Một số phương trình hàm liên quan đến định lý giá trị trung bình largrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỮU TÍN

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỮU TÍN

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS. TS. LƯƠNG ĐĂNG KỲ

Bình Định - 2020

Mục lục
Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 Hàm cộng tính và song cộng tính

3

1.1

Hàm cộng tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm cộng tính gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Hàm cộng tính trên mặt phẳng thực và phức . . . . . . . . . . . . 11

1.5

Hàm song cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm
liên quan

20

2.1

Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Ứng dụng của Định lý giá trị trung bình Lagrange . . . . . . . . . 22

2.3

Phương trình hàm sinh bởi định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . 29

3 Một số bài toán và lời giải
3.1

49

Một số phương trình hàm liên quan Định lý giá trị trung bình
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2

Một số phương trình hàm liên quan khác . . . . . . . . . . . . . . 57

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

62


MỞ ĐẦU
Định lý giá trị trung bình là một định lý quan trọng và có nhiều ứng dụng
trong Giải tích tốn học. Trong chương trình tốn học phổ thơng, Định lý giá
trị trung bình được ứng dụng và khai thác khá nhiều trong các kì thi Olympic
và chọn học sinh giỏi, chẳng hạn như chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm,... Tuy nhiên
vấn đề các phương trình hàm sinh bởi các định lý giá trị trung bình chưa được
đề cập đến trong hầu hết các sách tham khảo ở phổ thơng.
Trong chương trình tốn học phổ thơng, phương trình hàm là một chun đề
quan trọng trong chương trình chun Tốn bậc THPT và được sử dụng nhiều
trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực, Olympic Quốc tế([1, 2]).
Đó là các bài tốn khó và mới mẻ đối với học sinh, địi hỏi học sinh có tư duy
cao và cách tiếp cận sáng tạo. Trong thực tiễn, phương trình hàm và các ứng
dụng của nó ln là chun đề hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời sự phát hiện các ứng dụng đa dạng
của nó cũng lm đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo
viên khi nghiên cứu vấn đề này.
Lấy ý tưởng từ Định lý giá trị trung bình Lagrange khi giá trị trung bình

x+y
được cho trước, ta có bài tốn xuất hiện khá nhiều trong các giáo
2
trình Giải tích ở bậc đại học, đó là: tìm hàm số khả vi f : R → R sao cho
c =

f (x) − f (y)
x+y
=f(
),
x−y
2

∀x, y ∈ R, x = y.

(1)

Lời giải cho bài toán trên là hàm số f (x) = ax2 + bx + c, với mọi a, b, c ∈ R. Tổng
quát hơn ta có bài tốn, tìm hàm số khả vi f : R → R sao cho
f (x) − f (y)
= f (sx + ty),
x−y

trong đó s, t ∈ R được cho trước.
1

∀x, y ∈ R, x = y,

(2)

2
Mục tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu phương trình hàm (2), tức
là nghiên cứu phương tình hàm sinh bởi định lý giá trị trung bình Lagrange, và
một số bài tập áp dụng của nó.
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan đến
nội dung của luận văn. Chương 2 trình bày phương tình hàm sinh bởi định lý
giá trị trung bình Lagrange và một số vấn đề liên quan. Một số bài tập áp dụng
được trình bày trong Chương 3.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Lương Đăng
Kỳ. Thầy là người đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với q thầy cơ trong Khoa
Tốn - Thống kê, Phịng Sau đại học Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là quý
thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21.
Cuối cùng tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn
ủng hộ, giúp đỡ tôi mọi mặt trong suốt thời gian tôi học thạc sĩ cũng như hồn
thành luận văn này.
Mặc dù tơi đã rất cố gắng nhưng vì khả năng và thời gian cịn hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi các thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những ý
kiến, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Bịnh Định, tháng 7 năm 2020
Học viên

Nguyễn Hữu Tín


Chương 1
Hàm cộng tính và song cộng tính

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức về các hàm cộng
liên tục, hàm cộng tính gián đoạn, một vài tiêu chuẩn khác cho hàm cộng tính,
hàm cộng tính trên mặt phẳng phức và cuối cùng chúng tôi giới thiệu về hàm
song cộng tính. Tài liệu được sử dụng chính cho chương này là [6].

1.1

Hàm cộng tính liên tục

Định nghĩa 1.1. Hàm f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu và chỉ nếu nó
thỏa mãn phương trình hàm Cauchy
f (x + y) = f (x) + f (y)

(1.1)

với mọi x, y ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Hàm f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu và chỉ nếu nó
có dạng
f (x) = mx

(∀x ∈ R)

với m là hằng số tùy ý.
Các ví dụ về hàm cộng tính dễ hiểu là các hàm tuyến tính. Vậy câu hỏi đặt
ra là có hàm cộng tính nào khác hay khơng?
Câu trả lời là chỉ có duy nhất các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Đây
là kết quả được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821.
Định lý 1.1. Cho hàm f : R → R là hàm cộng tính liên tục. Khi đó f là hàm
tuyến tính hay f (x) = mx với m là hằng số bất kì.
3

4
Chứng minh. Đầu tiên, ta viết lại x và kết hợp với (1.1), ta được
1

f (x) =

f (x)dy
0
1

f (x + y) − f (y) dy

=
0

x+1

1

f (u)du −

=
x

f (y)dy,

ở đây u = x + y

0

Do f là liên tục, ta có
f (x) = f (1 + x) − f (x).

