81 cau bat dang thuc 2 so QC

Khóa học Bất đẳng thức Online. Zalo: 0989.15.2268
BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ
Bài 1. Với mọi a,b ta có: a2 + b2 �2ab; a2 + b2 �- 2ab .
1 1
4
Bài 2. Cho a,b > 0. Chứng minh rằng + �
.
a

b

a +b

Bài 3. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn ab = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b + 1) ( a2 + b2 ) +

1
.
a +b

x2 + y2
Bài 4. Cho x > y > 0, xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
.
x- y

1 1
Bài 5. Cho x, y > 0 và x3 + y3 + 6xy �8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + .
x

y

1
Bài 6. Cho a,b �0 thỏa mãn a + b �1. Chứng minh rằng a2b2 ( a2 + b2 ) � .
32
2
2
a
,
b
Bài 7. Cho biểu thức P = a + b - ab . Với
thỏa mãn a + b + ab = 3.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P .
16
2
2
Bài 8. Cho x, y �0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y +
.
( x + 1) ( y + 1)
4

4

( a - 4)
Bài 9. Cho a ��. Chứng minh rằng

2

2

a + 16

+

( a + 2)

2

3
� .
2
a +8
2

Bài 10. Cho a,b �0,a + b = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = 7a + 9 + 7b + 9 .
2

2

Bài 11. Cho a + 2b = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = ( a - 1) + ( b - 1) .
Bài 12. Cho x, y > 0, x + y �1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 4xy +

1
2
+ .
2
xy
x +y
2

x 8

x 2y
Bài 13. Cho x, y > 0 thỏa mãn + �2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của K = + .
2

(

)(

y

y

)

x

2
b + 1 = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b .
b
a
2
2
Bài 15. Cho a,b �0,a + b = 2 . Chứng minh rằng a 3b + 1 + b 3a + 1 + 3a + 2. 3b + 2 �9.
Bài 16. Cho x, y �0 và x2 + y2 �2.

Bài 14. Cho a,b > 0,

a +1

2

Tìm giá trị lớn nhất của P = x ( 14x + 10y) + y ( 14y + 10x) .
Bài 17. Cho x, y thỏa mãn 0 < y < x �4, x + y �7. Tìm giá trị lớn nhất của M = x2 + y2 .
Bài 18. Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 - xy = 4.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 .
1
1
+
= 2.
Bài 19. Cho a,b > 0 thỏa mãn
a

Tìm giá trị lớn nhất của P =

b

1
2

a + b + 2b a
1

+

1
2

b + a + 2a b

.

Khóa học Bất đẳng thức Online. Zalo: 0989.15.2268
1
Bài 20. Cho a,b > 0 . Chứng minh rằng 2a + 3b

8
2

� b�
�
�
2b2 + 2�
a
+
�
�+ 3
�
� 2�
�

3
2.

�-

Bài 21. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 2a + b.
Tìm giá trị lớn nhất của P = a - b + ab .
2 a
2 b

1
1
Bài 22. Cho a,b > 0 . Chứng minh rằng 3
+ 3
� 2+ 2.
2
2

a +b
b +a
a
b
1 + ( 3 - a - b) ( 1 + b) �
�4 .
Bài 23. Cho 0 < a,b < 3. Chứng minh rằng a �
�
�
2
Bài 24. Cho a,b �0 . Chứng minh a + b + 2 b( a + b) � 2( 2a + b) + 8b2 .

Bài 25. Cho a,b �0,a + b = 1 . Chứng minh rằng 5a + 4 + 5b + 4 �5 .
1
1
+ 2
+
a + 2a b + 2b
1
1
+
�1.

a2 + 2
b2 + 2

Bài 26. Cho a,b > 0,a + b = ab. Chứng minh rằng
Bài 27. Cho a,b > 0,ab = 2. Chứng minh rằng

2

.
( 1+ a ) ( 1+ b ) � 21
4
2

2

3
Bài 28. Cho a,b > 0 thỏa mãn ( a + b) + 4ab �12.

Chứng minh rằng

1
1
+
+ 2020ab �2021.
1 + a 1+ b

Bài 29. Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab = 4 .

( a + b - 2) ( a

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

+ b2

).

a +b
x
,
y
Bài 30. Cho
là các số tự nhiên thỏa mãn x + y = 99 .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x + 1 + y + 1 .
Bài 31. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2y2 + 2xy = 24 - 5x - 5y .
Tìm giá trị lớn nhất của P = x2 + y2 - x - y + 2xy - 2 .
Bài 32. Cho a,b > 0,ab = 1. Chứng minh rằng

1

( 1+ a)

2

+

1

1
�
2
.
( 1+ b) 2

Bài 33. Cho a,b �0,ab = 1. Chứng minh rằng 2( a2 + 1) + 2( b2 + 1) �2( a + b) .
Bài 34. Cho a,b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P =

a
a4 + 3

+

b
b4 + 3

.

Bài 35. Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 - ab + b2 = a + b .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2020( a + b) .
y- 2 x- 2
Bài 36. Cho x, y > 1 thỏa mãn x + y = xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2 + 2 .
x

Bài 37. Cho a,b �0 thỏa mãn a 2 - b2 + b 2 - a2 = 2 .
1 1
+ - a - b.
a b
2

2
Bài 38. Cho x + y = 1 + xy;x, y ��.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

2

y


Khóa học Bất đẳng thức Online. Zalo: 0989.15.2268
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = x4 + y4 - x2y2 .
3
Bài 39. Cho x, y �� thỏa mãn ( x2 + y2 ) + 4x2 + y2 + 6x + 1 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của x2 + y2 .
Bài 40. Cho x, y �� thỏa mãn x2 + xy - y2 = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = x2 - xy + y2 .
Bài 41. Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x + y = 2020.

