CHUYÊN đề NÂNG CAO đại số lớp 9 và một số đề ôn THI vào lớp 10 – THPT CHUYÊN có lời GIẢI

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
•

Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 = a .

•

Cho số thực a khơng âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
một số thực khơng âm x mà bình phương của nó bằng a :
 a ≥ 0
x ≥ 0
⇔ 2

x = a
 a = x

•

Với hai số thực khơng âm a , b ta có:

•

Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
A≥0
A
nếu
+ A2 = A = 
A<0

− A

+

a là

a ≤ b ⇔ a ≤b.

A2 B = A B = A B với A, B ≥ 0 ;

A2 B = A B = − A B với

A < 0; B ≥ 0

+
+

A
=
B

A.B
=
B2

A.B
với AB ≥ 0, B ≠ 0
B

M

M. A
=
với A > 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A

(

)

M A∓ B
M
=
với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi là phép
A− B
A± B
trục căn thức ở mẫu)
+

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:

1


3

a là số x sao cho x 3 = a

•

Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là

•

Cho a ∈ R; 3 a = x ⇔ x3 =

•

Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

•

Nếu a > 0 thì

3

a > 0.

•

Nếu a < 0 thì

3

a <0.

Nếu a = 0 thì

3

a = 0.

•

( a)
3

3

=a

3

•

3

a
a
= 3 với mọi b ≠ 0 .
b
b

•

3

ab = 3 a . 3 b với mọi a , b .

•

a
•

A3 B =

•

3

3

•

•

3

A
=
B

3

3

A3 B .

AB 2
với B ≠ 0
B

A 3 A
=
B
B3
1
=
A±3 B

3

A2 ∓ 3 AB + 3 B 2
với A ≠ ± B .
A± B

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy

thừa bậc n của nó bằng a.
• Trường hợp n là số lẻ: n = 2k + 1, k ∈ N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k +1

a = x ⇔ x 2 k +1 = a , nếu a > 0 thì

a > 0 , nếu a < 0 thì

2 k +1

2 k +1

•

2 k +1

a =0
a < 0 , nếu a = 0 thì
Trường hợp n là số chẵn: n = 2k , k ∈ N .
Mọi số thực a > 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là

2k

a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc

chẵn âm kí hiệu là − 2 k a ,

2k

a = x ⇔ x ≥ 0 và x 2 k = a ;

− 2 k a = x ⇔ x ≤ 0 và x 2 k = a .
2


Mọi số thực a < 0 đều khơng có căn bậc chẵn.

Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

a) P = x 4 − 4
b) P = 8 x3 + 3 3

c) P = x 4 + x 2 + 1
Lời giải:

(

) ( x + 2 ) ( x + 2) .
3 ) ( 4 x − 2 3 x + 3) .

a) P = ( x 2 − 2 )( x 2 + 2 ) = x − 2
3

b) P = ( 2 x ) +

3

( 3 ) = ( 2x +

2

2

2

c) P = ( x 2 + 1) − x 2 = ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1) .

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:

a) A = x − x − x +

1
khi x ≥ 0 .
4

b) B = 4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x − 1 khi x ≥

1
.
4

c) C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10 7 − 4 3
Lời giải:
2

a) A = x − x − x +

1
1

= x−  x−  = x−
4
2


+ Nếu

x≥

1
1
⇔ x ≥ thì
2
4

+ Nếu

x<

1
1
⇔ 0 ≤ x < thì
2
4

x−

x−

1
2

1
1
1
= x − ⇒ A= .
2

2
2

x−

1
1
1
=− x + ⇒ A=2 x −
2
2
2
3

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN


b)
B = 4x − 2 4x −1 + 4x + 2 4x −1 = 4x −1 − 2 4x −1 + 1 + 4x −1 + 2 4x −1 +1

Hay B =

=

(

)

2

(

4x −1 −1 +

)

4x −1 +1

2

=

4x −1 −1 +

4x −1 +1

4x −1 −1 + 4x −1 + 1

+ Nếu

4x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 4x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥

1
thì
2

4 x − 1 − 1 = 4 x − 1 − 1 suy

ra B = 2 4 x − 1 .

