Bài tập lớn đại số tuyến tính bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
BỘ MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
---------------o0o---------------

BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI:
BÀI TỐN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh
Nguyễn Xn Mỹ

Nhóm 5
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021

~1~


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
BỘ MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
---------------o0o---------------

BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI:
BÀI TỐN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh
Nguyễn Xn Mỹ

NHĨM 5
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021

~2~


Thành Viên Nhóm BTL:




2013671









Trần Hữu Nghĩa 2013877
Nguyễn Quang Minh 2013774

Nguyễn Phạm Bình Minh 2013773
Trần Hữu Tơn Hồng Phi Long
La Nghĩa 2013867
Nguyễn Hải Nam 2013821
Phan Tiến Lộc 2013694
Võ Thành Lộc 2013701
Trương Minh Mẫn 2013746
Phạm Thanh Minh 2013784
Nguyễn Vũ Doãn Mạnh 2013739
Nguyễn Đặng Nhật Minh 2013769

~3~


~4~


MỤC LỤC
I. Cơ sở lý thuyết của bài tốn bình phương
cực tiểu ..............................................................................6
1. Lịch sử ra đời, mục đích, khái
niệm……………………………6
2. Giải phương trình hồi quy dạng

y=ax+b

bằng

phương pháp bình phương cực
tiểu…………………………………………...7

3. Giải phương trình hồi quy dạng

2

y=a x +bx +c

bằng

phương pháp bình phương cực
tiểu……………………………………..7

II. Chương trình Matlab
1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương
cực tiểu để tìm phương trình hồi quy

y=ax+b, y=a

x2 +bx +c …….8

2) Một số ví dụ minh
hoạ………………………………………… 10
III.

Ứng dụng của bài tốn bình phương cực
tiểu…………………
15

~5~

Bảng chú thích
Câu lệnh

Giải thích câu lệnh

Zeros (o,p)

Tạo ma trận 0 có o hàng p cột

For…..end

Vịng lặp chạy giá trị

Disp(a)

Xuất giá trị của a

Sym

Định nghĩa hàm

pinv

Hàm nghịch đảo

linspace

Khoảng giá trị của biến

Grid on

Kẻ ô cho đồ thị

plot
Xlabel, ylabel

Vẽ đồ thị
Gán tên cho trục hoành, trục tung

I. Cơ sở lý thuyết của bài tốn bình phương cực tiểu
~6~


1. Lịch sử ra đời, mục đích, khái niệm
 Sự ra đời
Bình phương cực tiểu bắt nguồn từ cơng trình tiên phong của Gauss và Legender vào
năm 1975 sau khi thưc nghiệm tương đối chính xác vị trí các thiên thể, tạo nền móng cho
các bài tốn tuyến tính sau này.
 Mục đích
Làm giảm bớt sai số phép đo, sai số hệ thống, tối ưu hóa sao cho giá trị sai số ấy là nhỏ
nhất.
Được sử dụng trong các bài tốn giải hệ phương trình, tìm đường cong, phương trình hồi
quy trong thống kê.
 Khái niệm
Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để
lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số
thống kê giữa đường khớp và dữ liệu.

 Phương pháp bình phương cực tiểu
Phương pháp bình phương bé nhất thường được dùng để lập cơng thức thực nghiệm

Ví dụ như mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập cơng thức thực nghiệm tìm ra
hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu trong các bài tốn
thực tế có dạng:
a) y = ax + b
b) y = ax2 + bx + c

2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y= AX+B BẰNG PHƯƠNG
PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.
~7~


Giả sử tập hợp điểm D={( t1 ; b1 ) , … ( t m ; b m ) } .
Tìm hàm f=f(t) cho đồ thị đi qua tất cả các điểm D
m

m

Xét hàm f(t)=α + βgg(t). Tìm α , βg để G (t )=∑ ( α+βgg(t i )−bi ) =∑ Gi nhỏ nhất.
2

2

i=1

i=1

Ta tìm cực trị của hàm G(t) có hai biến α , βg
Ký hiệu: g(t i)= gi.

