Điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ giãn suy rộng trong không gian g mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THƯ TRÚC

TÍNH CHẤT SƠ KHẢ VI CỦA ÁNH XẠ ĐA
TRỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2018


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THƯ TRÚC

TÍNH CHẤT SƠ KHẢ VI CỦA ÁNH XẠ ĐA
TRỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 8 46 01 02

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG

NGHỆ AN - 2018


3

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Thị Quỳnh Trang. Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và về sự hướng dẫn tận tình của Cơ.
Tơi cũng xin được cảm ơn quý Thầy Cô trong Bộ môn giải tích, Trường Đại
học Vinh đã giảng dạy và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên
cứu. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới trường Đại học Sư phạm kĩ
thuật Vĩnh Long đã tạo điều kiện cho tôi được học tập , cảm ơn tập thể lớp
Cao học Tốn K24 chun ngành Tốn giải tích, đã giúp đỡ và động viên tơi
trong suốt q trình học tập cũng như hồn thành luận văn này. Tơi cũng
xin cảm ơn tới Sở GD và ĐT tỉnh Vĩnh Long, Ban giám hiệu cũng như các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tơi học tập và hồn thành kế hoạch học
tập. Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do hạn chế về mặt kiến thức, trình độ
ngoại ngữ và đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu nên luận văn chắc chắn sẽ
khơng tránh khỏi thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của quý Thầy, Cơ và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Vĩnh Long, tháng 6 năm 2018
Ngô Thị Thư Trúc


4

Mục lục

Lời cám ơn

3

Mở đầu

5

1 Ánh xạ đa trị sơ khả vi

9

1.1

Sơ đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Tính sơ khả vi và các tính khả vi suy rộng . . . . . . . . . . .

15

2 Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz và ứng dụng
2.1

Sơ đạo hàm và tính giả Lipschitz

. . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài toán
tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận
Tài liệu tham khảo

19
19

27
38
40


5

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Dáng điệu nghiệm của bài toán tối ưu khi tham số đầu vào thay đổi là
đối tượng nghiên cứu quan trọng của tối ưu hóa và giải tích biến phân. Sự
phụ thuộc vào tham số của tập nghiệm tối ưu và tập nghiệm chấp nhận được
cũng như tập điểm dừng có mơ hình tốn học là các ánh xạ đa trị. Để khảo
sát những đối tượng này, vi phân cổ điển khơng cịn thích hợp, người ta cần
đến vi phân suy rộng. Trong những năm qua, nhiều khái niệm vi phân suy
rộng cho các ánh xạ đa trị đã được giới thiệu và nghiên cứu. Năm 1980,
Mordukhovich đưa ra khái niệm đối đạo hàm của ánh xạ đa trị và sử dụng
nó để thiết lập các điều kiện cần cực trị cho một lớp bài tốn điều khiển tối

ưu. Đối đạo hàm sau đó được dùng để nghiên cứu tính chất ổn định của bài
tốn tối ưu, hệ biến phân và các phương trình suy rộng. Các kết quả cơ bản
theo hướng nghiên cứu này có thể tìm thấy trong các tài liệu [5] và [9]. Năm
1981, Aubin đề xuất khái niệm đạo hàm cho ánh xạ đa trị và áp dụng công cụ
này vào khảo sát tính ổn định của một số lớp bài toán tối ưu và bài toán cân
bằng. Đạo hàm của một ánh xạ đa trị tại một điểm thuộc đồ thị là ánh xạ
đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đã cho tại điểm được xét.
Tùy theo loại nón tiếp tuyến được sử dụng chúng ta có các loại đạo hàm khác
nhau: đạo hàm đồ thị nếu nón được dùng là nón tiếp tuyến Bouligand, đạo
hàm trung gian nếu nón được dùng là nón tiếp tuyến trung gian, đạo hàm
Clarke nếu nón được dùng là nón tiếp tuyến Clarke. Những kết quả cơ bản về


6

đạo hàm của ánh xạ đa trị đã được trình bày trong các tài liệu [1], [3] và [10].
Năm 1989, Rockafellar [9] đã nghiên cứu tình huống khi một số loại đạo hàm
là trùng nhau, đề xuất các khái niệm khả vi mới, đồng thời xem xét các ứng
dụng vào tối ưu hóa. Một ánh xạ đa trị được gọi là sơ khả vi nếu đạo hàm
đồ thị trùng với đạo hàm trung gian, trong khi một ánh xạ đa trị được gọi là
sơ khả vi chặt nếu đạo hàm đồ thị trùng với đạo hàm Clarke (xem [9],[10]).
Poliquin và Rockafellar [6] dùng sơ đạo hàm để thiết lập các điều kiện tối ưu,
phân tích độ nhạy nghiệm của bài toán tối ưu phụ thuộc tham số. Hướng này
gần đây được một số nhà toán học tiếp tục nghiên cứu (xem [2],[4]). Tính sơ
khả vi đã được thiết lập cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến của miền ràng buộc
của bài toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc
mạnh (xem [6],[7],[10]). Vấn đề này cho quy hoạch phi tuyến chỉ thỏa mãn
chuẩn hóa ràng buộc yếu đang cần được khảo sát thêm. Kết quả theo hướng
này có thể sử dụng để thiết lập điều kiện cực trị cần và đủ bậc hai, mở rộng
lớp bài tốn tối ưu được khảo sát (xem [10]). Vì vậy tìm hiểu bản chất, vai

trị của tính sơ khả vi cũng như mối quan hệ của tính sơ khả vi với các tính
chất chính quy khác là một vấn đề cần thiết và hữu ích. Đó là lý do chúng tơi
chọn đề tài nghiên cứu là “Tính chất sơ khả vi của ánh xạ đa trị và ứng dụng”.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Phân tích, tổng hợp và trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống về
tính chất sơ khả vi, mối quan hệ giữa sơ đạo hàm với một số khái niệm vi
phân suy rộng khác và ứng dụng của sơ đạo hàm trong tối ưu.

