ĐỀ tài MA TRẬN đối XỨNG, xác ĐỊNH DƯƠNG và các ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI
MA TRẬN ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ CÁC ỨNG DỤNG

LỚP: DT01, NHÓM 6, HK203
GVHD: TS. ĐẶNG VĂN VINH

SINH VIÊN THỰC HIỆN
STT

MSSV

HỌ VÀ TÊN

1

1910333

Đinh Mạnh

2

1912560

Đinh Đức Anh

3

1911951

Phạm Anh Quốc

4

1952012

Nguyễn Hùng Anh

5

1911080

Phan Minh Giang

TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2021


Mục Lục:

Phần mở đầu: .............................................................................................................................. 3
Ma trận đối xứng, xác định dương và ứng dụng ..................................................................... 4
Chương 1: Lý thuyết về ma trận đối xứng, xác định dương ........................................................ 4
1.1.

Ma trận đối xứng............................................................................................................... . 4

1.2.

Ma trận bán xác định, xác định. ......................................................................................... 4

1.3.

Tính chất: ........................................................................................................................... 5

Chương 2: Ứng dụng của ma trận đối xứng, xác định dương ...................................................... 7
2.1.

Ma trận Pascal: .................................................................................................................. 7

2.2.

Ma trận hiệp phương sai: ................................................................................................... 9

Tài liệu tham khảo .................................................................................................................... 12


PHẦN MỞ ĐẦU
Ma trận đối xứng là một loại ma trận đặc biệt trong các loại ma trận. Đặc biệt ma trận đối
xứng, xác định dương (các phần tử của ma trận đối xứng đều lớn hơn 0) có nhiều ứng
dụng trong thực tế.
Bài báo cáo của nhóm có mục đích giới thiệu, trình bày một số kiến thức cơ bản về ma
trận xác định dương và một vài ứng dụng của nó trong thực tế: Ma trận Pascal, Ma trận
hiệp phương sai, ... Mội dung bài báo cáo gồm 2 chương:
−

Chương 1: Lý thuyết về ma trận đối xứng, xác định dương.

−

Chương 2: Ứng dụng của ma trận đối xứng, xác định dương.


MA TRẬN ĐỐI XỨNG, XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG

Chương 1: Lý thuyết về ma trận đối xứng, xác định dương
1.1.

Ma trận đối xứng.
Ma trận A  M n [R] gọi là ma trận đối xứng, thực, nếu AT = A . Mỗi phần tử của một ma

trận đối xứng thì đối xứng qua đường chéo chính aij = a ji .
 1 −2 3 


Ví dụ: A =  −2 4 5  . Ta dễ thấy ma trận A là ma trận đối xứng vì: các phần tử
 3 5 7


a12 = a21 = −2; a13 = a31 = 3; a23 = a32 = 5 .

1.2.

Ma trận bán xác định, xác định.
Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực Q( X ) = X T AX , A  M n [ R], X = ( x1 , x2 , x3 ,.., xn ).
Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương.

Dạng toàn phương Q(X) được gọi là:
−

Xác định dương, nếu X  0, Q( X )  0;

−

Xác định âm, nếu X  0; Q ( X )  0

−

Bán xác định dương, nếu X  0, Q ( X )  0 và tồn tại X a  0 để Q( X a ) = 0 ;

−

Bán xác định âm, nếu X  0, Q( X )  0 và tồn tại X b  0 để Q( X b ) = 0 ;

−

Không xác định dấu, nếu tồn tại X1, X2 sao cho Q( X1 )  0, Q( X 2 )  0 .