(1.2)

Từ tính cộng tính của f , ta có
f (1 + x) = f (1) + f (x)

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3), ta có
f (x) = m,

trong đó m = f (1). Từ đó suy ra
f (x) = mx + c,

(1.4)

trong đó c là hằng số. Từ (1.4) và (1.1) cho x = 0 ta thu được c = 2c do đó c = 0.
Vậy f (x) = mx.
Từ Định lí 1.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của f để kết luận rằng f cũng
khả tích. Tính khả tích của f bắt buộc hàm cộng tính f là tuyến tính. Do đó
mọi hàm cộng tính khả tích cũng là tuyến tính.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : R → R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ
khi nó khả tích trên từng khoảng hữu hạn.
Chú ý 1.1.1. Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương đều tuyến tính.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh điều này bằng cách sử dụng đối số được đưa
ra bởi Shapiro (1973).

Giả sử f là hàm cộng tính khả tích địa phương. Do đó, f (x + y) = f (x) +
f (y), ∀x, y ∈ R. Từ tính khả tích địa phương của f , ta có
y

yf (x) =

f (x)dz
0


5
y

f (x + z) − f (z) dz

=
0

x+y

y

f (u)du −

=
x

f (z)dz
0

x+y

x

f (u)du −

=
0

y

f (u)du −
0

f (u)du.
0

Vai trò của x và y trong vế phải là như nhau, do đó ta có
yf (x) = xf (y)

với mọi x, y ∈ R. Từ đó, với x = 0, ta thu được
f (x)
= m,
x

với m là hằng số bất kì. Suy ra f (x) = mx, ∀x ∈ R\{0}.Và vì f là hàm cộng tính
nên ta có f (0) = 0. Cùng với điều kiện này, ta có f (x) = mx, ∀x ∈ R.
Để làm rõ hơn hàm cộng tính, chúng ta bắt đầu với định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4. Hàm f : R → R được gọi là thuần nhất hữu tỉ khi
f (rx) = rf (x)

(1.5)

với mọi x ∈ R và mọi số hữu tỉ r.
Định lý sau đây sẽ cho ta thấy mọi hàm cộng tính đều là thuần nhất hữu tỉ.
Định lý 1.2. Cho f : R → R là hàm cộng tính. Khi đó f là thuần nhất hữu tỉ.
Hơn nữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q.
Chứng minh. Cho x = 0 = y trong (1.1) ta có, f (0) = f (0) + f (0) từ đó suy ra
f (0) = 0.

(1.6)

Thay y = −x trong (1.1) và sử dụng (1.6), ta thấy f là hàm lẻ trong R, hay
f (−x) = −f (x)

(1.7)

với mọi x ∈ R. Chúng ta đã chỉ ra được hàm cộng tính là 0 tại x = 0 và nó là
hàm lẻ. Tiếp theo, chứng ta sẽ chứng minh hàm cộng tính là thuần nhất hữu tỉ.
Với x bất kì ta có,
f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x).


6
Từ đó
f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 3f (x);

tổng quát, ta có
f (nx) = nf (x)

(1.8)

với mọi số nguyên dương n. Nếu n là số nguyên âm thì −n là số nguyên dương
và do đó từ (1.8) và (1.7), ta có
f (nx) = f (−(−n)x) = −f ((−n)x) = −(−n)f (x) = nf (x).

Từ đó ta có, f (nx) = nf (x) với mọi số nguyên n và mọi x ∈ R. Tiếp theo, cho
r là một số hữu tỉ bất kì. Ta có
r=

k
l

trong đó k là số nguyên và l là số tự nhiên. Hơn nữa, kx = l(rx). Sử dụng tính
thuần nhất nguyên của f , ta được
kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx)

suy ra
k
f (x) = rf (x).
l
Do đó, f là thuần nhất hữu tỉ. Hơn nữa, cho x = 1 trong phương trình trên
f (rx) =

và định nghĩa m = f (1), ta thấy
f (r) = mr

với mọi số hữu tỉ r ∈ Q. Vì vậy f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ và chứng minh
được hoàn thành.
Định lý 1.3. Nếu hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục mọi nơi.