+ Nếu

4x −1 −1 < 0 ⇔ 4x −1 < 1 ⇔

1
1
≤ x < thì
4
2

4 x − 1 − 1 = − 4 x − 1 + 1 suy ra B = 2 .

(

c) Để ý rằng: 7 − 4 3 = 2 − 3

)

2

⇒ 7−4 3 = 2− 3

Suy ra

C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10(2 − 3) = 9 − 5 3 + 5 28 − 10 3
= 9− 5 3 +5

(5 − 3 )

2

.Hay

C = 9 − 5 3 + 5(5 − 3) = 9 − 25 = 9 − 5 = 4 = 2

Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A = 7 − 2 6 − 7 + 2 6 là số nguyên.
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp
+ 1−
9
9
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).

b) B = 3 1 +

4

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN


c) Chứng minh rằng: x = 3 a +
a≥

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
+ a−
với
3

3
3
3

1
là số tự nhiên.
8

(

d) Tính x + y biết x + x 2 + 2015

)( y +

)

y 2 + 2015 = 2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A < 0,
Tacó

A2 =

(

2

7−2 6 − 7+2 6

) = 7 − 2 6 + 7 + 2 6 − 2 7 − 2 6. 7 + 2 6

= 14 − 2.5 = 4
Suy ra A = −2 .
3

b) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v ) . Ta có:
3



84 3
84 
84
84
84 3
84 
 = 1+

B =  3 1+
+ 1−
+1−
+ 3 3 1 +
. 1−


9
9 
9
9

9
9 




3


84 3
84 
 3 1+
 . Hay
+ 1−

9
9 




84 
84 
84
3
3
3
B 3 = 2 + 3 3 1 +
1−


 .B ⇔ B = 2 + 3 3 1 − B ⇔ B = 2 − B ⇔ B + B − 2 = 0

9
9
81



2

1 7

⇔ ( B − 1) ( B 2 + B + 2 ) = 0 mà B 2 + B + 2 =  B +  + > 0 suy ra B = 1 .
2 4

Vậy B là số nguyên.
3

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v )

5


Ta có
x 3 = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x3 + ( 2a − 1) x − 2a = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 2a ) = 0

Xét đa thức bậc hai x 2 + x + 2a với ∆ = 1 − 8a ≥ 0
+ Khi a =

1

1
1
ta có x = 3 + 3 = 1 .
8
8
8

1
+ Khi a > , ta có ∆ = 1 − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1
8

Vậy với mọi a ≥

a + 1 8a − 1 3
a + 1 8a − 1
1
+ a−
= 1 là
ta có: x = 3 a +
3
3
3
3
8

số tự nhiên.
d) Nhận xét:

(

x 2 + 2015 + x

)(

)

x 2 + 2015 − x = x 2 + 2015 − x 2 = 2015 .

Kết hợp với giả thiết ta suy ra

x 2 + 2015 − x =

y 2 + 2015 + y

⇒ y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y = 0
Ví dụ 4)

a) Cho x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Tính giá trị biểu thức:

P=

x 4 − 4 x 3 + x 2 + 6 x + 12
.
x 2 − 2 x + 12

b) Cho x = 1 + 3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B = x 4 − 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 + 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).

c) Cho x = 1 + 3 2 + 3 4 . Tính giá trị biểu thức:

P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015

Giải:

6

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN


a) Ta có:
2



x 2 =  4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5  = 8 + 2 4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5



⇔ x2 = 8 + 2 6 − 2 5 = 8 + 2

(

)

5 −1

2

= 8+ 2

(

)

5 −1 = 6 + 2 5 =

(

)

5 +1

2

2

⇒ x = 5 + 1 . Từ đó ta suy ra ( x − 1) = 5 ⇔ x 2 − 2 x = 4 .

