Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học bất phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH

BỒI DƢỠNG TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA SỬ DỤNG
VẤN ĐỀ KẾT THÚC MỞ TRONG DẠY HỌC
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Nghệ An, 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH

BỒI DƢỠNG TƢ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THÔNG QUA SỬ DỤNG
VẤN ĐỀ KẾT THÚC MỞ TRONG DẠY HỌC
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG

Nghệ An, 2019


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của Thầy
PGS. TS. Nguyễn Chiến Thắng. Tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn và kính
trọng sâu sắc tới Thầy - Ngƣời đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hồn thành
Luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn quý thầy cô trong chuyên ngành Lý luận và
Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn trƣờng Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả
thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tác giả cũng xin cám ơn đến tất cả tác giả đã nghiên cứu và viết ra các tài
liệu tham khảo giúp tác giả thực hiện Luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót cần đƣợc sự góp ý. Tác giả mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp
của thầy cô giáo và bạn đọc!

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC
DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC BỒI DƢỠNG TƢ
DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA SỬ DỤNG VẤN ĐỀ KẾT
THÚC MỞ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG ................ 7
1.1. Tƣ duy sáng tạo .............................................................................................. 7
1.1.1. Tƣ duy ......................................................................................................... 7
1.1.2. Tƣ duy sáng tạo ......................................................................................... 12
1.1.3. Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo ............................................ 14
1.2. Vấn đề kết thúc mở trong dạy học toán ....................................................... 17
1.2.1. Vấn đề........................................................................................................ 17
1.2.2. Vấn đề kết thúc mở ................................................................................... 18
1.2.3. Tiềm năng của vấn đề kết thúc mở trong việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo
cho học sinh thơng qua dạy học Tốn ở trƣờng phổ thơng ................................. 27
1.3. Bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình trong chƣơng trình mơn Tốn ở lớp
10 ......................................................................................................................... 29
1.3.1. Nội dung bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình trong chƣơng trình Tốn
trung học phổ thơng............................................................................................. 29
1.3.2. Vị trí, vai trị của nội dung bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình trong
chƣơng trình Tốn lớp 10 trung học phổ thơng .................................................. 30
1.3.3. Một số dạng tốn bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình ...................... 30
1.4. Tình huống dạy học sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học tốn ở
trƣờng phổ thơng ................................................................................................. 44
1.4.1. Tình huống dạy học ................................................................................... 44
1.4.2. Tình huống dạy học sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học tốn ở
trƣờng phổ thơng ................................................................................................. 45
1.5. Thực trạng của việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua sử
dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông ........................ 45

Kết luận Chƣơng 1 .............................................................................................. 48
Chƣơng 2 NHỮNG BIỆN PHÁP BỒI DƢỠNG TƢ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH THÔNG QUA SỬ DỤNG VẤN ĐỀ KẾT THÚC MỞ TRONG DẠY
HỌC BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH Ở LỚP 10....... 49
2.1. Định hƣớng đề xuất biện pháp ..................................................................... 49
2.2. Những biện pháp bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo thông qua sử dụng vấn đề kết
thúc mở ................................................................................................................ 50
2.2.1. Biện pháp 1 Xây dựng một số bài tốn, tình huống sử dụng vấn đề kết
thúc mở ................................................................................................................ 50
2.2.2. Biện pháp 2 Lựa chọn các hoạt động sử dụng vấn đề kết thúc mở trong
các khâu của bài học............................................................................................ 52
2.3. Thiết kế tình huống dạy học sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học bất
phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình ở lớp 10 .................................................... 54
Kết luận Chƣơng 2 .............................................................................................. 70
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................. 71
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nội dung thực nghiệm sƣ phạm.................................. 71
3.1.1. Mục đích thực nghiệm............................................................................... 71
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm .............................................................................. 71
3.1.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 71
3.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................... 72
3.2.1. Đối tƣợng thực nghiệm ............................................................................. 72
3.2.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ................................................................ 72
3.3. Phân tích, đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm....................................... 73
3.3.1. Phân tích định tính .................................................................................... 73
3.3.2. Phân tích định lƣợng ................................................................................. 74
Kết luận Chƣơng 3 .............................................................................................. 82
KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 84

PHỤ LỤC


DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH
Sơ đồ
Sơ đồ 1.1. Qúa trình tƣ duy [26, tr.10] ................................................................ 10
Sơ đồ 1.2. 3 Vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tƣ duy . 14

Bảng
Bảng 1.1. So sánh đối chiếu các “bài toán kết thúc mở” với bài các “bài tốn kết
thúc đóng” ........................................................................................................... 19
Bảng 1.2. Số lƣợng đơn vị dự trữ và số lƣợng đơn vị từng loại nguyên liệu cần
để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm .................................................................... 22
Bảng 3.1. Thống kê điểm kiểm tra 15 phút của hai lớp ...................................... 77
Bảng 3.2. Phân loại kết quả học tập (%) ............................................................. 77
Bảng 3.3. Điểm trung bình và phƣơng sai .......................................................... 77
Bảng 3.4. Thống kê điểm kiểm tra 45 phút của hai lớp ...................................... 78
Bảng 3.5. Phân loại kết quả học tập (%) ............................................................. 79
Bảng 3.6. Điểm trung bình và phƣơng sai .......................................................... 79
Biểu đồ
Biểu đồ 3.1. Biểu diễn phân loại kết quả bài kiểm tra 15 phút của lớp TN và ĐC .... 78
Biểu đồ 3.2. Biểu diễn phân loại kết quả bài kiểm tra 45 phút của lớp TN và ĐC .... 79


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Vi t tắt

TT

Vi t đầy đủ

1.