Chứng minh. Cho f là hàm liên tục tại t và x là một điểm bất kì. Vì vậy, ta có
lim f (y) = f (t). Tiếp theo, ta chứng f liên tục tại x. Xét

y→t

lim f (y) = lim f (y − x + t + x − t)

y→x

y→x

= lim f (y − x + t) + f (x − t)
y→x

=

lim

y−x+t→t

f (y − x + t) + f (x − t)


7
= f (t) + f (x − t)
= f (t) + f (x) − f (t)
= f (x).

Điều này chứng tỏ f là liên tục tại x và do tính bất kỳ của x, do đó f liên
tục mọi nơi.

1.2

Hàm cộng tính gián đoạn

Định nghĩa 1.5. Đồ thị của hàm số f : R → R là một tập
G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}.

Dễ thấy rằng đồ thị G của hàm số f : R → R là một tập con của R2 .
Định lý 1.4. Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật khắp
nơi trong R2 .
Chứng minh. Đồ thị G của hàm f được cho bởi
G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}.

Chọn x1 ∈ R, x1 = 0. Từ f là hàm cộng tính phi tuyến, với bất kì hằng số m, tồn
tại x2 ∈ R, x2 = 0 sao cho

nếu không viết m =

f (x1 )
x1

f (x1 )
f (x2 )
=
,
x1
x2

và cho x1 = x, ta sẽ có f (x) = mx, ∀x = 0, và từ f (0) = 0

điều này ngụ ý f là hàm tuyến tính trái với giả thiết f là hàm phi tuyến. Từ
x1 f (x1 )

= 0,

x2 f (x2 )

ta có vectơ X1 = (x1 , f (x1 )) và X2 = (x2 , f (x2 )) là độc lập tuyến tính và chúng
sinh ra tồn bộ R2 . Từ đó, với bất kì vectơ X = (x, f (x)), tồn tại số thực r1 và
r2 sao cho
X = r1 X1 + r2 X2 .


8
Nếu chỉ cho các số hữu tỉ ρ1 , ρ2 thì, bằng cách lựa chọn thích hợp, chúng ta
có thể nhận được ρ1 X1 + ρ2 X2 tùy ý gần với bất kì vectơ X nào đã cho. Bây giờ,
ρ1 X1 + ρ2 X2 = ρ1 (x1 , f (x1 )) + ρ2 (x2 , f (x2 ))
= (ρ1 x1 + ρ2 x2 , ρ1 f (x1 ) + ρ2 f (x2 )
= (ρ1 x1 + ρ2 x2 , f (ρ1 x1 + ρ2 x2 )).

Khi đó, tập
G = {(x, y)|x = ρ1 x1 + ρ2 x2 , y = f (ρ1 x1 + ρ2 x2 ), ρ1 , ρ2 ∈ Q}

là trù mật khắp nơi trong R2 . Từ G ⊂ G, đồ thị G của hàm cộng tính phi tuyến
f cũng trù mật khắp nơi trong R2 .

Định nghĩa 1.6. Cho tập S là tập hợp các số thực và B là tập con của tập S .
Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu và chỉ nếu mọi phần tử của S
đều là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn duy nhất của B .

Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để trình
bày một hàm cộng tính ta chỉ cần cung cấp các giá trị của nó trên cơ sở Hamel
là đủ, và các giá trị này được gán tùy ý. Đây là nội dung tiếp theo của định lý
sau đây.
Định lý 1.5. Cho B là cơ sở Hamel đối với R. Nếu hai hàm cộng tính có cùng
giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.
Chứng minh. Cho f1 và f2 là hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử
của B . Khi đó f1 − f2 là cộng tính. Đặt f = f1 − f2 . Cho x là một số thực bất kì.
Khi đó ta có các số b1 , b2 , . . . , bn ∈ B và các số hữu tỉ r1 , r2 , ..., rn sao cho
x = r1 b1 + r2 b2 + · · · + rn bn .

Từ đó
f1 (x) − f2 (x) = f (x)
= f (r1 b1 + r2 b2 + · · · + rn bn )
= f (r1 b1 ) + f (r2 b2 ) + · · · + f (rn bn )


9
= r1 f (b1 ) + r2 f (b2 ) + · · · + rn f (bn )
= r1 [f1 (b1 ) − f2 (b1 )] + r2 [f1 (b2 ) − f2 (b2 )] + · · · + rn [f1 (bn ) − f2 (bn )]
=0

Do đó, ta có f1 = f2 .
Định lý 1.6. Cho B là một cơ sở Hamel đối với R. Cho g : B → R là một
hàm tùy ý xác định trên B . Khi đó tồn tại hàm cộng tính f : R → R sao cho
f (b) = g(b) với mọi b ∈ B .

Chứng minh. Với mọi số thực x ta có thể tìm được b1 , b2 , . . . , bn ∈ B và các số
hữu tỉ r1 , r2 , . . . , rn sao cho
x = r1 b1 + r2 b2 + · · · + rn bn .