(x
Ta biến đổi: P =

2

2

− 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) + 12
2

x − 2 x + 12

=

42 − 3.4 + 12
= 1.
4 + 12

3

b) Ta có x = 1 + 3 2 ⇒ ( x − 1) = 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 = 0 . Ta biến đổi
biểu thức P thành:
P = x 2 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + x ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 ) + 1945 = 1945

c) Để ý rằng: x = 3 2 2 + 3 2 + 1 ta nhân thêm 2 vế với

3

2 − 1 để tận

dụng hằng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) . Khi đó ta có:
3

3

) ( 2 − 1) ( 2 + 2 + 1)
⇔ ( 2 − 1) x = 1 ⇔ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x

(

3

2 −1 x =
3

3

3

2

2

2

3

3

3

3

= ( x + 1) ⇔ x3 − 3 x 2 − 3x − 1 = 0 .

Ta biến đổi:
P = x5 − 4 x 4 + x3 − x 2 − 2 x + 2015 = ( x 2 − x + 1)( x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1) + 2016 = 2016

Ví dụ 5) Cho x, y , z > 0 và xy + yz + zx = 1 .
a) Tính giá trị biểu thức:
2

P=x

2

2

2

2

2

(1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y )
1 + x2

b) Chứng minh rằng:

1+ y2

x
y
z
+
−
=
2
2
1+ x 1+ y 1+ z2

1+ z2

2 xy

(1 + x )(1 + y )(1 + z )
2

2

2

Lời giải:
7

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN


a) Để ý rằng: 1 + x 2 = x 2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z )
Tương tự đối với 1 + y 2 ;1 + z 2 ta có:
2

x

2

(1 + y )(1 + z ) = x ( y + x )( y + z )( z + x )( z + y ) = x y + z
(
)
1 + x2

( x + y )( x + z )

Suy ra P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = 2 ( xy + yz + zx ) = 2 .
b) Tương tự như câu a)
Ta có:
x
y
z
x
y
z
+
−
=
+
−
2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x )
=

x ( y + z) + y ( z + x) − z ( x + y )
2 xy
=
=
( x + y )( y + z )( z + x )
( x + y )( y + z )( z + x )

2 xy

2

2

2

(1 + x )(1 + y )(1 + z )

Ví dụ 6)
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
x12 − 12 + 2 x2 2 − 22 + .. + n xn 2 − n 2 =

1 2
( x1 + x22 + ... + xn 2 )
2

4n + 4n 2 − 1
với n nguyên dương. Tính
2n + 1 + 2n − 1
f (1) + f (2) + .. + f (40) .

b) Cho f (n) =

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:

(

2

) (

x12 − 12 − 1 +

)

2

x2 2 − 22 − 2 + ... +

(

xn 2 − n 2 − n

)

2

=0

Hay x1 = 2, x2 = 2.2 2 ,..., xn = 2.n 2

8


 x 2 + y 2 = 4n

b) Đặt x = 2n + 1, y = 2n − 1 ⇒  xy = 4n 2 − 1 .
 x2 − y 2 = 2


Suy ra

x 2 + xy + y 2 x3 − y 3 1 3
1
3
= 2
= ( x − y3 ) =
( 2n + 1) −
x+ y
x − y2 2
2
Áp dụng vào bài tốn ta có:
1
f (1) + f ( 2 ) + .. + f ( 40 ) =  33 − 13 + 53 − 33 + .. +
2 
1
=
813 − 13 = 364
2

(

f ( n) =

(

) (

)

( 2n − 1)

(

3

).

813 − 793 


)

)

(

Ví dụ 7)
1
1
1
+
+ .... +
> 4 . Đề thi
1+ 2
3+ 4
79 + 80

a) Chứng minh rằng:

chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng:

1
1
1
1
1 

+
+
+ ... +
> 2 1 −
.
1 2 2 3 3 4
n n +1
n +1 


1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
< 2 n − 1 với
1

2
3
4
n
mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

c) Chứng minh: 2 n − 2 <

Lời giải:
1
1
1
,
+
+ .... +
1+ 2
3+ 4
79 + 80
1
1
1
B=
+
+ .. +
2+ 3
4+ 5
80 + 81

a) Xét A =

Dễ thấy A > B .
Ta có A + B =

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
1+ 2
2+ 3
3+ 4
79 + 80
80 + 81
9


