MỘT số DẠNG và PHƯƠNG PHÁP tìm GTLN, GTNN ở cấp THCS

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN THCS
A. LÝ THUYẾT:
1. Áp dụng hằng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức về dạng:
* A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0
2. GTLN của biểu thức A:
- Chứng minh A ≤ M ( M là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó M là GTLN của A, ta cịn kí hiệu maxA = M
3. GTNN của biểu thức A:
- Chứng minh A ≥ m ( m là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó m là GTNN của A, ta cịn kí hiệu minA = m
4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a. | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0
b. | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
c. a ≥ a , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a ≥ 0
d. a ≥ 0 , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
4. Áp dụng bất đẳng thức:
a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
5. Áp dụng bất đẳng thức:
a + b ≥ a + b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0
6. Áp dụng bất đẳng thức CôSi:
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
+ Nếu a.b =k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2 k ⇔ a = b

+ Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) =

k2
4

⇔ a=b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 .a 2 .a3 ...a n ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
+ Nếu a1.a2.a3 …. an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k
⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an
k
+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) thì max(a1.a2.a3 …. an ) =  
n
⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an

1

n


+ Mở rộng của BĐT Cô- si
1. Với 3 số a, b, c không âm a+b+c ≥ 33 abc
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
2. Với 4 số a, b, c ,d không âm a+b+c+d ≥ 44 abcd
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = d
3. Đối với n số không âm: a 1 , a 2 , a3 ,....., a n ≥ 0
Ta có: a1 + a 2 + a3 + .... + a n ≥ n n a1 a 2 a3 ...a n
Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a 2 = a3 = ... = a n

+ Biến dạng :
(a + b) 2 ≥ 4ab
1 1
4
+ ≥
a b a+b
m 2 n 2 p 2 (m + n + p ) 2
+ +
≥
với x;y;z >0
x
y
z
x+ y+z

7. Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
- Với 4 số a, b, c, d bất kì, ta ln có: (ab + cd) 2 ≤ (a2 + c2). (b2 + d2)
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc
 Chú ý: Nếu b, d ≠ 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a c
=
b d

8. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = −

b
b'
(x = − )

2a
a

9. Một số kết quả:
- Nếu 2 số dương có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Nếu 2 số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
+ Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng khơng có GTLN.
+ Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng khơng có GTNN.
- Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0
- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0
- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0

2


B. PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP:
1/ Dạng 1:
Áp dụng hằng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức về dạng:
* A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4x2 + 4x + 11
b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7
Giải:
a. A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10

Suy ra minA = 10 khi x = −

1
2

b. B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6)
= (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36
Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoặc x = -5
c. C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + 2
= (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ 2
Suy ra minC = 2 khi x =1 và y = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 5 - 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x - 4y2 – 4y
Giải:
3


a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21
= - (x + 4)2 + 21 ≤ 21
Suy ra maxA = 21 khi x = -4
b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= - (x -1)2 - (2y + 1)2 + 7 ≤ 7
Suy ra maxB = 7 khi x =1 và y = −

1
2

Bài tập:

1) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 4 – x2 +2x
b) B = 4x – x2
Giải:
2
2
a) A = 4 – x +2x = 5 – (x – 2x +1) = 5 – (x – 1)2 ≤ 5
Suy ra maxA = 5 khi x = 1
b) B = 4x – x2 = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x -1)2 ≤ 4
Suy ra maxB = 4 khi x = 2
2)
a)
b)
c)

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = x2 + 5y2 -2xy +4y + 3
B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2)
C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28
Giải:

a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2
= (x –y)2 + (2y + 1)2 + 2 ≥ 2
x = y
x − y = 0

⇔
Suy ra minA =2 khi 
1
2 y + 1 = 0

 y = − 2
1
Vậy minB =2 khi x = y = −
2

b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2)
Đặt t = x2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – 1
= (t +1)2 – 1 ≥ -1
⇒ MinB = -1 ⇔ t = -1 ⇔ x2 - 2x = -1 ⇔ x2 - 2x +1 =0
⇔ (x – 1)2 = 0
⇔x=1
Vậy minB = -1 khi x = 1
b) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + 2
= (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + 2 ≥ 2
y −1 = 0
y = 1
⇒ MinC = 2 khi 
⇔
x − 2 y + 5 = 0
 x = −3

4


Vậy minC = 2 khi x = -3, y = 1
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = − x2 + x +

3
4

Giải:
2

1
Ta có A = 1 −  x −  ≤ 1 = 1


2

Suy ra maxA =1 khi x =

1
2

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

4 x 4 − 4 x 2 ( x + 1) + ( x + 1) 2 + 9

Giải:
Ta có B = (2 x − x − 1) + 9 ≥ 9 = 3
Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0
2