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Luận văn này nghiên cứu các vấn đề sau đây:
- Tính sơ khả vi của ánh xạ đa trị.


7

- Mối liên hệ giữa tính sơ khả vi với tính chất liên tục và các tính khả vi suy
rộng khác.
- Dùng tính sơ khả vi để nghiên cứu tính chất giả Lipschitz.
- Vận dụng các mối liên hệ trên vào đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ
nghiệm của bài toán tối ưu.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu về khái niệm và tính chất của sơ đạo hàm
- Nghiên cứu về mối quan hệ giữa tính chất sơ khả vi với tính liên tục, với
tính khả vi, tính nửa khả vi
- Nghiên cứu về mối quan hệ giữa tính sơ khả vi và tính chất giả Lipschitz
- Nghiên cứu về việc dùng sơ đạo hàm để đặc trưng tính giả Lipschitz của
ánh xạ nghiệm của bài tốn tối ưu
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Dùng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích, giải tích hàm
- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết,nghiên cứu các tài liệu để
vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề đặt ra.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Chương 1. Ánh xạ đa trị sơ khả vi
Nội dung chương này là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống về khái
niệm và tính chất của sơ đạo hàm, cũng như mối quan hệ giữa tính chất sơ
khả vi với tính liên tục, với tính khả vi, tính nửa khả vi.
1.1.Sơ đạo hàm
Mục này dành để trình bày tính chất sơ khả vi và liên hệ với một số vi phân
suy rộng. Đồng thời chúng tôi cũng nhắc lại một số khái niệm và tính chất
cơ bản trong giải tích đa trị, giải tích biến phân cần dùng về sau (xem [1],
[5], [9], [10]).
1.2.Tính sơ khả vi và các tính khả vi suy rộng
Mục này sẽ trình bày mối liên hệ giữa tính sơ khả vi với tính liên tục, tính


8

khả vi và tính nửa khả vi.
Chương 2. Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz và ứng dụng
Chương này trình bày mối quan hệ giữa tính sơ khả vi và các tính chất kiểu
Lipschitz của ánh xạ đa trị. Các kết quả này, sau đó được ứng dụng để đặc
trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài toán tối ưu thông qua sơ
đạo hàm (xem [9]).
2.1. Sơ đạo hàm và tính giả Lipschitz
Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự liên hệ giữa tính sơ
khả vi với một số tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ đa trị.
2.2. Đặc trưng tính Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài tốn tối ưu Trong
mục này, trình bày ứng dụng các kết quả thu được ở trên vào nghiên cứu

tính chất sơ khả vi và tính chất giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài tốn tối
ưu, tính sơ khả vi của ánh xạ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân.


9

Chương 1

Ánh xạ đa trị sơ khả vi
Nội dung chương này là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống về khái
niệm và tính chất của sơ đạo hàm, cũng như mối quan hệ giữa tính chất sơ
khả vi với tính liên tục, với tính khả vi, tính nửa khả vi.

1.1

Sơ đạo hàm

Mục này dành để trình bày tính chất sơ khả vi và liên hệ với một số vi phân
suy rộng. Đồng thời chúng tôi cũng nhắc lại một số khái niệm và tính chất
cơ bản trong giải tích đa trị, giải tích biến phân cần dùng về sau (xem [1],
[5], [9], [10]).
1.1.1 Định nghĩa ([1],[9]). Cho {St }t là họ tập hợp phụ thuộc vào tham số

t ∈ M, M là không gian mêtric, St ⊂ Rn với mọi t.
(i) Tập hợp
lim sup St := {ω ∈ Rn | lim inf d(ω, St ) = 0},
t→t¯

t→t¯

(1.1)

được gọi là giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ {St }t khi t → t¯.
Trong đó d(ω, S) := inf{ ω − x : x ∈ S}.

(ii) Tập hợp
lim inf St := {ω ∈ Rn | lim d(ω, St ) = 0},
t→t¯

t→t¯

(1.2)

được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ {St }t khi t → t¯.


10

(iii) Họ St được gọi là hội tụ về tập S ⊂ Rn khi t → t¯, và viết
S = lim St ,
t→t¯

(1.3)

nếu S = lim sup St = lim inf St .
t→t¯

t→t¯

1.1.2 Nhận xét ([1]). (i) Do (1.1), ω ∈ lim sup St khi và chỉ khi tồn tại dãy

t→t¯

k

{t }k∈N

⊂ M, t → t¯ sao cho lim d(ω, Stk ) = 0.
k

k→∞

Do (1.2), ω ∈ lim inf St khi và chỉ khi với mọi dãy {tk }k∈N ⊂ M, tk → t¯
t→t¯

sao cho lim d(ω, Stk ) = 0.
k→∞

(ii) Ta có S = lim St là tập đóng sao cho với bất kì ρ > 0 lớn tùy ý và
t→t¯

ε > 0 bé tùy ý, tồn tại τ > 0 sao cho
St ∩ ρB ⊂ S + εB và S ∩ ρB ⊂ St + εB khi t ∈ (0, τ ).

(1.4)

Trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong khơng gian Euclide định chuẩn.
Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm . Đồ thị của F, kí hiệu gphF, là tập

gphF = {(x, y) ∈ Rn × Rm |y ∈ F (x)}.
Miền hữu hiệu của F, kí hiệu domF, là

domF = {x ∈ Rn |F (x) = ∅}.
Miền ảnh của F, kí hiệu rgeF

rgeF = {y ∈ Rm |∃x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)}.
Ánh xạ ngược của F, kí hiệu F −1 , được xác định bởi

x ∈ F −1 (y) ⇔ y ∈ F (x).
Ta ln có

rgeF = domF −1 và domF = rgeF −1 .
Ta nói rằng ánh xạ F có đồ thị đóng nếu gphF là tập con đóng của Rn × Rm .
Ánh xạ F có đồ thị đóng khi và chỉ khi F −1 có đồ thị đóng.


