Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Moukvilay Soukaloun

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG
VÉCTƠ VỚI NĨN DI ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Moukvilay Soukaloun

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG
VÉCTƠ VỚI NĨN DI ĐỘNG

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2020

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc
hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong
luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Moukvilay Soukaloun
Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn

TS. Bùi Thế Hùng


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp
hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi
hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể
các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện
Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tơi những ý kiến đóng
góp q báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp

đỡ, động viên tơi trong suốt q trình làm luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn

Moukvilay Soukaloun

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Sự tồn tại nghiệm của bài tốn tựa cân bằng véctơ
với nón di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. Tính ổn định nghiệm của bài tốn tựa cân bằng véctơ
với nón di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

iii


Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt

R

tập các số thực

R+

tập số thực không âm

R−

tập số thực không dương

Rn

không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+

tập các véctơ không âm của Rn

Rn−

tập các véctơ không dương của Rn

2X

tập tất cả các tập con của X

f :X→Y

ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y

F : X → 2Y

ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y

dom F

miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F

gph F

đồ thị của ánh xạ đa trị F

A := B

A được định nghĩa bằng B

∅

tập rỗng

A⊆B

A là tập con của B

A⊆B

A không là tập con của B

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

A\B

hiệu của hai tập hợp A và B
iv


B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

cl A

bao đóng tơpơ của tập hợp A

int A

phần trong tơpơ của tập hợp A

conv A

bao lồi của tập hợp A

(QEP )

bài toán tựa cân bằng véctơ

(QEP )λ

bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số

usc

nửa liên tục trên

lsc

nửa liên tục dưới

H − usc

nửa liên tục trên Hausdorff

H − lsc

nửa liên tục dưới Hausdorff

✷

kết thúc chứng minh

v


Mở đầu
Bài tốn tựa cân bằng véctơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật
lý, kinh tế, tối ưu, vận tải, ... Bài toán này bao hàm một số lớp bài toán
khác nhau như bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức
biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán bù, ... Khi nghiên cứu bài
toán tựa cân bằng người ta thường quan tâm đến các vấn đề sau:

1. Sự tồn tại nghiệm.
2. Tính ổn định nghiệm.
3. Cấu trúc tập nghiệm.
4. Thuật tốn tìm nghiệm.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ đã được rất nhiều
nhà toán học nghiên cứu (xem [9], [10] và các tài liệu liên quan). Ngoài
việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ người ta
cịn quan tâm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài tốn này thơng qua
nghiên cứu tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm.
Năm 2010, Chen, Li và Fang [6] đưa ra một số điều kiện đủ cho tính nửa
liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức
biến phân suy rộng dưới giả thiết (Hg ). Năm 2012, Zhong và Huang [12]
đã nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài tốn tựa cân bằng véctơ thơng
qua tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục và liên tục Hausdorff cho ánh
xạ nghiệm với giả thiết (Hg ) . Gần đây, Anh và Hung [3] đã thiết lập điều
kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục Hausdorff đối
với ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh chứa tham số.
Năm 2019, Anh, Duy và Hien [4] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa
1


liên tục trên, nửa liên tục dưới Hausdorff cho ánh xạ nghiệm của bài tốn
tựa cân bằng véctơ với nón di động dưới giả thiết (Hϕ ). Ngoài ra các tác
giả còn đưa ra điều kiện cần và đủ để giả thiết (Hϕ ) xảy ra.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày một cách hệ thống các kết quả
trong cơng trình [4] về tính ổn định nghiệm của bài tốn tựa cân bằng
véctơ với nón di động thơng qua tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới
Hausdorff của ánh xạ nghiệm. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức về tập lồi, ánh xạ

đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị. Ngồi ra, chương này chúng
tơi cịn trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng véctơ với nón di động.
Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm của
bài tốn tựa cân bằng véctơ với nón di động thơng qua tính nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm. Một số ví dụ minh họa cho
kết quả lý thuyết cũng được trình bày.