2

Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x = −

⇔ (2x + 1)(x – 1) = 0
1

⇔ x =1 hoặc x = −
2
1
2

2/ Dạng 2: Áp dụng các công thức sau
1. GTLN của biểu thức A:
- Chứng minh A ≤ M ( M là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó M là GTLN của A, ta cịn kí hiệu maxA = M
2. GTNN của biểu thức A:
- Chứng minh A ≥ m ( m là một hằng số).
- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra.
- Khi đó m là GTNN của A, ta cịn kí hiệu minA = m
a. GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x2 – 4x – 2013
b) B = 3x2 + 5x + 4
c) C = x4 – 4x2 – 12
d) D = 4x6 – x3 + 5
Giải:
a) A = (x – 2)2 – 2017 ≥ – 2017, với mọi x
Vậy GTNN của A bằng –2017 khi x = 2.
5


2

5
23 23


b) B = 3  x +  + ≥ , với mọi x
6  12 12

23
5
Vậy GTNN của B bằng
khi x = − .
12
6
2
2
c) C = (x – 2) – 16 ≥ – 16, với mọi x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2 ⇔ x = ± 2
Vậy GTNN của C bằng – 16 khi x = ± 2
2

1
79 79

d) D = 4  x 3 −  + ≥ , với mọi x
8  16 16

1
1
⇔x =
8
2
79

79
Vậy GTNN của D bằng
khi x =
.
16
16

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3 =

Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + 5
b) B = 2(x – 2)4 – 3x2 + 12x – 1
Giải:
a) A = [( x + 1) − 1] + 4 ≥ 4 , với mọi x
2

2

x = 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 1) 2 – 1 = 0 ⇔ 
 x = −2
Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2
b) B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11
2



= 2  ( x − 2 ) 2 −  + ≥ , với mọi x
4

8
8

3

79

79


x = 2 +
3
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x –2) – = 0 ⇔ 
4

x = 2 −


Vậy GTNN của B bằng

79
3
khi x = 2 ±
8
2

Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = – x2 + 2x + 4
b) B = 5 – 3x – 8x2

c) C = 4x2 – x4 – 6
2

≤ 5, với mọi x

Giải:

a) A = 5 – (x – 1)
Vậy GTLN của A bằng 5 khi x = 1.
2

b) B =

169
3
169

− 8 x +  ≤
, với mọi x
32
16 
32


6

3
2
3
2

Vậy GTLN của B bằng

169
3
khi x = − .
32
16

c) C = – 2 – (x2 – 2) 2 ≤ – 2, với mọi x
Vậy GTLN của C bằng – 2 khi x = 2.

Ví dụ 4: Tìm GTLN của các biểu thức:
3
2
2
a) A = (x + 1) – x(x – 3) – 5(x – 1)
4
2
b) B = – (x + 2) + 3(x – 1) + x(x + 22) – 5
Giải:
2
a) A = –2x + 16x – 4
= 28 – 2(x – 4)2 ≤ 28,với mọi x
Vậy GTLN của A bằng 28 khi x = 4.
b) B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – 2
= – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18
= – 14 – [ ( x + 2 ) 2 − 2] 2 ≤ −14
 x = −2 + 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 2) 2 – 2 = 0 ⇔ 

 x = −2 − 2

Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + 2 hoặc x = – 2 – 2
Ví dụ 5: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
b) B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16)
c) C = (x2 + x + 1)2
d) D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021
Giải:
a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
= [ x(x – 7)]. [ (x – 3)(x – 4)]
= (x2 – 7x )(x2 – 7x + 12)
= y(y + 12), với y = x2 – 7x
= (y + 6)2 – 36 ≥ – 36
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y + 6 = 0
⇔ x2 – 7x + 6 = 0
⇔ (x – 1)(x – 6) = 0
x = 1
⇔
x = 6

Vậy GTNN của A bằng – 36 khi x = 1 hoặc x = 6
b) B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16)
= [(x – 1)(3x – 10)] . [(x + 1)( 3x – 16)]
= ( 3x2 – 13x + 10)(3x2 – 13x – 16)
7

= [(3x2 – 13x – 3) + 13]. [ (3x2 – 13x – 3) – 13]
= (3x2 – 13x – 3) 2 – 132 ≥ – 169, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3x2 – 13x – 3 = 0
⇔ x2 −

13
x −1 = 0
3
2

13 
205

⇔ x−  =
6
36

 13
205
x − =
6
6
⇔
 13
205
x − = −
6
6


⇔x=

13 ± 205
6

Vậy GTNN của B bằng – 169 khi x =

13 ± 205
6

c) Nhận xét: Với A ≥ 0 thì A2 nhỏ nhất ⇔ A nhỏ nhất
2

1
3 3

x + x + 1 =  x +  + ≥ , với mọi x
2
4 4

9
⇒ (x2 + x + 1)2 ≥ , với mọi x
16
9
Hay C ≥
16
9
1
Vậy GTNN của C bằng
khi x = −

