Chuyen de 2 bat dang thuc l8 ng 26 01 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.21 KB, 44 trang )

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I.LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
Các mệnh đề: “ A �B ” hoặc “ A �B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là
BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT
A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B <=> C>D
3. Tính chất:
A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
�
A  B  AC
.  B.C, C  0
�
(Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
A

B

AC
.

B
.
C
,
C

0

�


�
A  B,C  D  A  C  B  D ( Cộng hai BĐT cùng chiều)
A  B,C  D  AC  BD, A,C  0 (Nhân hai BĐT cùng chiều)

A  B  A2n1  B2n1 hoặc A2n  B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT

lên một lũy thừa)
A  B  A  B , A  0

(Khai căn hai vế của một BĐT)

a  b �a  b �a  b (Tính chất giá trị tuyệt đối).

II.LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT
A2 �0

Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì x 2  y 2  z 2 �xy  yz  zx
HD:
Xét hiệu ta có:
�  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  �0

� 2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  �0
� ( x 2  2 xy  y 2 )  ( y 2  2 yz  z 2 )  ( z 2  2 zx  x 2 ) �0
  x  y    y  z    z  x  �0
2

2

2

Trang 1

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì x 2  y 2  z 2 �2 xy  2 yz  2 zx
HD:
Xét hiệu ta có: x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx �0   x  y  z  �0
2

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
2
2
2
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì x  y  z  3 �2  x  y  z 

HD:
Xét hiệu ta có:  x  1   y  1   z  1 �0 , Dấu bằng khi x=y=z=1
2

2

2

2

a 2  b 2 �a  b �

��
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có :
�
2
�2 �

HD:
Xét hiệu ta có :

a 2  b 2 a 2  2ab  b 2
2
2
2
2

�0 <=> 2a  2b   a  2ab  b  �0
2
4

 a 2  2ab  b 2 �0   a  b  �0 , Dấu bằng khi a=- b
2

2

a 2  b 2  c 2 �a  b  c �
��
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có :
�
3
� 3

�

HD:
Ta có:

a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac
�
3
9

 3a 2  3b 2  3c 2   a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac  �0

 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ac �0
  a  b    b  c    c  a  �0 , Dấu bằng khi a=b=c
2

Bài 6: CMR : a 2  b 2 �

2

2

a  b
�2ab
2
2

HD:
Ta chứng minh: a  b
2

2

 a  b
�

2

 2a 2  2b 2 �a 2  2ab  b 2

2

 a  b  2ab �0   a  b  �0 , Dấu bằng khi a=b
2

2

2

a  b
Ta chứng minh 
2

2

2
2
�2ab  a  2ab  b �4ab   a  b  �0 , Dấu bằng
2

khi a=b
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a 2 

b2
�ab
4

HD:
Ta có: 4a 2  b 2 �4ab � 4a 2  b 2  4ab �0   2a  b  �0
2

Dấu bằng khi b=2a
Trang 2

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: a 2  b 2  1 �ab  a  b
HD:
Ta có: a 2  b 2  1  ab  a  b �0  2a 2  2b 2  2  2ab  2a  2b �0
2
2
2
  a 2  2ab  b 2    a 2  2a  1   b2  2b  1 �0   a  b    a  1   b  1 �0 .

Dấu bằng khi a=b=1
2
2
2
2
2
Bài 9: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : a  b  c  d  e �a  b  c  d  e 

HD:
Ta có: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  ac  ad  ae �0
 4a 2  4b 2  4c 2  4d 2  4e 2  4ab  4ac  4ad  4ae �0

  a 2  4ab  4b 2    a 2  4ac  4c 2    a 2  4ad  4d 2    a 2  4ae  4e 2  �0

  a  2b    a  2c    a  2d    a  2e  �0
2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
� 1�
� 1�
� �
� �

1 �
1  ��9
Bài 10: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0.CMR: �
�
a
b

HD:

� ab�
� ab� � b �
� a�
�a b �
1
2 �
2  � 4  2 �  � 1
�
�
� �
�
� a �
� b � � a�
� b�
�b a �
a b
1
�a b �
 5  2 �  ��5  2.2  9 . Dấu bằng khi   a 2  b 2  a  b 
b a
2
�b a �

1
Ta có: VT  �

2

�x  y �
Bài 11: Cho x, y �0, CMR : �

��xy
�2 �

HD:
Ta có: x 2  y 2  2 xy �4 xy  x 2  2 xy  y 2 �0   x  y  �0 , Dấu bằng khi x=y
2

Bài 12: Cho a > 0, b > 0. CMR: a 3  b3 �a 2b  ab 2
HD:

3
2
3
2
2
2
Ta có:  a  a b    b  ab  �0  a  a  b   b  a  b  �0





  a  b  a 2  b 2 �0   a  b 

2

 a  b  �0

Dấu bằng khi a=b
Bài 13: Cho ab �1, a �0, b �0 CMR:

1
1
2

�
2
2
1  a 1  b 1  ab

HD:
Xét hiệu:
1 �� 1
1 �
�1
� 2
� � 2 
��0
1  a 1  ab � �
1  b 1  ab �
�


a  b  a



b  a  b

 1  a   1  ab   1  b   1  ab 

2

2

�0

Trang 3



(b  a )
a
b
[

] �0
2
(1  ab)  1  a   1  b 2 

(b  a ) a (1  b 2 )  b(1  a 2 )
[
] �0
(1  ab)
(1  a 2 )(1  b 2 )
(b  a ) (b  a )(ab  1)

[
] �0
(1  ab) (1  a 2 )(1  b 2 )



 b  a   ab  1

 1  ab   a 2  1  b2  a 
2

�0

Dấu bằng khi a=b hoặc ab=1
2
2
2
2
Bài 14: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta ln có : x  y  z  t �x  y  z  t 

HD:
Ta có: x 2  y 2  z 2  t 2  xy  xz  xt �0  4 x 2  4 y 2  4 z 2  4t 2  4 xy  4 xz  4 xt �0
  x 2  4 xy  4 y 2    x 2  4 xz  4 z 2    x 2  4 xt  4t 2   x 2 �0

Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 15: CMR :
HD:

a2
 b 2  c 2 �ab  ac  2bc
4

2
2

2
Ta có: a 2  4b 2  4c 2  4ab  4ac  8bc �0  a  4a  b  c   4  b  c  2bc  �0

 a 2  4a  b  c   4  b  c  �0   a  2a  2c  �0
2

2

Bài 16: CMR : x 2  y 2  z 2 �2 xy  2 zx  2 yz
HD:
2
2
2
Ta có: x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx �0  x  2 x  y  z   y  2 yz  z �0

x 2  2 x  y  z    y  z  �0   x  y  z  �0
2

2

4
4
4
2
Bài 17: CMR : x  y  z  1 �2 x  xy  x  z  1

HD:
Ta có: x 4  y 4  z 4  1  2 x 2 y 2  2 x 2  2 xz  2 x �0

x

4

 y 4  2 x 2 y 2    x 2  2 xz  z 2    x 2  2 x  1 �0

x

2

 y 2    x  z    x  1 �0 , Dấu bằng khi x=z=1, y= �1
2

2

2

Bài 18: CMR : a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ca
HD:
Ta có : a 2  b2  c 2  ab  bc  ca �0  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca �0
  a  b    b  c    c  a  �0
2

2

2

Bài 19 CMR : a 2  b2 �ab
HD:

Trang 4

2

b
2

Ta có: a 2  b 2  ab �0  a 2  2a. 

2
b 2 3b 2
� b � 3b

�0  �
a  �
�0
4
4
� 2� 4

Bài 20: CMR : x 2  xy  y 2 �0
HD:
2

2
y y2 3y2
� y � 3y
�0  �x  �
�0
Ta có: x  2 x.  

2 4
4
� 2� 4
2

2 2
Bài 21: CMR : a  a  b   a  c   a  b  c   b c �0

HD:
 a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c 2 �0
  a 2  ab  ac   a 2  ab  ac  bc   b 2c 2 �0
�
a 2  ab  ac  x
2
2
2
Đặt �
, Khi đó ta có: x  x  y   y �0  x  xy  y �0
bc  y
�

Bài 22: CMR :  a 2  b2   a 4  b4  � a3  b3 

2

HD:
Ta có: a 6  a 2b 4  a 4b2  b6 �a 6  2a3b3  b6
  a 4b 2  a 3b3    a 2b 4  a3b3  �0

 a 3b2  a  b   a 2b3  b  a  �0




Bài 23: CMR :  a  b   a  b  �2  a

  a  b  a 3b 2  a 2b 3 �0  a 2b 2  a  b  �0
3

3

2

4

 b4 

HD:
Ta có: a 4  ab3  a3b  b4 �2a 4  2b4  a 4  ab3  b 4  a 3b �0

 a 3  a  b   b3  b  a  �0   a3  b3   a  b  �0   a  b 

3
3
2
2
Bài 24: Cho a,b > 0, CMR : 2  a  b  � a  b   a  b 

HD:
Ta có: 2a3  2b3 �a 3  ab 2  a 2b  b3

 a 3  a 2b  b3  ab 2 �0

 a 2  a  b   b 2  b  a  �0
  a  b 

2

 a  b  �0

3
3
Bài 25: Cho a, b > 0, CMR: 4  a  b  � a  b 

3

HD:
Ta có: 4a 3  4b3 �a3  3a 2b  3ab2  b3
 3a 3  3a 2b  3b 3  3ab 2 �0

 3a 2  a  b   3b 2  b  a  �0  3  a  b   a 2  b 2  �0

 3  a  b 

2

 a  b  �0
Trang 5

2

a

2

 ab  b 2  �0

3
3
Bài 26: Cho a,b,c > 0, CMR: a  b  abc �ab  a  b  c 

HD:
Ta có: a 3  b3  abc �a 2b  ab 2  abc
 a 3  a 2b  b3  ab 2 �0  a 2  a  b   b 2  b  a  �0   a  b 

Bài 30: CMR:  a 2  b2  �ab  a  b 
2

HD:

2

 a  b  �0

2

4
2 2
4
2

2
3
2 2
3
Ta có: a  2a b  b �ab  a  2ab  b   a b  2a b  ab

  a 4  a 3b    b 4  ab3  �0  a 3  a  b   b3  b  a  �0





 a 3  b3  a  b  �0   a  b 

2

a

2

 ab  b2  �0

2
2
2
Bài 31: CMR: a  b  c �a  b  c 

HD:
Ta có: a 2  b 2  c 2  ab  ac �0  4a 2  4b 2  4c 2  4ab  4ac �0

  a 2  4ab  4b 2    a 2  4ac  4c 2   2a 2 �0   a  2b    a  2c   2a 2 �0
2

2

2
2
2
2
Bài 32: CMR: a  b  c  d �a  b  c  d 

HD:
Ta có: a 2  b 2  c 2  d 2  ab  ac  ad �0 
4a 2  4b 2  4c 2  4d 2  4ab  4ac  4ad �0

  a 2  4ab  4b 2    a 2  4ac  4c 2    a 2  4ad  4d 2   a 2 �0

  a  2b    a  2c    a  2d   a 2 �0
2

2

2

3
4

2
2
2

Bài 33: CMR: a  b  c  � a  b  c 

HD:
3
4

Ta có:  a 2  a    b 2  b    c 2  c   �0 
1 � �2
1 � �2
1�
�2
a  a  � �
b  b  � �
c  c  ��0
�
4��
4� �
4�
�
2

2

2

1� � 1� � 1�
 �
a  � �
b  � �
c  ��0

�
� 2� � 2� � 2�

Bài 34: CMR: a 4  b 4  2 �4ab
HD:
Ta có: a 4  b 4  4ab  2 �0  a 4  b4  2a 2b 2  2a 2b 2  4ab  2 �0
  a 2  b 2   2  a 2b 2  2ab  1 �0   a 2  b 2   2  ab  1 �0
2

2

2

Bài 35: CMR: x 4  4 x  5  0
HD:

2
4
2
2
Ta có:  x  4 x  4    4 x  4 x  1  0   x 2  2    2 x  1  0
2

Không xảy ra dấu bằng.
Trang 6

1
2

4
Bài 36: CMR: x  x   0

HD:
2
2
1 � �2
1�
�4
1� � 1�
2
�
2
Ta có: �x  x  � �x  x  ��0  �x  � �x  ��0
4��
4�
�
� 2� � 2�

Bài 37: CMR: x3  4 x  1  3x 2 ( x  0)
HD:

2
2
2
Ta có: x3  3x 2  4 x  1  0  x  x  x  4   x  1  0  x  x  2   x 2  1  0 , Vì x

>0
Bài 39: CMR:  x  1  x  2   x  3  x  4  �1
HD:

 x  1  x  4   x  2   x  3  1 �0   x 2  5 x  4   x 2  5 x  6   1 �0
Đặt x 2  5 x  5  t , Khi đó ta có:  t  1  t  1  1 �0  t 2 �0 , Dấu bằng khi t=0
Bài 40: CMR: x 4  x3  x 2  x  1  0
HD:

3
2
3
2
Ta có : x  x  1   x  1  x  0   x  1  x  1  x  0

  x  1

2

x

2

 x  1  x 2  0 ( ĐPCM)

Bài 41: CMR : a 2  4b 2  4c 2 �4ab  8bc  4ac
HD:
Ta có: a 2  4b 2  4c 2  4ab  8bc  4ac �0 
a 2   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c �0
2

2

  a  b  c  �0
2

3
3
3
Bài 42: CMR : 8  a  b  c  � a  b    b  c    c  a  với a, b, c >0
3

3

3

HD:
Ta có: 8a3  8b3  8c3 �2a3  2b3  2c3  3a 2b  3ab 2  3b 2c  3bc 2  3a 2c  3ac 2
 6a 3  6b3  6c 3  3a 2b  3ab 2  3b 2c  3bc 2  3a 2c  3ac 2 �0


 3a

3

 3a 2b    3a 3  3a 2 c    3b3  3b 2 a    3b3  3b 2 c    3c 3  3bc 2    3c 3  3ac 3  �0

 3a 2  a  b   3a 2  a  c   3b 2  b  a   3b 2  b  c   3c 2  c  b   3c 2  c  a  �0
 3  a  b   a 2  b 2   3  a  c   a 2  c 2   3  b  c   b 2  c 2  �0

 3  a  b 

2

 a  b   3  a  c   a  c   3  b  c   b  c  �0
2

Bài 43: CMR:  a  b  c  �a3  b3  c3  24abc với a,b,c>0
3

HD:
3
3
3
3
3
3
Ta có: a  b  c  3  a  b   b  c   c  a  �a  b  c  24abc

Trang 7

 3  a  b   b  c   c  a  �24abc
�a  b �2 ab
�
�
Vì �b  c �2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM
�
c  a �2 ca
�
�x y �
x2 y2
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 2  2  4 �3 �  �

y
x
�y x �

HD:

x

2

x

2

4
4
2 2
2
2
Ta có: x  y  4 x y �3xy  x  y  

 y 2   xy  x 2  y 2   2 x 2 y 2  2 xy  x 2  y 2  �0
2

  x 2  y 2   x 2  y 2  xy   2 xy  xy  x 2  y 2  �0 

 y 2  xy   x 2  y 2  2 xy  �0

  x  y 

2

x

2

 xy  y 2  �0
1
4

3
3
Bài 45: CMR : Nếu a  b �1 , thì a  b �

HD:
2

� 1� 1 1
Ta có: b �1  a  b �1  3a  3a  a  a  b �3a  3a  1  3 �a  � �
� 2� 4 4
3

2

3

3

3

2

Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : ab  bc  ca �a 2  b 2  c 2
HD:
Ta có: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca �0   a  b    b  c    c  a  �0
2

2

2

a2  a  1
0
Bài 47: CMR : 2
a  a 1

HD:
1� 3

�

�

1� 3

2
2
2
2
Ta có: a  a  1  �a  a  �  0, a <=> a  a  1  �a  a  �  0, a

4� 4
4� 4
�
�
2
Bài 48: CMR : 4a  a  b   a  1  a  b  1  b �0

HD:

2
2
2
2
Ta có: 4a  a  b  1  a  1  a  b   b �0  4  a  ab  a   a  ab  a  b   b �0 .

Đặt

a 2  ab  a  x
b y

2
2
Khi đó: BĐT  4 x  x  y   y �0  4 x 2  4 xy  y 2 �0   2 x  y  �0 ,

Dấu bằng khi 2 x   y  2a 2  2ab  2a  b  b  
Bài 49: CMR : x  y
2

2

 x  y
�
2

2

�2 xy

Trang 8

2a  a  1
2a  1

HD:
2
�2
x  y

2
2
x y �
 2 x 2  2 y 2 �x 2  y 2  2 xy   x  y  �0
�
2
Ta có: �
2
�
 x  y  �2 xy  x 2  y 2  2 xy �4 xy  x  y 2 �0
�



� 2
1 1
4
Bài 50: CMR :  �
, Với a,b > 0
a b ab

HD:
Ta có:

 a  b
ab

4
2
2
  a  b  �4ab   a  b  �0
�
ab

4
4
2
2
Bài 51: CMR : a  b �ab  a  b 

HD:
Ta có:

3
3
a 4  b 4  a3b  ab3 �0  a  a  b   b  a  b  �0   a  b 

2

a

2

 ab  b 2  �0

4

Bài 52: CMR :

a 4  b 4 �a  b �
��
�
2
�2 �

HD:
Ta có: 8a 4  8b4 �a 4  b4  4a 2b 2  2a 2b 2  4a3b  4ab3
 7 a 4  7b 4  4a 2b 2  2a 2 b2  4a3b  4ab3 �0

  a 4  b 4  2a 2b 2    6a 4  6b 4   4ab  a 2  b 2   8a 2b 2 �0

  a 2  b 2   4ab  a 2  b 2   4a 2b 2  6  a 4  b 4   12a 2b 2 �0
2

  a 2  b2  2ab   6  a 4  b 4  2a 2b2  �0   a  b   6  a 2  b 2  �0
2

2

4

Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab  bc  ca �0
HD:
2
2
2
Ta có: a  b  c  2  ab  bc  ca   0

 2  ab  bc  ca     a 2  b 2  c 2  �0

Dấu bằng khi a=b=c=0

2
2
2
Bài 54: Cho x,y,z �R , CMR :  x  y    y  z    z  x  �3  x  y  z 
2

2

2

HD:

Ta có: 2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  2 zx �3x 2  3 y 2  3z 2
 x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx �0   x  y  z  �0
2

x6
y

Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta ln có : x 4  y 4 � 2 
HD:

y6
x2

2 2
4
4
8
8
Ta có: x y  x  y  �x  y  x8  y8  x6 y 2  x 2 y 6 �0 

x 6  x 2  y 2   y 6  x 2  y 2  �0
Trang 9

  x 6  y 6   x 2  y 2  �0   x 2  y 2   x 4  x 2 y 2  y 4   x 2  y 2  �0

  x 2  y 2 

2

x

4

 x 2 y 2  y 4  �0

2
2
2
Bài 56: CMR : 2a  b  c �2a  b  c 

HD:

2
2
2
2
Ta có: 2a 2  b 2  c 2  2ab  2ac �0   a  2ab  b    a  2ac  c  �0

  a  b    a  c  �0
2

2

Bài 57: CMR : a 4  a 3b  ab3  b4 �0
HD:

3
3
3

3
2
2
Ta có: a  a  b   b  a  b  �0   a  b   a  b  �0   a  b   a  ab  b  �0

2

Bài 58: CMR : a 4  2a3b  2a 2b 2  2ab3  b 4 �0
HD:

4
2
2 2
4
2
2 2
Ta có:  a  2a .ab  a b    b  2ab.b  a b  �0   a 2  ab    b 2  ab  �0

2

2

4
4
2
2
Bài 59: CMR : a  b  c  1 �2a  ab  a  c  1

HD:
Ta có: a 4  b 4  c 2  1  2a 2b 2  2a 2  2ac  2a �0

  a 4  b 4  2a 2b 2    a 2  2ac  c 2    a 2  2a  1 �0 

a

2

 b 2    a  c    a  1 �0
2

2

2

Bài 60: CMR :  ab  bc  ca  �3abc  a  b  c 
2

HD:
Ta có: a 2b 2  b2 c 2  c 2 a 2  2ab2 c  2abc 2  2a 2bc  3a 2bc  3ab 2 c  3abc 2 �0
 a 2b 2  b2 c 2  c 2 a 2  ab 2c  abc 2  a 2bc �0

ab  x
�
�
2
2
2
Đặt �bc  y => x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx �0   x  y    y  z    z  x  �0
�
ca  z

�

�1

1� 1

�1

1�

 x  z  , Với 0  x �y �z
Bài 61: CMR : y �  �  x  z  ��  �
�x z � y
�x z �
HD:
y  x  z x  z  x  z
2
Ta có:


�0  y  xz  y  x  z  �0 
xz
y
xz
2

y 2  xz  xy  yz �0
  y  x   z  y  �0

Trang 10

Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR :

1
1
4

�
a 1 b 1 3

HD:
Quy đồng  3  a  b  2  �4  a  1  b  1
2
2
 4  ab  a  b  1 �9  1 �4ab   a  b  �4ab   a  b  �0 ( đúng)

Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì

a 2 b2 a b
 � 
b2 a 2 b a

HD:
�a 2 b 2 � �a b �
a 2 b2
�a b � �a b �
Ta có: 2  2  2 �  � �  ��0  VT �� 2  2 � 2 �  � 2
a � �b a �
b

a
�b a � �b a �
�b
�a 2
a � �b 2
b �
 � 2  2.  1� � 2  2.  1��0
b � �a
a �
�b

Bài 64: CMR :

a 8  b8  c8 1 1 1
�   ,  a , b, c  0 
a 3b 3 c 3
a b c

HD:
Ta có: a8  b8  c8 �a 4b 4  b 4c 4  c 4a 4   a 2b 2    b 2c 2    c 2 a 2 
2

2

2

2 2 2
2
2
2

2 2 2
VT  a 2b 4c 2  b 2c 4 a 2  a 4b 2c 2  a b c  a  b  c  �a b c  ab  bc  ca 



a 8  b8  c 8
a 8  b8  c 8 1 1 1
�
ab

bc

ca

�  
a 2b 2 c 2
a 3b 3 c 3
a b c

10
10
2
2
8
8
4
4
Bài 65: CMR :  a  b   a  b  � a  b   a  b 

HD:

Ta có:

10 2
8 4
2 10
4 8
a12  a10b 2  a 2b10  b12 �a12  a8b 4  a 4b8  b12   a b  a b    a b  a b  �0

 a 8b 2  a 2  b 2   a 2b8  b 2  a 2  �0  a 2b 2  a 2  b 2   a 6  b 6  �0

 a 2b2  a 2  b 2 

2

a

4

 a 2b2  b 4  �0
1
a

1
b

1
c

Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và a  b  c    , CMR :  a  1  b  1  c  1  0
HD:

Ta có: a  b  c  ab  bc  ca ,
Xét  a  1  b  1  c  1  abc   ab  bc  ca    a  b  c   1 =

 a  b  c    ab  bc  ca   0
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : a 3  b3  a  b , CMR : a 2  b 2  ab  1
HD:
3
3
3
3
2
2
Ta có: a  b  a  b   a  b   a  ab  b 

Trang 11

  a  b    a  b   a 2  b 2  ab   a 2  b2  ab  1
8
8
3
3
5
5
Bài 68: CMR : 2  a  b  � a  b   a  b 

HD:

8
5 3

8
3 5
Ta có: 2a8  2b8 �a 8  a3b5  a5b3  b8   a  a b    b  a b  �0

 a 5  a 3  b3   b5  a 3  b3  �0   a 5  b5   a3  b3  �0 ,

Giả sử a > b => a 3  b3 , a 5  b5 => ĐPCM
Nếu a<b => a 3  b3 , a 5  b5 => ĐPCM
Bài 69: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau:
a 2  b 2  c 2 �ab  bc  ca (1)

HD:
(1) � 2a 2  2b2  2c 2 �2ab  2bc  2ca � (a  b)2  (b  c)2  (c  a )2 �0(dung )

Dấu “ = ” xảy ra � a  b  c
Bài 70: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab  bc  ca) 2 �3abc( a  b  c)(1)
HD:
(1) � a 2b 2  b 2 c 2 c 2 a 2  a 2bc  ab 2 c  abc 2 �0 � 2(...) �0
� (ab  bc) 2  (bc  ca ) 2  (ca  ba ) 2 �0

Dấu “ = ” xảy ra � ab  bc; bc  ca; ca  ab � a  b  c
Bài 71: Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 �a (b  c  d  e)a, b, c, d , e �R
HD:
a 2  b 2  c 2  d 2  e 2 �a (b  c  d  e) �

a2
a2
a2
a2
 ab  b 2   ac  c 2   ad  d 2   ae  e 2 �0

4
4
4
4

a
a
� (  b) 2  ...  (  e) 2 �0( dung )
2
2
a
b

b
c

c
a

b
a

a
c

Bài 72: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0  a �b �c.CMR :   �  

c
b

HD:
Xét hiệu:
VT  VP 


a b c b a c
1
     
(a 2 c  ab 2  bc 2  b 2c  ba 2  ac 2 )
b c a a c b abc

1
�
(a 2 c  b2 c)  (b 2 a  ab 2 )  (c 2b  ac 2 ) �
�
�
abc

Trang 12



1
1
�
c(a  b)( a  b)  ab(a  b)  c 2 (a  b) �

(a  b)(b  c)(c  a ) �0(do : 0  a �b �c )
�

�
abc
abc

Bài 73: Chứng minh rằng:

a b
c 1 1 1
 
�   với a, b, c > 0
bc ac ab a b c

HD:
Xét hiệu:
a b
c
bc
ac
ab
   2(


) �0
bc ac ab
abc abc abc
� a 2  b 2  c 2  2bc  2ca  2ab �0
�

� (a  b  c) 2 �0

Bài 74: Chứng minh rằng nếu a  b �2 thì a3  b3 �a 4 b 4
HD:
Xét hiệu:
a b  a3  b3  a3 (a  1)  b3 (b  1)  a3 (a  1)  (a  1)  (a  1)  b3 (b  1)  (b  1)  (b  1)
4

4

 (a  1)(a 3  1)  (b  1)(b 3  1)  a  b  2
 (a  1) 2 (a 2  a  1)  (b  1)2 (b 2  b  1)  a  b  2 �0  0  0  0

Bài 75: Chứng minh rằng nếu a, b, c ta ln có: a 4 b 4  c 4 �abc(a  b  c)
HD:
a 4 b 4  c 4  abc (a  b  c)
 a 4  b 4  c 4  a 2bc  b 2 ac  c 2 ab
1
 (2a 4  2b 4  2c 4  2a 2bc  2b 2 ac  2c 2 ab)
2


1
�
(a 4  2a 2b2  b4 )  2a 2b2  (a 4  2a 2 c 2  c 4 )  2a 2 c 2  (b 4  2b 2c 2  c 4 )  2b 2c 2  a 2bc  b 2 ac  c 2 ab �
�
�
2



1

�
(a 2  b2 ) 2  (a 2  c 2 )2  (b2  c 2 )2  (a 2b 2  b 2c 2  2ab 2c)  (b 2c 2  c 2 a 2  2abc 2 )  (a 2b 2  c 2 a 2  2a 2bc ) �
�
�
2



1
�
(a 2  b 2 ) 2  (b2  c 2 ) 2  (c 2  a 2 )2  (ab  bc) 2  (bc  ca) 2  (ab  ac) 2 �
��0a, b, c
2�

8
8
8
3
3
3
5
5
5
Bài 76: CMR: 3  a  b  c  � a  b  c   a  b  c 

HD:

8
8
3

3
5
5
Ta có: 2  a  b  � a  b   a  b 

2  b8  c8  � b3  c 3   b5  c 5 

2  c8  a 8  � a 3  c3   a 5  c 5 

Cộng theo vế ta được:
Trang 13

4  a8  b8  c8  � a8  b8  c8   a 3  a5  b5  c 5   b3  a 5  b5  c5   c3  a 5  b5  c 5 

 3  a 8  b8  c8  � a 3  b3  c 3   a 5  b5  c 5 

Bài 70: Cho a+b=2, CMR : a8  b8 �a 7  b7
HD:

8
8
7
7
8
8
7
7
Ta có: 2  a  b  � a  b   a  b   a  b  ab  a b

 a 8  b8  a 7b  ab7 �0   a  b   a 7  b7  �0
a b  0
�

Giả sử a  b  � 7

a b  0
�
7

a b  0
�

Nếu a  b  � 7

a  b7  0
�

6
6
6
5
5
5
Bài 71: CMR : a  b  c �a b  b c  c a,  a, b, c  0 

HD:

5
5

5
5
5
5
5
Ta có: a  a  b   b  b  c   c  c  a    a  b   a  b    c  a   c  b  �0

ca 0
�

Giả sử : a �b �c  �5

c  b5  0
�

a b  0
�

và � 5

a  b5  0
�

=> ĐPCM

a2
b2
c2
a
b

c


Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì 2 2  2 2  2 2 �
b c c a a b
bc ca a b

HD:

a 2  b  c   a  b 2  c 2  ab  a  b   ac  a  c 
a2
a



Xét 2 2
b c bc
 b  c   b2  c 2 
 b  c   b2  c2 

Giả sử a �b �c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM

3
3
4
4
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :  a  b   a  b  �2  a  b 

HD:

4
3
4
3
Ta có: 2a 4  2b 4  a 4  ab3  a 3b  b4 �0   a  a b    b  ab  �0

 a 3  a  b   b3  a  b  �0
4
4
2
2
3
3
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR :  a  b   a  b  � a  b   a  b 

HD:

4
3 2
4
2 3
Ta có: a 5  ab 4  a 4b  b5  a 5  a 2b3  a 3b 2  b5 �0   a b  a b    ab  a b  �0

 a 3b  a  b   ab3  b  a  �0   a  b   a 3b  ab3  �0  ab  a  b   a 2  b 2  �0

2
2
Bài 75: CMR : a  b  4 �ab  2  a  b 

HD:

Ta có: a 2  b 2  4  ab  2a  2b �0  2a 2  2b 2  8  2ab  4a  4b �0
  a 2  2ab  b 2    a 2  4a  4    b 2  4b  4  �0

Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : a 4  b 4 �a3  b 3
HD:

4
4
3
3
Ta có: 2  a  b  � a  b   a  b   2a 4  2b 4  a 4  ab3  a 3b  b 4 �0

  a 4  a 3b    b 4  ab3  �0  a 3  a  b   b3  b  a  �0   a  b   a 3  b3  �0
Trang 14

Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : a 4  b 4  c 4 �a3  b3  c3
HD:
4
4
4
3
3
3
Ta có: 3  a  b  c  � a  b  c   a  b  c 

2
2 �
2
2

� b� 3 2�
2
2
2
2
a

  a  b  �
�
� b �  b  c   b  bc  c    c  a   c  ac  a  �0
� 2� 4 �
�
Bài 78: Cho 0 �x, y, z �1 , CMR : 0 �x  y  z  xy  yz  zx �1

HD:
Xét tích  1  x   1  y   1  z     xyz  xy  yz  zx  x  y  z  1 �0
�x  xy
�
Mà �y  yz  x  y  z  xy  yz  zx �1  xyz , Mà 0 �xyz �1  1  xyz �1
�z  zx
�

Bài 79: Cho 1 �x, y, z �2 và x+y+z=0, CMR : x 2  y 2  z 2 �6
HD:
�
�x 2  x  2 �0
 x  2   x  1 �0
�
�2
Xét � y  2   y  1 �0  �y  y  2 �0 , Cộng theo vế ta có:

�
�2
 z  2   z  1 �0
�z  z  2 �0
�

x 2  y 2  z 2  6 �0  x 2  y 2  z 2 �6

Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR :

1 1 1
1
5
  
, Với x 2  y 2  z 2 
x y z xyz
3

HD:
Ta có:  x  y  z  �0  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx �0
2

5
5
5
 2  xy  yz  zx  �0  2  xy  yz  zx  �  yz  zx  xy � �1
3
3
6
1 1 1

1
   
x y z xyz


Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR : 2a 3  2b3  2c3  3  a 2b  b 2c  c 2 a
HD:

2
2
2
Do a  1  a 2  1, b  1 =>  1  a   1  b   0  1  a b  a  b  0  1  a 2b  a 2  b

Mặt khác: 0< a, b<1=> a 2  a3 , b  b3  a 2  b  a3  b3
Vậy 1  a 2b  a 3  b3 , Chứng minh tương tự => ĐPCM

4
4
4
Bài 82: CMR : a  b  c �abc  a  b  c 

HD:
Chuyển vế ta có: a 4  b 4  c 4  a 2bc  ab 2c  abc 2 �0


a

2

 b 2   2a 2b 2   b 2  c 2   2b 2c 2   c 2  a 2   2a 2c 2  2a 2bc  2b 2 ac  2abc 2 �0

2

2

2

Trang 15



 a 2  b 2

 b
2

2

 c2    c2  a2 
2

2

  a 2b2  2a 2bc  a 2 c 2    a 2b 2  2ab 2 c  b 2 c 2    a 2b 2  2ab 2c  b 2c 2    a 2c 2  2abc 2  b 2c 2  �0

Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: a  c  d , b  c  d , CMR: ab  ad  bc
HD:
a cd
�
�a  c  d  0

 �
  a  c   b  d   cd , Nhân vào ta được ĐPCM
bcd
bd  c  0
�
�

Ta có: �

Bài 84: Cho 0  a, b, c, d  1 , CMR :  1  a   1  b   1  c   1  d   1  a  b  c  d
HD:
Ta có:  1  a   1  b   1  a  b  ab  1  a  b ( do ab >0)
Do c  1  1  c  0   1  a   1  b   1  c    1  a  b   1  c   1  a  b  c
Chứng minh tương tự => ĐPCM
a2
Bài 85: Cho a.b.c=1, a  36 , CMR :
 b 2  c 2  ab  bc  ca
3
3

HD:
a2 a2
  b 2  c 2  ab  bc  ac  0
Xét hiệu
4 12
�a 2
� a2
2
2
 �  b  c  ab  ac  2bc �  3bc  0

�4
� 12
2

3
a
a 3  36abc
� a  36abc , Do 3
 �

b

c

a

36

 0 ĐPCM
�
�
12 a
12a
�2
�

2

�ab  1�
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a  b �0, Chứng minh rằng: a2  b2  �

��2
�a  b �

HD:
2

2
2
2
�ab  1�
�2  a2  b2  a  b   ab  1 �2 a  b
Ta có: a  b  �
�
�a  b �
2

2





2
2
2
2
  a  b �
 2 a  b   ab  1 �0
�a  b  2ab�
�

  a  b  2ab a  b  2 a  b   ab  1 �0
4

2

  a  b  2 a  b
4

2

2

 ab  1   ab 1

2

2

�0

2

2
 �
�0 (ĐPCM)
�a  b  ab  1�
�

Bài 88: Cho x  y  0 hãy so sánh : A 

x2  y2
x y
B

, và
x y
x2  y2

HD:
Vì x  0, y  0  x  y �0

Trang 16

A

x  y  x  y  x  y

, lại có: x2  y2  2xy  x2  y2, x2  y2  0
2
x y
 x  y

 A 

x2  y2
x2  y2

B

2xy  x2  y2 x2  y2

Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: x2  y3 �x3  y4 , Chứng minh rằng: x3  y3 �2 ,
Dấu bằng xảy ra khi nào?
HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
x  x3 �2x2, y2  y4 �2y3 , Do vậy



 



x  x3  y2  y4 �2x2  2y3  x  y2 � x2  y3  x2  y3  x3  y4 �x2  y3 ,

( x2  y3 �x3  y4 )
Mà: x2  1�2x, y4  1�2y2 , nên
1 x2  1 y4 �2x  2y2 �2x2  2y3 �x2  y3  x3  y4

Do vậy x3  y3 �2
Dấu bằng xảy ra khi: x  y  1
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: x2  y2  xy �x  y  1
HD:





2

2
2
2
Ta có: x  y  xy �x  y  1 2 x  y  xy �2 x  y  1



 

 



2
2
2
2
 2x2  2y2  2xy �2x  2y  2  x  2xy  y  x  2x  1  y  2y  1 �0

Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3  b3  a5  b5 , Chứng minh rằng:
a2  b2 �1 ab
HD:





2
2
2

2
2
2
Ta có: a  b �1 ab  a  b  ab �1  a  b a  b  ab �a  b




 ab a  2a b  b  �0  ab a  b 





 a3  b3 �a  b  a3  b3 a3  b3 � a  b a5  b5  2a3b3 �ab5  a5b
4

2 2

4

2

2

2

�0,a,b  0

2

3
0;1�
Bài 92: Cho các số a, b, c ��
�
�, chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca �1
HD:

0;1�
Do a, b,c ��
�
�, nên:

 1 a  1 b  1 c �0  1 a  b  c  ab  bc  ca  abc �0
 a  b  c  ab  bc  ca �1 abc �1
2
3
0;1�
Do a,b,c��
�
� b �b,c �c , từ đó ta có:

a  b2  c3  ab  bc  ca �a  b  c  ab  bc  ca �1

Trang 17

Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc
BĐT đã được chứng minh là đúng
Nếu A  B � C  D , với C < D luôn đúng

Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR:
a. a 2 

b2
�ab
4

b. a 2  b 2  1 �ab  a  b
2
2
2
d. a  b  c �( a  b  c ) 2

c. a 2  4b2  4c 2 �4ab  4ac  8bc

3

3

HD:
b2
a. � a   ab �0 � 4a 2  b 2 �4ab � (2a  b)2 �0(dung )
4
2

b.
a 2  b 2  1 �ab  a  b � 2(a 2  b 2  1) �2(ab  a  b) � ( a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2 �0 � a  b  1

c.
� (a 2  4ab  4b 2 )  4c 2  (4ac  bc) �0 � (a  2b) 2  2(a  2b).2c  (2c) 2 �0 � ( a  2b  2c) 2 �0

d.

a2  b2  c2
abc 2
�(
) � 3( a 2  b 2  c 2 ) �(a  b  c ) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca
3
3

� ( a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 �0(dung )
1
a

1
b

Bài 2: Cho ba số a, b, c �R thỏa mãn: abc = 1 và a  b  c   

1
c

a. Chứng minh rằng: (a  1)(b  1)(c  1)  0
b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
HD:
(a  1)(b  1)(c  1)  0

a. Ta có:

� abc  ab  bc  ca  a  b  c  0

� abc  (a  b  c)  (ab  bc  ca )  0
� 1  ( a  b  c)  ( ab  bc  ca)  0(1)
1
a

1
b

1
c

Và a  b  c    � a  b  c 

ab  bc  ca
� a  b  c  ab  bc  ca (2)
abc

Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh

Trang 18

b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 � abc  1 ( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10  b10 )(a 2  b 2 ) �(a8  b8 )(a 4  b 4 )(1)
HD:
(1) � (a10  b10 )( a 2  b 2 )  ( a8  b8 )(a 4  b 4 ) �0
� a12  a10b 2  a 2b10  b12  a12  a 8b  a 4b8  b12 �0
� (a10b 2  a8b 4 )  ( a 2b10  a 4b8 ) �0
� a 8b 2 (a 2  b 2 )  a 2b8 (a 2  b 2 ) �0

� (a 2  b 2 ) 2 a 2b 2 (a 4  a 2b 2  b 4 ) �0

Bài 4: Chứng minh rằng: 1 

a
b
c


 2(a, b, c  0)
a b bc c a

HD:
Ta có: a  b  a  b  c �
Tương tự:

1
1
a
a

�

ab abc
ab abc

b
b
c
c

a
b
c

;



 1(*)
. Vậy
bc abc ac a bc
a b bc ca

Lại có: a  a  b �

a
ac
b
a b
c
c b

;

;

a b abc bc a bc ca a bc

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: