Phương pháp tìm GTLN - GTNN

Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức bằng cách đa về dạng A
x


0 hoặc A
x


0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = A
x
/ A
x


0 thì GTNN của A
x
= 0

Nếu M = A
x
/ A
x

0 thì GT LN của A
x
= 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A
x
= 2x
2
8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có A
x
= 2x
2
8x +1 = 2( x- 2 )
2
7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )
2

0 Nên ta có 2( x- 2 )
2
7

-7 .
Vậy A
x
đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
= - 5x
2
4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có M
x
= - 5x
2
4x + 1 = -5 ( x +
5
2
)
2
+
5
9

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
5
2
)
2


0 . Vậy M
x

5
9
(dấu = xảy ra khi x
= -
5
2
. Ta có GTLN của M
x
=
5
9
với x = -
5
2
.
II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu
thức đại số bằng cách đa về dạng
0
2

k
Ax
hoặc
0
2

k
Ax
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A
x
=
x
xx
3
1615
2
++
Vói x là các số thực dơng .
Lời giải: Ta có A
x
=
x
xx
3
1615
2
++
=
3
23
3
)4(
2
+

x
x
với mọi x >0 thì

3
23
3
)4(
2
+

x
x

3
23
. Vậy GTNN của A
x
=
3
23
với x= 4.
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
=
32
1063
2
2
++
++
xx

xx
với x thuộc tập hợp số thực.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
1
Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lời giải:Ta có M
x
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
= 3 +
2)1(
1
2
++
x
. Vì
2)1(
1
2
++
x

2
1
nên ta có
M
x
= 3 +
2)1(
1
2
++
x


3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN M
x
= 3,5 với (x+1)
2
= 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F
x,y
=
22
1)(
2442
222
+++
++

xyyx
xyyxy
với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có F
x,y
=
22
1)(
2442
222
+++
++
xyyx
xyyxy
=
)2)(1(
1
24
4
++
+
xy
y
vì y
4
+1

0 với mọi giá trị
của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y
4

+1 ta đợc : F
x,y
=
2
1
2
+x
vì x
2


0 với mọi x nên x
2

+ 2

2 với mọi x ,và do đó ta có F
x,y
=
2
1
2
+x


2
1
Vậy F
x,y
dật GTLN =

2
1
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng
bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b
ab2

đạt đợc dấu = khi a=b .
a + b+ c
abc3

đạt đợc dấu = khi a=b = c .
2. Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
x
=
x
x 28
2
+
với x > 0.
Lời giải:Ta có A
x
=
x
x 28
2

+
= 8x +
x
2
. Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lợng lấy giá trị d-
ơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và
x
2
ta có:
8x +
x
2
8162
2
.82
==
x
x
dấu = xẩy ra khi 8x =
x
2
= > x =
2
1
.
Vậy GTNN A
x

= 8 với x =
2
1
.
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B
x
= 16x
3
- x
6
với x thuộc tập hợp các số thực dơng .
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
B
x
= 16x
3
- x
6
= x
3
(16- x
3
) . Ta có x
3
> 0 , còn 16 x
3
> 0 khi 16 > x
3

hay x <
3
16
(*)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
2
Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
ta thấy x
3
và 16 x
3
là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng
x
3
và 16- x
3
ta có 2
1616)16(
3333
=+
xxxx
suy ra x
3
( 16 x
3
)

64 dấu = xẩy ra

khi x
3
= 16- x
3
=> x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của B
x
= 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn
phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
x
=
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Ta có : P
x
=
52
3568056164
2
234

++
++++
xx
xxxx
= 4x
2
+ 8x+ 20 +
52
256
2
++
xx

Vì x
2
+ 2x +5 = (x+1)
2
+4 > 0 (*) nên P
x
luôn xác định với mọi x ta đặt
y = x
2
+ 2x + + 5 , ta có P
x
= 4y +
y
256
với y > 0 , ta thấy 4y và
y
256

là hai đại lợng
luôn dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và
y
256
ta có :
4y +
y
256
6416.2.2
256
.42
==
y
y
. Dấu = xẩy ra khi 4y =
y
256
=> y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của P
x
= 64.
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Q
x
= (x
2
- 2x + 2)(4x- 2x
2
+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực.