11

1.1.3 Định nghĩa ([1]). Cho tập M ⊂ Rn và điểm x
¯ ∈ M.

(i) Nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x¯, ký hiệu TM (¯
x), là tập xác định
bởi

TM (¯
x) = lim sup
t→0+

M − x¯
.

t

b
(ii) Nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của M tại x¯, ký hiệu TM
(¯
x),

là tập hợp những véctơ v ∈ Rn thỏa mãn

lim+

t→0

d(¯
x + tv, M )
= 0.
t

(iii) Nón tiếp tuyến Clarke của M tại x¯, ký hiệu CM (¯
x), là tập hợp những
véctơ v ∈ Rn thỏa mãn

lim
M
+
t→0 , x−
→x¯

d(x + tv, M )
= 0.

t

b
(¯
x) là tập xác định
1.1.4 Nhận xét ([1]). (i) Nón tiếp tuyến trung gian TM

bởi

M − x¯
.
t→0
t
(ii) Nón tiếp tuyến Clarke CM (¯
x) là tập xác định bởi
b
TM
(¯
x) = lim inf
+

CM (¯
x) =

lim inf
M
t→0+ , x−
→x¯

M −x

,
t

M

ở đây x −
→ x¯ có nghĩa là x → x¯ với x ∈ M .
b
(¯
x) nếu tồn tại ξ : [0, ε] → M,
1.1.5 Chú ý ([10]). Véctơ v thuộc tập TM

ε > 0, thỏa mãn
ξ(0) = x¯, và ξ+ (0) = v.
1.1.6 Bổ đề ([1]). Ta có
b
(i) CM (¯
x) ⊂ TM
(¯
x) ⊂ TM (¯
x).

(ii)
TM (¯
x) = {v ∈ Rn |∃tk ↓ 0, ∃{v k } ⊂ Rn : v k → v,
x¯ + tk v k ∈ M, ∀k ∈ N}.


12

(iii)
b
TM
(¯
x) = {v ∈ Rn |∀tk ↓ 0, ∃{v k } ⊂ Rn : v k → v,

x¯ + tk v k ∈ M, ∀k ∈ N}.
(iv)
CM (¯
x) = {v ∈ Rn |∀tk ↓ 0, ∀{xk } ⊂ M, xk → x¯,
∃{v k } ⊂ Rn : v k → v, xk + tk v k ∈ M, ∀k ∈ N}.
1.1.7 Định nghĩa ([1]). (i) Ta nói M là có tính chất khả vi tại x
¯ ∈ M nếu
b
TM
(¯
x) = TM (¯
x).

(ii) Ta nói M là chính quy tiếp tuyến tại x¯ ∈ M nếu
CM (¯
x) = TM (¯
x).
1.1.8 Nhận xét ([1]). Nếu M ⊂ Rn là tập lồi và x
¯ ∈ M, thì các nón tiếp
tuyến nói trên là bằng nhau và bằng nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi
b
CM (¯
x) = TM
(¯

x) = TM (¯
x) = cone(M − x¯).

1.1.9 Định nghĩa ([1]). (i) Đạo hàm contingent hay đạo hàm Bouligand,

DFz¯(·) : Rn ⇒ Rm của F tại điểm z¯ = (¯
x, y¯) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ
thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand TgphF (¯
z ), tức là

DFz¯(u) = v ∈ Rm : (u, v) ∈ TgphF (¯
z ) ∀u ∈ Rn .
(ii) Đạo hàm kề Db Fz¯(·) : Rn ⇒ Rm của F tại điểm z¯ = (¯
x, y¯) ∈ gphF là
b
ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung gian TgphF
(¯
z ),

tức là
b
Db Fz¯(u) = v ∈ Rm : (u, v) ∈ TgphF
(¯
z ) ∀u ∈ Rn .

(iii) Đạo hàm Clarke CFz¯(·) : Rn ⇒ Rm của F tại điểm z¯ = (¯
x, y¯) ∈ gphF
là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke CgphF (¯
z ), tức
là

CFz¯(u) = v ∈ Rm : (u, v) ∈ CgphF (¯
z ) ∀u ∈ Rn .


13

1.1.10 Định nghĩa ([9]). Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trị, x
¯ ∈ domF,
và y¯ ∈ F (x). Cho Dt : Rn ⇒ Rm xác định bởi

Dt (ω) =

F (¯
x + tω) − y¯
, t > 0.
t

(1.5)

Ta nói rằng F là sơ khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯ nếu tồn tại một ánh xạ đa trị

D : Rn ⇒ Rm sao cho Dt hội tụ theo đồ thị về D, nghĩa là tập St = gphDt
hội tụ trong Rn × Rm về tập S = gphD khi t ↓ 0. Trong trường hợp này ta
gọi D là sơ đạo hàm của F tại x
¯ tương ứng với y¯, và kí hiệu D = Fx¯,¯y .
1.1.11 Mệnh đề ([9]). Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm là sơ khả vi tại x
¯ tương
ứng với y¯ ∈ F (¯

x) nếu và chỉ nếu tập gphF có tính chất khả vi tại (¯
x, y¯). Khi
đó
b
gphFx¯,¯y = TgphF (¯
x, y¯) = TgphF
(¯
x, y¯).

