Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết mức 9-10 điểm

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chun đề 1

DẠNG TỐN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH 9 – 10 ĐIỂM
Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)
Cách 1:

g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x ) 
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
,
.
f ′( x)
g′ ( x )
Bước 2: Sử dụng đồ thị của
, lập bảng xét dấu của
.
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x ) 
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
,
.
g ( x)
⇔ g′( x) ≥ 0
g ( x)
⇔ g′( x) ≤ 0
Bước 2: Hàm số
đồng biến
; (Hàm số
nghịch biến

) (*)
( *) (dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ) từ đó kết luận khoảng đồng
Bước 3: Giải bất phương trình
biến, nghịch biến của hàm số.
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y = f (2 − x ) đồng biến trên khoảng

A.

( 2; +∞ )

B.

( −2;1)

( −∞; −2 )

C.
Lời giải

D.

( 1;3)

Chọn B
Cách 1:
 x ∈ (1; 4)


( 1; 4 ) và ( −∞; −1) suy ra
Ta thấy f '( x) < 0 với  x < −1 nên f ( x) nghịch biến trên
g ( x) = f (− x ) đồng biến trên (−4; −1) và ( 1; +∞ ) . Khi đó f (2 − x ) đồng biến biến trên khoảng
(−2;1) và ( 3; +∞ )

Cách 2:
 x < −1
f ′( x) < 0 ⇔ 
y = f ′( x)
1 < x < 4 .
Dựa vào đồ thị của hàm số
ta có
Ta có

( f ( 2 − x) ) ′ = ( 2 − x) ′ . f ′( 2 − x) = − f ′( 2 − x) .

Để hàm số

y = f ( 2 − x)

đồng biến thì

( f ( 2 − x) ) ′ > 0 ⇔ f ′( 2 − x) < 0


 2 − x < −1
x > 3
⇔
⇔
1 < 2 − x < 4

 −2 < x < 1 .
Câu 2.

f ( x)

(Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số

Hàm số
A.

y = f ( 5 − 2x)

( 3; 4 ) .

, bảng xét dấu của

f ′ ( x)

như sau:

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( 1;3) .

( −∞ ; − 3) .

C.
Lời giải

D.

( 4;5 ) .

Chọn D
Ta có

y′ = f ′ ( 5 − 2 x ) = −2 f ′ ( 5 − 2 x )

.
 5 − 2 x = −3
x = 4

⇔ 5 − 2 x = −1 ⇔  x = 3
5 − 2 x = 1
 x = 2
y′ = 0 ⇔ −2 f ′ ( 5 − 2 x ) = 0
.
 5 − 2 x < −3
x > 4
5 − 2 x > 1
x < 2
⇔
⇔
⇔
⇔
f ′ ( 5 − 2 x ) < 0  −1 < 5 − 2 x < 1  2 < x < 3 f ′ ( 5 − 2 x ) > 0
 −3 < 5 − 2 x < − 1
3 < x < 4
;

.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số
Câu 3.

y = f ( 5 − 2x)

đồng biến trên khoảng

( 4;5 ) .

(Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ′( x) như sau:

Hàm số
A.

y = f ( 3 − 2x)

( 0; 2 ) .

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( 2;3) .

( −∞ ; − 3) .

C.
Lời giải

D.

( 3; 4 ) .

Chọn D
y′ = −2. f ′ ( 3 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) ≤ 0
Ta có
3 − 2 x ≤ −3
x ≥ 3
⇔
⇔
 −1 ≤ 3 − 2 x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 2.
Vậy chọn
Câu 4.

A.

(Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng dấu f ′( x) như sau:
2


Hàm số y = f (5 − 2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 3;5) .
( 5; + ∞ ) .
( 2;3) .
( 0; 2 ) .
A.
B.
C.

D.
Lời giải
Chọn D
Hàm số y = f ( x) có tập xác định là ¡ suy ra hàm số y = f (5 − 2 x ) có tập xác định là ¡ .
Hàm số y = f (5 − 2 x) có y′ = −2. f ′(5 − 2 x), ∀ x ∈ ¡ .

 −3 ≤ 5 − 2 x ≤ −1 3 ≤ x ≤ 4
y′ ≤ 0 ⇔ f ′(5 − 2 x) ≥ 0 ⇔ 
⇔
5 − 2 x ≥ 1
x ≤ 2
.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
Câu 5.

(Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số

f ( x)

( −∞ ; 2 ) ; ( 3;4 ) . Do đó B phương án chọn.

, bảng xét dấu của

f '( x)

y = f ( 3 − 2x )
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2;1) .
( 2; 4 ) .

( 1; 2 ) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn A
y′ = −2. f ′ ( 3 − 2 x )

như sau:

D.

( 4; + ∞ ) .

.

