toán vận dụng vận dụng cao chương logarit có đáp án chi tiết

Tốn vận dụng chương logarit
ĐỀ BÀI:
Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Có bao nhiêu số phức
1
A. .

Có bao nhiêu số phức
0
A. .

Có bao nhiêu số phức

z

z

z

1

A. .

z − 1 − 2i = 2
thỏa mãn
0

B. .

z − 4 + z + 4 = 10
và
C.

z =5
thỏa mãn
1
B. .

?
2

.

và
2

.

và
0
C. .

.
2

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Có bao nhiêu số phức
2
A. .

Có bao nhiêu số phức
0
A. .
Có bao nhiêu số phức

1

A. .

Câu 7:

Gọi

T

z

z

z =2 z+z +4

thỏa mãn

3
B. .

thỏa mãn

z

2

T

( z + 3i ) ( z − 3)
là số thực?
3
D. .

1

( z + 2i )

z

và
3
C. .

là số thuần ảo?
D.

thoả mãn

Câu 9:

4

là số thuần ảo và

3
C. .

B. .

Gọi

.

A

tử của
0
A. .

B.

2

.

là tập hợp các số phức

A

.

. Tính tổng

.

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn
A.

4

2.z − z = 13

D.

(1 − 3i ) z

Câu 8:

2

( 1+ 2i ) z

1

.

5

D. .

C. .

thỏa mãn
2
B. .

.

là số thuần ảo?
3
D. .

và

.

là tập hợp các số phức

z
z−2

4

z − 1 − i = z − 3 − 3i

z + 1 − 3i = 3 2

phần thực của các số trong

A.

2

D.

và
4
C. .
z + 1 − 4i = 3

B.

.

?
C.

thỏa mãn

2

4

z + 4 + z − 4 ≤ 10

z −3+i = 2 2

B.

D.

z

thỏa mãn

là số thuần ảo và
3
C. .

2−i
z

0

.

z2 = ( 1+ i ) z - 2( 1- i )

D.

0

?

.

z + 2 z = 37
là số thực và

. Tổng của các phần

là
B.

−4

.

C.

−4 + 2i

.

D.

4 − 2i

.


Câu 10: Có bao nhiêu số phức

z

1

A. .

z +1 = 2

thỏa mãn
3
B. .

và

z +1
z −i

C.

4

là số thuần ảo?

.

2

D.

.
3

z

Câu 11: Cho số phức
1

2
A. .

thỏa mãn

z
2
z +1

z

không phải là số thực và
2
5
3
3
B. .
C. .

Câu 12: Có bao nhiêu số phức
0
A. .

z

2

2 z +1
là số thực. Tính
4

3
D. .

thỏa mãn

và

1

B. .

là số thực?
C.

2

.

có hai nghiệm

Câu 14: Cho các số thực
mx + 2 y + 2m − 1 = 0

, hãy tìm giá trị của
1
2
B. .

.

m

3< z <4

−
C.

z <1
.

B.

Câu 16: Có bao nhiêu số phức

A.

25

.

D.

z

.
thỏa mãn

z.z = 4

và

.

9
4

−
.

D.

w

z + 2 z + 4i

b1 − b2 < −3.

. Biết rằng có duy nhất một số phức

Câu 15: Cho và là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn
Mệnh đề nào sau đây đúng?

và

trong đó

z = x + yi

x, y , m

A.

z2 = a2 + b2i
;

là các số thực và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
b1 − b2 > −2.
b1 − b2 < −2.
b1 − b2 > −3.
A.
.
B.
.
C.
.

z

.

b1 < b2

a1 , a2 , b1 , b2

A.

4

D.

z1 = a1 + b1i

Biết rằng phương trình

0

.

z ( z + 2i )

z −i = 3

( z + 3i ) z = z − i
Câu 13:

2

z + z + z +1

z
w2

C.

.

z−w =2 3
là số thực và

z >4
.

15
4

.

1≤ z ≤ 3
.

D.

.

2 z + z − 2i ≤ z + 2i
có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn

có phần ảo không âm?
B.

Câu 17: [Mức độ 3] Cho số phức
a −b
thực. Tính
.

12

.

z = a + bi

C.

13

.

( a, b ∈ ¡ )

D.

15

( z + 2) ( z − i )

z − 3 = z −1
thỏa mãn

.

và

là số


A.

−2

.

B. 0.

C. 2.

Câu 18: [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức
0
1
A. .
B. .
S

Câu 19: Gọi

z − 1 = z + 2i

z

thỏa mãn

và
C.

2

A.

.

B.

2 2

( z + 2i − 3) ( z − 1)
và

.

C.

Câu 20: [Mức độ 3] Cho số phức thỏa
giá trị nhỏ nhất.
5
3
A. .
B. .

Câu 21: Gọi

S

z

là tập hợp các số phức

Câu 22: Có bao nhiêu số phức

1
A.

.

C.

Câu 24: Có bao nhiêu số phức
0
A. .

Câu 26: Có bao nhiêu số phức

B.

z

14

.

D. .
2

là số thuần ảo?
4
D. .
| 5 z − z − 8 − 6i |= 12

và

4

?

1

.

D. .

( z + 2 ) ( z − 4i )
và

là số thuần ảo?

1

.

2

là số thực. Tính tổng các

( z + 3i )

thỏa mãn

C. .
z

D.

thỏa mãn

C.

và

.

(

và

0

.

)
là số

D.

z.z + i.z − 3 z − 3i
=1
z2 − 4z + 3

z + 1 − 2i = 3

4

w = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i

z + 2−i = 2

.

thỏa mãn

.

5

| z |= 1

C.

Câu 25: [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức
thực?

1

C.

z +i = 2

2

7

đạt

( i − z ) ( z + 1)

và
3
C. .

thỏa mãn

sao cho

.

thỏa mãn
2
B. .
z

.
z −3−i

z

D.

và
S

−2

D.

.

thỏa mãn

z + 1 − 4i = 4 2

B.

A. .

−2

z − 2i = 5

Câu 23: [ Mức độ 3 ] Có bao nhiêu số phức
0
2
A. .
B. .
z

.

. Tìm phần thực

bình phương mơ đun của các số phức trong
13
1

A. .
B. .
z

4+2 2

là số thuần ảo. Tính

z − 3 − 6i = z − 2 − 5i

z

là số thực?

D. vô số.

thỏa mãn
S
tổng các phần thực của các số phức trong .

4

z 2 + 2iz

.

z−2 = 3

z

là tập hợp các số phức

D. 4.

?

3

.


A.

0

.

B.

Câu 27: Cho số phức

z

thỏa mãn

2

C. .

B.

Câu 28: Có bao nhiêu số phức
A.

.

z =2
.
z

.

Câu 29: Có bao nhiêu số phức

1

A. .

.

.
D.

thỏa mãn điều kiện
.

D.

?
0

.

( z + 1) ( z − i )

z −1 = 2

thỏa mãn
3
B. .

4

.

z −1 = 1
và

C.
và

là số thực?
C.

0

.

D.

z1 − ( 3 + 2i ) = 1

z2
là số phức,

z

z =4

z+2 − z−2 = 4

z1
Câu 30: [Mức độ 3] Cho

. Tính mơđun của

C.

B. .
z

D. .

z =3

1

.

3

1

−2 + 5i
+ 3 + 3i = z ( 1 − 2i )
z

z =1
A.

2

là số thực thỏa

và

2

.

z2 − z1
2−i

là số thuần ảo. Giá

P = z1 − z2
trị nhỏ nhất của biểu thức

A.

5
2

.

B.

là
3 5
2

5
.

C.

.

z +1 = 2
Câu 31: Cho số phức z có phần thực âm, thỏa mãn

2 z − 3i
A.

3.

và

D.

3+ z
z −1

3 2

.

là số thực. Phần thực của số phức

là

.

B.

1.

C.

Câu 32: Tổng phần ảo của tất cả các số phức
11
23
5
5
A.
.
B.
.

Câu 33: Cho số phức

−22021
A.
.

z≠0

z

D.

z − 4 − 6i = 5

z + 3i
∈¡
z −1 + i

và

−
C.

và

5.

.

thỏa mãn

z −1 = z − i

thỏa mãn
22020
B.
.

−6.

4
5

.

z 2 + 2iz

D.

.

38
5

bằng

.

là số thực. Phần ảo của số phức
−2
21010
C.

.
D.
.
1010

z 2021

bằng


BẢNG ĐÁP ÁN
1.C

2.C

3.B

4.A

5.B

6.C

7.D

8.D

9.A

10.B

11.D

12.C

13.B

14.D

15.D

16.D

17.D

18.C

19.A

20.A

21.C

22.C

23.B

24.B

25.B

26.B

27.A

28.B

29.D

30.A

31.C

32.D

33.D

Câu 1. Có bao nhiêu số phức

1

A. .

z

z − 1 − 2i = 2
thỏa mãn
0
B. .

z − 4 + z + 4 = 10
và

?

2

C. .
Lời giải

D.

4

.

FB tác giả: Tân Ngọc Đỗ

M

z
là điểm biểu diễn của .
z − 1 − 2i = 2
I ( 1; 2 )
( C)
M
R = 2 ( C)
Do
nên
thuộc đường trịn

tâm
, bán kính
.
có phương
Gọi

( x − 1)

2

+ ( y − 2) = 4
2

trình là
.
z − 4 + z + 4 = 10
F1 ( −4;0 ) ; F2 ( 4; 0 )
( E)
M
Do
nên
thuộc đường elip
có hai tiêu điểm là
và

có độ dài trục lớn là

10

( E)

.

có phương trình là
( C) ( E)
M
Từ đây có
là giao điểm của
và
.

x2 y 2
+
=1
25 9

.


( C)

( E)

Từ hình vẽ của

và

z

Câu 2. Có bao nhiêu số phức
A.

0

ta thấy chúng có

z =5
thỏa mãn

2

2

số phức thỏa mãn yêu cầu.

z + 4 + z − 4 ≤ 10
và

?

1

.

giao điểm nên có

B. .

C.

2

.

D.

4

.

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Hữu Các
z+4 = z+4 = z+4 = z+4

z = z ; z1 + z2 = z1 + z2

Áp dụng các tính chất

ta có

.

z + 4 + z − 4 ≤ 10 ⇔ z + 4 + z − 4 ≤ 10

Do đó
Gọi

M

.
là điểm biểu diễn của

A ( −4; 0 ) , B ( 4;0 )

z

z1 = −4 z2 = 4
. Do các số phức
,
lần lượt được biểu diễn bởi

z + 4 + z − 4 ≤ 10 ⇔ MA + MB ≤ 10

nên ta có
.
( H)
( E)
A, B
M
Suy ra
thuộc hình
được bao bởi đường elip
có hai tiêu điểm là
và có độ dài

( E)
trục lớn là 10.

có phương trình là
z =5

Mặt khác, do

nên

M

x2 y2
+
=1
25 9

.

( C)

thuộc là đường tròn
tâm
( H ) ( C)
M
Từ đây có
là giao của hình
và
(như hình vẽ).

O

và bán kính

R=5

.


(H)

( C)

Nhận thấy hình
Vậy có

2

và

có

2

giao điểm.

số phức thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 3. Có bao nhiêu số phức

z −3+i = 2 2

z

thỏa mãn

1

A. .

B.

2

và

.

C.

z
z−2

0

là số thuần ảo?

3
D. .

.

Lời giải
z = x + yi
Gọi

FB tác giả: Tuyen Pham

x, y ∈ ¡

với

.

z − 3 + i = 2 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 1) = 8 ⇔ x 2 + y 2 = 6 x − 2 y − 2 ( 1)
2

Có

Có

z =(
z−2

x + yi ) ( x − 2 − yi )

( x − 2)

2

+y

2

2

.
=

x − 2x + y
2

( x − 2)

2

2

+y

2

−

2y

( x − 2)

2

+ y2

i

.

 x 2 − 2 x + y 2 = 0
=
0
⇔
( 2)

2
( x − 2) + y2
( x; y ) ≠ ( 2; 0 )
x2 − 2 x + y2

z
z−2

là số thuần ảo khi và chỉ khi
( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 8


4 x − 2 y − 2 = 0
 x; y ≠ 2; 0
) ( )
( 1) ( 2 )

(
Từ
và
ta có hệ
.
Cách 1:

.

  x = 1; y = 1
( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 8
( x − 3) 2 + ( 2 x ) 2 = 8
 x = 1; y = 1



1
3

⇔  y = 2 x −1
⇔ x= ;y =− ⇔ 
4 x − 2 y − 2 = 0
x = 1 ; y = − 3
5
5
 x; y ≠ 2;0
 x; y ≠ 2; 0

5
5

) ( )
) ( )
(
( x; y ) ≠ ( 2; 0 )
(

Vậy có 2 số phức
Cách 2:

z

thỏa mãn đề bài.

.


( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 8


2 x − y − 1 = 0
 x; y ≠ 2; 0
) ( )

(

.

I ( 3; −1)

M ∈ ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 8
2

2

có tâm

, bán kính

R=2 2

.

M ∈ ∆ : 2x − y −1 = 0

và

.

6
5

d ( I, ∆) =
Ta thấy

suy ra đường thẳng

Quan sát hình vẽ ta thấy giao điểm của
z
Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài.

∆

∆

( C)

cắt đường tròn

( C)
và đường tròn

2

Câu 4. Có bao nhiêu số phức
A.

2

z

.

tại 2 điểm phân biệt.

z =2 z+z +4

thỏa mãn
3
B. .

thỏa điều kiện đề bài.

z − 1 − i = z − 3 − 3i
và
C.

4

5
D. .

.

Lời giải
FB tác giả: Bùi Văn Quyết
Giả sử

z = a + bi

a, b ∈ ¡
với

. Ta có

z − 1 − i = z − 3 − 3i ⇔ a + bi − 1 − i = a + bi − 3 − 3i
+
⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ( a − 3) + ( b − 3) ⇔ a + b − 4 = 0 ⇔ b = 4 − a ( 1)
2

2

2

2

.

z = 2 z + z + 4 ⇔ a 2 + b2 = 2 a + 4 ( 2 )
2

+

.


( 1)

( 2)

+

Từ
và
b
=
4
−
a


⇔   a 2 − 5a + 6 = 0, a ≥ 0
 2
  a − 3a + 6 = 0, a < 0

Giải ra ta được
Vậy có

2

b = 4 − a
b = 4 − a
⇔
 2
 2
2
2
a + b = 2 a + 4
a + ( 4 − a ) = 2 a + 4

ta

có

hệ

.

 a = 2, b = 2
 a = 3, b = 1


.

số phức thỏa điều kiện bài tốn.

Câu 5. Có bao nhiêu số phức
0

A. .

z

( z + 3i ) ( z − 3)

z + 1 − 4i = 3

thỏa mãn

2

B.

và

là số thực?
3
D. .

1

.

C. .
Lời giải

Fb tác giả: Hoa Phạm

z = x + yi ( x; y ∈ ¡ )

Đặt

, ta có:

z + 1 − 4i = 3 ⇔ x + 1 + ( y − 4)i = 3 ⇔ ( x + 1) + ( y − 4 ) = 9
2

+)

( z + 3i ) ( z − 3) = z z + 3zi − 3z − 9i = x

2

(1).
2

+ y 2 − 3x − 3 y + ( 3x + 3 y − 9 ) i

+)

( z + 3i ) ( z − 3)

x + y −3 = 0

là số thực nên

(2).

( x + 1) 2 + ( y − 4 ) 2 = 9

2 ( x + 1) 2 = 9 ( 3)
⇔


 y = 3 − x
 x + y − 3 = 0

Từ (1) và (2) ta có
.
Dễ thấy (3) có hai nghiệm phân biệt, vậy nên có hai số phức thỏa mãn bài tốn.
Câu 6. Có bao nhiêu số phức

1

A. .

z

( z + 2i )

z + 1 − 3i = 3 2
thỏa mãn
2
B. .

và

2

là số thuần ảo?

3

C. .

D.

4

.

Lời giải

Gọi số phức

z

FB tác giả: Thuthuy Bui

z = a + bi ( a, b∈¡ ) .
cần tìm có dạng

Khi đó ta có

z + 1 − 3i = 3 2 ⇔ a + 1 + ( b − 3) i = 3 2 ⇔ ( a + 1) + ( b − 3 ) = 18 ( 1) .
2

+)

( z + 2i )
+)

2

=  a + ( b + 2 ) i  = a 2 − ( b + 2 ) + 2 a ( b + 2 ) i.
2

2

2


( z + 2i )

a = b + 2
2
a2 − ( b + 2) = 0 ⇔ 
.
a = − ( b + 2)

2

là số thuần ảo khi và chỉ khi
( 1)
2b 2 = 0 ⇔ b = 0 ⇔ a = 2
a =b+2
z=2
Với
thay vào
ta được phương trình
. Tìm được

a = −b − 2

Với

( 1)
thay vào

(
(

ta được phương trình

b = 1 + 5
2b 2 − 4b − 8 = 0 ⇔ 
b = 1 − 5

. Tìm được

)
)

 z = −3 − 5 + 1 + 5 i

 z = −3 + 5 + 1 − 5 i

Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán.

T

Câu 7. Gọi

là tập hợp các số phức

phần thực của các số trong
A.

2

T

B.

z

( 1+ 2i ) z
thoả mãn

2.z − z = 13
là số thuần ảo và

. Tính tổng

.

1

C.

3

D.

0

.

Lời giải

z = x + yi
Gọi
Ta có:

Fb tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh

x, y ∈ ¡
với

.

( 1+ 2i ) z = ( 1+ 2i ) ( x + yi ) = ( x − 2y) + ( 2x + y) i

+

( 1+ 2i ) z

x = 2 y ( 1)

là số thuần ảo khi và chỉ khi

.

2 z − z = 13 ⇔ 2 ( x + yi ) − ( x − yi ) = 13 ⇔ x + 3 yi = 13

+

⇔ x 2 + 9 y 2 = 13 ⇔ x 2 + 9 y 2 = 13 ( 2 )
.

( 1)
+ Từ

( 2)
và

ta có hệ phương trình:

 x = 2

x = 2 y
x = 2 y
x = 2 y
z = 2 + i
y =1
⇔ 2
⇔ 2
⇔
⇒
 2
2
2

  x = −2
 z = −2 − i
 x + 9 y = 13
4 y + 9 y = 13
y =1

  y = −1

Vậy tổng phần thực của tất cả các số trong

T

là

0

.

(1 − 3i ) z

Câu 8. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức

z

thoả mãn

.

là số thuần ảo và

z2 = ( 1+ i ) z - 2( 1- i )

?


