy đấy bằng cách thay đổi 1 dữ kiện trong bài toán cũ ta lại được một
bài toán có vẻ khó hơn. Song nếu tìm thấy được mối liên hệ giữa các bài tốn đó ta
thấy chúng thật đơn giản phải khơng? Từ các bài tốn này học sinh hình thành hướng
giải hàng loạt bài tốn về dãy tỉ số bằng nhau một cách dễ dàng.


Sau bài học này, tôi giao cho học sinh 3 bài tập sau cho học sinh về làm:
7


Bài tốn 6: Tìm x, y, z biết
xy yz
a)
, x y z 78

;

2354

b)
2

c)

x 1 y 2 z 3
3

4

xyz

,x

2

, x 2 y 3 z 14

2 y 2 z 2 12

235

Đến hôm sau, tôi thu vở chấm thật bất ngờ đa số các em làm rất tốt các bài tập
mà tôi đã giao. Cụ thể: 24/28 học sinh đã làm được các bài tập này với một đáp án
chính xác là:
a)
x=-60; y=-90; z=-72
b)
x=3; y=5; z=7
c)
x=4; y=6; z=10 và x=-4; y=-6; z=-10.
Quả thật đây là một kết quả như tôi mong đợi trước khi tiến hành bài dạy, tuy
chỉ là một vấn đề nhỏ gói gọn trong một tiết luyện tập xong tơi nhận thấy hiệu quả của
nó thật là to lớn.
2.2.7. Hình thành năng lực giải toán qua việc phát triển các bài toán từ bài

toán ban đầu:
- Để tạo ra một bài tốn từ bài tốn ban đầu thì phải tn theo các con đường
sau:
1.
Lập bài toán tương tự.
2.
Lập bài toán đảo.
3.
Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hoá.
4.
Bớt một số yếu tố rồi khái quát hoá.
5.
Thay đổi một số yếu tố.
* Sau đây xin trình bày một số ví dụ minh
hoạ: Bài tốn 1: Tính x, biết rằng: x 1,7 2,3
Bài tốn này chúng ta đã có lời giải.
Ta có hai trường hợp:
*
x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
*
x – 1,7 = - 2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Ở
bài này đối với học sinh trung bình, yếu khơng thể làm được. Ta có thể tinh
giản đưa về dạng đơn giản hơn mà ở đó học sinh chỉ cân đọc SGK là làm được bài. Ta
có bài tốn mới.
Bài tốn 1.1 : tính x, biết rằng: x 2,3
+ Phân tích: ta thấy

2,3

2,3 và - 2,3

2,3 nên

x

2,3

khi

thì x = 2,3 hoặc x = -2,3
Từ bài toán 1.1 ta thêm yếu tố (-1,7) vào giá trị tuyêt đối cho học sinh nhìn thấy
sự giống nhau hai bài toán.
2,3

2,3 và - 2,3 2,3 nên khi x 1,7

2,3 thì …


8


+
Phân tích: Từ bài tốn trên ta thấy yếu tố quan trọng của bài tốn khơng phụ
thuộc nhiều vào biểu thức trong ngoặc. ta chỉ cần thay vế phải bằng hai giá trị đối
nhau. từ đó cho ta đề suất bài tốn tương tự
Bài tốn 1.2: Tìm x, biết rằng: x 2009 2000
Bài toán này chắc rằng học sinh sẽ giải được dựa vào bài tốn 1. ta cung có thể
thay 2009, 2000 bằng những phân số…

Ta có hai trường hợp:
x – 2009 = 2000 => x = 2000 + 2009
= 4009
x – 2009 = -2000 => x = -2000 + 2009 = 9
thêm một vài yếu tố cho bài tốn 1 ta được
Bài tốn 1.3: tìm x, biết rằng: x 1,7 3,2 2,3
+
Phân tích: ở dạng bài này cần áp dụng quy tắc chuyển vế thự hiện cộng, trừ thì
bài tốn trở về dạng Bài tốn 1.
x 1,7 3,2 2,3
x 1 = 2,3 + 3,2
,7
x 1,7 = 5,5

