TOÀN TẬP MIN MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI ( LUYỆN THI THPTQG )

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

THẦY LƯƠNG VĂN HUY

KHĨA LIVESTREAM
MƠN TỐN - LUYỆN THI
THPTQG 2022
LỚP LIVE 8+ TOÁN
(Chuẩn nhất – Sát nhất)

MIN MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
File siêu khủng
Dạng 1: Tìm m để max y  f  x   m  a
 ; 

 a  0 .

Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f  x   K ;
 ;  

Kiểm tra max  m  K , m  k  
TH1:

TH2:

K k
2
K k
2

min f  x   k  K  k  .
 ;  

m K  mk m K mk K k


.
2
2
2

 m  k  a
 m  a  k
 a. Để max y  a  

 m   a  k ; a  K  .
 ;  
m  K  a
m  a  K

 a  m  .

Cách 2: Xét trường hợp
 m  K  a
TH1: Max  m  K  
 m  K  m  k
 m  k  a
TH2: Max  m  k  
 m  k  m  K

Cách 3: Sử dụng đồ thị (khuyến khích nên làm – có 4 kĩ thuật đồ thị)
Cách 4: Xem ở video live ^_^
Cách 5: Sử dụng bđt trị tuyệt đối
Cách 6+7: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3
Cách 8: Sử dụng max g  x   max  m  k ; m  K  
 0;4

2m  k  K  K  k
2

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của
2

tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  x   m trên đoạn  0;4 bằng 9 .
A. 10 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 8 .

Lời giải
Từ đồ thị hàm số y  f  x   ax  bx  c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  2 là trục đối xứng, mà

2

f  0  5  f  4  5 . Suy ra: 1  f  x   5, x   0;4 .
Xét hàm số g  x   f  x   m , x   0; 4 .
Ta có: max g  x   max  m  1 ; m  5  .
0;4

Cách 1:
Dễ dàng nhận ra đây là trường hợp 1
Do vậy m  1  9;9  5  m  10; 4
Vậy tổng các giá trị nguyên của m là 10  4   6
Cách 2:
m  3
 m  1  m  5
m  3


   m  8  m  10 .
Trường hợp 1: 
g  x  9
 m  1  9  
max
0;4
  m  10
 m  3
 m 1  m  5

m  3



  m  4  m  4 .
Trường hợp 2: 
max g x  9
 m  5  9   m  14
 0;4  

Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của m là: 10  4   6 .
Cách 3: Dựa vào đồ thị

Từ đồ thị suy ra m  10; 4
Cách 4:
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
 m  10 k .tra m 5
TH1: m  1  9  

 m  10
m  8
m  4
k .tra m  5
TH2: m  5  9  

m  4
m


14


Vậy m  10; 4
Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số 3 - xem video live
Ta có max g  x   max  m  1 ; m  5 
0;4

Đồ thị tối giản (kỹ thuật đồ thị số 3)

Từ đó suy ra m  10; 4
Cách 6:Kỹ thuật đồ thị số 2 – xem video live
max g  x   max  m  1 ; m  5 
0;4

Đồ thị tối giản (đồ thị số 2)

Từ đó suy ra m  10; 4
Cách 7:
Ta có max g  x   max  m  1 ; m  5  

m 1  m  5  m  1 m  5

0;4

2

 m3 2

m  4
Từ bài ra ta có m  3  2  9 
 m  10
Từ đó suy ra m  10; 4

3
Ví dụ 2. Cho hàm số f  x   x  3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị

lớn nhất của hàm số y  f  sin x  1  m bằng 4. Tổng các phần tử của S bằng
A. 4.

