BÀI tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài BÌNH PHƯƠNG cực TIỂU

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA- ĐẠI HỌC QUỐC GIA
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------

BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Đề tài:

BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
Nhóm: 05
Lớp: L12
Giáo viên: Cơ Nguyễn Xn Mỹ
1


Danh sách thành viên và phân công công việc:
+ Nêu cơ sở lý thuyết:
-Nguyễn Thị Hoài My

2013805

-Nguyễn Hoàng Trúc Ngân

2010435

+Viết chương trình ứng dụng:
-Trần Hồng Long

2011560

-Nguyễn Minh Linh

2013630

-Nguyễn Hồng Trọng Nhân

2013970

+Tìm các ứng dụng khác:
-Huỳnh Tấn Lộc

2010391

-Đồn Lâm Nhật

2011747

-Hứa Gia Linh

2010374

-Ngư Thành Long

2011557

-Nguyễn Hoàng Long

1914001

-Nguyễn Hoàng Thanh Minh

2011618

-Võ Kế Hữu Nghĩa

2013881

+Trình bày báo cáo:
-Dương Nhân

1914425

-Trần Hồng Uyển Mi

2011604

2


 MỤC LỤC 
NỘI DUNG
1. Cơ sở lý thuyết……………………………………….4
2. Ứng dụng phương pháp………………………..……14
3. Chương trình ứng dụng……………………………...22

1. Cơ sở lý thuyết
a/ Giới thiệu chung
Phương pháp bình phương cực tiểu thường được dùng để lập công thức
thực nghiệm. Giả sử cần tìm mối quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y,
muốn thế ta tiến hành thí nghiệm rồi quan sát, đo đạc, ta nhận được bảng

tương ứng:

Việc từ bảng trên lập ra mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công
thức thực nghiệm. Nói chung việc tìm ra hàm số f(x) là gần đúng, việc tìm ra
hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu sẽ rất

3


phức tạp nếu không biết trước dạng của hàm số xấp xỉ. Một trong các hàm số
xấp xỉ đã biết và rất hay dùng trong các bài toán thực tế có dạng:

b/ Giải phương trình hồi quy dạng y = a x + b bằng phương pháp
bình phương cực tiểu
Với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm, x ∈ Rn . Trường hợp Ax = b vô nghiệm
+ Phương pháp khử Gauss khơng đưa ra nghiệm chính xác.
+ Phương pháp thay thế: tìm ∈ R n sao cho là gần nhất để trở thành
nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là 2 nhỏ nhất. Nghiệm trong
trường hợp này được gọi là nghiệm bình phương cực tiểu

- Vì các cặp số (x1,y1), (x2, y2), … , (xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ là
những giá trị gần đúng của x, y nên chúng khơng hồn tồn là nghiệm
đúng của phương trình y = ax + b nghĩa là:
4


y1 – ax2 – b = v1
y2 – ax2 – b = v2
………………..
yn – axn – b = vn

trong đó : vi là các sai số.
- Phương pháp bình phương cực tiểu nhằm xác định các các hệ số a và b
sao cho tổng bình phương của các sai số nói trên là bé nhất.
- Nghĩa là :

Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình:
- Rút gọn ta có hệ sau:

5


CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ:
Giả sử A ∈ Rm×n , b ∈ Rm, x ∈ Rn
Định nghĩa 1. Hệ khơng nhất qn
Hệ Ax = b khơng có nghiệm gọi là hệ khơng nhất qn.
Định nghĩa 2. Nghiệm bình phương cực tiểu
Nghiệm của hệ không nhất quán Ax = b thỏa 2 nhỏ nhất gọi là nghiệm bình
phương cực tiểu.
Giả sử F : Rn → R, f : Rn → R m và fi : Rn → R
Định nghĩa 3. Bài tốn bình phương cực tiểu
Bài tốn bình phương cực tiểu là bài tốn tìm điểm cực tiểu địa phương x*
của F(x) = , trong đó fi : Rn → R là hàm cho trước và m > n.
Định nghĩa 4. Điểm cực tiểu địa phương
Cho số dương nhỏ δ và hàm số F(x). Điểm x* gọi là điểm cực tiểu địa phương
của F(x) nếu F(x*) F(x), ∀x thỏa < δ.