Kết quả: x = 7,2 hoặc x = -3,8
Ở
bài 1.3 nội dung gần giống như bài toán 1 nhưng đã được nâng lên với mức
độ khó hơn mà học sinh vẫn giải được.
Khai thác:Trong bài toán 1
x 1,7

2,3 theo định nghĩa ta có
1,7

= x 1,7 nêu x - 1,7 0 x 1,7
1,7 0 x 1,7

- ( x - 1,7) nêu x -

*

x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
*-(x – 1,7) = 2,3 => x-1,7 = -2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Tới đây ta có thể đề xuất bài tốn đăt biệt hơn. Địi hỏi học sinh phải hiểu rõ nội
dung định nghĩa giá trị tuyệt đối. có phương pháp suy luận tốt. ta có bài tốn mở rộng.
x
Bài tốn 1.4: tìm x, biết:
x
1

2

Phân tích: trong trường hợp này ta phải xét từng trường hợp dấu của biểu thức
trong dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
Nếu x 0 thì

Nếu x 0 thì
1

Vậy x
Lưu ý: dễ thấy x > 0 vì nếu x < 0 thì x +x = 0


Từ việc cần phải xét dấu biểu thức trong giá trị tuyệt đối. ta đề xuất thêm bài
toán tương tự.
2
Bài tốn 1.5 tính giá trị của biểu thức: A = x
x 3 khi x 3
3

9


2

Vì x 3 nên x

Giải
> 0 và x 3 0; do đó

x

=> x

2

x 3 =x

3

2

- ( x – 3) = ( x- x ) + (

3

2

-3)=

3

7
3

Khai thác trong bài toán trên ta phải xét dấu trong giá trị tuyệt đối với một giá trị
của x . vậy với nhửng bài có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì ta cũng xét tương tự. đối
với bài toán chưa cho giá trị của x trước ta sẻ xét tường trường hợp một của x. ta có đề
xuất bài tốn mới như sau:
Bài tốn 1.6 tìm x , biết: 2. x 17
x 36
x khi x 0

x
Phân
tích:

x khi x 0

x 17khi(x 17) 0

x
1
7

(x 17)khi(x 17) 0

Do đó ta cần phải xét dấu đầy đủ hai giá trị tuyệt đối. trong từng trường hợp cụ
thể vì khi x ≥ 0 trong đó cịn trường hợp x < 17.
Bài toán được giải như sau:

* Khi x< 0 thì |x| = - x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x +
17 suy ra 2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) – x = 36
-2x + 34 – x = 36

* Khi 0 < x < 17 thì |x| = x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x +
17 suy ra 2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) + x = 36
-2x + 34 + x = 36
* Khi x ≥ 17 thì |x| = x và |x – 17| = x –
17 suy ra 2.|x – 17| + |x| = 36
2( x – 17) + x = 36
2x – 34 + x
3x
x
Vậy x =
Xét Bài toán 2: viết các phân số


Phân tích: Trong bài tốn trên để tính được chỉ cần thực hiện phép chia tử cho
mẫu.
10
1
100

999
0,001001
…

Vậy

Khai thác bài toán: ta thấy phép chia là một số thập phân vô hạn tuần hồn. Chu kỳ gồm có
số các số đúng bằng số các chữ số 9 ở mẫu, trong đó số cuối cùng là tử số
1 các số còn lại là chữ số 0. ví dụ
Từ đây cho phép ta lập bài toán tương tự.
Bài toán 2.1: Viết các số sau dưới dạng số thập phân:
Tương tự cách giải trên ta có:
2
99

0,(02);

Theo quy tắc trên cho ta bài tốn đảo:
Bài toán 2.2: Viết các số sau dưới dạng số thập phân tối giản: 0,(4); 0,(05); 0,(006); 0,(33).
Ta cung có thể áp dụng quy tắc trên để dự đoán kết quả.
Giải
0,(4) = 4.0,(1)= 4.

1 4

0,(05) =5. 0,(01) = 5.

1 5

0,(006) = 6. 0,(001) = 6.

9

162

9

99
999

0,(33) = 33.0,(01) = 33.