16
2
2

d) D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021
= (x2 – 3x + 2)2 + 2017 ≥ 2017 , với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 – 3x + 2= 0
⇔ (x – 2)(x – 1) = 0
x = 2
⇔
x = 1

Vậy GTNN của D bằng 2017 khi x = 2 hoặc x = 1.
Ví dụ 6: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
b) B = 1 + 4x + 3x2 – 2x3 – x4
Giải:
a) A = (x – 3x + 1)[ 22 – (x – 3x + 1)]
= y( 22 – y) , với y = x2 – 3x + 1
= 121 – (y – 11)2 ≤ 121
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y – 11 = 0
⇔ x2 – 3x – 10 = 0
⇔ (x + 2)(x – 5) = 0
2

2

8

 x = −2
⇔
x = 5

Vậy GTLN của A bằng 121 khi x = – 2 hoặc x = 5.
b) B = 1 + 4x + 3x2 – 2x3 – x4
= 5 – (x4 + x2 + 4 + 2x3 – 4x2 – 4x)
= 5 – (x2 + x – 2)2 ≤ 5, với mọi x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 + x – 2= 0
⇔ (x + 2)(x – 1) = 0
 x = −2
⇔
x = 1

Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2 hoặc x = 1.
b. GTLN và GTNN của biểu thức là nghịch đảo của tam thức bậc hai.
 Chú ý: Với A > 0 thì:
1
nhỏ nhất ⇔ A lớn nhất
A
1
+
lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất
A

+

Ví dụ 1: Tìm GTLN của các biểu thức:
1
3 x − 12 x + 2017

3 x 2 + 12 x + 17
b) B =
x 2 + 4x + 5

a) A =

2

Giải:
a) 3x – 12x + 2017 = 3(x – 2) + 2005 ≥ 2005, với mọi x
2

⇒

2

1
1
≤
3 x − 12 x + 2017 2005
2

1
khi x = 2.
2005
2
3 x 2 + 12 x + 17
b) B =
=3+ 2
2

x + 4x + 5
x + 4x + 5

Vậy GTLN của A bằng

x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 ≥ 1
1
⇒
≤ 1
x 2 + 4x + 5
2
⇒ 2
≤ 2
x + 4x + 5
2
⇒ 3+ 2
≤ 5
x + 4x + 5

Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức: A =
Giải:

1
− 3x + 4 x − 3

9

2

1
−1
= 2
− 3x + 4 x − 3 3 x − 4 x + 3
2
2
5 5

2
3x – 4x + 3 = 3  x −  + ≥
3
3 3


A=

2

1
3
≤
5
3x − 4 x + 3
−1
3
⇒ 2
≥−
5
x + 4x + 5

⇒

2

Vậy GTNN của B bằng −

3
2
khi x = .
5
3

3/ Dạng 3:
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
a. | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0
b. | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
c. a ≥ a , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a ≥ 0
d. a ≥ 0 , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = | 2x – 5 | + | 2x + 1 |
b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |
d) D = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2
e) E = x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6 x + 9
Giải:
a) Ta có A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x |

= | -4 | = 4
Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥ 0 ⇔

1
5
≤x≤
2
2

b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
Ta có | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | = 2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3
| x – 2| nhỏ nhất khi x =2
Vậy min B = 2 khi x =2
c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 |
10


Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
d)Ta có D = (5 x − 2) 2 + 25 x 2
= | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
Vậy minD = 2 khi 0 ≤ x ≤

2
5

2
5

e) Ta có E = ( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( x − 3) 2
= | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b )
Bài tập:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = | x – 1 | + | x – 2 | + … + | x – 2006 |
b) B = 1 − 6 x + 9 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 4
Chú ý 1:

Giải:
y=|x–a|+|x–b|
Min y = b – a khi a ≤ x ≤ b

(a
a) Ta có A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) + …
+ | x -1003 | )
Suy ra minA = 2005 + 2003 + … + 1 khi 1002 ≤ x ≤ 1003
Vậy minA = 10032 khi 1002 ≤ x ≤ 1003

+ ( | x – 1002|

b) Ta có B = (3x − 1) 2 + (3x − 2) 2
= | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1
Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 ⇔
Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c |

Min y = c – b khi

(bb
c
≤x≤
a
a

Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức
C = | 2x -5 | + | 2x – 7 |
Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi

1
2
≤x≤
3
3

5
7
≤x≤
2
2

11


Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c |

(bc
a

Min y = c – b khi − ≤ x ≤ −

b
a

Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức
D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 |
7
3

Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi − ≤ x ≤ −

5
3

Bài tập:
1) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = ( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 + ... + ( x − 2006) 2
b) B = ( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 + ... + ( x − 2007) 2
2) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) C = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9
b) D = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 8 x + 4 + 4 x 2 − 12 x + 9
c) E = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 8 x + 4 + 4 x 2 − 12 x + 9 + 4 x 2 − 16 x + 16
3) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + … + | 2x – 2006 |
b) G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + … + | 2x – 2007 |

c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + … + | 2x + 2006 |
d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + … + | 2x + 2007 |
e) K = (2 x − 1) 2 + (2 x − 2) 2 + ... + (2 x − 2006) 2
f) L = (2 x − 1) 2 + (2 x − 2) 2 + ... + (2 x − 2007) 2
g) M = (2 x + 1) 2 + (2 x + 2) 2 + ... + (2 x + 2006) 2
h) N = (2 x + 1) 2 + (2 x + 2) 2 + ... + (2 x + 2007) 2
i) O = (4 x + 5) 2 + (4 x + 6) 2 + (4 x + 7) 2
k) P = (4 x + 5) 2 + (4 x + 6) 2 + (4 x + 7) 2 + (4 x + 8) 2
l) Q = (4 x + 1945) 2 + (4 x + 1946) 2 + ... + (4 x + 2006) 2
m) X = (4 x + 1975) 2 + (4 x + 1976) 2 + ... + (4 x + 2007) 2
Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 |
b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 |
12


c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 |
Giải:
a) Ta có A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | ≤ | (3x + 5) - (3x + 7) | = 2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra ⇔ 3x + 5 ≤ 3x + 7 ≤ 0 ⇔ x ≤
Vậy maxA = 2 ⇔ x ≤

−7
3

−7
3

b) Ta có B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | ≤ | (5x + 7) - (5x – 2) | = 9
Dấu ‘ = ‘ xảy ra ⇔ 5 x + 7 ≥ 5 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
Vậy maxB = 9 ⇔ x ≥

2
5

2
5

c) Ta có C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | = | 4x2 - 1975 | - | 4x2 - 2025|
≤| (4 x 2 − 1975) − (4 x 2 − 2025) |= 50

x ≤
2
2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra ⇔ 4 x − 1975 ≥ 4 x − 2025 ≥ 0 ⇔ 
x ≥


x ≤
⇔

Vậy maxC = 50
x ≥


− 45
2
45

2

Bài tập tổng hợp:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = 3 x − 1 + 2017
b) B = x + 1 + y − 2 − 4
c) C = (3x – 1)2 – 4 3x − 1 + 5
Giải:
a) x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x − 1 ≥ 0
⇔ 3 x − 1 + 2017 ≥ 2017

Vậy GTNN của A bằng 2017 khi x = 1.
b) x + 1 ≥ 0
y−2 ≥0
⇒ x +1 + y − 2 ≥ 0
⇒ x + 1 + y − 2 − 4 ≥ −4

Vậy GTNN của B bằng – 4 khi x = – 1 và y = 2.
13

− 45
2
45
2


c) C = (3x – 1)2 – 4 3x − 1 + 5
2

= 3x − 1 – 4 3x − 1 + 5

= ( 3x − 1 − 2) + 1 ≥ 1 , với mọi x
Đẳng thức xảy ra ⇔ 3x − 1 − 2 = 0
2

⇔ 3x − 1 = 2
3 x − 1 = 2
⇔
3 x − 1 = −2
x = 1
⇔
x = − 1
3

1
3
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = x − 2 + x − 5

Vậy GTNN của C bằng 1 khi x = 1 và hoặc x = − .
Giải:
 Cách 1:
Ta có: A = x − 2 + x − 5 = x − 2 + 5 − x ≥ ( x − 2) + ( 5 − x ) , với mọi x
⇒A ≥3
Đẳng thức xảy ra ⇔ (x – 2)(5 – x) ≥ 0
 x − 2 ≥ 0

5 − x ≥ 0
⇔
⇔
 x − 2 ≤ 0


5 − x ≤ 0

 x ≥ 2

 x ≤ 5 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5
 x ≤ 2

 x ≥ 5

Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2 ≤ x ≤ 5 .
 Cách 2:
A= x−2 + x−5 = x−2 + 5− x
x−2 ≥ x−2

5− x ≥ 5− x

14


⇒ x−2 + 5− x ≥ x−2+5− x
⇒ x−2 + 5− x ≥3

x − 2 ≥ 0
⇔2≤ x≤5
5 − x ≥ 0
Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2 ≤ x ≤ 5 .
**Chú ý: Nếu biến đổi A = x − 2 + x − 5 = 2 − x + x − 5 thì khơng tìm được GTNN.

