Vấn đề phân loại các nhóm con đại số của nhóm SL(2,C)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG

VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ
CỦA NHĨM SL(2, C)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG

VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ
CỦA NHÓM SL(2, C)

Chuyên ngành :
Mã số
:

Người hướng dẫn:

Đại số và lí thuyết số
8460104

TS. NGƠ LÂM XN CHÂU

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Cơ sở lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tác động nhóm và Định lý Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Đa tạp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Nhóm đại số

16

2.1

Nhóm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Đại số Lie và nhóm đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Nhóm đại số giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Các nhóm con đại số của nhóm SL(2, C)

33

3.1

Nhóm tuyến tính đặc biệt cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2

Phân loại các nhóm con đại số của nhóm SL(2, C) . . . . . . . . . 35

4 Các nhóm con hữu hạn của nhóm SL(2, C)

39

4.1

Phân loại các nhóm con hữu hạn của nhóm SL(2, C) . . . . . . . . 39

4.2

Mơ tả các nhóm con hữu hạn của nhóm SL(2, C) . . . . . . . . . . 44

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

i


MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhóm đại số được phát triển từ những năm 1950, với các cơng
trình của các nhà tốn học như Chevalley, Kolchin, Borel,... Một trong những
kết quả quan trọng về nhóm đại số là Định lý Lie-Kolchin khẳng định rằng mọi
nhóm con đại số liên thơng giải được của nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, C)
đều liên hợp với một nhóm con của nhóm các ma trận tam giác trên.
Nhóm SL(2, C) gồm các ma trận vng cấp hai có định thức bằng 1 đóng vai
trị quan trọng trong lý thuyết các nhóm đại số nói chung và đặc biệt trong lý
thuyết các phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. Người ta chứng minh được
rằng, nhóm Galois vi phân của một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
là một nhóm con đại số của nhóm SL(2, C). Việc nghiên cứu các nhóm con đại
số của nhóm SL(2, C) cho phép ta nghiên cứu tính giải được Liouville của các

phương trình vi phân tuyến tính cấp hai. Xuất phát từ những nhận định trên,
chúng tôi quyết định chọn đề tài “Vấn đề phân loại các nhóm con đại số của
nhóm SL(2, C)” để tìm hiểu.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và làm rõ sự phân loại các nhóm con
đại số của nhóm SL(2, C). Bên cạnh đó, luận văn cịn làm rõ các nhóm con hữu
hạn của SL(2, C). Luận văn tập trung làm rõ các kết quả trong [2].
Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia thành bốn chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày các
kiến thức cơ sở về nhóm, tác động của một nhóm lên một tập hợp và định nghĩa
của các đa tạp affine để làm cơ sở cho các lập luận trong các chương sau của
luận văn.
Chương 2. Nhóm đại số. Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa
1


và đưa ra một tính chất cơ bản của nhóm đại số. Đồng thời, mơ tả cấu trúc của
các nhóm đại số thơng qua nhóm tuyến tính tổng qt.
Chương 3. Các nhóm con đại số của nhóm SL(2, C). Trong chương này,
chúng tơi trình bày lại và làm rõ phép chứng minh định lý phân loại các nhóm
con đại số của nhóm SL(2, C) trong [2].
Chương 4. Các nhóm con hữu hạn của nhóm SL(2, C). Trong chương này,
chúng tơi sẽ chỉ ra những nhóm con đại số nào của SL(2, C) là hữu hạn. Hơn
nữa chúng tơi cịn xác định cụ thể các nhóm con hữu hạn này thơng qua đẳng
cấu tới các nhóm cổ điển như nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.
Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn và sự kính trọng sâu sắc đến thầy giáo TS.
Ngô Lâm Xuân Châu, thầy đã trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo
mọi điều kiện thuận lợi trong q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành
luận văn này một cách tốt nhất. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban
lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn và

Thống kê cùng q thầy cơ đã giảng dạy, giúp đỡ tơi trong q trình học tập tại
trường. Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn các anh chị, các bạn học viên lớp Đại số
và lí thuyết số khóa 20, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do hạn chế về trình độ cũng như kinh
nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh những kết quả đạt được, luận văn không thể
tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý
thẳng thắn và chân thành trên tinh thần học thuật của quý thầy cô và các bạn
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Ngày 6 tháng 8 năm 2020
Học viên thực hiện

Nguyễn Võ Thành Khang

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày những kiến thức cơ sở của lý thuyết
nhóm và tác động của nhóm lên một tập hợp. Bên cạnh đó chúng tơi cũng trình
bày định nghĩa và một số tính chất tơpơ cơ bản của đa tạp affine, làm cơ sở cho
các lập luận ở các phần sau của luận văn.

1.1

Cơ sở lý thuyết nhóm

Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một tập hợp khác rỗng được trang bị một phép
tốn hai ngơi ký hiệu bởi “ .”. Khi đó (G, .) gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:
(i) Phép toán là kết hợp, tức là g.(h.k) = (g.h).k với mọi g, h, k ∈ G.
(ii) Tồn tại duy nhất một phần tử e ∈ G sao cho e.g = g.e = g với mọi g ∈ G.
Phần tử e gọi là phần tử đơn vị của nhóm.
(iii) Mỗi phần tử đều có nghịch đảo, tức là, với mọi g ∈ G, tồn tại g −1 ∈ G sao
cho g.g −1 = g −1 .g = e.
Nếu phép tốn trong nhóm là giao hốn, tức là g.h = h.g với mọi g, h ∈ G thì
ta nói G là một nhóm giao hốn (hay nhóm abel).
Định nghĩa 1.1.2. Cho G là một nhóm và H là một tập con khác rỗng của G.
Khi đó H gọi là một nhóm con của G nếu H cùng với phép tốn cảm sinh từ G
lập thành một nhóm.
3


Định nghĩa 1.1.3. Cho G và G là hai nhóm. Một đồng cấu nhóm giữa G và
G là một ánh xạ f : G → G sao cho
f (gh) = f (g).f (h) với mọi g, h ∈ G.

Giả sử f : G → G là một đồng cấu nhóm. Khi đó hạt nhân ker f = {g ∈ G :
f (g) = eG } và ảnh Im f = {f (g) : g ∈ G} lần lượt là các nhóm con của G và G .

Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ về nhóm và nhóm con.
Ví dụ 1.1.4. (i) Cho k là một trường và n là một số nguyên dương. Tập hợp
GL(n, k) các ma trận vng cấp n với hệ số trên k có định thức khác khơng là

một nhóm với phép nhân các ma trận. Phần tử đơn vị của nhóm là ma trận đơn
vị; phần tử nghịch đảo của mỗi ma trận là ma trận nghịch đảo. Nhóm này được
gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.
(ii) Cho X là một tập hợp gồm n phần tử x1 , x2 , . . . , xn . Mỗi song ánh σ : X →
X được gọi là một phép thế trên X (hoặc phép thế trên n phần tử). Ký hiệu

bởi (xi1 xi2 . . . xir ) phép thế biến xik thành xik+1 với mọi k = 1, 2, . . . , r − 1 và giữ
nguyên các phần tử còn lại, mỗi phép thế như vậy được gọi là một r-xích. Ký
hiệu bởi S(X) tập hợp tất cả các phép thế trên X . Khi đó S(X) cùng với phép
hợp thành ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các phép thế trên n phần tử (hoặc
nhóm đối xứng). Nhóm đối xứng còn được ký hiệu là Sn . Cấp của Sn là n!.
(iii) Xét nhóm đối xứng Sn . Mỗi 2-xích được gọi là một chuyển trí. Khi đó
mỗi phép thế đều có thể được phân tích thành hợp thành của các chuyển trí.
Một phép thế gọi là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó là hợp thành của một số chẵn
(tương ứng, lẻ) các chuyển trí. Ký hiệu bởi An tập hợp tất cả các phép thế chẵn
trong Sn . Khi đó An là một nhóm con của nhóm đối xứng và được gọi là nhóm
thay phiên. Cấp của An là

n!
.
2

Trong trường hợp G là nhóm hữu hạn, định lý sau đây cho ta mối liên hệ
giữa cấp của G và cấp của các nhóm con của nó.
Định lý 1.1.5 (Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con
của G. Khi đó |H| | |G|.
4


Ở phần tiếp theo, ta sẽ xét chiều ngược lại của Định lý Lagrange để thấy
rằng chiều ngược lại chỉ đúng trong một số trường hợp đặc biệt.
Định nghĩa 1.1.6. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó
tập hợp gH = {gh : h ∈ H} gọi là một lớp ghép trái của H trong G. Tương tự
ta cũng có các lớp ghép phải của H trong G. Số các lớp ghép trái của H trong
G được gọi là chỉ số của H trong G và được ký hiệu là [G : H]. Nhóm con H

gọi là chuẩn tắc trong G nếu gH = Hg với mọi g ∈ G. Một cách tương đương,
ghg −1 ∈ H với mọi g ∈ G và với mọi h ∈ H .

Định nghĩa 1.1.7. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của
G. Khi đó tập hợp G/H = {gH : g ∈ G} là một nhóm với phép tốn được định

nghĩa như sau
(g1 H).(g2 H) = (g1 .g2 )H với mọi g1 , g2 ∈ G.

Nhóm G/H được gọi là nhóm thương của G theo nhóm con H .
Ví dụ 1.1.8. (i) Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Xét tập hợp
ZG (H) = {g ∈ G : gh = hg với mọi h ∈ H}.

Khi đó ZG (H) là một nhóm con chuẩn tắc trong G, gọi là nhóm tâm hóa của H
trong G.
(ii) Cho G là một nhóm và S là một tập con của G. Xét tập hợp
NG (S) = {g ∈ G : gSg −1 = S}.

Khi đó NG (H) là một nhóm con chuẩn tắc trong G, gọi là nhóm chuẩn tắc hóa
của S trong G.
(iii) Mọi nhóm con chỉ số 2 đều chuẩn tắc. Thật vậy, giả sử H là một nhóm
con chỉ số 2 trong G. Lấy g ∈ G bất kỳ. Nếu g ∈ H thì ta có gH = H = Hg . Giả
sử g ∈
/ H . Vì chỉ có hai lớp ghép trái của H trong G nên ta suy ra hai lớp ghép
trái này là H và gH . Vì các lớp ghép trái là rời nhau nên gH = G \ H . Tương tự,
các lớp ghép phải cũng rời nhau nên Hg = G \ H = gH . Do đó gH = Hg . Điều
này đúng với mọi g ∈ G nên ta suy ra H chuẩn tắc trong G.
5

(iv) Nhóm con An là chuẩn tắc trong Sn . Thật vậy, lấy τ ∈ An và σ ∈ Sn . Khi
đó τ là một phép thế chẵn. Ta có σ và σ −1 hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ta suy
ra στ σ −1 là một phép thế chẵn. Do đó στ σ −1 ∈ An . Vậy An chuẩn tắc trong Sn .
Khi đó vì Sn /An chỉ có hai phần tử nên Sn /An ∼
= Z2 .

1.2

Tác động nhóm và Định lý Sylow

Cho G là một nhóm và X là một tập hợp. Trong mục này, ta sẽ xem xét tác
động của nhóm G lên tập hợp X . Đồng thời, ta sẽ nghiên cứu trong trường hợp
G là một nhóm hữu hạn có cấp là một lũy thừa của một số nguyên tố. Đây là

những kết quả cần thiết cho các lập luận ở chương cuối của luận văn.
Định nghĩa 1.2.1. Một tác động của nhóm G lên tập hợp X là một ánh xạ
G × X → X thỏa mãn các điều kiện sau

(i) e.x = x với mọi x ∈ X , trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm G,
(ii) (gh).x = g.(h.x) với mọi g, h ∈ G, với mọi x ∈ X .
Tập hợp X cùng với tác động của nhóm G được gọi là một G-tập. Một tác động
được gọi là tầm thường nếu g.x = x với mọi g ∈ G. Một tác động gọi là bắc cầu
nếu với mọi x, y ∈ X , tồn tại g ∈ G sao cho g.x = y .
Định nghĩa 1.2.2. Cho tác động của nhóm G lên tập hợp X và x ∈ X . Khi đó
(i) Gx = {g ∈ G : g.x = x} là một nhóm con của G, gọi là nhóm con ổn định
của x trong G.
(ii) Tập G.x = {g.x : g ∈ G} gọi là quỹ đạo của phần tử x. Phần tử x gọi là một
phần tử cố định dưới tác động nếu |G.x| = 1.
Ta kiểm tra nhóm con ổn định Gx của một phần tử x ∈ X đúng là một nhóm

con của G. Giả sử g, h ∈ Gx . Khi đó
(gh).x = g.(h.x) = g.x = x.