1.1.12 Mệnh đề ([9]). Giả sử F có sơ đạo hàm tại x
¯ tương ứng với y¯ là

Fx¯,¯y . Khi đó với mỗi ω ∈ Rn ta có
Fx¯,¯y (ω) = lim sup
ω →ω

F (¯
x + tω ) − y¯
t

(1.6)

t↓0

và

Fx¯,¯y (ω) = ξ| Với u : [0, τ ) → Rn mà u(0) = x¯,
u+ (0) = ω, có thể chọn v(t) ∈ F u(t)

(1.7)

∀t ∈ [0, τ ) sao cho v(0) = y¯, v+ (0) = ξ .
Ngược lại, nếu với mỗi ω ∈ Rn , tập được xác định bởi vế phải của (1.6) trùng
với tập được xác định bởi vế phải của (1.7), thì sơ đạo hàm Fx¯,¯y tồn tại.
1.1.13 Mệnh đề ([9]). Cho F : Rn ⇒ Rm là sơ khả vi tại x
¯ tương ứng với

y¯, y¯ ∈ F (¯
x). Khi đó sơ đạo hàm Fx¯,¯y : Rn ⇒ Rm có đồ thị đóng và thỏa mãn
0 ∈ Fx¯,¯y , Fx¯,¯y (λω) = λFx¯,¯y (ω) ∀λ ∈ Rn , λ > 0.


14

Hơn nữa Fx¯,¯y là một nón đóng chứa nón tiếp tuyến Bouligand của F (¯
x) tại

y¯, và vì vậy nó chứa nhiều hơn phần tử 0 khi y¯ không là điểm cô lập của
F (¯
x).
Ảnh của tập U qua ánh xạ đa trị F là tập

F (U ) :=

F (x).
x∈U

Mệnh đề sau đây cho chúng ta một đặc trưng của tính sơ khả vi.
1.1.14 Mệnh đề ([9]). Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm , x
¯ ∈ domF,

y¯ ∈ F (¯
x). Điều kiện cần và đủ dể F sơ khả vi tại x¯ tương ứng với y¯ là tồn
tại ánh xạ đa trị có đồ thị đóng D : Rn ⇒ Rm sao cho với mỗi ε > 0 và

ρ > 0 có thể tìm được τ > 0 để
Dt (ω) ∩ ρB ⊂ D(ω + εB) + εB, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ),

(1.8)

D(ω) ∩ ρB ⊂ Dt (ω + εB) + εB, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ).

(1.9)

Chứng minh. Đặt St := gphDt và S := gphD. Ta có St → S khi và chỉ khi

S đóng và với mỗi ε > 0 và ρ > 0 tồn tại τ > 0 sao cho
St ∩ ρ(B × B) ⊂ S + ε(B × B) và S ∩ ρ(B × B) ⊂ St + ε(B × B). (1.10)
Đây chính là trường hợp riêng của bao hàm thức (1.4) trong khơng gian
Rn × Rm . Từ (1.10) dẫn đến (1.8) và (1.9).
1.1.15 Định nghĩa ([9]). Cho ánh xạ F : Rn ⇒ Rm , x
¯ ∈ domF, y¯ ∈ F (¯
x).
Ta nói rằng F là sơ khả vi chặt tại x
¯ tương ứng với y¯ nếu nó là sơ khả vi và
thỏa mãn tính chất sau đây: với bất kì ω ∈ domFx¯,¯y và ξ ∈ Fx¯,¯y (ω), tồn tại

ε > 0 và τ > 0 sao cho với mỗi x ∈ domF mà |x − x¯| ≤ ε và y ∈ F (x) mà
|y − y¯| ≤ ε (nếu có), và với mỗi t ∈ [0, τ ), có thể chọn u(t, x, y) ∈ domF và

15

v(t, x, y) ∈ F u(t, x, y) sao cho
u(0, x, y) = x và v(0, x, y) = y,
u(t, x, y) − u(0, x, y)
= ω,
lim
(x,y)→(¯
x,¯
y)
t
t↓0

v(t, x, y) − v(0, x, y)
= ξ.
(x,y)→(¯
x,¯
y)
t
lim
t↓0

Kết quả sau đây cho chúng ta một cách kiểm tra tính sơ khả vi chặt của
các hàm đa trị (và do đó, tính sơ khả vi) bằng tiêu chuẩn chính quy tiếp
tuyến cho đồ thị của chúng.
1.1.16 Mệnh đề ([9]). Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm là sơ khả vi chặt tại

x¯ tương ứng với y¯, y¯ ∈ F (¯
x) nếu và chỉ nếu đồ thị của F là chính quy tiếp

tuyến tại (¯
x, y¯).

1.2

Tính sơ khả vi và các tính khả vi suy rộng

Để làm rõ hơn ý nghĩa của sơ đạo hàm, trong mục này sẽ trình bày mối
liên hệ giữa tính sơ khả vi với tính liên tục, tính khả vi và tính nửa khả vi.
1.2.1 Định nghĩa ([9]). Cho F : Rn ⇒ Rm và x
¯ ∈ domF, y¯ ∈ F (¯
x). Ta nói

F là nửa khả vi tại x¯ tương ứng với y¯ nếu có một ánh xạ đa trị D : Rn ⇒ Rm
sao cho Dt (ω) xác định theo (1.5) thỏa mãn

lim Dt (ω ) = D(ω), ∀ω ∈ Rn .

ω →ω

(1.11)

t↓0

Nếu F là đơn trị tại x
¯, nghĩa là F (¯
x) = y¯, thì ta nói F là khả vi tại x¯, và D
là một phép biến đổi tuyến tính.
1.2.2 Định lý ([9]). Nếu F là nửa khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯, thì F là sơ

khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯ và ánh xạ D trong Định nghĩa 1.2.1 trùng với
sơ đạo hàm Fx¯,¯y .