2
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x ( x + y) + y ( y + x) .

Bài 42. Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M = y2 + 3xy .
Bài 43. Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 - xy = 4.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 .
Bài 44. Cho các số thực x, y thỏa mãn xy + x + y = 15 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 .

Bài 45. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y + 4 = 0 .

3
3
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2( x + y ) + 3( x + y ) + 10xy .

Bài 46. Cho x, y > 0, xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2 +
Bài 47. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy + x + y .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x + y .

3
.
x +y +1

2
2020
Bài 48. Chứng minh rằng với mọi a,b ta có: a2 + b2 �2ab +
( a - b) .

2021
a
b2
a
>
1
,
b
>

1
Bài 49. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
.
+
b- 1 a - 1
2
Bài 50. Cho a,b > 0. Chứng minh rằng 2021 b2 + 2020a2 �( b + 2020a) .
2

(

)

(

)

a + b - 1) a2 + b2
(
a
,
b
>
0
,
ab
=
1
Bài 51. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
.
a +b
Bài 52. Cho a,b > 0 thỏa mãn a + 1 + b + 1 = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + ab + b2 .
Bài 53. Cho x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = x3y + xy3 .

(

)(

)

2
2
Bài 54. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x + x + 9 y + y + 9 = 9.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2x4 - y4 + 6xy + 8y2 - 10x - 2y + 2024 .
Bài 55. Cho các số không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy +
Bài 56. Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x - y �1.
4 1
- .
x y
Bài 57. Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab + 1 �2a .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

3

1
.
x +y


Khóa học Bất đẳng thức Online. Zalo: 0989.15.2268
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =

a +b
a2 + b2

.

Bài 58. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a + 2b + ab = 12 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 .
1
Bài 59. Cho các số thực không âm a,b thỏa mãn a + b = .
2

Tìm giá trị lớn nhất của P = a + b - a - b .
Bài 60. Cho x, y �� thỏa mãn x2 + y2 = 1.
3

3

4

4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Bài 61. Cho

2x ( x + 6y)
1 + 2xy + 2y2

.

2
1
�x, y �2 và x + y = 4xy . Tìm giá trị lớn nhất của P = ( x - y) - 2( x + y) .
4

Bài 62. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1.
2

2

� 1�
� 1�
�
�
�
�
x
+
+
y+ �
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = �

.
�
�
�
�
�
�
� � x�
�
� y�

Bài 63. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 �x �y �5 .
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = 2( x + y ) + 4( x - y - xy) + 7 .

5 - 2a 5 - 2b
+
Bài 64. Cho a,b > 0 thỏa mãn a + b �6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
.
1+ a

1+ b

20
Bài 65. Cho x, y > 0, x + y = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = xy + .

xy
1
1

+
Bài 66. Cho a,b > 0,a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
.
2
1+ 3ab + a
1 + 3ab + b2
2 6
9
Bài 67. Cho x, y > 0, xy = 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + +
.
x y 3x + y
Bài 68. Cho x, y > 0 thỏa mãn 4x2 + 4y2 + 17xy + 5x + 5y �1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 17x2 + 17y2 + 16xy .
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020)
Bài 69. Cho a,b > 0 thỏa mãn 2 �2a + 3b �5 và 8a + 12b �2a2 + 3b2 + 5ab + 10 .
Chứng minh rằng 3a2 + 8b2 + 10ab �21.
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021)
x
,
y
��
x
Bài 70. Cho
thỏa mãn �3, x + y �5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 .
Bài 71. Cho x, y > 0, xy + 1 �x . Tìm giá trị lớn nhất của Q =

x +y
3x2 - xy + y2

.

1 y2
Bài 72. Cho x, y �� thỏa mãn 2x2 + 2 + = 4 .
x

4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = xy .
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021)
4


Khóa học Bất đẳng thức Online. Zalo: 0989.15.2268
Bài 73. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y �3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x2 + y2 - 9x - 12y +

16
+ 25.
2x + y

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021)
1
1
+
�1.
4x + 2 2y + 1
1
2
+

Tìm giá trị nhỏ nhất của T =
.
4x + 1 4y + 1

Bài 74. Cho x, y > 0 thỏa mãn

4
4
Bài 75. Cho x, y > 0, x + y = 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x + 1) ( y + 1) .

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021)
13x 10y
1 9
7
+
+
+ .
Bài 76. Cho x, y > 0 và x + y � . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
3

2

3

2x

y

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021)
Bài 77. Cho a,b > 0 thỏa mãn a ( a - 1) + b( b - 1) = ab .

Tìm giá trị nhỏ nhất của F =

a3 + 2020 b3 + 2020
.
+
b
a

20 7
Bài 78. Cho a,b > 0 thỏa mãn a + b �3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = b - a + + .
a

b

(ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021)
�2
�2
1�
1 � 17
�
�
�
x + 2�
y + 2�
�
�
Bài 79. Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = �
.
�
�

�
�
�
�
y �
�

�

x � 6

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021)
2002 2017
+
+ 2996a - 5501b .
Bài 80. Cho a,b > 0,2a + 3b = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
a

b

(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021)
Bài 81. Cho các số thực dương a, b sao cho ab  1 �b . Tìm GTNN của P  a 

5

1
1
 b2  .
2
a

b