1

Mặt khác ta có:

Suy ra A + B =

k + k +1

=

) (

(

2− 1 +

(

(

k +1 − k

k +1 + k

)

3 − 2 + ... +

)(

(

)

k +1 − k

)

= k +1 − k

)

81 − 80 = 81 − 1 = 8 . Do

A > B suy ra 2 A > A + B = 8 ⇔ A > 4 .

b) Để ý rằng:

1
1
−
=
k
k +1

1
k ( k + 1)

(

k +1 + k

)

<

1
với
2k k + 1

mọi k nguyên dương.
Suy ra

1   1
1 
1 
1 
 1


VT > 2 1 −
−
−
 + .. + 2 
 = 2 1 −
.
 + 2
2  2
3
n +1 
n +1 

 n

c) Đặt P =

Ta có:

1
1

1
1
1
+
+
+
+ ... +
1
2
3
4
n

2
n + n +1

<

1
2
2
với mọi số tự nhiên n ≥ 2 .
=
<
n 2 n
n + n −1

Từ đó suy ra

2

(

2

(

2
2
2
<
<
=2
n +1 + n 2 n
n + n −1
2
n +1 − n <
< 2 n − n −1
n

)

n +1 − n =

Do đó: 2 


(
T < 1 + 2 (


)

(

(

)

) ( 3 − 2 ) + ... + ( n + 1 − n ) < T
2 − 1) + ( 3 − 2 ) + .... ( n − n − 1 )  .

2− 1 +

)

n − n − 1 hay

và

Hay 2 n − 2 < T < 2 n − 1.
Ví dụ 8)
10


a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
a 1 − b2 + b 1 − c2 + c 1 − a 2 =

3
.Chứng minh rằng:

2

3
.
2
a) Tìm các số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện:
a 2 + b2 + c2 =

x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x 2 = 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có

a 1 − b2 + b 1 − c2 + c 1 − a 2 ≤

a 2 + 1 − b2 b2 + 1 − c2 c2 + 1 − a 2 3
+
+
= .
2
2
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = 1 − b2
a 2 = 1 − b 2


 2
3

2
2
2
2
2
b = 1 − c ⇔ b = 1 − c ⇒ a + b + c = (đpcm).
2

c 2 = 1 − a 2
2

c = 1 − a

b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x 2 = 6 .

Áp dụng bất đẳng thức : 2ab ≤ a 2 + b 2 ta có:
2x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2z 3 − x2 ≤ x2 + 1 − y 2 + y2 + 2 − z 2 + z 2 + 3 − x2 = 6
. Suy ra VT ≤ VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi:

11


 x 2 + y 2 + z 2 = 3; x, y, z ≥ 0
 x, y , z ≥ 0

x = 1− y2
 2
 2
2

2

x + y = 1
x + y = 1
2
⇔
⇔ x = 1; y = 0; z = 2
y = 2 − z ⇔  2

2
2
2

y + z = 2
y + z = 2
2
 z = 3 − x
 z 2 + x2 = 3
 z 2 + x2 = 3


x

Ví dụ 9) Cho A =

(

x+4 x−4 + x−4 x−4
x 2 − 8 x + 16

) với x > 4

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4 .

x
A= 

x

(

(

x−4 +2

x−4 +2+

)

2

+

(

( x − 4)

2

x−4 −2

)

2 
x−4 −2  x
=

)

(

x−4 +2 +
x−4

x−4 −2

)=

x−4
+ Nếu 4 < x < 8 thì

x
A=

(

x − 4 − 2 < 0 nên

x−4 +2+2− x−4
x−4

)=

4x
16
= 4+
x−4
x−4

Do 4 < x < 8 nên 0 < x − 4 < 4 ⇒ A > 8 .
+ Nếu x ≥ 8 thì

x

(

x − 4 − 2 ≥ 0 nên

x−4 +2+ x−4 −2

) = 2x

x−4
2x
8
=
= 2 x−4 +
≥ 2 16 = 8
x−4
x−4
x−4
x−4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
8
2 x−4 =
⇔ x−4 = 4 ⇔ x =8.
x−4
A=

