SIÊU PHẨM đề TOÁN về ĐÍCH năm 2021 (đề 6) có đáp án chi tiết

Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 102

ĐỀ THAM KHẢO
Đề thi có 6 trang
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S thì có thể tích bằng
1
1
Sh .
C. Sh .
6
3
Câu 2: Cho a  0 , a  1 , giá trị của log a3 a bằng

A. Sh .

B.

A. 3 .

B.

1
.
3

C.

1
.
3

D.

1
Sh .
2

D. 3 .

Câu 3: Cho số phức z  11  i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là điểm nào dưới đây?
A. Q  11; 0  .

B. M  11;1 .

C. P  11; 0  .

D. N  11; 1 .

Câu 4: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới

A. Hàm số y   x 3  3 x .

B. Hàm số y   x 3  3 x 2  1 .

C. Hàm số y  x 3  3 x .

D. Hàm số y  x 3  3 x 2  1 .

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  0;  3; 2  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. OM  3i  2 j .
1

Câu 6: Tích phân



B. OM  3i  2 j  k .

C. OM  3 j  2k .

D. OM  3i  2k .

2 x  1dx có giá trị bằng

0

3
2
3 3 1
.
B.
.
C. 3 3  .
3

2
3
Câu 7: Phương trình log 2  x  1  1 có nghiệm là
A. 3 3 

D. 3 3 

3
.
2

1
1
.
B. x  .
C. x  3 .
D. x  2 .
2
3
Câu 8: Có bao nhiêu cách lấy ra 3 phần tử tùy ý từ một tập hợp có 12 phần tử
A. 312 .
B. 123 .
C. A123 .
D. C 123 .

A. x 

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Trang 1/6 - Mã đề thi 102

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A.  2 .

B. 1 .

Câu 10: Cho

D.  1 .

C. 2 .

2

3

3

1

2

1

 f  x  dx  1 và  f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx bằng
B. 3 .

A. 1 .

C.  1 .

D. 3 .

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a . SA  a 2 và SA vng góc mặt phẳng
đáy. Góc giữa cạnh bên SC với đáy bằng
A. 60 .
B. 30 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x 
đồng biến trên khoảng
A.  1;    .
B.  1;1 .
C.  ;1 .
D.  ;  1 .
Câu 13: Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  x 4  2 x 2  3 ?
y
y
 2 1 O

2 x

1

1 O

x

1

3

A.

B.
y

y

2

1 O

1

 2 1 O

2 x

C.

A. y  ln x  1 .

2 x

3

3

Câu 14: Hàm số y  ln x 

1

D.

4

1
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
x
1
1
1
1
B. y  ln 2 x  2 .
C. y  ln 2 x  .
2
2
x
x

D. y 

1 1

.
x x2

Câu 15: Trong khơng gian Oxyz mặt phẳng  Oxy  có phương trình

A. z  0

B. x  y  z  0 .

C. y  0

D. x  0

Trang 2/6 - Mã đề thi 102


Câu 16: Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác
suất để trong 4 người được chọn đều là nam.
A.

C 54
.
4
C13

B.

C 54
.
C 84

C.

A54
.

4
A13

Câu 17: Mặt cầu có bán kính bằng 1 thì diện tích bằng
4π
A. 4π .
B. 16π .
C.
.
3

D.

A54
.
A84

D. 2π .

 x  4  8t

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  6  11t . Vectơ nào dưới đây
 z  3  2t


là vectơ chỉ phương của d ?
A. u   4; 6; 3  .
B. u   8; 6; 3  .
2n  1
bằng

n n  1

C. u   8;11; 2  .

D. u   4; 6; 2  .

C.  1 .

D.  2 .

Câu 19: lim

B. 2 .

A. 1.

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y   x3  3x 2  m  2 có 5 điểm
cực trị?
A. 3 .

B. 6 .

C. 4 .

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 5 .
3x  m
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng
xm
 ; 4  ?
D. Vô số.

x  t
x  3 y 1 z


 .
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng  1 :  y  t và  2 :

1
2
1
z  2


Đường vng góc chung của 1 và  2 đi qua điểm nào dưới đây?


32 7 
A. Q  2; ;
.
11 11 



32 7 
B. N  2; ;  .
11 11 


 32 7 
C. P  2; ;  .
 11 11 

 32 7 
; .
D. M  2;
 11 11 

Câu 23: Một người gửi M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8, 4% / năm. Biết rằng nếu khơng rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp
theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó có được nhiều hơn gấp đôi số tiền mang đi gửi?
A. 10 năm.
B. 7 năm.
C. 8 năm.
D. 9 năm.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh đáy bằng 2a . Biết SO vng góc với
a
đáy, góc ABC  60 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  bằng . Tính thể tích khối chóp
2
S.ABCD .

2a3
a3 3

a3 2
.
B. V  2a3 .
C. V 
.
D. V 
.
3
9
2
Câu 25: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y  2 x ; y  x 2 ; y  1 trên miền x  0 ; y  1
A. V 

A.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

5
.
12

D.

2
.
3
Trang 3/6 - Mã đề thi 102


3

Câu 26: Cho

x
1

A. S  6 .

2

x3
dx  m ln 2  n ln 3  p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính S  m2  n  p 2 .
 3x  2
B. S  4 .
C. S  3 .
D. S  5 .

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật có AB  a , BC  a 2 , SA   ABCD  và
SA  a 3. Gọi M là trung điểm SD và  P  là mặt phẳng đi qua B , M sao cho  P  cắt mặt phẳng

SAC  theo một đường thẳng vng góc với BM . Khoảng cách từ điểm S đến  P  bằng
2a 2
a 2
a 2
.
B.
.
C.
.
9
3
3
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z  z  1 . Môđun của z bằng
A.

1

A.

10

.

B.

1
.
10

C. 1 .

D.

4a 2
.
9

D.

10 .

3 x 5
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 x2  5x  7
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1; 2; 3  . Gọi N , P , Q là hình chiếu vng góc của M
Câu 29: Đồ thị của hàm số y 

trên các trục tọa độ. Mặt phẳng  NPQ  có phương trình là
x y z
x y z
   1.
B.    0 .
2 1 3
1 2 3
x y z
C.    0 .

D. 6 x  2 y  2 z  6  0 .
1 2 3
Câu 31: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  0;1; 2  , B  2; 2;1 ; C  2; 0;1 và mặt phẳng  P  :

A.

2 x  2 y  z  3  0 . Gọi M  a; b; c  là điểm thuộc  P  sao cho MA  MB  MC , giá trị của a2  b2  c 2

bằng
A. 39 .
B. 63 .
C. 62 .
D. 38 .
Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng
60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

a
.
2

B.

a
.
4

C.

3a

.
2

D.

3a
.
4

Câu 33: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
1; 3  . Giá trị của M  m bằng
25
A.
.
B. 4 .
3

C. 5 .

4
 x trên đoạn
x

D. 9 .





Câu 34: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f x2  1

đồng biến trên khoảng





A. ;  2 .

B.  1;1 .





C. 1; 2 .

D.  0; 1 .
Trang 4/6 - Mã đề thi 102






Câu 35: Hàm số y  x2  1  3x  2  có bao nhiêu điểm cực đại?
3

B. 2 .

A. 0 .

D. 1 .

C. 3 .

1
2
3
2018
 2.5C2018
 3.52 C2018
 ...  2018.52017 C2018
Câu 36: Tổng C2018
bằng

A. 1009.24034 .
B. 1009.24035 .
C. 1009.24035 .
D. 1009.24034 .
Câu 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt
phẳng  ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường thẳng
GC và SA bằng

A.

a 5
.
10

B.

a 5
.
5

C.

a 2
.
5

D.