Dạng toàn phương Q( X ) = X T AX xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của
A đều dương.
Ví dụ: Q( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2

 1 0 0  x1 

 
x3 )  0 3 0  x2  = x12 + 3x2 2 + 5 x32
 0 0 5  x 


 3 

1 0 0
Ma trận A =  0 3 0  xác định dương vì X  0, Q ( X )  0.
0 0 5




Hay nói cách khác, trị riêng của A: Det ( A −  I ) = 0  (1 −  )( 3 −  )( 5 −  ) = 0
  = 1;  = 3;  = 5. Ta có thể thấy rằng các trị riêng

 đều mang giá trị dương, vậy nên

dạng toàn phương Q ( X ) là xác định dương, A là ma trận xác định dương.
Tiêu chuẩn Sylvester: Cho A = (aij )n nghĩa là A  M n  R  đối xứng. Các định thức con có
đường chéo là một phần của đường chéo chính của ma trận A được gọi là định thức con
chính:

1

= a11 = a11 ; 2 =

a11

a12

a21 a22

;...

Dạng toàn phương Q( X ) = X T AX xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính
của ma trận A đều dương.
Dạng tồn phương Q( X ) = X T AX xác định âm khi và chỉ khi ( −1)
1.3.

k
k

 0, k  1; 2;...; n .

Tính chất:

1.3.1. Nếu A,B là những ma trận đối xứng xác định dương và A  B thì với mọi ma trận X, ta
có X * AX  X * BX
Chứng minh : Vì B  A nên giả sử C là căn bậc hai dương của B − A , khi đó với mọi trận
X ta có:
X *( B − A) X = X * CCX = ( X * C )( CX ) = ( CX ) * ( CX )  0

Suy ra:
X * ( B − A ) X  0  ( X * B − X * A ) X  0  X * BX − X * AX  0  X * BX  X * AX
 A

X

1.3.2. Giả sử A,B là những ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó, ma trận khối 
 là
X* B
xác định dương khi và chỉ khi A  XB−1 X * .

 I
Chứng minh: Đặt M =  −1 *
 −B X
I

− XB −1   A
 *
I  X
0

Ta có: 

I
0
*

thì
M
=

0
I


X  I

B  − B −1 X *

( −B

*
X * )   I − XB −1 
=

 0
I 
I


−1

0   A − XB −1 X *
=
I 
0

 A − XB −1 X *
Do B là ma trận xác định dương nên ma trận 
0


0

B

0
 là xác định dương khi và
B

chỉ khi A − XB −1 X *  0 hay A  XB−1 X * . Do phép biến đổi T * AT bảo toàn giá trị riêng nên

 A
 *
X

 A − XB −1 X *
X
 là ma trận xác định dương khi là chỉ khi 
B
0

 A

dương. Vậy  *
X

0
 là ma trận xác định
B

X
−1 *
 là ma trận xác định dương khi và chỉ khi A  XB X .
B

 A A

1.3.3. Ma trận A là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi 
 là ma trận xác định dương.

 A A
Kí hiệu A = A* A và gọi là phần dương hay giá trị tuyệt đối của A. Ta có:
A
Hệ quả 1: Với mọi ma trận A bất kỳ thì 
A


A* 
 là ma trận xác định dương.
A* 
A

Hệ quả 2: Nếu ma trận A là chuẩn tắc thì ma trận 

A

A* 
 là xác định dương.
A 

Chứng minh: Theo định nghĩa, ma trận A được gọi là chuẩn tắc nếu AA* = A* A . Khi ấy
A = A* A = AA* = A* . Hệ quả 2 được suy ra từ hệ quả 1.

1.3.4. Giả sử A, B là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy:
As B s  AB ,0  s  1
s


Chương 2: Ứng dụng của ma trận đối xứng, xác định dương
2.1.

Ma trận Pascal:

2.1.1. Có 3 cách để viết một ma trận Pascal.
Lower-triangular matrix: ma trận tam giác dưới của ma trận Pascal.
Ký hiệu: Ln là ma trận tam giác dưới của tam giác Pascal, vng cấp n.

Ví dụ:

1
1
L5 = 1
1
(1

0
1
2
3
4

0
0
1
3
6

0
0
0

1
4

0
0
0
0
1)

Upper-triangular matrix: ma trận tam giác trên của ma trận Pascal
Ký hiệu: Un là ma trận tam giác trên của tam giác Pascal, vng cấp n.