16

Chứng minh. Đặt z¯ = (¯
x, y¯). Theo (1.11) và định nghĩa đạo hàm suy ra

D = DFz¯. Ta chứng tỏ rằng Db F (¯
z ) = D. Vì Db Fz¯(ω) ⊂ DFz¯(ω) nên
chỉ cần chứng minh bao hàm thức DFz¯(ω) ⊂ Db Fz¯(ω). Xét ω ∈ domD và

ξ ∈ D(ω) với D(ω) được xác định như trong Định nghĩa 1.2.1. Do
lim inf Dt (ω) = D(ω),
t↓0

vì vậy tồn tại ξt ∈ Dt (ω) , t ∈ (0, τ ) sao cho ξt → ξ khi t ↓ 0. Đặt u (t) =

x¯ + tω , v (t) = y¯ + tξt . Khi đó u (0) = 0 và u+ (0) = ω, và v (0) = y¯,
v+ (0) = ξ. Do ξt ∈ Dt (ω) nên
x + tω) − y¯
v (t) − v (0) F (¯
∈
t
t
hay v (t) ∈ F (u (t)) . Vì vậy ξ ∈ Db Fz¯ (ω) . Ta có điều phải chứng minh.
1.2.3 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là liên tục
tại x

¯ nếu

lim F (x) = F (¯
x).

x→¯
x

F được gọi là bị chặn địa phương tại x¯ nếu tồn tại ρ > 0 và δ > 0 sao cho
F (x) ⊂ ρB, ∀x thỏa mãn |x − x¯| ≤ δ.
1.2.4 Ví dụ. Cho F : R ⇒ R,

1

 0,
x
F (x) =


{0}

khi x = 0
khi x = 0.

Ánh xạ F liên tục tại x = 0 và có F (0) = {0} . F là sơ khả vi tại x = 0
tương ứng với y = 0 và có F0,0 ≡ 0. Nhưng F khơng bị chặn tại x = 0.
1.2.5 Định lý ([9]). Nếu ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm là nửa khả vi tại x
¯
tương ứng với y¯, thì Fx¯,¯y liên tục tại mọi điểm trong Rn với domFx¯,¯y = Rn .
Hơn nữa, x

¯ ∈ intdomF và

y¯ ∈ lim inf F (x).
x→¯
x

(1.12)


17

Chứng minh. Lấy ω ∈ Rn . Đặt D = Fx¯,¯y . Theo (1.11), với mỗi ρ > 0 và

ε > 0 tồn tại δ > 0 và τ > 0 sao cho
Dt (ω ) ∩ ρB ⊂ D(ω) + εB và D(ω) ∩ ρB ⊂ Dt (ω ) + εB

(1.13)

khi |ω − ω| < δ và t ∈ (0, τ ) . Cho t ↓ 0, ω cố định, với mỗi ρ > 0 và ε > 0
tồn tại δ > 0 sao cho

D (ω ) ∩ ρB ⊂ D(ω) + εB và D(ω) ∩ ρB ⊂ D(ω ) + εB

(1.14)

khi |ω − ω| < δ. Điều này có nghĩa là D liên tục tại ω. Với ω = 0, do

0 ∈ D (0) nên D (0) ∩ ρB = ∅. Từ bao hàm thức thứ hai trong (1.14) ta có
D (ω ) = ∅ với mọi ω thỏa mãn |ω | < δ. Theo Mệnh đề 1.1.13, D = Fx¯,¯y là
thuần nhất dương, nên dẫn đến D (ω ) = ∅, với mọi ω . Do đó domF = Rn .

Khi ω = 0, bao hàm thức thứ hai của (1.13) cho ta điều tương tự, với bất kì

ε > 0 tồn tại δ > 0 và τ > 0 sao cho
0 ∈ Dt (ω ) + εB khi |ω | < δ và t ∈ (0, τ ) .
Điều này tương đương với

F (¯
x + tω ) ∩ (¯
y + εB) = ∅ khi |ω | < δ và t ∈ (0, τ ) .
Do đó x là điểm trong của domF và (1.12) đúng.
Ví dụ sau cho thấy tính sơ khả vi khác với tính khả vi, ngay cả khi F đơn
trị.
1.2.6 Ví dụ. Hàm số F : R → R xác định bởi

0 nếu x ∈ Q
F (x) = 1

nếu x ∈ I.
x
với I là tập số vô tỉ. F không liên tục và do đó khơng khả vi. Tuy nhiên F
là sơ khả vi tại x = 0 tương ứng với y = 0 = F (0) và sơ đạo hàm F0,0 ≡ 0
là một ánh xạ tuyến tính.


18

Kết quả sau đây cho thấy mối liên hệ giữa tính sơ khả vi và tính khả vi
trong trường hợp hàm đơn trị.
1.2.7 Định lý ([9]). Giả sử F : Rn → Rm là hàm đơn trị. Khi đó F là
khả vi tại x

¯ khi và chỉ khi F liên tục tại x¯ và sơ khả vi tại x¯ tương ứng với

y¯ = F (¯
x), và Fx¯,¯y là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. Nếu F là một hàm khả vi tại x
¯. Theo Định nghĩa 1.2.1 thì F
là một hàm nửa khả vi và do đó, từ Định lý 1.2.2, ta có F là sơ khả vi với

Fx¯,¯y là ánh xạ tuyến tính. Tính liên tục của F tại x¯ được suy ra từ (1.12).
Bây giờ, giả sử F liên tục tại x
¯ và sơ khả vi tương ứng với y¯ = F (¯
x), Fx¯,¯y
tuyến tính. Với D := Fx¯,¯y ta có D < ∞, vì vậy ta có được những tính chất
trong Định lý 2.1.3. Nói riêng ra, tồn tại ρ0 > 0 và τ0 > 0 thỏa mãn

F (¯
x + tω) ∈ y¯ + t (1 + D ) |ω| B,
với mọi ω ∈ B, t ∈ (0, τ0 ) sao cho F (¯
x + tω) ∈ ρ0 B.
Do F (x) → F (¯
x) = y¯ khi x → x¯, ta có thể thay τ0 bởi một giá trị nhỏ hơn
nếu cần, bao hàm thức trên trở thành

Dt (ω) ∈ (1 + D ) |ω| B ∀ω ∈ B, và t ∈ (0, τ0 ) .
Đặt ρ0 := (1 + D ) . Khi đó

Dt (ω) ∈ ρB ∀ω ∈ B, và t ∈ (0, τ0 ) .
Do F sơ khả vi, từ Mệnh đề 1.1.14, với bất kì ε > 0 và τ > 0 ta có

Dt (ω) ∈ D (ω + εB) + εB, ∀ω ∈ B, và t ∈ (0, τ ) .