Ta suy ra gh ∈ Gx . Do đó Gx đóng với phép toán trên G.
6


Lấy g ∈ Gx . Khi đó g.x = x. Ta suy ra g −1 .(g.x) = g −1 .x. Hơn nữa
g −1 .(g.x) = (g −1 g).x = x.

Ta suy ra g −1 .x = x và do đó g −1 ∈ Gx .
Tiếp theo ta xét một số tính chất của quỹ đạo.
(i) Nếu y ∈ G.x thì G.x = G.y . Thật vậy, giả sử y = h.x với h ∈ G. Khi đó
g.y = g.(h.x) = (gh).x với mọi g ∈ G. Ta suy ra mọi phần tử trong G.y đều thuộc
G.x. Mặt khác, vì y = h.x nên x = h−1 .y . Suy ra x ∈ G.y và do đó G.x ⊆ G.y .

(ii) Nếu z ∈ S thuộc vào quỹ đạo của x và y thì G.z = G.x = G.y . Như vậy
hai quỹ đạo xác định bởi hai phần tử khác nhau hoặc không giao nhau hoặc
trùng nhau. Trong trường hợp X là tập hữu hạn, giả sử X = {x1 , x2 , . . . , xn }, ta
có X =

n
i=1 G.xi .

Từ đó suy ra
n

|X| =

|G.xi |.

i=1

Ví dụ 1.2.3. (i) Cho G là một nhóm. Với X là tập hợp tất cả các nhóm con
của G, xét tác động của nhóm G lên tập X xác định bởi
g.H = gHg −1 với mọi g ∈ G, với mọi H ∈ X.

Tác động này gọi là tác động liên hợp của nhóm G lên tập hợp tất cả các nhóm
con của G.
(ii) Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó G tác động bắc
cầu lên G/H . Trong trường hợp |G| > 1 thì tác động của G lên chính nó khơng
là tác động bắc cầu.
Một kết quả quan trọng trong lý thuyết tác động nhóm là Định lý quỹ đạo,
phát biểu rằng số phần tử của quỹ đạo đúng bằng chỉ số của nhóm con ổn định.
Mệnh đề 1.2.4 (Định lý quỹ đạo). Số phần tử của quỹ đạo G.x bằng chỉ số
của nhóm con ổn định của phần tử x, tức là
|G.x| = [G : Gx ] với mọi x ∈ X.
7


Chứng minh. Giả sử g.x = h.x với g, h ∈ G. Khi đó ta có g −1 g.x = g −1 h.x. Điều
này tương đương với x = g −1 h.x. Như vậy g.x = x khi và chỉ khi g −1 h = k với
k ∈ Gx . Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi h = gk , tức là k ∈ gGx . Từ đó suy ra g

và h xác định cùng một lớp ghép trái theo Gx . Do đó số phần tử phân biệt của
một quỹ đạo bằng số các lớp ghép trái của Gx trong G. Ta có điều phải chứng
minh.
Định lý quỹ đạo cho ta một hệ quả trực tiếp sau đây.
Hệ quả 1.2.5. Xét tác động của nhóm G lên tập hữu hạn X . Gọi các quỹ đạo
trong tác động này là G.x1 , G.x2 , . . . , G.xn . Khi đó ta có
n

|X| =

n

|G.xi | =
i=1

[G : Gxi ].
i=1

Mệnh đề 1.2.6. Cho nhóm G và tập hợp X . Khi đó ta có một tương ứng giữa
tập hợp các tác động của G lên tập X và tập hợp các đồng cấu nhóm từ G vào
nhóm đối xứng S(X).
Chứng minh. Giả sử ta có một tác động của nhóm G lên tập hợp X . Với mỗi
g ∈ G, xét ánh xạ σg : X → X xác định bởi σg (x) = g.x với mọi x ∈ X . Ta có
x = g(g −1 x) với mọi x ∈ X . Ta suy ra σg là toàn ánh. Giả sử gx = gy với x, y ∈ X .

Khi đó
x = g 1 (gx) = g −1 (gy) = (g −1 g)y = y.

Điều này chứng tỏ σg là đơn ánh. Do đó σg ∈ S(X).
Bây giờ, với mọi g1 , g2 ∈ G, từ định nghĩa của tác động nhóm ta có g1 .(g2 .x) =
(g1 g2 ).x. Ta suy ra σg1 ◦ σg2 = σg1 g2 . Do đó ánh xạ G → S(X) xác định bởi g → σg

là một đồng cấu nhóm.
Ngược lại, giả sử f : G → S(X) là một đồng cấu nhóm. Khi đó với mỗi g ∈ G
ta có f (g) là một phép thế trên X và f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) với mọi g1 , g2 ∈ G. Với
g ∈ G và x ∈ X , đặt g.x = f (g)(x). Với mọi g1 , g2 ∈ G và với mọi x ∈ X ta có
g1 .(g2 .x) = g1 .(f (g2 )(x)) = f (g1 )(f (g2 )(x)) = f (g1 ) ◦ f (g2 )(x) = f (g1 g2 )(x) = (g1 g2 ).x

8


Như vậy quy tắc g.x = f (g)(x) định nghĩa một tác động của nhóm G lên tập hợp
X.

Định nghĩa 1.2.7. Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó
(i) G gọi là một p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều có cấp là một lũy thừa
của p.
(ii) Nhóm con H của G gọi là một p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.
Định nghĩa 1.2.8. Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Một p-nhóm
con Sylow của G là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan
hệ bao hàm.
Tiếp theo ta sẽ xem xét tác động của một p-nhóm lên một tập hợp. Giả sử G
là một p-nhóm với |G| = pk . Vì tất cả các nhóm con của G đều có chỉ số là một
lũy thừa của p nên độ dài quỹ đạo của một phần tử chia hết cho p, trừ khi phần
tử này là phần tử cố định, tức độ dài quỹ đạo bằng 1. Ký hiệu bởi FixG (X) tập
hợp tất cả các điểm cố định dưới tác động của nhóm G lên một tập hợp X . Khi
đó ta có kết quả sau.
Định lý 1.2.9. Xét tác động của p-nhóm hữu hạn G lên một tập hợp hữu hạn
X . Khi đó
|X| ≡ | FixG (X)| (mod p).