BPT

Bất phƣơng trình

2.

ĐC

Đối chứng

3.

DH

Dạy học

4.

GTLN

Giá trị lớn nhất

5.

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

6.

GV

Giáo viên

7.

HS

Học sinh

8.

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

9.

PT

Phổ thông

10.

SGK

Sách giáo khoa

11.

TDST

Tƣ duy sáng tạo

12.

THCS

Trung học cơ sở

13.

THPT

Trung học phổ thông

14.

TN

Thực nghiệm

15.

TNSP

Thực nghiệm sƣ phạm

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chƣơng trình Giáo dục phổ thơng mới và Chƣơng trình Giáo dục phổ
thơng mơn Tốn đã đƣợc Bộ Giáo dục và Đào tạo cơng bố chính thức vào ngày
27/12/2018. Chƣơng trình giáo dục phổ thơng hình thành và phát triển cho HS
những phẩm chất chủ yếu: yêu nƣớc, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm;
những năng lực chung đƣợc hình thành và phát triển thông qua tất cả các môn
học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp
tác; năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo; những năng lực đặc thù đƣợc hình
thành, phát triển chủ yếu qua một số mơn học và hoạt động giáo dục nhất định:
năng lực ngôn ngữ, năng lực tính tốn, năng lực khoa học, năng lực tin học,
năng lực công nghệ, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. Bên cạnh việc hình
thành, phát triển các năng lực chung và năng lực đặc thù, chƣơng trình giáo dục
phổ thơng cịn góp phần phát hiện, bồi dƣỡng những năng lực đặc biệt (năng
khiếu) của HS. Mơn Tốn hình thành, phát triển ở HS năng lực tốn học, biểu
hiện tập trung của năng lực tính tốn, với các thành phần sau: tƣ duy và lập luận
tốn học; mơ hình hóa tốn học; giải quyết vấn đề tốn học; giao tiếp tốn học;
sử dụng cơng cụ, phƣơng tiện học Tốn. Đồng thời, thơng qua phƣơng pháp tổ
chức các hoạt động khám phá, luyện tập, thực hành và trải nghiệm tốn học,
mơn tốn góp phần cùng các mơn học và hoạt động giáo dục khác hình thành,
phát triển ở HS các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung đã quy định trong
Chƣơng trình tổng thể, đặc biệt là khả năng tự nhận thức và tích cực hóa bản
thân, khả năng tổ chức và quản lí hoạt động; giúp HS bƣớc đầu xác định đƣợc
năng lực, sở trƣờng của bản thân nhằm định hƣớng và lựa chọn nghề nghiệp, rèn
luyện nhân cách để trở thành ngƣời lao động và ngƣời cơng dân có trách nhiệm.
Tƣ duy sáng tạo (TDST) - bậc cao nhất của hoạt động trí tuệ con ngƣời,
có tầm quan trọng vô cùng đặc biệt đối với sự phát triển các nền văn minh của

lồi ngƣời. Có TDST không chỉ giúp con ngƣời giải quyết đƣợc các vấn đề nảy


2
sinh trong cuộc sống một cách thích hợp mà cịn đảm bảo cho việc thực hiện hóa
những năng lực tiềm tàng của mỗi cá nhân. Vì vậy nó ln là một thuộc tính
nhân cách mong muốn của xã hội và đƣợc coi là mục đích giáo dục tồn cầu.
Ngày nay, thời đại máy tính ra đời đã giải phóng một phần sự vất vả của não bộ
ngƣời và tạo khả năng cho não ngƣời đi sâu vào sáng tạo. Nhƣng phần cảm xúc,
tƣởng tƣợng, phần sáng tạo phát minh thì máy vi tính tinh vi nhất cũng khơng
thể làm đƣợc, dù con ngƣời có thể chế tạo ra “bộ não ngƣời nhân tạo”. Các khoa
học về gen, về não bộ ngƣời tiếp tục nghiên cứu tìm ra cơ chế sáng tạo ở não
ngƣời, nhƣng theo các nhà nghiên cứu, thì sự tƣởng tƣợng, trực giác, linh cảm
thì ln ln lẩn tránh các dụng cụ, phƣơng tiện của khoa học,... Nhƣ vậy cần
khẳng định rằng, chỉ có TDST của con ngƣời mới thúc đẩy mọi sự phát triển của
loài ngƣời. Do đó, TDST khơng chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà tâm lý học
mà cả các nhà khoa học sƣ phạm, bởi mối quan hệ sâu sắc của nó với hoạt động
học tập của HS trong nhà trƣờng.
Những năm gần đây, mục tiêu giáo dục của nhiều nƣớc trên thế giới đƣợc
thay đổi theo hƣớng quan tâm dạy TDST trong nhà trƣờng. Chẳng hạn, hiện nay
chính phủ Singapore quyết định cắt giảm 30% chƣơng trình giảng dạy bậc tiểu
học, chuyển trọng tâm vào việc phát triển TDST cho HS hơn là nhồi nhét kiến
thức. Cƣơng lĩnh giáo dục mới của Nga cũng chủ trƣơng giảm bớt phần kiến
thức cụ thể, tập trung vào hình thành cách nghĩ của HS. Cuối năm 1999, Thái
Lan thông qua Luật Giáo dục Quốc gia ghi rõ yêu cầu cải cách giáo dục phải
gắn với phát huy tiềm năng sáng tạo của HS. Vấn đề phát triển năng lực tƣ duy
trong trƣờng học cũng đƣợc quan tâm hàng đầu trong nghiên cứu và chính sách
giáo dục của các quốc gia phát triển nhƣ Mỹ, Nhật, Đức.
Ở Việt Nam, theo luật giáo dục 2005 (Điều 28): Giáo dục phổ thơng có
mục tiêu giúp HS phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và