Ta xác định f (x) = r1 g(b1 )+r2 g(b2 )+· · ·+rn g(bn ), ∀x. Định nghĩa này là khơng
rõ ràng vì, đối với mỗi x, cách chọn b1 , b2 , ...bn , r1 , r2 , ..., rn là duy nhất, ngoại trừ
thứ tự mà bi và ri được chọn. Với mỗi b ∈ B , ta có f (b) = g(b) bởi cách xác định
f . Tiếp theo, ta chứng minh f là hàm cộng tính trên tập số thực.

Cho x, y là hai số thực. Khi đó
x = r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an
y = s 1 b1 + s 2 b2 + · · · + s n bn ,

với r1 , r2 , ..., rn , s1 , s2 , ..., sn ∈ Q và a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn ∈ B . Hai bộ {a1 , a2 , ..., an }
và {b1 , b2 , ..., bn } có thể có một số phần tử trùng nhau. Hợp hai tập này ta được
tập {c1 , c2 , ..., cl }. Khi đó l ≤ m + n, và
x = u1 c1 + u2 c2 + · · · + ul cl
y = v1 c1 + v2 c2 + · · · + vl cl ,

với u1 , u2 , ..., un , v1 , v2 , ..., vn là các số hữu tỉ, trong đó có một số số có thể bằng 0.
Ta có
x + y = (u1 + v1 )c1 + (u2 + v2 )c2 + · · · + (ul + vl )cl

và


10

f (x + y) = f ((u1 + v1 )c1 + (u2 + v2 )c2 + · · · + (ul + vl )cl )
= (u1 + v1 )g(c1 ) + (u2 + v2 )g(c2 ) + · · · + (ul + vl )g(cl )
= [u1 g(c1 ) + u2 g(c2 ) + · · · + ul g(cl )] + [v1 g(c1 ) + v2 g(c2 ) + · · · + vl g(cl )]
= f (x) + f (y).

Do đó f là hàm cộng tính trên R.
Với sự trợ giúp của cơ sở Hamel, tiếp theo ta xây dựng cấu trúc cho hàm
cộng tính phi tuyến. Cho B là một sơ sở Hamel của tập số thực R. Cho b ∈ là
một phần tử bất kì của B . Ta xác định

 0 nếu x ∈ B\{b}
g(x) =
 1 nếu x = b.
Từ Định lý 1.6, tồn tại hàm cộng tính f : R → R sao cho f (x) = g(x) với
mỗi x ∈ B . Chú ý hàm f này khơng thể tuyến tính vì x ∈ B và x = b, ta có
0=

f (x)
x

=

f (b)
b .

Từ đó, f là hàm cộng tính phi tuyến.

1.3

Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính

Chúng ta có đồ thị của hàm cộng tính phi tuyến tính f là trù mật trong mặt
phẳng. Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một điểm (x, y) sao cho y = f (x). Chúng ta
cũng nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành tuyến tính khi áp đặt tính
liên tục trên f . Chúng ta có thể làm yếu điều kiện liên tục về liên tục tại một

điểm. Trong mục này, chúng ta trình bày một số điều kiện chính quy nhẹ khác
mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính.
Định lý 1.7. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc đơn điệu
thì f là tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử f khơng tuyến tính. Khi đó theo Địnhnh lý 1.4, đồ thị
của hàm f trù mật trong mặt phẳng. Từ f là bị chặn ở trên, khi đó tồn tại
M sao cho hàm cộng tính f thỏa f (x) ≤ M,

x ∈ R, và đồ thị của f khác tập


11
A = {x ∈ R|f (x) > M }. Từ đó, đồ thị của f khơng thể trù mật trong mặt phẳng,

đây là một mâu thuẫn. Do đó f là tuyến tính. Phần cịn lại của định lý có thể
chứng minh theo cách tương tự.
Định nghĩa 1.7. Một hàm f : R → R được gọi là nhân tính nếu và chỉ nếu
f (x.y) = f (x).f (y) với mọi x, y ∈ R.

Định lý 1.8. Nếu một hàm cộng tính f là nhân tính thì f là tuyến tính.
Chứng minh. Với mọi số dương x, ta có
√ √
√
√
√
f (x) = f ( x. x) = f ( x).f ( x) = [f ( x)]2 ≥ 0.

Từ đó, f bị chặn dưới và theo Định lý 1.7, ta có f là tuyến tính.

1.4

Hàm cộng tính trên mặt phẳng thực và phức

Trong mục này, đầu tiên ta trình bày một số kết quả liên quan đến hàm cộng
tính trên mặt phẳng R2 và sau đó nghiên cứu hàm cộng tính có giá trị phức trên
mặt phẳng phức. Chúng ta bắt đầu với kết quả sau đây.
Định lý 1.9. Nếu f : R2 → R là cộng tính trên mặt phẳng R2 , thì tồn tại các
hàm cộng tính A1 , A2 : R → R sao cho
f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ R.

