30 cau BDT de bai qc toan THCS

Khóa học Online Bất đẳng thức K16 (Ngày 08/8/2021 học buổi đầu). Zalo: 0989.16.2268
BẤT ĐẲNG THỨC VỚI BA BIẾN SỐ
Bài 1. Cho các số thực không âm a,b, c thỏa mãn a  b  c  1 .
3
3
3
3
1
1
1
.


 


a 2 b 2 c 2 2 a 1 b 1 c 1
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  y  z  3 .

Chứng minh rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x 4  y 4  z 4  12 1  x 1  y 1  z  .
1
2017
2018


 1.
1  a 2017  b 2018  c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  abc .
Bài 4. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz .

Bài 3. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn

y 2 z 2 x 2
 2  2 .
x2
y
z
Bài 5. Cho ba số thực dương a,b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H 

1a

2

2b



1 b

2



2c
1  c2

.

Bài 6. Cho a,b, c là các số thực không âm.
Chứng minh rằng 8 ab  bc  ca a  b  c   9 a  b b  c c  a  . (1)
Bài 7. Cho a,b, c là các số thực dương.
 a

b  b

c  c

a 

 
 
  1 .



Chứng minh rằng P  



b  c c  a c  a a  b a  b b  c 
Bài 8. Cho các số thực không âm a,b, c thỏa mãn a  b  c  1 .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S  7a  9  7b  9  7c  9 .

Bài 9. Cho ba số dương a,b, c .


a

b

c





b

c

a



  
  1 .




Chứng minh rằng P  2 
b  2c c  2a a  2b  b  2a c  2b a  2c 
Bài 10. Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  b 2  c 2 

ab  bc  ca
.
a b  b 2c  c 2a  abc
2

Bài 11. Cho ba số dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  1 .
ab
bc
ca
1


 .
c 1 a 1 b 1 4
Bài 12. Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 .

Chứng minh rằng P 

Chứng minh rằng P  a 2  1  b 2  1  c 2  1  2 a  b  c  .
Bài 13. Cho các số thực a,b, c thỏa mãn abc  1 .
Chứng minh rằng P 

1

1  a 

2



1

1  b 

2



1

1  c 

2



2
1.
1  a 1  b 1  c 

Bài 14. Cho các số thực a,b, c không âm thỏa mãn a  b  c  3 .
-1-


Khóa học Online Bất đẳng thức K16 (Ngày 08/8/2021 học buổi đầu). Zalo: 0989.16.2268
1
1

1
.


1  a ab  1 abc  3
Bài 15. Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của M 

Chứng minh rằng abc a 2  b 2  c 2   3 .
Bài 16. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 2  x  3, 4  y  6, 4  z  6 và x  y  z  12 .
Tìm giá trị lớn nhất của P  xyz .
Bài 17. Cho x, y, z là các số thực dương.
3
4
x  y  z .

27
2
2
2
Bài 18. Cho các số thực a,b, c thỏa mãn a  b  c  18 .

Chứng minh rằng P  xy 2  yz 2  zx 2  xyz 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3ab  bc  ca .
4
3

Bài 19. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x x  1  y y  1  z z  1  .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P  x  y  z .
Bài 20. Cho a,b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 .
Chứng minh rằng 5a  4  5b  4  5c  4  7 .
Bài 21. Cho a,b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc .
a
b
c
3
 2
 2
 .
a  bc b  ca c  ab 2
Bài 22. Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 0  a, b, c  1 .

Chứng minh rằng

2

Tìm giá trị lớn nhất của P  a  b b  c c  a  .
Bài 23. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  x  y   y  z   z  x  .
2

2

2

Chứng minh rằng nếu z  x ; z  y thì z  x  y .
Bài 24. Cho a,b, c là các số thực không âm thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 .
Tìm giá trị lớn nhất của T  a  b 2011  c1954  ab  bc  ca .
Bài 25. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  2020 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

ab
ab  2020c



bc
bc  2020a



ca
ca  2020b

Bài 26. Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  2 .
a
b
c
.


2  bc 2  ca 2  ab
1
Bài 27. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn xy, yz, zx   ; x 2  y 2  z 2  1 .
2
2
2
2
x

y
z
3


 .
Chứng minh rằng P 
1  2yz 1  2zx 1  2xy 5

Tìm giá trị lớn nhất của S 

Bài 28. Cho a,b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

a 3 b3 c3
  .
b
c
a
-2-

.


Khóa học Online Bất đẳng thức K16 (Ngày 08/8/2021 học buổi đầu). Zalo: 0989.16.2268
Bài 29. Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 .
Tìm giá trị lớn nhất của P  a 2  abc  b 2  abc  c 2  abc  9 abc .
Bài 30. Cho ba số dương a,b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

a2
b2
c2


.
a b b c c a

Bài tập tương tự
1) Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a  3  b  3  c  3  6 .
a2
b2
c2


.
b c c a a b
2) Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 

Tìm giá trị nhỏ nhất của C 

c4
a4
b4


.
a b b c c a

-3-