2


Chương 1
Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa
cân bằng véctơ với nón di động
Trong chương này, chúng tơi trình bày một điều kiện đủ cho sự tồn tại
nghiệm của bài tốn tựa cân bằng véctơ với nón di động. Một số kiến thức
cơ sở và kết quả chính của chương này được chúng tơi trích ra từ các tài
liệu [1], [2], [4], [8] và [9].

1.1. Không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tuyến tính. Tập A ⊆ X được
gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A ta ln có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1].
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I , với I là
tập chỉ số bất kì. Khi đó tập A = ∩ Aα lồi.
α∈I

Chứng minh. Lấy x, y ∈ A. Khi đó x, y ∈ Aα , với mọi α ∈ I . Do Aα là lồi
với mọi α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với mọi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do đó

λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m).
Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi.
3


Chứng minh. Đặt A = λ1 A1 +λ2 A2 +· · ·+λm Am . Lấy x, y ∈ A, khi đó tồn
tại xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm ,

y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym . Ta có
λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym )
= λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ].
Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với mọi i ∈ {1, 2, . . . , m} và

λ ∈ [0, 1]. Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy A là tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là khơng gian tuyến tính, A là một tập con
của X . Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của
tập A và kí hiệu là conv A.
Định lý 1.1.5. Giả sử A là tập con của khơng gian tuyến tính X . Khi đó

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là
n

n

αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0,

conv A =

i=1

αi = 1 .
i=1

Chứng minh. Ta có conv A là tập lồi. Vì A ⊂ conv A nên conv A chứa tất
cả các tổ hợp lồi của A. Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và
chứa A, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A). Vậy

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian véctơ trên trường K.
(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của

X nếu các phép tốn cộng và nhân vơ hướng là các ánh xạ liên tục.
(ii) Một khơng gian tơpơ tuyến tính hay khơng gian véctơ tôpô trên
trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là khơng gian véctơ trên trường
K và τ là một tơpơ tương thích với cấu trúc đại số của X .
Định nghĩa 1.1.7. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là khơng gian
lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập
4


lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi địa phương X đồng thời là khơng gian
Hausdorff thì X được gọi là khơng gian lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ 1.1.8. Khơng gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không
gian lồi địa phương Hausdorff.

1.2. Nón và ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là khơng gian tuyến tính và C là một tập con
khơng rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón trong Y nếu tc ∈ C , với mọi

c ∈ C và t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong khơng gian tuyến tính Y . Ta nói
rằng
(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi.
(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C).
(iii) C là nón đóng nếu C là tập đóng trong Y .
(iv) C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn.
Giả sử X và Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X.
Định nghĩa 1.2.3. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần
tử x ∈ X cho một tập con của Y , được ký hiệu F : X → 2Y .
Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tập
con của X × Y , kí hiệu là gph F và được xác định bởi

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) .
Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F .
Miền định nghĩa của F , kí hiệu dom F , xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) = ∅ .
5


Ví dụ 1.2.4. Xét phương trình đa thức với hệ số thực

xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0,
Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm của
phương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị

F : Rn → 2C
từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C.
Định nghĩa 1.2.5. Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đa
trị F : X → 2Y . Ta nói rằng
(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y , với mọi x ∈ X .
(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y.
Định nghĩa 1.2.6. Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y là
ánh xạ đa trị. Ta nói rằng
(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y , với mọi x ∈ X .
(ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y.
(ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y.
(iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y.
Mệnh đề 1.2.7. Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh
xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó
(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở.
(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi.
(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

(1 − t)F (x) + tF (x ) ⊆ F ((1 − t)x + tx ) với mọi x, x ∈ X và t ∈ [0, 1].
Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc là
ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng.
6


Ví dụ 1.2.8. Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau

F (n) =

conv 1, 2, ..., n − 1 , nếu n ≥ 2,

{0}, nếu n=1.

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Tuy nhiên F khơng là ánh xạ
lồi.
Ví dụ 1.2.9. Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

F (x) =

[0, 1], nếu x = 0,
R, trong trường hợp còn lại.