1 33 1

99
999

333

9999 3

*
Phân tích: ta thấy chu kỳ của một số bắc đầu ngay dấu phẩy, khi đổi số thập phân vô hạn
tuần hoàn này ra phân số ta được phân số có:
+ tử là chu kỳ
+ mẫu là lột số gồm các chữ số 9. số chữ số 9 bằng số các số có trong chu kỳ. Khai thác:
trong trường hợp số thập phân vơ hạn tuần hồn mà chu kỳ không
bắc đầu ngay dấu phẩy ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau:
Bài tốn 2.3: viết phân số 0,1(25) dưới dạng số thập phân tối giản.


Phân tích: ta thấy 0.1(25) = 0,1 + 0,0(25). Số 1 trong số thập phân được gọi là phần bất
thường một số thập phân như vậy gọi là số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp. Dựa vào đây ta tìm
cách giải tổng quát.
11

0,1(25
=
Vậy 0,1(25) =

9

124

.
990

*
Khai thác: Khi đổi số thập phân vôi hạn tuần hoàn tạp sang phân số, ta được
một phân số là:
+ Tử là một số gồm phần bất thường kèm theo một chu kì ( ở vd trên là 125) trừ
bớt đi phần bất thường ( 125 – 1).
+ Mẫu là một số gồm các chữ số 9 và chữ số 0. số chữ số 9 bằng số chữ số
trong chu kì, cịn số chữ số khơng bằng số chữ số trong phần bất thường.
Bài toán 2.4: viết số sau dưới dạng phân số tối giản. 0,2(16);

0.2(16)=
Từ bài toá trên có thể đề xuất bài tốn sau.
0,1(6) 0.(3)
Bài tốn 2.5: Tìm x, biết.

.x 0.(2)

Giải
Ta có:
16 1

0,1(6)

90
0,1(6) 0.(3)

Do đó:
1

0, (3) 1,1(6)
1
6 3

1

7

3

6

2

.x

Ví dụ 3: chúng ta bắt đầu từ bài toán sau:
Bài toán 3: Cho a,b Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ

9

a

a 2001

và
b b 2001

(bài 9, trang 4 SGK tóan 7)
Bài tốn này chúng ta đã có lời giải sau
Xét tích a( b + 2001) = ab + 2001a, b(a + 2001) = ab + 2001b
Vì b>0 nên b + 2001 > 0


- Nếu a > b thì ab +
2001a > ab + 2001b a(b +
2001) > b>(a + 2001)

12
- Tương tự, nếu a< b thì

a

a

2001

b

a

a 2001

b

b 2001

- Nếu a = b thì rõ ràng

b 2001

Điều này cho ta bài tốn tương tự bài toán trên
Bài toán 3.1: Cho a,b Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ

a

và

a 2009

b b 2009

Đến đây chúng ta cũng lập bài toán tương tự.
Bài toán 3.2: Cho a,b Z, b> 0, n N*. So sánh hai số hữu tỉ

a

Giải
Xét tích a( b + n) = ab + an,
b(a + n) = ab + bn
Vì b > 0 và n N* nên b + n > 0

Nếu a > b thì ab
+ an > ab + bn a(b + n)
> b(a + n)
=> a

a n

b b n

- Tương tự, nếu a < b thì =>

a a n

a a n

- Nến a= b, thì rõ ràng

b

b b n

b n

Từ lời giải này chúng ta lại có bài toán mới
Bài toán 3.3: Cho a,b
a)
b)

a

Z, b > 0 và n

a a n

Nếu 1 thì
bb b n
a
a a n
Nếu 1 thì
bb b n

Ta có

a

Giải
>1  a> b

b

 an > bn
( Vì n N*)

ab + an > ab +bn



a a n

b b n

b)

N*. chứng minh rằng:

chứng minh tương tự câu a).

và

a n

b
b n


Áp dụng điều này cho ta đề xuất tiếp bài toá thực tế.
Bài toán 3.4: So sánh hai phân số:

a)

1983 và 2009

b)

2000 và 1000

1973 1999

2009 1009

13


Giải
a) Ta có:
b) ta có
bài tốn này vẩn cị có thể khái thác thành bài tốn mới ví dụ:
Bài tốn 3.5: So sánh hai số hữu tỉ sau
a) x =

b)

2008

a = 2008
2009

2008

1 và b= 20082007

2008

1

1

12008

…

Ở
hình học việc lập ra các bài tốn mới có phần khó khăn hơn. Tuy nhiên
giúp học sinh đưa ra các bài toán mới cũng rất cần thiết. Ta có ví dụ sau:
Bài tốn 4: cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, Điểm E
thuộc cạnh AB, Sao cho AD = AE.

ˆ

a) So sánh ABD và ACE

b) IBC là tam giác gì? Vì sao?

ABC (AB=

GT
ˆ
a) so sánh ABD và ACE

KL

b) IBC là tam giác gì?
* Phân tích: Ta thấy
giác
ACE.
Hai tam giác này có đủ các yếu tố để bằng nhau. Ta chứng minh cho
ˆ
ˆ
ABD ACE

* Chứng Minh

a) Xét ABD và
ACE
có
AB=AC(GT)
AD = AE (GT)
ˆ

: góc chung

A

=> ABD=
ˆ

ACE(C–G –C)

ˆ

=> ABD ACE ( hai góc tương ứng)
ˆ
b) Ta có CBD
ˆ

ˆ

ˆ
ˆ
ABC ABD;

ˆ

ˆ
ˆ
BCE ACB ACE
ˆ

ˆ

D AC, E A


mà ABC
=>

ˆ

ACB( hai góc đáy tam giác cân); ABD ACE ( Câu a)
ˆ

CBD BCE

IBC là tam giác cân

14


*
Khai thác: rõ ràng nếu AD + AE thì BE = CD . và IB = IC ( IBC là tam). Từ
đó giúp đề xuất bài tốn tương tự.
Bài tốn 4.1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm E.
Trên cạnh AC lấy điểm D. sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) BCECBD
b) IB= IC, ID=IE

B

GT
KL
* Phân tích:
Tương tự bài trước chứng minh

BCE

CBD theo trường hợp Cạnh – Góc

– Cạnh. Câu b) IBE và ICD đã có EB = DC và
ˆ
thiếu điều kiện IBE ICD . Vì vậy ta chứng minh cho
* Chứng minh
a) Xét BCE và CBD có:
BE=AB–AE;
CD=AC–ADMàAB=AC,AE=AD(GT) => BE
= CD, BE cạnh chung
ˆ

EBC DCB ( Hai góc ở đáy tam giác cân)

=> BCECBD ( C- G–C)
b) Ta có: EBI EBC - IBC ; DCI DCB - ICB

mà

=>
Xét có: IBE và ICD
BE = BD ( câu a)
ˆ

ˆ

ˆ

IEB IDC ( Câu a)
ˆ

ˆ

( chứng minh trên)

EBI DCI
=> IBE= ICD(G–C–G)
=> IB = IC, ID = IE ( hai canh tương ứng)

Khai thác: Bài toán 4.1 a) trường hợp BCE
CBD theo trường hợp góc
- cạnh – góc. Trong đó hai góc là do yếu tố tam giác cân. Và hai cạnh bằng nhau BC
= CB.
Dựa vào đó ta phát triễn bài tốn mới như sau

C


15

Bài toán 4.2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao
cho BD = CE. Từ D kẽ DH AB (H AB). Từ E kẽ EK AC (K AC). Chứng minh
rằng:
a)
DH=EK
b)
Gọi I là giao điểm của DH và EK . IDE là ta giác gì? Vì sao

GT

KL

*
Phân tích: a) ta thấy DH và CK là hai cạnh của hai tam giác BDH
và tam giác CEK. chứng minh dựa vào trường hợp bằng nhau của tam giác
vng.
b) từ câu a có thể suy ra hai góc IDE bằng góc IED. Dựa vào hai
góc
đối đỉnh.
*

Chứng minh
a) Xét BDH và CEK có

BD = CE ( GT);
góc đáy tam giác cân)
=> BDH= CEK(G–C–G)
=> DH = CK ( hai cạnh tương ứng)

ˆ
=> D1

ˆ

Mà D2 D1, E2

ˆ

=> D2
=> IDE cân tại I.

b) Từ
ˆ

E1

ˆ
E2

ˆ