6 TUYỂN CHỌN các bài TOÁN bđt

Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
ĐỀ THI HSG VÀ ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN
Bài 1. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xy  yz  zx  6.
2
2
2
Chứng minh rằng: x  y  z �3

(Vòng 2, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2003-2004)
2
2
2
2
2
2
Gợi ý: Chứng minh x  y  z �xy  yz  zx và x  y  z  3 �2 x  2 y  2 z.

Lời giải

 x  y
Ta có

2

  y  z    z  x  �0 � 2  x 2  y 2  z 2   2  xy  yz  zx  �0
2

2

� 2  x 2  y 2  z 2  �2  xy  yz  zx 

(1)

2
2
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức a  b �2ab ta có:

x 2  y 2  z 2  3   x 2  1   y 2  1   z 2  1 �2 x  2 y  2 z

Từ (1) và (2) ta suy ra:

(2)

3  x 2  y 2  z 2   3 �2  x  y  z  xy  yz  zx 

2.6  3
� x2  y 2  z 2 �
3
3
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh số
B

a
b
c

d



a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b khơng phải là số ngun.

(Vịng 2, THPT chun Hà Tây 2005-2006)
a
a
ad


Gợi ý: Sử dụng tính chất tỉ số a  b  c  d a  b  c a  b  c  d , suy ra 1  B  2.

Lời giải

a
a
b
b


Với a, b, c, d  0 ta có: a  b  c a  b  c  d ; b  c  d a  b  c  d ;
1|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

c
c
d
d


c  d  a a  b  c  d và d  a  b a  b  c  d

Cộng 4 bất đẳng thức trên lại vế theo vế ta được:

Mặt khác ta lại có kết quả:

0

Thật vậy (*) tương đương với

B

abcd
1
abcd
(1)

x
x x z
1� 
, z  0
y
y yz
(*)

x  y  z   y  x  z  � xz  yz � x  y

(đúng)

Vậy (*) được chứng minh.

a
ad

Áp dụng (*) ta được: a  b  c a  b  c  d
b
ba
c
cb
d
d c

;

;

Chứng minh tương tự ta có: b  c  d a  b  c  d c  d  a a  b  c  d d  a  b a  b  c  d

Cộng 4 bất đẳng thức lại vế theo vế ta được:

B

2 a  b  c  d 
2

abcd
(2)

Từ (1) và (2) suy ra 1  B  2 . Vậy B không phải là số nguyên.
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1.
1
1
1


�1.
3
3
3
3
3
3
Chứng minh rằng: 1  a  b 1  b  c 1  c  a

(Thi học sinh giỏi, TP Hà Nội 2009-2010)
Gợi ý:

a 3  b3  1 �ab  a  b   abc  ab  a  b  c  .

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức

x 3  y 3 �xy  x  y  , x, y  0

(*)

x 2  xy  y 2 �xy �  x  y  �0
2

Chứng minh: Thật vậy (*) tương đương với
Khi đó, ta có

Suy ra

(đúng)

1  a 3  b 3  abc  a 3  b3 �abc  ab  a  b   ab  a  b  c 

1
1
abc
c
�


3
3
1 a  b
ab  a  b  c  ab  a  b  c  a  b  c

(1)
2|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

1
a
1
a
�
�
3
3
3
3
a  b  c (2); 1  b  c
a  b  c (3)
Chứng minh tương tự: 1  b  c
Cộng (2), (2), (3) vế theo vế suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
1 1
1
1
1
  2.
 2
�
4
2
2
4
2

Bài 4. Cho hai số dương a, b thỏa mãn a b
Chứng minh: a  b  2ab a  b  2a b 2

(THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2012-2013)

1
1
1
1
1
 2 4
�


2
2
a  b  2ab a  b  2a b 2ab  a  b  2ab  a  b  ab  a  b 
4

Gợi ý: Sử dụng BĐT Cauchy

Dễ dàng chứng minh được

2

1
1
�
ab  a  b  2

1 1
  2.
với giả thiết a b

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

Suy ra:

a 4  b 2 �2a 2b � a 4  b 2  2ab 2 �2a 2b  2ab 2  2ab  a  b 

1
1
�
2
a  b  2ab
2ab  a  b 
4

2

Chứng minh tương tự:

(1)

1
1
�
2
a  b  2a b 2ab  a  b 

2

4

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:

(2)

1
1
1
 2
�
2
4
2
a  b  2ab
a  b  2a b ab  a  b 
4

2

1 1
2
  2 � a  b  2ab
a �۳۳
b
4ab

a

b
Từ giả thiết, ta có:
. Vì

1
1
1
 2
� 2 2
2
4
2
Do đó a  b  2ab a  b  2a b 2a b
4

2

 2ab 

2

4ab

ab 1

(3)

(4)

1

1
1
 2
�
2
4
2
Từ (3) và (4) ta suy ra: a  b  2ab a  b  2a b 2 (đpcm)
4

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  1 .
Bài 5. Cho bốn số dương a, b, c, d . Đặt
3|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

x  2a  b  2 cd , y  2b  c  2 da
z  2c  d  2 ab , t  2d  a  2 bc

Chứng minh rằng trong bốn số x, y , z , t có ít nhất hai số dương
(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP 2005-2006)
Gợi ý: Sử dụng tính chất cơ bản của số học: ‘‘Tổng của hai số bất kì lớn hơn 0 thì ít nhất một trong hai
số đó dương’’. Xét x  z và y  t , dễ dàng chứng minh x  z  0 và y  t  0.

Bài 6. Chứng minh bất đẳng thức

1
1
1

 ... 
 4.
1 2
3 4
79  80

(Vòng 1, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2011-2012)

Gợi ý: Đặt

A

1
1
1
1
1
1

 ... 
; B

 ... 
.
1 2

3 4
79  80
2 3
4 5
80  81

Dễ thấy A  B và

1
1
1
1
1


 ... 