 −3 ≤ 3 − 2x ≤ −1
⇔
y′ ≤ 0 ⇔ −2. f ′ ( 3 − 2 x ) ≤ 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) ≥ 0
3 − 2x ≥ 1
Hàm số nghịch biến khi
2 ≤ x ≤ 3
⇔
x ≤1
.
Vậy chọn đáp án
Câu 6.

B.

(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ′( x) có bảng xét dấu như sau:

y = f ( x2 + 2 x )
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2;1) .
( −4; −3) .
( 0;1) .
A.
B.
C.
Lời giải

Ta có: Đặt:

y = g ( x) = f ( x 2 + 2 x )

;

D.

( −2; −1) .

g ′( x) =  f ( x 2 + 2 x)  ′= ( 2 x + 2 ) . f ′( x 2 + 2 x)

3


 x = −1


 x = −1
 x = −1 − 2
 2
x
+
2
x
=
−
2(
VN
)
2 x + 2 = 0
⇔
⇔ 2
⇔  x = −1 + 2
2

x + 2x = 1
 f ′( x + 2 x ) = 0
x =1

2


x
+
2
x
=

3

 x = −3
g ′( x) = 0 ⇔ ( 2 x + 2 ) . f ′( x 2 + 2 x) = 0
2
(Trong đó: x = −1 − 2 ; x = −1 + 2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x + 2 x = 1 )
+ Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số
Chú ý: Cách xét dấu g ′( x) :
Chọn giá trị

(

y = f ( x2 + 2x )

nghịch biến trên khoảng

)

x = 0 ∈ −1; −1 + 2 ⇒ x 2 + 2 x = 0 ⇒ g ′(0) = f ′(0) > 0

(

)

( −2; −1) .

( dựa theo bảng xét dấu của

g ′( x) > 0 ∀x ∈ −1; −1 + 2
hàm f ′( x) ). Suy ra
, sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn
′
không” suy ra dấu của g ( x) trên các khoảng còn lại
Câu 7.

(Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số
đồ thị của hàm số
khoảng dưới đây?

 3

 − ; +∞ ÷
.
A.  2

y = f '( x)

. Hàm số

3

 −∞; ÷
2.
B. 

y = f ( x)

có đạo hàm

g ( x ) = f ( x − x2 )

f '( x)

trên ¡ . Hình vẽ bên là

nghịch biến trên khoảng nào trong các

1

 ; +∞ ÷
.
C.  2
Lời giải

1

 −∞; ÷
2.
D. 

Phương pháp
Hàm số

y = g ( x)

nghịch biến trên

( a; b ) ⇔ g ' ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ( a; b )

và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
4


Cách giải
Ta có:

g ' ( x ) = ( 1 − 2x ) f ' ( x − x2 )

Hàm số
Ta có
Câu 8.

y = g ( x)

.

nghịch biến trên

g ' ( −1) = 3 f ' ( −2 ) > 0 ⇒

( a; b ) ⇔ g ' ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ( a; b )

và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Loại đáp án A, B và D

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

y = f '( x)

có đồ thị như hình vẽ

y = f ( 2 − x2 )
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây
( −∞;0 ) .
( 0;1) .
( 1; 2 ) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B

Hàm số

y = f ( 2 − x2 )

y ' = −2 x. f ' ( 2 − x 2 )

có

( 0; +∞ ) .

y ' = −2 x. f ' ( 2 − x 2 )

 x > 0
 x > 0



2
 1 < 2 − x < 2
  −1 < x < 1
0 < x < 1

> 0 ⇔ x < 0
⇔  x < 0
⇔


 x < −1
2 − x2 < 1
   x < −1

 x > 1
2
   2 − x > 2


Do đó hàm số đồng biến trên
Câu 9.

D.

( 0;1) .

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số f ( x) , đồ thị hàm số y = f ′( x ) như hình vẽ dưới
đây.

Hàm số

y = f ( 3− x )

A.

( 4;6 ) .

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( −1;2 ) .

( −∞ ; −1) .
C.
Lời giải

D.

( 2;3) .
5


Ta có:
y = f ( 3 − x ) ⇒ f ′( 3 − x ) = −
f ′( 3 − x ) = 0 ⇔ −

( 3 − x)
3− x

f ′ ( 3 − x ) ( x ≠ 3)

 f ′( 3 − x ) = 0
f ′( 3 − x ) = 0 ⇔ 
3− x
3 − x = 0

( 3 − x)

 3 − x = −1( L )
 x = −1

x = 7
 3 − x = 1( N )
⇔
⇔
x = 2
 3− x = 4( N )

 x = 3( L)
x = 4


Ta có bảng xét dấu của

f ′( 3 − x ) :

Từ bảng xét dấu ta thây hàm số
Câu 10.

y = f ( 3− x )

đồng biến trên khoảng

(THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

( −1;2 ) .