12


Vậy GTNN của A bằng 8 khi x = 8 .
b) Xét 4 < x < 8 thì A = 4 +

16
, ta thấy A ∈ Z khi và chỉ khi
x−4

16
∈ Z ⇔ x − 4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay

x−4
x − 4 ∈ {1; 2; 4;8;16} ⇔ x = {5;6;8;12; 20} đối chiếu điều kiện suy ra x = 5

hoặc x = 6 .
+ Xét x ≥ 8 ta có: A =

A=

2 ( m2 + 4 )
m

= 2m +

2x
, đặt
x−4

 x = m2 + 4
x−4 = m⇒ 
khi đó ta có:
m ≥ 2

8
suy ra m ∈ {2; 4;8} ⇔ x ∈ {8; 20;68} .
m

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5;6;8; 20;68} .

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)

Với x > 0 , cho hai biểu thức A =

2+ x
và B =
x

x −1 2 x +1
.
+
x
x+ x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để > .
B 2

Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức A =

x +4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x +2


x
4  x + 16
(với
2) Rút gọn biểu thức B = 

+
:
x − 4  x + 2
 x +4
x ≥ 0, x ≠ 16 )
13


3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của

x để giá trị của biểu thức B ( A − 1) là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A =

x
10 x
5
−
−
, với x ≥ 0, x ≠ 25 .
x − 5 x − 25
x +5

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x = 9 .
1
3) Tìm x để A < .
3

Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).

Cho P =

x
2 x
3x + 9
, với x ≥ 0, x ≠ 9 .
+
−
x +3
x −3 x −9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P = .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:

A=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

x
1  
2
6


B=
+
+
 : 1 −

x
+
x
x
+
x
x
+
x
3
3
3

 


( x > 0) .

Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)

14


Thu gọn các biểu thức sau:

x
A = 
+
 x +3

B = 21

3  x +3
với x ≥ 0, x ≠ 9 .
.
x − 3  x + 9
2

(

2+ 3 + 3− 5

) (
−6

2

2 − 3 + 3+ 5

) −15 15 .

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P =

x 2
2x − 2
+
, với x > 0, x ≠ 2 .
x−2
2 x+x 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A =

B = 1+

1
1
1
1
+
+
+ ... +
và
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121

1

1
+ ... +
.
2
35

Chứng minh rằng B > A .

Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P =

x3 + y3
x+ y
.
,x ≠ y.
x 2 − xy + y 2 x 2 − y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3 và y = 4 − 2 3 .

Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a , b ; a ≠ b .

15


( a − b)

(
Chứng minh rằng:

3

a− b

)

3

− b b + 2a a

a a −b b

+

3a + 3 ab
=0.
b−a

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
A=

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+
−
; x > 0, x ≠ 9 .
x−9
x + x − 12 x + 4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)

Cho biểu thức A =

1
1
2 x
+
−
4
−x
2+ x 2− x

( x ≥ 0, x ≠ 4 ) .

1
Rút gọn A và tìm x để A = .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
3
3
x x+x
. Tìm tất cả
+
+
x −3 − x
x−3 + x
x +1
các giá trị của x để P > 2 .

1) Cho biểu thức P =

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng

( d ) : y = mx − 1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
m , đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hồnh
độ x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ 2 .

Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C =

a
2
2
.
−
−
a − 16
a −4
a +4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a = 9 − 4 5 .
16


Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
 2
3
5 x −7  2 x +3
Cho biểu thức A = 

 x − 2 + 2 x + 1 − 2 x − 3 x − 2  : 5 x − 10 x



( x > 0, x ≠ 4 ) .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức A =

x +1
, khi x = 9 .
x −1

1  x +1
 x−2
với x > 0 và x ≠ 1 .
2) Cho biểu thức P = 
+
.
x + 2  x −1
 x+2 x

a) Chứng minh rằng P =

x +1
.
x

b) Tìm các giá trị của x để 2 P = 2 x + 5 .