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng. Mặt khác ta có

gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)
là tập khơng đóng trong R2 và như vậy F khơng là ánh xạ đóng.
Định nghĩa 1.2.10. Cho X, Y là các khơng gian tơpơ. Ánh xạ bao đóng
của F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của
đồ thị của ánh xạ F , tức là

gph(cl F ) = cl(gph F ).
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta
gọi ánh xạ ngược của F , ký hiệu là F −1 : Y → 2X , được xác định bởi

F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y.
Ta nói F −1 (y) là ảnh ngược của y .

1.3. Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian tôpô và hàm g : X → R. Ta
nói rằng:
(a) g nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x

¯ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn
tại một lân cận U của x
¯ sao cho

g(x) ≤ g(¯
x) + ε với mọi x ∈ U.
7


(b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x
¯ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn
tại một lân cận U của x
¯ sao cho

g(x)

g(¯
x) − ε với mọi x ∈ U.

(c) g liên tục tại x
¯ ∈ X nếu nó là usc và lsc tại x¯.
Nhận xét. Nếu X là khơng gian metric thì g là usc (tương ứng, lsc) tại

x¯ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn } hội tụ tới x¯, ta luôn có
lim sup g(xn ) ≤ g(¯
x)(tương ứng, lim inf g(xn ) ≥ g(¯
x)).
n→∞

n→∞

Điều này cũng tương đương: với mỗi α ∈ R, tập {x ∈ X : g(x) ≤ α}
(tương ứng, {x ∈ X : g(x) ≥ α}) là đóng trong X .
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian
véctơ tôpô với gốc θY và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn,
có phần trong. Ánh xạ g : X × Z → Y được gọi là
(a) C - nửa liên tục dưới (viết tắt là C - lsc) tại (¯
x, z¯) nếu với mỗi lân
cận V của θY trong Y , tồn tại một lân cận U của (¯
x, z¯) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + V + C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
(b) C - nửa liên tục trên (viết tắt là C - usc) tại (¯
x, z¯) nếu −g là C - lsc
tại (¯
x, z¯).
(c) C - liên tục tại (¯
x, z¯) nếu nó là C - usc và C - lsc tại (¯
x, z¯).
(d) C - lsc, C - usc, C - liên tục nếu nó là C - lsc, C - usc, C - liên tục tại
mọi điểm trong X × Z , tương ứng.
Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ cho tính C - lsc của ánh xạ
véctơ.
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian
véctơ tôpô, g : X × Z → Y là ánh xạ và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá
trị lồi, nhọn, có phần trong. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương:
8

(i) g là C - lsc.
(ii) Với mỗi (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x), tồn tại lân cận U của

(¯
x, z¯) sao cho
g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
(iii) Với mỗi x
¯ ∈ X và a ∈ Y , tập g −1 (a + int C(¯
x)) là mở.
Chứng minh. [(i) =⇒ (ii)] Lấy (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x). Đặt

V = −c + int C(¯
x). Khi đó V là lân cận của θY trong Y . Bởi vì g là C lsc, tồn tại một lân cận U của (¯
x, z¯) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + V + C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.

(1.1)

Bởi tính lồi của C(¯
x), nên ta có

int C(¯
x) + C(¯
x) = int C(¯
x).
Điều này và (1.1) kéo theo

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
[(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y , ta chọn (¯
x, z¯) ∈ g −1 (a + int C(¯
x)) và c =
g(¯
x, z¯) − a. Khi đó c ∈ int C(¯
x). Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của
(¯
x, z¯) sao cho
g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Điều này chứng tỏ

U ⊂ g −1 (g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x)) = g −1 (a + int C(¯
x)).
Từ đó suy ra g −1 (a + int C(¯
x)) là mở.

[(iii) =⇒ (i)] Lấy (¯
x, z¯) ∈ X × Z và V là một lân cận tùy ý của θY ∈ Y .
Bởi C(¯
x) là nón nhọn có phần trong, tồn tại c ∈ int C(¯
x) sao cho −c ∈ V .
Vì (¯
x, z¯) ∈ g −1 (g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x)) và g −1 (g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x)) là mở
nên tồn tại lân cận U của (¯
x, z¯) sao cho

U ⊂ g −1 (g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x)).
9


Do đó

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Từ đó suy ra

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + V + C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.

