CHUYÊN đề áp DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI và BUNHACỐPSKI để tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

CHUYÊN ĐỀ :
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN
I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):
Với 2 số không âm a;b
2
2
2
2
2
a 2 + b 2 ≥ 2ab ( vì (a − b) ≥ 0 ↔ a − 2ab + b ≥ 0 ↔ a + b ≥ 2ab )

a+b ≥ 2 ab ( tương tự )
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
+ Nếu a.b =k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2 k ⇔ a = b
+ Nếu a +b = k (khơng đổi ) thì max( a.b) =

k2
4

⇔ a=b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 .a 2 .a3 ...a n ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
+ Nếu a1.a2.a3 …. an = k (khơng đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k
⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an

+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (không đổi ) thì m
+ Mở rộng của BĐT Cơ- si
1.

Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c ≥ 33 abc
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

1.


2. Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d ≥ 44 abcd
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = d
3. Đối với n số không âm: a 1 , a 2 , a3 ,....., a n ≥ 0
Ta có: a1 + a 2 + a3 + .... + a n ≥ n n a1 a 2 a3 ...a n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a 2 = a3 = ... = a n
+ Biến dạng :
(a + b) 2 ≥ 4ab
1 1
4
+ ≥
a b a+b
m 2 n 2 p 2 (m + n + p ) 2
+ +
≥
với x;y;z >0
x
y
z

x+ y+z

II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski .
+Với 4 số a;b;c;d ta có : (ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )
Dấu ‘ =’ xảy ra khi

a b
=
c d

+Tổng quát : Cho hai bộ ( x1 , x2 ,..., xn ) ∧ ( y1 , y2 ,..., yn )
2
2
2
2
2
2
Ta có: ( x1. y1 + x2 . y2 + ... + xn . yn ) ≤ ( x1 + x2 + ... + xn ) ( y1 + y2 + ... + yn )
2

Dấu bằng xảy ra ⇔

x1 x2
x
=
= ... = n .
y1 y2
yn

2.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho a;b;c >0 và a + b + c ≤

3
1
1
1
. Tìm GTNN của S = a 2 + 2 + b2 + 2 + c 2 + 2
2
b
c
a

Bài giải :
( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)
(a 2 +

1 2
4
1
1
4
)(1 + 42 ) ≥ (a + ) 2 ⇔ a 2 + 2 ≥
(a + )
2
b
b
b

b
17

Tương tự:
S = a2 +

1
4 4 4
1
1
1
(a + b + c + + + )
+ b2 + 2 + c 2 + 2 ≥
2
a b c
17
b
c
a

a+b+c+

4 4 4
1
1
1
3 51
+ + = (16a + ) + (16 b+ ) + (16c + ) − 15(a + b + c) ≥ 16 + 16 + 16 − 15. =
(Áp
a b c

a
b
c
2 2

dụng BĐT Cô si )
Suy ra : S ≥

=> S Min

1 51
51
. =
17 2 2 17

4

16a = a

16b = 4

b

51
4
1

=
⇔ a= b= c =
khi 16c =

c
2 17
2

3

a + b + c ≤ 2

 a; b; c > 0


Bài 2:
Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c ≥ 12

3.


Tìm GTNN của P =

a
b
c
+
+
b
c
a

Bài giải
a

b
c 2 a 2 b2 c2
a b b c c a
+
+
)
Ta có : P = ( + + ) = + + + 2(
b
c a
b
c
a
c
a
b
2

Áp dụng BDT Cơ si cho 4 số dương :
Ta có :

a2 a b a b
+
+
+ c ≥ 4a
b
c
c
b2 b c b c
+
+

+ a ≥ 4b
c
a
a
c2 c a c a
+
+
+ b ≥ 4c
a
b
b

=> P 2 = (

a2 a b a b
b2 b c b c
c2 c a c a
+
+
+ c) + ( +
+
+ a) + ( +
+
+ b) − (a + b+ c) ≥ 3(a+b+c)
b
c
a
c
c
a

a
b
b

≥ 3.12 =36

Vì P>0 => P ≥ 6
PMin = 6 Khi a =b =c = 4

Bài 3
Tìm GTNN của : A = x − 2 + y − 3 biết x+y = 6
Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A ≥ 0)
A2 = ( x − 2 + y − 3) 2 ≤ (12 + 12 )( x − 2 + y − 3) = 2(6 − 5) = 2

=>A ≥

AMin

2

5

x=

x − 2 = y − 3 
2
⇔
= 2 khi 
x
+

y
=
6

y = 7

2

4.


Bài 4
Tìm GTNN của M =

2
x12 + x22 + .... + x2017
x1 ( x2 + x3 + .... + x2017 )

Bài giải:
2016 M =

2
( x12 + 2016 x22 ) + ( x12 + 2016 x22 ) + .... + ( x12 + 2016 x2017
)
Áp dụng BĐT cô si
x1 ( x2 + x3 + .... + x2017 )

2016 M ≥

2 2016.x1 ( x2 + x3 + .... + x2017 )

= 2 2016
x1 ( x2 + x3 + .... + x2017 )

2
2016

M≥

M Min =

2
Khi
2016

x1
= x2 = x3 = .... = x2017
2016

Bài 5
Cho a 3 + b3 = 2 ;a >0; b >0 . Tìm GTLN của N= a + b
Bài giải
+ Chứng minh BĐT : a 3 + b3 ≥ ab(a + b) ;
a 3 + b3 = (a + b)( a 2 + b 2 − ab) ≥ ( a + b)(2ab − ab) = ab(a + b)

+ a3 + b3 ≥ ab(a + b) => 3(a3 + b3 ) ≥ 3ab(a + b) ⇔ 4(a 3 + b3 ) ≥ a 3 + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3
Nên 23 ≥ (a + b)3 ⇔ N = a + b ≤ 2
N Max = 2 khi a = b = 1

Bài 6
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của :

P=

ab
bc
ca
+ 5 5
+ 5
5
a + b + ab b + c + bc c + a5 + ca
5

5.


Bài giải
+ Ta chứng minh BĐT : a 5 + b5 ≥ a 3b 2 + a 2b3 = a 2b 2 (a + b)
+Ta có
a 5 + b5 + ab ≥ a 3b 2 + a 2b3 + ab = a 2b 2 (a + b) + ab = ab[ab(a + b) + 1] = ab[ab(a + b) + abc] = a 2 b 2 ( a + b + c)
= ab.

abc(a + b + c)
a+b+c
= ab.
c
c

Vậy a 5 + b5 + ab ≥ ab.

a+b+c
ab

c
≤
hay 5 5
(1)
c
a + b + ab a + b + c
bc
a
≤
(2)
5
b + c + bc a + b + c

Tương tự :

5

ac
b
≤
(3)
5
a + c + ac a + b + c
5

Từ (1)(2)(3) Suy ra :
P=

ab
bc

ca
a+b+c
+ 5 5
+ 5
≤
=1
5
5
a + b + ab b + c + bc c + a + ca a + b + c
5

PMax = 1 khi a= b= c=1

Bài 7
Cho a;b >0 ; a+b ≤ 1 . Tìm GTNN của :
A = a+b+

1 1
+
a2 b2

Bài giải
+Ta có : 1 ≥ a + b ≥ 2 ab ⇔ ab ≤
+ A = a+b+

1
4

1 1
a a

1
b b
1
15 1 1
+ 2 =( + +
)+( + +
)+ ( 2 + 2)
2
2
2
a b
2 2 16a
2 2 16b
16 a b

3 3 15 2
15 2 ≥ + + . = 9
a
a
1
b
b
1
≥ 3( 3 . .
+3 . .
)+ .
4 4 16 1
16 ab
2 2 16a 2
2 2 16b 2

4

6.


AMin = 9 Khi a =b=

1
2

Bài 8
Cho xy =1 và x;y >0 . Tìm GTLN của :
A=

1
1
+ 4
4
x +y
x + y2
2

Bài giải
2

2

x
x
 y÷

 y÷
2 2
2 2
1
1
x y
x y


 
A= 2
+ 4
= 2
+ 4
=
+
3
3
4
2
4
2
x +y
x +y
x .xy + y
x + xy. y
x
x x
 y ÷ + 1 y [  y ÷ + 1]
 

 
=

 t2 + t 
t2
t2
(t − 1)2 (t + 1)
+
=
1
+
−
1
=
1
−
≤ 1 ∀t > 0
 3
÷
t 3 + 1 t (t 3 + 1)
t3 +1
 t +1 

AMax = 1 khi t = 1 => x =y = 1

Bài 9
Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 . Tìm GTLN của :
A=

1

1
1
+ 3 3
+ 3
3
x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1
3

Bài giải
+ ta có : x3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) => x3 + y 3 + 1 ≥ xy ( x + y ) + xyz = xy(x + y+ z)
1

1

1

+ A = x3 + y 3 + 1 + y 3 + z 3 + 1 + z 3 + x3 + 1
≤

1
1
1
z
x
y
+
+
=
+
+

=
xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) xz ( x + y + z ) xyz ( x + y + z ) yzx ( x + y + z ) xzy ( x + y + z )

x+ y+z
=1
x+ y+z
AMax = 1 khi x =y = z= 1.

7.


Bài 10
Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016. Tìm GTNN của :
M = a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2 + c 2 − ca + a 2

Bài giải
+ Ta có 2 a 2 − ab + b 2 = 3(a − b)2 + (a + b) 2 ≥ a + b
Tương tự 2 b2 − bc + c 2 ≥ b+c
2 c 2 − ca + a 2 ≥ c+a
Nên suy ra
2M ≥ 2 (a+b+c) =2. 2016
=>M ≥ 2016
=> AMin = 2016 khi a =b =c = 2016:3 =672

Bài 11
Cho x;y;z>0 . Tìm GTNN của :
A=

x+ y
+

z

y+z
z+x
+
x
y

Bài giải
+Ta chứng minh 2(a + b) ≥ a + b
+Ta có 2 A =
≥

x+ y
z

+

2( x + y )
2( y + z )
2( z + x)
+
+
z
x
y

y+ z
x

+

z+ x  x
z  y
= 
+
÷
÷+  z +
y
z
x

 

+ Suy ra A ≥ 3 2
AMin = 3 2 Khi x =y =z

8.

z
y

  x
+
+
÷
÷  y
 

y

÷ ≥ 2+2+2 = 6
x÷



Bài 12
Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 . Tìm GTNN của :
A=

a2
b2
c2
+
+
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2

Bài giải
+ Chứng minh BĐT :

m 2 n 2 p 2 (m + n + p ) 2
+ +
≥
với x;y;z >0
x
y
z
x+ y+ z

(a + b + c) 2
9

a2
b2
c2
≥
=
+
+
+Ta có : A =
2
2
2
2
2
2
2
a + b + c + 2(a + b + c ) 3 + 2(a + b 2 + c 2 )
a + 2b b + 2c c + 2a
≥

9
9
=
=1
2
(a + b + c)
32
3 + 2.
3 + 2.
3
3

AMin = 1 Khi a=b=c = 1.

Bài 13
Cho x;y >0 và x+y+xy =8 . Tìm GTNN của : A = x 2 + y 2
Bài giải
+Ta có x +y ≥ 2 xy
=>xy + 2 xy ≤ 8 hay

(

)

2

xy + 1 ≤ 9

=> xy + 1 ≤ 3
=>xy ≤ 4
+ Ta có ( 9 − xy ) = ( x + y + 1) 2 = x 2 + y 2 + 1 + 2( x + y + xy ) = x 2 + y 2 + 17
2

Vì xy ≤ 4 => 9 –xy ≥ 5 => ( 9 − xy ) ≥ 25 ⇔ x 2 + y 2 + 17 ≥ 25
2

9.


Suy ra A ≥ 8
Vậy AMin = 8 khi x = y =2

Bài 14
Cho x;y;z >0 và xyz =1 . Tìm GTNN của :
A=

1
1
1
+
+
2
2
( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 2

Bài giải
+ Áp dụng BĐT cơ si với 3 số khơng âm ta có :
1
x +1 x +1
1 3
+
+
≥ 33
=
2
( x + 1)
8
8
64 4
1

3

x +1

=> ( x + 1)2 ≥ 4 − 4

Dấu “ =” xảy ra khi x =1

Tương tự đối với y ; z
1
1
1
3 x + y + z + 3 9 3 3 xyz + 3 3
≥ −
=
+ A = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2 ≥ 3. −
4
4
4
4
4

Bài 15
Cho a ≥ 10; b ≥ 100 ; c ≥ 1000. Tìm GTNN của :
A = a+b+c+

1 1 1
+ +
a b c

Bài giải
1
a

1
b

Ta có : A = a + b + c + + +

1
c

1
1
1
1
1
1
99
9999
999999
=(
a+ )+(
b+ )+(
c+ )+
a+
b+
c
100
a

10000
b
1000000
c 100
10000
1000000
1
1
1
99
9999
999999
≥ 2( +
+
)+
.10 +
.100 +
.1000 =1110.111
10 100 1000 100
10000
1000000

10.


Vậy AMin = 1110.111 khi a =10 ; b = 100; c =1000.
Bài 16
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z ≤
A= x+ y+z+

20
. Tìm GTNN của
11

1 1 1
+ +
x y z

Bài giải
1

1

1

1089

1

1089

1

1089

1

689

689

689

Ta có A = x + y + z + x + y + z = ( 400 x + x ) + ( 400 y + y ) + ( 400 z + z ) − ( 400 x + 400 y + 400 z)
≥2

1089
1089
1089 689 20 1489
+2
+2
−
. =
400
400
400 400 11 220

Vậy AMin =

1489
20
khi x = y =z =
220
33

Bài 17
Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của:
A=

ab

bc
ca
+
+
2c + ab
2a + bc
2b + ac

Bài giải
+ Ta có

ab
ab
ab
ab  1
1 
=
=
≤ .
+
÷
2c + ab
(a + b + c)c + ab
(b + c )(c + a ) 2  b + c c + a 

+ tương tự đối với 2 hạng tử còn lại
Ta suy ra A =

ab
bc

ca
1  ab
ab
bc
bc
ca
ca 
+
+
≤ 
+
+
+
+
+
÷
2c + ab
2a + bc
2b + ac 2  b + c c + a b + a a + c c + b b + a 

1  ab + ca ab + bc bc + ca  1
= 
+
+
÷ = .(a + b + c ) = 1
2 b+c
c+a
a+b  2
A ≤ 1 => AMax = 1 Khi a =b=c =

2
.
3

11.


Bài 18
Cho a;b>0 và a+b ≤ 1 . Tìm GTNN của :
A = a 2 + b 2 + ab +

1 1
+
a 2 b2

Bài giải
Ta có A = (a 2 +
≥2

1
1
1
1
29
2
+2
+ ab + .2 2 2 + .
16
16
32

ab
32 a 2b 2



=1 +  ab +
1
2

1  29
1
29
≥ 1 + 2 ab.
+
÷+
16ab  16ab
16ab 4(a + b) 2

29 35
=
4
4

=1+ +
A≥

1
1
1
1

29 1 1
) + (b 2 +
) + ab + (
+
)+ ( 2 + 2)
2
2
2
2
16a
16b
32a 32b
32 a b

35
35
1
=> AMin =
Khi a =b =
4
4
2

Bài 19
Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 . Tìm GTNN của :
x2
y2
z2
A=
+

+
y+z z+x x+ y

Bài giải
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương:
2
x2
x2
+ k 2 ( y + z) ≥ 2
.k 2 ( y + z ) = 2kx ;(k>0) với Điểm rơi x = y = z =
3
y+z
y+z

=> k 2 =

1
4

12.


+Ta có A =

x2
y2
z2
x2
1
y2

1
z2
1
1
+
+
=
+ ( y + z) +
+ (x + z ) +
+ ( y + x) - ( x + y + z )
y+z z+x x+ y
y+z 4
z+x 4
x+ y 4
2

1
x2 1
y2 1
z2 1
≥2
. ( y + z) + 2
. (x + z ) + 2
. ( y + x) − ( x + y + z )
2
y+z 4
x+z 4
y+x 4

=(x+y+z)-

1
1
( x + y + z ) = ( x + y + z ) =1
2
2
2
3

Suy ra Min A= 1 khi x = y = z = .
Bài 20
Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn
1
1
1
+
+
≤1
x +1 y + 2 z + 3
1

Tìm GTNN của : A = x + y + z + x + y + z
1

1

1

9

+ Ta có : 1 ≥ x + 1 + y + 2 + z + 3 ≥ x + y + z + 6 ⇔ x + y + z ≥ 3
m 2 n 2 p 2 (m + n + p ) 2
+ +
≥
(Áp dụng BĐT :
với x;y;z >0)
x
y
z
x+ y+z

+ Áp dụng BĐT cô si :
A=(

x+ y+z
1
8( x + y + z )
x+ y+z
1
8.3 10
+
)+
≥2
.
+
=
9
x+ y+z
9
9

x+ y+z 9
3

Vậy Min A =

10
Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0)
3

Bài 21
Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 . Tìm GTNN của :
P = x16 + y16 + z16

Bài giải

13.


m 2 n 2 p 2 (m + n + p ) 2
+ +
≥
với x;y;z >0; một cách liên tục
x
y
z
x+ y+z

+ Áp dụng BĐT:

2

 ( x4 + y 4 + z 4 )2 
÷
4
4
4 4
Ta có : P = x16 + y16 + z16 ( x8 + y8 + z 8 )2 
3
 = (x + y + z )
≥
≥
1+1+1
3
33
4

8

8

 ( x 2 + y 2 + z 2 )2 
 ( x + y + z )2 
 32 

÷

÷  ÷
3
3
( x 2 + y 2 + z 2 )8 



 =  3  =3
≥
=
≥
3
7
7
3
3
3
37

Suy ra Min P = 3 khi x =y =z = 1.

Bài 22
Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3. Tìm GTNN của:
A=

2
2
2
+
+
2
2
1 + a 1 + b 1 + c2

Bài giải

+ Ta có :

2
a (a − 1) 2
 2

=
+
a
−
2
+
2
−
a
=
+2−a ≥ 2−a

÷
1 + a2  1 + a2
1+ a2


Tương tự ta có :

2
≥ 2−b
1 + b2
2
≥ 2−c

1 + c2

Nên suy ra : A =

2
2
2
+
+
≥ 2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3
2
2
1 + a 1 + b 1 + c2

Min A = 3 khi a = b= c = 1.

Bài 23.
Cho x>0;y>0 và x + y = 1 .Tìm GTNN của :
1 
1 

A = 1 − 2 ÷1 − 2 ÷
 x  y 

14.


Bài giải
1 

1 

1 

1

1 

1

1 

1  ( x − 1)( y − 1)
xy










Ta có : A = 1 − 2 ÷1 − 2 ÷= 1 + ÷1 + ÷ 1 − ÷1 − ÷= 1 + ÷1 + ÷.
x
y
x
y
x

y
x
y


1 






 







 

1  (− y )(− x)
 1  1 
=
 1 + ÷1 + ÷
xy
y
 x 


= 1 + ÷1 + ÷.
x
y
=1 +



1 1 1
1 x+ y
1
1
2
+  + ÷= 1 + +
= 1+ +
= 1+
xy  x y 
xy
xy
xy xy
xy

Mặt khác Áp dụng BĐT : xy ≤

=>A

≥ 1+

( x + y )2 1
=

4
4

2
=9
1
4

Vậy Min A = 9 . Khi x = y =

1
.
2

Bài 24
Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx ≥ 3 . Tìm GTNN của :
x4
y4
z4
A=
+
+
y + 3z z + 3x x + 3 y

Bài giải
+ Ta chứng minh : ( x + y + z )2 ≥ 3(xy+ yz + zx) = 9
Hay x + y + z ≥ 3
+ Áp dụng BĐT cơ si cho 4 số dương ta có :
x4
y + 3z 1 1

x 4 y + 3z 1 1
+
+ + ≥ 44
.
. . =x
y + 3z
16
4 4
y + 3 z 16 4 4

Nên :

x4
y + 3z 1
 y + 3z 1 1 
≥ x−
+ + ÷= x −
−
y + 3z
4 4
16
2
 16

15.




Tương tự :

y4
z + 3x 1
≥ y−
−
z + 3x
16
2
z4
x + 3y 1
≥ z−
−
x + 3y
16
2

Suy ra A =
≥ x−

x4
y4
z4
+
+
y + 3z z + 3x x + 3 y

y + 3z 1
z + 3x 1
x + 3y 1 3
3 3

3 3
− + y−
− +z−
− = ( x + y + z ) − ≥ .3 − =
16
2
16
2
16
2 4
2 4
2 4

Vậy Min A =

3
. Khi x =y =z = 1 .
4

Bài 25
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1. Tìm GTNN của :
A = x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

Bài giải
+ Ta có : x 2 + xy + y 2 = ( x + y )2 − xy ≥ ( x + y )2 −

( x + y ) 2 3( x + y ) 2
=
4
4

( Áp dụng BĐT : (a + b)2 ≥ 4ab )
Nên suy ra : x 2 + xy + y 2 ≥

3( x + y )
2

+ Tương tự :

y 2 + yz + z 2 ≥

3(y + z )
2

z 2 + zx + x 2 ≥

3(z + x)
2

Vậy A = x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2
≥

3( x + y )
3(y + z )
3(z + x)
+
+
= 3( x + y + z ) = 3
2
2

2

=>Min A = 3 . Khi x =y =z =

1
3

16.


Bài 26
1

1

1

Cho x;y;z>0 thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của :
A=

2 x2 + y2
2 y2 + z2
2 z 2 + x2
+
+
xy
yz
xz

Bài giải

+ Áp dụng BĐT Bunhicosky
2

(2 x 2 + y 2 )( 2 + 12 ) ≥ ( 2. 2 x + y.1) 2 = (2 x + y ) 2
1
=> 2 x + y ≥ .(2 x + y) ⇔
3
2

2

Tương tự ta có :

2x2 + y 2
1 (2 x + y) 1  2 1 
≥
.
=
 + ÷
xy
xy
3
3 y x

2 y2 + z2
1 2 1
≥
 + ÷
yz
3z y

2 z 2 + x2
1 2 1
≥
 + ÷
zx
3x z

2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2z 2 + x2
+
+
Do đó : A =
xy
yz
xz
≥

1  2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
.3  + + ÷ =
.3. 3 = 3
 + + + + + ÷=
3 y x z y x z
3 x y z
3

Vậy Min A = 3 Khi x = y= z = 3 .

Bài 27
Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của :

A=

a3
b3
c3
+
+
(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c ) (1 + b)(1 + a )

Bài giải
+Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương :

17.


a3
b +1 c +1
a3
b +1 c +1 3
+
+
≥ 33
.
.
= a
(1 + b)(1 + c )
8
8
(1 + b)(1 + c) 8
8

4
b3
a +1 c +1 3
+
+
≥ b
Tương tự :
(1 + a )(1 + c)
8
8
4
c3
a +1 b +1 3
+
+
≥ c
(1 + a )(1 + b)
8
8
4

Ta có :
a3
b3
c3
b +1 c +1 a +1 c +1 a +1 b +1 3
+
+
+
+

+
+
+
+
≥ (a + b + c)
(1 + b)(1 + c ) (1 + a )(1 + c) (1 + b)(1 + a )
8
8
8
8
8
8
4
a3
b3
c3
1
3
+
+
+ (a + b + c + 3) ≥ ( a + b + c )
(1 + b)(1 + c ) (1 + a )(1 + c) (1 + b)(1 + a ) 4
4
A=

a3
b3
c3
3
1

1
3
+
+
≥ ( a + b + c ) − (a + b + c + 3) = (a + b + c) −
(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c ) (1 + b)(1 + a ) 4
4
2
4

1
3 1
3 3
≥ .3 3 abc − = .3.1 − =
2
4 2
4 4

Vậy Min A =

3
, Khi a = =b = c= 1 .
4

C. BÀI TẬP :
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1
1
a

1

b

1
c

Tìm GTNN của A = (1+ ) (1+ ) (1+ )
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1
Tìm GTNN của B =

2
3
+ 2
ab
a + b2

3. Cho a,b,c > 0
a) Tìm GTNN của C =

a
b
c
+
+
b+c c+a a+b

b) Tìm GTNN của D =

a
b
c

b+c c+a a+b
+
+
+
+
+
b+c c+a a+b
a
b
c

18.


4. Cho x,y,z ≥ −
Tìm GTLN E =

3
và x + y + z = 1
4
4x + 3 + 4 y + 3 +

4z + 3

5. Cho a,b,c ≥ 0 và a + b + c = 1
Tìm GTLN của F = a + b + a + c + b + c

19.