4

A.

.

2

B.

3

.

C. .

0

D.

.

Lời giải

z = a + bi

Gọi

với

a,b ∈ ¡

FB tác giả: Ninh Vũ
.

(1 − 3i ) z = ( 1 − 3i ) ( a + bi ) = ( a + 3b ) + ( b − 3a ) i
+ Ta có

.

⇔ a + 3b = 0 ⇔ a = −3b ( 1)

(1 − 3i ) z

Do đó

là số thuần ảo
z2 = ( 1+ i ) z - 2( 1- i )

+ Ta có

⇔

z2 = z + i z - 2+ 2i Û z2 = z - 2+( z + 2) i .

z2 =

( z − 2) + ( z + 2 )
2

2

Lấy môđun hai vế, ta được
2

z = z2

Do

nên khi đặt

( t − 2)

t2 =

t= z ³ 0

2

+ ( t + 2)

2

ta được

t 2 = −2
⇔ t = t − 4t + 4 + t + 4t + 4 ⇔ t − 2t − 8 = 0 ⇔  2
t = 4
4

2

2

4

2

⇒ z = 2 ⇔ a2 + b2 = 4 ( 2)
.

Từ (1), (2) ta có


3 10
 a = −
5
 


10
3 10
10
 b =
+

.i
z = −
a = −3b
5
5
5


⇔
⇔
 2
2


3 10
10
a + b = 4
3 10
 a =
−
.i
z =
5
5

5


 b = − 10
 

5

z=−

3 10
10
+
.i
5
5

z2 =

2
( 8 − 6i )
5

.

z =2

Thử lại, với
thì
và
.
( 1 + i ) z − 2 ( 1 − i ) = 2 ( 1 + i ) − 2 ( 1 − i ) = 4i
Khi đó
khơng thỏa mãn.
z=

Với

3 10
10
−
.i
5
5

z2 =

2
( 8 − 6i )
5

z =2

thì
và
( 1 + i ) z − 2 ( 1 − i ) = 2 ( 1 + i ) − 2 ( 1 − i ) = 4i

Khi đó
Vậy khơng có số phức nào thỏa mãn bài tốn.

Câu 9. Gọi
của

A
A

là tập hợp các số phức

là

z

thỏa mãn

2−i
z

.
khơng thỏa mãn.

z + 2 z = 37
là số thực và

. Tổng của các phần tử


A.

0

.

B.

−4

.

C.

−4 + 2i

.

D.

4 − 2i

.

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Thị Thủy

z = a + bi; a, b ∈ ¡
Gọi

.

Điều kiện

z≠0

.

2 − i 2 − i ( 2 − i ) ( a − bi ) 2a − b − ( a + 2b ) i 2a − b a + 2b
=

=
=
= 2 2− 2 2i
z
a + bi
a 2 + b2
a 2 + b2
a +b a +b

+ Ta có
2−i
a + 2b = 0 ⇔ a = −2b ( 1)
z
Vì
là số thực nên
.

.

z + 2 z = 37 ⇔ a − bi + 2a + 2bi = 37 ⇔ 3a + bi = 37 ⇔ 9a 2 + b 2 = 37
+ Ta có

( 1)

( 2)
.

( 2)

37b 2 = 37 ⇔ b = ±1

Từ

vào
ta được
b =1
z = −2 + i
Với
ta có
.
b = −1
z = 2−i
Với
ta có
.

Vậy tổng các phần tử của tập

Câu 10. Có bao nhiêu số phức

1

A. .

z

A

là

0

.

.

z +1 = 2

thỏa mãn
3
B. .

và

z +1
z −i
C.

4

là số thuần ảo?
.

D.

2

.

Lời giải

z ≠ i ⇔ z ≠ −i ( *)

FB tác giả: Thỏa Hoàng Văn

Điều kiện:
.
z = x + yi
x, y ∈ ¡
Gọi
với
.

z + 1 ( x + 1) + yi = ( ( x + 1) + yi ) ( x + ( y + 1) i ) ( x − y ) ( x + y + 1) ( 2 xy + x + y + 1)
=
+
i
=
2
2
2
x 2 + ( y + 1)
x 2 + ( y + 1)
x 2 + ( y + 1)
z − i x − ( y + 1) i

Ta có

Do đó,

z +1
z −i

( x − y ) ( x + y + 1)
2
x 2 + ( y + 1)
là số thuần ảo khi và chỉ khi

x = y
⇔
x + y +1 = 0

.

=0

⇒ ( x − y ) ( x + y + 1) = 0



−1 − 3
x =
2
⇔

−1 + 3
x =
z + 1 = 2 ⇔ x + 1 + xi = 2 ⇔ 2 x 2 + 2 x − 1 = 0

2

x= y
ta có

+) Với

.
z=−

Ta có hai số phức thỏa mãn bài tốn là

Với

và

−1 + 3 −1 + 3
+
i
2
2

.
2

ta có

x = 0
⇔
 x = −2

Với

z=

z + 1 = 2 ⇔ x + 1 − ( x + 1) i = 2 ⇔ 2 ( x + 1) = 2

x + y +1 = 0 ⇔ y = −x −1

+) Với

1+ 3 1+ 3
−
i
2
2

x=0

.

ta có

x = −2

z = −i

ta có

( *)
, khơng thỏa mãn điều kiện

z = −2 + i

.

( *)
, thỏa mãn điều kiện

.

Vậy tất cả có 3 số phức thỏa mãn bài tốn.
3

Câu 11. Cho số phức
1
2
A. .

z

thỏa mãn

z
2
z +1

z

khơng phải là số thực và
2

5
3
3
B. .
C. .

2

z + z + z +1
2

2 z +1
là số thực. Tính

.

D.

4
3

.

Lời giải
FB tác giả: Nguyễn Văn Tài
Đặt
+

a, b ∈ ¡

z = a + bi

với

và

b≠0

. Ta lần lượt có

z 2 = a 2 − b 2 + 2abi

( a + bi ) . ( a 2 − b 2 + 1 − 2abi )
z
a + bi
=
=
2
z 2 + 1 a 2 − b 2 + 1 + 2abi
( a 2 − b2 + 1) + ( 2ab ) 2
+

( a + a + ab ) + ( −a b + b − b ) i
=
( a − b + 1) + ( 2ab )
3

2

2

2

2

3

2

2

.

z
z +1

− a 2 b + b − b3 = 0 ⇔ b ( − a 2 + 1 − b 2 ) = 0 ⇔ − a 2 + 1 − b 2 = 0

2

Vì

là số thực nên

(do

a2 + b2 = 1 ⇔ z = 1
Suy ra

.

b≠0

)


3

2

z + z + z +1
2

2 z +1

=

4
3

Vậy

.