Vậy g là C - lsc.
Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự ta cũng thiết lập được điều
kiện cần và đủ cho ánh xạ véctơ là C - usc.
Mệnh đề 1.3.4. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian
véctơ tôpô, g : X × Z → Y là ánh xạ và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá
trị lồi, nhọn, có phần trong. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương:
(i) g là C - usc.
(ii) Với mỗi (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x), tồn tại lân cận U của

(¯
x, z¯) sao cho
g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + c − int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
(iii) Với mỗi x
¯ ∈ X và a ∈ Y , tập g −1 (a − int C(¯
x)) là mở.
Chứng minh. [(i) =⇒ (ii)] Lấy (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x). Đặt

V = c − int C(¯
x). Khi đó V là lân cận của θY trong Y . Bởi vì g là C - usc,
tồn tại một lân cận U của (¯
x, z¯) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + V − C(¯

x) với mọi (x, z) ∈ U.
Bởi tính lồi của C(¯
x), nên ta có

int C(¯
x) + C(¯
x) = int C(¯
x).
Điều này và (1.2) kéo theo

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + c − int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.

10

(1.2)


[(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y , ta chọn (¯
x, z¯) ∈ g −1 (a − int C(¯
x)) và c =
g(¯
x, z¯) − a. Khi đó −c ∈ int C(¯
x). Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U
của (¯
x, z¯) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) − c − int C(¯

x) với mọi (x, z) ∈ U.
Điều này chứng tỏ

U ⊂ g −1 (g(¯
x, z¯) − c − int C(¯
x)) = g −1 (a − int C(¯
x)).
Từ đó suy ra g −1 (a − int C(¯
x)) là mở.

[(iii) =⇒ (i)] Lấy (¯
x, z¯) ∈ X × Z và V là một lân cận tùy ý của θY ∈ Y .
Bởi C(¯
x) là nón nhọn có phần trong, tồn tại c ∈ − int C(¯
x) sao cho c ∈ V .
Vì (¯
x, z¯) ∈ g −1 (g(¯
x, z¯) + c − int C(¯
x)) và g −1 (g(¯
x, z¯) + c − int C(¯
x)) là mở
nên tồn tại lân cận U của (¯
x, z¯) sao cho

U ⊂ g −1 (g(¯
x, z¯) + c − int C(¯
x)).
Do đó

g(x, z) ∈ g(¯

x, z¯) + c − int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Từ đó suy ra

g(x, z) ∈ g(¯
x, z¯) + V − C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Vậy g là C - usc.
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian
véctơ tôpô với gốc θY , C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có
phần trong và f và g là hai ánh xạ từ X × Z vào Y . Khi đó
(i) Nếu f là C - lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục) thì tf là C - lsc
(tương ứng, C - usc, C - liên tục) với mọi t > 0.
(ii) Nếu f, g là C - lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục) thì f + g là C lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục).

11


Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tính C - lsc. Các trường hợp còn
lại chứng minh tương tự.
(i) Giả sử f là C - lsc. Với mỗi t > 0, (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x), tồn
tại lân cận mở U của (¯
x, z¯) sao cho

f (x, z) ∈ f (¯
x, z¯) −

c 1

+ int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
t t

Từ đó suy ra

tf (x, z) ∈ tf (¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Vậy tf là C - lsc.
(ii) Giả sử f và g là C - lsc. Với mỗi (¯
x, z¯) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯
x), tồn
tại hai lân cận mở U1 và U2 của (¯
x, z¯) sao cho

1
f (x, z) ∈ f (¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U1
2
và

1
x) với mọi (x , z ) ∈ U2 .
g(x , z ) ∈ g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
2
Đặt U := U1 ∩ U2 . Khi đó U là lân cận mở của (¯
x, z¯). Hơn nữa, ta có