Ví dụ:

1
0
U5 = 0
0
(0

1
1
0
0
0

1
2
1
0

0

1
3
3
1
0

1
4
6
4
1)

Symmetric matrix: ma trận đối xứng của tam giác Pascal.
Ký hiệu: Sn là ma trận đối xứng của tam giác Pascal, vuông cấp n.

Ví dụ:

1
1
S5 = 1
1
(1

1
2
3
4
5

1
3
6
10
15

1
4
10
20
35

1
5
15 .
35
70)

Ta có:
Ln = U nT
Sn = Ln .U n
det( Sn ) = 1, n  N *

Chứng minh: det( Sn ) = det ( LnU n ) = det ( Ln ) .det (U n ) , mà Ln và Un là ma trận tam giác,
𝑑𝑒𝑡 = 𝑡í𝑐ℎ 𝑐á𝑐 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử 𝑡𝑟ê𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑐ℎé𝑜 𝑐ℎí𝑛ℎ = 1 => det(𝑆𝑛 ) = 1.
Vậy ma trận Sn là ma trận đối xứng xác định dương n  N * .


Để có thể tính Ln .U n ta có thể sử dụng tam giác Pascal như hình sau:

Ma trận L3: ta điền thêm 3 chữ số 0 vào 3 vị trí l12 , l13 , l23

Ma trận U3: ta điền thêm 3 chữ số 0 vào 3 vị trí u12 , u13 , u23

Ma trận S3:

Nếu gộp cả 3 ma trận vào 1 hình, ta được:


2.1.2. Ứng dụng.
Ứng dụng trong xác suất.
Ví dụ: Tam giác Pascal có thể cho bạn thấy có bao nhiêu cách đầu và đi có thể kết hợp.
Điều này sau đó có thể cho bạn thấy "tỷ lệ cược" (hoặc xác suất) của bất kỳ kết hợp nào.
Ví dụ, nếu bạn ném 1 đồng xu 3 lần, chỉ có 1 tổ hợp cho bạn kết quả là 3 ngửa (NNN),
nhưng có 3 cái sẽ cho 2 sấp,1 ngửa (NNS;NSN;SNN), cũng có 3 trường hợp là 1 sấp và 2
ngửa (NSS;SNS;NNS) và 1 trường hợp cho kết quả là toàn bộ ngửa (NNN). Đây là mơ
hình “1,3,3,1” trong tam giác Pascal.
Ném
1
2

3

4

Kết quả có thể (nhóm)
N
S
NN
NS SN

SS
NNN
NNS ; NSN ; SNN
NSS ; SNS ; SSN
SSS
NNNN
NNNS ; NNSN ; NSNN ; SNNN
NNSS ; NSNS ; NSSN ; SNNS ; SNSN ; SSNN
NSSS ; SNSS ; SSNS ; SSSN
SSSS
…….

Tam giác Pascal
1,1
1, 2, 1

1,3,3,1

1,4,6,4,1

Xác suất nhận được chính xác 2 mặt ngửa với 4 lần ném đồng xu là bao nhiêu ?
Có 1+4+6+4+1 = 16 kết quả có thể xảy ra. Và 6 trường hợp trong số chúng cho chính xác
2 mặt ngửa. Vì vậy, xác suất là 6/16 hay 37,5%.
2.2.

Ma trận hiệp phương sai:

2.2.1. Định nghĩa
Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vng hạng (m ×
m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần

lượt là phương sai tương ứng của các biến này (Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần
tử cịn lại (khơng nằm trên đường chéo) là các hiệp phương sai của đôi một hai biến ngẫu
nhiên khác nhau trong tập hợp.


