Biến đổi fourier và hàm cực đại hardy littlewood

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÙI THỊ NHƯ

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CỰC ĐẠI
HARDY-LITTLEWOOD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định, năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÙI THỊ NHƯ

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ HÀM CỰC ĐẠI
HARDY-LITTLEWOOD

Chuyên ngành : Tốn giải tích
Mã số
: 8460102

Người hướng dẫn: PGS.TS. LƯƠNG ĐĂNG KỲ

Bình Định, năm 2020


Mục lục

Lời nói đầu

1

Một số ký hiệu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Không gian Lp (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
6
10

2 Biến đổi Fourier trên các không gian L1 (Rn ) và L2 (Rn )
2.1 Biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . .
2.2 Biến đổi Fourier trên không gian L2 (Rn ) . . . . . . . . .
2.2.1 Biến đổi Fourier trên lớp Schwartz S(Rn ) . . . . .
2.2.2 Biến đổi Fourier trên không gian L2 (Rn ) . . . . .
2.3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong giải phương trình vi

.
.
.
.
.

13
13
24
24
30
31

3 Hàm cực đại Hardy-Littlewood
3.1 Định lý nội suy Marcinkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hàm cực đại Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35
38
47

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

. . .
. . .
. . .
. . .

phân

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


Lời mở đầu
Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày một số vấn đề trong giải tích thực,
cụ thể là trình bày về phép biến đổi Fourier, một số tính chất của phép biến đổi

Fourier và phép biến đổi fourier ngược, hàm cực đại Hardy-Littlewood, phân hoạch
Calderón-Zygmund và một số tính chất của chúng.
Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học ví dụ như trong vật lý, số học, xử
lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã,... và rất nhiều lĩnh vực khác. Biến đổi Fourier
thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần
số. Sự ứng dụng rộng rãi của biến đổi Fourier bắt nguồn từ những tính chất hữu dụng
như tính tuyến tính, tồn tại nghịch đảo...
Hàm cực đại Hardy-Littlewood là một trong những toán tử cơ bản nhất trong Giải
tích thực với nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác. Phân hoạch Calderón-Zygmund
là một kết quả nổi tiếng, đóng vai trị nền tảng trong Giải tích Fourier, Giải tích điều
hịa và tích phân kỳ dị. Phân hoạch này cũng được xem là một hệ quả của tính bị chặn
của hàm cực đại Hardy-Littlewood.
Luận văn gồm có ba chương, cụ thể như sau:
Chương 1. Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm các
định nghĩa, tính chất về khơng gian độ đo, khơng gian định chuẩn, tích phân Lebesgue
và nhắc lại một số định lý đã biết như định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, bổ đề phủ
Vitali, định lý Fubini, bt ng thc Tchebychev, bt ng thc Hăolder,. . . để bổ trợ
cho quá trình chứng minh các kết quả được nêu trong đề tài.
Chương 2. Trong chương này, chúng tơi trình bày phép biến đổi Fourier trên khơng
gian L1 (Rn ) và sự mở rộng định nghĩa trên không gian các hàm thuộc lớp Schwwartz
S(Rn ), không gian L2 (Rn ). Các tính chất của phép biến đổi Fourier và phép biến đổi
Fourier ngược cũng được trình bày nhằm cung cấp những sự kiện cơ bản về toán tử
này.
Chương 3. Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày định nghĩa và một số tính chất
của hàm cực đại Hardy-Littlewood và phân hoạch Calderón-Zygmund.
Tơi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn và Khoa Toán đã giúp đỡ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn này. Luận văn được thực
hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lương Đăng Kỳ. Tôi xin chân thành cảm ơn sự
hướng dẫn tận tâm của Thầy trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành

2
Luận văn. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Thầy.
Nhân dịp này tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến q Thầy, Cơ trong Khoa
Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn đã dày công giảng dạy trong suốt 2 năm qua và tạo
điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn này.
Mặc dù có tơi đã cố gắng và nỗ lực trong q trình hồn thành luận văn, nhưng
chắc chắn luận văn vẫn cịn nhiều thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự góp ý của q
Thầy, Cơ và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Bình Định, ngày
tháng
năm 2020
Học viên thực hiện

Bùi Thị Như


Một số ký hiệu
N
R
C
K
R
Rn
ωn−1
Vn
χA
f +, f −
B(x, r)
|B(x, r)|

|Q|
∇f
· p
h.k.
h.k.n.
supp f
Cc∞ (Rn )
L1loc (Rn )

tập các số tự nhiên
tập các số thực
tập các số phức
R hoặc C
tập số thực mở rộng {−∞} ∪ R ∪ {∞},
không gian vectơ thực n-chiều
diện tích bề mặt của hình cầu đơn vị S n−1
thể tích hình cầu đơn vị trong Rn
hàm đặc trưng của tập A
phần dương, phần âm của hàm f
hình cầu tâm x, bán kính r
thể tích hình cầu B(x, r)
thể tích khối lập phương Q
gradient của hàm f
chuẩn Lp
hầu khắp
hầu khắp nơi
giá của hàm f
không gian các hàm khả vi liên tục có giá compact trong Rn
khơng gian các hàm khả tích Lebesgue trên tập con bị chặn của Rn

n

Ai

hợp rời nhau các tập A1 , A2 , . . . , An

i=1

M+ (X, A) tập các hàm đo được không âm trên không gian đo được (X, A)


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến thức liên quan đến Giải tích hàm
như khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính cũng như các khái
niệm và định lý cơ bản của Lý thuyết độ đo và tích phân. Một số tính chất của khơng
gian Lp cũng được đề cập trong chương nhằm cung cấp các sự kiện làm nền tảng cho
các chương sau.
Tài liệu tham khảo chính trong chương này là [1, 3, 9].

1.1

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. ([3]) Cho X là một khơng gian tuyến tính trên trường K. Một
chuẩn trên X là một hàm x → x từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau: với
mọix, y ∈ X, mọi α ∈ K
(i) x
0; x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0.
(ii) αx = |α| x ;

(iii) x + y
x + y .
Một khơng gian tuyến tính định chuẩn trên trường K là khơng gian tuyến tính cùng
với một chuẩn trên nó.
Định nghĩa 1.1.2. ([3]) Khơng gian Banach là khơng gian định chuẩn đầy đủ với
mêtric sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.3. ([3]) Dãy {xn }n trong không gian định chuẩn E được gọi là hội tụ
đến x0 ∈ E nếu lim xn − x0 = 0. Ký hiệu xn → x0 hoặc lim xn = x0 .
n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.1.4. ([3]) Cho hai khơng gian tuyến tính bất kỳ E và F . Một ánh xạ
A : E → F được gọi là một tốn tử tuyến tính hay ánh xạ tuyến tính nếu
(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ E;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ E và mọi α ∈ K.


5
Định lý 1.1.5. ([3]) Cho A là toán tử tuyến tính. khi đó các mệnh đề sau là tương
đương
(i) A liên tục trên E;
(ii) A liên tục tại x0 ∈ E;
(iii) A liên tục tại 0 ∈ E;
(iv) ∃M > 0, ∀x ∈ E : Ax
M x .
Định nghĩa 1.1.6. ([3]) Tốn tử tuyến tính A : E → F được gọi là bị chặn nếu tồn
tại M > 0 sao cho Ax
M x , ∀x ∈ E.
Định nghĩa 1.1.7. ([3]) Chuẩn của toán tử A được định nghĩa như sau

A = inf{M : Ax

M x }.

Định lý 1.1.8. ([3]) Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F thì
A = sup
x=0

Ax
= sup Ax = sup Ax .
x
x 1
x =1

Định lý 1.1.9. ([3]) Cho E là một khơng gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử M là
khơng gian con tuyến tính trù mật trong E, F là một không gian Banach. A : M → F
là ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
˜ = Ax với mọi x ∈ M và A˜ = A .
A˜ : E → F sao cho Ax
Chứng minh. Vì M trù mật trong E nên với mọi x ∈ E tồn tại dãy {xn }n ⊂ M hội tụ
đến x. Ta có
Axn − Axm = A(xn − xm )
A . xn − xm .
Suy ra {Axn }n là dãy Cauchy trong F . Vì F là khơng gian Banach nên tồn tại lim Axn .
n→∞

Ta định nghĩa
˜ = lim Axn .
Ax
n→∞

Định nghĩa trên phụ thuộc vào các dãy hội tụ đến x. Như vậy ta xác định được ánh
xạ A˜ : E → F . Tính duy nhất của A˜ là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh A˜ là một tốn
tử tuyến tính và A˜ = A .
Từ định nghĩa hàm A˜ ta có A˜ tuyến tính và
˜ = lim Axn .
Ax
n→∞

˜ n
Vì Ax

˜
A . xn . nên cho n → ∞ ta được Ax
A˜

A .

sup

˜ =
Ax

A .

n

. Suy ra
(1.1)

Mặt khác
A˜ =

sup
x∈E, x =1

˜
Ax

x∈M, x =1

Từ (1.1), (1.2) ta nhận được A˜ = A .

sup
x∈M, x =1

Ax = A .

(1.2)


6
Định nghĩa 1.1.10. ([3]) Cho X là không gian định chuẩn trên trường số K. Không
gian L(X, K) gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi
là không gian liên hợp hay đối ngẫu của X và thường được ký hiệu là X ∗ .
Không gian liên hợp X ∗ là Banach.
Định nghĩa 1.1.11. [3] Cho A : X → Y là một tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng
gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y . tốn tử liên hợpA∗ : Y ∗ → X ∗ của
A được xác định bởi đẳng thức
(A∗ y ∗ ) = y ∗ (Ax)

với mọi x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ . Nếu X, Y là hai không gian Hibert thì
x, A∗ y = Ax, y
với mọi x ∈ X, y ∈ Y .
Định lý 1.1.12. ([3]) Cho X < Y < Z là ba không gian định chuẩn, A, B ∈ L(X, Y )
và C ∈ L(Y, Z). Khi đó ta có
(i) (λA)∗ = λA∗ với mọi λ ∈ K;
(ii) (A + B)∗ = A ∗ +B ∗ ;
(iii) C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C ∗ .

1.2

Lý thuyết độ đo

Định nghĩa 1.2.1. ([1]) Một họ A các tập con của X được gọi là một đại số các tập
con của X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn
(i) X ∈ A,
(ii) A ∈ A ⇒ Ac = X \ A ∈ A,
(iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.
Định nghĩa 1.2.2. ([1]) Cho (X, A, µ) là một khơng gian độ đo. Khi đó
(i) A là một σ-đại số trên X, tức là A là một họ các tập con của X sao cho
(a) X ∈ A,
(b) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A,
(c) A1 , A2 , . . . ∈ A ⇒

An ∈ A.
n≥1

(ii) µ là một độ đo, nếu hàm tập hợp (gọi tắt là hàm tập) µ : A → [0, ∞] thỏa mãn

7
(a) µ(∅) = 0,
(b) µ là σ-cộng tính, tức là với mọi họ đếm được các phần tử đôi một rời nhau
(An )n≥1 ⊂ A,
∞

µ(

∞

An ) =

n=1

µ(An ).
n=1

Các phần tử của A được gọi là các tập đo được.
Định nghĩa 1.2.3. ([1]) Cho X = ∅ và a ∈ X. Khi đó hàm tập hợp δa : P(X) → R
được xác định bởi

1 nếu a ∈ A
δa =
0 nếu a ∈
/ A,
là một độ đo trên σ-đại số P(X) và được gọi là độ đo Dirac tại a.
Định nghĩa 1.2.4. ([1]) Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và C ⊂ P(X). Giả sử
γ : C → [0, ∞] là một hàm số không âm suy rộng.
(i) Hàm γ là đơn điệu nếu với A, B ∈ C, A ⊂ B thì
γ(A) ≤ γ(B).

(ii) Hàm γ là cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∩ B = ∅, A
γ(A

B ∈ C, thì

B) = γ(A) + γ(B).

(iii) Hàm γ là cộng tính hữu hạn nếu với A1 , A2 , . . . , An ∈ C, Ai ∩ Aj = ∅, i =
n

Ai ∈ C, thì

j,
i=1

n

γ

n

Ai

=

i=1

γ(Ai ).
i=1
∞

(iv) Hàm γ là σ-cộng tính nếu với (An )n≥1 ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅, i = j,

Ai ∈ C, thì
i=1

∞

γ

∞

Ai

=

i=1

γ(Ai ).
i=1

(v) Hàm γ là dưới cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∪ B ∈ C, thì
γ(A ∪ B) ≤ γ(A) + γ(B).
n

(vi) Hàm γ là dưới cộng tính hữu hạn nếu với A1 , A2 , . . . , An ∈ C,

Ai ∈ C, thì
i=1

n

γ

n

Ai
i=1

≤

γ(Ai ).
i=1


8
∞

(vii) Hàm γ là dưới σ-cộng tính nếu với (An )n≥1 ⊂ C,

Ai ∈ C, thì
i=1

∞

∞

γ

Ai

i=1

≤

γ(Ai ).
i=1

Định nghĩa 1.2.5. ([1]) Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và C ⊂ P(X). Một họ các
tập con của X được gọi là σ-đại số sinh bởi C, ký hiệu σ(C), nếu nó là một σ-đại số
nhỏ nhất chứa C.
Định nghĩa 1.2.6. ([1]) Cho (X, τ ) là một không gian tơpơ. Khi đó, σ-đại số sinh bởi
τ, σ(τ ), được gọi là σ-đại số Borel và được ký hiệu là B(X) hoặc BX .
Chú ý 1.2.7. Một tập X cùng với một họ τ các tập con của X, ký hiệu (X, τ ), được
gọi là một không gian tôpô nếu nó thỏa mãn
Xi ⊂ X ∈ τ ,

(i)
i∈I
n

Xi ⊂ X ∈ τ .

(ii)
i=1

Định nghĩa 1.2.8. ([1]) Cho (X, τ ) là một khơng gian tơpơ. Khi đó, (X, τ ) được gọi
là một không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X, x = y, tồn tại U, V ∈ τ sao
cho x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.2.9. ([1]) Cho (X, τ ) là một không gian tôpô Hausdorff. Khi đó, nếu µ
là một độ đo trên σ-đại số Borel BX , thì ta nói µ là một độ đo Borel trên X.

Định nghĩa 1.2.10. ([1]) Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo.
(i) Một tập A ⊂ X được gọi là tập khơng hay tập có độ đo 0 nếu A đo được và
µ(A) = 0.
(ii) Tập D ∈ A được gọi là có độ đo hữu hạn nếu µ(D) < ∞.
Khơng gian độ đo (X, A, µ) được gọi là một khơng gian độ đo hữu hạn, nếu X là
tập có độ đo hữu hạn, tức là µ(X) < ∞.
(iii) Một tập D được gọi là có độ đo σ-hữu hạn, nếu tồn tại (An )n≥1 ⊂ A sao cho


µ(An ) < ∞, n ≥ 1



An ⊃ D.
n≥1

Khơng gian độ đo (X, A, µ) được gọi là không gian độ đo σ-hữu hạn, nếu X là
tập có độ đo σ-hữu hạn, tức là tồn tại (An )n≥1 ⊂ A sao cho


µ(An ) < ∞, n ≥ 1

X =

µ(An ).
n≥1


9
Mệnh đề 1.2.11. ([1]) Cho µ : A → R là một độ đo trên không gian đo được (X, A).

Khi đó
(a) µ là đơn điệu và dưới σ-cộng tính.
(b) Nếu A, B ∈ A, A ⊂ B và µ(A) < ∞, thì
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
Định nghĩa 1.2.12. ([1]) Một khơng gian độ đo (X, A, µ) được gọi là đầy đủ nếu với
A là tập không và B ⊂ A thì B ∈ A và µ(B) = 0.
Định nghĩa 1.2.13. ([1]) Cho (X, A) là không gian đo được và A ∈ A. Một hàm số
thực suy rộng f : D → R được gọi là đo được trên A nếu
{x ∈ A : f (x) ≤ α} ∈ A
với mọi α ∈ R.
Ta nói f là một hàm số đo được nếu f đo được trên tồn bộ khơng gian X. Nếu
X = R và A = L là σ-đại số các tập Lebesgue-đo được, thì ta nói f là một hàm số
Lebesgue-đo được.
Ví dụ 1.2.14. Mọi hàm số liên tục f : R → R đều là hàm số Lebesgue-đo được.
Ví dụ 1.2.15. Cho (X, A) là một không gian đo được và A ⊂ X. Khi đó hàm đặc
trưng

1 nếu x ∈ A,
χA (x) =
0 nếu x ∈
/ A,
là hàm số đo được khi và chỉ khi A ∈ A.
Định lý 1.2.16 (Định lý Heine-Borel). ([4]) Một tập M là compact khi và chỉ khi
mọi họ tập mở {Gα }α phủ lên M , tức là Gα ⊃ M , đều có chứa một họ con hữu hạn
α

Gα1 , Gα2 , . . . , Gαm vẫn phủ được M,
m

Gαi ⊃ M.

i=1

Bổ đề 1.2.17 (Bổ đề phủ Vitali). ([7]) Giả sử B = {B1 , B2 , . . . , BN } là một tập hữu
hạn các hình cầu mở trong Rn . Khi đó, tồn tại một tập con rời rạc Bj1 , Bj2 , . . . , Bjk
của B sao cho
N

µ

k

B
=1

n

≤3

µ(Bji ).
i=1


10
Định lý 1.2.18 (Định lý Fubini). ([4]) Cho (X, A, µ), (Y, B, ν) là hai không gian
độ đo đầy đủ và f (x, y) là hàm khả tích trên X ì Y . Khi ú
f (x, y) d(àì)(x, y) =

f (x, y) d(y) dà(x) =

XìY

X

f (x, y) dà(x) d(y).

Y

Y

X

nh lý 1.2.19 (Định lý hội tụ bị chặn). ([1]) Cho fα : D → Rn , α
1, là một
dãy các hàm đo được trên A sao cho lim fα = f h.k.n. trên A. Giả sử tồn tại một
α→∞

hàm khả tích trên A là g : D →
đó

Rn ,

fα dµ =

lim

α→∞

1, |fα |

sao cho với mọi α

A

g h.k.n trên A. Khi

f dµ.
A

Khơng gian Lp(X)

1.3

Định nghĩa 1.3.1. ([9]) Cho 0 < p < ∞ và (X, A, µ) là một khơng gian độ đo. Giả
sử f : X → C là một hàm đo được. Khi đó ta định nghĩa chuẩn của f bởi
f

p

1
p

p

|f (x)| dµ(x)

:=
X

Khơng gian Lp (X) là tập
Lp (X) = {f : X → C đo được thỏa mãn f

p

< ∞}.

Nhận xét 1.3.2. Không gian Lp (X) thỏa mãn các tính chất của khơng gian tuyến
tính.
1. Với mỗi α ∈ R nếu f ∈ Lp (X) thì αf ∈ Lp (X);
2. Nếu f, g ∈ Lp (X) thì
|f + g|p

2p−1 (|f |p + |g|p ),

suy ra f + g ∈ Lp (X).
p < ∞. Khi đó Lp (X) là một không gian Banach.

Định lý 1.3.3. ([9]) Cho 1

Chứng minh. Giả sử {fn }n ⊂ Lp (X) là dãy Cauchy. Khơng mất tính tổng qt ta giả
sử fn+1 − fn p 2−n .
Ta định nghĩa dãy {gn }n như sau

 g =0
1
 gn = |f1 | + |f2 − f1 | + · · · + |fn − fn−1 , n
Khi đó
0

g1

g2

···

gn

···

.
2


11
và {gn }n bị chặn đều trên Lp vì
p

∞

gn pp

p

|gn | dx =

f1

p

fi − fi−1

+

X

( f1

p

p

+ 1)p .

i=2

Theo định lý hội tụ đơn điệu gnp → g p , g ∈ Lp (X) h.k.n và gn

gh.k.n. Với mỗi k

1,

k+1

|fn+k − fn |

|fi − fi−1 | = gn+k − gn → 0 h.k.n.
i=n+1

Do đó, fn → f hầu khắp nơi. Hơn nữa
n

|fn |

|f1 | +

|fi − fi−1 |

gn

g, với mọi n ∈ N.

i=2

Suy ra |f |

g hầu khắp nơi. Theo định lý hội tụ bị chặn,
|f − fn |p dx =

lim

n→∞

X

lim |f − fn |p dx = 0.

X n→∞

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.3.4. ([9]) Một hàm đo được f được gọi là bị chặn hầu khắp nơi nếu
tồn tại M

0 sao cho |f (x)| M hầu khắp x ∈ X. Tập tất cả các hàm số bị chặn
khắp nơi được ký hiệu bởi L∞ (X).
Với f ∈ L∞ (X), ta ký hiệu

Định lý 1.3.5. ([9]) ·
là Banach.

= inf{M

0 : |f (x)|

f

∞

M h.k.n.}.

∞

là một chuẩn trên L∞ (X). Hơn nữa không gian (L∞ (X), ·

∞)

Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra được · ∞ là một chuẩn trên L∞ (X). Giả sử {fn }n
là dãy Cauchy trong L∞ (X). Khi đó, |fn − fm |
fn − fm ∞ h.k.n. và do đó fn → f
h.k.n, trong đó f là hàm đo được và bị chặn.
Cho ε > 0. Chọn N = N (ε) sao cho fn − fm ∞ < ε khi m, n N . Vì
|f (x) − fn (x)| = lim |fm (x) − f (x)|
m→∞

nên fn − fm

∞

ε với mọi n

Định nghĩa 1.3.6. ([6]) Cho 1

N . Suy ra fn − fm
p

ε h.k.n. x ∈ X
∞→

0, khi n → ∞.

∞ và toán tử T xác định trên Lp (Rn ). Khi đó

(i) T là loại mạnh (p, p) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi f ∈ Lp (Rn ) ta
đều có
T f p C T f p.


12
(ii) T là loại yếu (p, p) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi λ > 0 và với mọi
f ∈ Lp (Rn ) ta đều có
C
f
λp

µ({x ∈ Rn : T f (x) > λ})

Định lý 1.3.7 (Bất đẳng thức Minkowski). ([9]) Nếu 1
f +g

f

p

p+

p
p.

∞ và f, g ∈ Lp thì

p

g p.

Định lý 1.3.8 (Bất ng thc Hă
older). ([9]) Cho (E, A, à) l mt khơng gian độ
đo. Khi đó, nếu f, g là các hàm số đo được xác định trên E, và p, q là hai số thực sao
1 1
cho 1 ≤ p ≤ ∞ và + = 1 thì
p q
1/p

|f g| dµ ≤

E

1/q

p

q

|f | dµ
E

|g| dµ

.

E

p
. Với mỗi q ∈ Lq (X), đặt Fg : Lp (X) → Rn
Định lý 1.3.9. ([8]) Cho p > 1 và q = p−1
bởi
f gdx.
Fg (f ) :=
X

Khi đó Fg là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Lp (X) với F − g = g .
Định lý 1.3.10 (F. Riesz). ([8]) Giả sử 1
p
g ∈ Lq (R), với q = p−1
sao cho

p < ∞ và φ ∈ (Lp (R))∗ . Khi đó, tồn tại

f (x)g(x)dx ∀f ∈ Lp (R).

φ(f ) = g, f :=
R


Chương 2
Biến đổi Fourier trên các không
gian L1(Rn) và L2(Rn)
Trong chương này, chúng tơi trình bày phép biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn )
và sự mở rộng định nghĩa trên không gian các hàm thuộc lớp Schwwartz S n , khơng
gian L2 (Rn ). Các tính chất của phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược
và ứng dụng của phép biến đổi Fourier trong việc giải phương trình vi phân cũng được
trình bày nhằm cung cấp những sự kiện cơ bản về toán tử này.
Tài liệu tham khảo chính trong chương này là [7, 6, 5].

2.1

Biến đổi Fourier trên không gian L1(Rn)

Định nghĩa 2.1.1. ([7]) Với hàm f ∈ L1 (Rn ). Ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm
f bởi
e−2πixξ f (x)dx.

F(f )(ξ) = f :=
Rn

Nhận xét 2.1.2. Biến đổi Fourier của hàm f thuộc lớp L1 (Rn ) hoàn toàn xác định
bởi
|f (x)e−2πixξ | = |f (x)|.
Tuy nhiên, qua biến bổi Fourier, f ∈ L1 (Rn ) nhưng f (ξ) có thể khơng thuộc lớp L1 (Rn ).
Chẳng hạn, với n = 1 xét hàm f : R → R, f (x) = χ − 1 , 1 (x). Ta có f ∈ L1 (R) và với
2 2


14
mỗi ξ = 0,
f (x)e−2πixξ dx

f (ξ) =

R
1/2

e−2πixξ dx

=
−1/2

1/2

1/2

cos(2πxξ)dx − i

=

sin(2πxξ)dx
−1/2

−1/2
1/2

cos(2πxξ)dx

=
−1/2

=

sin(πξ)
.
πξ

Nhưng f không thuộc L1 (R).
Mệnh đề 2.1.3. ([7]) Cho f, g ∈ L1 (Rn ), x, y, ξ ∈ Rn , α, a, b ∈ C, ε ∈ R\{0} và ký
hiệu τy f (x) = f (x − y), δa f (x) = f (ax). Khi đó
(i) F(af + bg) = aFf + bFg.
(ii) Fτy f (ξ) = e−2πiyξ f (ξ).
(iii) F(e2πixy f (x))(ξ) = τy f (ξ).
(iv) Fδε f (ξ) = |ε|−n δε−1 f (ξ).
(v) F∂ α f (ξ) = (2πiξ)α f (ξ).
(vi) F(f ∗ g)(ξ) = f (ξ)g(ξ).
(vii) F(f ◦ A)(ξ) = f (Aξ), với A là một ma trận trực giao và ξ là một vectơ cột.
(viii) f (x) = f (−ξ).
Chứng minh. Các mệnh đề (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi), (viii) được suy ra trực tiếp từ
định nghĩa.

(vii) Ta có
e−2πixξ f (Ax)dx.

F(f ◦ A)(ξ) =
Rn

Đặt y = Ax, khi đó
e−2πixξf (Ax) dx =
Rn

e−2πiA
Rn

−1 yξ

e−2πiA

f (y)dy =

T yξ

f (y)dy

Rn

e−2πiyAξ f (y)dy = f (Aξ).

=
Rn

Hệ quả 2.1.4. Biến đổi Fourier của một hàm tuần hoàn là tuần hoàn.


15
Chứng minh. Giả sử ξ, η ∈ Rn sao cho |ξ| = |η|. Khi đó tồn tại ma trận trực giao A
sao cho Aξ = η. Vì f là hàm tuần hồn nên ta có f = f ◦ A. Khi đó
Ff (η) = Ff (Aξ) = F(f ◦ A)(ξ) = Ff (ξ).

Định lý 2.1.5. ([7]) Nếu f (x), xf (x) ∈ L1 (Rn ), thì

d
f (ξ) tồn tại và
dξ

d
f (ξ) = (−2πi)F(xf (x)).
dξ
Chứng minh. Cố định ξ ∈ Rn . Với h ∈ Rn , h = 0, ta có
f (ξ + h) − f (ξ)
1
=
h
h

f (x) e−2πix(ξ+h) − e−2πixξ dx.
Rn

Ta cũng có
e−2πix(ξ+h) − e−2πixξ
dx

h→0
h
Rn
d
f (x) e−2πixξ dx
=
dξ
Rn

f (ξ + h) − f (ξ)
=
h→0
h
lim

f (x) lim

2πixf (x)e−2πixξ dx

=−
Rn

xf (x)e−2πixξ dx

= −2πi
Rn

= −2πixf (x).

Định lý 2.1.6. ([7]) Cho f ∈ L1 (Rn ). Khi đó Ff là liên tục đều.

Chứng minh. Vì
e−2πixξ [e−2πixh − 1]f (x)dx

f (ξ + h) − f (ξ) =
Rn

nên ta có
|e−2πixh − 1||f (x)|dx

f (ξ + h) − f (ξ)
Rn

|e−2πixh − 1||f (x)|dx + 2
|x| r

|f (x)|dx
|x|>r

|h||f (x)|dx + 2

2πr
|x| r

=: I1 + I2 .

|f (x)|dx
|x|>r


16

Ở đây ta đã sử dụng đánh giá sau
|eiθ − 1| =

(cos θ − 1)2 + sin2 θ =

√
2 − 2 cos θ = 2| sin(θ/2)|

|θ|.

Cố định ε > 0. Ta chọn r đủ lớn sao cho I2 < ε/2. Khi đó với r đã chọn, chọn |h| đủ
nhỏ sao cho I1 ε/2. Do đó Ff là liên tục đều.
Chú ý 2.1.7. Với µ là độ đo Borel trên khơng gian Rn , khi đó Ff được định nghĩa
bởi
e−2πixξ dµ(x).
Fµ(ξ) =
Rn

Định lý 2.1.8 (Bổ đề Riemann-Lebesgue). ([7]) Cho f ∈ L1 (Rn ). Khi đó
lim f (ξ) = 0.

|ξ|→∞

Chứng minh. Với n =1, xét hàm f (x) = χ(a,b) (x). Ta có,
b

e−2πixξ dx =

f (ξ) =
a

e−2πiaξ − e−2πibξ
→ 0, khi |ξ| → ∞.
2πiξ

Một cách tương tự, kết quả trên vẫn đúng khi f là hàm đặc trưng của hình chữ nhật
n chiều I = {x ∈ Rn : a1 x1 b1 , · · · , an xn bn }. Khi đó với mỗi ε > 0, chọn
ε
. Vì g(ξ) → 0
hàm g là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng sao cho f − g 1
2
ε
khi |ξ| → ∞ nên tồn tại M > 0 sao cho |g(ξ)| < với mọi |ξ| > M . Khi đó, với mọi
2
|ξ| > M ,
|g(ξ)| |f (ξ) − g(ξ)| + |g(ξ)|
f − g 1 + |g(ξ)| < ε.
Vậy
lim f (ξ) = 0.

|ξ|→∞

Định lý 2.1.8 đưa ra một điều kiện cần để một hàm số có biến đổi Fourier, tuy
nhiên điều ngược lại là khơng đúng. Xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.1.9. Với n = 1, xét hàm

1


, ξ > e,

g(ξ) = ln ξ

ξ ,
0 ξ
e

e,

g(ξ) = −g(−ξ), ξ < 0.
Khi đó g(ξ) là liên tục đều trên R và g(ξ) → 0 khi |ξ| → ∞. Giả sử rằng tồn tại
f ∈ L1 (R) sao cho f (ξ) = g(ξ),
∞

e−2πixξ f (x)dx.

g(ξ) =
−∞


17
Vì g(ξ) là hàm lẻ nên ta có
∞

∞

e2πixξ f (x)dx = i

g(ξ) =
−∞

∞

sin(2πxξ)f (x)dx =
−∞

sin(2πxξ)F (x)dx,
0

với F (x) = i[f (x) − f (−x)] ∈ L1 (R). Khi đó
N
e

g(ξ)
dξ =
ξ

Hơn nữa

b
a

∞

N

sin(2πxξ)
dξ dx.
ξ

F (x)

0

e

N

sin t
dt
t

C,

lim

N →∞

0

sin t
π
dt = .
t
2

Do đó tích phân ở vế phải của phương trình trên là hội tụ. Tuy nhiên
N

lim

N →∞

e

g(ξ)
dξ = lim
N →∞
ξ

N

dξ
= ∞.
ξ ln ξ

e

Vậy không tồn tại f ∈ L1 (R) sao cho f (ξ) = g(ξ).
Định lý 2.1.10. ([7]) Với mọi a > 0, ta có
2

Fe−a|2πx| (ξ) = (4πa)

−n
2

e

−|ξ|2
4a

.

Chứng minh. Ta có
∞

e−2πixξ e−a2π

2 x2

∞

iξ 2

e−a(2πx+ 2a ) e

dx =

−∞

−ξ2
4a

dx

−∞
∞+iξ/(2a)

1 − ξ2
=
e 4a

2π
1 − ξ2
=
e 4a
2π
= (4πa)

−1
2

−∞+iξ/(2a)
∞
−∞

e

−ξ2
4a

e−2πixξ e−a|2πx| dx = (4πa)

.

−n
2

e

Rn

Bổ đề 2.1.11. ([7]) Với mọi γ > 0,
1
e−γ = √
π

∞
0

2

e−πy dy

π/a

Do đó
2

2

e−ax dx

2
e−n −γ
√ e 4η dη.
η

−|ξ|2
4a

.

18
Chứng minh. Đặt η = γσ 2 , khi đó
1
√ eγ
π

∞
0

√
2
2 γ
e−n −γ
4η
√ e dη = √
η
π
√
2 γ
= √
π
√
γ
=√
π

∞

1

2

1

2

e−γ(σ− 2σ ) dσ
0
∞

1
dσ
2σ 2
1
1+ 2
2σ

e−γ(σ− 2σ )
0
∞

1

2

e−γ(σ− 2σ )
0

dσ.

1
, khi đó
2σ
√
√
γ ∞ −γ(σ− 1 )2
γ ∞ −γu2
1
2σ
√
1 + 2 dσ = √
e
e
du.
2σ
π 0
π −∞
√
γ ∞ −γu2
−πx2
√
e
dx = 1. Suy ra
e
du = 1.
Mặt khác ta có
π −∞
R

Vậy
∞ −n −γ 2
e
1
e−γ = √
√ e 4η dη.
η
π 0
Đặt u = σ −

Định lý 2.1.12. ([7]) Với mọi a > 0, ta có
−a|2πx|

F(e

cn a

)(ξ) =

(a2 + |ξ|2 )

n+1
2

Γ( n+1
)
2

, cn =

π

n+1
2

.

Chứng minh. Ta có
ξ

e−2πixξ e−a|2πx| dx = (a|2π|)−n

F(e−a|2πx| )(ξ) =

e−ix a e−|x| dx.

Rn

Rn

Theo Bổ đề 2.1.11 ta có
e

−ixt −|x|

e

dx =

Rn

e

1
√
π

−ixt

Rn

1
=√
π
1
=√
π
n

=2 π

∞
0
∞
0

∞
0

2

e−n −|x|
√ e 4η dη dx
η

−n

−|x|2
e
e−ixt e 4η dx dη
√
η
Rn
−n
n
e
2
√ (4πη) 2 e−η|t| dη
η

∞

n−1
2

2

e−η(1+|t| ) η

n−1
2

0

= 2n π

n−1
2

1 + |t|2

dη

∞

− n+1
2

e−ζ ζ

n+1
−1
2

0

= 2n π
Do đó
F(e−a|2πx| )(ξ) =

n−1

2

Γ

n+1
2

(a|2π|)−n (2π)n cn
(1 +

n+1
| aξ |2 ) 2

1
(1 + |t|2 )
=

n+1
2

.

cn a
(a2

+ |ξ|2 )

n+1
2

.

dζ


19
Định lý 2.1.13. ([7]) Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì
f (ξ)g(ξ)dξ =

f (x)g(x)dx.

Rn

Rn

Chứng minh. Áp dụng Định lý Fubini, ta được
f (x)e−2πixξ dxg(ξ)dξ

f (ξ)g(ξ)dξ =
Rn

Rn

=

Rn

g(ξ)e−2πiξx dξdx

f (x)

Rn

Rn

f (x)g(x)dx.

=
Rn

Với a > 0, ta ký hiệu
W (ξ, a) = (4πa)

−n
2

cn a

|ξ|2

e− 4a , P (ξ, a) =

(a2 + |ξ|2 )

n+1
2

.

Định lý 2.1.14. ([7]) Nếu f, Φ ∈ L1 (Rn ), ϕ = Φ và ϕε (x) = ε−n ϕ( xε ), thì
e2πixξ Φ(εξ)f (ξ)dξ =

Rn

ϕε (y − x, ε)f (y)dy
Rn

với mọi ε > 0. Hơn nữa,
e2πixξ e−ε|2πξ| f (ξ) =

P (y − x, ε)f (y)dy
Rn

Rn

và
2

e2πixξ e−ε|2πξ| f (ξ) =

W (y − x, ε)f (y)dy.
Rn

Rn

Chứng minh. Từ (iii) và (iv) của Mệnh đề 2.1.3 ta có
Fe2πixξ Φ(εξ)(y) = ϕ (y − x).
Hơn nữa, theo Định lý 2.1.13 ta có
e2πixξ Φ(εξ)f (ξ)dξ =
Rn

Fe2πixξ Φ(εξ)f (y).

Rn

Vậy
e2πixξ Φ(εξ)f (ξ)dξ =
Rn

Bổ đề 2.1.15. ([7])

(i)

W (x, ε)dx = 1 với mọi ε > 0.
Rn

(ii)

P (x, ε)dx = 1 với mọi ε > 0.
Rn

ϕε (y − x, ε)f (y)dy.
Rn


20
Chứng minh. (i) Ta có
n

(4π)− 2 e−

W (x, 1)dx =
Rn

|x|2
4

n

n

2

2

(4π)− 2 e−π|y| 2n π 2 dy =

dx =

Rn

Rn

e−π|y| dy = 1.
Rn

Bằng cách đổi biến ta suy ra
n

(4πε)− 2 e−

W (x, ε)dx =
Rn

|x|2
4ε

dx =

Rn

W (x, 1)dx.
Rn

(ii) Bằng cách đổi biến, ta có
cn ε

P (x, ε)dx =
Rn

Rn

(ε2 + |x|2 )

n+1
2

dx =

P (x, 1)dx.
Rn

Do đó, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp ε = 1.

Ta có
1
P (x, 1)dx = cn
n+1 dx.
Rn
Rn (1 + |x|2 ) 2
x
Với x = 0, đặt r = |x|, x = , S n−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1}. Khi đó
r
∞
1
1
n−1
dx
=
dr
n+1
n+1 dx r
2
2
n
n−1
2
2
(1 + r )
R (1 + |x| )
0
S
∞
rn−1

= ωn−1
n+1 dr.
(1 + r2 ) 2
0
Đặt r = tan θ, khi đó ta có
∞

ωn−1
0

Mặt khác

π
2

rn−1
(1 + r2 )

n+1
2

dr = ωn−1

sinn−1 θdθ =

0

ωn
.
2

1
ωn
=
nên
cn
2
1

P (x, 1)dx = cn
Rn

Rn

(1 + |x|2 )

n+1
2

dx = 1.

p<∞
Định lý 2.1.16. ([7]) Cho ϕ ∈ L1 (Rn ), Rn ϕ(x)dx = 1 và f ∈ Lp (Rn ), 1
x
n
∞
n
−n
hoặc f ∈ C0 (R ) ⊂ L (R ) .Với mọi ε > 0, ta ký hiệu ϕε (x) = ε ϕ( ε ). Khi đó
f ∗ ϕε − f

p

→ 0, khi ε → 0.

Hơn nữa, tích phân Poisson của f là
P (x − y, ε)f (y)dy

u(x, ε) =
Rn

và tích phân Gauss-Weierstrass của f là
W (x − y, ε)f (y)dy

s(x, ε) =
R

lần lượt hội tụ đến f khi ε → 0.


21
Chứng minh. Ta có

Rn

y
dy =
ε

ε−n ϕ

ϕε (y)dy =
Rn

ϕ(y)dy = 1.
Rn

Do đó
(f ∗ ϕε )(x) − f (x) =

[f (x − y) − f (x)]ϕε (y)dy.
Rn

Theo bất đẳng thức Minkowski’s ta có,
f ∗ ϕε − f

f (x − y) − f (x)

p

Rn

p

f (x − εy) − f (x)

=
Rn

ε−n |ϕ

p

y
dy
ε

|ϕ(y)|dy.

Với f ∈ Lp (Rn ), 1
p < ∞, đặt ∆f (t) = f (x − t) − f (x) p . Ta sẽ chứng minh
∆f (t) → 0 khi t → 0.
Với f1 ∈ C0∞ (Rn ), khi đó f1 là liên tục đều nên ta có f1 (x − t) → f1 (x) khi t → 0.
Hơn nữa, vì C0∞ (Rn ) trù mật trong Lp (Rn ) nên với mọi σ > 0, ta có thể viết f = f1 +f2 ,
với f2
σ. Khi đó, ∆f (t) ∆f1 (t)+∆f2 (t) với ∆f1 (t) → 0 khi t → 0 và ∆f2 (t) 2σ.
Suy ra,
∆f (t) → 0 khi t → 0.
Với p = ∞ và f ∈ C0 (Rn ), lập luận tương tự ta có
lim f ∗ ϕε − f

ε→0

p

lim

ε→0

∆f (εy)|ϕ(y)|dy =
Rn

lim ∆f (εy)|ϕ(y)|dy = 0.

Rn ε→0

ϕ(x)dx = 0 và f ∈ Lp (Rn ), 1

Hệ quả 2.1.17. Cho ϕ ∈ L1 (Rn ),

p < ∞ hoặc

Rn

f ∈ C0 (Rn ) ⊂ L∞ (Rn ), khi đó

f ∗ ϕε

p

→ 0 khi ε → 0.

Chứng minh. Ta có
(f ∗ ϕε )(x) = (f ∗ ϕε )(x) − f (x).0 = (f ∗ ϕε )(x) − f (x)

ϕε (y)dy
Rn

[f (x − y) − f (x)]ϕε (y)dy.

=

Rn

Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.1.16 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1.18. Giả sử ϕ ∈ L1 (Rn ),

ϕ(x)dx = 1, với mọi ε > 0 ta ký hiệu
Rn

ϕε (x) = ε−n ϕ( xε ). Cho f (x) ∈ L∞ (Rn ) liên tục tại {0}, khi đó
lim

ε→0

f (x)ϕε (x)dx = f (0).
Rn


22
f (x)ϕε (x)dx − f (0) =

Chứng minh. Vì

(f (x) − f (0)ϕε (x))dx,

Rn

Rn

nên khơng mất tính tổng qt, giả sử f (0) = 0. Vì f liên tục tại {0} nên với mọi η > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho

η
,
|f (x)| <
ϕ 1
với |x| < δ. Ta có

ϕ(x)dx

ϕ 1 , suy ra

Rn

η
ϕ
η
ϕ

f (x)ϕε (x)dx
Rn

|ϕε (x)|dx + f
|x|<δ

1

ϕ

1

+ f

∞

1

=η+ f

∞

∞

|ϕ (x)|dx
|x| δ

|ϕ(y)|dy
|y| δ

|ϕ(y)|dy.
δ
ε

|y|

Hơn nữa,
|ϕ(y)|dy → 0 khi ε → 0.
|y|

δ
ε

Do đó
lim

ε→0

f (x)ϕε (x)dx = f (0).
Rn

Định lý 2.1.19. ([7]) Cho f ∈ L1 (Rn ) và f
f (0) =

0. Nếu f liên tục tại 0 thì
f (ξ)dξ.

Rn

Chứng minh. Theo Định lý 2.1.14, ta có
e−2πε|ξ| f (ξ)dξ =

P (y, ε)f (y)dy.
Rn

Rn

Hơn nữa theo Bổ đề 2.1.15, với mọi δ > 0 ta có
P (y, ε)f (y)dy − f (0) =
Rn

P (y, ε)[f (y) − f (0)]dy
Rn

P (y, ε)[f (y) − f (0)]dy +
|y|<δ

P (y, ε)[f (y) − f (0)]dy
|y| δ

:= I1 + I2 .
Vì f liên tục tại 0 nên với mọi σ > 0, ta chọn δ đủ nhỏ sao cho
|f (y) − f (0)|
Do đó, theo Bổ đề 2.1.15, suy ra I1

σ.

σ, với |y| < δ.