Định nghĩa 5. Điểm dừng
6

Điểm xs gọi là điểm dừng của F(x) nếu F’ (xs ) = 0.
Định nghĩa 6. Ma trận xác định dương
Ma trận đối xứng M ∈ Rn×n gọi là
+ Xác định dương nếu xTMx > 0, ∀x ∈ Rn , x 0.
+ Nửa xác định dương nếu xTMx 0, ∀x ∈ Rn , x 0.
Định nghĩa 7. Gradient của F là

Định nghĩa 8. Ma trận Hessian của F là

Định lý 1. Nếu x* là một điểm cực tiểu địa phương của F(x) thì F’ (x*) = 0.
Định lý 2. Nếu x là điểm dừng của F(x) và F”(x) xác định dương thì x là một
cực tiểu địa phương của F(x) .
**Nghiệm bình phương cực tiểu của hệ khơng nhất qn
Xét hệ phương trình khơng nhất qn Ax = b
7


Định lý 3. Nghiệm bình phương cực tiểu
Đặt S = {x ∈ Rn , 2 → min} và rx = b − Ax.
Khi đó x ∈ S ⇔ ATrx = 0
Ta chứng minh được:
(i) ATrx = 0 ⇒ x ∈ S
(ii) x ∈ S ⇒ ATrx = 0
Kết quả từ định lý 3: nghiệm bình phương cực tiểu của Ax = b là nghiệm
thỏa
AT = 0. Khi đó:
AT = 0 ⇔ AT (A − b) = 0 ⇔ ATA = ATb

BÀI TỐN TỔNG QT:
Tìm hàm bậc 1 sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của tập

hợp

8


*Cách làm:
Ký hiệu:
Đặt

Ta có :

V í d ụ 1: Tìm hàm bậc 1 sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của
tập hợp
D
Bài làm
Ký hiệu:

Đặt

Ta có :
9


Vậy hàm bậc 1 cần tìm là :
c/ Giải phương trình hồi quy dạng y = a + bx + c bằng phương pháp
bình phương cực tiểu

BÀI TỐN TỔNG QT:
Tìm hàm bậc 2 sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của tập
hợp

*Cách làm:
Ký hiệu:
Đặt

Ta đi tìm nghiệm X bằng cơng thức :
Ta có :
Từ đó ta tìm được hàm
10


VD2: Tìm hàm bậc 2 sao cho đồ thị của nó đi qua (hoặc gần) các điểm của
tập hợp

Bài làm
Ký hiệu:
Đặt

Ta đi tìm nghiệm X bằng cơng thức :
Ta có :

Vậy hàm bậc 2 cần tìm là :

BÀI TỐN ỨNG DỤNG

T

rong toán học cũng như trong nhiều bài toán thực tế, ta thường
gặp bài toán liên quan đến khảo sát các tính chất của hàm số
hoặc tính giá trị của hàm số tại một giá trị cụ thể. Tuy nhiên,

hàm số đang xét không phải lúc nào cũng được cho dưới dạng

biểu thức giả tích mà có thể chỉ cho dưới dạng bảng thể hiện mối liên hệ giữa
giá trị hàm số và giá trị đối số tại một số hữu hạn điểm. Phương pháp bình
phương cực tiểu cho phép ta có thể thao tác trên hữu hạn điểm đó, xấp xỉ hàm
11


số, đưa ra nhận xét, dự đoán kết quả.. Điều đó sẽ được minh họa qua ứng
dụng và các bài toán thực tế sau:
1. Bài toán xử lý số liệu thí nghiệm, tìm dạng đồ thị, dự đốn kết quả:
Phương pháp bình phương cực tiểu được ứng dụng trong việc xử lý số
liệu, dự đốn kết của thí nghiệm. Cụ thể, ta xét bài toán sau:
Bài toán: Sinh viên thực hiện thí nghiệm: Sử dụng ampe kế đo cường độ
dịng điện qua một bóng đèn sợi đốt khi thay đổi hiệu điện thế thì thu được
bảng số liệu sau:

Hãy

xác

định

hàm số thể hiện mối liên hệ giữa U và I dưới dạng hàm bậc nhất. Dự đoán
nếu giá trị của U bằng 5(V), 6(V) thì giá trị của I lần lượt bằng bao nhiêu?
Giải:
Gọi hàm số cần tìm là:
Trong đó: + I(t) là cường độ dòng điện tại thời điểm t (A).
+ U(t) là hiệu điện thế tại thời điểm t (V).
+ là hệ số cần tìm để xấp xỉ hàm số thỏa u cầu bài tốn.

Theo phương pháp bình phương cực tiểu:
Ta xét các ma trận sau:
A

=

X

=

B

=

=

=
12


Theo phương pháp, ta giải phương trình ma trận sau để tìm ra :

Sau khi giải phương trình ma trận, ta được:
Vậy hàm số xấp xỉ cần tìm là
Dự đốn kết quả thí nghiệm: do hàm số trên là hàm số xấp xỉ, nên ta có thể
dùng để xấp xỉ, dự đốn 1 giá trị nào đó, cụ thể:
+Với U(t) = 5(V) thì I(t) = 0,025 + 0,027 . 5 = 0,16 (A)
+Với U(t) = 6(V) thì I(t) = 0,025 + 0,027 . 6 = 0,187 (A)

Ta có dạng đồ thị của hàm số như sau:

13


Vậy ta có thể sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu cho việc xử lý số,
cũng như dự đoán gần đúng số liệu khi biết những số liệu thí nghiệm khác.
2. Bài tốn xác định chi phí hỗn hợp:
Sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu có thể xác định phương
trình biến thiên của chi phí dựa trên các số liệu chi phí thực tế phát sinh với
mức độ hoạt động của máy móc trong một khoảng thời gian nhất định. Cụ thể
bài toán như sau:
Bài toán thực tế: Một doanh nghiệp muốn xây dựng phương trình dự
tốn chi phí bảo dưỡng máy móc thiết bị theo yếu tố định phí (b) và biến phí
(a). Dựa vào số liệu về chi phí bảo dưỡng máy móc thiết bị y (đơn vị
1.000.000 VND) và số giờ hoạt động thực tế của máy móc x (đơn vị 100 giờ)
trong 6 tháng như sau:

14


Vấn đề đặt ra là làm sao để có thể xây dựng phương trình dự tốn thỏa
u cầu bài tốn?
Phương pháp giải quyết vấn đề:
Phương trình dự tốn chi phí hỗn hợp có dạng tổng quát như sau:
Trong đó: + y là biến số phụ thuộc, phản ánh chi phí hỗn hợp với mức độ hoạt
động x.
+ x là mức độ hoạt động.
+ a là độ dốc tuyến tính, phản ánh mức độ biến phí trên 1 đơn vị
mức độ hoạt động.
+ b là hằng số, phản ánh tổng định phí trong tổng chi phí hỗn hợp.

Theo phương pháp bình phương cực tiểu:
Ta xét các ma trận sau:
X =

=

K =

15


Y =

=

Theo phương pháp, ta giải phương trình ma trận sau để tìm a,b.