1 2
2 3
3 4
79  80
80  81

A B 

 2  1  3  2  4  3  ...  80  79  81  80  81  1  8.
Suy ra A  4.
Bài 7. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz  1. Chứng minh rằng
xy
yz

zx
 3
 3
�1.
3
3
x  y  xy y  z  yz z  x 3  zx
3

3
VT �
x  y �xy  x  y 
x yz
Gợi ý: Sử dụng BĐT
. Khi đó ta cm được
3

3

3
VT
�
�1
x  y  z �3 3 xyz  3
x

y

z
vì

nên
(đpcm).
a
b
c


�1.
0;1 .

a
,
b
,
c
Bài 8. Cho ba số thực
thuộc đoạn
Chứng minh: 1  b  ca 1  c  ab 1  a  bc

Gợi ý: Đây là bài toán biến bị chặn trên một đoạn, từ cơ sở đó ta nghĩ đến đánh giá sau đây
b

b

 a  1  b  1 �0 � 1  ab �a  b . Suy ra 1  c  ab �a  b  c
4|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

a
a
c
c
�
;
�
;
Chứng minh tương tự ta có 1  b  ca a  b  c 1  a  bc a  b  c

Cộng vế các bđt suy ra đpcm.
Bài 9. Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c .Chứng minh rằng:

a  b  c   b  c  a   c  a  b  �a 3  b 3  c 3 .
2

Gợi ý: Biến đổi BĐT tương đương

2

2

 a  b  c   b  c  a   c  a  b   0.

BĐT trên hiển nhiên đúng với a, b, c là độ dài các cạnh tam giác. Suy ra đpcm.

Bài 10. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1. Chứng minh rằng:

2 x 2  xy  2 y 2  2 y 2  yz  2 z 2  2 z 2  zx  2 x 2 � 5.
(THPT chuyên Thái Bình 2005-2006)

x y
2

Gợi ý: Chú ý:

2

 x  y
�
2

2

3 x  y    x  y 
3 x  y 
x  xy  y 
�
4
4
và
2

2

2

2

2

Bài 11. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a
b
c


 1.
bc
ca
ab

Gợi ý: Tư duy như thế nào cho hợp lý???

• Nhắc đến tam giác ta phải nghĩ ngay đến BĐT tam giác:

a bc �0

a
 1.
bc

A A
A

1
B

• Từ đây ta suy nghĩ đến một phân số
có tính chất gì?? Đó là B B . Sử dụng tính chất này
a
b
c
a
b
c





ca
a b b c c  a a b
ta có thể đánh giá và thoát được căn thức, tức là: b  c
0

a
b
c


 1??
• Làm sao để chứng minh tiếp b  c c  a a  b

Đó là làm trội các hạng tử, hiển nhiên có:
hạng tử cịn lại suy ra đpcm.

bc  abc �

a
a

b  c a  b  c , đánh giá tương tự cho hai

5|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG





x 2 y 2 x 2  y 2 �2.
Bài 12. Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y  2. Chứng minh rằng:
(THPT TP Hà Nội 2005-2006)
2

Gợi ý: Ta có

x y

2

x

2

y

2



1
1  x  y
 xy.2 xy  x 2  y 2  �
2
2
4

2

 2 xy  x

2

 y2 

2

4

 2.

1

1
1
 2
 2
�9.
Bài 13. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Chứng minh rằng: a  2bc b  2ca c  2ab
2

(Chuyên KHTN ĐHQG Hà Nội 1992-1993)
1 1 1
9
  �
Gợi ý: Sử dụng BDT x y z x  y  z

1 1 1
1
1 �
� 1
  �3 �


.
�
�a  2b b  2c c  2a �
Bài 11. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh a b c
(THPT chuyên ngữ ĐHQG Hà Nội 2007-2008)
Bài 12. Cho a, b, c  1. Chứng minh rằng

a
b

c


�12.
b 1
c 1
a 1

(THPT chuyên TP Hải Phòng 2005-2006)
Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:
a

 ab  a  1

2



b

 bc  b  1

2



c

 ca  c  1

2

1
�
.
abc

(Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008)

Bài 14. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

S

a2
3a 2  8b 2  14ab



b2
3b 2  8c 2  14bc



abc
�
.
5
3c 2  8a 2  14ca
c2

(Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2009-2010)

Gợi ý:

3a 2  8b 2  14ab 

 3a  2b   a  4b 

4a  6b
�
 2a  3b.
2
Khi đó

6|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

a2
b2
c2
S�


2a  3b 2b  3c 2c  3a , dùng kĩ thuật điểm rơi hoặc sử dụng BĐT bunhiacopxki � đpcm.
1 1 1
   1.

x  2   y  2   z  2  �1.
Bài 15. Cho x, y, z  2 và x y z
Chứng minh rằng: 

(THPT chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2005-2006)
Gợi ý: Ta thấy hơi lạ là BĐT cần chứng minh xuất hiện dấu ‘‘trừ’’. Tuy nhiên để ý thấy x  2, y  2, z  2
đều là các số dương vì x, y, z  2 . Do đó một cách tự nhiên suy nghĩ đến đổi biến bằng cách đặt ẩn phụ

a  x  2, b  y  2, c  z  2. Khi đó bài tốn trở thành cho
abc �1.

a, b, c  0,

1
1
1


 1.
a2 b2 c2
CMR:

1
1
1
1
b
c
b
c



1�


�2
.
a2 b2 c2
b2 c2
Giả thiết a  2 b  2 c  2
Đánh giá tương tự cho hai hạng tử còn lại, sau đó nhân vế theo vế suy ra đpcm.

2
2
Bài 16. Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a  b �2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  a 3b  a  2b   b 3a  b  2a  .