Câu 17) Cho a = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Chứng minh rằng
a 2 − 2a − 2 = 0 .

Câu 18) Cho a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T =

a 2 − 4a 3 + a 2 + 6a + 4
.
a 2 − 2a + 12

Câu 19) Giả thiết x, y , z > 0 và xy + yz + zx = a .
Chứng minh rằng:
2

x

2

2

( a + y )( a + z ) + y ( a + z ) ( a + x )
a + x2

a + y2

2

2

+z

2

( a + x )( a + y ) = 2a .
a + z2

17


Câu 20. Cho a = 2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1 .
a) Chứng minh rằng: a 4 − 14a 2 + 9 = 0 .
b) Giả sử f ( x ) = x5 + 2 x 4 − 14 x 3 − 28 x 2 + 9 x + 19 . Tính f ( a ) .

Câu 21. Cho a = 3 38 + 17 5 + 3 38 − 17 5 .
Giả sử có đa thức f ( x ) = ( x3 + 3 x + 1940 )

Câu 22. Cho biểu thức f ( n ) =

2016

. Hãy tính f ( a ) .

2n + 1 + n ( n + 1)
n + n +1

.

Tính tổng S = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2016 ) .

Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1≤

1 1 1
1 5
+ + + ... + 2 < .
12 22 32
n
3

Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 , ta có

1 1 1
1 65
+ + + ... + 3 < .
13 23 33
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44
<
+
+ ... +
<

44 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3
45
2002 2001 + 2001 2002
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)

Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1
+
+ ... +
< 1−
.
2 2 +1 1 3 3 + 2 2
n +1
( n + 1) n + 1 + n n
18


Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có:

1 4 7 10 3n − 2 3n + 1
1
. . . ....
.
<
.
3 6 9 12

3n 3n + 3 3 n + 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x = 64 ta có A =

B=

(

2 + 64 2 + 8 5
=
= .
8
4
64

) (

)(

)

x −1 . x + x + 2 x + 1 . x

(

x. x + x

Với x > 0 , ta có:

)

=

x x + 2x
1
= 1+
=
x x+x
x +1

A 3
2+ x 2+ x 3
> ⇔
:
> ⇔
B 2
x
x +1 2

x +2
x +1

x +1 3
>
2
x

⇔ 2 x + 2 > 3 x ⇔ x < 2 ⇔ 0 < x < 4 (do x > 0 ).

2. Lời giải:
36 + 4 10 5
=
= .
36 + 2 8 4

1) Với x = 36 , ta có A =

2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có:

 x x −4 4 x +4
B=
+

x − 16
x − 16

.

(

) (

3) Biểu thức B ( A − 1) =

) 

(

)

x + 2 ( x + 16 ) x + 2
x +2
=
=
 x + 16 ( x − 16 )( x + 16 )
x − 16


x +2 x +4− x −2
2

 =
x − 16 
x +2
 x − 16

B ( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2 , mà

U ( 2 ) = {±1; ±2} . Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên thì x ∈ {14;15;16;17} .
19


3). Lời giải:

A=

=

=

x + 5 x − 10 x − 5 x + 25

(

(

(

x −5

x −5

x −5

A=

x.

x
10 x
5
−
−
=
x − 5 x − 25
x +5

)(

)

)(

x +5

)

=

(
( x − 5) ( x + 5)

(

)

x + 5 − 10 x − 5.

x −5

)

x − 10 x + 25

(

x −5

)(

x +5

)

2

x +5

)

x −5
. Với x = 9 ta có:
x +5

⇒ A=

x = 3 . Vậy

3 − 5 −2
1
=
=− .
3+ 5 8
4

4). Lời giải:

1) P =

x

(

)

x −3 + 2 x

(

x −3

(

)(

)

x + 3 − 3x − 9
x +3

=

)

3
x +3

3

1
= ⇒ x + 3 = 9 ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x +3 3
3
3
≤
= 1 ⇒ Pmax = 1 khi x = 0 (TM).
3) Với x ≥ 0, P =
x +3 0+3

2) P =

1
⇔
3

5. Lời giải:

A=

=

5+ 5
5
3 5
+
−
5+2
5 −1 3 + 5

(5 + 5 ) (
( 5 + 2) (

= 3 5 −5+

)+
5 − 2) (

5 −2

5

(

)

5 +1

)(

5 −1

(

3 5 3− 5
−

)

) (3 + 5 ) (3 − 5 )

5 +1

5 + 5 9 5 − 15
5 + 5 − 9 5 + 15
−
= 3 5 −5+
4
4
4

20


= 3 5 −5+5−2 5 = 5 .
x
1  
2
6 

B=
+
+
 : 1 −
 ( x > 0)
x +3 
x x+3 x 
 x+3 x



x
1   x −2
6
= 
+
+
 :
x +3 
x
x x +3
 x +3


=


x +1 
:
x +3 


(






(

)

) ( x + 3) + 6  =
(

x ( x + 3)


x +1 .

x −2

) x + x x = 1.

6. Lời giải:

Với x ≥ 0 và x ≠ 9 ta có:



x −3 x +3 x +9 x +3 1
A=
.
=
−3.
 x +3
x
x −3  x+9



)(

(

)

2
21
4+2 3 + 6−2 5 −3 4−2 3 ++ 6+ 2 5
2
2
2
21
=
3 + 1 + 5 − 1 − 3 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15
2
2
15
=
3 + 5 − 15 15 = 60 .
2

) (

(

B=

(

(

)

(

2

) −15 15

)

)

7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:

P=

x 2
2x

(

2+ x

2
+

) (

(

x− 2

x− 2

)(

)

x+ 2

)

=

x
2
+
= 1.
2+ x
x+ 2

8. Lời giải:

Ta có: A =

1
1
1

1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
120 + 121
21


=

1− 2

+

(1 + 2 ) (1 − 2 ) (

2− 3
2+ 3

)(

2− 3

)

+ ... +

120 − 121

(

120 + 121

)(

120 − 121

1− 2
2− 3
120 − 121
+
+ ... +
−1
−1
−1
= 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 121 − 120 = −1 + 121 = 10 (1)
=

1
2
2
=
>
=2
k
k+ k
k + k +1

1
1
Do đó B = 1 +
+ ... +
2
35

Với mọi k ∈ ℕ* , ta có:

(

k +1 − k

)

( 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + 36 − 35 )
⇒ B > 2 ( − 1 + 36 ) = 2 ( −1 + 6 ) = 10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B > A .

⇒B>2

9. Lời giải:

1) P =

x3 + y3
x+ y
x+ y
.
.
=

2
2
x − xy + y ( x − y )( x + y ) x − y

2) Với x = 7 − 4 3 = 2 − 3 và y = 4 − 2 3 = 3 − 1

Thay vào P ta được: P =

2 − 3 + 3 −1

(2 − 3) − (

)

3 −1

=

1
3+ 2 3
.
=−
3
3− 2 3

10.Lời giải:

22

)

( a − b)

(
Ta có: Q =
(

=

=

a+ b

)

3

− b b + 2a a
+

a a −b b
3

a− b

(

=

3

)(

a+ b

a− b

)

)

3

3

− b b + 2a a
3 a+

)(

(

a − b a + ab + b

−

)

a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a

(

3a + 3 ab
b−a

)(

a − b a + ab + b

)

−

(

a− b

)(

a − b a + ab + b

a+ b

)(

)

a+ b

)

=0

3 a

(

a− b

3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a

(

(

)

= 0 (ĐPCM).