các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng tạo, hình
thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa. Điều này cho thấy song
song với việc dạy tri thức, phát triển TDST đƣợc xem là vấn đề quan trọng trong


3
giáo dục con ngƣời. Nhƣ vậy, thông qua dạy học để tạo nền móng trí tuệ, hoạt
động sáng tạo ở ngƣời học đƣợc xem nhƣ một trong những mục tiêu trọng tâm
của giáo dục ở nhà trƣờng phổ thông trong thời kì cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa
đất nƣớc hiện nay. Giáo dục thế hệ trẻ có nhân cách sáng tạo là một trong những
nhiệm vụ hàng đầu của giáo dục. Điều này đƣợc thể hiện trong mục đích của
mọi hoạt động của nhà trƣờng, đặc biệt là việc tổ chức hoạt động học tập nhằm
hƣớng đến việc hình thành và phát triển ở HS các phẩm chất của một nhân cách
sáng tạo. Ngày nay, phƣơng châm học đi đôi với hành luôn đƣợc đề cao trong
các cấp học. Học là hoạt động tiếp thu những tri thức cơ bản của nhân loại đã
đƣợc đúc kết qua mấy ngàn năm của lịch sử để làm giàu tri thức, nâng cao trình
độ hiểu biết về nhiều mặt để có thể làm chủ bản thân, làm chủ cơng việc của
mình. Hành là quá trình vận dụng những kiến thức đã tiếp thu đƣợc trong q
trình học vào thực tế cơng việc hằng ngày. Học đi đơi với hành có ý nghĩa thực
sự quan trọng. Để đạt đƣợc hiệu quả cao, ngƣời học nên biết cân bằng giữa lí
thuyết và thực tiễn sao cho hài hịa, hợp lí. Học với hành giúp chúng ta vừa
chun sâu kiến thức lại vừa thơng thạo, hồn thiện kĩ năng làm việc. Tuy nhiên
nhiều HS đã sai lầm trong cách học, dẫn đến hiệu quả không cao vì chỉ ơm lấy lí
thuyết mà khơng chịu thực hành. Một phần do học sinh chƣa nắm đƣợc tầm
quan trọng của phƣơng châm đi đôi với hành, một phần xuất phát từ tâm lí e
ngại, lƣời hoạt động. Từ thực tế đó việc giáo dục ý thức học đi đơi với hành, lý
thuyết gắn liền với thực tiễn là một vấn đề cấp thiết.
Trên thực tế, việc dạy toán của chúng ta hiện tại chú trọng nhiều đến kiến
thức, ít phát triển tƣ duy cho HS. Một trong những công cụ để giúp các em có
năng khiếu tốn học phát triển tốt các năng lực của bản thân là sử dụng vấn đề

kết thúc mở. Nó có vai trị quan trọng đến việc phát triển TDST cho HS, điều đó
đƣợc thể hiện qua tác động của vấn đề kết thúc mở đến từng yếu tố của TDST,
đến tƣ duy phê phán, đến tƣ duy phân kì, đến năng lực suy luận ngoại suy...
Trên thế giới vấn đề “Kết thúc mở” đã đƣợc sử dụng ở Nhật từ những
năm 70 của thế kỷ XX và đang đƣợc sử dụng rộng rãi ở một số nƣớc, trong đó
có nƣớc ta. Cụ thể:


4
Theo G. Polya trước tiên, khi học sinh bắt đầu vào cơng việc hãy đề nghị
họ dự đốn kết quả hoặc chỉ một phần nào đó của kết quả.
Trần Vui (2014), Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học tốn, trong đó
có nội dung “Làm thế nào để xây dựng một vấn đề kết thúc mở”.
Nguyễn Sơn Hà (2012), Sáng tạo “Bài tốn mở” trong dạy học hình học
về quan hệ song song trong không gian ở Trung học phổ thông.
Hoa Ánh Tƣờng, Sử dụng câu hỏi kết thúc mở kích thích học sinh giao
tiếp Tốn học.
Những vấn đề kết thúc mở đòi hỏi HS phải tƣ duy, tạo cho các em bày tỏ
sự hiểu biết của mình về toán học, cho phép nhiều câu trả lời đúng và khuyến
khích nhiều cách suy nghĩ khác nhau. Cho phép các em có những lời giải mới lạ,
đặc biệt sáng tạo theo các cách rất riêng của bản thân. Qua đó giúp HS phát triển
khả năng tƣ duy toán học của chính mình, làm cho các em trở nên năng động,
sáng tạo, biết tự suy nghĩ để giải quyết các vấn đề mà các em gặp trong quá trình
học và trong cuộc sống. Do đó, để phát triển TDST cho HS thì việc sử dụng vấn
đề kết thúc mở trong quá trình dạy học là rất cần thiết.
Xuất phát từ những lý do nói trên, chúng tơi đã chọn đề tài nghiên cứu:
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua sử dụng vấn đề kết thúc
mở trong dạy học bất phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở tìm hiểu TDST, những biểu hiện của TDST của học sinh trung

học phổ thông và đặc điểm của vấn đề kết thúc mở, chúng tôi đề xuất những
biện pháp dạy học sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học bất phƣơng trình
và hệ bất phƣơng trình ở lớp 10 nhằm bồi dƣỡng TDST cho học sinh, góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn ở trƣờng phổ thơng.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Bồi dƣỡng TDST cho học sinh trong dạy học
toán ở trƣờng trung học phổ thông.
- Phạm vi nghiên cứu:


5
 Về nội dung trong mơn Tốn học: Luận văn vận dụng vào chƣơng trình
Tốn học THPT hiện hành và thực hiện qua việc sử dụng “vấn đề kết thúc mở
trong dạy học bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình” ở lớp 10.
 Về khảo sát thực trạng và tiến hành thực nghiệm: tiến hành tại một số
trƣờng trung học phổ thông trên địa bàn tỉnh Nghệ An.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc mục đích nêu trên, Luận văn có nhiệm vụ:
- Hệ thống hóa và làm rõ hơn lý luận về TDST và vấn đề kết thúc mở
trong dạy học Tốn.
- Tìm hiểu chƣơng trình và nội dung chủ đề Bất phƣơng trình và hệ bất
phƣơng trình ở lớp 10.
- Khảo sát thực trạng dạy học Toán theo hƣớng bồi dƣỡng TDST cho học
sinh ở trƣờng THPT.
- Đề xuất những biện pháp dạy học sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy
học bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình ở lớp 10 nhằm bồi dƣỡng TDST
cho học sinh.
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của các tình huống đã thiết kế.
5. Giả thuy t khoa học

Trong quá trình dạy học nội dung bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình
ở lớp 10, nếu giáo viên quan tâm nghiên cứu sử dụng vấn đề kết thúc mở và xây
dựng đƣợc một số biện pháp thích hợp thì sẽ góp phần bồi dƣỡng đƣợc TDST
cho học sinh, qua đó nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các
tài liệu về dạy học bồi dƣỡng TDST cho học sinh, các tài liệu liên quan đến dạy
học Đại số 10 và các tài liệu khác liên quan đến đề tài.


6
- Phƣơng pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu về thực trạng dạy học bồi dƣỡng
TDST hiện nay ở trƣờng phổ thơng thơng qua các hình thức quan sát, phỏng vấn
trực tiếp, phát phiếu điều tra,... giáo viên và học sinh trung học phổ thông.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm
nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
- Phƣơng pháp thống kê: Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng
phƣơng pháp thống kê tốn học.
7. Đóng góp của Luận văn
- Hệ thống hóa đƣợc một số vấn đề lí luận cơ bản về TDST.
- Thiết kế đƣợc một số tình huống dạy học thích hợp sử dụng vấn đề kết
thúc mở trong dạy học bất phƣơng trình và hệ bất phƣơng trình ở lớp 10 nhằm
bồi dƣỡng TDST cho học sinh.
- Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên tốn ở
trong phổ thơng trong việc bồi dƣỡng tƣ duy cho học sinh.
8. Cấu trúc của Luận văn
Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục tài liệu tham khảo và
Phụ lục, nội dung gồm có 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo
cho học sinh thông qua sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học Tốn ở trƣờng

phổ thơng.
Chƣơng 2: Những biện pháp bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh
thông qua sử dụng vấn đề kết thúc mở trong dạy học bất phƣơng trình và hệ bất
phƣơng trình ở lớp 10.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.