(THPT chuyên Đại Học Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội 2008-2009)

Gợi ý:

P  a 3b  a  2b   b 3a  b  2a  �a.

a  5b
b  5a a 2  b 2  10ab
 b.

�3  a 2  b 2  �6.
2

2
2

Bài 17. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a �1, b �2, c �3, d �4. Chứng minh rằng:

abc d  4  abd c  3  acd b  2  bcd a  1 1
2
3
4
� 


.
abcd
2 4
6
8
Bài 18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

4a
9b
16c


.
bc a a cb a bc

(Vòng 2, chuyên ĐHSP Hà Nội 2002-2003)

7|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Gợi ý: Đặt x  b  c  a, y  c  a  b , z  a  b  c. Khi đó
2 y  2 z 9 x  9 z 8 x  8 y �2 y 9 x � �2 z 8 x � �9 z 8 y �
P


� 
� �  � �  ��26.
x
2y
z
z � �2 y z �
�x 2 y � �x
Bài 19. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x  y  z  6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
2
2
2
nhất của biểu thức P  x  y  z .
(Vòng 2, THPT chuyên TP Hà Nội 2011-2012)

A x  y z
2

Gợi ý:

2

2

 x  y  z
�

2

 12.

3

36   x  y  z   A  2  xy  yz  zx  �A.
2

Lại có

Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

A

x 2  10 x  16
.
x2  2x  2

Gợi ý: Dùng tam thức bậc hai
Bài 21. Cho các số thực x, y thỏa mãn x  8 y  0. Tìm GTNN của

P  x
Gợi ý:

P  x

1
.
y  x 8y

1
1
1
 x  8y  8y 
�3 3  x  8 y  8 y
y  x  8y
y  x  8y
y  x  8y

2
2
2
Bài 22. Cho 0 �a, b, c �2, a  b  c  3. Tìm GTLN của P  a  b  c .

Gợi ý: Từ giả thiết suy ra

a a �
2 

0

a2

2a.

2
2
2
Bài 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện b  c �a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
�1 1 �
P  2 b2  c2  a2 � 2  2 �
.
a
�b c �
thức:





(Vòng 2, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008)

b2  c2
4a 2
b2  c2
a2
3a 2
b2  c2 a 2
P� 2  2 2 



�
2
.
 3.1  5.
a
b c
a2
b2  c2 b2  c2
a 2 b2  c2
Gợi ý:
Bài 24. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 .

(Vòng 2, THPT chuyên Hà Tây 2008-2009)
8|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

3
2
x 2  xy  y 2 �  x  y  .
4
Gợi ý: Sử dụng BĐT
Suy ra P � 3.

Phát triển bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a  2b  3c  18.

2
2
2
2
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a  2ab  4b  4b  6bc  9c  9c  3ca  a

Bài 25. Cho

a, b  0,

a
3b

 1.
3
a 1 b 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab .

a
b
c
d



 1.
1 a 1 b 1 c 1 d
Gợi ý: Đây là TH đặc biệt của bài tốn gốc là: Cho

Tìm
GTLN của biểu thức P  abcd . Nếu cho b  c  d thì ta được bài tốn trên.
a, b, c, d  0,

a
b
c
d
b
c
d
1



1�



1 b 1 c 1 d 1 a
Gợi ý: 1  a 1  b 1  c 1  d

Áp dụng BĐT Cauchy:
còn lại.

1
b
c
d
bcd




�3 3
1 a 1 b 1 c 1 d
 1 b  1 c  1 d 

Bài 26. Cho a, b là các số thực thỏa mãn

 1 a  1 b 

, tương tự cho các hạng tử

9
.
4
4
4 Tìm GTNN P  1  a  1  b .

(Vòng 1, THPT chuyên ĐHQG Hà Nội)
x y
1  a2  1  a 
x y �
� 1  a4 �
�
2
2
2 2
2

Gợi ý:

2

2

Bài 27. Cho a, b, c  0 và thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6. Tìm GTNN của biểu thức:
P

a 3 b3 c 3
  .
b
c a

2
2
2
Gợi ý: Điểm rơi a  b  c  1. Chứng minh P �a  b  c sau đó đánh giá theo a, b, c, ab, bc, ca.

(Câu cuối đề vào 10 năm 2017-sưu tầm)

Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

a b9 b a4
.
ab
(Đề thi thử vào 10 quận HOÀNG MAI-2017)

9|


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

b9
a4

b
a
Gợi ý: Điều kiện a �4, b �9. Quan sát biểu thức P , dễ thấy ta nên biến đổi
để có
sự phân li độc lập của hai biến, hơn nữa dễ dàng thấy ta có thể đánh giá để thốt căn và tìm được GTLN.
P

3
3
Bài 29. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a  b  6ab �8. Chứng minh rằng:

P  a  2b 

2 3
 �8.
a b

(Đề thi thử vào 10-THCS Nguyễn Dư 2017)
Gợi ý:

a 3  b3 �ab  a  b  .

Suy ra

 t  1  t 2  4t  4  �0 � 0 
Khi đó

P a

8 �6ab  ab  a  b  �6ab  2ab ab � t 3  3t 2  4 �0 t  ab
(
)

ab �1.

1
2 1 1
 2b    �8.
a
b a b

Bài 30. Cho x  0, y  0 và x  y �5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T  x y

8 18
 .
x y

Gợi ý: Ở bài toán này ta thấy biểu thức T khơng đối xứng. Do đó điểm rơi xảy ra không phải x  y. Tuy

nhiên điểm rơi vẫn tại x, y mà x  y  5. Do đó thay y  5  x vào T ta được
8 18
T  5 
 0  x  5 .
x 5 x
Dùng chức năng TABLE ta dò được Min T tại điểm rơi x  2.

4
9 4
T 
x
�
y ۳
x
y x
Khi dó viết lại

9
y

4
2 x.
x

9
2 y.
y

 2  3
x y

2

T 15.