Câu 12. Có bao nhiêu số phức
0
A. .

z

z ( z + 2i )

z −i = 3
thỏa mãn

và

1

B. .

là số thực?
C.

2

.

D.

4

.

Lời giải
FB tác giả: Thơ Thơ
Giả sử số phức

z = a + bi

( a, b ∈ ¡ )
,

. Suy ra

z = a − bi

. Khi đó, ta có:

z − i = 3 ⇔ z − i = 9 ⇔ a + ( b − 1) i = 9 ⇔ a 2 + ( b − 1) = 9 ( 1)
2

2

2

+)
+)

.
z ( z + 2i ) = ( a − bi )  a + ( b + 2 ) i  = a 2 + a ( b + 2 ) i − abi + b ( b + 2 )

= ( a 2 + b 2 + 2b ) + ( ab + 2a − ab ) i = ( a 2 + b 2 + 2b ) + 2ai

z ( z + 2i )
Để số phức

( 2)

là số thực thì ta phải có

( 2)
Thế

2a = 0 ⇔ a = 0

( b − 1)

( 1)
vào

2

, ta được:

.

b − 1 = 3
b = 4
=9⇔ 
⇔
b − 1 = −3 b = −2

.
z = −2i

z = 4i
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là
hoặc
.

z1 = a1 + b1i z2 = a2 + b2i
( z + 3i ) z = z − i
Câu 13. Biết rằng phương trình
có hai nghiệm
;
trong đó

b1 < b2

a1 , a2 , b1 , b2
là các số thực và

b1 − b2 > −2.

. Khẳng định nào sau đây đúng?

b1 − b2 < −2.

A.

B.

b1 − b2 > −3.
C.

b1 − b2 < −3.
D.

Lời giải
FB tác giả: Phan Vũ

Giả sử

a, b∈¡

z = a + bi

trong đó

.

( z + 3i ) z = z − i ⇔ z 2 + 3iz = z − i ⇔ ( a + bi )
Ta

2

+ 3i ( a + bi ) = a + bi − i

có:

2
2
a 2 − b 2 − 3b = a
 a − b − 3b = a (1)
⇔
(*)
⇔ a 2 + 2abi − b 2 + 3ai − 3b = a + bi − i ⇔ 
a
2
b
+

3
=
b
−
1
(2)
(
)
2
ab
+
3
a
=
b
−
1




+ Trường hợp 1:

3
b=− .
2


0=−
Phương trình (2) tương đương:

+ Trường hợp 2:

Phương trình (2) tương đương:

Thay

(Vô lý).

3
b≠− .
2
a=

b −1
a=
2b + 3

5
2

b −1
.
2b + 3
2

vào phương trình (1) ta có:

b −1
 b −1 

2

÷ − b − 3b =
2b + 3
 2b + 3 

⇒ ( b − 1) − ( 2b + 3) ( b 2 + 3b ) = ( b − 1) ( 2b + 3 )
2

2

⇔ b 2 − 2b + 1 − ( 4b 2 + 12b + 9 ) ( b 2 + 3b ) = 2b 2 + b − 3

⇔ b 2 − 2b + 1 − 4b 4 − 12b3 − 9b 2 − 12b3 − 36b 2 − 27b = 2b 2 + b − 3
⇔ −4b 4 − 24b3 − 46b 2 − 30b + 4 = 0.

f (b) = −4b 4 − 24b 3 − 46b 2 − 30b + 4 ⇒ f ′(b) = −16b 3 − 72b 2 − 92b − 30.
Đặt

−

f (b) = 0

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình

3
2

có đúng hai nghiệm khác
nên hệ phương

( z + 3i ) z = z − i
trình (*) có đúng hai nghiệm. Suy ra phương trình
có đúng hai nghiệm
z1 = a1 + b1i z2 = a2 + b2i
b1
b2 b1 < b2
f (b) = 0
;
, với và ,
, là hai nghiệm của phương trình
.

b1 < −

f (b) = 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
5  1
b1 − b2 < − −  − ÷ = −2.
2  2

có hai nghiệm phân biệt

x, y , m
Câu 14. Cho các số thực
mx + 2 y + 2m − 1 = 0

. Biết rằng có duy nhất một số phức
m
, hãy tìm giá trị của .

5
2

b2 > −
và

z = x + yi
thỏa mãn

1
2

z.z = 4

nên

và


A.

0

.

1
2

B.

−
.

C.

9
4

−
.

D.

15
4

.

Lời giải
FB tác giả: Văn Thị Trang
Gọi

M

là điểm biểu diễn của

z

.

z.z = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 4.

Ta có

Suy ra

Mặt khác,

M

( C)

M

thuộc đường trịn

O

tâm

, bán kính

R=2

(1).

∆ : mx + 2 y + 2m − 1 = 0
thuộc đường thẳng

(2)

M = ∆ ∩ ( C)
Do đó,

.

Theo yêu cầu của bài tốn thì
d ( O, ( ∆) ) = R

⇔

Khi đó

M

là duy nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi

2m − 1
m +4
2

Vậy
z

15
4

w

3< z <4

z <1
.

.

B.

z
w2

z−w =2 3
là số thực và

z >4
.

C.

.

1≤ z ≤ 3
.

D.

.

Lời giải

FB tác giả: Tào Hữu Huy
x +y ≠0
z = x + yi
w = x − yi
x, y ∈ ¡
Đặt
với
ta được
. Điều kiện
.
2

2

z − w = 2 3 ⇔ 2 yi = 2 3 ⇔ y 2 = 3 ⇔ y = ± 3
+

.
z
x + yi
( x + yi )( x − y + 2 xyi ) x − 3 xy 2 + (3 x 2 y − y 3 )i
=
=
=
w2 x 2 − y 2 − 2 xyi
( x 2 − y 2 )2 + 4 x 2 y 2
( x 2 − y 2 )2 + 4 x 2 y 2
2

2

3

+

Vì

z
w2

y =3
3 x 2 y − y 3 = 0 ⇔ y (3 x 2 − y 2 ) = 0 
→ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ z = 2
2

là số thực nên

1≤ z ≤ 3
Vậy

.