(f + g)(x, z) = f (x, z) + g(x, z)
∈ f (¯
x, z¯) + g(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x)
= (f + g)(¯
x, z¯) − c + int C(¯
x) với mọi (x, z) ∈ U.
Vì vậy, f + g là C - lsc.
Định nghĩa 1.3.6. Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ

F : X → 2Y được gọi là
(a) nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x
¯ nếu với mỗi tập mở U chứa

F (¯
x), tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (N ) ⊂ U .
(b) nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x
¯ nếu với mỗi tập mở U trong

Y thỏa mãn F (¯
x) ∩ U = ∅, tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (x) ∩ U = ∅
với mọi x ∈ N .
12


(c) liên tục tại x
¯ nếu nó là usc và lsc tại x¯.
(d) nửa liên tục trên Hausdorff (viết tắt là H - usc) tại x
¯ nếu với mỗi

r > 0, tồn tại một lân cận N của x¯ sao cho F (x) ⊂ F (¯
x) + B(θY , r) với
mọi x ∈ N , trong đó B(θY , r) là hình cầu mở tâm θY với bán kính r.
(e) nửa liên tục dưới Hausdorff (viết tắt là H - lsc) tại x
¯ nếu với mỗi

r > 0, tồn tại một lân cận N của x¯ sao cho F (¯
x) ⊂ F (x) + B(θY , r) với
mọi x ∈ N .
(f) liên tục Hausdorff (viết tắt H - liên tục) tại x
¯ nếu nó là H - usc và

H - lsc tại x¯.
Mệnh đề 1.3.7. ([8]) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và ánh
xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó
(i) Nếu F (¯
x) compact thì F là usc tại x¯ khi và chỉ khi với mỗi dãy

{xn } ⊂ X hội tụ đến x¯ và yn ∈ F (xn ), tồn tại dãy con {ynk } hội tụ đến
y¯ ∈ F (¯
x).
(ii) F là lsc tại x
¯ khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn } ⊂ X hội tụ đến x¯ và

y¯ ∈ F (¯
x), tồn tại dãy {yn } , yn ∈ F (xn ) sao cho yn −→ y¯.
(iii) Nếu F là usc (tương ứng, lsc, H - usc, H - lsc) tại x
¯ thì αF là usc
(tương ứng, lsc, H - usc, H - lsc) tại x

¯ với mọi α ∈ R.
(iv) Nếu F là usc thì F là H - usc.
(v) Nếu F là usc và nhận giá trị đóng thì F là đóng, tức là đồ thị

gphF := {(x, y) : y ∈ F (x)} là tập đóng.

1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài tốn tựa cân bằng
véctơ
Giả sử Y, M là các không gian véctơ tôpô thực, X là không gian véctơ
tôpô Hausdorff thực và A, P là các tập con khơng rỗng, đóng của X, M ,
tương ứng. Xét các ánh xạ đa trị K : A → 2A , T : A → 2P và C : A → 2Y
với giá trị nón khơng tầm thường, nhọn, lồi và đóng. Với ánh xạ mục tiêu
13


f : A × A × P → Y , xét bài tốn tựa cân bằng véctơ với nón di động sau:
(QEP ): Tìm x¯ ∈ K(¯
x) và t¯ ∈ T (¯
x) sao cho
f (¯
x, y, t¯) ∈ Y \ − int C(¯
x) với mọi y ∈ K(¯
x).
Định nghĩa 1.4.1. Cho M, A, P, C, T và f như trong bài toán (QEP ).
Với x ∈ A, ánh xạ f được gọi là tựa lõm 0- bậc đối với T (x) nếu với mỗi
tập con hữu hạn {y1 , y2 , ..., yn } ⊆ A và αi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n thỏa mãn
n
i=1 αi

= 1, luôn tồn tại t ∈ T (x) sao cho

n

f (T (x), yi , x) ⊆ − int C(x), i = 1, 2, ..., n =⇒ f (t,

αi yi , x) ∈ − int C(x).
i=1

Định nghĩa 1.4.2. Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A là tập con không
rỗng của X . Ánh xạ H : A → 2X được gọi là KKM nếu với mỗi tập con
hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ A, ta luôn có
n

conv{x1 , x2 , ..., xn } ⊆

H(xi ).
i=1

Định lý 1.4.3. ([7]) Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A là tập con không
rỗng của X và H : A → 2X là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Khi đó nếu
tồn tại tập X0 chứa trong tập con lồi, compact của A sao cho
là compact thì

x∈A H(x)

x∈X0

H(x)

= ∅.