Chứng minh. Giả sử X = {x1 , x2 , . . . , xn }. Theo Hệ quả 1.2.5 ta có
n

|X| =

|G.xi |.

(1.1)

i=1

Vì |G.xi | = [G : Gxi ] và |G| là một lũy thừa của p nên ta suy ra |G.xi | ≡ 0 (mod p)
với mọi xi không là điểm cố định (trong trường hợp này |Gxi | = 1). Lấy đồng dư
theo môđun p hai vế của (1.1) ta được
|X| ≡ | FixG (X)| (mod p).

Ta có điều phải chứng minh.
9


Nhắc lại, cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Định lý Lagrange
phát biểu rằng |H| | |G|. Điều ngược lại nói chung khơng đúng. Ví dụ, nhóm
thay phiên A4 có cấp 12 nhưng A4 khơng có nhóm con nào có cấp 6. Định lý sau
đây cho ta điều ngược lại của Định lý Lagrange.
Định lý 1.2.10 (Sylow). Cho G là một nhóm và giả sử |G| = pn .m, trong đó
(m, n) = 1.

(i) Tồn tại p-nhóm con Sylow của G và mỗi p-nhóm con của G đều chứa trong
p-nhóm con Sylow của G.

(ii) Các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
(iii) Số các p-nhóm con Sylow của G là một ước của m và đồng dư với 1 theo
môđun p. Tức là, nếu gọi r là số các p-nhóm con Sylow của G thì
r | m và r ≡ 1

(mod p).

Chứng minh. (i) Giả sử pk là lũy thừa cao nhất của p trong phân tích của |G|.
Nếu k = 0 thì nhóm con {eG } là p-nhóm con Sylow của G. Giả sử k > 0. Khi đó
p | |G|.

Ta có một kết quả mạnh hơn: Với mỗi 0 ≤ i ≤ k , tồn tại một nhóm con H
của G có cấp pi .
Xét tác động của H lên tập các lớp ghép trái G/H cho bởi (h, gH) → hgH với
mọi h ∈ H và gH ∈ G/H . Theo Định lý 1.2.9 ta có
|G/H| ≡ | FixH (G/H)| (mod p).

(1.2)

Chú ý rằng hgH = gH với mọi h ∈ H khi và chỉ khi g −1 HG = H . Điều này tương
đương với g ∈ NG (H). Do đó FixH (G/H) = NG (H)/H . Khi đó đồng dư thức (1.2)
trở thành
[G : H] ≡ [NG (H) : H]

(mod p).

Giả sử |H| = pi với i < k . Khi đó [G : H] chia hết cho p. Ta suy ra [NG (H) : H]
chia hết cho p. Điều này chứng tỏ HG (H)/H là một nhóm con có cấp chia hết
10


cho p. Do đó |NG (H)/H| = p. Mọi nhóm con của NG (H)/H đều có dạng K/H với
K là một nhóm con của NG (H) chứa H . Từ đó suy ra K/H là một nhóm con có

cấp p trong NG (H)/H và [K : H] = p. Do đó |K| = p|H| = pi+1 . Lặp lại quá trình
trên ta có được nhóm con có cấp pk như mong muốn.

(ii) Giả sử H và K là hai p-nhóm con Sylow của G. Xét tác động của nhóm
K lên tập G/H bởi (k, gH) → kgH với mọi k ∈ K và gH ∈ G/H . Vì K là một
p-nhóm nên ta có
|G/H| ≡ | FixK (G/H)| (mod p).

Chú ý rằng |G/H| = [G : H]. Vì H là một p-nhóm con Sylow của G nên [G : H] ≡ 0
(mod p). Ta suy ra | FixK (G/H)| = 0. Giả sử gH là một điểm cố định dưới tác

động của K , ta có kgH = gH với mọi k ∈ K , tức là kg ∈ gH với mọi k ∈ K . Do
đó K ⊆ gHg −1 . Hơn nữa |K| = |gHg −1 | nên ta suy ra K = gHg −1 . Vậy H và K
liên hợp với nhau.
(iii) Giả sử P là một p-nhóm con Sylow của G. Xét tác động liên hợp của P
lên tập hợp tất cả các p-nhóm con Sylow của G, ta có
r ≡ | FixP | (mod p).

Lấy Q là một điểm cố định dưới tác động của P . Khi đó gQg −1 = Q với mọi
g ∈ P . Rõ ràng P cũng là một điểm cố định dưới tác động của chính nó. Với mọi
P, Q ⊆ NG (Q) ta suy ra P và Q là các p-nhóm con Sylow của NG (Q). Từ (ii) ta

suy ra P và Q liên hợp trong NG (Q). Vì Q chuẩn tắc trong NG (Q) nên ta suy ra
P = Q. Điều này chứng tỏ P là điểm cố định duy nhất dưới tắc động của chính

nó lên tập các p-nhóm con Sylow của G. Do đó r ≡ 1 (mod p).
Cuối cùng, xét tác động của G lên tập các p-nhóm con Sylow của G. Tác động
này chỉ có một quỹ đạo vì các p-nhóm con Sylow là liên hợp với nhau. Điều này
chứng tỏ |G| chia hết cho r. Vì r ≡ 1 (mod p) nên (r, p) = 1 và do đó r | m.