{

{

m

∂G(t )
2 ∑ ( α + βg g i−bi ) =0
=0
∂α
i=1
↔
m
∂G(t )
=0
2 ∑ ( α + βg gi−b i ) gi =0
∂ βg
i =1

¿

3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX 2 +BX+C BẰNG
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.
Hàm hồi quy có dạng Y = ax2 + bx + c
Sai số : vi = (ax2 + bx + c ) – yi với i = 1, 2 ,…, n
Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là:
n

n

S  vi  (axi 2  bxi  c  yi ) 2  min

2

i 1

i 1

Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:
n
 S
 S
2 (axi 2  bxi  c  yi ) xi2 0

0

 a
a
i 1


n
 S
 S
2
 0   2 (axi  bxi  c  yi ) xi 0
i 1
 b
 b
n
 S
 S

2

0
 c
 2 (axi  bxi  c  yi ) 0

i 1
 c

Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:

~8~


n
n
n
 n 4
3
2
2
 a  xi  b  xi  c  xi  xi yi
i 1
i 1
i 1
 i 1
n
n
n
 n 3

2
 a  xi  b xi  c  xi  xi yi
i 1
i 1
i 1
 i 1
n
n
 n 2
1
 a  xi  b  xi  nc  yi
i 1
i 1
 i 1

Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c

II. Chương trình Matlab
1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm
phương trình hồi quy y=ax+b, y=a x2 +bx +c

~9~


2) Ví dụ minh hoạ
 VD: Tìm phương trình hồi quy bậc 2:
D= { ( 2; 2 ) , ( 3 ; 2 ) , (−2 ; 3 ) }

Bài giải

~ 10 ~

y=a x2 +bx +c

với tập hợp


~ 11 ~


~ 12 ~


 VD: cho bảng dữ liệu (7;5), (14;6.5), (21;8.2), (28;9.1) trong đó hồnh độ cho biết
số giờ mà bạn Phú học trong 1 tuần trước khi thi Đại số tuyến tính cịn tung độ cho
biết số điểm mà bạn Phú đạt được tương ứng với số giờ học

Xấp xỉ bảng dữ liệu trên bởi một hàm bậc nhất
Bài Giải
Tương tự VD trên nhập các
giá trị của ma trận A

Tiếp tục nhập ma trận B

Đi giải hệ a T . a . X =aT .b ta được nghiệm X

~ 13 ~


Suy ra hàm số bậc nhất y=3.7 +0.2 t

Hình vẽ

III. Ứng dụng của bài tốn bình phương cực tiểu
Bài tốn 1: Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ liệu về độ lệch
nhiệt độ trung bình tồn cầu từ năm 1991-2000 được cho như bảng sau

~ 14 ~


Calendar year

Computational year

Temperature deviation

1991

1

0,29

1992

2

0,14

1993

3

0,19

1994

4

0,26

1995

5

0,28

1996

6

0,22

1997

7

0,43

1998

8

0,59

1999

9

0,33

2000

10

0,29

Dùng phương pháp đạo hàm. (ti,yi) là dữ liệu cho trước.
g1(t) =0,123+0,034t.g2(t)=-0,4078+0,2997t-0,024t2.

~ 15 ~


Bài tốn 2: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kì về nhiệt độ ghi nhận
được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau.
Time of day

T

Temp(C)

12 mid.

0

-2,2

3 am

1/8

-2,8

6 am

ẳ

-6,1

9 am

3/8

-3,9

12noon

ẵ

0,0

3 pm

5/8

1,1

6 pm

ắ

-0,6

9 pm

7/8

-1,1

~ 16 ~


Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mơ hình g(x j,t)=x1+x2cos2 π t−¿x3sin2 π t. Kết quả
thu được g(t)=−¿1,95−¿0,7445cost2 π t−¿2,5594 sin2 π t

Bài tốn 3: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu về chiều cao và trọng lượng
trung bình của bé trai từ 2-11 tuổi được ghi nhân bởi trung tâm kiểm soát dịch
bệnh năm 2002 như sau

age(yrs)

height(m)

weight(kg)

2

0,912

13,7

3

0,986

15,9

4

1,06

18,5

~ 17 ~


5

1,13

21,3

6

1,19

23,5

7

1,26

27,3

8

1,32

32,7

9

1,38

36

10

1,41

38,6

11

1,49

43,7

Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mơ hình
+Mơ hình 1:g1(xj,t)=α e βgt .Kết quả thu được g1(t)=2,0907e 2,0553t
+Mơ hình 2:g2(xj,t)=α t βg. Kết quả thu được g2(t)=16,3044t2,4199

LỜI CẢM ƠN
~ 18 ~


Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Xuân Mỹ đã
chấm cho bài báo cáo bài tập lớn của nhóm em.

~ 19 ~