Định lý 1.4.4. ([11]) Cho X là không gian véctơ tôpô Hausdorff, A là tập
con không rỗng lồi của X và ϕ : A → 2A là ánh xạ với giá trị không rỗng
lồi. Hơn nữa, giả sử các điều kiện sau thỏa mãn
(i) Với mỗi x ∈ A, ϕ−1 (x) là mở trong A;
(ii) Tồn tại tập con không rỗng X0 chứa trong tập con lồi, compact của

A sao cho A\

y∈X0

ϕ−1 (y) là compact hoặc rỗng.

Khi đó tồn tại x
¯ ∈ A sao cho x¯ ∈ ϕ(¯
x).

14


Tiếp theo chúng tơi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm
của bài toán tựa cân bằng véctơ (QEP ) với nón di động.
Định lý 1.4.5. Giả sử tồn tại ánh xạ g : T (A) × A × A −→ Y sao cho:
(i) Với mỗi x, y ∈ A, nếu g(T (x), y, x) ⊆ − int C(x) thì

f (T (x), y, x) ⊆ − int C(x);
(ii) Hàm g(., ., x) là tựa lõm 0- bậc đối với T (x) và g(t, x, x) ∈
/ − int C(x)
với mọi x ∈ A và t ∈ T (x);
(iii) Với mỗi y ∈ A, tập {x ∈ A : f (T (x), y, x) ⊆ − int C(x)} là đóng;
(iv) A∩K(x) = ∅ với mọi x ∈ A, K −1 (y) được mở trong A với mọi y ∈ A

và cl K(.) là usc;
(v) Tồn tại tập con không rỗng, compact D của A và tập con X0 của
tập con lồi, compact của A sao cho với mỗi x ∈ A\D, tồn tại yx ∈

X0 ∩ K(x) thỏa mãn f (T (x), yx , x) ⊆ − int C(x).
Khi đó bài tốn tựa cân bằng (QEP) có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi x, y ∈ A và i = 1, 2, ta đặt

P1 (x) := {z ∈ A : f (T (x), z, x) ⊆ − int C(x)} ,
P2 (x) := {z ∈ A : g(T (x), z, x) ⊆ − int C(x)} ,
K(x) ∩ Pi (x), nếu x ∈ E,
Φi (x) :=
A ∩ K(x), nếu x ∈ A\E,
Qi (y) := A\Φ−1
i (y),
ở đây E := {x ∈ A : x ∈ cl K(x)}. Bởi giả thiết (ii), ta suy ra x ∈
/ P2 (x)
và y ∈ Q2 (y) với mọi x, y ∈ A. Ta chứng minh Q2 (.) là ánh xạ KKM .
Thật vậy, giả sử tồn tại tổ hợp lồi x
ˆ :=

n
j=1 αj yj

n

xˆ ∈
/

Q2 (yi ).

j=1

15

trong A sao cho


Khi đó x
ˆ∈
/ Q2 (yi ) với mọi j = 1, 2..., n. Điều này có nghĩa là yj ∈ ϕ2 (ˆ
x)
với mọi j = 1, 2..., n. Nếu x
ˆ ∈ E , thì yj ∈ P2 (ˆ
x) với mọi j = 1, 2..., n. Từ
đó suy ra

g(T (ˆ
x), yj , xˆ) ⊆ − int C(x), với mọi j = 1, ..., n.
Do tính tựa lõm 0- bậc của g(., ., x
ˆ) đối với T (ˆ
x) nên tồn tại tˆ ∈ T (ˆ
x) sao
cho g(tˆ, x
ˆ, xˆ) ∈ − int C(ˆ
x). Điều này mâu thuẫn với (ii). Nếu xˆ ∈ A\E
thì yj ∈ ϕ2 (ˆ
x) = A ∩ K(ˆ
x), j = 1, ..., n. Vì vậy xˆ ∈ A ∩ K(ˆ
x). Điều
này mâu thuẫn với x

