BÀI tập CHƯƠNG 2 môn NHẬP môn điều KHIỂN HIỆN đại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA CƠ KHÍ

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
MƠN: NHẬP MƠN ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

Giảng viên hướng dẫn:

Nguyễn Tấn Tiến

Sinh viên thực hiện:

Bùi Trí Tài

1713000

Phạm Hải Long

1712028

Lê Huỳnh

1611376

Phạm Minh Tâm

1713052

Mơ Võ Nhựt Quang 1612763

1


TP.HCM, Ngày 39 tháng 9 năm 2020
PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
B2.1 – B2.6 – B2.11 : Phạm Hải Long – 1712028
B2.2 – B2.7 – B2.12 : Mô Võ Nhựt Quang – 1612763
B2.3 – B2.8 – B2.13 : Lê Huỳnh – 1611376
B2.4 – B2.9 – B2.14 : Phạm Minh Tâm – 1713052
B2.5 – B2.10; tổng hợp bài tập : Bùi Trí Tài – 1713000

2


MỤC LỤC
Bài

Trang

Bài B2.1-----------------------------------------------------------------------------4
Bài B2.2-----------------------------------------------------------------------------5
Bài B2.3-----------------------------------------------------------------------------6
Bài B2.4-----------------------------------------------------------------------------7
Bài B2.5----------------------------------------------------------------------------10
Bài B2.6----------------------------------------------------------------------------11
Bài B2.7----------------------------------------------------------------------------12
Bài B2.8----------------------------------------------------------------------------14
Bài B2.9----------------------------------------------------------------------------15
Bài B2.10---------------------------------------------------------------------------15
Bài B2.11---------------------------------------------------------------------------16

Bài B2.12---------------------------------------------------------------------------17
Bài B2.13---------------------------------------------------------------------------18
Bài B2.14---------------------------------------------------------------------------18

3


B2.1 Simplify the block diagram shown in Figure 2-29 and obtain the closed-loop
transfer function C(s)/R(s).

Giải
Biến đổi hàm sơ đồ khối trên ta thu được:

Từ đó áp dụng cơng thức ra kết quả:
G1  G2
C (s)

R ( s ) 1  (G1  G2 )(G3  G4 )

4


B2.2 Simplify the block diagram shown in Figure 2–30 and obtain the closed-loop
transfer function C(s)/R(s).

Giải
U =R−( C H 1−C H 2 )=R−C H 1 +C H 2
V =U + G 1 R=R−C H 1 +C H 2 +G 1 R
C=VG 2=R G2−C H 1 G2+C H 2 G 2 +G1 R G2

Vậy:

C+ C G2 H 1−C G2 H 2=R G2 +G1 R G2

Nên:

G2+G 2 G1
C
=
R 1+G 2 H 1−G 2 H 2

5


B2.3: Simlify the block diagram shown in Figure 2-31 and obtain the closeloop tranfer function

Solution

G1 G2 G 3 +G1 G 3 G1
C( s)
=
R( s) 1+G 2 G2 +G2 G3 H 3+ G 3 H 1 H 3+G1 G2 G3 +G1 G3 H 1

6


B2.4Consider industrial automatic controllers whose control actions are proportional,
integral, proportional-plusintegral, proportional-plus-derivative, and proportionalplusintegral-plus-derivative. The transfer functions of these controllers can be given,
respectively, by

where U(s) is the Laplace transform of u(t), the controller output, and E(s) the Laplace
transform of e(t), the actuat ing error signal. Sketch u(t)-versus-t curves for each of the
five types of controllers when the actuating error signal is
(a) e(t)=unit-step function
(b) e(t)=unit-ramp function
In sketching curves, assume that the numerical values of K p, K i,T p, and T i are given as

Giải
Kp = 4
(a)

(1)

Ki = 2

Ti = 2 (sec)

Td = 0,8 (sec)

1
E ( s) 
s
e(t) = unit-step function =>

(b) e(t) = unit-ramp function =>
U(s) = KpE(s)

E ( s) 

1

s2

4
 u (t )  4
s
(a)
4
U ( s )  2  u (t )  4t
s
(b)
U (s) 

7


(2)

U (s ) 

Ki
E (s )
s

2
 u (t )  2t
s2
(a)
2
U ( s )  3  u (t )  t 2
s

(b)
U (s) 

(3)


1 
U ( s )  K p 1 
 E ( s)
 Ti s 

1 1 4 2

U ( s )  4 1     2  u (t )  4  2t
 2s  s s s

(a)

1 1
4 2

U ( s )  4 1   2  2  3  u (t )  4t  t 2
s
s
 2s  s
(b)

8

(4)

U(s) = Kp(1 + Tds)
U ( s )  4  1  0,8s 

1 4
  3, 2  u (t )  4  3, 2 t
s s

(a)

1
4 3, 2
 2
 u (t )  4t  3, 2
2
s
s
s

(b)

(với δt rất bé)
U ( s )  4  1  0,8s 

(5)



1

U ( s)  K p 1 
 Td s  E ( s)
 Ti s


1

1 4 2
U ( s )  4 1   0,8s    2  3, 2  u (t )  4  2t  3, 2 t
 2s
s s s

(a)

(với δt rất bé)
1
4 2 3, 2

1
U ( s )  4 1   0,8s  2  2  3 
 u (t )  4t  t 2  3, 2
2
s
s
s
s
s



(b)

9


2.5 Figure 2–32 shows a closed-loop system with a reference input and disturbance
input. Obtain the expression for the output C(s) when both the reference input and
disturbance input are present.

-Khi D(s) = 0, ta có hàm C R (s)/R(s):
C R (s)
R(s)

=

Giải:

Gc ( s ) . G p ( s)
1+ Gc ( s ) .G p ( s)

-Khi R(s) = 0, ta có hàm C D (s)/D(s):

C D ( s)
D(s)

=

1
1+ G c ( s ) .G p ( s)

Mặt khác:

C(s) = C R(s) + C D(s) =
=

G c ( s ) . G p (s)
1+ G c ( s ) .G p ( s)

+

1
1+ Gc ( s ) .G p ( s)

1
[ G ( s ) .G p ( s ) R ( s ) + D(x )]
1+ G c ( s ) .G p ( s) c

10


2.6 Consider the system shown in Figure 2-33. Derive the expression for the steadystate error when both the reference input R(s) and disturbance input D(s) are represent.

Giải:
Ta xét trường hợp 1 khi chỉ có ảnh hưởng bởi Reference input R(s):
Lúc này ta suy ra:

G (s )G2 (s )
CR ( s )
 1
R(s ) 1  G1 (s)G2 (s)

ER ( s)  R(s )  CR ( s)  R(s )(1 

Và
Do đó ta có:

G1 ( s)G2 ( s)
1
)
R(s)
1  G1 ( s)G2 ( s) 1  G1 ( s)G2 ( s)

essR  lim
eR (t )  lim sER (s )  lim
t 
s 0

s 0

sR( s)
1  G1 ( s)G2 ( s )

Ta xét trường hợp 2 khi có ảnh hưởng bởi Disturbance input D(s):
Khi này ta có:

G2 (s)
CD ( s )

D(s) 1  G1 (s )G2 ( s)
Mặt khác: ED ( s)  D( s)  CD ( s ) . Vì ta muốn giá trị của disturbance input tiến đến 0 khi
thiết kế output mong muốn do đó D( s )  0  ED ( s)  CD ( s ) .

ED ( s )  

G2 ( s ) D( s)
1  G1 ( s)G2 ( s) . Như vậy sai số của hệ thống:

essD  lim
eD (t )  lim sED ( s )  lim
t 
s 0

s 0

sG2 ( s ) D( s )
1  G1 ( s)G2 ( s ) .

Khi đó nếu kết hợp cả TH1 và TH2 ta thu được:

ess  essR  essD  lim (
s 0

sG2 ( s ) D( s )
R( s)  G2 ( s) D( s)
sR ( s )

)  lim ( s
)
1  G1 ( s)G2 ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s)
1  G1 ( s)G2 (s )
s 0

11


B 2.7 Obtain the transfer functions C(s)/R(s) and C(s)/D(s) of the system shown in
Figure 2–34.

Giải

K=G2 ( U G1 + D )=U G1 G2+G2 D
K G2 D
=
+G 1 G2
U
U

Hàm truyền K/F từ Loop 1 – 1:

G2 D
+G1 G 2
K
U
=
F G2 D H 1
+G 1 G2 H 1 +1
U

Đặt

D
=a

U
G2 a+G 1 G2
K
=
F G2 H 1 a+ G1 G2 H 1 +1

Xét trường hợp cần tìm C(s)/R(s), ta cho D=0, nghĩa là a=0, ta có hàm K/F theo Loop
12


1 – 3 như sau:

G1 G2
K
=
F G1 G2 H 1 +1

Viết làm toàn bộ hàm truyền khi xét Loop 1 – 4:
C G 1 G 2 GC G3
=
E G1 G2 H 1+1

Và hàm truyền C/R từ Loop 1-4:

G1 G2 GC G3
G 1 G 2 H 1+ 1
G 1 G2 GC G 3
C
=
=

R
G G G G H
1+G1 G2 H 1 +G 1 G 2 GC G3 H 2
1+ 1 2 C 3 2
G1 G2 H 1 +1

Xét trường hợp cần tìm C(s)/D(s), ta cho R=0, hàm truyền trở thành Loop 1 – 5

Theo Loop 1 – 5, toàn bộ cụm GC H 2+ H 1 /G3sẽ feed về G1, như vậy ta có Loop 1 – 6
Hàm truyền C/D từ Loop 1 – 6 là:

13


C
=
D

G2 G3
1+G 2 G 3 G c H 2+G 2 G3

H1
G3

=

G2 G3
1+G 2 G 3 G c H 2 +G 2 H 1

B2.8 Optain a state-space representation of the system shown in figure 2-35

s+ z
∗1
s+ p
Y (s )
s2
s+ z
=
= 3
2
U ( s)
s+ z
∗1 s + p s + s+ z
s+ p
1+
s2

Gii

The differential equation for the system is
y + p yă + y˙ + zy=u+
˙ zu

We otain
We have

a 1=p ; a2=1 ; a3=z
b 0=0 ; b1=0 ; b2=1 ; b3 =z
β 0=b 0=2
β 1=b 1−a1 β0 =0

β 2=b 2−a1 β1 −a2 β0 =1
β 3=b 3−a1 β 2−a2 β 1−a3 β 0=z− p
x 1= y−β 0 u= y
x 2= x˙1−β 1 u= x˙ 1
x 3= x˙2−β 2 u= x˙2−u

Then

x˙1=x 2
x˙2=x 3+ u
x˙3=−a 3 x 1−a 2 x 2−a 1 x 3+ β3 u=−z x 1−x 2− p x3 +(z− p)u

Here, the state-space representation of the system is
x˙1
0
1
0 x1
0
x˙ 2 = 0
0
1 x2 + 1 u
x˙3 −z −1 − p x 3 z− p

[][

][ ] [ ]

14

y= [ 1 0 0 x ]

B2.9 Consider the system described by

y  3 y  2 y  u (*)
Derive a state-space representation of the system
Giải

Đặt

 x1  y

 x2  y
 x  y
 3

 x1  y  x2

(*)   x 2  y  x3
 x  
 3 y  3 x3  2 x2  u

Vậy ta có mơ hình khơng gian trạng thái:
 x1   0 1 0   x1   0 
 x    0 0 1   x    0  u
 2 
 2  
 x 3   0 2 3  x3  1 
;

 x1 
y   1 0 0  x2 
 x3 

B2.10 Consider the system described by

Obtain the transfer function of the system.
Giải:

x  Ax  Bu
−4 −1
1
y  Cx  D  A = 3 −1 ; B = 1 ; C = [ 1 0 ]; D  0 .