1 1 1
3
a, b, c  0, a  b  c � .
P  a 2  b2  c 2    .
2 Tìm GTNN của biểu thức:
a b c
Bài 31. Cho
1
abc .
2
Gợi ý: Điểm rơi

Bài 32. Cho a, b, c  0. Tìm GTNN của biểu thức

P

a
b
c
bc c a a b






.
bc c a a b
a
b
c

10 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Gợi ý: Điểm rơi: a  b  c

1
1
1
3
P  a2  2  b2  2  c2  2 .
a, b, c  0, a  b  c � .
b
c
a
2 Tìm GTNN của
Bài 33. Cho
Gợi ý: Điểm rơi a  b  c
Bài 34. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:
a

 ab  a  1

2



b

 bc  b  1

2



c

 ca  c  1

2

1
�
.
abc

(Vòng 1, chuyên ĐHQG Hà Nội 2007-2008)
a
b
c



 1.
Gợi ý: Sử dụng BĐT bunhiacopxki, chú ý đẳng thức ab  a  1 bc  b  1 ca  c  1

x2  y 2 y 2  z 2 z 2  x2
 2
 2
�3.
2
x
,
y
,
z

0.
z

xy
x

yz
y

zx
Bài 35. Cho
Chứng minh rằng:
2  x2  y 2 

Gợi ý: Cách 1 dùng Cauchy:

2  x2  y 2 

VT �� 2
� 2
2z  x2  y 2
 z  x2    z 2  y 2 

2
2
2
2
2
2
đặt a  y  z , b  x  z , c  x  y . Đưa bài toán về chứng minh:

z
Cách 2 dùng BCS:

2

a

;
3

�b  c �2 .

 xy  � z 2  x 2   z 2  y 2  � z 2  xy �  x 2  z 2   y 2  z 2 
2

;

c2 b2 a 2


�3.
đặt a  y  z , b  x  z , c  x  y . Đưa BĐT cần chứng minh về dạng: ab ac bc
2

2

2

2

2

2

a
b
c
3


� .
Bài 36. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 4

1

1 �1 1 �
a
1� a
a �
� � �
.
� �

�
Gợi ý: Sử dụng BĐT x  y 4 �x y �Ta có 2a  b  c 4 �a  b a  c �, đánh giá tương tự cho hai
hạng tử còn lại suy ra đpcm.
a 3b  b3c  c 3a  9 �4  ab  bc  ca  .
Bài 37. Cho a, b, c  0 và a  b  c  3. Chứng minh rằng:

(Đề thi chọn tuyển IMO 2017 của Thổ Nhĩ Kì)

11 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

3
Gợi ý: Cauchy a b  b  b �3ab. CM tương tự suy ra:
a 3b  b3c  c 3a  9 �3  ab  bc  ca   2  a  b  c   9  3  ab  bc  ca   3.

Ta chỉ cần chứng minh:

3  ab  bc  ca   3 �4  ab  bc  ca  � ab  bc  ca �3

(Luôn đúng)

a, b, c  0
�
3 9 4
�
S

a

b

c


 �13.
a  2b  3c �20. Chứng minh rằng:
a 2b c
Bài 38. Cho �
Gợi ý: Tìm điểm rơi: Thêm bớt ở biểu thức S để sử dụng giả thiết hiệu quả, cụ thể viết lại S như sau:
S    a  2b  3c    1    a   1  2  b   1  3  c 

b

9
;c 
2  1  2 

4

 1  3 

. Khi đó

3
3 9 4
a


1 ,
a 2b c . Sau đó Cauchy để chỉ ra

3
9
4
1
2
3
 20 �   .
1
2  1  2 
1  3
4

Bài 39. Xây dựng công thức tổng quát cho bài toán 38.
Bài 40. Cho a, b, c  0, abc  1. Tìm GTLN:

S

2

 a  1

2

 b 1
2



2

 b  1

2

 c 1
2



2

 c  1

2

 a2  1

.

Gợi ý: Điểm rơi a  b  c  1. Tìm là tìm GTLN nên ta cần đánh giá mẫu số lớn hơn hoặc bằng…
Có hai hướng lựa chọn đánh giá:
2
 a  1  b 2  1  a 2  b 2  2a  2 �2  ab  a  1 .

Một

là

 a  1

2

 b 2  1 �4a  2b

,

hai

là

Chọn hướng nào cho hợp lý các bạn suy nghĩ nhé.

x  z   y  z   1.
Bài 41. Cho x, y, z là các số không âm đôi một khác nhau thỏa mãn 
Chứng minh
1
1
1



�4.
2
2
2
x  y
z  x
z  y



rằng:
(Vòng 1, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2008-2009)

Gợi ý: Đặt a  x  z , b  y  z. Cần chứng minh:

1
1
1
 2
�4
2
a b  a  b 2

với ab  1, a, b  0.

1 1
1
b a

1
 2 2 2
�4 �  
�4
2
a b a  b  2ab
a b a  b 2
b a
….
Bài 42. Cho các số thực x, y , z  0 thỏa mãn: x  2 y  3 z  18. Chứng minh rằng:
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51


� .
1 x
1 2 y
1  3z
7

12 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG
(Vòng 2, THPT chuyên Đại Học Vinh 2009-2010)

Gợi ý: Nhìn vào bài tốn và quan sát giả thiết với mẫu số của các hạng tử ở VT của BĐT cần chứng
minh ta đoán được ngay hướng tiếp cận là đặt ẩn phụ, tức là đổi biến: a  1  x, b  1  2 y, c  1  3 z.
Bài 43. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:

P

a
9b
16c


 6.
bc ca ab

Gợi ý: ý tưởng như bài 42. Ngồi ra cịn cách nào khác không??? Bạn đọc suy nghĩ nhé.
25
16b
c


 8 a, b, c  0.
Bài 44. Chứng minh rằng b  c c  a a  b

(Đề thi HSG thành phố Hồ Chí Minh năm 2013)
Gợi ý: Bài này lặp lại ý tưởng hai bài trên.
Bài 45. Cho số thực a thỏa mãn: 0 �a �1. Tìm GTLN,GTNN của

A

2
1 a

.