1.3

Đa tạp affine

Cho k là một trường đóng đại số. Ký hiệu bởi k[x1 , x2 , . . . , xn ] là vành đa thức
n biến trên k . Ta sẽ định nghĩa các tập đại số trong k n như là tập không điểm
11


của các đa thức trong k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Từ đó, xây dựng một cấu trúc tơpơ trên
k n bởi các tập đóng là các tập đại số, gọi là tơpơ Zariski. Khi đó mỗi đa tạp

affine là một tập đại số cùng với tơpơ Zariski vừa được định nghĩa. Tài liệu tham
khảo chính của mục này là [5, Chapter 1], [4, Chapter AG] và [3, Appendix A].
Định nghĩa 1.3.1. Một tập con của k n gọi là tập đại số nếu nó có dạng
Z(I) = {(a1 , a2 , . . . , an ) ∈ k n : f (a1 , a2 , . . . , an ) = 0 với mọi f ∈ I},

trong đó I là một iđêan trong vành đa thức k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Như vậy, mỗi tập đại số có thể xem như là tập không điểm của một họ các
đa thức trong k[x1 , x2 , . . . , xn ].
Mệnh đề 1.3.2. (i) Hợp của một họ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số.
(ii) Giao của một họ bất kỳ các tập đại số là một tập đại số.
Từ mệnh đề trên ta có thể trang bị cho k n một cấu trúc tôpô bởi họ tập đóng
là các tập đại số. Tơpơ vừa định nghĩa được gọi là tôpô Zariski.
Định nghĩa 1.3.3. Một đa tạp affine là một tập đại số trong k n cùng với tôpô
Zariski cảm sinh.
Cho trước một tập đại số X . Khi đó iđêan định nghĩa của X được xác định
bởi
I(X) = {f ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ] : f (a1 , a2 , . . . , an ) = 0 với mọi (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ X}.

Vành thương k[X] = k[x1 , x2 , . . . , xn ]/I(X) gọi là vành tọa độ hay vành hàm
chính quy trên X .
Ví dụ 1.3.4. Ký hiệu bởi M (n, k) tập hợp các ma trận vuông cấp n với các hệ

2

số trên k . Ta có thể đồng nhất M (n, k) với không gian affine k n thông qua đẳng
cấu
[aij ]1≤i,j≤n −→ (a11 , a12 , . . . , ann ).

Do đó, ta có thể xem M (n, k) là một không gian tôpô với tôpô Zariski. Hơn nữa
M (n, k) là một đa tạp affine.
12


Định nghĩa 1.3.5. Cho X ⊆ k n và Y ⊆ k m là các đa tạp affine. Ánh xạ
ϕ : X → Y được gọi là một cấu xạ nếu ϕ được định nghĩa bởi các đa thức, tức là
ϕ(x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) với mọi x ∈ X,

trong đó f1 , f2 , . . . , fm ∈ k[X]. Nếu cấu xạ ϕ là một song ánh thì hai đa tạp X và
Y gọi là đẳng cấu với nhau, ký hiệu là X

Y.

Ví dụ 1.3.6. Xét đa tạp X = Z(x21 − x32 ) ⊆ C2 . Khi đó ánh xạ ϕ : C → X xác
định bởi
ϕ(t) = (t3 , t2 ) với mọi t ∈ C

là một cấu xạ vì ϕ được định nghĩa bởi các đa thức. Hơn nữa ϕ là một song ánh
với ánh xạ ngược ϕ−1 cho bởi

(x1 , x2 ) →





 x1

nếu x2 = 0



0

nếu x2 = 0.

x2

Như vậy ánh xạ ngược ϕ−1 không phải là một cấu xạ.
Mỗi cấu xạ là một ánh xạ liên tục theo tôpô Zariski. Thật vậy, giả sử ϕ : X →
Y là một cấu xạ giữa các đa tạp affine. Lấy Z ⊆ Y là một tập con đóng. Giả sử
Z có dạng Z(g1 , g2 , . . . , gm ) với g1 , g2 , . . . , gm ∈ k[X]. Với mỗi i = 1, 2, . . . , m ta có
ϕ ◦ gi là một hàm đa thức trên X . Ta có ϕ−1 (Z(gi )) = Z(ϕ ◦ gi ) là tập đóng trong
X . Do đó

m
−1

ϕ

ϕ−1 (Z(gi ))

(Z(g1 , g2 , . . . , gm )) =
i=1

là tập đóng trong X . Vậy ϕ là ánh xạ liên tục.
Nhận xét rằng, mỗi cấu xạ ϕ : X → Y cảm sinh một đồng cấu k -đại số
ϕ∗ :

k[Y ] −→ k[X]

.

f −→ f ◦ ϕ

Cuối cùng, ta sẽ xem xét các tính chất tơpơ của một đa tạp affine. Các
tính chất được quan tâm là tính bất khả quy, tính chất liên thơng và tính chất
Noether.
13


Đa tạp affine X được gọi là bất khả quy nếu nó khơng thể viết dưới dạng
hợp của hai tập con đóng, khác rỗng. Mỗi đa tạp affine chỉ có hữu hạn các tập
con bất khả quy cực đại Xi và khi đó X =

r
i

Xi . Các tập con Xi này được gọi

là các thành phần bất khả quy của X .
Cho X là một đa tạp bất khả quy. Khi đó I(X) là một iđêan nguyên tố. Ta
suy ra k[X] là một miền nguyên. Ký hiệu bởi k(X) trường các thương của miền
nguyên k[X]. Mỗi phần tử f ∈ k(X) được gọi là một hàm hữu tỷ trên X . Khi đó,

g
h

mỗi hàm hữu tỷ f đều có thể được viết dưới dạng f = , trong đó g, h ∈ k[X].
g
và h(P ) = 0 thì f gọi là chính quy tại P . Cho U là một tập con mở
h
trong X , hàm f gọi là chính quy trên U nếu nó chính quy tại mọi điểm trong U .

Nếu f =

Tập hợp các hàm hữu tỷ chính quy trên U là một vành con của vành C(X) và
được ký hiệu là OX (U ) hoặc OU . Nói riêng, vành các hàm chính quy tại đểm P
gọi là vành đại phương tại P và được ký hiệu là OP .
Nhắc lại rằng một không gian tôpô X được gọi là Noether nếu nó thỏa mãn
điều kiện dây chuyền giảm trên các tập con đóng; tức là nếu
V1 ⊇ V2 ⊇ . . . ⊇ Vm ⊇ . . .

là một dây chuyền giảm các tập con đóng trong X thì tồn tại số ngun dương
n sao cho với mọi k ≥ 0 ta có Vn = Vn+k . Một cách tương đương, các tập con mở

thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng.
Mệnh đề 1.3.7. Mỗi đa tạp affine là một không gian tôpô Noether.
Chứng minh. Giả sử X ⊆ k n là một đa tạp affine. Xét dãy giảm các tập con
đóng (theo tơpơ Zariski) sau của X
Y1 ⊇ Y2 ⊇ . . . ⊃ . . . .

Với mỗi n ∈ N, xét iđêan I(Yn ), ta có dãy tăng
I(Y1 ) ⊆ I(Y2 ) ⊆ . . . .