7
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC BỒI DƢỠNG
TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA SỬ DỤNG VẤN ĐỀ
KẾT THÚC MỞ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG
1.1. Tƣ duy sáng tạo
1.1.1 Tư duy
Trong đời sống xã hội tƣ duy có tác dụng to lớn. Ngƣời ta dựa vào tƣ duy
để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những
quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
Trong đời sống tâm lí của con ngƣời nhận thức cảm tính có vai trị quan
trọng, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế
cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con ngƣời khơng thể
nhận thức và giải quyết đƣợc. Muốn cải tạo thế giới, con ngƣời phải đạt tới mức
độ nhận thức cao hơn, nghĩa là phải tƣ duy.
Có rất nhiều cách định nghĩa về tƣ duy, sau đây là một số quan điểm:
- Theo cách hiểu của Rubinstêin X.L: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong
ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với
các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [26], tr.8].
- Theo Phạm Minh Hạc: “Tư duy làm quá trình nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và
hiện tượng trong hiện thực khách quan”.
Hoặc: “Tư duy là một q trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ

- q trình tìm tịi và sáng tạo cái chính yếu, q trình phản ánh một cách
từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy
sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới
hạn của nó”.


8
Nhà tâm lí học Crugliăc nói rằng: “nhờ tư duy mà có thể chuyển được
những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện
tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai,… Nguyên
nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong
q trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra được chúng. Tư duy càng
phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có hiệu quả và
sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động
thực tế bấy nhiêu. Tri thức và tư duy gắn bó với nhau như sản phẩm đi đơi với
q trình” [1], tr.65].
Theo Từ điển triết học: “Tƣ duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất đƣợc
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đốn, lí luận… tƣ duy xuất hiện trong q
trình hoạt động sản xuất xã hội của con ngƣời và bảo đảm phản ánh thực tại một
cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại… tư duy
chỉ tồn tại trong một mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và
lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngƣời. Cho nên tƣ duy của con
ngƣời đƣợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết
quả của tƣ duy đƣợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tƣ duy là những là
những q trình nhƣ trừu tƣợng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những
vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết,
những ý niệm,… Kết quả của quá trình tƣ duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào
đó. Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tƣ duy đƣợc biểu hiện ở
khả năng con ngƣời có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự

trình bày những quy luật tƣơng ứng. khả năng phản ánh thực tại một cách gián
tiếp của tƣ duy đƣợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận logic, chứng minh của
con ngƣời. Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác đƣợc một
cách trực tiếp, nó cho phép nhận thức đƣợc những gì khơng thể tri giác đƣợc


9
nhờ các giác quan. Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí
luận khoa học) ghi lại (khái qt hóa) kinh nghiệm của lồi ngƣời, là sự tập
trung cho những tri thức của con ngƣời và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận
thức thực tại. Tƣ duy con ngƣời đƣợc nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học
khác nhau và bằng những phƣơng pháp khác nhau” [26], tr.4].
Từ các định nghĩa trên, ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của
tƣ duy:
- Tƣ duy là một sản phẩm của bộ não ngƣời và là q trình phản ánh tích
cực của giới khách quan;
- Bản chất của tƣ duy (mà cũng là điều khó khăn) là ở sự phân biệt sự tồn
tại độc lập của đối tƣợng đƣợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đƣợc qua khả
năng hoạt động suy nghĩ của con ngƣời nhằm phản ánh đƣợc đối tƣợng;
- Tƣ duy là một quá trình hình thành phát triển năng động và sáng tạo;
- Khách thể trong tƣ duy phụ thuộc vào chủ thể là con ngƣời và đƣợc
phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác;
- Tƣ duy sẽ chỉ có thể nảy sinh khi gặp những hồn cảnh có vấn đề;
- Tƣ duy có tính gián tiếp và tƣ duy có tính khái quát;
- Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ, kết quả của nó
bao giờ cũng là một ý nghĩ thông và đƣợc thể hiện qua ngơn ngữ: “tƣ duy và
ngơn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau không tách rời nhau, nhƣng cũng không
đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu
biểu đạt kết quả của q trình tƣ duy” [26], tr.9].
- Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính;

- Tƣ duy là một q trình, nghĩa là tƣ duy có nảy sinh, diễn biến và kết
thúc: Qúa trình tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau đƣợc minh họa bởi
sơ đồ (do nhà Tốn học Liên Xơ cũ Plantônôv K.K đƣa ra):


10
Sơ đồ 1.1. Qúa trình tư duy [26, tr.10]
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tƣởng

Sàng lọc liên tƣởng và hình thành giải thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Khẳng định

Giải quyết vấn đề

Phủ định

Hoạt động tƣ duy mới

- Qúa trình tƣ duy là một hành động trí tuệ: Qúa trình tƣ duy đƣợc diễn ra
bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao
tác trí tuệ tham gia vào một q trình tƣ duy cụ thể với tƣ cách một hành động
trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,…
Có nhiều cách phân loại tƣ duy:

Theo Phạm Minh Hạc, Sácđacơp M.N có 3 loại tƣ duy sau đây:
a. Tư duy trực quan hành động: Đó là loại tƣ duy bằng các thao tác cụ thể
tay chân hƣớng vào việc giải quyết một vấn đề cụ thể, trực quan.
b. Tư duy trực quan hình tượng: Là loại tƣ duy phát triển ở mức độ cao
hơn, ra đời muộn hơn so với tƣ duy trực quan hành động, chỉ có ở ngƣời, đó là
loại tƣ duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào hình ảnh sự vật, hiện tƣợng.


