Giải toán xác định số hạng tổng quát của dãy bằng phương pháp sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VĂN THẠCH

GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG
QUÁT CỦA DÃY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VĂN THẠCH

GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG
QUÁT CỦA DÃY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Chuyên ngành
Mã số

: Phương pháp toán sơ cấp
: 8460113

Người hướng dẫn: PGS.TS. ĐINH CÔNG HƯỚNG

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo tính trung thực, chính xác.
Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020
Học viên

Đăng Văn Thạch


Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Khái niệm và một số tính chất của sai phân . . . . . . . .

3

1.2

Khái niệm và một số tính chất của sai phân ngược . . . . .

9

1.3

Tính tổng bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . .

10

1.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA
DÃY
2.1

2.2

2.3

21

Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 21
2.1.1

Phương pháp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Phương pháp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần nhất với
hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1

Phương pháp sử dụng định lý Caley-Hamilton . . .

24

2.2.2

Phương pháp tính lũy thừa của Ma trận Jordon . .

33

Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng . . .

35

2.3.1

Nghiệm tổng qt của phương trình sai phân tuyến
tính cấp cao thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . .

35


2.3.2

Nghiệm tổng qt của phương trình sai phân tuyến
tính cấp cao không thuần nhất . . . . . . . . . . .

3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

38
44

3.1

Xác định số hạng tổng quát của dãy số . . . . . . . . . . .

44

3.2

Xác định số hạng tổng quát của dãy véc tơ . . . . . . . . .

50

Kết luận

54


Một số kí hiệu
• N: Tập các số tự nhiên
• N˚ : Tập các số tự nhiên khác 0
• Z: Tập các số nguyên
• Z` : Tập các số nguyên dương
• R: Tập các số thực
• AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A


1

Mở đầu
Bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số là một trong những bài
toán thú vị và khó, thường xuất hiện trong chương trình tốn Trung học
phổ thơng. Để giải quyết bài tốn xác định số hạng tổng quát của dãy số,
người ta thường sử dụng các phương pháp truyền thống như quy nạp toán
học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số, sử dụng các tính chất
của số phức,... Tuy nhiên, một câu hỏi thường đặt ra đối với bài toán xác
định số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp quy nạp là: “Làm
sao biết được công thức tổng quát của dãy số đó?”, “Làm sao có thể sáng
tác được một hệ thống bài tập hay cho học sinh?”.
Luận văn này sẽ cung cấp câu trả lời cho các câu hỏi trên.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu việc giải bài toán
xác định số hạng tổng quát của dãy số và dãy véc tơ bằng phương pháp
sai phân. Chúng tôi sẽ hệ thống và làm rõ một số nội dung trong các tài
liệu tham khảo r1s, r2s, r3s, r4s. Ngoài mục lục, mở đầu và kết luận, luận

văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Trình bày khái niệm và một số tính chất của sai phân, sai
phân ngược, tính tổng bằng phương pháp sai phân.
Chương 2. Trình bày phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
sai phân tuyến tính.
Chương 3. Trình bày một số dạng tốn tìm số hạng tổng quát của dãy
số và dãy véc tơ.


2

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Đinh
Công Hướng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về sự
chỉ bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình thực
hiện luận văn.
Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên
cạnh những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân
thành của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020
Học viên

Đăng Văn Thạch


3

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN

BỊ
1.1

Khái niệm và một số tính chất của sai
phân

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f : R Ñ R là một hàm số cho trước. Ta gọi
sai phân cấp một của hàm f là đại lượng
∆f pxq “ f px ` 1q ´ f pxq .
Giả sử với n ą 1 ta định nghĩa sai phân cấp n ´ 1 của hàm f. Khi đó sai
phân cấp n của hàm f được định nghĩa như sau
`
˘
∆n f pxq “ ∆ ∆n´1 f pxq , n ě 1, ∆0 f pxq :“ f pxq .