Vì k[x1 , x2 , . . . , xn ] là vành Noether nên các iđêan thỏa mãn điều kiện dây chuyền
tăng, tức là tồn tại N ∈ N sao cho
I(YN ) = I(YN +1 ) = . . . .
14


Từ đó suy ra
Z(I(YN )) = Z(I(YN +1 )) = . . . .

Chú ý rằng Z(I(V )) = V với mọi tập con đóng V ⊆ k n . Do đó
YN = YN +1 = . . . .

Ta suy ra X thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên các tập con đóng. Ta có
điều phải chứng minh.
Nhắc lại rằng, một không gian tôpô được gọi là liên thơng nếu nó khơng thể
biểu diễn dưới dạng hợp rời rạc của hai tập con đóng. Như vậy, nếu một đa tạp
affine bất khả quy thì đa tạp đó liên thông.

15


Chương 2
Nhóm đại số
Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa và một số tính chất của
nhóm đại số như là một đa tạp affine được trang bị các cấu xạ để có cấu trúc
nhóm. Chúng tơi cũng trình bày định nghĩa của đại số Lie (trừu tượng) và xây
dựng đại số Lie liên kết với một nhóm đại số. Tính chất giải được của một nhóm
đại số cũng được xem xét ở phần cuối của của chương này. Các kết quả của
chương được trình bày lại theo các tài liệu [5, Chapter 2, 3] và [4, Chapter 1].

2.1

Nhóm đại số

Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa và đưa ra một số ví dụ về các
nhóm đại số. Kết quả chính của mục này là định lý mơ tả cấu trúc của các nhóm
đại số, phát biểu rằng mọi nhóm đại số trên C đều đẳng cấu với một nhóm con
đóng của GL(n, C).
Định nghĩa 2.1.1. Một nhóm đại số là một đa tạp affine G được trang bị một
cấu trúc nhóm sao cho các ánh xạ µ : G × G → G và ι : G → G xác định bởi
µ(g, h) = gh và ι(g) = g −1 là các cấu xạ giữa các đa tạp affine.

Ta sẽ xét một số ví dụ đơn giản về nhóm đại số.
Ví dụ 2.1.2. Trường cơ sở k cho ta hai ví dụ về các nhóm đại số.
(1) Nhóm cộng (k, +) của k là tập đại số được xác định bởi iđêan (0) trong
k[X]. Do đó k là một đa tạp affine. Xét các ánh xạ µ : k × k → k và ι : k → k
16


xác định bởi µ(x, y) = x + y và ι(x) = −x. Vì µ và ι là các ánh xạ đa thức
nên là các cấu xạ. Ta suy ra k là một nhóm đại số, gọi là nhóm cộng, ký
hiệu bởi Ga .
(2) Xét tập Gm = k \ {0} v cỏc ỏnh x à : Gm ì Gm → Gm và ι : Gm → Gm
xác định bởi µ(x, y) = xy và ι(x) = x−1 . Khi đó Gm là một nhóm đại số với
vành tọa độ k[X, Y ]/(XY − 1)

k[X, X −1 ]. Nhóm đại số này được gọi là

nhóm nhân và được ký hiệu là Gm .
Ví dụ 2.1.3. Xét tập hợp M (n, k) các ma trận vuông cấp n trên trường k . Ở

Ví dụ 1.3.4, ta đã chỉ ra rằng M (n, k) là một đa tạp affine. Xét các ánh x
à : M (n, k) ì M (n, k) M (n, k) và ι : M (n, k) → M (n, k) xác định bởi µ(X, Y ) =
X + Y và ι(X) = −X với mọi X ∈ M (n, k). Khi đó µ và ι là các ánh xạ đa thức

nên là các cấu xạ. Ta suy ra M (n, k) là một nhóm đại số.
Mệnh đề 2.1.4. Nhóm con đóng (theo tơpơ Zariski) của một nhóm đại số là
một nhóm đại số.
Chứng minh. Cho G là một nhóm đại số với các ánh xạ định nghĩa là µ và ι.
Xét H là một nhóm con đóng (theo tôpô Zariski) của G. Ta sẽ chứng minh H
cũng là một nhóm đại số.
Ta kiểm tra H là một đa tạp affine. Vì G là một đa tạp affine nên H ⊆ k n với
n ∈ N. Vì H đóng trong G nên ta có thể giả sử H = G ∩ V , trong đó V là một tập

đóng trong k n . Giả sử G là tập không điểm của các đa thức f1 , f2 , . . . , fr và V
là tập không điểm của các đa thức g1 , g2 , . . . , gs . Khi đó H = G ∩ V là tập không
điểm của các đa thức f1 , f2 , . . . , fr , g1 , g2 , . . . , gs . Do đó H là một đa tạp affine.
Tiếp theo, vì các ánh x à : G ì G G v : G → G cho bởi µ(x, y) = xy và
ι(x) = x−1 là các cấu xạ nên ánh xạ hạn chế lên H cũng là các cấu xạ. Vậy H là

một nhóm đại số.
Ví dụ 2.1.5. Xét tập hợp GL(n, k) các ma trận vng cấp n có định thức khác
khơng trên trường k . Khi đó GL(n, k) ⊆ M (n, k). Phần bù của GL(n, k) trong
M (n, k), ký hiệu là (GL(n, k))c , là tập các ma trận có định thức bằng khơng. Ánh
17


xạ định thức det : M (n, k) → k là ánh xạ đa thức. Do đó (GL(n, k))c = det−1 (0)
là một tập con đóng của M (n, k). Ta suy ra GL(n, k) là một tập con mở trong
M (n, k).

Xét tập hợp
2

X = {(aij , t) : 1 ≤ j ≤ n, t det(aij ) = 1} ⊆ k n

+1

.

Vì X là tập khơng điểm của đa thức t det(aij ) − 1 nên X là một tập con đóng
2

trong k n

+1 .

Xét ánh xạ ϕ : X → GL(n, k) cho bởi ϕ(aij , t) = (aij ). Khi đó ϕ là

một cấu xạ và song ánh nên GL(n, k) có thể được xem như là một tập con đóng
2

trong k n

+1 .

Do đó GL(n, k) là một đa tạp affine.