ˆ ∈ A\E . Vậy Q2 là ánh xạ KKM . Theo (i) ta có

P1 (x) ⊆ P2 (x) với mọi x ∈ A. Từ đó suy ra ϕ1 (x) ⊆ ϕ2 (x) với mọi x ∈ A.
Do đó, Q2 (y) ⊆ Q1 (y) với mọi y ∈ A. Từ đó kéo theo Q1 (.) là ánh xạ

KKM .
Mặt khác, ta lại có

Φ−1
1 (y) = {x ∈ E : y ∈ K(x) ∩ P1 (x)} ∪ {x ∈ A\E : y ∈ K(x)}
= {x ∈ E : y ∈ K −1 (y) ∩ P1−1 (y)} ∪ {x ∈ A\E : x ∈ K −1 (y)}
= E ∩ K −1 (y) ∩ P1−1 (y) ∪ (A\E) ∩ K −1 (y)
= [(A\E) ∪ P1−1 (y)] ∩ K −1 (y).
Từ đó suy ra

Q1 (y) = A\ [(A\E) ∪ P1−1 (y)] ∩ K −1 (y)
= A\[(A\E) ∪ P1−1 (y)] ∪ [A\K −1 (y)]
= E ∩ (A\P1−1 (y)) ∪ (A\K −1 (y)).
Vì A ∩ K(x) = ∅ với mọi x ∈ A, nên

y∈A K

−1

(1.3)

(y) = A. Mặt khác, theo

giả thiết (v), ta có

K −1 (x) ⊆ A.

A\D ⊆
x∈X0

Do đó A\

x∈X0

K −1 (x) là tập con compact của D, tức là (ii) của Định

lý 1.4.4 được thỏa mãn. Theo Định lý 1.4.4, K(.) có điểm bất động trong
16


A. Do đó E = ∅. Vì cl K(.) là usc và có giá trị đóng nên cl K(.) là ánh xạ
đóng. Do đó, E là đóng. Hơn nữa, ta có

A\P1−1 (y) = {x ∈ A : y ∈
/ P1 (x)}
= {x ∈ A : f (T (x), y, x) ⊆ − int C(x)}
là tập đóng bởi (iii). Từ (1.3) ta suy ra Q1 (y) đóng. Bởi giả thiết (v), với
mỗi x ∈ A\D, tồn tại yx ∈ X0 sao cho yx ∈ Φ1 (x). Vì vậy

Φ−1
1 (x) ⊆ A.

A\D ⊆
x∈X0

Φ−1
1 (x) ⊆ D . Điều này kéo theo

A\Φ−1
1 (x) ⊆ D .

Do đó, A\

x∈X0

Do đó

Q1 (x) là tập compact. Áp dụng Định lý 1.4.3, tồn tại x¯ ∈ A

x∈X0

x∈X0

sao cho

x¯ ∈

Φ−1
1 (y).

Q1 (y) = A\
y∈A

y∈A

Vì vậy, x
¯ ∈
/ Φ−1
x) = ∅.
1 (y) với mọi y ∈ A. Điều này có nghĩa là Φ1 (¯
Nếu x
¯ ∈ A\E thì ∅ = Φ1 (¯
x) = A ∩ K(¯
x), điều này mâu thuẫn với (iv).
Nếu x
¯ ∈ E thì ∅ = Φ1 (¯
x) = K(¯
x) ∩ P1 (¯
x). Do vậy y ∈
/ P1 (¯
x) với mọi