11
c. Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, logic): là loại tƣ duy phát triển ở
mức độ cao nhất, chỉ có ở ngƣời, đó là loại tƣ duy mà việc giải quyết vấn đề dựa
trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy
ngôn ngữ làm phƣơng tiện [26], tr.11].
Theo A.V.Pêtrôvxki và L.B.Itenxơn, có bốn loại tƣ duy đó là: tƣ duy hình
tƣợng, tƣ duy thực hành, tƣ duy khoa học và tƣ duy lôgic. Việc phát triển tƣ duy
lôgic bao giờ cũng đƣợc coi là một nhiệm vụ quan trọng hàng đầu trong q
trình dạy học tốn. Nói tƣ duy lơgic ngƣời ta nhấn mạnh tƣ duy biện chứng
nghiên cứu tƣ duy dƣới góc độ cách thức nhận thức sự phát triển và biến đổi của
các sự vật hiện tƣợng.
Nhƣ vậy, ta thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các loại tƣ duy là có một mối
quan hệ biện chứng lẫn nhau đi từ thấp đến cao, từ cái đơn giản đến cái phức
tạp. Từ những điều trong thấy những vấn đề cần có tƣ duy cao độ. Trong sự phát
triển của xã hội lồi ngƣời mối quan hệ đó có một ý nghĩa hết sức quan trọng.
Sự phát triển thấp cao đó là một q trình nhận thức của con ngƣời phản ánh
một cách biện chứng thế giới khách quan. Q trình nhận thức bằng tƣ duy đó là
một q trình phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngƣời năng động,
sáng tạo, biện chứng chứ không phải diễn ra đơn giản, thụ động, máy móc. Đó là
quá trình từ cái biết ít cái biết nhiều, từ nhận thức cảm tính, nhận thức lí tính hay
là đi từ cái chƣa biết, chƣa sâu sắc. Vì vậy, quá trình tƣ duy của con ngƣời nói
chung diễn ra hai giai đoạn nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính và q trình

đó trải qua khi gặp tình huống có vấn đề. Đó là hai giai đoạn có đặc điểm và vai
trò khác nhau về việc nhận thức sự việc khách quan, khác nhau về chất. Nhận
thức cảm tính là phản ánh sinh động sự vật, phản ánh trực tiếp, cụ thể; cịn nhận
thức lí tính là phản ánh gián tiếp, mang tính trừu tƣợng khái quát. Nhận thức
cảm tính đem lại những hình ảnh bề ngồi, chƣa thật sâu sắc về sự vật, cịn nhận
thức lý tính phản ánh đƣợc mối quan hệ bên trong bản chất, tất yếu và phổ biến


12
của sự vật. Do vậy, nhận thức lí tính phản ánh sự vật sâu sắc hơn đầy đủ hơn về
sự vật.
Tuy nhiên, nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính lại thống nhất biện
chứng với nhau, tác động lấn nhau, không tách rời nhau, liên hệ, bổ sung, hỗ trợ
cho nhau. Chúng đều cùng, có cùng một cơ sở sinh lí duy nhất là hệ thần kinh
của con ngƣời và đều cùng chịu sự chi phối của thực tiễn lịch sử - xã hội phản
ánh thế giới vật chất. Nhận thức cảm tính là cơ sở của nhận thức lý tính, khơng
có nhận thức cảm tính thì khơng có nhận thức lý tính. Trái lại, nhận thức cảm
tính mà khơng có nhận thức lý tính thì khơng thể nắm đƣợc quy luật và bản chất
của sự vật, hiện tƣợng. Trên thực tế, chúng thƣờng diễn ra đan xen vào nhau
trong mỗi quá trình nhận thức. Phép biện chứng khách quan của thế giới xung
quanh ta đƣợc phản ánh vào phép biện chứng chủ quan và đây là vấn đề có tính
chất nền tảng.
1.1.2 Tư duy sáng tạo
Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt
khác nhau của của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở
khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [14].
Solo R.L. thì: “Sáng tạo là hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách
nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống”.

Nguyễn Cảnh Tồn cho rằng từ: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ
những hiểu biết đã có những hiểu biết mới, vận động đi liền với bản chất”.
Theo Vũ Dũng (Từ điển Tâm lý học, trung tâm KHXH và nhân văn quốc
gia. Viện tâm lý học. NXB Khoa học và Xã hội, Hà Nội 2000). Tƣ duy sáng tạo
là một kiểu tƣ duy, đặc trƣng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lập các
thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó. Các thành phần mới
này có liên quan đến miền động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tƣởng của chủ thể