Đẳng thức xảy ra ⇔ 

Ví dụ 3: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
b) B = 2 x − 1 + 2 x − 3 + 2 x − 5 + 2 x − 7
a) A = ( x − 1 + x − 4 ) + ( x − 2 + x − 3 )
•

Giải:

x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x ≥ x – 1 + 4 – x

⇒ x − 1 + x − 4 ≥ 3 (1)
x − 1 ≥ 0
⇔1≤ x ≤ 4
4 − x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
•

x − 2 + x −3 = x − 2 + 3− x ≥x – 2 + 3 – x

⇒ x − 2 + x − 3 ≥ 1 (2)
x − 2 ≥ 0
⇔2≤ x≤3
3 − x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Từ (1)và (2), suy ra : A ≥ 4

1 ≤ x ≤ 4

⇔2≤ x≤3
2 ≤ x ≤ 3
Vậy GTNN của A bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

b) B = ( 2 x − 1 + 2 x − 7 ) + ( 2 x − 3 + 2 x − 5 )

Tương tự như trên, GTNN của B bằng 8 khi

3
5
≤x≤
2
2

Ví dụ 4: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x − 1 + x − 7 + x − 9
b) B = x − 1 + x − 5 + 7 x − 9
c) C = 3 x + 1 + x − 1 + 3x − 5
a)
•

A = ( x −1 + x − 9 ) + x − 7

Giải:

x −1 + x − 9 = x −1 + 9 − x ≥ x – 1 + 9 – x

15

⇒ x −1 + x − 9 ≥ 8
x − 1 ≥ 0
⇔1≤ x ≤ 9
9 − x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
•

x − 7 ≥ 0 , đẳng thức xảy ra khi x = 7

Suy ra: A ≥ 8
1 ≤ x ≤ 9
⇔ x=7
x
=
7


Vậy GTNN của A bằng 8 khi 
b)

B = ( x − 1 + x − 5 ) + 7x − 9

9
7
C = 3 x + 3 + x − 1 + 3 x − 5 = ( 3x + 3 + 3x − 5 ) + x − 1

Tương tự câu a, GTNN của B bằng 4 khi x =

c)
•

3 x + 3 + 3x − 5 = 3 x + 3 + 5 − 3x ≥ 3x +3 + 5 – 3x

⇒ 3 x + 3 + 3x − 5 ≥ 8
3 x + 3 ≥ 0
5
⇔ −1 ≤ x ≤
3
5 − 3 x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
•

x − 1 ≥ 0 , đẳng thức xảy ra khi x = 1

Suy ra: C ≥ 8
5

− 1 ≤ x ≤
3 ⇔ x =1
Vậy GTNN của C bằng 8 khi 
 x = 1

Ví dụ 5: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 2 4 − 5 x
7

b) B = − x − 3 − x + 2 + 10

c) C = − x − 2 − x − 4 − x − 6
Giải:
2

a) A = 5 – 7 4 − 5 x ≤ 5
4
5
b) Ta có: x − 3 + x + 2 = 3 − x + x + 2 ≥ 3 − x + x + 2
⇒ x −3 + x + 2 ≥ 5

Vậy GTLN của A bằng 5 khi 4 – 5x = 0 ⇔ x =

⇒ − x − 3 − x + 2 ≤ −5

⇒ − x − 3 − x + 2 + 10 ≤ 5

16


3 − x ≥ 0
⇔ −2 ≤ x ≤ 3
x
+
2
≥
0

−
2
≤ x≤3

Vậy GTLN của B bằng 5 khi
c) C = − [ ( x − 2 + x − 6 ) + x − 4 ]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

x−2 + x−6 = x−2 + 6− x ≥x – 2 + 6 – x

•

⇒ x−2 + x−6 ≥ 4

x−4 ≥0

•

Suy ra: x − 2 + x − 4 + x − 6 ≥ 4
⇒ − x − 2 − x − 4 − x − 6 ≤ −4

Hay C ≤ – 4
6 − x ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x − 2 ≥ 0 ⇔ x = 4
x = 4


Vậy GTLN của C bằng – 4 khi x = 4.
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25
Giải:
2
2

A = x − 6 x + 9 + x + 10 x + 25
= ( x − 3) 2 + ( x + 5) 2
= x−3 + x+5
= 3− x + x +5 ≥ 3− x + x +5
⇒A ≥ 8
3 − x ≥ 0
⇔ −5 ≤ x ≤ 3
x + 5 ≥ 0
Vậy GTNN của A bằng 8 khi − 5 ≤ x ≤ 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức: A = x + 2(1 + x + 1) + x + 2(1 − x + 1)
Giải:
A = x + 2(1 + x + 1) + x + 2(1 − x + 1)
=
=

(

( x + 1) + 2

)

x +1 +1 +
2

x +1 +1 +

(

( x + 1) − 2

)

x +1 +1

x +1 −1

= x +1 +1+ x +1 −1
= x +1 +1+ 1− x +1 ≥ x +1 +1+1− x +1
⇒ A ≥2
x + 1 ≥ 0

 x ≥ −1
 x ≥ −1
⇔
⇔
⇔ −1 ≤ x ≤ 0
x ≤ 0
1 − x + 1 ≥ 0
 x +1 ≤ 1
Vậy GTNN của A bằng 2 khi − 1 ≤ x ≤ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