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15. Cho và là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

tiếp xúc với

= 2 ⇔ 2m − 1 = 2 m 2 + 4

15
2
2
2
⇔ ( 2m − 1) = 4 ( m 2 + 4 ) ⇔ 4m − 4m + 1 = 4m + 16 ⇔ m = − 4
m=−

( C)

∆

.

.


Câu 16.

Có bao nhiêu số phức

z + 2 z + 4i

và

25

A.

z

2 z + z − 2i ≤ z + 2i
có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn

có phần ảo không âm?

.

B.

12

.

C.

13

.

D.

15

.

Lời giải
FB tác giả: Trần Thanh Thảo

z = x + yi

x, y ∈ ¡

Đặt

với

. Ta có

2 z + z − 2i ≤ z + 2i ⇔ 2 ( x + yi ) + ( x − yi ) − 2i ≤ ( x + yi ) + 2i
+

⇔ 3x + ( y − 2 ) i ≤ x + ( y + 2 ) i ⇔ 9 x 2 + ( y − 2 ) ≤ x 2 + ( y + 2 )
2

2

⇔ 9 x 2 + y 2 − 4 y + 4 ≤ x 2 + y 2 + 4 y + 4 ⇔ y ≥ x 2 ( 1)
.

z + 2 z + 4i = ( x + yi ) + 2 ( x − yi ) + 4i = 3x + ( 4 − y ) i
+

.

z + 2 z + 4i

4 − y ≥ 0 ⇔ y ≤ 4 ( 2)
có phần ảo không âm khi và chỉ khi

Cách 1:

( 1)
Từ

( 2)
và

suy ra

x ∈ { −2;2}
Với

ta có

 −2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ x2 ≤ y ≤ 4 ⇔  2
x ≤ y ≤ 4

y=4⇒

x ∈ { −1;1}
Với mỗi
Với

x=0

ta có
ta có

có 2 số phức thỏa.

y ∈ { 1; 2;3;4} ⇒

y ∈ { 0;1;2;3;4} ⇒

có 5 điểm số phức thỏa.

Vậy có 15 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2:

M ( x; y )
Gọi

là điểm biểu diễn của

z

có 8 số phức thỏa.

.


Theo hình vẽ ta thấy, có 15 điểm

M

có tọa độ nguyên.

Vậy có 15 số phức thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 17. [Mức độ 3] Cho số phức
a −b
Tính
.
A.

−2

.

z = a + bi

( a, b ∈ ¡ )

( z + 2) ( z − i )

z − 3 = z −1
thỏa mãn

B. 0.

và

C. 2.

là số thực.

D. 4.

Lời giải
FB tác giả: Đặng Việt Đông
g z − 3 = z − 1 ⇔ a − 3 + bi = a − 1 + bi ⇔

( a − 3)

2

⇔ ( a − 3) + b 2 = ( a − 1) + b 2 ⇔ −4a + 8 = 0 ⇔ a = 2
2

+ b2 =

( a − 1)

2

+ b2

2

(

.

)

g( z + 2 ) z − i = ( a + bi + 2 ) ( a − bi − i ) = ( a + 2 ) + bi  a − ( b + 1) i 
= a ( a + 2 ) + b ( b + 1) − ( a + 2b + 2 ) i
.

( z + 2) ( z − i )
là số thực khi và chỉ khi
Thay

a=2

ta tìm được

b = −2

. Vậy

Câu 18. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức
0
1
A. .
B. .

z

a + 2b + 2 = 0

a −b = 4

.

.

z − 1 = z + 2i

thỏa mãn

và
C.

2

.

z 2 + 2iz

là số thực?

D. vô số.

Lời giải
FB tác giả: Đặng Minh Trường
z = x + yi

Gọi
Ta có:

x, y ∈ ¡

(

).


z − 1 = z + 2i ⇔ ( x − 1) + yi = x + ( y + 2 ) i

+)
⇔ ( x − 1) + y 2 = x 2 + ( y + 2 ) ⇔ 2 x + 4 y + 3 = 0
2

2

(1).
z 2 + 2iz = ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi + 2i ( x − yi ) = ( x 2 − y 2 + 2 y ) + 2 x ( y + 1) i
+)

+)

.

z 2 + 2iz

x = 0
2 x ( y + 1) = 0 ⇔ 
 y = −1

là số thực khi và chỉ khi

Kết hợp (1) và (2) ta có

3

2 x + 4 y + 3 = 0
x = 0; y = −



4
⇔
 x = 0
 x = 1 ; y = −1
  y = −1


2

Vậy có hai số phức thỏa mãn giả thiết bài toán là
Câu 19.

Gọi

S

A.

.

B.

2 2

.

z=

1
−i

2

và
.
( z + 2i − 3) z − 1

(

z−2 = 3

z

thỏa mãn
S
tổng các phần thực của các số phức trong .

4

là tập hợp các số phức

3
z=− i
4

(2).

)

và

.

C.

4+2 2

là số thuần ảo. Tính

.

D.

−2

.

Lời giải
FB tác giả: Ngọc Thị Phi Nga

z = a + bi

a,b ∈ ¡

Giả sử

trong đó

.

Ta có:

( a − 2)

z−2 = 3 ⇔

2

+ b 2 = 3 ⇔ ( a − 2 ) 2 + b 2 = 3 ( 1)

+)

.

(

)

w = ( z + 2i − 3) z − 1 = ( a − 3) + ( b + 2 ) i  . ( a − 1) − bi  = ( a 2 − 4a + 3 + b 2 + 2b ) + ( 2a + 2b − 2 ) i

+)

w

.
a 2 − 4a + 3 + b 2 + 2b = 0 ⇔ ( a − 2 ) + b 2 + 2b − 1 = 0 ( 2 )
2

là một số thuần ảo khi và chỉ khi
( 1) ( 2 )
Từ

và
ta có hệ phương trình

.

 a = 2 + 2

 b = −1
( a − 2 ) = 2
⇔
⇔
2

2
2

2
( a − 2 ) + b = 3
( a − 2 ) + b = 3
b = −1


 a = 2 − 2
⇔

2
2
 b = −1
( a − 2 ) + b + 2b − 1 = 0
2b + 2 = 0


2

Vậy, tổng các phần thực của các số phức trong

S

là

4

.


z − 3 − 6i = z − 2 − 5i

z

Câu 20. [Mức độ 3] Cho số phức thỏa
giá trị nhỏ nhất.
5
3
A. .
B. .