[

]

[]

Áp dụng công thức ta suy ra :
s+ 4
1 1
G(s) = C (sI −A )−1 . B +D = [ 1 0 ] −3 s +1 1 +0

[
][ ]
1
s +1 −1 1
= [1 0]

[
( s+ 1 )( s+ 4 ) +3 3 s+ 4 ][ 1 ]
s
1
[ s+ 1 −1 ] [ 1 ] =
=
1
( s+ 1 )( s+ 4 ) +3
s + 5 s+7
2

15


Vậy G(s) =

s
s + 5 s+7
2

B2.11 Obtain a system defined by the following state-space equations:
 x1   5 1  x1   2 
 x    3 1  x    5  u
 2  
 2 
x 
y   1 2  1 
 x2 

Obtain the transfer function G(s) of the system.

Giải:

x  Ax  Bu
 5 1
 2
A
B 

y  Cx  D 
 3 1 ;
 5  ; C   1 2 ; D  0 .
Áp dụng công thức ta suy ra :
s  5
1 
G( s)  C (sI  A) B  D  1 2  

 3 s  1
1

s  5
1 
 [1 2] 

 3 s  1

1

 2
 0
5

1

 2
 s  1 1   2 
1
.
   [1 2]
( s  1)( s  5)  3  3 s  5 5 
5
 2
1
12s  59
 2
[ s  7 2 s  9]    2
s  6s  8
 5 s  6s  8

Kiểm tra lại bằng Matlab như sau:

16


B2.12

x˙1=x 2
x˙2=x 3+ u2
x˙3=−2 x 1−4 x 2−6 x 3 +u1
y 1=x 1
y 2=x 2

Vậy:

X 1 s= X 2
X 2 s= X 3 +U 2
X 3 s=−2 X 1−4 X 2−6 X 3+U 1
Y 1= X 1
Y 2= X 2
Để giải trường hợp Y 1 /U 1 ta cho U 2=0, tất cả các biến còn lại chuyển về X 1
X 3 =X 2 s=X 1 s2
U 1= X 3 s+ 2 X 1+ 4 X 2 +6 X 3 =X 1 s 3+ 2 X 1+ 4 X 1 s+6 X 1 s 2

Vậy:

Y1
1
= 3
2
U 1 s +6 s + 4 s +2

Để giải trường hợp Y 2 /U 2 ta cho U 1=0, tất cả các biến còn lại chuyển về X 2
X1=

X2
s

−2 X 2
−4 X 2
−2 X 1−4 X 2
s

−2−4 s
X3=
=
=X 2 .
s+6
s +6
s (s +6)
2+ 4 s
U 2= X 2 s−X 3 =X 2 s+ X 2 .
s (s+6)

Vậy:

Y2
=
U2

1
s 2+ 6 s
= 3
2+4 s s + 6 s 2+ 4 s+2
s+
s( s+6)

17


B2.13 Linearize the nonlinear equation
z=x 2 +8 xy+ 3 y 2

In the region defined by 2 ≤ x ≤ 4 ; 10 ≤ y ≤ 12
Giải
Choose x´ =3 ; ´y =11
z−´z =K 1 ( x−´x ) + K 2 ( y− ´y )
Where

∂z
=2 ´x +8 ´y =94
∂x
∂z
K 2=
=8 ´x + 6 ´y =90
∂y
´z = ´x 2 +8 ´x ´y +3 ´y 2=9+ 8∗3∗11+3∗121=636
K 1=

Thus
z−636=94 ( x−3 )+ 90 ( y−11 )

Then

94 x +90 y −z−636=0

B2.14 . Find a linearized equation for
y = 0,2x3
about a point x=2.
Giải
y = f(x) = 0,2x3,

x 2

y  f ( x)  f ( x ) 

f
x

( x  x )  ...

Khai triển Taylor hàm đã cho ta có:
Vì các hệ số bậc cao của phương trình này rất nhỏ nên bỏ qua các hệ số này ta có:
xx

y  f ( x )  f '( x )( x  x )  0, 2.23  0, 6.2 2 ( x  2)

Vậy hàm tuyến tính xấp xỉ với hàm đã cho là: y = 2,4x – 3,2

18


19