a
.
5

e2

Câu 38: Biết

 1
1 
ae 2  be+c
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a2  b2  c 2

d
x

e  ln2 x ln x 

2

bằng
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 9 .
Câu 39: Một thanh sắt chiều dài AB  100 m được cắt thành hai phần AC và CB với AC  x  m  .
Đoạn AC được uốn thành một hình vng có chu vi bằng AC và đoạn CB được uốn thành tam giác
đều có chu vi bằng CB . Khi tổng diện tích của hình vng và tam giác nhỏ nhất, mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. x   52; 58  .
B. x   40; 48  .
C. x   48; 52  .
D. x   30; 40  .
Câu 40: Xét đồ thị  C  của hàm số y  x 3  3ax  b với a , b là các số thực. Gọi M , N là hai điểm phân
biệt thuộc  C  sao cho tiếp tuyến với  C  tại hai điểm đó có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc
tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1 , giá trị nhỏ nhất của a 2  b 2 bằng
6
4
3
A. .
B. .
C. .
2
5
3

D.

7
.
6

Câu 41: Cho đa giác đều  P  có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của  P  , tính xác suất để 3 đỉnh lấy được
tạo thành một tam giác vng sao cho, khơng có cạnh nào là cạnh của  P  .
3
7
5
7
.
B.
.
C.
.
D.
.
38
57
114
114
Câu 42: Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình

A.



log 22 x  log 1 x2  3  m2 log 4 x2  3
có nghiệm duy nhất thuộc  32 ;    ?
A. 2 .

B. 1 .



2

C. 3 .
D. 0 .
 f  x . f x  2  f  x  2  xf 3 x  0
  . Tính f 1 .
    
  
Câu 43: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn 
 f   0   0; f  0   1
2
3
6
7
A. .
B. .
C. .
D. .
3
2
7
6
z  2i
 1 . Giá trị nhỏ nhất của z  3  2i bằng
Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn
z3i

Trang 5/6 - Mã đề thi 102


A.

2 10
.
5

Câu 45: Cho số phức z 

B. 2 10 .



3  5i



C.
2018

10 .

D.

10
.
5

. Biết phần ảo của z có dạng a  b 3  c 5  d 15 . Trong các số

a , b , c , d có đúng bao nhiêu số bằng 0 ?
A. 2 .
B. 1 .

C. 4 .

Câu 46: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

D. 3 .

S  :  x  3   y  1
2

2

 z 2  4 và đường thẳng

 x  1  2t

d :  y  1  t , t  R . Mặt phẳng chứa d và cắt  S  theo một đường trịn có bán kính nhỏ nhất có phương
 z  t


trình là
A. 3x  2 y  4 z  8  0 .

B. y  z  1  0 .

C. x  2 y  3  0 .





D. x  3 y  5z  2  0 .





Câu 47: Biết bất phương trình log 5 5x  1 .log 25 5x1  5  1 có tập nghiệm là đoạn  a; b  . Giá trị của
a  b bằng
A. 2  log 5 156 .
B. 2  log 5 156 .
C. 2  log 5 26 .
D. 1  log 5 156 .





Câu 48: Cho hàm số y  x 4  2 m2  1 x 2  m4 có đồ thị  C  . Gọi A , B , C là ba điểm cực trị của  C  ,
S1 và S2 lần lượt là phần diện tích của tam giác ABC phía trên và phía dưới trục hồnh. Có bao nhiêu

giá trị thực của tham số m sao cho
A. 1 .

S1 1
 ?
S2 3
C. 4 .

B. 2 .

D. 3 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M  1; 2; 3  , N  3; 4; 5  và mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z – 14  0 . Gọi 

là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  , các điểm H , K lần

lượt là hình chiếu vng góc của M , N trên  . Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK luôn
thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của d là
x  1
x  t
x  t
x  t




A. y  13  2t .
B. y  13  2t .
C. y  13  2t .
D. y  13  2t .
z  4  t

z  4  t
z  4  t
z  4  t




 x  4y 
Câu 50: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 2 
  2 x  4 y  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
 xy 
2x4  2x2 y 2  6x2
thức P 
bằng
3
x

y
 
A. 4 .

B.

9
.
4

C.

16

.
9

D.

25
.
9

----------- HẾT ----------

Trang 6/6 - Mã đề thi 102


KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

Mã đề thi 102

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Đáp án có 15 trang
1-A
11-C
21-B
31-C
41-D

2-C
12-D
22-C
32-D
42-B

3-D
13-B
23-D
33-D
43-C

4-C
14-D
24-D
34-D
44-A

BẢNG ĐÁP ÁN
5-C
6-B
7-C
15-A
16-A
17-A
25-C
26-A
27-A
35-D

36-B
37-B
45-D
46-B
47-A
----------- HẾT ----------

8-D
18-C
28-A
38-A
48-B

9-C
19-B
29-B
39-B
49-B

10-C
20-A
30-A
40-C
50-C

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật có AB  a , BC  a 2 , SA   ABCD  và
SA  a 3. Gọi M là trung điểm SD và  P  là mặt phẳng đi qua B , M sao cho  P  cắt mặt phẳng

SAC  theo một đường thẳng vng góc với BM . Khoảng cách từ điểm S đến  P  bằng
2a 2

.
3
Hướng dẫn giải
Dễ thấy:
A.

B.

a 2
.
9

C.

a 2
.
3

D.

4a 2
.
9

BD  AC  a 3 ; SB  2a ; SD  a 5
 BM 
2

VS . ABCD

2  BD 2  SB 2   SD 2
4



9a 2
4

1
a3 6
 .S ABCD .SA 
3
3

Kẻ BH  AC thì BH . AC  BA.BC  BH 

BA.BC a 2

AC
3

AH 2
  H là trọng tâm tam giác ABD
AO 3
Gọi G là trọng tâm tam giác SBD thì GH // SA và NP // AC vì BM  NP


Ta có:

SG 2

SN SP 2
2
2a 3
 và

 ; NP  AC 
.
3
3
SO 3
SA SC 3
VS .BNP 4
V
2
 và S .MNP  .
VS . DAC 9
VS .BAC 9
1
 VS .BNMP  VS . ABCD .
3
1
3V
Mặt khác: VS .BNMP  S BNMP .d  S ,  P    d  S ,  P    S .BNMP .
S BNMP
3
Đáp án - Trang 1/9 - Mã đề thi 102


Mà S BNMP 

1
3V
2a 2
a2 3
BM .NP  S BNMP 
 d  S ,  P    S .BNMP
.
S BNMP
3
2
2

Câu 31: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  0;1; 2  , B  2; 2;1 ; C  2; 0;1 và mặt phẳng  P  :
2 x  2 y  z  3  0 . Gọi M  a; b; c  là điểm thuộc  P  sao cho MA  MB  MC , giá trị của a2  b2  c 2

bằng
A. 39 .
B. 63 .
Hướng dẫn giải
Ta có: M  x; y;3  2 x  2 y    P  .

C. 62 .

D. 38 .

2
2
2
2
2

2

 MA2  MB 2
 x   y  1   z  2    x  2    y  2    z  1


2
2
2
2
2
2
2
2
 MB  MC

 x  2    y  2    z  1   x  2   y   z  1

4 x  6 y  2 z  4
8 x  2 y  10
x  2



 M  2;3; 7  . Vậy a2  b2  c2  62 .
8 x  4 y  4
8 x  4 y  4
y  3
1
2

3
2018
 2.5C2018
 3.52 C2018
 ...  2018.52017 C2018
Câu 36: Tổng C2018
bằng

A. 1009.24034 .
Hướng dẫn giải
Ta có: 1  x 

2018

Suy ra:  1  x 

B. 1009.24035 .

C. 1009.24035 .

D. 1009.24034 .

0
1
2
3
2018
 C2018
 xC2018
 x 2C2018

 x3C2018
 ...  x 2018C2018
.
2018

0
1
2
3
2018
 C2018
 xC2018
 x 2C2018
 x3C2018
 ...  x 2018C2018
.

Lấy đạo hàm hai vế, ta được:
2018 1  x 

2017

1
2
3
2018
 C2018
 2 xC2018
 3x 2C2018
 ...  2018 x 2017C2018

.

Cho x  5 . Khi đó:
1
2
3
2018
C2018
 2.5C2018
 3.52 C2018
 ...  2018.52017 C2018
 2018. 1  5 

2017

 2018.  4 

2017

 1009.24035 .

Câu 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA với mặt
phẳng  ABC  bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khoảng cách giữa hai đường thẳng

GC và SA bằng
A.

a 5
.
10

B.

a 5
.
5

C.

a 2
.
5

D.

a
.
5

Đáp án - Trang 2/9 - Mã đề thi 102


Hướng dẫn giải
 SA  SB  SC
Ta có: 
nên SG là trục đường
GA  GB  GC

S

tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Do đó SG   ABC  1 .

K

Ta có:  SA;  ABC    SAG  60 .
Gọi I là trung điểm AB .
Trong  ABCD  : Kẻ AJ sao cho ACIJ là hình

H

A

C

bình hành.
Suy ra CI //AJ , do đó CI //  SAJ  .

G

Suy ra d  GC ; SA   d  CI ;  SAJ    d  G;  SAJ  
(do G  CI ).

I

J

B

Trong  ABCD  : Kẻ GH  AJ tại H .

Mà SG  AJ (do 1 ). Nên AJ   SGH  .
Suy ra  SAJ    SGH  .


 SAJ    SGH   SH
Mà 
nên GK   SAJ  . Do đó d  G;  SAJ    GK .

Trong  SGH  : Keû GK  SH taïi K
a 3
a 3
.tan 60  a .
nên SG  AG.tan 60 
3
3
1
1
5
1
a
1
1
 2.


Mặt khác: GH  AI  . Do đó
 2
2
2
2

2
GK
SG GH
a
2
a
a
 
2

Ta có: AG 

Suy ra GK 

a 5
a 5
. Vậy d  GC ; SA  
.
5
5
e2

 1
1 
ae 2  be+c
Câu 38: Biết   2 
, trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a2  b2  c 2
dx 

ln x 

2
e  ln x
bằng
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 9 .
Hướng dẫn giải
e2

Xét tích phân:

1

 ln x dx .
e

Đặt u 

1
1
dx . dv  dx chọn v  x .
 ; du  
x ln 2 x
ln x
e2

e2

2

e2

e
1 
e 2  2e
1
x
1
 1
Khi đó 
.
dx 

dx    2 
 dx 
ln x ln x 
2
ln x
ln x e e ln 2 x
e 
e

a  1

Do đó b  2 . Vậy a2  b2  c2  5 .
c  0


Đáp án - Trang 3/9 - Mã đề thi 102

Câu 39: Một thanh sắt chiều dài AB  100 m được cắt thành hai phần AC và CB với AC  x

m .

Đoạn AC được uốn thành một hình vng có chu vi bằng AC và đoạn CB được uốn thành tam giác
đều có chu vi bằng CB . Khi tổng diện tích của hình vng và tam giác nhỏ nhất, mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. x   52; 58  .
B. x   40; 48  .
C. x   48; 52  .
D. x   30; 40  .
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài đoạn AC là x , chiều dài đoạn BC là 100  x .
Tổng diện tích của hình vng và tam giác là
2
2
1
3  2 50 3
2500 3
3  100  x 
 x
.
S   
.
   16  36  x  9 x 
9
4  3 
4




50 3
9
S nhỏ nhất khi x 
 43, 49 .
1
3
2.  

 16 36 

Câu 40: Xét đồ thị  C  của hàm số y  x 3  3ax  b với a , b là các số thực. Gọi M , N là hai điểm phân
biệt thuộc  C  sao cho tiếp tuyến với  C  tại hai điểm đó có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc
tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1 , giá trị nhỏ nhất của a 2  b 2 bằng
3
4
6
A. .
B. .
C. .
2
3
5
Hướng dẫn giải

D.

7

.
6

Ta có y  3x2  3a .
Tiếp tuyến tại M và N của  C  có hệ số góc bằng 3 nên tọa độ của M và N thỏa mãn hệ phương
2

3x  3a  3 1
trình: 
.
3

 y  x  3ax  b  2 
Từ 1  x2  1  a . 1 có hai nghiệm phân biệt nên a  1 .

Từ  2   y  x 1  a   3ax  b hay y   2a  1 x  b .
Tọa độ M và N thỏa mãn phương trình y   2a  1 x  b nên phương trình đường thẳng MN là
y   2a  1 x  b hay MN :  2a  1 x  y  b  0 .

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến MN bằng 1 nên d  O, MN   1 

b

 2a  1

2

1

 1  b2  4a2  4a  2

 a2  b2  5a2  4a  2 .
Xét f  a   5a 2  4a  2 với a  1 .
Bảng biến thiên:

x
y
y

Vậy a2  b2 nhỏ nhất là





–

2
5

0

1





6
.

5
Đáp án - Trang 4/9 - Mã đề thi 102


Câu 41: Cho đa giác đều  P  có 20 đỉnh. Lấy tùy ý 3 đỉnh của  P  , tính xác suất để 3 đỉnh lấy được
tạo thành một tam giác vng sao cho, khơng có cạnh nào là cạnh của  P  .
7
3
7
5
.
B.
.
C.
.
D.
.
38
57
114
114
Hướng dẫn giải
3
Không gian mẫu: Chọn 3 đỉnh bất kì từ 20 đỉnh để tạo thành một tam giác  n     C20

A.

Biến cố A : 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vng sao cho, khơng có cạnh nào là cạnh của

P .

Ta có đa giác  P  nội tiếp một đường tròn, nên tam giác vng tạo ra từ một đường chéo (qua tâm)
bất kì và một điểm khác (tam giác nội tiếp có một cạnh là đường kính là tam giác vng)
Số cách chọn đường chéo qua tâm là 10 cách.
Một đường chéo đi qua 2 đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba không thể là 4 đỉnh nằm cạnh hai
đỉnh đã chọn  có 20  2  4  14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đường chéo nữa)
Vậy n  A   10 14  140 tam giác.
Vậy xác suất để 3 đỉnh lấy được tạo thành một tam giác vng sao cho, khơng có cạnh nào là cạnh
của  P  là p 

n  A 140 7
.
 3 
n    C20
57

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình



log 22 x  log 1 x2  3  m2 log 4 x2  3
có nghiệm duy nhất thuộc  32 ;    ?
A. 2 .
B. 1 .
Hướng dẫn giải



2

C. 3 .

D. 0 .

1

x  0
0  x 

Điều kiện xác định:  2
2.
log 2 x  2log 2 x  3  0
 x  8
Hàm số xác định trên 32;    .
log 22 x  log 1 x 2  3  m 2  log 4 x 2  3  log 22 x  2log 2 x  3  m2  log 2 x  3 .
2

Đặt t  log2 x . Khi x  32 , ta có miền giá trị của t là 5;   .
Bất phương trình có dạng:
Xét hàm số f  t  

t 2  2t  3  m2  t  3  m 2 

t 2  2t  3
t 1
 m2 
.
t 3
t 3

t 1

4
trên 5;    có f   t  
nên hàm số nghịch biến trên 5;    .
2
t 3
t

3
 

Do lim f  t   1 và f  5   3 nên ta có 1  f  t   3 .
x 

Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc

32;   

khi và chỉ bất phương trình m2 

f  t  có nghiệm duy nhất trên 5;    .

Khi đó: m2  3  m  4 3 . Do đó 1 có giá trị dương m thỏa mãn.
 f  x . f x  2  f  x  2  xf 3 x  0
  . Tính f 1 .
    
  
Câu 43: Cho hàm số y  f  x  , x  0 , thỏa mãn 
 f   0   0; f  0   1
Đáp án - Trang 5/9 - Mã đề thi 102

2
.
3
Hướng dẫn giải

A.

3
.
2

B.

C.

Ta có: f   x  . f  x   2  f   x    xf
2

3

 x  0 

6
.
7

D.

f   x  . f  x   2  f   x  

f 3  x

7
.
6

2

 x

 f   x  
f  x
f   0
02
x2
 2


x







C C  0.
C

2

2
f
x
f
f
0
x
2
2








1
1
f  x
f  x
 x3 
1
1
1
1
x2
x2
Do đó 2






dx    dx
  2
   
f  x 0  6  0
f 1 f  0 
6
f  x
f  x
2
2
0
0
1

 f 1 

1

6
.
7
z  2i
 1 . Giá trị nhỏ nhất của z  3  2i bằng
z3i

Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn

2 10
.
5
Hướng dẫn giải

B. 2 10 .

A.

Giả sử z  x  yi  x, y 

 x  3   y  2 
2

2



 x  3   y  1
2

 x  3   3 x  5 



Vậy GTNN của z  3  2i bằng
Câu 45: Cho số phức z 

D.

10
.
5

 . Ta có

z  2i
2
 1  z  2i  z  3  i  x 2   y  2  
z 3i
Lại có:

z  3  2i 

10 .

C.

2

2

 y  3x  3 .

2

2

2 10

18  16

 10 x  36 x  34   10 x 
  10  5 .
10 

2

2 10
.
5

3  5i



2018

. Biết phần ảo của z có dạng a  b 3  c 5  d 15 . Trong các số

a , b , c , d có đúng bao nhiêu số bằng 0 ?
B. 1 .

A. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

C. 4 .

Ta có:
z



3  5i



2018

2018

k
  C2018
k 0

 3

2018 k

 5 i
k

k

.

Phần ảo của số phức z là
1008

C

m0

2 m 1
2018

 3

2018 2 m 1

 5

2 m 1

 1

m

1008

2 m 1
  C2018
 1 .31009.15m. 15 .
m

m0

Suy ra a  b  c  0 và d  0 .

Câu 46: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

S  :  x  3   y  1
2

2

 z 2  4 và đường thẳng

 x  1  2t

d :  y  1  t , t  R . Mặt phẳng chứa d và cắt  S  theo một đường trịn có bán kính nhỏ nhất có
 z  t


phương trình là
A. 3x  2 y  4 z  8  0 .

B. y  z  1  0 .
Đáp án - Trang 6/9 - Mã đề thi 102


D. x  3 y  5z  2  0 .

C. x  2 y  3  0 .

Hướng dẫn giải
Mặt cầu  S  có tâm I  3;1;0  và bán kính là R  2 .
 x  1  2t


Ta có d :  y  1  t có véc tơ chỉ phương u   2;1; 1
 z  t


Gọi H 1  2t ; 1  t ; t  là hình chiếu của I trên d .
Ta có IH .u  0   2t  2  2   t  2   t  0  t  1 suy ra H  3;0; 1
Gọi  Q  là mặt phẳng chứa d .



Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng chứa d và mặt cầu  S  là r  R 2  d  I ,  Q  
ra r nhỏ nhất khi d  I ,  Q   lớn nhất



2

, suy

I

Gọi M là hình chiếu của I trên  Q  .
Ta có d  I ,  Q    IM  IH suy ra d  I ,  Q   lớn nhất khi d  I ,  Q    IH ,
lúc đó mặt phẳng  Q  qua H  3;0; 1 và có một véc tơ pháp tuyến là

M

IH   0; 1; 1 .

d

Phương trình mặt phẳng  Q  : y  z  1  0 .



H

(Q)







Câu 47: Biết bất phương trình log 5 5x  1 .log 25 5x1  5  1 có tập nghiệm là đoạn  a; b  . Giá trị của
a  b bằng
A. 2  log 5 156 .
B. 2  log 5 156 .
C. 2  log 5 26 .
D. 1  log 5 156 .
Hướng dẫn giải





log 5  5x  1 .log 25  5 x1  5   1  log5  5x  1 . 1  log5  5x  1  2  0  log 52  5x  1  log 5  5 x  1  2  0
 2  log5  5x  1  1 

1
26
 5x  1  5  log5
 x  log5 6 .
25
25
26
 156 
 log5 6  log 5 
.6  .  2  log5 15
Ta có a  b  log5
25
 25 





Câu 48: Cho hàm số y  x 4  2 m2  1 x 2  m4 có đồ thị  C  . Gọi A , B , C là ba điểm cực trị của  C  ,

S1 và S2 lần lượt là phần diện tích của tam giác ABC phía trên và phía dưới trục hồnh. Có bao nhiêu
giá trị thực của tham số m sao cho

S1 1
 ?
S2 3

A. 1 .
B. 2 .
Hướng dẫn giải

Ta có y  4 x3  4  m2  1 x .

x  0
Cho y  0  4 x3  4  m2  1 x  0   2
2
x  m 1
Do m2  1  0, m 
với mọi m

C. 4 .

(1)

D. 3 .

.

nên (1) ln có hai nghiệm phân biệt khác 0

. Suy ra hàm số đã cho ln có ba điểm cực trị.

Đáp án - Trang 7/9 - Mã đề thi 102


 



Giả sử ba điểm cực trị của  C  là A  0; m4  , B  m2  1; 2m2  1 , C



m2  1; 2m2  1 . Gọi M , N lần

lượt là giao điểm của AB , AC với trục hồnh.
S
S
S
1
1
1
Ta có: 1   AMN   AMN 
S2 3
S ABC 4
S MNCB 3
2

AM AN 1
 AM  1

.
 
  (do MN // BC )
AB AC 4
 AB  4
AM 1

  M là trung điểm đoạn AB
AB 2
y  yB

 yM  A
(do M , A , B thẳng hàng)
2

 m4  2m2 1  0  m   1  2 .
Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M  1; 2; 3  , N  3; 4; 5  và mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z – 14  0 . Gọi 

là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  , các điểm H , K lần

lượt là hình chiếu vng góc của M , N trên  . Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK luôn
thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của d là
x  1
x  t
x  t
x  t




A. y  13  2t .
B. y  13  2t .
C. y  13  2t .
D. y  13  2t .
z  4  t
z  4  t
z  4  t
z  4  t





Hướng dẫn giải
Đường thẳng d cần tìm là giao của  P  với  Q  , trong đó  Q  là mặt phẳng trung trực của MN .
Gọi I là trung điểm của MN  I  2;3; 4 

MN  2; 2; 2 
PTTQ của  Q  là x – 2  y – 3  z – 4  0 hay  Q  : x  y  z – 9  0 Phương trình đường thẳng d cần tìm
x  t
x  y  z  9  0

là giao của  P  và  Q  PTTS của d là 
hay  y  13  2t .
 x  2 y  3z  14  0
 z  4  t


 x  4y 
Câu 50: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 2 
  2 x  4 y  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
x

y


4
2 2
2

2x  2x y  6x
thức P 
bằng
3
 x  y
A. 4 .

B.

9
.
4

C.

16
.
9

D.

25
.
9

Hướng dẫn giải
x  4y
Điều kiện:
0
x y

 x  4y 
 x  4y 
 x  4y 
log 2 
  2 x  4 y  1  log 2 
  1  2 x  4 y  log 2 
  2x  4 y
 x y 
 x y 
 2x  2 y 

Đáp án - Trang 8/9 - Mã đề thi 102


 x  4y 
 log 2 
  2 2x  2 y   2  x  4 y 
 2x  2 y 
 log 2  x  4 y   2  x  4 y   log 2  2 x  2 y   2  2 x  2 y 

Xét hàm số f  t   log 2 t  2t với t   0;  

1
 2  0 với t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến trên t   0;   .
t ln 2
Nên x  4 y  2x  2 y  x  2 y .
f  t  

P

2x4  2x2 y 2  6x2

 x  y

3



16
8
8
8 8
 .
y
2
y.
9
9y
9
9 9y

Đáp án - Trang 9/9 - Mã đề thi 102