. Tìm phần thực

C.

−2

.

z −3−i

z

D.

sao cho
7

đạt

.

Lời giải
FB tác giả: Nhật Hoàn
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

Đặt
Ta có

z − 3 − 6i = z − 2 − 5i ⇔ x − 3 + ( y − 6 ) i = x − 2 + ( y − 5 ) i

⇔ ( x − 3) + ( y − 6 ) = ( x − 2 ) + ( y − 5 ) ⇔ 2 x + 2 y − 16 = 0 ⇔ x + y − 8 = 0
2

Gọi

M

2

2

là điểm biểu diễn của

z ⇒M

thuộc đường thẳng

( x − 3)

2

.

+ ( y − 1) = AM
2

khi đó

.

M

là hình chiếu

r đạt giá trị nhỏ nhất khi
uuuu
r vng góc của
u = ( −1;1)
d AM = ( x − 3; y − 1)
Ta có uuuu
.
r r là véc tơ chỉ phuong của ,
AM .u = 0 ⇔ −1( x − 3) + 1( y − 1) = 0 ⇔ − x + y + 2 = 0
Do vậy
.
x
+
y
−
8
=
0


− x + y + 2 = 0
x=5
Ta có hệ phương trình
. Tìm được
.
5
z
Vậy cần tìm có phần thực là .

Câu 21.

Gọi

S

là tập hợp các số phức

.

d :x + y −8 = 0

z − 3 − i = x − 3 + ( y − 1) i =

A ( 3;1)
Gọi
z −3−i

2

z

bình phương mơ đun của các số phức trong
13
1
A. .
B. .

trên

và

S

d

.

( i − z ) ( z + 1)

z − 2i = 5
thỏa mãn

A

là số thực. Tính tổng các

.
C.

14

.

5
D. .

Lời giải
FB tác giả: May Nguyen

z = a + bi ( a, b ∈¡ ) .
Đặt

Ta có:

z − 2i = 5 ⇔ a + ( b − 2 ) i = 5 ⇔ a 2 + ( b − 2 ) = 5 ( 1) .
2

+)
+)

( i − z ) ( z + 1) = ( i − a − bi ) ( a − bi + 1) = ( − a 2 − b 2 − a + b ) + ( a − b + 1) i.


( i − z ) ( z + 1)
Vì

( 1)

( 2) .

là số thực nên

( 2)
và

Từ

a − b +1= 0

ta có hệ phương trình

 a = − 1


a
=
−
1


a 2 + ( b − 2 ) = 5  a 2 + ( a −1) = 5  
b = 0
⇔
⇔ a = 2 ⇔ 


b = a + 1
b = a + 1
b = a + 1   a = 2


 b = 3
2

2

.

S = { −1; 2 + 3i}
Đến đây có

.

Vậy tổng bình phương mơ đun của tất cả các số phức trong
Câu 22. Có bao nhiêu số phức

z

( z + 3i )

z + 1 − 4i = 4 2
thỏa mãn

1

A. .

2

B.

S

và

là

14

.

2

là số thuần ảo?

3
C. .

.

D.

4

.

Lời giải
FB tác giả: Trịnh Công Hải
z = x + yi

( x, y ∈ ¡ )

Giả sử

. Khi đó

z + 1 − 4i = 4 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − 4 ) = 32 ( 1)
2

2

+

.

( z + 3i )

2

+

( z + 3i )

=  x + ( y + 3) i  = x 2 − ( y + 3) + 2 x ( y + 3) i
2

2

2

là số thuần ảo khi và chỉ khi
Với

thay vào

ta được phương trình

thay vào

Tìm được
Vậy có

3

. Tìm được

ta được phương trình

(
(

.

2 y2 = 0 ⇔ y = 0

( 1)

x = −y −3
Với

x = y + 3
2
x 2 − ( y + 3) = 0 ⇔ 
x = − y − 3

( 1)

x = y +3

.

z =3

éy = 1 + 7
2 y 2 - 4 y - 12 = 0 Û ê
ê
ê
ëy = 1- 7

)
)

 z = −4 − 7 + 1 + 7 i

 z = −4 + 7 + 1 − 7 i


.

số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 23. [ Mức độ 3 ] Có bao nhiêu số phức

z

| 5 z − z − 8 − 6i |= 12

| z |= 1

thỏa mãn

và

?

.


A.

0

.

B.

2

.

C.

4

1

.

D. .

Lời giải
FB tác giả: Trần Đức Mạnh

M ( x; y )
Gọi

là điểm biểu diễn của

z

. Ta có

| z |= 1 ⇔ x + y = 1 ⇔ x + y = 1
2

+

2

2

2

.
| 5 z − z − 8 − 6i |= 12 ⇔| 5 x + 5 y.i − x + y.i − 8 − 6i |= 12 ⇔| 4 x − 8 + 6 y.i − 6i |= 12

+
⇔| 2 x − 4 + 3 y.i − 3i |= 6 ⇔

( x − 2)
⇔
9

2

( y − 1)
+
4

Đặt

2

+ ( 3 y − 3) = 6 ⇔ 4 ( x − 2 ) 2 + 9 ( y − 1) 2 = 36
2

2

=1
.

Do đó, ta có hệ phương trình:

x = X + 2

 y = Y +1

( 2 x − 4)

 x2 + y2 = 1

 ( x − 2 ) 2 ( y − 1) 2
+

=1

4
 9

( X + 2) 2 + (Y + 1)2 = 1
 2
X
Y2
+
=1

4
 9

, ta được
( X ;Y )
Hình vẽ biểu diễn cặp
như sau:

.

.

( X + 2) + (Y + 1) = 1
2

Dựa vào hình vẽ giao điểm giữa đường trịn
B ( X B ; YB ) C ( X C ; YC )
nhau tại

,
.

2

và đường elip

X 2 Y2
+
=1
9
4

cắt


B ( X B ; YB )
Với

thì

C ( X C ; YC )
Với

thì

Vậy có

2

 xB = X B + 2

 yB = YB + 1
 xC = X C + 2

 yC = YC + 1

z = X B + 2 + (YB + 1).i
nên

.

z = X C + 2 + (YC + 1).i
nên

.

số phức thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

Câu 24. Có bao nhiêu số phức
0
A. .

z

( z + 2 ) ( z − 4i )

z +i = 2
thỏa mãn
B.

2

và

là số thuần ảo?

1

.

C. .

D.

4

.

Lời giải
FB tác giả: Đặng Thanh
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Giả sử

+

)

M ( x ; y)

và

là điểm biểu diễn của số phức

z + i = 2 ⇔ x + yi + i = 2 ⇔ x + ( y + 1) i = 2 ⇔

⇒M

( C1 )
thuộc đường trịn

. Ta có

x 2 + ( y + 1) = 2 ⇔ x 2 + ( y + 1) 2 = 4

I1 ( 0 ; − 1)
tâm

z

2

R1 = 2
, bán kính

.

( z + 2 ) ( z − 4i ) = ( x + yi + 2 ) ( x − yi − 4i ) = ( x + 2 ) + yi   x − ( y + 4 ) i 
+
= x ( x + 2 ) + y ( y + 4 ) +  xy − ( x + 2 ) ( y + 4 )  i

= x ( x + 2 ) + y ( y + 4 ) − ( 4 x + 2 y + 8) i

( z + 2 ) ( z − 4i )
là số thuần ảo
⇒M

( C2 )
thuộc đường tròn

Đến đây ta có
Ta có

2
2
⇔ x ( x + 2) + y ( y + 4) = 0 ⇔ x + y + 2x + 4 y = 0

M

I 2 ( −1; − 2 )
tâm

, bán kính

( C1 )
là giao điểm của

2

và

.

( C2 )
cắt

tại

2

điểm phân biệt.

số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức
thực?

1

( C2 )

I1 I 2 = 2 ⇒ R2 − R1 < I1 I 2 < R1 + R2 ⇒ ( C1 )

Vậy có

A. .

R2 = 5

B.

2

.

z

(

w = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i

z + 2−i = 2
thỏa mãn

0
C. .
Lời giải

và

)
là số

D.

3

.

FB tác giả: Lan Phạm

z = x + yi

x, y ∈ ¡

Gọi

với

. Ta có

( z + 3 − i ) ( z + 1 + 3i ) = ( x + 3) + ( y − 1) i  ( x + 1) + ( 3 − y ) i 
+
= x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 6 + 2 ( x − y + 4 ) i.

( z + 3 − i ) ( z + 1 + 3i )

x− y+4=0

là số thực khi và chỉ khi

.

z + 2 − i = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 1) = 4.
2

2

+

Gọi

M

là điểm biểu diễn của

( C ) : ( x + 2)

2

z

( C)

+ ( y − 1) = 4
2

và bán kính là

thỏa mãn
B.

R=2

).

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

z.z + i.z − 3 z − 3i
=1

z2 − 4z + 3

z + 1 − 2i = 3

2

và đường trịn

( C)

∆

Do
nên và
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu.

Câu 26. Có bao nhiêu số phức
0
A. .

∆:x− y+4= 0

thuộc đường thẳng

có tâm

1
2

z

M

I ( −2;1)

(

d ( I , ∆) =

ta thấy

và

?

1

.

C. .

3
D. .

Lời giải
Fb tác giả: Nguyễn Hải Yến
z = a + bi ( a; b ∈ ¡

Đặt

Ta có:

)
. Điều kiện:

(

z ≠ 1

z ≠ 3

.

)

z + i ( z − 3)
z.z + i.z − 3z − 3i
⇔
= 1 ⇔ z + i = z −1
=1
( z − 1) ( z − 3)
z2 − 4z + 3
+

⇔ a 2 + ( 1 − b ) = ( a − 1) + b 2 ⇔ a = b
2

2

(1)

z + 1 − 2i = 3 ⇔ ( a + 1) + ( b − 2 ) = 9
2

+

 a=b=2
 a = b = −1


2

(2)
 z = 2 + 2i
 z = −1 − i


Từ (1) và (2) ta có
. Tìm được
Vậy có 2 số phức thỏa mãn u cầu bài toán.

.


Câu 27. Cho số phức

z

thỏa mãn

−2 + 5i

+ 3 + 3i = z ( 1 − 2i )
z

z =1
A.

z =2
.

B.

. Tính mơđun của

z

.

z =3
.

C.

z =4
.

D.

.

Lời giải

FB tác giả: Lan Huong Phan

z≠0

Điều kiện:

Khi đó:

.

−2 + 5i
+ 3 + 3i = z ( 1 − 2i ) ⇔ ( −2 + 5i ) + ( 3 + 3i ) z = z z ( 1 − 2i )
z

⇔ z 3 + 3i − z ( 1 − 2i )  = 2 − 5i ⇒ z ( 3 − z ) + ( 2 z + 3) i = 29

(

)

2
2
2
2
2
⇔ z ( 3 − z ) + ( 2 z + 3)  = 29 ⇔ z 5 z + 6 z + 18 = 29



( *)

.

t = z , t > 0.
Đặt,
t 2 ( 5t 2 + 6t + 18 ) = 29 ⇔ 5t 4 + 6t 3 + 18t 2 − 29 = 0

( *)
Từ

suy ra
5t 3 + 11t 2 + 29t + 29 > 0 ∀t > 0

⇔ ( t − 1) ( 5t 3 + 11t 2 + 29t + 29 ) = 0 ⇔ t = 1
(vì,

).

z =1
Vậy

.
z

Câu 28. Có bao nhiêu số phức
A.

2

thỏa mãn điều kiện

1

.

B. .

z = a + bi ( a, b ∈ ¡
Đặt

z+2 − z−2 = 4

Đặt

và

C.
Lời giải

4

?

.

D.

0

.

FB tác giả: Lan Huong Phan

)

A ( −2;0 ) , B ( 2;0 )

z −1 = 1

và gọi

M

là điểm biểu diễn của

z

.

.
z + 2 − z − 2 = 4 ⇔ MA − MB = AB

Ta có

.
M , A, B

Suy ra
Mặt khác

thẳng hàng và

z −1 = 1 ⇔ M

B

nằm giữa

A

và

thuộc đường tròn tâm

M

(1).

I ( 1;0 )

, bán kính

R =1

(2).