13
sáng tạo. Tƣ duy sáng tạo đƣợc phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng
sẵn có.
Theo Tơn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập
tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao” [25, tr.21].
Trong cuốn: “Sáng tạo Toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể
coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán
sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng
lớn, có dạng mn màu mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí
dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp
dụng cho những bài tốn khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một
cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài tốn tuy khơng giải được nhưng
tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [22].
Nhƣ vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tƣ duy sáng tạo,
nhƣng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tƣ duy sáng tạo là là sự mới mẻ của
tƣ duy (đồng thời đây cũng là điểm để ta phân biệt giữa tƣ duy sáng tạo với tƣ
duy tái tạo), nó là một dạng tƣ duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tƣ duy
tái tạo về bản chất, tƣ duy sáng tạo. Sự sản sinh ra cái mới chính là sự khác biệt
giữa tƣ duy sáng tạo với tƣ duy tái tạo. Thật vậy, tƣ duy sáng tạo dẫn đến tri
thức mới về thế giới về các phƣơng thức hoạt động. Lecne đã chỉ ra các thuộc

tính sau đây của tƣ duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tƣợng quen biết.
- Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tƣợng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu
lời giải (khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau).


14
- Kỹ năng kết hợp những phƣơng thức giải đã biết thành một phƣơng
thức mới.
- Kỹ năng tạo ra một phƣơng thức giải độc đáo tuy đã biết những phƣơng
thức khác (Lecne - dạy học nêu vấn đề - NXBGD - 1977).
Krutexki chỉ ra 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba
dạng tƣ duy, nói nên điều kiện cần của tƣ duy sáng tạo là tƣ duy độc lập và tƣ
duy tích cực.
Sơ đồ 1.2. 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tư duy
Tƣ duy tích cực

Tƣ duy độc lập

Tƣ duy sáng tạo
1.1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học,… có năm đặc
trƣng cơ bản về cấu trúc của tƣ duy sáng tạo nhƣ sau:
- Tính mềm dẻo, linh hoạt
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hồn thiện

- Tính nhạy cảm vấn đề
a) Tính mềm dẻo, linh hoạt


15
Tính mềm dẻo và tính linh hoạt thể hiện khả năng dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chuyển từ đối tƣợng suy nghĩ
này sang đối tƣợng suy nghĩ khác; biết thay đổi phƣơng pháp cho phù hợp với
điều kiện, hồn cảnh, khơng bị gị bó, rập khn bởi những gì đã có. Và nếu
gặp trở ngại sẽ điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ... Đặc trƣng thứ nhất của
tính mềm dẻo có thể đƣợc phát triển thông qua vấn đề kết thúc mở ở giả thiết
và kết luận đƣợc thiết kế bằng cách tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa
vấn đề ban đầu.
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tƣợng quen biết và nhận ra vấn đề mới
trong điều kiện quen thuộc. Đặc trƣng thứ ba của tính mềm dẻo có thể đƣợc phát
triển thơng qua một số dạng vấn đề kết thúc mở: kết thúc mở ở kết luận, kết thúc
mở ở lời giải.
b) Tính nhuần nhuyễn
Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng
lẻ của tình huống hồn cảnh, đƣa ra ý tƣởng mới và giả thuyết mới. Là khả năng
tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều tình huống và góc độ khác nhau. Các nhà
tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lƣợng của ý tƣởng sinh ra, lấy đó làm tiêu
chí để đánh giá sáng tạo.
c) Tính độc đáo
Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phƣơng thức lạ hoặc duy nhất.
Thông qua lời giải của HS khi thực hiện bài tập ngƣời ta có thể phát hiện tính
độc đáo trong tƣ duy sáng tạo của các em.
Nó thể hiện ở khả năng phát hiện cái mới, khác lạ, khơng bình bình
thƣờng trong q trình nhận thức sự vật.
d) Tính hồn thiện

Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý
tƣởng, kiểm tra và chứng minh ý tƣởng.


16
e) Tính nhạy cảm vấn đề
Năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu
logic, chƣa tối ƣu… do đó nảy sinh ra ý muốn cấu trúc hợp lí, tạo ra cái mới.
Mọi phát hiện - bắt đầu từ sự phát hiện một vật mọi ngƣời đều có thể nhìn
thấy, là một sự chinh phục tri thức mang theo phát minh và sáng tạo. Nhƣ SzentGyorgy nói, phát hiện “là nhìn thấy những gì mọi ngƣời đã nhìn thấy nhƣng
nghĩ những gì ngƣời ta chƣa nghĩ đến”.
“Nhìn thấy những gì mọi ngƣời đã nhìn thấy” Điều đó có nghĩa là nhìn
thấy những gì vơ hình theo một tri giác bình thƣờng, và biến cái nhìn một hiện
tƣợng hiển nhiên thành một hiện tƣợng gây kinh ngạc. Chẳng hạn, chàng thanh
niên Newton nhìn thấy một quả táo rơi không chỉ là một quả táo rơi, mà cịn là
một vật vận động hút vật thể đó xuống đất. Để nhìn thấy theo cách ấy những gì
mọi ngƣời nhìn mà khơng thấy, anh phải có một cách nhìn mới để đổi mới tri
giác của mình, điều này địi hỏi anh phải tìm hiểu và bắt đầu suy nghĩ những gì
chƣa ai nghĩ đến. Cuối cùng, khi anh nhìn thấy một quả táo rơi là biểu hiện đặc
trƣng của sự hấp dẫn phổ biến, thì thật ra khi đó anh đã tạo ra một quan niệm
mới cho phép anh nhìn thấy khác hơn những gì mọi ngƣời đã thấy rồi. Trên thực
tế, “nhìn thấy những gì mọi ngƣời đã nhìn thấy” địi hỏi một quan niệm mới
(“nghĩ những gì chƣa ai nghĩ”), quan niệm này khởi đầu một sự hội nhập của
những gì trƣớc đây khơng thể nhìn thấy - dù đã “thấy” - vào tri giác và qua đó,
khởi đầu sự biến đổi của nó. Nói cách khác, có sự phụ thuộc qua lại giữa “thấy
những gì mọi ngƣời đã nhìn thấy” và “nghĩ những gì chƣa ai nghĩ tới”, chính
chữ “và” liên kết liên kết hai phát biểu với nhau này phải đƣợc quan niệm nhƣ
một sợi dây tạo thành một cái vịng, ở đó việc nhìn thấy một cái hiển nhiên
khơng đƣợc nhìn thấy quyết định sự sáng tạo ra một quan niệm không hề hiển
nhiên chút nào, và sự sáng tạo này lại quyết định một cái nhìn mới để thấy cái