Định lý 1.1.1. a. Sai phân của hằng số bằng 0.
b. Sai phân mọi cấp là tốn tử tuyến tính.
c.

n

pxn q “ n!,

m

pxn q “ 0, m ą n; m, nP Z.

Chứng minh. a. Sai phân của hằng số bằng 0.
Thật vậy, ta có

pC q “ C ´ C “ 0.


4

b. Ta chứng minh sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính bằng phương
pháp quy nạp.
+ Thật vậy, @f, g : R ÝÑ R, @α, β P R, @xP R, ta có
∆ pαf ` βg q pxq “ pαf ` βg q px ` 1q ´ pαf ` βg q pxq
“ αf px ` 1q ` βg px ` 1q ´ αf pxq ´ βg pxq
“ rαf px ` 1q ´ αf pxqs ` rβg px ` 1q ´ βg pxqs
“ α rf px ` 1q ´ f pxqs ` β rg px ` 1q ´ g pxqs
“ α∆ pf q pxq ` β∆ pg q pxq .

Do đó
∆ pαf ` βg q “ α∆ pf q ` β∆ pg q .
Vậy sai phân cấp một là toán tử tuyến tính.
n

+Giả sử

là tốn tử tuyến tính. Ta cần chứng minh

n`1

cũng là

tốn tử tuyến tính.
Thật vậy, @f, g : R Ñ R, @α, β P R, @xP R, ta có
n`1

pαf ` βg q pxq “

n

p

pαf ` βg q pxqq

pα

n

pf q pxq ` β

“α p

n

f pxqq ` β p

“

“α

n `1

pf q pxq ` β

n

pg q pxqq
n

n `1

(theo giả thiết quy nạp)

g pxqq

pg q pxq .

Do đó
n `1

pαf ` βg q “ α

n`1

f `β

n `1

g.

Vậy sai phân cấp n ` 1 cũng là tốn tử tuyến tính.
Do đó, theo ngun lý quy nạp ta có
c. Ta có
Giả sử

k

n

là tốn tử tuyến tính.

pxq “ px ` 1q ´ x “ 1.
pxk q “ k!, @k ď n.

Ta cần chứng minh

k `1

pxk`1 q “ pk ` 1q!.


5

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
k `1

pxk`1 q “

k

“

k

pxk`1 q

rpx ` 1qk`1 ´ xk`1 s
ff
«
kÿ
`1
k
Cki `1 xi ´ xk`1

“

« i “0
k

“

Ckk``11 xk`1 `

k
ÿ

ff

Cki `1 xi ´ xk`1

i “0

«
k

“

k
ÿ

ff

Cki `1 xi

k
ÿ

“

“

Cki `1

k

xi

i “0

i “0
k
ÿ

Cki `1

k ´i

`

i i

x

˘

k
ÿ

“

i “0
Cki `1 xk

Cki `1

pi!q

i“0

pvì với k ´ i ě 1 thì

pk ` 1q!
“
.pk!q “ pk ` 1q!.
k!pk ` 1 ´ k q!

“

k ´i

pi!q “ 0q

„

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có
n

pxn q “ n!.

Đặc biệt, với m ą n ta có
m

Vậy

m

pxn q “

m ´n

“

m ´n

n

pxn q

pn!q “ 0.

pxn q “ 0.

Hệ quả 1.1.1. Từ định nghĩa sai phân và Định lý 1.1.1, ta có các hệ quả
sau:
a.

n

pa.xn q “ an .n!.

b.

n`1

pxn q “ 0.

c. Nếu f pxq là một đa thức bậc n của x có dạng
f pxq “ a0 xn ` a1 xn´1 ` a2 xn´2 ` ... ` an ,


6

thì
n

pf pxqq “ a0 .n!.

Định lý 1.1.2.
a. Cơng thức sai phân từng phần
rf pxqg pxqs “ f pxq

b.

řn
x“m

g pxq ` g px ` 1q

f pxq “ f pn ` 1q ´ f pmq,

f pxq, @xP R.

m ă n.

Chứng minh.
a.

@xP R, ta có
pf g qpxq “ pf g qpx ` 1q ´ pf g qpxq
“ f px ` 1qg px ` 1q ´ f pxqg pxq
“ rf px ` 1q ´ f pxqsg px ` 1q ` f pxqg px ` 1q ´ f pxqg pxq
“ rf px ` 1q ´ f pxqsg px ` 1q ` f pxqrg px ` 1q ´ g pxqs
“

pf qpxqg px ` 1q ` pf qpxq

pg qpxq.

Hay
rf pxqg pxqs “ f pxq

g pxq ` g px ` 1q

f pxq.

b. Ta có
n
ÿ

f pxq “

x“m

n
ÿ

rf px ` 1q ´ f pxqs

x“m

“ f pm ` 1q ´ f pmq ` f pm ` 2q ´ f pm ` 1q`
` f pm ` 3q ´ f pm ` 2q ` ... ` f pn ` 1q ´ f pnq
“ f pn ` 1q ´ f pmq.

Vậy

n
ÿ
x“m

f pxq “ f pn ` 1q ´ f pmq, m ă n.


7

Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm số f : R Ñ R. Với n P N˚ ta gọi biểu thức
rf pxqspnq “ f pxqf px ´ 1qf px ´ 2q...f px ´ pn ´ 1qq

là biểu thức giai thừa của f pxq .
Ở đây ta xét dạng giai thừa quan trọng sau
pax ` bqpnq “ pax ` bqpapx ´ 1q` bqpapx ´ 2q` bq...papx ´pn ´ 1qq` bq, n P N˚ .

Đặc biệt, khi a “ 1, b “ 0 với n P N˚ ta có
xpnq “ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ pn ´ 1qq.
Nhận xét. Xuất phát từ công thức
xpn`1q “ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ nq “ px ´ nqxpnq , n P N˚ ,
ta có thể định nghĩa xpnq với n ď 0, như sau:
$
& xpnq “ 1 xpn`1q , n ă 0
x´n
% xp0q “ 1.
Từ định nghĩa mở rộng này ta có các tính chất sau:
Định lý 1.1.3.
1
.
px ` nqpnq

“ n.xpn´1q .

1. Với n P N˚ , xp´nq “
2. Với n P Z,
Chứng minh.

xpnq


8

1. Ta có

1
.xp´n`1q
“
x`n
„

1
“
.xp´n`2q
px ` nqpx ` n ´ 1q
„

1
“
.xp´n`3q
px ` nqpx ` n ´ 1qpx ` n ´ 2q
„

x

p´nq

“ ...
„

1
“
.xp0q
px ` nqpx ` n ´ 1qpx ` n ´ 2q...px ` n ´ pn ´ 1qq
1
“
.
px ` nqpnq

2. Xét trường hợp n P N˚ , ta có
xpnq “ px ` 1qpnq ´ xpnq
“ px ` 1qpx ` 1 ´ 1qpx ` 1 ´ 2q...px ` 1 ´ pn ´ 1qq
´ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ pn ´ 1qq
“ px ` 1qpxqpx ´ 1q...px ´ n ` 2q ´ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ n ` 1q
“ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ n ` 2qrx ` 1 ´ x ` n ´ 1s
“ xpx ´ 1qpx ´ 2q...px ´ n ` 2q.n “ xpn´1q .n.

Vậy n P N˚ ,

xpnq “ n.xpn´1q .

Mặt khác, áp dụng Tính chất 2, ta có

1
1
´
xp´nq “
px ` 1 ` nqpnq px ` nqpnq
1
1
“
´
rx ` pn ` 1qspx ` nq...px ` 2q px ` nq...px ` 2qpx ` 1q
„

1
1
1
“
´
px ` nq...px ` 2q x ` pn ` 1q x ` 1
´n
“
rx ` pn ` 1qs ...px ` 1q
´n
“
“ p´nq.xpp´nq´1q .n.
pn`1q
rx ` pn ` 1qs
Trường hợp n “ 0 là tầm thường. Từ đây ta suy ra điều phải chứng
minh.

9

1.2

Khái niệm và một số tính chất của sai
phân ngược

Trước tiên ta xét bài toán sau:
Xác định g pxq sao cho

g pxq “ f pxq, với f pxq là hàm đã biết. Nhận

xét rằng nếu g pxq là một lời giải của bài tốn trên thì g pxq ` C với C là
hằng số bất kỳ cũng là lời giải của nó.
´1

Ta kí hiệu g pxq ` C “

f pxq , C P R, và gọi

´1

f pxq là sai phân

ngược của f pxq .
Định lý dưới đây cho ta một số tính chất của sai phân ngược
Định lý 1.2.1.
´1

b.

´1

pf pxq ` g pxqq “

c.

´1

pkf pxqq “ k

d.

´1

0 “ C, C P R.

rf pxq

´1

´1

´1

f pxq `

g pxq ` C, C P R.

f pxq ` C, C P R.

g pxqs “ f pxq g pxq ´

´1

rg px ` 1q

f pxqs ` C, C P R.

Chứng minh.
´1

.

Với mọi hàm số f, g, @xP R, ta có

a.

a.

´1

0 “ C, C P R.

Thật vậy, với C là hằng số thì
b. Giả sử,
´1

f pxq “ F pxq ` C1 .

´1

g pxq “ Gpxq ` C2 .

Suy ra
F pxq “ f pxq ,
G pxq “ g pxq,

C “ 0 nên suy ra

´1

0 “ C.


10

pF pxq ` G pxqq “

F pxq `

G pxq “ f pxq ` g pxq .

Từ đó ta được,
´1

pf pxq ` g pxqq “ F pxq ` G pxq ` C1 ` C2
´1

“

´1

pf pxqq `

pg pxqq ` C.

c. Ta có
`

´1

k

˘
f pxq “ k

`

´1
´1

“k

f pxq

˘

f pxq

“ kf pxq .

Suy ra

´1

pkf pxqq “ k

´1

f pxq ` C, C P R.

d. Từ công thức sai phân từng phần
rf pxqg pxqs “ f pxq

g pxq ` g px ` 1q

f pxq.

Lấy sai phân ngược hai vế ta được
´1

rf pxqg pxqs “

´1

rf pxq

g pxq ` g px ` 1q

f pxqs,

do đó
f pxqg pxq “

´1

rf pxq

g pxq ` g px ` 1q

“

´1

rf pxq

g pxqs `

´1

f pxqs

rg px ` 1q

f pxqs.

Suy ra
´1

1.3

rf pxq

g pxqs “ f pxq g pxq ´

´1

rg px ` 1q

pf pxqs ` C, C P R.

Tính tổng bằng phương pháp sai phân

Trong tiểu mục này, ta sẽ sử dụng công thức .b. trong Định lý 1.1.2 để
ř
giải quyết bài tốn tính tổng. Giả sử ta phải tính tổng nk“1 ak .


11

Khi đó, ta tìm dãy txk u sao cho xk`1 ´ xk “ ak .
Tức là, ta tìm dãy txk u sao cho

xk “ ak .

Khi đó, ta có
n
ÿ

ak “

k “1

n
ÿ

xk

k “1

“ xn`1 ´ xn “ xk |n1 `1
“

´1

ak |n1 `1 .

Nhận xét rằng, để giải quyết bài tốn tính tổng bằng phương pháp sai
phân ta cần phải giải quyết tốt bài tốn tính sai phân ngược. Để thấy rõ
điều này, chúng tơi trình bày một số ví dụ ở tiểu mục 1.4.

1.4

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1.
a.

x “ px ` 1q ´ x “ 1.

b.

pax ` bq “ rapx ` 1q ` bs ´ pax ` bq “ a.
ˆ
˙
1
lgx “ lg px ` 1q ´ lgx “ lg 1 `
.
x

c.

Ví dụ 1.2.
a.
b.
c.
d.

ˆ
˙
1
1
sinx “ sinpx ` 1q ´ sinx “ 2sin cos x `
.
2
2
´
a¯
a

sinpax ` bq “ sinrapx ` 1q` bs´ sinpax ` bq “ 2sin cos ax ` b ` .
2
2
ˆ
˙
1
1
cosx “ cospx ` 1q ´ cosx “ ´2sin cos x `
.
2
2
´
a¯
ah
cospax`bq “ cosrapx`1q`bs´cospax`bq “ ´2sin sin ax ` b ` .
2
2

Ví dụ 1.3. Với n P N˚ ta có


12

ax
` C, C P R, 0 ă a ‰ 1.
a´1

a.

´1 x

b.

1
cospx ´ q
2 ` C, C P R.
´1
sinx “
1
´2sin
2

c.

1
sinpx ´ q
´1
2 ` C, C P R.
1 cosx “
1
2sin
2

d.

´1 pnq
1 x1

a “

pn`1q

x
“ 1
` C, C P R.
pn ` 1q

Ví dụ 1.4.
a.

xpnq “ px ` 1qpnq ´ xpnq “ nxpn´1q .

b.

pax ` bqpnq “ napax ` bqpn´1q .

Ví dụ 1.5. Với n P N˚ ta có
a.

b.

c.

´1

pnq

pax ` bq

pax ` bqpn`1q

` C, C P R.
“
pn ` 1qa

a
cospax ` b ´ q
2 ` C, C P R.
´1
sinpax ` bq “
a
´2sin
2
a
sinpax ` b ´ q
2 ` C, C P R.
´1
cospax ` bq “
a
2sin
2

Ví dụ 1.6. Tính các sai phân ngược sau:
a.

´1

px.2020x q .

b.

´1

xsinx .


13

a. Đặt
f pxq “ x,

g pxq “ 2020x .

Suy ra
f pxq “ 1,
2020x
g pxq “
2020 “
,
2019
2020x`1
2020.2020x
g px ` 1q “
“
.
2019
2019
´1

x

Từ đó, ta có
´1

Vậy
´1

„

x
2020x
´1 2020.2020
px.2020 q “ x
`C
´
2019
2019
2020x 2020 ´1
“x
´
2020x ` C
2019
2019
x.2020x 2020 2020x
“
´
.
`C
2019 ˆ 2019 2019
˙
2020x

2020
“
x´
` C, C P R.
2019
2019
x

2020x
px.2020 q “
2019
x

ˆ
˙
2020
x´
` C,
2019

b. Đặt
f pxq “ x,

g pxq “ sinx.

Suy ra
f pxq “ 1,
ˆ

˙

1
cos x ´
2
´1
g pxq “
sinx “
,
1
´2sin
2
ˆ
˙
1
cos x ` 1 ´
2
g px ` 1q “
.
1
´2sin
2

C P R.


14

Từ đó ta được
˙ fi
1
cos x ` 1 ´

—
2 ffi
´1 —
ffi ` C
–
fl
1
´2sin
2
»

ˆ

`
˘
1
cos
x
´
´1
2
xsinx “ x
´
1
´2sin
2
˙
ˆ
1
cos x ´

1
1
2
´
.
.sin pxq ` C
“x
1
1 2sin 1
2
´2sin
2sin
2
2
˙
ˆ
1
xcos x ´
sin pxq
2
“
´
` C, C P R.
1
1
2
2sin
´2sin
2
2

Vậy
ˆ
˙
1
xcos x ´
sin pxq
2
´1
´
` C,
xsinx “
1
1
2sin2
´2sin
2
2

C P R.

Ví dụ 1.7. Tính các tổng sau:
a. S1 “ 1.21 ` 2.22 ` 3.23 ` ... ` n.2n .
b. S2 “ 1! ` 2.2! ` 3!.3 ` ... ` n!n.
c. Sn “ 12 ` 42 ` ... ` p3n ´ 2q2 , n P N˚ .
a. Đặt k.2k “ x pk ` 1q ´ x pk q , pk “ 1; 2; 3; ...; nq , ta có
S1 “ x pn ` 1q ´ x p1q .
Ta tìm x pnq từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau
x pn ` 1q ´ x pnq “ n.2n .
Phương trình thuần nhất:

x pn ` 1q ´ x pnq “ 0.


15

Phương trình đặc trưng: k ´ 1 “ 0 hay k “ 1.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: x pnq “ C.
Tìm nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất dưới dạng
ppnq “ 2n pAn ` B q.
x
ppn ` 1q thay x
ppnq, x
ppn ` 1q vào phương trình khơng thuần nhất,
Tính x

so sánh các hệ số của n, ta được hệ phương trình:
#

A“1
2A ` B “ 0,

hay
#

A“1
B “ ´2

ppnq “ pn ´ 2q.2n ; xpnq “ x
ppnq ` xpnq “ C ` pn ´ 2q.2n .
x

Do đó
S1 “ x pn ` 1q ´ x p1q “ p2n ´ 2q .2n ` 2.

b. Đặt k!k “ xpk ` 1q ´ xpk q, pk “ 1; 2; 3; ...; nq, ta có
S2 “ x pn ` 1q ´ x p1q
ta tìm x pnq từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:
x pn ` 1q ´ x pnq “ n!n.
Phương trình thuần nhất: x pn ` 1q ´ x pnq “ 0.
Phương trình đặc trưng: k ´ 1 “ 0 hay k “ 1.
Nghiệm tổng quát của phương trình: x pnq “ C.
Ta thử tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất dưới
dạng
ppnq “ n!pAn ` B q.
x


16

ppn ` 1q thay x
ppnq, x
ppn ` 1q vào phương trình khơng thuần nhất,
Tính x

so sánh các hệ số của n, ta được hệ phương trình:
$
’
’
&A“0
A`B “0

’
’
% A “ 0,
hay
#

A“0
B“1

ppnq “ n!; x pnq “ x
p pnq ` x pnq “ C ` n!.
x

Do đó
S2 “ x pn ` 1q ´ x p1q “ pn ` 1q! ´ 1.
c. Ta có
Sn “ u1 ` u2 ` ... ` un
n
n
ÿ
ÿ
2
“
p3k ´ 2q “
p9k 2 ´ 12k ` 4q
k “1
n
ÿ

“

k “1

k “1
2

9k ´

n
ÿ

12k ` 4n “ 9

k “1

n
ÿ
k “1

2

k ´ 12

n
ÿ

k ` 4n

k “1

npn ` 1qp2n ` 1q

npn ` 1q
6n3 ´ 3n2 ´ n
´ 12
` 4n “
.
“9
6
2
2
Vậy

n
ÿ

6n3 ´ 3n2 ´ n
Sn “
p3k ´ 2q “
, n P N˚ .
2
k “1
2

Ví dụ 1.8. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi số có số hạng
tổng quát un “ n2 ` n, n P N˚ .


17

Ta có
Sn “ p12 ` 1q ` p22 ` 2q ` ... ` pn2 ` nq

n
n
ÿ
` 2
˘ ÿ
pk pk ` 1qq
“
k `k “
k “1
n ´
ÿ

pk ` 1q

“
“
“

Vậy

k “1

k “1
´1

p2q

n
ÿ

¯

´

´1

“

pk ` 1q

p2q

¯

k “1

pk ` 1qp2q |n1 `1 “

´1

pn ` 2qp2q ´

´1

p2qp2q

pn ` 2qp3q 2p3q
pn ` 2qpn ` 1qn
´
“

.
3
3
3

n
ÿ
` 2
˘ npn ` 1qpn ` 2q
k `k “
, n P N˚ .
Sn “
3
k “1

Ví dụ 1.9. Tính các tổng sau
a. Sn “ 12 ` 22 ` ... ` n2 , n P N˚ .
b. Sn “ 13 ` 23 ` ... ` n3 , n P N˚ .
a. Ta có
Sn “ 12 ` 22 ` ... ` n2
n
n
n
n ´
n
¯ ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ

p2q
2
pk pk ` 1qq ´
“
k “
k“
pk ` 1q
´
k p1q
k “1
n
ÿ

k “1

´

“
“

k “1
´1

pk `

´1

p2q

pk ` 1q

1qp2q |1n`1

´

k “1
n
ÿ

¯

k “1

´

´

k “1

´1 p1q

¯

k

k “1
k p1q |n1 `1

´1

pn ` 2qp2q ´ ´1 p2qp2q ´ ´1 pn ` 1qp1q ` ´1 p1qp2q
pn ` 2qpn ` 1qn pn ` 1qn npn ` 1qp2n ` 1q
´
“
.
“
3
2
6
“

´1

Vậy
Sn “

n
ÿ
k “1

k2 “

npn ` 1qp2n ` 1q
, n P N˚ .
6


18

b. Ta có

3

3

3

Sn “ 1 ` 2 ` ... ` n “

n
ÿ

k3.

k “1

Nhận xét, dùng định lý phép chia có dư ta phân tích đa thức
k 3 “ k pk ´ 1qpk ´ 2q ` 3k pk ´ 1q ` k.
Khi đó, ta có
Sn “

n
ÿ
k “1
n
ÿ

“

k pk ´ 1qpk ´ 2q ´
k p3q ` 3

´

k p2q `

´1 p3q

¯

k

k “1
´1 p3q n`1
k |1

“
`

n
ÿ
k “1

´

“

´

3k pk ´ 1q `

k “1

k “1
n
ÿ

“

n
ÿ

´1
´1

`3

`3
p3q

pn ` 1q

p1q

pn ` 1q

n
ÿ

k p1q
´

´

´1

p1q

p1q

´1 p2q

k

k “1
´1 p2q n`1
k |1

´

k

k “1

k “1
n
ÿ

´1

n

ÿ

p3q

p1q

¯

`
´
` 3

n
ÿ

¯

´

´1 p1q

¯

k

`

k “1
´1 p1q n`1
k |1

´1

p2q

pn ` 1q

´

´1

p1q

p2q

¯

¯

pn ` 1qp3q pn ` 1qp2q
pn ` 1qp4q
` 3.
`
“
4
3
2
pn ` 1qnpn ´ 1qpn ´ 2q 3pn ` 1qnpn ´ 1q pn ` 1qn
“
`
`

4
3
2
2
2
n pn ` 1q
“
.
4

Vậy
Sn “

n
ÿ
k “1

k3 “

n2 pn ` 1q2
, n P N˚ .
4

Ví dụ 1.10. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi số có số hạng
1
tổng quát un “ 2
, n P N˚ .
n `n
Ta có

19

Sn “ u1 ` u2 ` ... ` un
n
n
ÿ
ÿ
1
1
“
“
k 2 ` k k“1 k pk ` 1q
k “1
n
ÿ
1
“
p2q
k “1 pk ` 1q
˜
¸
n
ÿ
1
´1
“
pk ` 1qp2q
k “1
n

¯
´
ÿ
p2q
´1
pk ´ 1q
“
“

k “1
´1

pk ´ 1qp´2q |n1 `1

´1 p´2q

n

“

´

´1 p´2q

0

n
np´1q 0p´1q
´
“

.
“
´1
´1
n`1
Vậy
Sn “

n
ÿ

n
1
“
, n P N˚ .
2
k `k
n`1
k “1

Ví dụ 1.11. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi số có số hạng
1
tổng quát un “
, n P N˚ .
n pn ` 2q
Ta có

Sn “ u1 ` u2 ` ... ` un
n
n

ÿ
ÿ
i`1
1
“
“
i pi ` 2q i“1 i pi ` 1q pi ` 2q
i “1
n
n
ÿ
ÿ
1
1
“
`
pi ` 1q pi ` 2q i“1 i pi ` 1q pi ` 2q
i “1
“ S1 ` S2 .