2  a 1 a

(Đề thi chuyên toán ĐHSP thành phố HCM 2009-2010)
Gợi ý:
Cách 1:Dùng tam thức bậc hai

Cách

2:

Biến

đổi

đại

số

hợp

lý

và

đánh

giá.

A  1 

6
.
a  a  2
2

Dễ

thấy

2

�
a 
a 2 2 a  1 a
2

2

� 1� 9 9
5
a 2  a  2   �
a  � �
A
�
.
A 2.
� 2 � 4 4 . Suy ra
3
Mặt khác

P  x3  1  x  ,
4

Bài 46. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

biết 0 �x �1.

1 1
1 �4 x.3   3  3 x  .4 �
127
3
4
P  3 . 4 .  4 x  .  3  3x  � 3 4 . �

� 3 4 7.
4 3
4 .3 �
7
� 4 .3 .7
Gợi ý:
7

Hãy tổng quát hóa bài tốn.
Bài 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x3  2  x 

5

với 0 �x �2.

(Trích tạp chí THTT số 479)

Ý tưởng giống bài 46.

13 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG
A

Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
6 x

2



1
6 y



2

1
6  z2

biết rằng 0 , y, z  6 và

x  y  z  3 3.

(Trích THTT số 479)

A
Gợi ý: Để sử dụng được ý tưởng bài 46, ta cần biến đổi

Đánh giá mẫu số chẳng hạn:

x

x2  6  x2 



y

y2  6  y2 



z

z2  6  z2 

.

x2  6  x2
x2  6  x2  �
 3.
2
Tương tự suy ra GTNN của A.

Bài 49. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
3
P  a  2  a   b  2  b   2c  c 2 .
1
1
3
3
P  3a.  2  a   3b.  2  b   �
2   a  b �
�
� a  b  .
3
3
Gợi ý:Viết lại
Cô si là xong.
1
a  b  , c  1.
2
Max P đạt được khi

Bài 50. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc �1. Chứng minh rằng:

�a

5

1
3
�2
.
2
2
b c
a  b2  c 2

(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hưng Yên năm 2017)
Gọi ý: Nhìn vào BĐT cần chứng minh chúng ta có thể đặt ra vài suy nghĩ như sau: Một là cần đánh giá
MẪU SỐ của mỗi hạng tử có dạng lớn hơn hoặc bằng. Hai là nếu cứ để mẫu số như vậy rồi đánh giá thì
khơng ổn vì bậc a khác bậc của b, c. Trên cơ sở vế phải và giả thiết ta có thể phải nghĩ đến cân bằng
bậc của các biến a, b, c rồi mới đánh giá. Muốn giảm bậc 5 xuống 2 ta cần chia cho bậc 3, chú ý tới giả
thiết ta có thể rút ra đánh giá sau:

a5 

1
b2  c2
�
.
a 5  b 2  c 2 2a 4   b 2  c 2  2

Suy ra
biến đổi tương đương. Suy ra đpcm.

a5
a5
a4
a4
2a 4
�

� a5  b2  c 2 �  b2  c 2 � 2
 b2  c2
1 abc bc
bc
b  c2
2
2
2
2a 4   b 2  c 2  �  a 2  b 2  c 2 
3
Dễ dàng chứng minh
bằng

Bài 51. Cho a, b, c  0 thỏa mãn: a  b  c  2016. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a
b
c
A


a  2016a  bc b  2016b  ca c  2016c  ab
14 |

Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG
(Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh 2017)

Gợi ý: Thế a  b  c  2016 vào biểu thức A, ta được:
a
a
A�
��
1
a  ac  ab
a   a  b  c  a
(Ta đã sử dụng BĐT bunhiacopxki)
2
2
2
*Bài 52. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  y  z  8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
P  x3  y3  y 3  z 3  z 3  x3 .
biểu thức

2 6
x yz�
.
3
Gợi ý: Ta thấy ngay P �0. Vậy min P  0 khi
Để tìm GTLN của P, ta giả sử
3
3

3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
x ���
y �
z
x y z . Khi đó P  y  x  z  y  z  x  2  z  x   2  z  x   z  zx  x  .

P 2  4  z 2  2 zx  x 2   z 2  zx  x 2   z 2  zx  x 2 

4  3z 2  3x 2 
3
�
 4  8  y 2  �4.83.
27
3

Bài 53. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: ab  2013a  2014b. Chứng minh rằng:

a b 





2

2013  2014 .
(Đề thi vào 10, vòng 2 THPT chuyên toán ĐHSP năm 2013-2014)

Gợi ý:Biến đổi giả thiết

ab  2013a  2014b � 1 

2013 2014

.
b
a
Sau đó sử dụng BĐT bunhiacopxki.

�1 1 1 �
P   x4  y 4  z 4  � 4  4  4 �
y
z �với x, y, z là các số thực
�x
Bài 54. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
dương thỏa mãn x  y �z.

