86 cau bat dang thuc 2 so QC THCS

Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268
BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ
Bài 1. Với mọi a,b ta có: a 2  b 2  2ab ; a 2  b 2  2ab .
1 1
4
 
.
a b a b
Bài 3. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn ab  1 .

Bài 2. Cho a,b  0 . Chứng minh rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  1a 2  b 2  
Bài 4. Cho x  y  0, xy  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 

1
.
a b

x 2  y2
.
x y

1 1
 .
x y
1
Bài 6. Cho a,b  0 thỏa mãn a  b  1 . Chứng minh rằng a 2b 2 a 2  b 2  .
32
Bài 7. Cho biểu thức P  a 4  b 4  ab . Với a,b thỏa mãn a 2  b 2  ab  3 .

Bài 5. Cho x , y  0 và x 3  y 3  6xy  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 





Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P .
16

Bài 8. Cho x , y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2 

a  4
. Chứng minh rằng

2

Bài 9. Cho a  

2

a  16

a  2

2



2

a 8



x  1y  1

.

3
.
2

Bài 10. Cho a,b  0, a  b  1 .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S  7a  9  7b  9 .
Bài 11. Cho a  2b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a  1  b  1 .
2

Bài 12. Cho x, y  0, x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  4xy 
Bài 13. Cho x , y  0 thỏa mãn





Bài 14. Cho a,b  0, a  1

2

1
2

.

2
xy
x y
2

x 8
x 2y
.
  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của K  
2 y
y
x



b  1  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M 

a 2 b2
 .
b
a

Bài 15. Cho a,b  0, a 2  b 2  2 . Chứng minh rằng a 3b  1  b 3a  1  3a  2. 3b  2  9 .
Bài 16. Cho x , y  0 và x 2  y 2  2 .
Tìm giá trị lớn nhất của P  x 14x  10y   y 14y  10x  .
Bài 17. Cho x, y thỏa mãn 0  y  x  4, x  y  7 . Tìm giá trị lớn nhất của M  x 2  y 2 .
Bài 18. Cho x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  4 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2 .

Bài 19. Cho a,b  0 thỏa mãn

1
a



1
b

 2.

-1-


Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268
Tìm giá trị lớn nhất của P 

1



2

1

.

2

a  b  2b a b  a  2a b
1
8
3

 .
Bài 20. Cho a,b  0 . Chứng minh rằng
2
2a  3b
2

b
2b 2  2 a    3
2 


Bài 21. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  2a  b .
Tìm giá trị lớn nhất của P  a  b  ab .
2 a
2 b
1
1
 3
 2  2.
2
2
a b
b a
a
b

Bài 23. Cho 0  a,b  3 . Chứng minh rằng a 1  3  a  b 1  b   4 .



Bài 22. Cho a,b  0 . Chứng minh rằng

3

Bài 24. Cho a,b  0 . Chứng minh a  b  2 b a  b   2 2a  b   8b 2 .
2

Bài 25. Cho a,b  0, a  b  1 . Chứng minh rằng 5a  4  5b  4  5 .
1
1
 2

a  2a b  2b
1
1

 1.
a2  2
b2  2

Bài 26. Cho a,b  0, a  b  ab . Chứng minh rằng
Bài 27. Cho a, b  0, ab  2 . Chứng minh rằng

2

1  a 1  b   214 .

2

2

Bài 28. Cho a,b  0 thỏa mãn a  b   4ab  12 .
3

1
1

 2020ab  2021 .
1 a 1 b
Bài 29. Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab  4 .

Chứng minh rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

a  b  2a

2

 b2

a b

.

Bài 30. Cho x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x  y  99 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  x  1  y  1 .

Bài 31. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2  2y 2  2xy  24  5x  5y .
Tìm giá trị lớn nhất của P  x 2  y 2  x  y  2xy  2 .
Bài 32. Cho a,b  0, ab  1 . Chứng minh rằng

1

1  a 

2



1

1  b 

2

1
 .
2

Bài 33. Cho a,b  0, ab  1 . Chứng minh rằng 2 a 2  1  2 b 2  1  2 a  b  .
Bài 34. Cho a,b  0 và ab  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P 

a
a4  3



b
b4  3

.

Bài 35. Cho a,b là các số thực thỏa mãn a 2  ab  b 2  a  b .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  2020 a  b  .
Bài 36. Cho x, y  1 thỏa mãn x  y  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài 37. Cho a,b  0 thỏa mãn a 2  b 2  b 2  a 2  2 .
-2-

y 2 x 2
 2 .
x2
y


Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268
1 1
 a b .
a b
Bài 38. Cho x 2  y 2  1  xy; x , y   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P  x 4  y 4  x 2y 2 .
Bài 39. Cho x, y   thỏa mãn x 2  y 2   4x 2  y 2  6x  1  0 .
3

Tìm giá trị lớn nhất của x 2  y 2 .

Bài 40. Cho x, y   thỏa mãn x 2  xy  y 2  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A  x 2  xy  y 2 .
Bài 41. Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x  y  2020 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x x 2  y   y y 2  x  .
Bài 42. Cho x, y   thỏa mãn x 2  y 2  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M  y 2  3xy .
Bài 43. Cho x, y   thỏa mãn x 2  y 2  xy  4 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 .
Bài 44. Cho các số thực x, y thỏa mãn xy  x  y  15 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 .
Bài 45. Cho các số thực x, y thỏa mãn x  y  4  0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x 3  y 3   3 x 2  y 2   10xy .
Bài 46. Cho x, y  0, xy  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x 2  y 2 

3
.
x y 1

Bài 47. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  x  y .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S  x  y .
2
2020
a  b .