(1.9)

Chứng minh. Cho x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) là hai điểm bất kì trong mặt phẳng.
Từ tính cộng tính của f , ta có:
f (x + y) = f (x) + f (y)

hay
f (x1 + y1 , x2 + y2 ) = f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 ).

Chúng ta xác định A1 (x1 ) = f (x1 , 0) và A2 (x2 ) = f (0, x2 ) và ta cần chứng
minh A1 , A2 là cộng tính. Thật vậy,
A1 (x1 + y1 ) = f (x1 + y1 , 0)
= f (x1 + y1 , 0 + 0)


12
= f (x1 , 0) + f (y1 , 0)
= A1 (x1 ) + A1 (y1 ).

Do đó A1 là cộng tính trên R. Tương tự, ta có thể chứng minh A2 là cộng

tính trên R. Tiếp theo, chúng tơi thấy f là sự chồng chất của A1 và A2 . Lưu ý
rằng (x1 , x2 ) = (X1 , 0) + (0, x2 ) và
f (x1 , x2 ) = f (x1 , 0) + f (0, x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ).

Định lý 1.10. Nếu hàm f : R2 → R là hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng
R2 , thì tồn tại hằng số c1 , c2 sao cho
f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R.

(1.10)

Kết quả này có thể mạnh hơn nữa nếu làm yếu tính liên tục của f : R2 → R.
Bổ đề 1.1. Nếu hàm cộng tính f : R2 → R là liên tục theo từng biến thì nó là
hàm liên tục.
Chứng minh. Từ hàm f : R2 → R là cộng tính, từ Định lý 1.9, chúng ta có
f (x, y) = A1 (x) + A2 (y), ∀x, y ∈ R.

Từ f là hàm liên tục theo từng biến, chúng ta có A1 và A2 là liên tục. Do đó
và

lim A1 (x) = A1 (x0 )

x→x0

lim A2 (y) = A2 (y0 ).

y→y0

Để chứng f liên tục, chúng ta tính
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) =

lim

[A1 (x) + A2 (y)]

(x,y)→(x0 ,y0 )

= lim A1 (x) + lim A2 (y)
x→x0

y→y0

= A1 (x0 ) + A2 (y0 )
= f (x0 , y0 ).

Điều này cho thấy f là hàm liên tục.


13
Trong kết quả này, chúng ta có thể buộc tính tuyến tính của hàm cộng tính
có giá trị thực trên mặt phẳng bằng cách giả sử tính liên tục của từng biến. Hơn
nữa, ta có thể mở rộng Định lý 1.9 thành các hàm cộng tính có giá trị thực trên
Rn .
Định lý 1.11. Nếu f : Rn → R là hàm cộng tính liên tục trên Rn , thì tồn tại
các hằng số c1 , c2 , . . . , cn sao cho
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn , ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ R.

(1.11)

Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng
tính có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt đầu với một giới thiệu
√

ngắn gọn về hệ số phức. Các số có dạng a + b −1, trong đó a và b là các số thực,
được gọi là số phức. Vào đầu thế kỉ 16, Cardan(1501-1576) làm việc với số phức
trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm số liên
quan đến số phức được tìm thấy bởi Euler. trong một thời gian dài, các số phức
ít được quan tâm và nói chung khơng được xét đến như các số chính thống cho
đến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và đặt
tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức "tồn tại trong tưởng tượng"
và xem các nghiệm phức của phương trình chỉ hữu ích trong việc chứng tỏ rằng
các phương trình này thực sự vơ nghiệm. Gauss đưa ra một biểu diễn hình học
đối với số phức và nhận ra rằng thật là không đúng nếu cho rằng "có một bí
mật mờ mịt nào đó trong các số này". Ngày nay, các số phức đã được chấp nhận
rộng rãi theo cơng trình của Gauss. Định nghĩa hình thức về số phức được cho
bởi William Hamilton.
Định nghĩa 1.8. Hệ số phức C là tập hợp các cặp thứ tự các số thực (x, y) với
phép cộng và phép nhân được xác định bởi
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
(x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu)

với mọi x, y, u, v ∈ R.
Đồng nhất số thực x với cặp số (x, 0) và kí hiệu i là số thuần ảo (0, 1). Ta có
thể viết lại biểu thức sau
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)


14

thành (x, y) = x + iy . Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có
z = x + iy . Số thực x được gọi là phần thực của z và kí hiệu là Rez . Tương tự,

số thực y được gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz . Nếu z là số phức có dạng
x + iy thì số phức x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu là
z.

Một hàm bất kì f : C → C có thể viết thành:
f (z) = f1 (z) + if2 (z),

(1.12)

trong đó f1 : C → R và f2 : C → R được cho bởi
f1 (z) = Ref (z),

và f2 (z) = Imf (z).