(Nguồn: Sưu tầm)
Gợi

x y
 �1.
z z

ý:

a

x
y
,b  .
z
z

Từ
giả
thiết
suy
ra
Đặt
Viết
4
4
1 1 a b
�1 1
�
P  a 4  b 4  1 � 4  4  1� 3  a 4  b 4  4  4  4  4 .
a b b a Chọn điểm rơi rồi Cauchy là ra.
�a b
�



lại



a

2
Bài 55. Với a, b, c  0, ab  bc  ca  3abc. Chứng minh rằng: a  bc



b
c
3
 2
� .
b  ca c  ab 2
2

(Đề thi vào 10 chuyên Bà Rịa –Vũng Tàu)

15 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

a
a
1 1
1 �1 1 �
1 1 1
�
 .
� � �
.
   3.
2
2
a

bc
2
4
b
c
bc
�
�
2
a
bc
a
b
c
Gợi ý: Từ giả thiết suy ra:

Cô si cho mẫu số,
Chứng minh tương tự , cộng vế các BĐT lại ta được đpcm.
Bài 56. Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
T

a
b
c
 4 4
 4
.
4
b  c  a a  c  b a  b4  c
4

(Đề thi vào 10 chuyên Nam Định).
Gợi ý:

b 4  c 4  a  b 4  c 4  a.abc �bc  b 2  c 2   a 2bc  bc  a 2  b 2  c 2  .

Suy ra

a
a
a2
�

.
b 4  c 4  a bc  a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2

b
b2
c
c2
�
;
�
.
4
4
2
2
2
4
4
2
2
2
Chứng minh tương tự,ta có: c  a  b a  b  c a  b  c a  b  c

Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được đpcm. Đẳng thức xảy ra � a  b  c  1.
Nhận xét: ý tưởng bài toán trên là làm đồng bậc mẫu số.
Bài 57. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
y
z
P 2  2  2.
y
z
x

biểu thức
(Tạp chí THTT số 481).
1
1
1
1
1
1


 1.
a  ,b  ,c  .
x
y
z
Gợi ý: Từ giả thiết suy ra: xy yz zx
Đặt
b2 c 2 a 2
P
 
a b
c
Ta có a, b, c  0 và ab  bc  ca  1. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

 a  b  c
Mà:

2

�3  ab  bc  ca   3 � a  b  c � 3

 a  b  c
P�
a b c

2

 abc

. Do đó: P �a  b  c � 3.

Dấu ''  '' xảy ra khi x  y  z  3.

16 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Bài 58. Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:
a
a

 a  b  a  c

b



 b  a  b  c

b



c

�1.

 c  a  c  b

c

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

 a  b  a  c





2

a  b

2



2

c  a

2



b
Chứng minh tương tự ta có:

b

a

� ac  ab

 b  a  b  c

�

a

b
a b c



 a  b  a  c

a
a b c

c
;

c

 c  a   c  b

�

c
a b c

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên suy ra đpcm.
Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.

 a  b  c
Bài 59. Chứng minh rằng với mọi a, b, c  0 ta có:

3



27abc

6  ab  bc  ca 

 a  b  c

2

�3.
Phạm Như Toàn

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có:

 a  b  c
27 abc

3



3  ab  bc  ca 

 a  b  c

 ab  bc  ca 
3abc  a  b  c 
2

Do đó ta cần chứng minh:

2



3  ab  bc  ca 

 a  b  c

2

 ab  bc  ca  .
�3 3
3abc  a  b  c 
2

�1 �  ab  bc  ca  �3  ab.bc  bc.ca  ca.ab  .
2

�  ab  bc    bc  ca    ca  ab  �0
2

2

2

(luôn đúng).

1 1 1
x, y, z  0,    1.
x  2   y  2   z  2  �1.
x y z
Bài 60. Cho
Chứng minh rằng: 

1 1 1 1 1 y2 z2
y2 z2
    

�2
.

x
2
y
2
z
2
y
2
z
2
y
2
z
Gợi ý: Từ giả thiết ta có:

 y  2  z  2 .
yz

17 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

 x  2  z  2 1 �  x  2  y  2 .
1
�
xy
xz
Chứng minh tương tự: y
; z
Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.

a3
a3   b  c 
Bài 61. Chứng minh rằng với mọi a, b, c  0 ta có:

3



b3
b3   c  a 

3



c3
c3   a  b 

3

�1.

Gợi ý:
2016
2016
2016
Bài 62. Cho a, b, c  0, a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  a  b  c .

Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi
1



2



3

Bài 63. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c

 3.

Chứng minh rằng:

27 a 2
b2
8c 2

3


� .
2
2
2
2
2
2
c  c  9a  a  4a  b  b  9b  4c  2
(Trích đề thi HSG thành phố Hà Nội 2012-2013)
Gợi ý: Đổi biến

x

1
2
3
, y  ,z  .
a
b
c

2
2
2
Bài 64. Cho a  b  c  6, 0 �a, b, c �4. Tìm GTLN của P  a  b  c  ab  bc  ca.

(HSG TP Hà Nội)

P   a  b  c    ab  bc  ca   36   ab  bc  ca 
2

Gợi ý: Có
Lại có
Hay

 a  4   b  4   c  4  �0 � 4  ab  bc  ca  �16  a  b  c   64  abc

4  ab  bc  ca  �32  abc �32 � ab  bc  ca �8

Do đó P �28
Đẳng thức xảy ra khi

 a; b; c 

là

 4; 2;0 

và các hốn vị của nó.

 x  y   x  3 y   y  3x  .
x y
� xy 
3
2
16  x  y 
2

Bài 65. Cho x, y  0. Chứng minh rằng:

18 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật S.O.S

Bài 66. Cho ba số thực dương a, b, c sao cho a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
�
�
1
1
1
�
P  abc �


.
�  a  b  a  c
�
b

c
b


a
c

a
c

b








�
�
Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:

 a  b  a  c  

a 2  b2

1
Do đó:

�

 a  b  a  c 



a

 

c 2  a 2 � ac  ab



1
b c



P�
Suy ra

2

 a  b  a  c

�

� ac  ab

,

1

Chứng minh tương tự ta có



 b  c  b  a

�

b



1
c a



1

;

 c  a  c  b

�

c



1
a b



ab
bc
ca


a b
b c
c a
y
0 x
 x ����
2

Mặt khác ta có:

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

y

2

P�

4 xy

xy
x y

x y
x, y
4

0.

a b
b c
c a
a b c 1



 .
4
4
4
2
2

1
abc .
9
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 67. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2abc  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1 1 1

P     2 a  b  c .
a b c
thức
(Trích đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016-2017)

Giải
19 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Cách 1:
Ta chú ý đẳng thức

�

xy

 x  y   y  z   z  x   xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   2xyz
yz





zx

 y  z  z  x  x  y  z  x  y  z   x  y

Do vậy từ giả thiết ab  bc  ca  2abc  1. Đặt

P
Khi đó



2 xyz
 1.
 x  y  y  z  z  x
x
y
z
,b 
,c 
.
yz
zx
x y

a

�x
yz xz x y
y
z �


 2�



�
x
y
z
�y  z x  z x  y �với x, y , z  0.