Sau khi giải xong phương trình ma trận, ta được:

Vậy phương trình dự tốn chi phí bảo dưỡng máy móc thiết bị là

Do đó, nếu tháng tới dự kiến sử dụng máy móc thiết bị trong (100 giờ)
thì chi phí bảo dưỡng sẽ bằng:

3. Các bước chạy chương trình
16


Bước 1: Nhập số lượng điểm ‘N’ cần tìm hàm f, sao cho đồ thị của nó đi qua
(hoặc gần nhất) các điểm đó

Nhập các giá trị hồnh độ x và tung độ y của “N’ điểm trên
Nhập bậc của hàm f cần tìm: ‘s’

Bước 2: Tạo ma trận A gồm N hàng, s+1 cột

Tạo ma trận B gồm N hàng, 1 cột

Bước 3: Tìm các hệ số của hàm f thông qua ma trận X

Bước 4: Hiển thị hàm f lên màn hình
Hiện các điểm đã nhập và vẽ đồ thị hàm số f lên hệ trục tọa độ
4. Đoạn code
N=input('Nhap N : ');%N la so phan tu trong du lieu
a = zeros(N,1);%khai bao ma tran 0 có N hang 1 cot
b = zeros(N,1);
disp(' Nhap cac gia tri x');
17


for i= 1:N
a(i,1)=input('x= ');
end
disp(' Nhap cac gia tri y');
for i= 1:N
b(i,1)=input('y= ');
end
mi=min(a,[],1)-1;% tim gia min cua ma tran a
ma=max(a,[],1)+1;% tim gia max cua ma tran a
s=input('Nhap bac ham so can ve ');
plot(a, b, 'b*', 'MarkerSize', 5, 'DisplayName', 'Cac diem da cho');

% Hien cac diem da co len do thi
hold on;
A = zeros(N,s+1);%khai bao ma tran 0 có N hang s+1 cot
B = zeros(N,1);%khai bao ma tran 0 có N hang 1 cot
for j= 1:N
A(j,1) =1;
for k = 2:(s+1)
A(j,k)= a(j,1).^(k-1);
end
end
% Nhap cac gia tri vao ma tran A
B = b;% Nhap cac gia tri vao ma tran B
18


heso = inv(A'*A)*(A'*b); % ma tran chua he so hàm y=fx
% A' la ma tran chuyen vi cua A
p=zeros(1,s+1); %khai bao ma tran 0 có 1 hang s+1 cot
for t= 1:(s+1)
p(1,t)= heso(s-t+2);
end
k=poly2sym(p); % Tao ra ham so y=fx
disp('y=');disp(k); % Hien thi ham so y=fx
x=linspace(mi,ma);%lay cac diem tu minx-1 den maxx+1
y=polyval(p,x);% xac dinh gia tri y tuong ung voi tung gia tri x
plot(x,y, 'r', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', 'Phuong trinh can ve ');
xlabel('Truc x');% tên truc toa do x
ylabel('Truc y');% tên truc toa do y
grid on;% hien luoi toa do
legend show;%hien chu thich

5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm hàm bậc ba
với D={(-3;-1.4); (-2;-1.3); (-1;-0.6); (0;0.1); (1;0.9); (2;1.8); (3;2.9)}

19


Ví

dụ

2:

Cho

bảng

dữ

liệu

(45;86), (15;70); (40;90); (35;78), trong đó các hồnh độ cho biết thời gian
tính bằng phút mà bạn Bình học trong đêm trước ngày thi của 5 môn học và
các tung độ cho biết số điểm (thang điểm 100) mà bạn Bình đạt được. Xấp xỉ
bảng dữ liệu trên bởi một hàm bậc nhất.
20


21

 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
22


1. Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường - chủ nhiệm đề
tài: Huỳnh Thanh Toàn
2. Tài liệu cô Nguyễn Xuân Mỹ
3. Tài liệu thầy Đặng Văn Vinh

TỔNG KẾT
23


Phương pháp bình phương cực tiểu là phương pháp hay và mạnh, giúp ta
có thể giải quyết lớp bài tốn khảo sát tính chất hàm nhưng chỉ cho biết sự
liên hệ giữa các giá trị hàm số qua dạng bảng số liệu, qua các điểm mà hàm đi
qua. Tuy nhiên, phương pháp này cũng đòi hỏi nhiều số liệu, các bộ dữ liệu
phải tốt, đồng thời cũng đòi hỏi việc lựa chọn tốt dạng hàm số.

24