Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
MỤC LỤC:
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .................................................................................. 2
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .................................................................. 3
2.1.Cơ sở lý luận: .............................................................................................. 3
2.2. Thực trạng của vấn đề: ............................................................................. 3
2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề. ............................. 3
2.4.Hiệu quả của SKKN ................................................................................. 17
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ ......................................................... 18
3.1.Kết luận : .................................................................................................. 18
3.2. Kiến nghị:................................................................................................. 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 20

1


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình mơn tốn ở trường THCS ta thấy bài tập toán rất
nhiều và đa dạng.
“ Giải toán là một nghệ thuật thực hành, giống như bơi lội, trượt tuyết,
hay chơi đàn, có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu
mực đúng đắn và thường xun thực hành.Khơng có chìa khố thần kỳ để mở
mọi cửa ngõ, khơng có hòn đá thần kỳ để biến mọi kim loại thành vàng ”.
( Đề - Các và Leibnitz )
Tìm được lời giải hay của bài toán tức là đã khai thác được những đặc
điểm riêng của bài tốn. Điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến
rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”.
( Polia-1975 )
Giải bài tập tốn là q trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic
giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nhưng các quy tắc suy

luận cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh. Do đó
học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập .
Phương pháp chung tìm lời giải bài tốn là :
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Trong bước 4 một cơng việc ít được thực hiện đó là:
Nghiên cứu những bài tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đó là
khai thác bài tập tốn.
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá
trình luyện tập.
Tuy rằng không phải là cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập
sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài
tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó. Trong q trình giảng dạy
giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu
kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc
làm này đặc biệt quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngay trong
giờ học.Vì vậy tơi đã rút ra kinh nghiệm “ Khai thác và phát triển một số bài
tốn hình học’’.

2


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1.Cơ sở lý luận:
Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy ở trường THCS, trong các năm qua
tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm trong việc khai thác bài tập toán

để xây dựng một hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi như là:
1.Chuyển điều chưa biết thành bài toán
2.Thay đổi hình thức phát triển bài tốn
3.Tìm các bài tốn liên quan
4.Mở rộng các bài tập khác
2.2. Thực trạng của vấn đề:
Học sinh ở trường THCS ngại học mơn tốn cho rằng đây là mơn học rất
khó nhất là hình học đòi hỏi học sinh tổng hợp được kiến thức, có kỹ năng trình
bày logic, chặt chẽ, nếu chỉ học ở các giờ học chính khố trên lớp thì khó có thể
giải được các bài tốn nâng cao, khơng đủ kiến thức tham gia thi học sinh giỏi
mơn tốn. Các em học sinh ngồi việc học tồn diện các mơn học cịn tham gia
các hoạt động xã hội ít thời gian học thêm, chưa say mê với môn học, không
thấy được những điều kỳ diệu của tốn học, địi hỏi giáo viên khi giảng dạy phải
nghiên cứu tìm tịi, sáng tạo xây dựng các chuyên đề bám sát chường trình, theo
chuẩn kiến thức, kỹ năng, phát huy tính tích cực của học sinh.
2.3.Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập có nhiều bài tập vận dụng kiến thức lý
thuyết rất hay khi giải bài tập chúng ta cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác
nhau đó là các cách giải khác nhau, hoặc thay đổi dữ kiện bài toán ta được một
số bài toán khác tương tự hoặc liên quan từ bài tốn ban đầu ta gọi đó là bài tốn
“chìa khố” ta có thể giải được rất nhiều bài tập khác , củng cố được nhiều kiến
thức, rút ngắn được thời gian học tập, học sinh được luyện
tập được nhiều, thấy được tính logic của tốn học và say mê học toán hơn.
Sau đây là một số bài tập minh hoạ .
Từ một bài tốn nổi tiếng mà hình vẽ được in trên trang đầu của một số
cuốn sách nâng cao lớp 8, 9 đó là:

3

Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
Bài tốn A:
Cho hình vng ABCD. Đặt 1 hình vng A/B/C/D / bên trong hình vng
này sao cho 2 tâm trùng nhau. Chứng minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/;
CC/; DD/ là đỉnh hình vng khác.
Lời giải:

Cách 1:
 A O A =  B O B ( c.g.c )
/
/
 AA = BB
Tương tự  AA/ = BB/ =CC/ = DD/
/
  A O M =  B O M =  C O P =  D OQ
/

/

/

/

/

OM = ON = OP = OQ  tứ giác MNPQ là hình bình hành
 O là trung điểm của MP và NQ  MP = NQ
 MNPQ là hình chữ nhật


C O P


=

DOQ

 = 900
POQ

=



 AOM

=

BON




COP


= DOQ

tứ giác MNPQ là hình vng

Cách 2:
Nối B/C ; C/D; D/A; A/B, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các
cạnh B/C ; C/D; D/A; A/B
EP // B/ C/ và EP =

1
2

GM// A/ D/ và GM =


B/ C/,
1
2

FQ // C/D / và EQ =

A/ D/,

1
2

C/D/

HN // A/B/ và HN=

EP = FQ = GM = HN
4

1

2

A/B/


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học


NE// BC và NE =

1
2

BC,

QG// AD và QG = 1 AD,
2

PF // CD và PF = 1 CD
MH// AB và MH =

2
1 AB
2

 NE

= PF = QG = MH
 N E P =  PFQ =  Q G M =  M H N ( c.g.c)
 = 90 0

MN = NP = PQ = QM và MQP
 MNPQ là hình vng
Cách 3:
Thực hiện phép quay tâm O góc quay 900 cùng chiều kim đồng hồ thì OA
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
 OB ; OA  OB  AA  BB ;BB  CC ; CC  DD ; DD  AA
 M  N ; N  P ; P  Q ; Q  M  MNPQ là hình vng.


*Từ nhận xét:

AM
BN
CP
DQ
AM
=
=
=
Đặt
=k (k<0)

AA/
BB/ CC / DD /
AA/

Theo định lý Talet ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1a: Cho hình vng ABCD. Đặt 1 hình vng A/B/C/D / bên
trong hình vng này sao cho 2 tâm trùng nhau. Gọi M,N,P,Q là các điểm thuộc
AA/ ; BB/; CC/; DD/ sao cho

AA/
BB/ CC / DD /
=
=
=
=k (k>0)
DQ
AM
BN
CP
Chứng minh rằng : MNPQ là hình vng.
Khi k = 2 thì bài tốn 1a chính là bài tốn A
*Nếu khai thác bài toán theo cách giải thứ 3 về phép quay ta có bài tốn sau:
Bài tốn 2a:
Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều

A1/ A2/ … An/ sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau. Gọi A1/ / A2/ / … An/ / là trung
điểm của A1 A1/ , A2 A2/ , …, An An/ . Chứng minh rằng: A1/ / A2/ / … An/ / là đa giác đều.
*Thêm vào bài toán 2a yếu tố tỷ lệ ta có bài tốn sau:
Bài tốn 3a:
Cho đa giác đều A1A2…An đạt bên trong đa giác này một đa giác đều

A1/ A2/ … An/ sao cho tâm của 2 đa giác đó trùng nhau. Gọi A1/ / A2/ / … An/ /
là các điểm nằm trên đoạn A1 A1/ , A2 A2/ , …, An An/ sao cho

A1 A1/
A2 A2/
A3 A3/
A4 A4/
=
. Chứng minh rằng: A1/ / A2/ / … An/ / là đa giác


//
//
//
//
A1 A1
A2 A2
A3 A3
A4 A4
đều.
5


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
Khi k = 2 thì bài tốn 2 chính là bài toán 2a
* Nếu khai thác theo cách giải 1,2 khơng cần đến tâm O ta có bài tốn sau
Bài tốn 4a:
Đặt 1 hình bình hành A/B/C/D / trong 1 hình bình hành ABCD sao cho các
đỉnh của hình bình hành A/B/C/D/ nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng

minh rằng : trung điểm của AA/ ; BB/; CC/; DD/ là các đỉnh của hình
bình hành .
Tổng qt hơn ta có bài tốn sau:
Bài tốn 5a:
Cho hình bình hành ABCD, đặt 1 hình bình hành A/B/C/D/ sao cho các đỉnh của
nó nằm trong hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm

AA/
BB/ CC / DD /
trên các đoạn AA ; BB ; CC ; DD sao cho
=
=
=
=k(
DQ
AM
BN
CP
/

/

/

/

k > 0) . Chứng minh rằng : MNPQ là hình bình hành.
*Khi k = 2 thì bài tốn 5a chính là bài tốn 4ª
Khai thác từ một bài tốn hình học lớp 9 quen thuộc sau:
Bài tốn B:

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.
Chứng minh rằng: MA = MB + MC
Lời giải :
Trên tia CM lấy điểm N sao cho MN = MB
 NC = MB + MC

=C
=M
 = 600 ( vì B
 = 600
 = 600 )  M
M
1
2
3
BMN đều  BN = BM
Ta có: BC = BA
 


  600  CBM
 = MBC

ABM  
ABC  CBM
  ABM

=  CBN ( c.g.c)  AM = NC = MB + MC
Nhận xét từ bài tốn B ta có bài toán sau:
Bài toán 1b:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC.
Chứng minh: MA  MB + MC
Giữ nguyên đề bài, thay đổi câu hỏi ta có bài tốn sau
Bài tốn 2b:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC.
6


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
Chứng minh:

1
1
1


MD MB MC

Lời giải:

MD MC

 MD . MA = MB . MC
MB MA
1
MB  MC
1
1
1





MD
MB.MC
MD MB MC

M DB  M CA





Từ bài tốn trên ta có thể giải được bài toán sau
Bài toán 3b
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là
tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ . Chứng minh rằng: 3 đường tròn
(ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy tại I.
Lời giải:
Gọi I là giao của đường tròn (ACB/) và đường tròn (ABC/)



 = 1200
AIB = 1200  BIC
AIC = 1200 , 

I  (BCA/) hay 3 đường tròn đồng quy.
Từ bài toán 3b ta dễ dàng chứng minh được bài toán sau:


7


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học

* Bài toán 4b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là
tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);
(BCA/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:
3 đường thẳng AA/ ; BB/; CC/ đồng quy.
Bài toán 5b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là
tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);
(BCA/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:
IA + IB + IC =

1 /
( IA + IB/ +IC/ )
2

Bài toán 6b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là
tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);
(BCA/) đồng quy tại I. Chứng minh rằng:

1
1
1
1

1 1 1
= (
) trong đó A1, B1 , C1 là giáo của




IA IB IC 2 IA1 IB1 IC1
với các cạnh của tam giác.

8


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học

Bài toán 7b:
Cho tam giác ABC dựng 3 tam giác đều trên 3 cạnh của tam giác đó là
tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , 3 đường tròn (ACB/); (ABC/);
(BCA/) đồng quy tại I.
Chứng minh rằng: IA + IB + IC nhỏ nhất với mọi I thuộc tam giác ABC
Bài toán 8b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2
Với a là cạnh của tam giác.
Bài toán 9b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn (O).Điểm M thuộc cung BC.
Tìm m để MA + MB + MC lớn nhất .
Bài toán 10b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.
Tìm m để MA2 + MB2 + MC2 lớn nhất .

Bài toán 11b:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC.
Chứng minh rằng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4
Với a là cạnh của tam giác

9


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình hc

Bi toỏn C:
900 . Trên Ox lấy điểm A cố định sao cho
Cho xOy
OA = a. Điểm B di động trên Oy. Vẽ trong góc xOy một
hình vuông ABCD.
a) Tính khoảng cách từ D đến Ox.
b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D khi B di động
trên Oy.
Hướng dẫn:

a) Kẻ DH
AHD

Ox
vuông




H. Có

tại
H

y

900 .
nên
A1 D
1

A2  
A1  900

suy ra

C



A2  D
1

D
C'

D'


A
A3  900

2

1


BAO
A3  900

Suy ra

  BAO

A
2

2

B

  BAO

Hay D
1

3

O

1

A

XÐt DHA vµ AOB
Cã:

H

=

O

=

900 ,

Hình 1

BAO

D
1

DA = AB (cạnh hình
vuông)
Vậy DHA = AOB = (T/h.
Bằng nhau đặc biệt thứ
nhất của tam giác vuông)
Vậy: DH = OA = a
b) Theo
trên

chứng

minh

DH = a (const)
10

H

x


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình hc
Khi B di động trên Oy thì D di động theo nh-ng
luôn cách Ox một khoảng DH = a. Vậy quỹ tích của D
thuộc đ-ờng thẳng song song với Ox và cách Ox một
khoảng bằng a.
Giới hạn:
Khi B O thì H A và D D'. D' là một điểm
thuộc đ-ờng thẳng song song với Ox và cách Ox một
khoảng bằng a, do A cố định suy ra D' cố định.
Kết luận:
Khi B di động trên Oy thì q tÝch cđa D lµ 1 tia
D'z // Ox, D' cách A một khoảng bằng a.

Khai thỏc 1:
Từ lời giải trên ta thấy hình vuông OAD'C' là nhỏ
nhất trong tập các hình vuông ABCD khi B di động trên
Oy. Và đ-ơng nhiên trong tập các hình vuông ấy thì

diện tích hình vuông OAD'C' là có giá trị nhỏ nhất.
Từ suy xét đó ta có bài toán mới.
Bài toán 1c:
900 lÊy A thuéc tia Ox sao cho OA = a. Một
Cho xOy
điểm B di động trên Oy. Vẽ trong góc xOy hình vuông
ABCD. Xác định vị trí điểm D ®Ĩ SABCD lµ nhá nhÊt.

11


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
Chøng minh

y

ThËt vËy SABCD = AB2
C

OAB

Trong

AOB  900 

cã

AB > OA

D

D'

C'

Do A cố định, B di
1

I

AB OA = a

động nên

I'


SABCD a2
Do

đó

SABCD

2

B

=

a2

3

là
O

nhỏ nhất khi ấy B O

1

A

H

x

Hình 2

Khai thác 2:
Từ kết quả trên ta suy ra hình vuông OAD'C' là cố
định bằng cạnh a. Thế thì OD' cố định nên trung điểm
I' là cố định. Vấn đề đặt ra là: Nếu B chuyển động
trên Oy thì D chuyển ®éng trªn tia D'D. Khi ®ã trung
®iĨm I cđa OD chuyển động trên đ-ờng nào và ta có bài
toán mới.
Bài toán 2c:
900 . Lấy A trên Ox sao cho OA = a, một
Cho góc xOy

vẽ hình vuông
điểm B di động trên Oy. Trong góc xOy
ABCD. Gọi I là trung điểm của OD. Tìm tập hợp (qũy
tích) điểm I.

Hướng dẫn:

(Hình 2)

Theo kết quả trên D' là giới hạn của D và D' cố
định.
Gọi I'

là trung điểm OD' I' cố định.

Trong OD'D có I'I là đ-ờng trung bình I'I //
D'D.
Nên quỹ tích I là
khoảng =

tia I'I // Ox c¸ch Ox

a
2

12

mét

Khai thác và phát triển một số bài tốn hình hc
Khai thác 3:
Suy xét: (hình 3)

y

Qua
C
kẻ
đ-ờng
thẳng // Ox cắt Oy tại
Q cắt DH tại P

Q

C

P

D

Theo
trên
chứng minh đ-ợc
AOB
=
DHA
huyền
góc
OA = DH = a

ta

đÃ

(Cạnh
nhọn)

I

B

OB = AH

O

Nh-ng CQ // Ox CQB =
1v
3

A

H

y

x

Hình

CP = OA
PD =
OB
VËy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB
hay

OH = HP = PQ = QO

Mµ QOA = 1v

Nên tứ giác OHPQ là hỡnh vuụng.

Ta có bài toán mới.
Bài toán 3c:
, trên tia Ox lÊy A sao cho OA = a,
Cho gãc xOy
hình vuông
trên Oy điểm B di động. Dựng trong góc xOy
ABCD; qua C kẻ đ-ờng thẳng // Ox, qua d kẻ đ-ờng
thẳng // Oy. Hai đ-ờng thẳng này cắt nhau tại P và
lần l-ợt cắt Oy tại Q, cắt Ox tại H.

a) Chứng minh t giỏc OHPQ là hình vuông
b) Gọi I là trung điểm AC, chứng minh O, I, P
thẳng hàng.
Từ suy xét trên dễ dàng suy ra ®iÒu chøng minh.
13

Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
Khai th¸c 4: Suy xÐt tiÕp ta thÊy. Ta cã thể
chuyển h-ớng bài toán d-ới dạng khác.
Nếu ta coi hình vuông OHPQ là cố định cạnh = a
Trên các cạnh HO, OB, PQ, PH lần l-ợt lấy A, B, C, D
sao cho OA = QB = PC = DH.
TiÕp tôc: Nếu cho A
di động trên OH và vẫn
ch-a thoả mÃn ABCD là
hình vuông thì chu vi

y

Q

C

P

D

của AOB có giá trị thay
đổi nh- thế nào. Cụ thể
có quan hệ gì với a cạnh
hình vuông OHPQ.

I

B

O

A

H

x

Hình 4
Thật vậy dễ chứng minh đ-ợc AOB = DHA = CPD = BQC
Tõ ®ã  tứ giỏc ABCD là hình vuông
AOB luôn có: AB < OA + OB
Nh-ng OB = AH  AB < OA + AH = OH = a
Do A, B cịng chun ®éng và thoả mÃn ABCD là hình
vuông.
Nên khi A H, B  O

 AB = OH = a

Do ®ã: OA + OB + AB  OH + OH = 2a
VËy CAOB  2a (CAOB : chu vi AOB)
(Chu vi cña AOB có giá trị lớn nhất bằng 2a).
Ta có bài toán mới.
Bài toán 4c:

14


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình hc
Cho hình vuông OHPQ cạnh là a. Trên các cạnh HO,

OQ, QP, PH lần l-ợt lấy A, B, C, D sao cho OA = QB =
PC = HD.
a) Chøng minh:

Tứ giỏc

ABCD là hình vuông.

b) Khi A chuyển động trên OH và thoả mÃn ABCD là
hình vuông
và (A O, A  H). Chøng minh CAOB < 2a.
Tõ suy xÐt ta dễ chứng minh đ-ợc điều này.
Khai thác 5:
Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp. Ta luôn
có OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung bµi tËp
4).
Nh- vËy OA + OB = a (const)
Suy ra OA.OB lín nhÊt khi OA = OB (Tỉng 2 sè
d-¬ng không đổi tích của chúng lớn
nhất khi hai số
đó bằng nhau).
Để ý thì thấy rằng: OA. OB = 2SAOB (SAOB diện tích
AOB)
Mà hình vuông OHPQ có SOHPQ = a2 (SOHPQ lµ diƯn tÝch
tứ giác
OHPQ)
Hay SABCD = a2 - 4 SAOB

Vµ SOHPQ = SABCD + 4SAOB

NÕu SAOB lín nhÊt th× SABCD nhỏ nhất là SAOB nhỏ nhất
thì SABCD lớn nhất.
Mà SAOB lớn
nhất khi OA.OB lớn nhất vì lý luận
trên OA.OB lớn nhÊt khi OA = OB.
Tõ ®ã  OA = OB =

OH
2

=

a
. Hay A là trung điểm OH, B
2

là trung điểm OQ ?
Ta có bài toán mới.
Bài toán 5c:
Cho hình vuông OHPQ cạnh là a. Trên OH, OQ, QP,
PH lần l-ợt lÊy A, B,
15


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
C, D sao cho OA = QB = PC = HD.
a) Chứng minh ABCD là hình vuông. C
Q
b) A chuyển động trên OH

P

(vẫn thoả mÃn ABCD là hình vuông).

D

Xác định vị trí A để SABCD là nhỏ nhất.

I

Tìm giá trị đó.

B

Hướng dẫn:
a) Dễ chứng minh đ-ợc:

O

AOB = DHA (c.g.c)

Hình 5

A

AB

H

=

AD

T-ơng tù CB = CD = AB
VËy tứ giác ABCD lµ h×nh thoi


A1  D
1


  900
A2  D
1

mà

Tõ (1) (2)

(1)

suy

ra


A2
A3 900 (2)

ABCD là hình vuông.

b) Ta có SOHPQ = a2
Theo kết quả trên AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c)
 SABCD = a2 - 4 SAOB = a2 - 2.OA.OB
Do OA + OB = OA + AH (v× OB = AH)  OA + AH = OH
= a
Không đổi nên tích OA.OB lớn nhất khi OA = OB =
a2
a
a
.
=
2
2
4

NghÜa lµ OA.OB 
VËy SABCD  a2 - 2.
Do đó SABCD =
OB =

a2
2

a
2

a2
4

= a2 -

a2
2

=

a2
2

là giá trị nhá nhÊt khi ®ã: OA =

OH
2

16


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình hc
Chứng tỏ A là trung điểm của OH.
2.4.Hiu qu ca SKKN
Áp dụng kinh nghiệm dạy học trên vào việc giảng dạy mơn tốn THCS
đã đạt được một số kết quả học sinh u thích mơn học, chất lượng bộ mơn được
nâng cao, các em có đủ tự tin tham gia đội tuyển học sinh năng khiếu mơn tốn.

17


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ
3.1.Kết luận :
Trên đây là một số bài tập từ SGK , SBT hình học lớp 8, lớp 9 được khai
thác theo nhiều khía cạnh khác nhau, đã được dạy cho học sinh trong các giờ
học và trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Lúc đầu các em thấy mơn tốn
hình q khó, khơng biết cách trình bày cảm thấy ngại học mơn tốn hình , sau
khi áp dụng kinh nghiệm này đa số học sinh hiểu bài hơn và rất thích học mơn
tốn các em thấy tự tin hơn, tự mình có thể giải được các bài tốn khó, đồng thời
phần trình bày của các em logic , chặt chẽ hơn.
Ở trường phổ thơng , dạy tốn là dạy hoạt động tốn học đối với học sinh
có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học .
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với
nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra ...
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện
các mục đích dạy học.
Giải tốn như thế nào là vấn đề luôn được quan tâm nghiên cứu và khai
thác từ bài tốn đó để tạo ra nhiều bài tập làm phong phú thêm vốn kiến thức
rèn khả năng suy luận hợp lý logic , khả năng qyuan sát dự đốn, phát triển trí
tưởng tượng, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập và sáng
tạo, hình thành thói quyen tự học, say mê với mơn học.
Trong các giờ tốn nhất là các giờ luyện tập cần khai thác các bài tập sẽ
luyện tập được nhiều bài hơn và kiến thức được khắc sâu hơn.
Với cách làm như trên có thể áp dụng cho nhiều bài tập trong chương
trình tốn THCS .
Thực hiện được các chuyên đề như trên là làm tốt công tác tự bồi dưỡng
giúp cho giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, nâng cao chất lượng giáo dục,
góp phần tích cực trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi .
Trên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ của tơi. vì khơng có điều kiện trình

bày hết tất cả các bài tập tơi chỉ xin trình bày1 bài tập hình học ở lớp 8 và một
bài tập hình học lớp 9 làm ví dụ minh hoạ cho chun đề của mình, mong muốn
trao đổi và với ý tưởng này tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu nhiều chuyên đề hơn nữa.

18


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học

3.2. Kiến nghị:
Phòng giáo dục và đào tạo tiếp tục duy trì việc làm SKKN để mỗi cán bộ
giáo viên được rèn luyện, học hỏi, trao đổi kinh nghiệm nâng cao chất lượng
giáo dục, và phổ biến rộng rãi những sáng kiến, kinh nghiệm hay, sát thực tiễn
cho tất cả cán bộ giáo viên học tập.

19


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi học sinh giỏi các năm
2. Sách giáo khoa toán lớp 8
3. Sách bài tập toán lớp 8
4. Sách nâng cao và phát triển toán tập 1 và tập 2 lớp 7,8,9. Tác giả Vũ
Hữu Bình chủ biên.
5. Bài tập Nâng cao và một số chuyên đề Toán 9. Tác giả Bùi Văn Tuyên
chủ biên.
6. Tài liệu chuyên toán THCS Toán 7,8,9. Tác giả Vũ Hữu Bình chủ biên.
7. Tốn tuổi thơ THCS – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

20


Khai thác và phát triển một số bài tốn hình học
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN

MÃ SKKN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Mơn: Tốn
Cấp học: THCS
Tài liệu kèm theo: Đĩa CD

NĂM HỌC: 2015 – 2016
21