Ký hiệu X là một vector cột, X i là các thành phần của vector này.
X = (X1 , X 2 , . . . , X n )T
Nếu các thành phần của vector cột là các biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (khơng
q lớn tới vơ cực), thì ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ là một ma trận mà
có thành phần (i, j) là hiệp phương sai:
Σ𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝐸[(𝑋𝑖 − 𝜇𝑖 )(𝑋𝑗 − 𝜇𝑗 )
Trong đó:
𝜇𝑖 = 𝐸(𝑋𝑖 )
là giá trị kỳ vọng của thành phần thứ i của vector X. Nói cách khác, chúng ta có:
 cov( X 1 , X 1 ) cov( X 1 , X 2 )

 cov( X 2 , X 1 ) cov( X 2 , X 2 )
 = cov( X ) = 



 cov( X , X ) cov( X , X )
n
1
n
2


... cov( X 1 , X n ) 


 cov( X 2 , X n ) 




 cov( X n , X n ) 

Là ma trận hiệp phương sai của vector X.
Ma trận hiệp phương sai có nhiều ứng dụng trong kinh tế lượng và ước lượng mơ hình.
2.2.2. Tính chất:
Tính đối xứng. Do:
Cov( X i , X j ) = Cov( X j , X i )

Tính bán xác định dương
Chứng minh:
xT  x =

n

u 

i , j =1

=

i

uj

ij

n

 Cov(u X , u

i , j =1

i

i

j

X j)



= Cov  ui X i ,  u j X j   0
j
 i


Do có tính bán xác định dương nên ma trận hiệp phương sai có các trị riêng khơng âm
(dương nếu ma trận xác định dương).
Từ các tính chất trên dẫn đến một đặc điểm quan trọng nhất của ma trận hiệp phương sai
đó là tính bán xác định dương, điều này dẫn đến sự phân rã Cholesky.


Phân rã Cholesky là phân rã một ma trận xác định dương thành tích của ma trận tam giác
dưới và chuyển vị của nó.

 l11 0

l
l
T
 = LU = LL =  21 22


 ln1 ln 2

0  l11 l21

0  0 l22


l11  0 0

ln1 

ln 2 


lnn 

2.2.3. Ứng dụng:
Mơ hình ngẫu nhiên:
Mơ hình ngẫu nhiên là một dạng mơ hình tài chính được sử dụng để giúp đưa ra các quyết
định đầu tư. Loại mơ hình này dự báo xác suất của các kết quả khác nhau trong các điều
kiện khác nhau, sử dụng các biến ngẫu nhiên.
Mơ phỏng Monte Carlo trong kỹ thuật tài chính:

Mơ phỏng Monte Carlo là một ví dụ của Mơ hình ngẫu nhiên trong đó có ứng dụng ma
trận hiệp phương sai.
Với công thức chuẩn cho sự phát triển giá cổ phiếu giả định giá cổ phiếu tuân theo chuyển
động hình học Brown, giá cổ phiếu tương quan có thể được tính bằng cách áp dụng phép
phân rã Cholesky cho ma trận hiệp phương sai. Nên trong kỹ thuật tài chính, mơ phỏng
Monte Carlo đóng một vai trị lớn trong việc định giá quyền chọn trong đó lợi nhuận của
phái sinh phụ thuộc vào một giỏ tài sản cơ bản.
Trong toán học, thuật tốn Monte Carlo là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều
bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp
khác, chẳng hạn bằng tính tích phân. Hiệu quả của phương pháp này, so với các phương
pháp khác, tăng lên khi số chiều của bài toán tăng.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đ. V. Vinh, Đại số tuyến tính, Hồ Chí Minh: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh, 2019.
[2] Đ. T. Sỹ, "Ma trận xác định dương và một số ứng dụng - Luận văn thạc sĩ," 2010.
[3] Maher Moakher and Philipp G. Batchelor, "Symmetric Positive-Definite Matrices:
From Geometry to Applications and Visualization," Symmetric Positive-Definite
Matrices: From Geometry to Applications and Visualization, p. 286, 2014.