B. 2.

C. 0.
Lời giải

D. 6.

Đặt t  sin x  1  t  0; 2   , khi đó y  f  sin x  1  m  f  t   m  t 3  3t  m .
Xét hàm số u  t   t 3  3t  m liên tục trên đoạn  0;2 có u  t   3t 2  3 .
t  1   0; 2 
.
u   t   0  3t 2  3  0  
t  1   0; 2
Ta có u  0  m; u 1  m  2; u  2  m  2  max u  x   m  2 , min u  x   m  2 .
 0;2

0;2

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
Khi đó max y  max  m  2 ; m  2  .
Cách 1:

  m  6
 m  2  4


TH1: 
   m  2  m  2 .
 m  2  m  2 

m  0
 m  2
 m  2  4


TH2: 
  m  6  m  2 .
 m  2  m  2 

m  0
Vậy S  2; 2 2  2  0 .

Cách 2: Dễ dàng nhận ra bài toán thỏa mãn trường hợp 1
Ta có K  2, k  2

 m  2  4; 4  2  m  2; 2
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  2; 2
Cách 4: Kỹ thuật đồ thị số 3
Ta có max y  max  m  2 ; m  2 
Đồ thị tối giản

-6

-2

2

6

Từ đó Suy ra m  2; 2 .
Cách 5: Kỹ thuật đồ thị số 2
Ta có max y  max  m  2 ; m  2 
Đồ thị tối giản

Từ đó Suy ra m  2; 2 .
Cách 6:
Ta có max y  max  m  2 ; m  2   m  2
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
m  2
Từ đó ta có m  2  4  
.
 m  2
Từ đó Suy ra m  2; 2 .
Ví dụ 3. Biết đồ thị hàm số

f  x   ax 4  bx2  c có đúng ba điểm chung với trục hoành và

f 1  1; f  1  0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương

trình f  x   m  12 nghiệm đúng x   0;2 . Số phần tử của S là
A. 10 .

B. 11 .

C. 11 .
Lời giải

D. 0 .

Đồ thị hàm số f  x   ax 4  bx2  c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với
trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra f  0  0  c  0  I  .
Ta có f   x   4ax3  2bx .
 f 1  1  a  b  c  1
Theo giả thiết 

 II  .
 4a  2b  0
 f  1  0
4
2
Từ  I  và  II  suy ra a  1; b  2; c  0  f  x   x  2x .

Xét hàm số y  x 4  2 x 2  m trên đoạn 0;2 .

 x  0   0; 2

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2 và có y  0  4 x3  4 x  0   x  1   0; 2 .

 x  1   0; 2 

 max y   m  8
 0;2 
Khi đó y  0   m ; y 1  m 1 ; y  2   m  8 .  
.
min
y


m

1
 0;2

Cách 1:
   m  8  12

 m  8   m  1
4
2
Theo bài ra x  2 x  m  12, x   0; 2   max   m  1 ;  m  8   12  
  m  1  12
  m  1  m  8
 

 4  m  20

7

 m  7
4  m 




2
2  4  m  11


.
7
 13  m  11   m  11
 2

7
m


2

Suy ra S có 11 phần tử.
Cách 2: Từ đồ thị

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

Suy ra 4  m  11
Cách 3: Đồ thị tối giản
max y  max  m  8 ; m  1 

Đồ thị tối giản
-13

-4

20

11

Từ đồ thị suy ra 4  m  11
Cách 4: đồ thị tối giản 2
Ta có đồ thị

Từ đồ thị suy ra 4  m  11
Cách 5:

max y  max  m  8 ; m  1  
Ta có

Ví dụ 4.

2m  7  9
2

2m  7  9
2

.

 12  2 m  7  15  4  m  11

x  2020
( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao
xm
cho max f  x   2020 .

Cho hàm số f  x  
0;2019 

A. 2 .

B. 1.

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Hàm số f  x  xác định với mọi x  m .
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
*Nếu m  2020 thì f  x   1, x  2020 không thỏa mãn u cầu bài tốn.
* Nếu m  2020 thì f  x  đơn điệu trên mỗi khoảng  ;m và  m;   nên yêu cầu bài toán
 m   0; 2019 
 m   0; 2019

.