2021
2
a
b2

Bài 49. Cho a  1,b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

.
b 1 a 1

Bài 48. Chứng minh rằng với mọi a,b ta có: a 2  b 2  2ab 

Bài 50. Cho a,b  0 . Chứng minh rằng 2021b 2  2020a 2   b  2020a  .
2

Bài 51. Cho a,b  0, ab  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

a  b  1a

2

 b2

a b

.

Bài 52. Cho a,b  0 thỏa mãn a  1  b  1  4 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a 2  ab  b 2 .
Bài 53. Cho x, y thỏa mãn x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất của P  x 3y  xy 3 .







Bài 54. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x  x 2  9 y  y 2  9  9 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  2x 4  y 4  6xy  8y 2  10x  2y  2024 .
Bài 55. Cho các số không âm x, y thỏa mãn x 2  y 2  2 .

-3-


Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy 

1
.
x y

Bài 56. Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x  y  1 .
4 1
 .
x y
Bài 57. Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab  1  2a .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

a b

.

a 2  b2
Bài 58. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a  2b  ab  12 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  b2 .
Bài 59. Cho các số thực không âm a,b thỏa mãn a  b 

1
.
2

Tìm giá trị lớn nhất của P  a 3  b 3  a 4  b 4 .
Bài 60. Cho x, y   thỏa mãn x 2  y 2  1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

Bài 61. Cho

2x x  6y 
1  2xy  2y 2

.

2
1
 x , y  2 và x  y  4xy . Tìm giá trị lớn nhất của P  x  y   2 x  y  .
4

Bài 62. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  1 .
2

2




1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x    y   .
y 
x 


Bài 63. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 1  x  y  5 .

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P  2 x 2  y 2   4 x  y  xy   7 .
Bài 64. Cho a,b  0 thỏa mãn a  b  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

5  2a 5  2b
.

1 a
1 b

20
.
xy
1
1
Bài 66. Cho a,b  0, a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
.

2
1  3ab  a
1  3ab  b 2

2 6
9
Bài 67. Cho x, y  0, xy  12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P   
.
x y 3x  y

Bài 65. Cho x, y  0, x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  xy 

Bài 68. Cho x , y  0 thỏa mãn 4x 2  4y 2  17xy  5x  5y  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  17x 2  17y 2  16xy .
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020)
Bài 69. Cho a,b  0 thỏa mãn 2  2a  3b  5 và 8a  12b  2a 2  3b 2  5ab  10 .
Chứng minh rằng 3a 2  8b 2  10ab  21 .
(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021)
-4-


Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268
Bài 70. Cho x , y   thỏa mãn x  3, x  y  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2 .
x y

Bài 71. Cho x, y  0, xy  1  x . Tìm giá trị lớn nhất của Q 

3x 2  xy  y 2

.

1
y2


 4.
4
x2
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P  xy .

Bài 72. Cho x , y   thỏa mãn 2x 2 

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021)
Bài 73. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  x 2  y 2  9x  12y 

16
 25 .
2x  y

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021)
1
1

 1.
4x  2 2y  1
1
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của T 
.

4x  1 4y  1

Bài 74. Cho x , y  0 thỏa mãn

Bài 75. Cho x , y  0, x  y  10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x 4  1y 4  1 .
(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021)
7
2

Bài 76. Cho x , y  0 và x  y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

13x 10y
1
9


 .
3
3
2x y

(ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021)
Bài 77. Cho a,b  0 thỏa mãn a a  1  b b  1  ab .
Tìm giá trị nhỏ nhất của F 

a 3  2020 b 3  2020
.

b
a

Bài 78. Cho a,b  0 thỏa mãn a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q  b  a 

20 7

 .
a
b

(ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021)


1 

1

17

Bài 79. Cho x, y  0, x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  2 y 2  2   .
y 
x  6

(ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021)
Bài 80. Cho a, b  0,2a  3b  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 

2002 2017

 2996a  5501b .
a
b

(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021)
Bài 81. Cho các số thực dương a , b sao cho ab  1  b . Tìm GTNN của P  a 

Bài 82. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b 2  2ab 2 .

Chứng minh rằng:

1
1
1
 2

4
8
2 2
a  b  2ab
a  b  2a b
2
4

4

(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Ninh Bình, năm 2021)

-5-

1
1
 b2  .
2
a
b


Khóa học Bất đẳng thức Online. Khóa 16: 08/8/2021 học. Zalo: 0989.15.2268

Bài 83. Cho các số thực không âm a , b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a 2  2b  3b2  2a  3
(2a  1)(2b  1)

.

(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, năm 2021)

Bài 84. Cho các số thực dương x,y thoả mãn

y  y  1  6x  9   2x  4  2x  3  3y . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức M  xy  3y  4x 2  3
(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Hải Dương, năm 2021)
Bài 85. Cho a, b là hai số thực dương sao cho a  b  1
Chứng minh rằng: 3a  b  a  3b  2  3a  b  a  3b 
(ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Cà Mau, năm 2021)
Bài 86. Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x  y 
Tìm giá trị nhỏ nhất của A  53x  53 y 

2
.
3

1
1
 2.
2

x
y

(ĐTTS vào lớp 10 chuyên tỉnh Lào Cai, năm 2021)

-6-