. Hàm số

y = f '( x)

có đồ thị như

hình vẽ. Hàm số g ( x) = f ( x − 2). Mệnhvđề nào sai?
2

A. Hàm số
C. Hàm số

g ( x)
g ( x)

nghịch biến trên
nghịch biến trên

( −∞; −2 )

( −1;0 )

B. Hàm số
D. Hàm số

g ( x)
g ( x)

đồng biến trên

( 2; +∞ )

nghịch biến trên

( 0; 2 )

Lờigiải
ChọnA
x = 0
x = 0
x
=
0

 2
2
g '( x ) = 2 x. f '( x − 2) = 0 ⇔ 
⇔  x − 2 = −1 ⇔  x = ±1
2
 f ( x − 2) = 0

 x2 − 2 = 2
 x = ±2

Ta có
x > 2
f '( x 2 − 2) > 0 ⇔ x 2 − 2 > 0 ⇔ 
 x < −2
Từ đồ thị f '( x) ta có
BBT

6


Từ BBT ta thấy đáp án C sai
Câu 11.

(THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số
số

y = f '( x )

Hỏi hàm số
A.

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị hàm

như hình bên.

g ( x) = f ( 3 − 2x)

( −1; +∞ )

B.

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

( −∞; −1)

C. (
Lời giải

1;3)

D.

( 0;2 )

Chọn B
 x = −2
f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2
 x = 5
Ta có

Khi đó

g ' ( x ) = −2 f ' ( 3 − 2 x )

5


x = 2
3 − 2 x = −2

1
g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( 3 − 2 x ) = 0 ⇔ 3 − 2 x = 2 ⇔  x =

2
3 − 2 x = 5

x
=
−
1



Với
Bảng biến thiên:

Câu 12.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
7

A.

Hàm số
( −2; −1)

Xét hàm số

y = f ( x2 − 2)

.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 2; +∞ ) .
( 0;2 ) .
B.
C.
Lời giải

g ( x ) = f ( x2 − 2)

g ' ( x)

Dựa vào bảng xét dấu
Câu 13.

( −1;0 ) .

g ' ( x ) = 2 x. f ' ( x 2 − 2 )

.

x = 0
x =1
x = 0
x = 0



⇔  x 2 − 2 = −1 ⇔  x 2 = 1 ⇔  x = − 1

x = 0
 x2 − 2 = 2
 x2 = 4
x = 2


g '( x) = 0 ⇔ 
2
 x = −2
 f ' ( x − 2 ) = 0

Ta có bảng xét dấu

. Ta có:

D.

.

:

g '( x)

ta thấy hàm số

(Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số

y = f ( x2 − 2)

y = f ( x)

nghịch biến trên khoảng

( 0; 2 )

có bảng xét dấu đạo hàm như sau.

y = f ( 2 − 3x )
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
( 2;3) .
( 1; 2 ) .
( 0;1) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn A
g ( x ) = f ( 2 − 3 x ) ⇒ g ′ ( x ) = −3. f ′ ( 2 − 3 x )
Đặt
g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( 2 − 3x ) ≤ 0

Ta có
 2 − 3x ≤ −3
⇔
0 ≤ 2 − 3x ≤ 1

D.

( 1;3) .

5

x ≥ 3
⇔
1 ≤ x ≤ 2
 3
3.

1 2
 ; ÷
g ( x)
Suy ra hàm số
đồng biến trên các khoảng  3 3  và
khoảng

5

 ; +∞ ÷
3
 , do đó hàm số đồng biến trên

( 2;3) .
8


Câu 14.

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số
số

y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ. Đặt

y = f ( x)

biết hàm số

g ( x ) = f ( x + 1)

A. Hàm số

g ( x)

đồng biến trên khoảng

( 3;4 ) .

B. Hàm số

g ( x)

đồng biến trên khoảng

( 0;1) .

C. Hàm số

g ( x)

nghịch biến trên khoảng

( 2; + ∞ ) .

D. Hàm số

g ( x)

nghịch biến trên khoảng

( 4;6 ) .

f ( x)

có đạo hàm

f ′( x)

và hàm

. Kết luận nào sau đây đúng?

Lời giải
Chọn B
g ( x ) = f ( x + 1)
Ta có:

.
g ′ ( x ) = f ′ ( x + 1)

x +1 > 5
x > 4
⇔ g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( x + 1) > 0 ⇔ 
⇔
g ( x)
1 < x + 1 < 3
0 < x < 2 .
Hàm số
đồng biến
3 < x + 1 < 5
2 < x < 4
⇔ g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( x + 1) > 0 ⇔ 
⇔
g ( x)
 x +1 < 1
x < 0
Hàm số
nghịch biến
.
g ( x)
( 0; 2 ) ; ( 4; + ∞ ) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 4 ) ;

Vậy hàm số
đồng biến trên khoảng

( −∞;0 ) .
Câu 15.

Hàm số

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số
sau:

g ( x ) = f ( 3 − 2x )

A.

( 3; +∞ ) .

y = f ( x)

có bảng xét dấu đạo hàm như

đồng biến trên khoảng nào sau đây
B.

( −∞; −5 ) .

( 1; 2 ) .
C.
Lời giải

D.

( 2;7 ) .

Chọn C
9


Ta có
Để

g ' ( x ) = −2 x ln 2. f ' ( 3 − 2 x )

g ( x) = f ( 3 − 2 x )

.

đồng biến thì

g ' ( x ) = −2 x ln 2. f ' ( 3 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ f ' ( 3 − 2 x ) ≤ 0 ⇔ −5 ≤ 3 − 2 x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3

Vậy hàm số đồng biến trên
Câu 16.

( 1;2) .

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số
số

y = f ′( x)

.

như hình vẽ. Xét hàm số

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị của hàm

g ( x ) = f ( x2 − 2)

A. Hàm số

g ( x)

nghịch biến trên

( 0;2 ) .

C. Hàm số

g ( x)

nghịch biến trên

( −1;0 ) .

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

B. Hàm số

D. Hàm số
Lời giải

g ( x)

đồng biến trên

( 2;+∞ ) .

g ( x)

nghịch biến trên

( −∞; −2 ) .

Chọn C
Ta có

g ′ ( x ) = ( x 2 − 2 ) ′ . f ′ ( x 2 − 2 ) = 2 x. f ′ ( x 2 − 2 )

.

  x ≤ 0

2
  f ′ ( x − 2 ) ≥ 0
⇔
  x ≥ 0
 ′ 2
f x − 2) ≤ 0

g ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ x. f ′ ( x 2 − 2 ) ≤ 0
  (
Hàm số nghịch biến khi
Từ đồ thị hình của hàm số

y = f ′( x)

như hình vẽ, ta thấy

f ′( x ) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

và

f ′( x ) ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
.

x ≤ 0

 x ≤ 0
x ≤ 0
 x ≤ 0 ⇔  x ≥ 2
⇔ 2
⇔ 2

  x ≤ −2
f ′ x2 − 2 ≥ 0
x −2≥2




x ≥ 4
⇔ x ≤ −2 .

+ Với

(

)

10


 x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
⇔ 2
⇔ 2

2
f ′( x − 2) ≤ 0
x − 2 ≤ 2
x ≤ 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 .
+ Với 
Như vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

( −2;0 )
Do
Câu 17.

và

( −∞; −2 ) , ( 0;2 ) ; suy ra hàm số đồng biến trên

( 2;+∞ ) .

( −1;0 ) ⊂ ( −2;0 )

nên hàm số đồng biến trên

(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số
hình vẽ bên dưới.

( −1;0 ) . Vậy C sai.

y = f ( x)

y = f ( 3 − x2 )
Hàm số
đồng biến trên khoảng
( 0;1) .
( −1;0 ) .
( 2;3) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:

Đặt

y = g ( x ) = f ( 3 − x2 )

Ta có:

g ′ ( x ) = 0 ⇔ −2 x. f ′ ( 3 − x 2 )

Suy ra hàm số
Vậy hàm số
Cách 2:

g′( x)

Đặt

Ta có:

x = 0
x = 0

2
 x = ±3
3 − x = −6
⇔

 3 − x 2 = −1 ⇔  x = ± 2


=0
3 − x 2 = 2

 x = ±1 .

:

y = f ( 3 − x2 )

2

).

đồng biến trên mỗi khoảng:

đồng biến trên khoảng

y = f ′( x)

y = g ( x) = f ( 3 − x

( −2; −1) .

.

x = 0
⇔
2
=0
 f ′ ( 3 − x )

y = f ( 3 − x2 )

Dựa vào đồ thị của

D.

có đồ thị như

.

g ′ ( x ) = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 )

Bảng xét dấu của

y = f ′( x)

. Biết rằng hàm số

ta chọn

( −3; −2 ) , ( −1;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 3; +∞ ) .

( −1;0 ) .

y = f ′ ( x ) = ( x + 6 ) ( x + 1) ( x − 2 )

g ′ ( x ) = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 ) = −2 x ( 9 − x 2 ) ( 4 − x 2 ) ( 1 − x 2 )

.

.
11

x = 0
 x = ±3
⇔
 x = ±2

g′( x) = 0
 x = ±1 .
Bảng xét dấu của

Suy ra hàm số
Vậy hàm số
Câu 18.

g′( x)

:

y = f ( 3 − x2 )

y = f ( 3 − x2 )

đồng biến trên mỗi khoảng:

đồng biến trên khoảng

(Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn
như hình vẽ. Hàm số

A.

( 2;3) .

y = f ( x2 + 2)

B.

y = f ( x)

( −3; −2 ) , ( −1;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 3; +∞ ) .

( −1;0 ) .
y = f '( x)
có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −3; −2 ) .

( −1;1) .
C.
Lời giải

D.

( −1;0 ) .

Chọn B
Đặt

g ( x ) = f ( x2 + 2)

g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 + 2 )

, hàm số có đạo hàm trên ¡ .

y = f ′( x)
, kết hợp với đồ thị hàm số
ta được:
x = 0
x = 0
 2
x = 0
x
+
2
=
−
2

g′ ( x) = 0 ⇔ 
⇔ 2
⇔ x = 3
2
x + 2 = 2
 f ′ ( x + 2 ) = 0
x = − 3



2
 x + 2 = 5
.
 −2 < x < 2
f ′( x) > 0 ⇔ 
x > 5
Từ đồ thị đã cho ta có
x > 3
 −2 < x 2 + 2 < 2
 −4 < x 2 < 0
2
′
f ( x + 2) > 0 ⇔  2
⇔ 2
⇔
 x < − 3 .
x + 2 > 5
x > 3
Suy ra

2 < x2 + 2 < 5
f ′ ( x + 2) < 0 ⇔  2
⇔ 0 < x2 < 3 ⇔ − 3 < x < 3
 x + 2 < −2
2

Và lập luận tương tự

.
12

Bảng biến thiên ( Dấu của

Câu 19.

g′( x)

(

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biền trên

( −∞; − 3 )

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số

y = f ( x)

hình vẽ. Hàm số

A.

( −1;0 ) .

g ( x ) = f ( 2019 − 2020 x )

B.

)

f ′ x2 + 2
2x
phụ thuộc vào dấu của
và
trên từng khoảng)

( −∞; −1) .

và

( 0; 3 ) chọn đáp án.

có đồ thị hàm đạo hàm

y = f ′( x)

như

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

( 0;1) .
C.
Lời giải

D.

( 1; +∞ ) .

Chọn D
Ta có

g ′ ( x ) = ( 2019 − 2020 x ) ′ f ′ ( 2019 − 2020 x ) = −2020 f ′ ( 2019 − 2020 x )

,

x =1

 2019 − 2020 x = −1  x = 1009
 2019 − 2020 x = 1
1010

f ′ ( 2019 − 2020 x ) = 0 ⇔ 
⇔
2017
 2019 − 2020 x = 2
x =
2020


 2019 − 2020 x = 4

403
x =
404

Bảng biến thiên

13

 2017 1009 
;

÷
g ( x)
2020
1010  , ( 1; +∞ ) .

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số
đồng biến trên từng khoảng
Câu 20.

y = f ( x)

(Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số
như hình vẽ bên

. Biết đồ thị hàm số

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1
1 1
1


 ; ÷
 ;+ ∞÷
 −∞ ; ÷

3 .
.
A.  3 2  .
B.  2
C. 

y′ = f ′ ( x )

có đồ thị

1

 −2; ÷
2 .
D. 

Lời giải
Chọn C
Cách 1. Ta có

g ′ ( x ) = ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3 x 2 )

g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3 x 2 )
Bảng xét dấu của

g′ ( x )

Từ bảng trên ta có hàm số

2 − 6 x = 0

1

= 0 ⇔ 2 x − 3x 2 = 1 ⇔ x =
3
 2 x − 3x 2 = 2


g ( x ) = f ( 2 x − 3x

2

)

1

 −∞ ; ÷
3
đồng biến trên khoảng 
14


Cách 2:

g ′ ( x ) = ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3 x 2 )

Để hàm số

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )

đồng biến thì

 2 − 6 x ≥ 0
2 − 6 x ≤ 0
g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ ( 2 − 6 x ) . f ′( 2 x − 3x 2 ) ≥ 0 ⇔ 
∪
 ′
2
2
′
 f ( 2 x − 3x ) ≤ 0
 f ( 2 x − 3x ) ≥ 0
1

x≤

2
−
6
x
≥
0

3
1

⇔
⇔x≤
2
 ′


2

2
x
−
3
x
≤
1
3

 f ( 2 x − 3 x ) ≥ 0
2
  2 x − 3x ≥ 2
Trường hợp 1.
1

2 − 6 x ≤ 0
x ≥
⇔
3
 ′
2
f
2
x
−
3
x
≤

0
(
)
1 ≤ 2 x − 3x 2 ≤ 2

Trường hợp 2.
hệ vô nghiệm
Vậy hàm số

g ( x ) = f ( 2 x − 3x 2 )

1

 −∞ ; ÷
3
đồng biến trên khoảng 

Câu 21. 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị f '( x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm
2
số y = f ( x + x) ?

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

Lời giải

Chọn B
Ta có y ' = (2 x + 1) f '( x + x) ; x + x = m có nghiệm khi và chỉ khi
2

2

m≥−

1
4.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '( x) cắt trục hồnh tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hồnh độ
nhỏ hơn

−

1
4 và có một tiệm cận.

15


Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hồnh độ lớn hơn

−

1
4 và 1 điểm khơng xác định thì y ' = 0 có

2

hai nghiệm. Từ đây dễ dàng suy ra hàm y = f ( x + x) có 11 cực trị.

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên
của hàm số f’(x)
Cách 1:

g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
,
.
f ′( x)
g′ ( x )
Bước 2: Sử dụng đồ thị của
, lập bảng xét dấu của
.
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 2:
g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
,
.
g ( x)
⇔ g′( x) ≥ 0
g ( x)
⇔ g′( x) ≤ 0
Bước 2: Hàm số
đồng biến
; (Hàm số
nghịch biến
) (*)

( *) (dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ) từ đó kết luận khoảng đồng
Bước 3: Giải bất phương trình
biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 3: (Trắc nghiệm)
g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) . f ′ u ( x )  + v′ ( x )
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
,
.
g ( x)
⇔ g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K
g ( x)
Bước 3: Hàm số
đồng biến trên K
; (Hàm số
nghịch biến trên
K ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số
−∞
x
1
−
+
0
f ′( x)

g′ ( x )

để loại các phương án sai.

f ( x)

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
+∞
2
3
4
−
+
+
0
0
0

y = 3 f ( x + 2 ) − x 3 + 3x
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( −∞; −1) .
( −1;0 ) .
( 0; 2 ) .
( 1; +∞ ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B

y ′ = 3  f ′ ( x + 2 ) − ( x 2 − 3) 
Ta có:
x ∈ ( −1;0 ) ⇒ x + 2 ∈ ( 1; 2 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) > 0
x 2 − 3 < 0 ⇒ y′ > 0; ∀x ∈ ( −1; 0 )
Với
, lại có
y = 3 f ( x + 2 ) − x 3 + 3x
( −1;0 ) .
Vậy hàm số
đồng biến trên khoảng
Chú ý:
x ∈ ( 1; 2 ) ⊂ ( 1; +∞ ) ⇒ x + 2 ∈ ( 3; 4 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) < 0; x 2 − 3 > 0
+) Ta xét
( 1; 2 ) nên loại hai phương án A, D.
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
+) Tương tự ta xét

x ∈ ( −∞; −2 ) ⇒ x + 2 ∈ ( −∞;0 ) ⇒ f ′ ( x + 2 ) < 0; x 2 − 3 > 0 ⇒ y′ < 0; ∀x ∈ ( −∞; −2 )
16


Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 2.

( −∞; −2 )

(Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số
g ( x ) = f ( 1− 2x ) + x − x

nên loại hai phương án B.

f ( x)

. Hàm số

y = f '( x)

có đồ thị như hình bên.

2

Hàm số

 3
1; ÷
A.  2  .

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

 1
 0; ÷
B.  2  .

( −2; −1) .
C.
Lời giải

D.

( 2;3) .

Chọn A
g ( x ) = f ( 1 − 2 x ) + x 2 − x ⇒ g ' ( x ) = −2 f ' ( 1 − 2 x ) + 2 x − 1
Ta có :
t = 1 − 2 x ⇒ g ′ ( x ) = −2 f ′ ( t ) − t
Đặt
t
g '( x) = 0 ⇒ f '( t ) = −
2
x
y=−
2 và đồ thị hàm số f ' ( x ) trên cùng một hệ trục
Vẽ đường thẳng

 −2 ≤ t ≤ 0
t
⇒ g '( x) ≤ 0 ⇒ f '( t ) ≥ − ⇒ 
g ( x)
2
t ≥ 4
Hàm số
nghịch biến
3
1
≤x≤

 −2 ≤ 1 − 2 x ≤ 0
1− 2x
2

f ′ ( 1− 2x) ≥
⇒
⇒ 2
4
≤
1
−
2
x
3
−2

 x≤−

2 .
Như vậy

1 3
 ; ÷
g ( x ) = f ( 1 − 2x ) + x − x
Vậy hàm số
nghịch biến trên các khoảng  2 2  và
2

3

 −∞; − ÷
2.


 3 1 3
 3
2
1; ÷ ⊂  ; ÷
1; ÷
g
x
=
f
1
−
2
x
+
x
−
x
( ) (
)
Mà  2   2 2  nên hàm số
nghịch biến trên khoảng  2 
17


Câu 3.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số

f ( x)

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

y = f ( x − 1) + x3 − 12 x + 2019
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 1; + ∞ ) .
( 1; 2 ) .
( −∞ ;1) .
( 3; 4 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải

y′ = f ′ ( x − 1) + 3x − 12 = f ′ ( t ) + 3t 2 + 6t − 9 = f ′ ( t ) − ( −3t 2 − 6t + 9 )
2

Ta có

, với t = x − 1

Nghiệm của phương trình y′ = 0 là hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số

y = f ′ ( t ) ; y = −3t 2 − 6t + 9
Vẽ đồ thị của các hàm số
sau:

.
y = f ′ ( t ) ; y = −3t 2 − 6t + 9

Dựa vào đồ thị trên, ta có BXD của hàm số

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

x ∈ ( 1; 2 ) ⊂ ( t0 + 1;1)
Câu 4.

trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ

y′ = f ′ ( t ) − ( −3t 2 − 6t + 9 )

t ∈ ( t0 ;1)

như sau:

( t0 < −1)

. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

.

(Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hàm số

f ( x)

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

18

y = 2 f ( 1 − x) + x2 + 1 − x
Hàm số
nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây
( −∞ ; − 2 ) .
( −∞ ;1) .
( −2; 0 ) .
( −3; − 2 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
x
y′ = −2 f ′ ( 1 − x ) +
−1
2
x +1 .
x
−1 < 0
2
∀x ∈ ( −2;0 )
x
+
1
Có
,
.
Bảng xét dấu:

⇒ −2 f ′ ( 1 − x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; 0 )

⇒ −2 f ′ ( 1 − x ) +
Câu 5.

x
x +1
2

− 1 < 0, ∀x ∈ ( −2;0 )

.

(Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′( x ) như hình vẽ
bên.

3
2
Hàm số y = 3 f ( x) + x − 6 x + 9 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

( 1; +∞ ) .
( −2; 0 ) .
C.
D.
Lời giải
4
3
2
3
2

Hàm số f ( x) = ax + bx + cx + dx + e, (a ≠ 0) ; f ′( x) = 4ax + 3bx + 2cx + d .
Đồ thị hàm số y = f ′( x ) đi qua các điểm (−4;0), (−2;0), (0; −3), (2;1) nên ta có:
A.

( 0; 2 ) .

B.

( −1;1) .

5

a = 96
−256a + 48b − 8c + d = 0

7
−32a + 12b − 4c + d = 0

b =
⇔
24


d = −3

7
32a + 12b + 4c + d = 1
c = −
24


d = −3

19


15
55 
 5
y = 3 f ( x) + x 3 − 6 x 2 + 9 x; y ′ = 3 ( f ′( x ) + x 2 − 4 x + 3 ) = 3  x 3 + x 2 − x ÷
8
12 
 24
Do đó hàm số
 x = −11
y′ = 0 ⇔  x = 0
 x = 2
( 2; +∞ ) .
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−11;0) và

Câu 6.

(Học Mãi 2019) Cho hàm số
bên. Hỏi đồ thị hàm số

A. 4 .

y = f ( x)

y = f ( x ) − 2x

B. 3 .

y = f ′( x)
có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số
như hình

có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
Đặt

g ( x ) = f ( x ) − 2x

⇒ g′ ( x ) = f ′( x) − 2

.

.

Vẽ đường thẳng y = 2 .

20


⇒ phương trình g ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ.

⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2 x có 3 điểm cực trị.
Câu 7.

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số
y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
nào dưới đây?

A.

( 2 ; 3) .

Ta có

B.

g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 1

g ( x ) = f ( x − 1) +

( 0 ; 1) .

( -1 ; 0 ) .
C.
Lời giải

y = f ( x)

liên tục trên ¡ . Hàm số

2019 − 2018 x
2018
đồng biến trên khoảng

D.

( 1 ; 2) .

.

 x − 1 ≤ −1  x ≤ 0
⇔
⇔
.
g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) − 1 ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) ≥ 1
 x −1 ≥ 2
x ≥ 3
2019 − 2018 x
g ( x ) = f ( x − 1) +
( -1 ; 0 ) .
2018
Từ đó suy ra hàm số
đồng biến trên khoảng
Câu 8.

(Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

21


y = −2 f ( x ) + 2019
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
( −4; 2 ) .
( −1; 2) .
( −2; −1) .
( 2; 4 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
y = g ( x ) = −2 f ( x ) + 2019
Xét
.
 x = −2
 x = −1
′
g ( x) = 0 ⇔ 
x = 2

′
g ′ ( x ) = ( −2 f ( x ) + 2019 ) = −2 f ′ ( x )
x = 4 .
Ta có

,
Dựa vào bảng xét dấu của

f ′( x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số
Câu 9.

y = g ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

( - 1; 0)

B.

y = f ( x)

y = f ( 3 - x 2 ) + 2018

( 2; 3)

:

nghịch biến trên khoảng

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số

A.

g′ ( x )

, ta có bảng xét dấu của

C.

( −1; 2 ) .

. Biết đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( - 2; - 1)

D.

( 0; 1)

Lời giải

Chọn A
éf ( 3 - x 2 ) + 2018ù¢=- 2 x. f ¢( 3 - x 2 )
ê
ú
û
Ta có ë
.
éx = 0

éx = 0
ê
ê
ê3 - x 2 =- 6 êx = ±3
2
ê
- 2 x. f ¢( 3 - x ) = 0 Û ê
Û ê
2
êx = ±2
3
x
=1
ê
ê
ê
êx = ±1
2
ê
ë
ë3 - x = 2
.
Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho

22


Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trờn
x

- Ơ

- 3

- 2

( - 1; 0) .
-1

1

0

+Ơ

3

2

f Â( 3 - x 2 )

- 2 xf ¢( 3 - x 2 )

Câu 10.

éx = 0
éx = 0
ê 0
ê
2

ê
+
+±30
3 - x =-+6 0 êx =
2
ê
ê
- 2 x. f ¢( 3 - x ) = 0 Û ê
Û
2
ê
ê3 - x =- 1 êx = ±2
ê
êx = ±1
2
ê
ë
ë3 - x = 2

-

-

+

0

0

0

+

0

-

0

+

0

-

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức

f ( 0) = 0

và đồ thị hàm số

y = f ′( x)

0
f ( x)

0

+

0

0

-

0

-

+

có đạo hàm trên ¡ . Biết

như hình sau.

g ( x ) = 4 f ( x ) + x2
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( 4; +∞ ) .
( 0; 4 ) .
( −∞; −2 ) .
A.
B.
C.

D.

( −2; 0 ) .

Lời giải
Chọn B

h ( x ) = 4 f ( x ) + x2
Xét hàm số
trên ¡ .
f ( x)
h ( x)
h ( 0) = 4 f ( 0) = 0
Vì
là hàm số đa thức nên
cũng là hàm số đa thức và
.
1
h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x
h′ ( x ) = 4 f ′ ( x ) + 2 x
2 .
Ta có
. Do đó

23


Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

y = f ′( x)

và đường thẳng

y=−

1
x
2 , ta có

h′ ( x ) = 0 ⇔ x ∈ { −2;0; 4}
Suy ra bảng biến thiên của hàm số

h ( x)

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số

như sau:

g ( x) = h ( x)

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số
Câu 11.

g ( x)

như sau:

đồng biến trên khoảng

( 0; 4 ) .

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y = f ′( x ) cho
như hình vẽ

g ( x ) = 2 f ( x − 1 ) − x 2 + 2 x + 2020
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
A. (0;1) .
B. ( −3;1) .
C. (1;3) .
D. ( −2;0) .
Lời giải

24


Chọn A
Ta có đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f ′( x ) tại các điểm x = −1; x = 1; x = 3 như hình vẽ
sau:

 x < −1
 −1 < x < 1
f ′( x) > x ⇔ 
f ′( x) < x ⇔ 
1 < x < 3 và
x > 3
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có
.
2
g ( x) = 2 f ( 1 − x ) − x + 2 x + 2020
+ Trường hợp 1: x − 1 < 0 ⇔ x < 1 , khi đó ta có
.
g ′( x) = −2 f ′ ( 1 − x ) + 2(1 − x )
Ta có

.
 −1 < 1 − x < 1 0 < x < 2
g ′( x) > 0 ⇔ −2 f ′ ( 1 − x ) + 2(1 − x) > 0 ⇔ f ′ ( 1 − x ) < 1 − x ⇔ 
⇔
1 − x > 3
 x < −2 .
0 < x < 1
g ′( x) > 0 ⇔ 
 x < −2 .
Kết hợp điều kiện ta có

g ( x) = 2 f ( x − 1) − x 2 + 2 x + 2020
+ Trường hợp 2: x − 1 > 0 ⇔ x > 1 , khi đó ta có
.
g ′( x) = 2 f ′ ( x − 1) − 2( x − 1)
 x − 1 < −1
x < 0
g ′( x) > 0 ⇔ 2 f ′ ( x − 1) − 2( x − 1) > 0 ⇔ f ′ ( x − 1) > x − 1 ⇔ 
⇔
1 < x − 1 < 3
2 < x < 4 .
Kết hợp điều kiện ta có g ′( x) > 0 ⇔ 2 < x < 4 .
Vậy hàm số
Câu 12.

g ( x) = 2 f ( x − 1 ) − x 2 + 2 x + 2020

đồng biến trên khoảng (0;1) .

(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số

g ( x ) = f ( 3x + 1) + 9 x 3 +

A.

( −1;1) .

B.

f ′( x)

có đồ thị như hình bên. Hàm số

9 2
x
2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2;0 ) .

( −∞;0 ) .

C.
Lời giải

D.

( 1;+∞ ) .
25