 2020
max f  x   2020  
4039 
0;2019 
 max f  0  ; f  2019   2020
 max  m ; m  2019   2020



Cách 1:
Ta xét hai trường hợp sau:

 m  0

m

0;
2019




  m  2019
 2020

 2020
  m  1
 m  1 .
Trường hợp 1: 
 m

 4039
 4039

 2020
 2020  m  2019

 m  2019
m  0


  m  2019


4082419
 m   0; 2019 
 2021
 m
4082419
 4039

2020
 2020   
m
 2021 .
Trường hợp 2: 
2020
 m  2019
  m  4074341  2017
 2020
 

2020
 2020

 2020
 m

 2020
 m





Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Dựa vào đồ thị

Ví dụ 5.

Suy ra có 2 giá trị thỏa mãn
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

f  x 
A. 1.

x 2  2mx  4m
trên đoạn 1;1 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
x2
B. 

1

.
2

C.

1
.
2
Lời giải

D. 

3
.
2

Tập xác định D  R \ 2 .
Xét hàm số g  x  

x2  2mx  4m
trên đoạn  1;1 . Hàm số xác định và liên tục trên  1;1 .
x2

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
Ta có g   x  

x2  4 x

 x  2

2

 x  0   1;1
. g   x   0  x2  4 x  0  
.
 x  4  1;1

1
Ta có g  0  2m ; g  1  2m  1; g 1  2m  .
3
 max g  x   2m  1 ; min g  x   2 m .
 1;1

1;1

Suy ra max f  x   max  2m  1 ; 2m  .
1;1

Cách 1:

  2m  1  3

 m 1
 2m  1  2m

Ta có max f  x   3  
3.

1;1
m  

2
m

3



2
  2m  2m  1

 3
Suy ra S  1;   .
 2

1
Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng  .
2
Cách 2: Từ đồ thị

 3
Suy ra m  1;   .
 2
Cách 3: Bài toán thuộc vào trường hợp 1 nên ta có
 3 
2m  0  3;3  1  m   ;1
 2 

Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau.

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để max f
1;1

A. 20 .



B. 7 .



8  4 x  4x 2  1  m  5 .
C. 10 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn C
Đặt t  8  4 x  4 x 2  1 , h  x   f





8  4x  4 x2  1  m

Xét hàm số t  g  x   8  4 x  4 x 2  1 trên  1;1 .
g ' x  

2  4x

8  4 x  4x
Bảng biến thiên

2

0 x

1
2

Khi đó ta có t   1; 2 và h  x   f  t   m .
Dựa vào đồ thị ta có min h  x   f 1  m  m  2 , max h  x   f  1  m  m  8
 1;1

1;1

Cách 1:
Suy ra max h  x   max  m  2 , m  8  .
1;1

  m  2  5


  m  8  5
 m  7
max h  x   5  

 1;1
 m  3
 m  2  5

  m  8  5
Vậy tổng các giá trị của m bằng 10 .
Cách 2: Bài tốn nằm trong trường hợp 1 nên ta có
m  2  5;5  8  m  7; 3 .
Cách 3: Từ đồ thị

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

suy ra m  7; 3
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y 

x 2  mx  2m
trên
x2

đoạn  1;1 bằng 3 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
8
5
A.  .

B. 5 .
C. .
D. 1 .
3
3
Lời giải
Chọn A
x 2  mx  2m
4
Xét hàm số y  f  x  
trên  1;1 có f   x   1 
;
2
x2
 x  2

x  0
3m  1
m 1
; f  1 
; f  0  m; f 1 
.
f  x  0  
3
1
 x  4   1;1
Bảng biến thiên

Cách 1:
Trường hợp 1. f  0  0  m  0 . Khi đó

 3m  1

3  max f  x   max f  1 ; f 1  3  max 
; m  1  m  1  3  m  2 .
 1;1
 3

Trường hợp 2. f  0  0  m  0 .





 f  1  0
Khả năng 1. 
 m  1 . Khi đó 3  max f  x   f  0   m  3 .
1;1
 f 1  0
 f  1  0
1
Khả năng 2. 1  m   . Khi đó 
. 3  max f  x   max f  0 ; f 1
 1;1
3
 f 1  0
 3  max m; m  1 : Trường hợp này vô nghiệm.