17


Ví dụ 8: Tìm GTNN của biểu thức: A = x − 1 + x − 2 + x − 3 + ... + x − 2017

Giải:
A = ( x − 1 + x − 2017 ) + ( x − 2 + x − 2016 ) + ... + ( x − 1008 + x − 1010 ) + x − 1009
x − 1 + x − 2017 = x − 1 + 2017 − x ≥ x − 1 + 2017 − x = 2016
•
⇒ x − 1 + x − 2017 nhỏ nhất bằng 2016 khi 1 ≤ x ≤ 2017

Tương tự:
•
•

x − 2 + x − 2016 nhỏ nhất bằng 2014 khi 2 ≤ x ≤ 2016
x − 3 + x − 2015 nhỏ nhất bằng 2012 khi 3 ≤ x ≤ 2015

……………………….
• x − 1008 + x − 2010 nhỏ nhất bằng 2 khi 1008 ≤ x ≤ 2010
• x − 1009 nhỏ nhất bằng 0 khi x = 1009
Suy ra:
A ≥ 0 + 2 + 4 + 6 + … + 2016
A ≥ 1017072
Vậy GTNN của A bằng 1017072 khi x = 1009
4. Dạng 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng phương pháp tổng bình phương.
• A2 + B2 + m ≥ m, đẳng thức xảy ra ⇔ A = B = 0
• A2 + B2 + C2 + m ≥ m, đẳng thức xảy ra ⇔ A = B = C = 0
• – A2 – B2 + m ≤ m , đẳng thức xảy ra ⇔ A = B = 0
• – A2 – B2 – C2 + m ≤ m, đẳng thức xảy ra ⇔ A = B = C = 0
Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x2 + y2 – 2x + 4y – 2017
b) B = x2 + 5y2 + 2xy – 4y + 7
c) C = 2x2 +5y2 – 4xy – 4x – 2y + 8
Giải:

2
2
a) A = (x – 2x + 1) + (y + 4y + 4) – 2022
= (x – 1)2 + (y + 2)2 – 2022 ≥ −2022
x − 1 = 0
x = 1
⇔
y + 2 = 0
 y = −2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

Vậy GTNN của A bằng – 2022 khi x = 1 và y = – 2
b) B = (x + y)2 + (2x – 1)2 + 6 ≥ 6
1

 y = − 2
x + y = 0
⇔
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2 x − 1 = 0
x = 1

2

18


Vậy GTNN của B bằng 6 khi x =

1
1
và y = –
2
2

c) C = (x2 – 4xy + 4y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) + 3
= (x – 2y)2 + (x – 2)2 + (y – 1)2 + 3 ≥ 3
x − 2 y = 0
x = 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x − 2 = 0 ⇔ 
y = 1
y −1 = 0


Vậy GTNN của C bằng 3 khi x = 2 và y = 1.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 19
Giải:
4
3
2
2
A = (x – 6x + 9x ) + (x – 6x + 9) + 10
= (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 + 10 ≥ 10
 x = 0
 x 2 − 3x = 0

⇔  x = 3 ⇔ x = 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

x − 3 = 0
x = 3


Vậy GTNN của A bằng 10 khi x = 3.
Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = – x2 – y2 + 2x + 2y +2015
b) B = – x4 – x2 + 6x + 6
Giải:
2
2
a) A = – x – y + 2x + 2y +2015
= – (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2y + 1) + 2017
= – (x – 1)2 + (y – 1)2 + 2017 ≤ 2017
x − 1 = 0
x = 1
⇔
y −1 = 0
y = 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

Vậy GTLN của A bằng 2017 khi x = 1 và y = 1.
b) B = – x4 – x2 + 6x + 6
= – (x4 – 2x2 + 1) – 3(x2 – 2x + 1) + 10
= – (x2 – 1)2 – 3(x – 1)2 + 10 ≤ 10
x 2 − 1 = 0
⇔ x =1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x − 1 = 0

Vậy GTLN của B bằng 10 khi x = 1.
5.Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của một phân thức hữu tỉ.
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:

A=
Giải:

Đặt y =

x
x + 20 x + 100
2

1
1
⇒ x + 10 =
y
x + 10
1
⇒ x=
– 10
y

19


2

1


1 
1
1

 − 10  = y − 10 y 2 = −10 y −  +
≤
20 
40 40


Khi đó : A = y2  y
1
Đẳng thức xảy ra ⇔ y =
20
1
1
⇔
=
x + 10 20
⇔ x = 10
1
Vậy GTLN của A bằng
khi x = 10.
40

**Chú ý: Nếu mẫu là bình phương của nhị thức ax + b thì đặt y =
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức:

B=

1
.
ax + b

x2 + x +1

( x + 1) 2

Giải:
Cách 1: Nhận thấy mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất x + 1.
1
x +1
( x + 1) 2 − ( x + 1) + 1