y ∈ K(¯
x). Từ đó suy ra f (T (¯
x), y, x¯) ⊆ − int C(¯
x) với mọi y ∈ K(¯
x).
Vậy x
¯ là nghiệm của bài toán tựa cân bằng (QEP).
Định lý 1.4.6. Giả sử các giả thiết (iv) và (v) của Định lý 1.4.5 thỏa
mãn. Hơn nữa, giả sử các điều kiện sau thỏa mãn
(ii’) Hàm f (., ., x) là tựa lõm 0- bậc đối với T (x) và f (t, x, x) ∈
/ − int C(x)
với mọi x ∈ A và t ∈ T (x);
(iii’) Nếu x, y ∈ A, xα → x, xα ∈ A và tα ∈ T (xα ) thì tồn tại t ∈

T (x), u ∈ C(x) + f (t, y, x) và các dãy con {xβ } và {tβ } của các dãy
{xα } và {tα } với tβ ∈ T (xβ ) sao cho f (tβ , y, xβ ) → u;
(vi) Y \ − int C(.) là ánh xạ đóng.
Khi đó bài tốn tựa cân bằng (QEP ) có nghiệm.
17


Chứng minh. Với mỗi x, y ∈ A, ta đặt

P1 (x) := {z ∈ A : f (T (x), z, x) ⊆ − int C(x)} ,
K(x) ∩ P1 (x), nếu x ∈ E,
Φ1 (x) :=
A ∩ K(x), nếu x ∈ A\E,
Q1 (y) := A\Φ−1
1 (y),
ở đây E := {x ∈ A : x ∈ cl K(x)}. Chứng minh hoàn toàn tương tự như
Định lý 1.4.5, E là tập không rỗng và đóng. Ta chứng minh A\P1−1 (y) là
đóng. Thật vậy, lấy xα ∈ A\P1−1 (y) và xα → x. Khi đó y ∈
/ P1 (xα ) với
mọi α. Điều này có nghĩa là, tồn tại tα ∈ T (xα ) sao cho f (tα , y, xα ) ∈
/

− int C(xα ). Bởi giả thiết (iii’), tồn tại t ∈ T (x), u ∈ C(x) + f (t, y, x) và
các dãy con {xβ } và {tβ } của các dãy {xα } và {tα } với tβ ∈ T (xβ ) sao cho

f (tβ , y, xβ ) → u. Bởi (iv) suy ra u ∈ Y \ − int C(x). Điều này kéo theo
f (t, y, x) = u + (f (t, y, x) − u)
∈ Y \ − int C(x) − C(x)
= Y \ − int C(x).

Từ đó suy ra y ∈
/ P1 (x). Do đó x ∈ A\P1−1 (y). Vậy A\P1−1 (y) là đóng.
Mặt khác từ (1.3) ta suy ra Q1 (y) bị đóng, với mọi y ∈ A. Chứng minh
tương tự như Định lý 1.4.5, ta có

x∈X0

Q1 (x) là compact. Tiếp theo ta

chứng minh Q1 (.) là ánh xạ KKM . Thật vậy, giả sử tồn tại tổ hợp lồi

xˆ :=

n
j=1 αj yj

trong A sao cho
n

xˆ ∈
/

Q1 (yi ).
j=1

Khi đó x
ˆ∈
/ Q1 (yi ) với mọi j = 1, 2..., n. Điều này có nghĩa là yj ∈ Φ1 (ˆ
x)
với mọi j = 1, 2..., n. Nếu x

ˆ ∈ E , thì yj ∈ P1 (ˆ
x) với mọi j = 1, 2..., n. Từ
đó suy ra

f (T (ˆ
x), yj , xˆ) ⊆ − int C(ˆ
x), với mọi j = 1, ..., n.
Do tính tựa lõm 0- bậc của f (., ., x
ˆ) đối với T (ˆ
x) nên tồn tại tˆ ∈ T (ˆ
x) sao
cho f (tˆ, x
ˆ, xˆ) ∈ − int C(ˆ
x). Điều này mâu thuẫn với (ii). Nếu xˆ ∈ A\E
18