�1 1 � �1 1 � �1 1 �
y z z x x y


 x �  � y �  � z �  �
y
z
�y z � �x z � �x y �
Ta có x
1 1
4
 �
m, n  0
Áp dụng bất đẳng thức m n m  n
ta có:
yz zx x y
 �
x
y
z

4x

yz

4y
zx

4z
x y

2x
yz

P

2y
zx

2z
.
x y

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:
� x2
 x  y  z
y2
z2 �
P �2 �


��2
�xy  xz yz  yx zx  zy � 2  xy  yz  zx 

2

, lại do

 x  y  z

2

�3  xy  yz  zx 

nên

P �3.
Cách 2: Đặt cos A  bc , cos B  ca , cos C  ab . Suy ra
cos B cos C
cos C cos A
cos A cos B
a
,b 
,c 
cos A
cos B
cos C
*Bài 68. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
3(a 2  ab  b 2 )(b 2  bc  c 2 )(c 2  ca  a 2 ) �abc (a 3  b 3  c 3 )

Giải

a 4  b4
2(a  ab  b )  a  b  (a  b) �a  b � a  ab  b �

2
Nhận xét
2

2 2

4

4

4

4

4

2

2

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức
20 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

3. (

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

a4  b4 b4  c 4 c 4  a 4
)(
)(
) �abc(a 3  b3  c3 )
2
2
2





9 a 4  b 4 (b 4  c 4 )(c 4  a 4 ) �8 a 2 b 2c 2 (a 3  b3  c3 ) 2

Trước tiên ta chứng minh
Bổ đề 1: Cho

x, y , z

là các số thực dương. Khi đó 9( x  y )(y z )(z x) �8( x  y  z )( xy  yz  zx )

Chứng minh: Ta có 9( x  y )(y z )(z  x) �8( x  y  z )( xy  yz  zx)
� x 2 y  y 2 z  z 2 x  xy 2  yz 2  zx 2 �6 xyz ( luôn đúng theo AM- GM)

Bổ đề 2: Cho

x, y , z

2 2
2 2

2 2
2 2
là các số thực. Khi đó x y  y z  z x  x y �xyz ( x  y  z )

x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  x 2 y 2 �xyz ( x  y  z ) � ( xy  yz ) 2  ( yz  zx)2  ( zx  xy )2 �0

Chứng minh
( ln đúng )

Áp dụng vào bài tốn
Ta có







 



9 a 4  b 4 b 4  c 4 c 4  a 4 �8 a 4  b 4  c 4 a 4b 4  b 4c 4  c 4 a 4



�8a 2b 2c 2 a 4  b 4  c 4

a

2

 b2  c2




4
4
4
2
2
2
3
3
3 2
Mà ( a  b  c )( a  b  c ) �(a  b  c ) ( bất đẳng thức C-S)

Suy ra





9 a 4  b4 (b4  c 4 )(c 4  a 4 ) �8a 2 b2 c 2 (a3  b3  c3 )2

2
2
2
2

2
2
3
3
3
Vậy 3(a  ab  b )(b  bc  c )(c  ca  a ) �abc (a  b  c )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c
1 1 1
   1.
Bài 69. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c
Chứng minh rằng :
a2
b2
c2
abc


�
.
a  bc b  ca c  ab
4

Từ giả thiết ta có ab  bc  ca  abc.

Giải

21 |

Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

a2
a3
a3
a3
 2
 2

Do đó a  bc a  abc a  ab  bc  ca (a  c)(a  b)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a3
b3
c3
abc


�
.
4
 a  b  a  c  b  c  b  a   c  a   c  b
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (cơsi) ta có:
a3
a  c a  b 3a
a3
4a  b  c



�

(a  c)(a  b)
8
(a  c )(a  b)
8
8
4
(1)
3
b
4b  c  a
�
b  a  b  c
8
Chứng minh tương tự, ta có: 
(2)
3
c
4c  a  b
�
c  a  c  b
8
Và 
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra � a  b  c  3.
2
2
2

Bài 70. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x  y  z  2011.
xy yz zx


z
x
y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Giải

Ta có:

P2 

x2 y 2 x2 z 2 z 2 y 2
x2 y 2 x2 z 2 z 2 y 2
2
2
2



2
x

y

z
 2  2  2.2011



2
y
x
z2
y2
x2
= z

x2 y 2 x2 z 2 z 2 y 2
 2  2 �x 2  y 2  z 2
2
y
x
Theo bất đẳng thức cô si, ta có: z
2
3.2011
Suy ra P �

P

3.2011

3
2
Bài 71 [Lâm Đồng] Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  1  2 3. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

P

1 1
1
 2  3.
x y
z

Lời giải
1
1
1
1
1
2
1


� � 3
�
3
z 3 3 z
Áp dụng bất đẳng thức cô si: z 3 3 3 3 z
2
1 1 1 1
4
1
4
P
�  2 �  2

 
z x y  z x 1  2 3  x3
3 3 x y
Suy ra
22 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Bài 72. Bất đẳng thức Schur
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a)
b)
c)

a 3  b3  c 3  3abc �ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  .

a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c  �a 3  b  c   b3  c  a   c 3  a  b  .
a s  a  b   a  c   b s  b  a   b  c   c s  c  a   c  b  �0.