Lời giải: Đặt x
2
- 2x +2 = y ta có 4x 2x
2
+ 2 = -y +6 . Vậy Q
x
= y ( 6- 2y).
Ta có 2Q
x
= 2y(6-2y) , ta thấy x
2
- 2x+2 = (x- 1)
2
+1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y
ta có : 2y + 6-2y
)26(22 yy

=> 3

)26(2 yy

=> 9

2 Q
x
dấu = xẩy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x
2
- 2x +2 = 1,5 => x = 1+

2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.Vậy GTLN của Q
x
= 4,5 với x = 1+
2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
H
x
= (8 + x
2
+ x )(20 x
2
x) với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x
2
+ x =( x+
2
1
)
2

+
4
31
>0 với mọi giá trị của x
*20 x
2
x > 0 khi -5 < x < 4 .
Nh vậy H
x
= (8 + x
2
+ x )(20 x
2
x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra H
x
có giá trị
lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4).
Với -5 <x <4 ta có 8+ x
2
+ x và 20 x
2
x luôn dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi
cho hai đại lợng dơng 8+ x
2
+ x và 20 x
2
x ta có :
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
3

Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
(8+ x
2
+ x )+( 20 x
2
x)
)20)(8(2
22
xxxx
++
14
)20)(8(
22
xxxx
++
=> 196

(8 + x
2
+ x )(20 x
2
x) .Dấu = xẩy
ra khi 8+ x
2
+ x =20 x
2
x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay H
x

196 .Vậy GTLN của H
x
= 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng .
Ví dụ 11 :
Tìm giá trị của m, p sao cho A = m
2
4mp + 5p
2
+ 10m 22p + 28 đạt giá trị nhỏ
nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Lời giải:
Ta có A = m
2
4mp + 5p
2
+ 10m 22p + 28 = ( m 2p)
2
+ ( p 1)
2
+27 + 10(m
2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X
2
+ 10 X +( p-1)
2
+ 27 = (X+5)
2

+ (p-1)
2
+ 2 .
Ta thấy (X+5)
2


0 ; (p-1)
2


0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x
2
+ 26y
2
10xy +14x 76y + 59. đạt giá trị nhỏ
nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có F = x
2
+ 26y
2
10xy +14x 76y + 59 = ( x-5y)
2
+ (y-3)
2
+14(x-5y)+50.

Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)
2
+ (y- 3)
2
+1

1.
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 .Vậy GTNN
của F = 1 với x=8, y=3 .
Ví dụ 13 :
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x
2
+54y
2
+16z
2
-16xz 24yz +36xy +5. Đạt giá
trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có P = 19x
2
+54y
2
+16z
2
-16xz 24yz +36xy +5 = ( 9x
2
+ 36xy + 36y
2
) + (18y

2
-
24yz +8z
2
) + (8x
2
16xz + 8z
2
) + 2x
2
+ 5 hay
P = 9(x+2y)
2
+ 2(3y 2z)
2
+ 8(x- z )
2
+ 2x
2
+ 5 .Ta thấy (x+2y)
2


0 ;
(3y 2z)
2

0; (x- z )
2

0; 2x
2


0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ
phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0 .
VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức
Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ .........a
n
b
n
)
2


(a
1
2

+ a
2
2
+......+a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
.......b
n
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
......
2
2
1

1
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
4
Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .
P = x
2
+ y
2
+z
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
(x.1 + y.1 + z.1)
2


(1 + 1+ 1)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Hay : ( x + y +z )
2

3.(x
2
+ y
2
+ z
2
) . Từ đó ta có :
P = x
2
+ y
2
+ z
2


3
1995
3
)(
22
=
++ zyx
( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P =
3
1995
2
dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =

1995 .Ta có x= y =z =665.
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q =
zyx .542
++
. Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện
x
2
+ y
2
+ z
2
= 169.Tìm GTLN của Q.
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4,
5
và x, y, z ta có :
(2x + 4y +
5
z)
2


{ 2
2
+ 4
2
+ (
5
)

2
}( x
2
+ y
2
+ z
2
) .
Hay Q
2


{ 2
2
+ 4
2
+ (
5
)
2
}( x
2
+ y
2
+ z
2
) vì x
2
+ y
2

+ z
2
= 169 nên Q
2


25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi
5
42
zyx
==
và x
2
+ y
2
+ z
2
= 169 từ đó tìm đợc
x =
5
26
;
5
26

. y=
.
5
52

;
5
52

z =
5
513
;
5
513

VII. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q =
544
3
2
+
xx
. Tìm GTLN của Q.
Bài 2: Biểu thức : P =
2
12
2
+
+
x
x
có giá trị lớn nhất không ?
Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.
Bài 3: Cho biểu thức : A =

12
1
2
2
++
++
xx
xx
. Với x

-1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.
Bài 4: Cho biểu thức : B=
126
146
2
2
+
+
xx
xx
. Tìm GTLN của B.
Bài 5: Cho biểu thức: F =
x
xx
3
1615
2
++
. Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.
Bài 6: Cho biểu thức: A =

4
2
1 x
x
+
. Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
x
xx )8)(2(
++
. Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
Bài 8: Cho biểu thức: Y =
1
122
23

+
x
xxx
. Tìm GTNN cua Y.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi
5