Xét các ánh xạ µ : GL(n, k) × GL(n, k) → GL(n, k) và ι : GL(n, k) → GL(n, k)
xác định bởi µ(X, Y ) = XY và ι(X) = X −1 với mọi X, Y ∈ GL(n, k). Vì GL(n, k) là
một nhóm và mọi ma trận trong GL(n, k) đều khả nghịch nên các định nghĩa của

µ và ι là hợp lý. Từ định nghĩa phép nhân ma trận ta suy ra µ là ánh xạ đa thức.
2
Ánh xạ ι có thể được xem như ánh xạ X → X cho bởi ι(aij , t) = (a−1
ij , t(det(aij )) ).

Và do đó ι cũng là ánh xạ đa thức. Vậy GL(n, k) là một nhóm đại số.
Ví dụ 2.1.6. Xét tập hợp SL(n, k) các ma trận vng có định thức bằng 1.
Khi đó SL(n, k) là một nhóm con của GL(n, k). Ta sẽ chứng minh SL(n, k) là
một nhóm đại số. Bởi Mệnh đề 2.1.4, ta chỉ cần chứng minh SL(n, k) đóng trong
GL(n, k). Thật vậy, SL(n, k) là tập không điểm của đa thức det(aij ) − 1 trong
GL(n, k). Do đó SL(n, k) đóng trong GL(n, k).

Mệnh đề 2.1.7. Cho G là một nhóm đại số. Khi đó G có duy nhất một thành
phần bất khả quy cực đại chứa phần tử đơn vị.
Chứng minh. Cho G là một nhóm đại số. Khi đó G là một đa tạp affine. Bởi
Mệnh đề 1.3.7, G là một khơng gian tơpơ Noether. Do đó G chỉ có hữu hạn
thành phần bất khả quy cực đại.
Giả sử X1 , X2 , . . . , Xm là các thành phần bất khả quy cực đại chứa phần tử
đơn vị e của G. Xét ánh xạ tích p : G × G . . . × G → G cho bởi (x1 , x2 , . . . , xm ) →
x1 x2 . . . xm . Vì mỗi Xi là bất khả quy nên X1 × X2 × . . . × Xm bất khả quy. Khi đó
18


p là ánh xạ đa thức liên tục theo tôpô Zariski. Ta suy ra p(X1 × X2 × . . . × Xm )

là ảnh của ánh xạ liên tục nên bất khả quy trong G.
Vì mỗi Xi chứa e nên p(X1 ×X2 ×. . .×Xm ) chứa e. Do đó p(X1 ×X2 ×. . .×Xm )
chứa trong một thành phần bất khả quy cực đại của G chứa e. Giả sử p(X1 ×
X2 × . . . × Xm ) ⊆ Xi0 với i0 ∈ {1, 2, . . . , m}. Hơn nữa Xj ⊆ p(X1 × X2 × . . . × Xm )

với mọi j = 1, 2, . . . , m. Do đó Xj ⊆ Xi0 với mọi j = 1, 2, . . . , m. Từ tính cực đại
của Xj ta suy ra Xj = Xi0 với mọi j = 1, 2 . . . , m. Do đó X1 = X2 = . . . = Xm và
như vậy m = 1.
Thành phần bất khả quy trong mệnh đề trên được gọi là thành phần đơn vị
của G và được ký hiệu là G◦ . Nhóm đại số G là liên thơng khi và chỉ khi G = G◦ .
Ví dụ 2.1.8. (i) Ta có SL(n, C) bất khả quy (xem như đa tạp affine Z(det −1)).
◦
Do đó SL(2, C) liên thông.
 Ta suy
 ra SL(2, C) =SL(2, C).
 c d



:
(ii) Xét nhóm T =
c, d ∈ C, c = 0 . Ta có T là một tập con mở
 0 c−1

◦ = T.
trong C4 . Ta suy ra T bất
thông. Vậy T

khả quy

 và do đó T liên



 1 d

 c d
:d∈C
 : c, d ∈ C, cm = 1 . Xét nhóm 
(iii) Xét nhóm Tm = 


 0 1
 0 c−1

đẳng cấu với C và chứa ma trận
Do đó nhóm
 I2 . 
 con này là thành phần bất khả
 1 d

◦


:d∈C .
quy chứa đơn vị. Vậy Tm =
 0 1



c

0

0

c−1

(iv) Xét nhóm D các ma trận chéo có dạng 

 với c = 0. Vì D là nhóm

đại số liên thơng và I2 ∈ D nên ta suy ra D◦ = D.
(v) Xét nhóm

 



 c 0
  0

c
†




: c ∈ C, c = 0 ∪
: c ∈ C, c = 0 .
D =
 0 c−1
  −c−1 0

Ta thấy D† là hợp của hai thành phần liên thơng, tuy
nhiên chỉ



 có thành phần
 c 0

†
◦
 : c ∈ C, c = 0 .
thứ nhất chứa ma trận đơn vị I2 nên ta suy ra (D ) = 
 0 c−1

19


Thành phần đơn vị của một nhóm đại số có một số tính chất quan trọng sau.
Mệnh đề 2.1.9. Cho G là một nhóm đại số. Khi đó
(i) G◦ là một nhóm con chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn trong G. Hơn nữa, các
lớp ghép trong G◦ là liên thông và là các thành phần bất khả quy của G.
(ii) G◦ chứa trong mọi nhóm con đóng với chỉ số hữu hạn của G.
(iii) Mọi lớp liên hợp hữu hạn trong G chứa nhiều nhất là [G : G◦ ] phần tử.
Chứng minh. (i) Ta chứng minh G◦ là một nhóm con của G. Lấy x ∈ G◦ bất kỳ.
Xét ánh xạ fx−1 : G → G xác định bởi
fx−1 (y) = x−1 y với mọi y ∈ G.

Ánh xạ fx−1 là liên tục (theo tôpô Zariski) và G◦ là thành phần bất khả quy cực
đại của G nên x−1 G◦ = fx−1 (G◦ ) là thành phần bất khả quy cực đại. Hơn nữa ta
có e = x−1 x ∈ x−1 G◦ nên x−1 G◦ chứa phần tử đơn vị. Do đó x−1 G◦ = G◦ . Ta suy
ra x−1 e ∈ G◦ và do đó x−1 ∈ G◦ .
Bây giờ, cố định một phần tử x ∈ G◦ . Xét ánh xạ fx : G → G xác định bởi
fx (g) = xg với mọi g ∈ G.

Ta có fx (G◦ ) = xG◦ . Vì G◦ là bất khả quy cực đại nên xG◦ cũng là bất khả quy
cực đại. Vì x−1 ∈ G◦ nên e ∈ xG◦ . Như vậy G◦ và xG◦ là hai tập con bất khả
quy cực đại chứa phần tử đơn vị. Do đó G◦ = xG◦ . Điều này chứng tỏ với mọi
x, y ∈ G◦ ta đều có xy ∈ G◦ . Vậy G◦ là một nhóm con của G.

Ta chứng minh G◦ chuẩn tắc trong G. Với mỗi g ∈ G xét ánh xạ liên hợp
fg : G → G xác định bởi
fg (x) = gxg −1 với mọi x ∈ G.

Ánh xạ fg là liên tục và fg (G◦ ) = gG◦ g −1
chuẩn tắc trong G.

20

e. Ta suy ra gG◦ g −1 = G◦ . Vậy G◦


Cuối cùng ta chứng minh chỉ số của G◦ trong G là hữu hạn. Xét lớp ghép
gG◦ với g ∈ G. Xét ánh xạ ϕg : G → G xác định bởi
ϕg (x) = gx với mọi x ∈ G.

Khi đó ta có gG◦ = ϕg (G◦ ). Do đó gG◦ là một thành phần bất khả quy cực đại
trong G. Vì số thành phần bất khả quy cực đại trong G là hữu hạn nên số các
lớp ghép gG◦ cũng hữu hạn. Vậy G◦ là một nhóm con chỉ số hữu hạn trong G.
(ii) Giả sử H là một nhóm con đóng trong G với chỉ số hữu hạn. Khi đó
H ◦ ⊆ G◦ ⊆ G và ta có [G : H ◦ ] = [G : H][H : H ◦ ] hữu hạn. Do đó ta có thể viết
G◦ = gH ◦ , hợp hữu hạn (rời rạc) các lớp ghép của H ◦ . Vì G◦ liên thông nên ta

suy ra G◦ = H ◦ ⊆ H .

(iii) Giả sử [G : G◦ ] = m và tồn tại phần tử x ∈ G sao cho lớp liên hợp của
x có nhiều hơn m phần tử. Xét ánh xạ liên tục G → G xác định bởi g → gxg −1 .

Khi đó tạo ảnh của mỗi liên hợp của x là một tập con đóng trong G. Và chỉ có
hữu hạn các tập con đóng như vậy nên các tập con này, đồng thời cũng là các
tập mở trong G. Như vậy G được phân tích thành nhiều hơn m tập con đóng và
mở. Điều này là khơng thể xảy ra. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhắc lại rằng, mỗi nhóm con đóng của nhóm GL(n, C) là một nhóm đại số
(Mệnh đề 2.1.4). Điều ngược lại vẫn cịn đúng, tức là, mỗi nhóm đại số đều đẳng
cấu với một nhóm con của nhóm GL(n, C). Để chứng minh điều này ta cần một
số kết quả liên quan đến tác động của một nhóm đại số lên một đa tạp affine.
Cho G là một nhóm đại số và X là một đa tạp affine. Xét tác động của G lên
X cho bởi ϕ : G × X → X . Khi đó tác động này định nghĩa một đồng cấu vành
ϕ∗ : C[X] → C[G] ⊗ C[X].

Với g ∈ G, ký hiệu bởi λg đồng cấu X → X xác định bởi x → g −1 x. Khi đó
ánh xạ C[X] → C[X] cho bởi f → λg f với mọi f ∈ C[X] là một tự đồng cấu
tuyến tính và được gọi là phép dịch chuyển trái của các hàm bởi g .
Mệnh đề 2.1.10 ([4]). Giả sử G tác động lên đa tạp affine X . Cho F là một
không gian véctơ con hữu hạn chiều của C[X]. Khi đó tồn tại một không gian
21


con E chứa F và ổn định dưới các phép dịch chuyển trái bởi G. Hơn nữa, F ổn
định dưới các phép dịch chuyển bởi G khi và chỉ khi ϕ∗ (F ) ⊆ C[G] ⊗ F , trong đó
tác động ϕ được xác định bởi ϕ(g, x) = g −1 .x.
Chứng minh. Giả sử F sinh bởi một phần tử f ∈ C[X], trong trường hợp tổng
quát, ta có thể lấy tổng của các không gian con sinh bởi các phần tử trong một
cơ sở của F .
Ta viết

ϕ∗

n

fi ⊗ hi ∈ C[G] ⊗ C[X], trong đó n là nhỏ nhất. Với mọi g ∈ G

=
i=1

ta có (λg f )(x) =

n

f (g −1 x)

fi (g −1 )hi (x). Từ đó suy ra

=
i=1

n

fi (g −1 )hi .

λg f =
i=1

Do đó, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều của C[X] chứa tất cả các λg f
với g ∈ G. Ký hiệu bởi E giao tất cả các không gian con này. Khi đó E là khơng

con con hữu hạn chiều của C[X], chứa F và ổn định dưới các phép dịch chuyển
trái bởi G.
Giả sử {fi } là một cơ sở của F . Mở rộng thành cơ sở {fi } ∪ {hj } của C[X].
Với mọi f ∈ F và với mọi g ∈ G ta có
ri (g −1 )fi +

λg f =
i

trong đó ϕ∗ =

j

sj ⊗ hj . Do đó λg f ∈ F khi và chỉ khi sj (g −1 ) = 0

ri ⊗ f i +
i

sj (g −1 )hj ,

j

với mọi j . Như vậy λg F ⊆ F với mọi g ∈ G khi và chỉ khi ϕ∗ (F ) ⊆ C[G] ⊗ F . Ta
có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.11 ([4]). Mọi nhóm đại số đều đẳng cấu với một nhóm con đóng
của GL(n, C).
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm đại số. Ta viết C[G] = C[f1 , f2 , . . . , fn ]. Theo
Mệnh đề 2.1.10, tồn tại một không gian con E của C[G] ổn định dưới các phép
dịch chuyển phải bởi G. Ta có thể giả sử f1 , f2 , . . . , fn là một cơ sở của E . Nếu
22