Đặt y =
B=

( x + 1) 2

1

1

= 1 − x + 1 + ( x + 1) 2
= 1 – y + y2
2

1
3 3


= y−  + ≥
2
4 4

1
⇔ x =1
2
3
Vậy GTNN của B bằng khi x = 1.
4

Đẳng thức xảy ra ⇔ y =

Cách 2:
B=

4x 2 + 4x + 4
4( x + 1)

3( x + 1) + ( x − 1)
2

=

2

3 ( x − 1)
3
= +

≥
2
4 4( x + 1)
4
2

4( x + 1)
3
Vậy GTNN của B bằng khi x = 1.
4
2

2

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức:

3x 2 − 8 x + 6
C= 2
x − 2x + 1

Giải:
Cách 1: Nhận thấy mẫu là bình phương của nhị thức bậc nhất x – 1.
1
x −1
2
3( x − 1) − 2( x − 1) + 1

Đặt y =
C=

( x − 1) 2

2

1

= 3 − x −1 +
( x − 1) 2
20


= 3 – 2y + y2
= (y – 1)2 + 2 ≥ 2
Đẳng thức xảy ra ⇔ y = 1 ⇔ x = 2
Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Cách 2:
C=

(

) (

2 x 2 − 2x + 1 + x 2 − 4x + 4

( x − 1) 2

) = 2( x − 1) + ( x − 2)
2

( x − 1) 2

2

2
(
x − 2)
= 2+
( x − 1) 2

≥2

Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Cách 3: ĐK: x ≠ 1
3x 2 − 8 x + 6
x 2 − 2x + 1
⇔ Cx 2 − 2Cx + C = 3 x 2 − 8 x + 6

C=

⇔ ( C − 3) x 2 + 2( 4 − C ) x + C − 6 = 0

( *)

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*).
C = 3: (*) ⇔ x = 3
•
2
C ≠ 3: Phương trình (*) có nghiệm
⇔ ∆ '≥ 0
•

⇔ ( 4 − C ) − ( C − 3)( C − 6) ≥ 0
⇔C−2≥0
2

⇔C≥2

Đẳng thức xảy ra khi – x2 + 4x – 4 = 0 ⇔ x = 2
Tóm lại GTNN của C bằng 2 khi x = 2.
Ví dụ 4: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Giải:
Cách 1:
D=

(x

2

− 4 x + 4) − ( x 2 + 1) ( x − 2 )
= 2
− 1 ≥ −1
x2 +1
x +1
2

Do đó GTNN của D bằng – 1 khi x =2

(4x

) (

)

( 2 x + 1) ≤ 4
+ 4 − 4x 2 + 4x + 1
D=
= 4− 2
2
x +1
x +1
1
Do đó GTLN của D bằng 4 khi x = −
2
2

2

Cách 2:

3 − 4x
⇔ Dx 2 + 4 x + D − 3 = 0
2
x +1
3
(1)
• D = 0: (*) ⇔ x = 4
• D ≠ 0: (*) có nghiệm ⇔ ∆ '≥ 0

Ta có: D =

( *)

21

D=

3 − 4x
x2 +1


⇔ D 2 − 3D − 4 ≤ 0
⇔ ( D + 1)( D − 4 ) ≤ 0
( 2)
⇔ −1 ≤ D ≤ 4
Kết hợp (1) và (2), ta được : − 1 ≤ D ≤ 4
GTNN của D bằng – 1 khi – x2 + 4x – 4 = 0 ⇔ x = 2
1
GTLN của D bằng 4 khi 4x2 + 4x + 1 = 0 ⇔ x = −
2
4
3
x + 2 x + 8 x + 16
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức: E = 4
x − 2 x 3 + 8 x 2 − 8 x + 16

Giải:

Ta có:
x 4 + 2 x 3 + 8 x + 16
x 4 − 2 x 3 + 8 x 2 − 8 x + 16
2

(
x + 2) x 2 − 2 x + 4
= 2
x + 4 x 2 − 2x + 4

E=

(
)(

(

2
(
x + 2)
=

x2 + 4

)
)

≥0

Vậy GTNN của E bằng 0 khi x = – 2.
6. Dạng 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách sử dụng miền giá trị.
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A =
Giải:
2

x2 − x +1
x2 + x +1



x2 + x + 1 =  x +  + ≥ , với mọi x.


A=

1
2

3
4

3
4

x − x +1
x2 + x +1
2

⇔ (A – 1)x2 + (A + 1)x + A – 1 = 0
• A = 1: (*) ⇔ x = 0

(*)

• A ≠ 0 : Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ≥ 0
⇔ (A + 1)2 GTNN của D bằng – 1 khi – x2 + 4x – 4 = 0 ⇔ x = 2

– 4(A – 1)2 ≥ 0
⇔ (3A – 1)(A – 3) ≤ 0
⇔

1
≤ A ≤ 3 ( A ≠ 1)
3

1
≤ A≤3
3
GTLN của A bằng 3 khi 2x2 + 4x + 2 = 0 ⇔ x = – 1
1
2
4
2
GTNN của A bằng khi − x2 + x − = 0 ⇔ x = 1
3
3
3
3