Nhưng

D (ω + εB) + εB ⊂ D (ω) + (ε D + ε) B = D (ω) + ερB.
Do đó, ta có thể tìm ε > 0 và τ > 0 sao cho

Dt (ω) − D (ω) ≤ ερ, ∀ω ∈ B, t ∈ (0, τ ) .
Điều này có nghĩa là F khả vi tại x
¯ với đạo hàm D.


19

Chương 2

Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz và
ứng dụng
Trong chương này, chúng tơi trình bày mối quan hệ giữa tính sơ khả vi và
các tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ đa trị. Các kết quả này, sau đó được
ứng dụng để đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài tốn
tối ưu thơng qua sơ đạo hàm (xem [9]).

2.1

Sơ đạo hàm và tính giả Lipschitz

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự liên hệ giữa tính
sơ khả vi với một số tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ đa trị.
2.1.1 Định nghĩa ([5]). Cho F : Rn ⇒ Rm đồng cấu dương, nghĩa là

0 ∈ F (0) và αF (x) ⊂ F (αx) ∀x ∈ Rn và ∀α > 0. Chuẩn của F được xác

định bởi

F := min{µ ∈ [0, +∞)| y ∈ F (x), |y| ≤ µ|x|}.

(2.1)

Quy ước F = +∞ nếu khơng tồn µ ∈ [0, +∞) thỏa mãn (2.1).
2.1.2 Định nghĩa ([9]). Ánh xạ đa trị F : Rb ⇒ Rm được gọi là có tính
chất tăng trưởng Lipschtiz theo điểm tại x
¯ tương ứng với y¯ nếu tồn tại µ > 0,

ρ > 0 và τ > 0 sao cho
F (¯
x + tω) ∩ (¯
y + ρB) ⊂ y¯ + tµ|ω|B, ∀ω ∈ B, t ∈ (0, τ ).

(2.2)


20

Kết quả sau đây cho chúng ta một đặc trưng của sơ đạo hàm có chuẩn
hữu hạn thơng qua tính chất Lipschitz của ánh xạ F.
2.1.3 Định lý ([9]). Giả sử F : Rn ⇒ Rm là sơ khả vi tại x
¯ tương ứng với

y¯. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(a) Fx¯,¯y < ∞;
(b) Fx¯,¯y (0) = {0};
(c) F có tính chất tăng trưởng Lipschitz tại x¯ tương ứng với y¯.

Nếu các tính chất trên đồng thời được thỏa mãn, thì y¯ là một điểm cơ lập
của F (¯
x). Hơn nữa Fx¯,¯y là cận dưới đúng của tất cả các giá trị µ thỏa mãn

(c).
Chứng minh. Đầu tiên, ta giả sử rằng (c) đúng.
Cho ω = 0, biểu thức (2.2) trở thành

F (¯
x) ∩ (¯
y + ρB) = y¯.
Khi đó y¯ là một điểm cơ lập của F (¯
x). Bao hàm thức (2.2) có thể viết dưới
dạng tương đương

ρ
Dt (ω) ∩ B ⊂ µ|ω|B, ∀ω ∈ B, t ∈ (0, τ )
t

(2.3)

trong đó Dt xác định bởi (1.5). Do (1.6)

Fx¯,¯y (ω) = Lim sup Dt (ω)

(2.4)

(ω )→(ω)
t↓0

ta có

Fx¯,¯y (ω) ⊂ µ|ω|, ∀ω ∈ B.

(2.5)

Từ (2.5) và Fx¯,¯y là đồng cấu dương nên dẫn đến Fx¯,¯y ≤ µ. Vậy ta có
mệnh đề (a) đúng.
Tiếp theo, ta giả sử có (a) và µ
¯ là một số thỏa mãn

Fx¯,¯y ≤ µ
¯ < ∞.

(2.6)


21

Ta cần chỉ ra rằng (c) đúng, nghĩa là (2.3) thỏa mãn với µ
¯ = µ và ρ > 0,

τ > 0 nào đó. Điều này cũng cho ta Fx¯,¯y là cận dưới đúng của các giá trị
µ thỏa mãn (c).
Giả sử ngược lại, Fx¯,¯y thỏa mãn (2.6) nhưng (2.3) khơng thỏa đối với bất
kì ρ > 0 hoặc τ > 0. Ta chọn các dãy bất kỳ ρv ↓ 0, τ v ↓ 0, và chọn ω v ∈ B,

tv ∈ (0, τ v ), và

ρv

/µ
¯|ω v |B.
ξ ∈ Dtv (ω ) ∩ v với ξ ∈
t
v

v

Khi đó ξ v = 0. Đặt

ω v ¯v
ξv
¯ := ¯v , t := tv |ξ v |,
ξ := v , ω
|ξ |
|ξ |
v

v v

v

dẫn đến tv ξ v = t ξ , tv ω v = t ω v , và

ξ v ⊂ Dtv (ω v ) với ξ v ∈
/µ
¯|ω v |B,
v

|ξ | 1

trong đó |ξ | = 1 và t ≤ ρ . Ta có t → 0 và |ω | ≤
= . Bằng cách lấy
µ
µ
v
dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng ξ hội tụ đến ξ và ω v hội tụ đến ω
¯.
1
¯ = 1, ω
¯ = 0.
ω ), và |ξ|
¯ ≤ , do đó µ
Khi đó, bởi vì (2.4) nên ξ¯ ∈ Fx¯,¯y (¯
¯|¯
ω | ≤ |ξ|
µ
¯
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (2.6), khơng tồn tại µ ∈ [0, µ
¯) sao
v

v

v

v

v

cho

|ξ| ≤ µ|ω| với bất kì ξ ∈ Fx¯,¯y (ω).

(2.7)

Như vậy, ta đã chứng tỏ được sự tương đương giữa (a) và (c) cũng như khẳng
định tương ứng về x
¯ và Fx¯,¯y .
Để hoàn thành chứng minh Định lý 2.1.3, ta sẽ chứng tỏ sự tương đương
giữa (a) và (b).
Giả sử có (a), từ (2.7) dẫn đến tập Fx¯,¯y (0) không chứa phần tử ξ = 0. Hay
khẳng định (b) đúng.
Bây giờ giả sử có (b) nhưng (a) khơng đúng, khi đó ta có thể cho dãy bất kì

µv ↑ ∞ và chọn các vectơ ω v ∈ domF

x
¯,¯
y,

ξ v ∈ Fx¯,¯y (ω v ) sao cho |ξ v | > µv |¯
ω v |.


22

ξv
ωv
v
Đặt ξ := v và ω := v , ta có

|ξ |
|ξ |
v

1
ξ¯v ∈ Fx¯,¯y (ω v ) với |ξ v | = 1 và |¯
ω v | < v → 0.
µ
v

Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có ξ → ξ và ω v → 0. Khi đó, do gphF
¯ = 1, nên ξ¯ = 0. Điều
đóng theo Mệnh đề 1.1.13, ξ¯v ∈ F (0), tuy nhiên |ξ|
x
¯,¯
y

này mâu thuẫn với (b). Vậy, ta có (b) kéo theo (a).
2.1.4 Định nghĩa ([5]). Cho ánh xạ F : Rn ⇒ Rm với domF = ∅.

(i) F là giả Lipschitz quanh (¯
x, y¯), y¯ ∈ F (¯
x) nếu tồn tại ε > 0, δ > 0 và
µ > 0 sao cho
F (x) ∩ (¯
y + εB) ⊂ F (u) + µ x − u B,

∀x, u ∈ (¯
x + δ B).

(2.8)

(ii) F là Lipschitz địa phương quanh x¯ nếu (2.8) đúng với Rm thay cho
(¯
y + εB), nghĩa là
F (x) ⊂ F (u) + µ x − u B,

∀x, u ∈ (¯
x + δ B).

(2.9)

2.1.5 Chú ý. Tính chất giả Lipschitz của ánh xạ đa trị có vai trị quan trọng
trong giải tích phi tuyến và lý thuyết tối ưu (xem [10]). Khái niệm này được
J.-P. Aubin đưa ra vào năm 1984, và còn được biết đến với tên gọi tính chất
Aubin.
Định lý sau cho một điều kiện đủ để ánh xạ giả Lipschitz là khả vi.
2.1.6 Định lý ([9]). Giả sử F : Rn ⇒ Rm có đồ thị đóng và giả Lipschitz
quanh (¯
x, y¯), y¯ ∈ F (¯
x). Khi đó F sơ khả vi tại x¯ tương ứng với y¯ khi và chỉ
khi giới hạn

D(ω) = lim Dt (ω) = lim
t↓0

t↓0

F (¯
x + tω) − y¯

t

(2.10)

tồn tại với mọi ω, khi đó ánh xạ D xác định như trên là sơ đạo hàm Fx¯,¯y . Hơn
nữa F là nửa khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯, và Fx¯,¯y là Lipschitz địa phương
quanh x
¯ với modulus Lipschitz của F.


23

Chứng minh. Ánh xạ F giả Lipschitz quanh (¯
x, y¯) nên tồn tại ε > 0, δ > 0
và µ > 0 sao cho

F (¯
x + tω ) ∩ (¯
y + εB) ⊂ F (¯
x + tω ) + µt|ω − ω |B
trong đó t > 0 thỏa mãn x
¯ + tω , x¯ + tω ∈ x¯ + δ B. Hay ta có

ε
Dt (ω ) ∩ B ∈ Dt (ω ) + µ|ω − ω |B
t

(2.11)

δ
khi ω , ω ∈ B.
t
Giả sử F là sơ khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯. Với bất kì δ > 0 và ε > 0, theo
Mệnh đề 1.1.14, tồn tại τ > 0 sao cho với ρ¯ = 2ρ(1 + µ) ta có

Dt (ω) ∩ ρ¯B ⊂ Fx¯,¯y (ω + ε B) + ε B với ω ∈ ρ¯B, t ∈ (0, τ ),

(2.12)

Fx¯,¯y (ω) ∩ ρ¯B ⊂ Dt (ω + ε B) + ε B với ω ∈ ρ¯B, t ∈ (0, τ ),

(2.13)

δ
ε
≥ ρ¯ và ≥ ρ¯ với
t
t
t ∈ (0, τ ). Khi đó cho ω , ω ∈ ρB và t ∈ (0, τ ), từ (2.13) ta có
trong đó ε < ρ để ρ + ε < ρ¯. Lấy τ ∈ (0, τ ) sao cho

Fx¯,¯y (ω ) ∩ ρ¯B ⊂ Dt (ω + ε B) + ε B ∩ ρB
⊂ Dt (ω + ε B) ∩ (ρ + ε )B + ε B.
Cũng với ω , ω ∈ ρB và t ∈ (0, τ ), theo (2.11), ta có