Giải
a) Ta có:
a 3  b3  c3  3abc �ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  .

�  a 3  abc  a 2b  a 2 c    b3  abc  b 2c  b 2 a    c 3  abc  c 2 a  c 2b  �0.
� a  a  b   a  c   b  b  c   b  a   c  c  a   c  b  �0.

Khơng mất tính tổng qt giả sử a �b �c. Khi đó ta có

•

(*)

c  c  a   c  b  �0

(1)
2
a  a  b   a  c   b  b  c   b  a    a  b   a 2  ac  b 2  bc    a  b   a  b  c  �0

•
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được (*). Đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.
b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 a 4  a 2bc  a3b  a3c    b4  b2ca  b3a  b3c    c 4  c 2ab  c3a  c3b  �0
� a 2  a  b   a  c   b 2  b  c   b  a   c 2  c  a   c  b  �0.

Khơng mất tính tổng qt giả sử 0  a �b �c. Khi đó ta có:
•

(**)

a 2  a  b   a  c  �0.

(3)
2
b  b  c   b  a   c  c  a   c  b    b  c   b 2  bc  c 2  ab  ac 
2

•

(2)

Mà

2

b 2  bc  c 2  ab  ac  bc  b  b  a   c  c  a   0 0  a �b �c.

b 2 b  c   b  a   c 2  c  a   c  b  �0
Nên 
(4)
Cộng (3) với (4) vế theo vế suy ra (**) được chứng minh.
c)

*Bài 72 [KHTN-Hà Nội] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a3
b3
c3
9
9



� .
2
2
2
2
2

2
b  bc  c c  ca  a
a  ab  b
2  ab  bc  ca  2
Lời giải
Ta chứng minh bổ đề: Với a, b, c là các số thực dương ta có
a3
b3
c3


�a  b  c.
b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 a 2  ab  b 2

23 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

 a 2  b2  c2 
a3
b3
c3


�
b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 a 2  ab  b 2 a  b 2  bc  c 2   b  c 2  ca  a 2   c  a 2  ab  b 2 
2

Thật vậy

Biến đổi tương đương bất đẳng thức này ta được
a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c  �a 3  b  c   b3  c  a   c 3  a  b  .
Đây chính là BĐT Schur quen thuộc.

VT �a  b  c 
Do đó

9
abc a bc
9



2  ab  bc  ca 
2
2
2  ab  bc  ca 
9 a  b  c
abc abc
9
9


�3 3
�
2
2

2  ab  bc  ca 
8  ab  bc  ca  2
2

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
2
 a  b  c  �3  ab  bc  ca 

(do

).

Hoàn tất chứng minh.
Bài 73 [THTT-Số 484] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3.
4  a 2  b 2  c 2    a 3  b3  c3  �9.
Chứng minh rằng:
Lời giải
PP: Đồng bậc hai vế:
4  a 2  b 2  c 2    a 3  b3  c 3  �9 � 4  a  b  c   a 2  b 2  c 2   3  a 3  b 3  c 3  � a  b  c 

3

� 4�
a  b2  c 2   b  c2  a 2   c  a 2  b2  �
�
��3  a  b   b  c   c  a 

Chú ý:

 a  b   b  c   c  a   a  b 2  c 2   b  c 2  a 2   c  a 2  b 2   2abc

nên BĐT trên tương đương

a  b 2  c 2   b  c 2  a 2   c  a 2  b 2  �6abc � a  b  c   b  c  a   c  a  b  �0
2

2

2

(Đúng)

Hoàn tất chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 74 [Đề thi vào 10 Chuyên Toán-Hà Nội 2016-2017]
2
2
2
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3.
2a 2
2b 2
2c 2


�a  b  c.
2
2
2
Chứng minh rằng: a  b b  c c  a
Giải

24 |


Phạm Như Toàn. SĐT: 0988819343

Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG, luyện thi THPTQG

Sử dụng kĩ thuật Cơ sí ngược dấu
Bài 75. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng: DA.BC  DB.CA  DC . AB  0.
Hãy liên hệ kết quả hình học này với đại số.

Lời giải
Dùng cách sơ cấp:
Gọi tọa độ 4 điêm A, B, C, D đối với trục tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Khi đó
DA  a  d , BC  c  b, DB  b  d , CA  a  c, DC  c  d , AB  b  a.

Đẳng thức cần chứng minh có dạng:

 a  d   c  b    b  d   a  c    c  d   b  a   0.

Khai triển vế trái ta thấy đẳng thức trên hoàn toàn đúng.
Từ đó ta có kết quả:
1. Với mọi số thực a, b, c, d ta có đăng thức:

 a  d   c  b    b  d   a  c    c  d   b  a   0.
2
2
2. Phát triển thành bài toán bất đẳng thức dựa trên ý tưởng: x  y �2 xy.

3  a 2  b 2  c 2  d 2  �2  ab  bc  cd  da  ac  bd 
Chứng minh với mọi a, b, c, d ta có:
Lời giải
2
2
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức x  y �2 xy , ta có:

 ad

2

bd

2

cd

2

  c  b  �2  a  d   c  b 

(1)

  a  c  �2  b  d   a  c 

(2)

  b  a  �2  c  d   b  a 

(3)

2

2

2

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) và chú ý
phải chứng minh.

 a  d   c  b    b  d   a  c    c  d   b  a   0. Ta suy ra điều

Nhận xét: Dựa trên ý tưởng các hằng đẳng thức mở rộng ta có thể phát triển thêm nhiều bài tốn hay.
Phạm Như Tồn
25 |