(1.13)

Nếu f là cộng tính, từ (1.12) và (1.13), ta có
f1 (z1 + z2 ) = Ref (z1 + z2 )
= Re[f (z1 ) + f (z2 )]
= Ref (z1 ) + Ref (z2 )
= f1 (z1 ) + f2 (z2 ),

và
f2 (z1 + z2 ) = Imf (z1 + z2 )
= Im[f (z1 ) + f (z2 )]
= Imf (z1 ) + Imf (z2 )
= f2 (z1 ) + f2 (z2 ).

Định lý 1.12. Nếu f : C → C là cộng tính, thì tồn tại hàm cộng tính fkj : R → R,
(k, j = 1, 2) sao cho
f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz).

Chứng minh. Từ (1.12), chúng ta có
f (z) = f1 (z) + if2 (z),

trong đó f1 : C → R và f2 : C → R là các hàm có giá trị thực trên mặt phẳng
phức. Từ f là hàm cộng tính, f1 và f2 cũng là hàm cộng tính. Các hàm f1 , f2 có


15
thể được xem như là các hàm đi từ R2 vào R, áp dụng Định lý 1.9 ta có điều
phải chứng minh.
Định lý tiếp theo sau đây liên quan đến hàm cộng tính liên tục có giá trị
phức trên mặt phẳng phức.
Định lý 1.13. Nếu f : C → C là hàm cộng tính liên tục, thì tồn tại các hằng
số phức c1 , c2 sao cho
f (z) = c1 z + c2 z

(1.14)

trong đó z là số phức liên hợp của z .
Chứng minh. Từ f là cộng tính và bởi Định lý 1.12, ta có
f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz),

trong đó fkj : R → R(k, j = 1, 2) là là hàm cộng tính có giá trị thực trên tập số
thực. Tính liên tục của f cũng ngụ ý cho tính liên tục của từng hàm fkj và do
đó fkj (x) = ckj x, trong đó ckj (k, j = 1, 2) là các hằng số thực. Do đó, ta có

f (z) = c1 1Rez + c12 Imz + ic21 Rez + ic22 Imz
= (c11 + ic21 )Rez + (c12 + ic22 )Imz
= aRez + bImz

trong đó a = c11 + ic21 , b = c21 + ic22

= aRez − i(bi)Imz
a + bi
a − bi
a + bi
a − bi
Rez +
Rez −
iImz +
iImz
2
2
2
2
a − bi
a + bi
a + bi
a − bi
=
Rez +
iImz −
Rez −
iImz
2
2

2
2
a − bi
a + bi
=
(Rez + iImz) +
(Rez − iImz)
2
2
a − bi
a
=
z+
z
2
a + bi
=

= c1 z + c2 z,

trong đó c1 =

a−bi
2

và c2 =

a+bi
2

là các hằng số phức.

Lưu ý, khơng giống như hàm cộng tính liên tục có giá trị thực trên mặt phẳng
thực, các hàm cộng tính liên tục có giá trị phức trên mặt phẳng phức khơng
phải là tuyến tính. Tính tuyến tính có thể được phục hồi nếu ta giả sử điều kiện
chính quy mạnh hơn như là tính giải tích thay vì tính liên tục.


16
Định nghĩa 1.9. Hàm f : C → C được gọi là giải tích khi và chỉ khi f là khả
vi trên C
Định lý 1.14. Nếu f : C → C là hàm cộng tính giải tích, thì tồn tại hằng số
phức c sao cho f (z) = cz, nghĩa là f là tuyến tính.
Chứng minh. Vì f là giải tích, nó là khả vi. Lấy đạo hàm của hàm
f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 )

(1.15)

theo biến z1 , ta được
∀z1 , z2 ∈ C.

f (z1 + z2 ) = f (z1 ),

Do đó, cho z1 = 0 và z2 = z , ta được f (z) = c, trong đó c = f (0) là hằng số
phức. Do đó, ta thấy
f (z) = cz + b,

với b là hằng số phức. Thay vào (1.15), ta thu được b = 0.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.5

Hàm song cộng tính

Trong mục này, chúng ta kiểm tra các hàm song cộng tính. Chúng ta bắt đầu
mục này với định nghĩa hàm song cộng tính.
Định nghĩa 1.10. Hàm f : R2 → R được gọi là song cộng tính nếu và chỉ nếu
nó là hàm cộng tính theo từng biến, nghĩa là
f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z)

(1.16)

f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z)

(1.17)

với mọi x, y, z ∈ R.
Một ví dụ của hàm song cộng tính dễ thấy được là là một bội tích các biến
độc lập. Vì vậy nếu m là một hằng số và ta xác định f bởi
f (x, y) = mxy,

x, y ∈ R,

thì f là song cộng tính. Câu hỏi đặt ra là cịn hàm song cộng tính nào khác
không?


17
Định lý 1.15. Mỗi ánh xạ song cộng tính liên tục f : R2 → R có dạng
f (x, y) = mxy

với mọi x, y ∈ R và hằng số m tùy ý, m ∈ R.
Chứng minh. Cho f : R2 → R là ánh xạ song cộng tính liên tục. Do đó f thỏa
f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z),

∀x, y ∈ R.

(1.18)

Cho x = 0 = y , trong đẳng thức trên, ta có điều kiện sau
(1.19)

f (0, z) = 0

với mọi z ∈ R. Cố định z , đặt φ(x) = f (x, z), từ (1.18) ta có
φ(x, y) = φ(x) + φ(y).

(1.20)

Vì, f là liên tục do đó φ cũng liên tục và từ (1.20), φ là tuyến tính, hay
φ(x) = kx, và

(1.21)

f (x, y) = k(y)x

trong đó, k : R → R là hàm bất kì. Vì, f cũng là cộng tính theo biến thứ hai,
chúng ta có
f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z).

(1.22)

Thay (1.21) vào (1.22), ta được
xk(y + z) = xk(y) + xk(z)

∀x, y, z ∈ R.

Nếu x = 0, thì đẳng thức trên trương đương
k(y + z) = k(y) + k(z).

(1.23)

Bằng cách sử dụng tính cộng tính của f , chúng ta thấy k cũng là cộng tính
và do đó nó tuyến tính. Do đó k(y) = my với m là một hằng số bất kì. Thay vào
(1.21) ta được
f (x, y) = mxy

∀x, y ∈ R, x = 0.

(1.24)

Nếu x = 0, khi đó từ (1.17), ta thấy f (0, y) = 0 và do đó (1.24) đúng với mọi
x, y ∈ R. Chứng minh hoàn thành.


18
Định lý 1.16. Mỗi hàm song cộng tính f : R2 → R có thể được biểu diễn dưới
dạng

n

m

αkj rk sj ,

f (x, y) =

(1.25)

k=1 j=1
n

trong đó x =

m

sj bj với rk , sj là hữu tỉ, trong khi bj là các phần

r k bk , y =
j=1

k=1

tử của một cơ sở Hamel B và αkj tùy ý phụ thuộc vào bj và bk .
Chứng minh. Cho B là một cơ sở Hamel của tập số thực R. Khi đó với mọi số
thực x ta có thể viết

n

rk bk

x=

(1.26)

k=1

với bk ∈ R và hệ số hữu tỉ thích hợp rk . Tương tự, với bất kì số thực y nào ta
cũng có thể viết

m

y=

s j bj

(1.27)

j=1

với bj ∈ R và hệ số hữu tỉ tương ứng sj .
Vì f là song cộng tính, do đó
f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y)

(1.28)

f (x, y1 + y2 ) = f (x, y1 ) + f (x, y2 )

(1.29)

với mọi x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. Từ (1.28) và (1.29), bằng quy nạp, ta có
n

f(

n

xk , y) =
k=1

f (xk , y)

(1.30)

k=1
n

f (x,

n

)=
k=1

f (x, yk )

(1.31)

k=1

Cho x1 = x2 = · · · = xn = x và y1 = y2 = · · · = yn tương ứng trong (1.30) và
(1.31), ta được
f (nx, y) = nf (x, y) = f (x, ny)

Từ (1.32) đặt t =

m
nx

(hay nt = mx), ta được

nf (t, y) = f (nt, y) = f (mx, y) = mf (x, y)

(1.32)


19
hay f (t, y) =

m
n f (x, y).

Do đó
f(

m
m
x, y) = f (x, y).
n
n

(1.33)

Vì f là hàm song cộng tính, ta thấy
f (x, 0) = 0 = f (0, y), ∀x, y ∈ R.

(1.34)

Tiếp theo, ta thế x2 = −x1 = x vào (1.28) và sử dụng (1.34) ta được
f (−x, y) = −f (x, y).

(1.35)

Từ (1.35) và (1.33) chúng ta kết luận (1.32) đúng với mọi số hữu tỉ. Bằng cách
làm tương tự đối với biến thứ hai ta có với mọi số hữu tỉ r và mọi số thực x, y
f (rx, y) = rf (x, y) = f (x, ry).

Vì vậy từ (1.28), (1.29), (1.30), (1.31) và ( 1.32) ta thu được
n

f (x, y) = f (

m

rk bk ,
j=1
m

k=1
n

=

s j bj )

rk f (bk ,
k=1
n
m

=

s j bj )
j=1

rk sj f (bk , bj )
k=1 j=1
n
m

=

αkj rk sj ,
k=1 j=1

trong đó αkj = f (bk , bj ). Chứng minh hoàn thành.

(1.36)

Chương 2
Định lý giá trị trung bình Lagrange
và các phương trình hàm liên quan
Trong chương này, chúng tơi quan tâm đến Định lý gái trị trung bình Lagrange và một số mở rộng của nó. Thứ nhất chúng tơi giới thiệu về Định lý
Rolle. Nội dung thứ hai là Định lý giá trị trung bình Lagrange được suy ra từ
Định lý Rolle và một số ứng dụng của nó. Một nội dung nữa cũng được xem xét,
nghiên cứu và cũng là nội dung chính của chương này đó chính là các phương
trình hàm sinh bởi Định lý giá trị trung bình Lagrange. Tài liệu được sử dụng
chính trong chương này là [6].

2.1

Định lý giá trị trung bình

Một trong những định lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là định lý
giá trị trung bình Lagrange. Định lý này lần đầu tiên được phát hiện bởi Joseph
Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng áp dụng Định lý Rolle vào một hàm
bổ trợ thích hợp được cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy nhiên, phát biểu
đầu tiên của định lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý học nổi tiếng
André-Marie Ampére (1775-1836). Như đã biết nhiều kết quả của giải tích thực
cổ điển là một hệ quả của định lý giá trị trung bình. Chứng minh của Định lý
Rolle dựa vào hai kết quả đơn giản sau đây.
Mệnh đề 2.1. Nếu một hàm khả vi f : R → R đạt cực trị tại một điểm c thuộc
khoảng mở (a, b) thì f (c) = 0.
Mệnh đề 2.2. Một hàm liên tục f : R → R đạt cực trị tồn cục trên một khoảng
đóng và bị chặn bất kỳ [a, b].
20


21

Chúng ta bắt đầu với Định lý Rolle sau đây.
Định lý 2.1. Nếu f liên tục trên [x1 , x2 ], khả vi trên (x1 , x2 ) và f (x1 ) = f (x2 ),
thì tồn tại một điểm η ∈ (x1 , x2 ) sao cho f (η) = 0.
Chứng minh. Vì f là liên tục và [x1 , x2 ] là khoảng đóng và bị chặn, theo Mệnh
đề 2.2, f đạt giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m trong khoảng này.
Nếu M = m thì ta có f (x) là hàm hằng trên [x1 , x2 ] và do đó
f (c) = 0, ∀c ∈ (x1 , x2 ).

Nếu M > m, vì f (x1 ) = f (x2 ) khi đó tồn tại c ∈ (x1 , x2 ) sao cho f (c) = M
hoặc f (c) = m, do đó theo Mệnh đề 2.1 ta có f (η) = 0.
Định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học như sau: Nếu có một đường
thẳng nằm ngang cắt đồ thị của hàm f tại hai điểm thì có một tiếp tuyến nằm
ngang của đồ thị tại một điểm nằm giữa hai giao điểm của đồ thị và đường
thẳng đã cho.

Hình 2.1: Hình minh họa cho Định lý Rolle.

Định lý Rolle được khái quát hóa bằng cách xoay đồ thị của hàm f , ta thu
được Định lý giá trị trung bình Lagrange.


22
Định lý 2.2. Với mọi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với nọi cặp
x1 = x2 trong I , tồn tại một điểm η phụ thuộc x1 và x2 sao cho
f (x1 ) − f (x2 )
= f (η(x1 , x2 )).
x 1 − x2

(2.1)

Chứng minh. Chứng minh này dựa trên ý tưởng rằng Định lý giá trị trung bình
Lagrange chỉ là phiên bản xoay của Định lý Rolle. Chúng ta xét hàm số sau
h(x) =

f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) + f (x1 ).
x2 − x1

Đây là phương trình đường thẳng cắt đồ thị của f tại (x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )).
Đặt g(x) = f (x) − h(x). Vì f và h là liên tục trên [x1 , x2 ] và khả vi trên (x1 , x2 )
do đó điều tương tự cũng đúng cho g . Ta thấy g(x1 ) = g(x2 ) = 0 và do đó g thỏa
mãn các điều kiện của Định lý Rolle. Áp dụng Định lý Rolle, khi đó tồn tại
η ∈ (x1 , x2 ) sao cho
0 = g (η) = f (η) −

f (x2 ) − f (x1 )
,
x2 − x1

và do đó
f (η) =

2.2

f (x2 ) − f (x1 )
.
x2 − x1

Ứng dụng của Định lý giá trị trung bình Lagrange

Định lý giá trị trung bình có cách hiểu hình học sau đây. Đường tiếp tuyến
của đồ thị hàm số f tại η(x1 , x2 ) song song với đường thẳng đi qua hai điểm
(x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )).

Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và
tích phân sử dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange.
Bổ đề 2.1. Nếu hàm f liên tục trên [a, b] và f (x) = 0 với mọi x trong khoảng
(a, b), thì f là hằng số trên [a, b].

Chứng minh. Cho x1 , x2 là hai điểm bất kì thuộc (a, b), giả sử f (x1 ) = f (x2 ), khi
đó, bởi định lý giá trị trung bình, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f (c) =

f (x2 ) − f (x1 )
= 0,
x2 − x1