1
Khả năng 3.   m  0 . Khi đó 3  max f  x   max f  0  ; f 1 ; f  1 : Vơ nghiệm.
 1;1
3
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m1  3, m2  2 . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là 1 .
Cách 2: Sử dụng đồ thị





Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

Từ đồ thị suy ra có hai giá trị thỏa mãn là m1  3, m2  2 .
Cách 3: Bài toán nằm trong trường hợp 1
Do vậy m  0  3;3  1  m  3; 2

x 2  mx  3m
trên
x 3

Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y 
đoạn  2;2 bằng 5 . Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S . Tính T .
B. T  5 .

A. T  4.

C. T  1.
Lời giải

D. T   4.

Chọn D
Xét hàm số y  f  x  

x 2  mx  3m
,
x 3

Tập xác định: D   \ 3 và f   x  

x2  6x

 x  3

2

.

 x 0
Xét f   x   0  x 2  6 x  0  
.
 x  6
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x  :

4

Ta có: f  2   m  4 ; f  0   m ; f  2   m  .
5
2
x  mx  3m
Với g  x   f  x  
. Ta có max g  x   max f  2  ; f  0  ; f  2  .
 2;2
x 3
Cách 1 :
4
Dựa vào đồ thị các hàm số u  m ; u  m  4 ; u  m  .
5



Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />



Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

u = m+

u

u =m

4
5

2

u =m+4

-4

-2

4
-

O 1

m

5

Xét với m  2 . Ta có max g  x   f  2   m  4  m  4  5  m  1.
2;2

Xét với m  2 Ta có max g  x   f  0   m  m  5  m  5 .
 2;2

Vậy S  5;1 nên tổng T   5  1   4.
Cách 2 : ta có m  m 

4
 m4
5

Vậy Max  Max  m ; m  4 
Suy ra m  0  5;5  4  m  5;1
Cách 3 : Từ đồ thị

Suy ra m  5;1
Ví dụ 9: Cho hàm số f  x   x 2  2 x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của
hàm số g  x   f 2  x   2 f  x   m trên đoạn  1;3 bằng 8 ?
A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f  x   x 2  2 x  1 trên đoạn  1;3 .
Ta có bảng biến thiên

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

x

1
2

1

3
2

f  x
2

Đặt t  f  x  . Do x   1;3 nên ta có t   2; 2 .
Ta có hàm số g  t   t 2  2t  m
Xét hàm số u  t 2  2t trên đoạn  2; 2 ta có bảng biến thiên
t
2
1
8
u

2
0

1

Xét hàm số g  u   u  m , với t   1;8
Ta có max g  u   max  m  1 , m  8  .
 1;8

Cách 1:
Trường hợp 1:
 m  1  m  8

 m  1  m  8
 m  7 .
 max g u  m  1  
 m  1  8
 1;8  
Trường hợp 2:
 m  8  m  1
 m  8  m  1
 m  0.
 max g u  m  8  
 m  8  8
  1;8  
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  0 và m  7 .
Cách 2: Bài toán nằm trong trường hợp nên
m  1  8;8  8  m  7; 0 .
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  7; 0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2 x  m trên đoạn

 1; 2 bằng 5 .
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
Câu 2.

A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 2  2 x  m  4 trên đoạn

2;1 bằng 4
A. 1.
Câu 3.

B. 2.

C. 3.
3

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3 x  m đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [  2; 4] .
Tổng các phần tử thuộc S là
A. 4 .
B. 36 .

Câu 4.

D. 4.
2

C. 140 .

D. 0 .
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4x 12x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

 3; 2 bằng 150.
A. 4.
Câu 5.

B. 0.
2

Cho hàm số y  2 x  x 
A. 2.

Câu 6.

C. 2.

 x  1 3  x   m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để max y  3.
B. 0.

C. 4.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn  0; 2  bằng 3.
D. 6.
3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4x 12x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

275
.
2

A. 4.

B. 0.
4

3

C. 2.

D. 1.

2

Cho hàm số f  x   3x  4x 12x  m . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1;3. Có bao
nhiêu số thực m để M 
A. 1.

Câu 9.

C. 2.
4

 3; 2 bằng

Câu 8.

D. 1.

3

Tổng các phần tử thuộc S là
A. 1.
B. 0.
Câu 7.

D. 6.

59
.
2
B. 0.

C. 2.

D. 3.

x 4  mx  m
Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y 
trên đoạn
x 1

1; 2 bằng 3. Số phần tử của tập S

là

B. 4

A. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
x 2  mx  m
trên 1; 2 bằng 2 . Số phần tử của S là
y
x 1
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Câu 11: Cho hàm số y 
A. 3 .
1.C

2.B

x  m2  m
. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để max y  1.
1;2
x2
B. 1.
C. 2 .

D. 4 .

3.A

ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.C
5.A
6.B
7.D

Dạng 2: Tìm m để min y  f  x   m  a
 ;  

8.A

 a  0 .

Phương pháp:
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />
9.C

10.C


Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
Cách 1: Trước tiên tìm max f  x   K ;
 ;  

min f  x   k  K  k  .

 ;  

 m  k  a m  K   a
m  a  k  m   a  K
Để min y  a  



. Vậy m  S1  S2 .
 ;  
 m  k  0 m  K  0
m   k
m   K
Cách 2:Sử dụng đồ thị x  k và x  K
Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối
Cách 4: Sử dụng đồ thị tối giản loại 2,3
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2  2 x  m trên

 1; 2 bằng 5.
B. 1.

A. 3 .

C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

+) Đặt g  x   x 2  2 x  m .
+) Ta có: g ,  x   2 x  2  g ,  x   0  2 x  2  0  x  1 .

 g  1  m  3

+)  g 1  m  1 .

 g  2  m
min g  x   m  1
 1;2
+) Suy ra 
.Vậy min g  x   min 0; m  1 ; m  3 
 1;2
max
g
x

m

3


 1;2
Cách 1:
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: .
 m  1  5
m6 .

 m  1  m  3
TH2: .
 m  3  5

 m  8

 m  1  m  3
Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn.
Cách 2: sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy ra m  8;6
Cách 3: Để
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
m  1  5

m  6
m  1  0
min g  x   5  

  m  3  5
1;2
 m  8

  m  3  0
Cách 4:
TH1: .
m  6
k .tr m  3
m 1  5  

m  6 .

 m  4
TH2: .
m  2
k .tr m 1
m3 5  

 m  8
 m  8
Cách 5: Đồ thị tối giản
-8

2

-4

6

Từ đồ thị suy ra m  8;6
Ví dụ 2. Tính tích tất cả các số thực m để hàm số y 

4 3
x  6 x 2  8 x  m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
3

0; 3 bằng 18 là.
B. 216 .

A. 432 .

C. 432 .

Lời giải

D. 288 .

4 3
x  6 x 2  8 x  m liên tục trên đoạn 0; 3 .
3
+ Ta có f   x  4 x 2 12 x  8 .

+ Xét hàm số f  x  

 x  1  0;3
+ f   x   0  4 x 2 12 x  8  0  
.
x

2

0;3



10
8
+ f 0  m; f 1   m; f  2   m; f 3  6  m .
3
3
max f  x   max  f 0; f 1; f 2; f 3  f 3  m  6
 0;3
Khi đó 

.
min f  x  min  f 0; f 1; f 2; f 3  f 0  m
 0;3

Suy ra min y  min 0; m ; m  6  .
 0;3

TH1.
 m  18

 m  18 .

 m  m  6

TH2. .
 m  6  18

 m  24 .

 m  m  6

Kết luận: tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 24.18  432 .
Cách 2:
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
m  18

m  0

 m  18

min y  18  

.
 0;3
m  6  18  m  24

m  6  0
Cách 3: Dựa vào đồ thị

Suy ra m 24;18
Ví dụ 3.

Cho hàm số f  x   x 4  2 x 2  m  1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2 bằng 18 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 5 .

B. 4 .

C. 14 .
Lời giải

D. 10 .

Xét hàm số g  x   x 4  2 x 2  m  1 liên tục trên đoạn 0;2 .

g   x   4 x3  4 x .
 x  1  0; 2


g   x   0   x  0   0; 2

 x  1  0; 2 
g  0  m  1 , g 1  m  2 , g  2   m  7 .
 min g  x   m  2 , max g  x   m  7 .
x 0;2

x 0;2

 min f  x   min 0; m  2 ; m  7  .
x 0; 2

Cách 1:
Trường hợp 1:
 m  2  18
 m  20 .

 m  2  m  7
Trường hợp 2: .
 m  7  18
 m  25 .

 m  2  m  7
Suy ra m  20;  25 .
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 5 .
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

Cách 2:
 m  2  18

 m  20
m  2  0
min f  x   18  

 m  7  18
x 0;2
 m  25

 m  7  0
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  25; 20
Ví dụ 4*. Cho hàm số f  x  
A. 2 .

phần tử của tập S là
B.  8 .

2x  m
. Gọi S là tập hợp tất các giá trị của m để min f  x   2 .Tổng các
 2; 0
1 x

C. 5 .

D. 3 .
Lời giải

+) D   \ {1} .
2x  2
 2 nên min f  x   2 . Vậy m  2 .
 2; 0
1 x
2m
*) Với m  2 . Khi đó, f   x  
, x  1 .
2
1  x 

*) Với m  2 . Ta có f  x  

m  4
m
, f  0   m ; f ( x)  0  2 x  m  x  . Ta xét các trường hợp sau:
3
2
Cách 1 (Xem cho vui)
TH1: Đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hồnh tại một điểm có hồnh độ thuộc  2; 0 , tức là

+) Ta có f  2  

m
 0  4  m  0 . Khi đó min f  x   0 .
 2; 0
2
TH2: Đồ thị hàm số y  f ( x) khơng cắt trục hồnh hoặc cắt trục hồnh tại một điểm có hồnh độ
2 

m
 2  2
 m  4
nằm ngoài đoạn  2; 0 , tức là 

.
m  0
m  0
 2
Khi đó:
 m  4

 m4

min f  x   min f  2  ; f  0   min 
; m   min 
; m .
 2; 0
 3

 3






Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!
m4
2
2
 m  m  4  3 m   m  4    3m    4  2 m  4m  4   0
3
m  2
m4

thì min f  x  
.

2;
0


3
 m  1

+) Nếu

Ta có
+) Nếu

m  4  6
 m  2 (loaïi, m  2)
m4
2


và ).
3
 m  4  6
 m  10 (nhaän)
m4
 m  1  m  2 thì min f  x   m .
 2; 0
3

 m  2 (loại)
Ta có m  2  
.
 m  2 (loaïi)
Suy ra S  {2; 10} .
Vậy tổng các phần tử của S là 8 .
Cách 2: Từ đồ thị

Vậy m  10; 2

x2
 m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho
x 1
min f  x   5 . Số phần tử của S là

Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  
 2;3 

A. 3 .

B. 2 .

Hàm số y  f  x  

f  x 

x2  2x

 x  1

2

C. 1 .
Lời giải

D. 4 .

x2
 m liên tục trên đoạn  2;3 .
x 1

.

x  0
Ta có f   x   0  
; x  0, x  2   2;3  .
x  2
9
f  2   m  4 , f  3  m  .
2
9

+ Nếu f  2  . f  3  0    m  4 thì min f  x   0 . Trường hợp này không thoả yêu cầu bài
 2;3
2
toán.
9

m
+ Ta xét trường hợp f  2  . f  3   0  
2.

 m  4


9
Khi đó min f  x   min f  2  ; f  3  min  m  4 ; m   .
 2;3
2






Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

m  1


  m  9
m4 5


TH1: min f  x   m  4  5  
   m   19  m  1 .
9
 2;3 
2
 m  2  5 


1
m 
2
 

1
 m  2


9
19
9
 m   5   m   19
2
TH2: min f  x   m   5  
 
m
.


2
2;3
2
2
m4 5


 m  9
 m  1

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Cách 2: Từ đồ thị

 19 
Suy ra m    ;1
 2 

Cách 3:
 m  4  5

 m  4  0
m  1

9
min f  x   5   m   5  
 2;3
 m   19

2

 

2

9
m


0

2


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1.

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 3  3 x 2  m trên đoạn

2;3 bằng 2. Tổng các phần tử của tập S bằng
A. 0.
Câu 2.

B. 20.

C. 24.

D. 40.
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4 x  12 x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

 3;2 bằng 10.
A. 2.
Câu 3.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  x  m đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2; 2 bằng 2.
2

Tổng các phần tử thuộc S là
A. 

Câu 4:

31
.

4

23
.
4

D.

9
.
4

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  2 x  m trên đoạn

 1;2 bằng
Câu 5.

C. 

B. 8.

3.

A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhỏ của hàm số f  x   x 2  2 x  m  4 trên đoạn

2;1 bằng 4

A. 1.
Câu 6.

B. 2.

C. 3.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3x  m đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0; 2  bằng 3.
Tổng các phần tử thuộc S là
A. 1.
B. 0.

Câu 7.

D. 6.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  e  4e x  m trên đoạn  0;ln 4
B. 3.

C. 2.

D. 4.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  mx  1 trên đoạn  1;2 đạt giá trị nhỏ nhất
2

bằng 1.
A. 1.
1.B

C. 2.

2x

bằng 6.
A. 1.
Câu 8.

D. 4.

3

2.A

B. 2.
C. 6.
ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.C
5.B
6.B
7.C

3.C

D. 4.
8.A

Dạng 3: Tìm m để max y  f  x   m không vượt quá giá trị M cho trước.
 ; 

Phương pháp: Trước tiên tìm max f  x   K ;
 ;  

min f  x   k  K  k  .
 ;  

Cách 1:
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />
9.

10.


Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

m  k   M
 M  k  m  M  K .
Để max y  M  
 ; 
m  K  M
Cách 2: Sử dụng đồ thị (nên dùng)
BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1.

Cho hàm số y 

1 4
x  x3  x 2  m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max y  11.

1;2
4

A. 19 .

B. 37 .

C. 30 .
Lời giải

D. 11 .

1 4
x  x3  x2  m liên tục trên đoạn 1; 2 .
4
3

+ Ta có f  x   x  3x 2  2 x .
 x  0  1; 2 

+ f   x  0  x3  3 x 2  2 x  0   x  1  1; 2  .

 x  2  1; 2
9
1
+ f 1   m; f 0  m; f 1   m; f 2  m .
4
4

9

max f  x  max  f 1; f 0; f 1; f  2  f 1  m 
4 .
Khi đó  1;2
min f x  min f 1 ; f 0 ; f 1 ; f 2  f 0  f 2  m
            
 1;2  



9
Vậy max y  max 
m  , m 

0;3


4
Cách 1:

 m  9  11

4


 m  9  m
4
theo yêu cầu bài toán max y  11  
0;3

 m  11



 m  m  9

4

 53
35
  m 
 4
4

 9
35

9
  m 
m  
35
 8
4
8
 

 11  m  .

9
4

11  m  11

11  m  



8

9
m  

8
Vì m nguyên nên m  11; 10;...;8 .
Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1110  9 ...  8  30 .
Cách 2: Sử dụng đồ thị
+ Xét hàm số f  x 

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

Suy ra 11  m 

35 m

 m  11; 10;...; 7;8
4

Ví dụ 2. Cho hàm số f  x   x 2  2mx  3 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để giá trị lớn nhất của f  x  trên
đoạn 1; 2 không lớn hơn 3 ?
B. 3 .

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 4 .

Ta có giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn 1; 2 không lớn hơn 3, tức là max f  x   3
1;2

2 m  x, x  1; 2
 x 2  2mx  3  3, x  1; 2 


 2
x2  6
, x  1; 2
 x  2mx  3  3, x  1; 2
2 m 
x

 2m  max  x 
1
1;2

.

 x2  6 
2

 2m  min 



1;2 
x 


+) 1  2m  2  m  1.

6
x2  6
6
 x  với x  1; 2 có g   x   1  2 .
x
x
x
Suy ra: g   x   0, x  1; 2  min g  x   g  2   5 .
+) Xét hàm g  x  

1;2

Do đó  2   m 

5
.
2

5
, mà m nên m 1; 2 .

2
Cách 2: Cách trên dễ hiểu rồi nên cách sau các e tự làm
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x3  3 x2  9 x  m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để
Vậy 1  m 

max y  50 . Tổng các phần tử của M là
2;3

A. 0 .

B. 737 .

C. 759.
Lời giải

D. 215 .

Xét hàm số f  x   x 3  3 x 2  9 x  m liên tục trên đoạn  2;3 .
Ta có f   x   3 x 2  6 x  9 .
Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!

 x  1
f   x   0  3x 2  6 x  9  0  
.
x  3
Có f   2   m  2; f   1  m  5; f  3   m  27 .
Suy ra max f  x   m  5 ; min f  x   m  27 .

2;3

2;3

Do đó M  max y  max  m  5 ; m  27  .
 2;3

Cách 1:

  m  5  m  27
 2m  22  0


 m  11; 45
  m  5  50
 50  m  5  50
M  50  


 m   23; 45 .
  2m  22  0
m   23;11

  m  5  m  27



m

27


50
 50  m  27  50
 
Do đó S   22;  21;  20;...; 1; 0;1; 2;...; 44 .
Vậy tổng các phần tử của M là 737.
Cách 2: sử dụng đồ thị

m
 m  22; 21;...; 44
Suy ra m   23; 45  

Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 4  2 x3  x 2  a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để max y  100 .
 1; 2

A. 197 .

B. 196 .

C. 200 .

D. 201.
Lời giải

Xét u  x 4  2 x3  x 2  a liên tục trên đoạn  1; 2 .

u '  4 x3  6 x 2  2 x .

 x  0  1; 2


u '  0   x  1  1; 2

1
 x    1; 2

2

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />

Thầy Lương Văn Huy - Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12
Link fanpage : />Em đăng ký học livestream thì #Inbox page cho thầy nhé!




1
u  max u  1 , u  0  , u   , u 1 , u  2    u  1  u  2   a  4
 M  max

1;
2
 
2



Suy ra 
.
 m  min u  min u 1 , u 0 , u  1  , u 1 , u 2   u 0  u 1  a
  

          

1; 2 
2



Cách 1 :
 a  4  a  100
 100  a  2
Vậy max y  max  a  4 , a   100  
.

1; 2
 2  a  96
 a  a  4  100

Vậy a  100,  99,..., 96 có 197 số nguyên thỏa mãn.
Cách 2: Sử dụng đồ thị

Suy ra 100  m  96
Ví dụ 5. Cho hàm số y  sin x  cos x  m , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có giá trị lớn nhất
bé hơn 2 .
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Xét hàm số f  x   sin x  cos x  m , có tập xác định: D   .
Ta có:  2  m  sin x  cos x  m  2  m , x   .
Suy ra  2  m  f  x   2  m , x   .
Vậy: max y  m  2 hoặc max y  m  2 .
D

 m 

 m 

Yêu cầu bài toán   
  m 

 m 

0  m  2  2

 2 
 2  2  m  0

D

2 2

 2  2  m  2  2

2  m 2
 m  0


2 2
 2  2  m  2  2
 m  0

2  m 2
2  m  2 2 .

Do m    m  0 . Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2: sử dụng đồ thị

Gr trao đổi bài + nhận tài liệu: />