Dt (ω + ε ζ) ∩ (ρ + ε )B ⊂ Dt (ω + ε ρ) + µ|ω − ω |B, ∀ζ ∈ B,
bởi vì ω + εζ, ω + ε ζ ∈ (ρ + ε)B và

ε
δ
(ρ + ε )B ⊂ ρ¯B ⊂ B ∩ B.
t
t
Như vậy với ω , ω ∈ ρB và t ∈ (0, τ ) ta có

Dt (ω + εB) ∩ (ρ + ε )B ⊂ Dt (ω + ε B) + µ|ω − ω |B
do đó

Fx¯,¯y (ω ) ∩ ρB ⊂ Dt (ω + ε B) + (µ|ω − ω | + ε )B ∩ ρB
⊂ Dt (ω + ε B) ∩ (ρ + µ|ω − ω | + ε )B + (µ|ω − ω | + ε )B.


24

Theo cách xác định ρ¯ thì ρ + µ|ω − ω | + ε ≤ ρ + µ(2ρ) + ρ = ρ¯, kết hợp
với (2.12) ta có

Dt (ω + ε B) ∩ ρ + µ|ω − ω | + ε B
⊂

Dt (ω) ∩ ρ¯B
ω∈(ω +ε B)

⊂

Fx¯,¯y (ω + ε B) + ε B .
ω∈(ω +ε B)

Điều này dẫn đến, với ω , ω ∈ ρB ta có

Fx¯,¯y (ω ) ∩ ρB ⊂ Fx¯,¯y (ω + 2ε B) + 2ε B + µ|ω − ω |B.
Chúng ta đã chứng minh bao hàm thức trên đúng với bất kì ρ > 0 và

ε ∈ (0, ρ), như vậy Fx¯,¯y là Lipschitz địa phương với modulus µ.
Từ lập luận ở (2.12) cùng với (2.9), khi ω ∈ ρB, τ ∈ (0, τ ) thì

Dt (ω ) ∩ ρB ⊂ F

x
¯,¯
y (ω

) + µε B + ε B

và cũng theo (2.9), với bất kỳ ω ∈ Rn

Dt (ω ) ∩ ρB ⊂ Fx¯,¯y (ω) + (µε + ε + µ|ω − ω|)B,

(2.14)

với mọi ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ). Mặt khác, do ρ < ρ¯ − ε nên theo (2.13), ta có

Fx¯,¯y (ω) ∩ ρB ⊂ Dt (ω + ε B) + ε B ∩ ρB
⊂ Dt (ω + ε B) ∩ (ρ + ε )B + ε B

(2.15)

⊂ Dt (ω + (ε + |ω − ω|)B) ∩ ρ¯B + ε B,

ε
khi |ω| ≤ ρ, t ∈ (0, τ ). Trong trường hợp t ∈ (0, τ ), ρ¯B ⊂ B, theo (2.11)
t
ta có
Dt ω + (ε + |ω − ω|)B ∩ ρ¯B ⊂ Dt (ω ) + µ ε + |ω − ω| B
δ
với |ω | + ε + |ω − ω| ≤ . Chọn τ ∈ (0, τ ) đủ nhỏ sao cho
t
δ
|ω | + ε + |ω − ω| ≤
t

(2.16)


25

khi |ω| ≤ ρ, |ω | ≤ ρ, t ∈ (0, τ ). Kết hợp (2.15) và (2.16), với |ω| ≤ ρ, ta
có

Fx¯,¯y (ω ∩ ρB ⊂ Dt (ω ) + (µε + ε + ω − ω|)B

(2.17)

∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ).
Như vậy, với bất kì ω cho trước, chúng ta có thể lấy tùy ý ρ ≥ |ω| và

ε ∈ (0, ρ) , lúc đó (2.14) và (2.17) đúng trên khoảng đủ nhỏ (0, τ ) và (0, τ ) .
Điều này có nghĩa là

lim Dt (ω ) = Fx¯,¯y (ω), ∀ω.

ω →ω
t↓0

Hay F là nửa khả vi tại x
¯ tương ứng với y¯. Hơn nữa ánh xạ D xác định
bởi (2.10) tồn tại và bằng Fx¯,¯y .
Tiếp theo, giả sử giới hạn (2.10) tồn tại, ta cần chứng minh F sơ khả vi.
Do F giả Lipschitz nên ta có biểu diễn (2.11). Theo Mệnh đề 1.1.12 ta cần
chứng tỏ

DFz¯(ω) ⊂ D(ω) ⊂ Db Fz¯
với D (ω) xác định ở (2.10), z¯ = (¯
x, y¯). Bao hàm thức DFz¯(ω) ⊂ D(ω) là do

DFz¯ = lim sup Dt (ω ),
ω →ω
t↓0

trong đó

ε
Dt (ω ) ∩ B ∈ Dt (ω) + µ|ω − ω |B
t
δ
khi ω , ω ∈ B, theo (2.11). Để chứng minh D (ω) ⊂ Db Fz¯(ω), ta xét một
t
cặp tùy ý (ω, ξ) với ξ ∈ D (ω) . Bởi vì
D (ω) = lim inf (ω),

t↓0

nói riêng ra, tồn tại [0, τ ) để với mỗi t ∈ (0, τ ) ta có thể chọn ξt ∈ Dt (ω) và

ξt → ξ khi t ↓ 0. Các cung u (t) = x¯ + tω và v (t) = y¯ + tξt trên [0, τ ) thỏa
mãn v(0) = x
¯, v+ (0) = ω và u(0) = y¯, u+ (0) = ξ cho nên ξ ∈ Db Fz¯ (ω) .
Ta có điều phải chứng minh.