)

11. Lời giải:

A=

x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x
+
−
x −9

x + x − 12 x + 4 x

=

x −2
+
x −3

=

x − 7 x + 19

(

x −3

)(

x +4

)

−

x −5
x +4

x + 2 x − 8 + x − 7 x + 19 − x + 8 x − 15

(

x −3

)(

x +4

)

=

)(
x − 3) (

(
(

x −1

)=
x + 4)

x +4

x −1
.
x −3

12. Lời giải:

(

)

1
1
2 x
4
2 x 2 2− x
2
+
−
=
−
=
=
. Với
4− x
2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x
2+ x
1
2
1
1
A= ⇔
= ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 (nhận). Vậy A = khi x = 16 .
3
3
2+ x 3
A=

13. Lời giải:

23


1) ĐKXĐ: x ≥ 3

3
3
x x+x
+
+
x −3 − x
x −3 + x
x +1

⇒P=

=

(

)

6 x −3
3 x − 3 + 3 3 + 3 x − 3 − 3 x x x +1
+
=
+ x = x −2 x −3 .

−3
( x − 3) − x
x +1

Vì P > 2 ⇒ x − 2 x − 3 > 2 ⇔ ( x − 3) − 2 x − 3 + 1 > 0

⇔

(

)

2

x − 3 − 1 > 0 ⇔ x − 3 − 1 ≠ 0 ⇔ x − 3 ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 .Vậy x ≥ 3 và

x ≠ 4.
2) Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và ( d ) là:
x 2 + mx − 1 = 0 .

có ∆ = m 2 + 4 > 0 với mọi m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = − m và x1 x2 = −1
2

2

⇒ ( x1 + x2 ) = ( − m ) ⇒ x12 + x22 + 2 x1 x2 = m 2
2

2

⇒ ( x1 − x2 ) + 4 x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + 4. ( −1) = m 2
2

⇒ ( x1 − x2 ) = m 2 + 4 ≥ 4 với mọi m ⇒ x1 − x2 ≥ 2 với mọi m (ĐPCM).

14. Lời giải:
a ≥ 0
a ≥ 0
 a − 16 ≠ 0


a ≠ 16
⇒
⇒ a ≥ 0, a ≠ 16 .
1) Biểu thức C có nghĩa khi: 
 a − 4 ≠ 0 a ≠ 16
 a + 4 ≠ 0 ∀a ≥ 0


Rút gọn
a
2
2
C=
−
−
=
a − 16
a −4

a +4

(

a −4

)(

a +4

)

−

2
2
−
a −4
a +4

) ( a − 4) = a − 2 a − 8 − 2 a + 8 =
( a + 4) ( a − 4) (
( a + 4) ( a − 4)

a−2
=

a

(

a +4 −2

a−4 a
a +4

)(

a −4

)
24


a
=

(

(

a −4

a −4

)(

)

a +4

)

=

a
.
a +4

2) Giá trị của C khi a = 9 − 4 5 .
Ta có:

(

a = a =9−4 5 = 4−4 5 +5 = 2− 5
Vậ y C =

a

(

a +4

)

)

2

⇒ a=

(2 − 5 )

2

= 5−2

5−2
5 −2
=
=9−4 5 .
5 −2+4
5+2

=

15. Lời giải:
1) Với x > 0, x ≠ 4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3
5 x −7  2 3+3
A = 
+
−
 :
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x

) : 2 x +3
) (
5 x ( x − 2)

( x − 2) ( 2 x + 1)
5 x ( x − 2)
2 x +3
5 x
=
.
=
.
( x + 2) ( 2 x + 1) 2 x + 3 2 x + 1
) (

(

2 2 x +1 + 3

=

x −2 − 5 x −7

Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A =

2) Ta có
A=

5 x
2 x +1

=

5 x

.
2 x +1

x > 0, ∀x > 0, x ≠ 4 nên A =

5 x
> 0, x > 0, x ≠ 4
2 x +1

5
5
5
5
−
< , x > 0, x ≠ 4 ⇒ 0 < A < , kết hợp với A
2
2 2 2 x +1 2

(

)

nhận giá trị là một số nguyên thì A∈ {1, 2} .
A = 1 ⇔ 5 x = 2 x +1⇒ x =

1
1
⇔ x = thỏa mãn điều kiện.
3
9

A = 2 ⇔ 5 x = 4 x + 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 không thỏa mãn điều kiện.
25