Kết hợp cả hai trường hợp ta được

7. Dạng 7:
Áp dụng bất đẳng thức: a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
22

Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức
A = x +1 − x − 8
Giải:
Ta có A = x + 1 − x − 8 ≤ ( x + 1) − ( x − 8) = 9 = 3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x - 8 = 0 ⇔ x = 8
Suy ra maxA = 3 khi x = 8
Bài tập:
Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) B = 12 x + 2006 − 12 x − 2007
b) C = 30 x 4 + 1975 − 30 x 4 − 2007
Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0
Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = x − 3 + 5 − x
Giải:
ĐKXĐ: 3 ≤ x ≤ 5
Ta có A = x − 3 + 5 − x ≥ ( x − 3) + (5 − x) = 2
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x =3 hoặc x =5
Suy ra minA = 2 khi x =3 hoặc x =5
Bài tập:
1)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) B = 20 x − 11 + 1982 − 20 x
b) C = 19 x 5 − 1890 + − 19 x 5 + 2010
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTNN của biểu thức D =

x−4 + y−3

8. Dạng 8 :
Áp dụng bất đẳng thức CơSi: Để tìm GTLN, GTNN
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 .a 2 .a3 ...a n ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an

Từ đẳng thức (1) ta suy ra:

- Nếu a.b =k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2 k ⇔ a = b
-

k2
Nếu a +b = k (khơng đổi ) thì max( a.b) =
4

Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
23

⇔ a=b


- Nếu a1.a2.a3 …. an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k
⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an
k
- Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) thì max(a1.a2.a3 …. an ) =  
n
⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an

n

a. Phương pháp 1: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = f ( x) + g ( x) bậc f(x) bằng
bậc g(x)
Phương pháp giải: Ta tìm GTLN bình phương biêu thức đó. Sau đó áp dụng BĐT Cơsi

2 ab ≤ a + b

Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = 3x − 5 + 7 − 3x
Giải:
5
7
≤x≤
3
3
2
Ta có A = (3x − 5) + (7 − 3x) + 2 (3x − 5)(7 − 3x)
⇔ A2 ≤ 2 + (3x − 5) + (7 − 3 x) = 4
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 3x − 5 = 7 − 3x ⇔ x = 2

ĐKXĐ:

Vậy maxA2 = 4 khi x = 2
Do đó maxA = 2 khi x = 2
Bài tập:
1)Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) B = x − 5 + 23 − x
b) C = 7 x 5 − 1954 + − 7 x 5 + 2007
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTLN của biểu thức D =

x−4 + y −3

Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức M = ax n ± b + c − ax n (b < c )
Max A2 = 2(c ± b) khi xn =

c b

2a

Suy ra maxA = 2(c ± b) khi xn =

c b
2a

b. Phương pháp 2: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A =

f ( x)
bậc f(x) bằng bậc g(x).
g ( x)

Phương pháp giải: Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó áp dụng BĐT
1
2

Cơsi ab ≤ (a + b)
Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A =

x−9
5x

Giải:
24


ĐKXĐ: x ≥ 9
x−9
1 x−9

x−9+9
.3
(
+ 3)
1
Ta có A = x − 9
3
3
=
≤ 2 3
=
=
5x
5x
5x
10 x
30
x−9
= 3 ⇔ x = 18
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
3
1
Vậy maxA =
khi x = 18
30

Bài tập:
Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) B =
c) D =

x − 16
7x
10 x − 49
2006 x

Hướng dẫn: a) Nhân và chia
b) Nhân và chia
c) Nhân và chia
d) Nhân và chia
e) Nhân và chia

3 x − 25
7x
2 x 2 − 25
2006 x 2

b) C =
d) E =

2x − 5
3x

biểu thức x – 16 cho cùng một số 4 ( 16 = 4 )
biểu thức 3x – 25 cho cùng một số 5 ( 25 = 5 )
biểu thức 10x – 49 cho cùng một số 7 ( 49 = 7 )
biểu thức2x2 – 25 cho cùng một số 5 ( 25 = 5 )
biểu thức 2x – 5 cho cùng một số 5

ax n − b

cx n

Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức N =
Suy ra MaxN =

e) F =

a
2c b

khi xn =

2b
a

f ( x)

c. Phương pháp 3: Tìm GTNN của biểu thức có dạng A = g ( x) bậc của f(x) lớn hơn bậc
của g(x).
Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho
tích của chúng là một hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) ,
rồi áp dụng BĐT Cơsi
Thí dụ : Cho x > 0 , tìm GTNN của biểu thức M =

( x + 1994) 2
x

Giải:
Ta có M =

x + 2.1994 + 1994 2
1994 2
1994 2
= x+
+ 2.1994 ≥ 2 x.
+ 2.1994 = 2.1994 + 2.1994
x
x
x
2

= 4.1994
25