hiển nhiên.


17
Và điều quan trọng là để có thể bồi dƣỡng và phát triển tốt hơn năng lực
của HS thì ngƣời GV phải có phƣơng pháp dạy học thích hợp để kích thích và
thúc đẩy tƣ duy của HS.
1.2. Vấn đề k t thúc mở trong dạy học toán
1.2.1 Vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim: “Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần
tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó. Một tình huống
được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể
có thể là người, cịn khách thể lại là một hệ thống nào đó. Nếu trong một tình
huống, chủ thể cịn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì tình huống
này được gọi là một tình huống bài tốn đối với chủ thể. Trong một tình huống
bài tốn, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó dựa
vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài tốn.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay một thuật giải
nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán. Say đây là một vài lưu ý:
Thứ nhất, hiểu như trên thì vấn đề khơng đồng nghĩa với bài bài tốn.
Những bài tốn nếu chỉ yêu cầu học sinh đơn thuần trực tiếp áp dụng một thuật
giải, chẳng hạn giải một phương trình bậc hai dựa vào các cơng thức đã học, thì
khơng phải là những vấn đề.
Thứ hai, khái niệm vấn đề như trên thường được dùng trong giáo dục. Ta
cần phân biệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề trong nghiên cứu khoa học. Sự
khác nhau là ở chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chưa biết
một số phần tử” và “chưa biết thuật giải để tìm một phần tử chưa biết” là mang
tính khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chưa biết chứ
khơng phải chỉ là một học sinh nào đó chưa biết.

18
Thứ ba, hiểu theo nghĩa được dùng trong giáo dục thì các khái niệm vấn
đề mang tính tương đối. Bài tốn u cầu giải phương trình bậc hai khơng phải
là một vấn đề khi học sinh đã học các công thức tính nghiệm, nhưng lại là một
vấn đề khi họ chưa được học công thức này”.
Theo Nguyễn Sơn Hà: “Khi đối tượng phải giải một bài tốn, có hai khả
năng xảy ra: Khả năng thứ nhất, đối tượng giải đáp được ngay bài tốn. Khả
năng thứ hai, đối tượng khơng giải đáp được ngay bài toán mà cần một sự nỗ
lực của trí tuệ. Khi đó, bài tốn được gọi là một vấn đề”. [9, tr.8]
Vấn đề là một khái niệm có tính tƣơng đối. Một bài tốn có thể là vấn đề
của ngƣời này nhƣng lại có thể khơng là vấn đề của ngƣời khác, một bài tốn có
thể là vấn đề của xã hội trong giai đoạn này nhƣng lại không phải là vấn đề của
xã hội trong giai đoạn khác. Chính vì thế khái niệm về vấn đề chỉ là tƣơng đối.
Các vấn đề mà HS gặp ở trƣờng phổ thông thƣờng không phải là vấn đề của xã
hội vì các vấn đề mà HS gặp phải thì GV đã giải quyết đƣợc nó và đặt ra cho HS
giải quyết.
1.2.2 Vấn đề kết thúc mở
Vấn đề kết thúc mở có nội dung tốn cụ thể cho phép học sinh trả lời một
cách phù hợp tùy theo mức độ của học sinh. Hầu hết các vấn đề kết thúc mở địi
hỏi sự nhập cuộc trí tuệ của học sinh, nó tạo điều kiện cho các em học tập thông
qua sự nhập cuộc. nhiều vấn đề loại này cũng cho cơ hội thành lập các tổng quát
hóa từ những kết quả đạt đƣợc [30, tr.40].
1.2.2.1. Phân biệt vấn đề kết thúc đóng - vấn đề kết thúc mở
Theo [30, tr.42], căn cứ vào tính chất đóng hoặc mở của tình huống xuất
phát và của tình huống kết thúc của bài toán, so sánh đối chiếu các “bài toán kết
thúc mở” với bài các “bài tốn kết thúc đóng” qua bảng sau: