Bộ Đề Thi Thử môn Toán hay và chuẩn cấu trúc BDG 2016 có đáp án chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.43 MB, 55 trang )
BỘ ĐỀ THI THỬ THPT QG 2016
TẬP 1
Trên con đường thành công
không có dấu chân của kẻ lười biếng
Đà Nẵng, ngày...tháng...năm....
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH
ĐỀ THI THỬ
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y =
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
2x +1
x -1
www.DeThiThu.Net
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Giải phương trình: log 5 ( x + 1) = 1 - log5 ( x - 3)
www.DeThiThu.Net
T
De
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (3 + i ) z + (1 + 2i ) z = 3 - 4i . Tính môđun của z .
3p
2
cot a
Câu 3.(0,5 điểm) Cho góc a thỏa mãn:
< a < 2p và cos a = . Tính A =
2
3
1 + cot 2 a
p
2
www.DeThiThu.Net
Câu 4.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = ò (2cos x + x sin x)dx
0
hiT
Câu 5.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;3;0) và N(1;4;3). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng MN và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc
với (P).
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy (ABC), cạnh bên SB hợp với mặt đáy một góc 600. Gọi O là trọng tâm tam giác
ABC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Câu 7.(0,5 điểm)Một hộp đựng 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để cả 3 quả cầu lấy ra cùng màu.
Câu 8.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1); B(1;2) trọng
tâm G của tam giác thuộc đường thẳng x+y2=0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC
bằng 13,5.
www.DeThiThu.Net
hu
ìï x 3 - y 3 + 3 y 2 - 3 x - 2 = 0
Câu 9.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình : í 2
2
2
ïî x + 1 - x - 3 2 y - y + 2 = 0
Câu 10.(1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sau:
P=
1
1
1
1
+
+ +
2
2
a +b +c
ab bc ca
2
.N
Hết
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
et
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ KÝ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
CÂU
ĐÁP ÁN
Câu 1
a) (1,0 điểm)
(2,0 điểm) ŸTập xác định: D=R\{1}
ŸGiới hạn và tiệm cận:
www.DeThiThu.Net
lim- y = -¥, lim+ y = +¥; lim y = lim y = 2
x ®1
x ®-¥
x ®1
ĐIỂM
0,25
x ®+¥
T
De
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và một tiệm cận
ngang là đường thẳng y=2
ŸSự biến thiên:
Chiều biến thiên: y ' =
-3
< 0, "x Î D
( x - 1) 2
www.DeThiThu.Net
0,25
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ¥ ;1) và (1;+ ¥ )
Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
Bảng biến thiên:
¥
1
www.DeThiThu.Net
2
y
+¥
hiT
x
y’
0,25
+¥
¥
2
ŸĐồ thị (C):
12
8
6
4
2
2
10
1
5
5
1
2
4
6
8
10
15
et
10
b) (1,0 điểm)
Tung độ y0 của tiếp điểm là: y0 = -
0,25
.N
15
hu
10
1
2
3
Suy ra hệ số góc k của tiếp tuyến là: k = y '( -1) = 4
www.DeThiThu.Net
0,25
0,25
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
3
4
Do đó, phương trình của tiếp tuyến là: y = - ( x + 1) 3
4
hay y = - x -
5
4
1
2
0,25
www.DeThiThu.Net
0,25
Câu 2
a) (0,5 điểm)
(1,0 điểm) Điều kiện xác định: x>3 (1)
Với điều kiện (1), ký hiệu (2) là phương trình đã cho, ta có:
0,25
(2) Û log 5 ( x + 1) + log 5 ( x - 3) = 1 Û log 5 [( x + 1)( x - 3)] = log 5 5
Û x 2 - 2 x - 8 = 0 Û x=4 ( do (1))
T
De
0,25
b) (0,5 điểm)
Đặt z = a + bi (a,b Î R); khi đó z = a - bi . Do đó, ký hiệu (*) là hệ thức cho trong
đề bài, ta có:
(*) Û (3 + i )(a - bi ) + (1 + 2i)(a + bi) = 3 - 4i
Û (4 a - b) + (3a - 2b)i = 3 - 4i
ì 4a - b = 3
ìa = 2
Ûí
Ûí
î3a - 2b = -4
îb = 5
www.DeThiThu.Net
hiT
Do đó: z = 22 + 52 = 29
cot a
2
Câu 3
Ta có: A =
= cot a .sin 2 a = cos a .sin a = sin a
2
(0,5 điểm)
1 + cot a
3
0,25
0,25
0,25
(1)
2
æ2ö 5
sin 2 a = 1 - cos 2 a = 1 - ç ÷ =
è3ø 9
5
æ 3p
ö
Vì a Î ç ; 2p ÷ nên sin a < 0 . Do đó, từ (2) suy ra sin a = 3
è 2
ø
Thế (3) vào (1), ta được A = -
2 5
9
(2)
www.DeThiThu.Net
hu
p
p
Câu 4
2
2
(1,0 điểm) Ta có: I = 2 cos xdx + x sin xdx = I + I
1
2
ò
ò
0
0
p
2
p
I1 = ò 2 cos xdx = 2sin x 02 = 2
p
2
www.DeThiThu.Net
p
p
(1)
.N
0
0,25
(3)
2
p
I 2 = ò x sin xdx = - x cos x 02 + ò cos xdx = sin x 02 = 1
0
0
Vậy: I = I1 + I 2 = 3
1ö
æ
è
æ
è
1ö
et
Câu 5
æ 1 1 3ö
(1,0 điểm) Gọi I là trung điểm của MN, ta có I = çè - 2 ; 2 ; 2 ÷ø .
uuuur
Vì (P) là mp trung trực của MN nên (P) đi qua I và MN = ( -1; 7;3) là một vectơ
pháp tuyến của (P).
æ
è
ø
0,25
0,25
0,25
0,25
3ö
Suy ra, phương trình của (P) là: (-1) ç x + ÷ + 7 ç y - ÷ + 3 ç z - ÷ = 0
2
2
2
ø
0,25
ø
0,25
hay: 2 x - 14 y - 6 z + 17 = 0
Ta có d (O, (P)) =
17
2 2 + (-14) 2 + (-6)2
=
17
236
0,25
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: x 2 + y 2 + z 2 =
289
236
0,25
www.DeThiThu.Net
Câu 6
(1,0 điểm)
S
www.DeThiThu.Net
H
T
De
C
A
O
M
B
Tam giác ABC đều cạnh a , suy ra S ABC =
a2 3
4
0,25
SA ^ mp(ABC), suy ra AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC)
Suy ra: góc giữa SB và mp(ABC) là góc SBA bằng 600
Xét D v.SAB, ta có: SA = AB.tan 600 = a 3
a3
4
www.DeThiThu.Net
hiT
1
3
Vậy: VS . ABC = S ABC .SA =
0,25
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
Câu 7
(0,5 điểm) Kí hiệu X là biến cố “ cả 3 quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có: n( X ) = C73 + C53 + C43 = 49
et
.N
hu
ì BC ^ SA
Þ BC ^ (SAM )
í
î BC ^ AM
Suy ra mp(SAM) ^ mp(SBC) theo giao tuyến SM
0,25
Kẻ AH ^ SM thì AH ^ (SBC).Suy ra d(A,(SBC))=AH
www.DeThiThu.Net
1
Vì O là trọng tâm D ABC nên OM = AM .
3
1
1
Suy ra d (O, (SBC )) = d ( A, (SBC )) = AH
3
3
1
1
1
1
4
5
Xét D v.SAM, ta có:
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AH
SA
AM
3a
3a
3a
0,25
a 15
Suy ra AH =
5
www.DeThiThu.Net
a 15
Vậy: d (O,( SBC )) =
15
0,25
Số phần tử của không gian mẫu: n( W) = C163 = 560
www.DeThiThu.Net
n( X ) 49
7
=
=
n(W) 560 80
Câu 8
Vì G thuộc đường thẳng x + y - 2 = 0 nên G ( x; 2 - x)
r
(1,0 điểm) uuu
AB = ( -1; -1) , phương trình đường thẳng AB: x - y - 3 = 0
2x - 5 1
1
9
Ta có : SGAB = . AB.d (G , AB ) =
= S ABC = Þ 2 x - 5 = 9
2
2
3
2
Vậy: P( X ) =
Suy ra: x=7 hoặc x=2. Suy ra G(7;5) hoặc G(2;4)
Suy ra: C(18;12) hoặc C(9;15)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
T
De
Câu 9
ì -1 £ x £ 1
Điều
kiện:
í
(1,0 điểm)
î0 £ y £ 2
Phương trình (1) của hệ tương đương với: x 3 - 3 x - 2 = ( y - 1)3 - 3( y - 1) - 2 (*)
Xét hàm số f (t ) = t 3 - 3t - 2 , "t Î [-1;1]
Ta có: f '(t ) = 3t 2 - 3 £ 0 , "t Î [-1;1]
www.DeThiThu.Net
Suy ra: f nghịch biến trên đoạn [1;1]
Do đó: (*) Þ f(x)=f(y1) Û x = y - 1
Thế vào pt (2) của hệ ta có:
- (2 y - y 2 ) - 2 2 y - y 2 + 3 = 0 Û
0,25
0,25
2 y - y2 = 1 Û y = 1
Vậy: hệ phương trình có nghiệm (x=0;y=1)
0,25
Câu 10
1
1 ö
1
1
1
9
æ 1
(1,0 điểm) Ta có: (ab + bc + ca ) çè ab + bc + ca ÷ø ³ 9 Þ ab + bc + ca ³ ab + bc + ca
P³
0,25
1
9
1
1
1
7
+
= 2
+
+
+
2
2
2
2
a +b +c
ab + bc + ca a + b + c
ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
2
0,25
0,25
hiT
21
³
+
2
2
2
3
( a + b + c )( ab + bc + ca )( ab + bc + ca) 3( ab + bc + ca )
³
3
9
21
3
21
=
+
= 30
+
2
2
(a + b + c ) (a + b + c )2
(a + b + c ) + (ab + bc + ca ) + (ab + bc + ca ) ( a + b + c )
3
2
2
2
Vậy: minP=30 khi a = b = c =
1
3
www.DeThiThu.Net
0,25
0,25
hu
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
et
.N
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ I H C - THPT Qu c Gia - C p nh t liên t c!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I NĂM 2015
MÔN: TOÁN
www,dethithu.net
Thời gian làm làm bài: 180 phút
www,dethithu.net
1
3
1
1
m 1 x 2 mx 1 với m là tham số
2
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 2 .
Câu 1. (2 điểm). Cho hàm số y x3
1
b) Tìm m để hàm số 1 có cực đại là 𝑦𝐶Đ và 𝑦𝐶Đ = .
3
Câu 2. (1 điểm)
www,dethithu.net
T
De
www,dethithu.net
a) Giải phương trình: cos3x cos x 2 3cos2x.sin x .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn z 2 z 3 2i .
Câu 3. ( 0.5 điểm). Giải phương trình: log 4 x 2 log 2 2 x 1 log 2 4 x 3 .
Câu 4. (1 điểm). Giải bất phương trình: x 2 5 x 4 1 x3 2 x 2 4 x .
x 3 1
dx .
x2
6
Câu 5. (1 điểm). Tính tích phân: I
1
www,dethithu.net
ACD với cos
hiT
Câu 6. ( 1 điểm). Cho hình chóp đều S.ABC có SA= 2a , AB= a . Gọi M là trung điểm của
cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AM, SB.
Câu 7. ( 1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có
1
, điểm H thoả mãn điều kiện HB 2 HC , K là giao điểm của 2
5
1 4
hu
đường thẳng AH và BD. Cho biết H ; , K 1;0 và điểm B có hoành độ dương.
3 3
www,dethithu.net
Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D.
Câu 8. (1 điểm). Trong không gian với hệt toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
d:
x 2 y 1 z
. Tìm toạ độ giao điểm của (P)
1
2
1
.N
P : x y z 3 0 và đường thẳng
et
và d. Tìm toạ độ điểm A thuộc d sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 2 3 .
Câu 9. (0.5 điểm). Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6
đội nước ngoài và 3 đội bóng của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên
thành 3 bảng A, B, C; mỗi bảng bao gồm 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt
Nam ở 3 bảng khác nhau.
Câu 10. (1 điểm). Giả sử x, y, z là các số thực không âm thảo mãn:
0 x y y z z x 2
2
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P 4 x 4 y 4 z ln x 4 y 4 z 4
www,dethithu.net
3
4
x y z .
4
Group Facebook : Ôn thi ĐH TOÁN - ANH : />
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1
Môn: TOÁN;
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu
Đáp án
Điểm
a) (1,0 điểm)
Câu 1.
(2,0
điểm)
Khi m 2 hàm số trở thành y
1 3 1 2
1
x x 2x .
3
2
3
1 0. Tập xác định: D .
www.DeThiThu.Net
2 0. Sự biến thiên:
2
*) Chiều biến thiên: Ta có y x x 2, x .
x 1
x 1
y 0
; y 0
; y 0 1 x 2.
x 2
x 2
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 1) và (2; ); hàm số nghịch biến trên
khoảng (1; 2).
3
*) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 1, yCĐ y (1) ;
2
hàm số đạt cực tiểu tại x 2, yCT y (2) 3.
*) Giới hạn tại vô cực:
2
1
2
1
1 1
1 1
lim y lim x 3
2 3 ; lim y lim x 3
2 3 .
x
x
x
x
3x
3x
3 2x x
3 2x x
*) Bảng biến thiên:
x
2
1
y
y'
+
0
–
0
3
2
3
2
y
+
3
1 O
0,5
2
x
0,5
3 0. Đồ thị:
3
b) (1,0 điểm)
x 1
Ta có y x 2 m 1 x m, x ; y 0
x m
Hàm số có cực đại khi và chỉ khi m 1.
Xét hai trường hợp (TH) sau:
TH1. m 1. Hàm số đạt cực đại tại x m, với yCĐ y (m )
Ta có yCĐ
m3 m 2 1
.
6
2 3
m 3(tm)
1
m3 m 2 1 1
m 3.
3
6
2 3 3
m 0 (ktm)
TH2. m 1. Hàm số đạt cực đại tại x 1, với yCĐ y (1)
Ta có yCĐ
0,5
m
1
.
2 2
0,5
1
m 1 1
1
m (tm).
3
2 2 3
3
1
Vậy các giá trị cần tìm của m là m 3, m .
3
1
Tham gia Group Facebook! ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
a) (0,5 điểm)
Câu 2.
(1,0
điểm)
Câu 3.
(0,5
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
k
x 4 2
cos2 x 0
2cos2 x cos x 2 3cos2 x sin x
k .
x k
cosx 3 sin x
6
b) (0,5 điểm)
Đặt z a bi, ( a, b ). Từ giả thiết ta có
0,5
3a 3
a 1
a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2i
b 2
b 2
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng 2.
1
*) Điều kiện: x .
2
www.DeThiThu.Net
Khi đó phươngtrình đã cho tương đương với
log 2 x log 2 2 x 1 log 2 4 x 3 log2 2 x 2 x log2 4 x 3
0,5
0,5
1
x
2
2
2 x x 4 x 3 2 x 5x 3 0
2
x
3
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là x 3.
Câu 4.
(1,0
điểm)
x 1 5
*) Điều kiện: x 3 2 x 2 4 x 0
1 5 x 0.
Bất phương trình đã cho tương đương với x 2 2 x 4 3 x 4 x x 2 2 x 4 .
(1)
Xét hai trường hợp sau đây:
TH1. Với 1 5 x 0 . Khi đó x 2 2 x 4 0 và 3 x 0 . Hơn nữa hai biểu thức
0,5
x 2 2 x 4 và 3x không đồng thời bằng 0. Vì vậy
x
2
2 x 4 3x 0 4 x x 2 2 x 4 .
Suy ra 1 5 x 0 thỏa mãn bất phương trình đã cho.
TH2. Với x 1 5. Khi đó x 2 2 x 4 0 . Đặt
x 2 2 x 4 a 0, x b 0 .
Bất phương trình trở thành a 2 3b 2 4ab a b a 3b 0 b a 3b
x 2 x 4 0
1 17
7 65
x x 2x 4 3 x 2
x
, thỏa mãn.
2
2
x 7 x 4 0
2
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1 5 x 0 ;
Đặt
Câu 5.
(1,0
điểm)
0,5
1 17
7 65
x
.
2
2
x 3 t. Ta có x 1 t 2; x 6 t 3; x t 2 3 và dx 2tdt.
3
3
0,5
t 1
t
Khi đó I 2 2tdt 2
dt
t 1
t 1
2
2
3
1
2 1
dt 2 t ln t 1
t 1
2
3
2 1 ln 2 .
0,5
2
2
Tham gia Group Facebook! ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
*) Từ giả thiết suy ra ABC đều và
SA SB SC .
Hạ SO (ABC ) O là tâm tam
giác đều ABC.
a2 3
Ta có AB a S ABC
và
4
a 3
2
a 3
AM
AO AM
2
3
3
a 33
SO SA2 AO 2
.
3
1
a 3 11
Suy ra VS . ABC SO.S ABC
.
3
12
S
Câu 6.
(1,0
điểm)
H
A
C
O
M
x
K
B
*) Kẻ Bx // AM mp ( S , Bx) // AM
d ( AM , SB ) d AM , (S , Bx) d O , (S , Bx)
Hạ OK Bx, OH SK . Vì Bx (SOK ) nên Bx OH OH ( S , Bx)
a
Ta có OMBK là hình chữ nhật nên OK MB .
2
1
1
1
47
a 517
Vì SOK vuông tại O nên
OH
2
2
2
2
OH
OK
OS
11a
47
a 517
Từ (1), (2) và (3) suy ra d ( AM , SB ) OH
.
47
D
Câu 7.
(1,0
điểm)
C
Từ giả thiết suy ra H thuộc cạnh BC và BH
Vì BH // AD nên
H
K
A
B
0,5
(3)
2
BC.
3
KH BH 2
2
HK KA . Suy ra
KA AD 3
3
4
a.
3
Trong tam giác vuông ABH ta có AB 2 BH 2 AH 2
Suy ra AB 5, HB
(1)
(2)
5
1
4
5 2 4
5 10
HA HK x A ; y A . ; ;
2
3
3 2 3 3 3 3
A(2; 2).
1
Vì ACD vuông tại D và cos
ACD cos
nên
5
AD 2CD, AC 5CD.
Đặt CD a (a 0) AD 2a AB a, BH
0,5
0,5
www.DeThiThu.Net
25 2 125
a
a 5.
9
9
4 5
.
3
(*)
0,5
( x 2) 2 ( y 2) 2 5
x 3, y 0
2
2
Giả sử B( x; y ) với x 0, từ (*) ta có
1
4 80
x 1 , y 8 (ktm)
x y
5
5
3
3
9
3
Suy ra B(3; 0). Từ BC BH C 1; 2 . Từ AD BC D 2; 0 .
2
*) Giả sử M d ( P). Vì M d nên M (t 2; 2t 1; t ).
Câu 8.
(1,0
điểm)
Mặt khác M ( P) nên suy ra (t 2) (2t 1) (t ) 3 0 t 1.
0,5
Suy ra M (1; 1; 1).
3
Tham gia Group Facebook! ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
*) Ta có A d nên A(a 2; 2 a 1; a).
Khi đó d A, ( P) 2 3
(a 2) (2a 1) (a ) 3
12 12 12
Suy ra A(4; 5; 2) hoặc A( 2; 7; 4).
Câu 9.
(0,5
điểm)
a 2
2 3 a 1 3
a 4.
+) Tổng số kết quả 9 đội bóng bốc thăm ngẫu nhiên vào 3 bảng A, B, C là C93 C63 C33 .
+) Số kết quả bốc thăm ngẫu nhiên có 3 đội bóng Việt Nam nằm ở ba bảng khác nhau là
3! C62 C42 C22 .
Suy ra xác suất cần tính là P
2
6
2
4
2
2
3! C C C
9
0,32.
3
3
3
C9 C6 C3
28
0,5
0,5
www.DeThiThu.Net
Từ giả thiết suy ra 0 x, y , z 1 và x 2 y 2 z 2 1.
Câu 10.
(1,0
điểm)
Xét hàm số g (t ) 4t 3t 1, t 0; 1. Ta có g '(t ) 4t ln 4 3.
Suy ra g (t ) 0 t log 4
3
t0 ; g (t ) 0 t t0 và g (t ) 0 t t0 .
ln 4
3
4, nên 0 t0 1.
ln 4
t
0
Suy ra bảng biến thiên
g '(t )
www.DeThiThu.Net
Vì 1
t0
–
1
+
0
0
0
0,5
g (t )
Suy ra g (t ) 0 với mọi t 0; 1 , hay 4t 3t 1 với mọi t 0; 1.
Mặt khác, do 0 x, y, z 1 nên x 4 y 4 z 4 x 2 y 2 z 2 1.
3
Từ đó ta có P 3 3( x y z ) ln x 4 y 4 z 4 ( x y z ) 4
4
3
3 3( x y z ) ( x y z ) 4 .
4
3
Đặt x y z u , khi đó u 0 và P 3 3u u 4 .
4
3
Xét hàm số f (u ) 3 3u u 4 với u 0.
4
www.DeThiThu.Net
3
Ta có f (u ) 3 3u và f (u ) 0 u 1.
Suy ra bảng biến thiên
u
0
1
f '(u )
+
f (u )
0
–
21
4
0,5
21
21
với mọi u 0. Suy ra P , dấu đẳng thức
4
4
xảy ra khi x 1, y z 0 hoặc các hoán vị.
21
Vậy giá trị lớn nhất của P là
.
4
Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u )
4
Tham gia Group Facebook! ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
Môn thi: TOÁN
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề )
Đề thi này có 01 trang
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y
2x 1
1 .
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Câu 2. (1,0 điểm)
www.DeThiThu.Net
a) Giải phương trình: cos 2 x 1 cos 2 x .
2
2
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 1 3i z 1 i z 5 i . Tính môđun của z .
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình: log 24 x 2log 4 x 2 3 0 .
Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình:
x2 2
6 x2 2x 4 2 x 2
1
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân: I 2 x3 x.e x dx.
1
.
2
www.DeThiThu.Net
0
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , mặt bên SAB
là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh B 1;5 . Gọi
M là điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn BM 5 AM và N là điểm thuộc đoạn CD thỏa mãn
DN 2CN . Biết đường thẳng MN có phương trình x 2 y 1 0 và đỉnh D thuộc đường thẳng
x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, C , D .
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và mặt phẳng
P :
x 2 y 2 z 1 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời vuông góc
với mặt phẳng P và tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của gốc tọa độ O trên đường thẳng .
Câu 9. (0,5 điểm) Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, một đoàn thanh tra
lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lô hàng của một công ty để kiểm tra. Tính xác suất để đoàn
thanh tra lấy được ít nhất 2 phế phẩm. Biết rằng trong lô hàng đó 100 sản phẩm, trong có 95
chính phẩm và 5 phế phẩm.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa mãn a b c 9 .
Chứng minh rằng:
3
a
2
2 b 2 2 c 2 2 8 3 a 2 b 2 c 2 .
___________ HẾT ___________
www.DeThiThu.Net
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………………
Số báo danh: ………………………………………
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Thi Th i H c - THPT Qu c Gia - Ti Li u ễn Thi.C p nh t m i ngy!
P N
THI TH K THI THPT QUC GIA NM 2015 LN 2
Cõu
Ni dung
im
Tập xác định: D = R\{ - 1}
Gii hn v tim cn
lim y lim y 2 ; tim cn ngang y=2
x
0,25
x
lim y ; lim y ; tim cn ng x=-1
x ( 1)
x ( 1)
3
0 vi mi x - 1
( x 1) 2
Hm s ng bin trờn mi khong (- ; -1) và ( -1; + )
o hm: Ta cú y '
BBT:
x -
y
+
-1
0,25
+
+
0,25
y
1a)
+
2
th:
2
-
y
5
4
3
0,25
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Vi x = 2 y=1 suy ra M(2 ;1) C .
0,25
3
1
y ' (2)
2
( x 1)
3
0,25
Ta cú y '
1b)
Tip tuyn ti M(2 ;1) cú dng : y y '(2)( x 2) 1
1
3
0,25
1
3
y= x .
0,25
PT: cos 2 x 1 cos 2 x sin 2 x 1 1 sin 2 x
2
sin x 2cos x sin x 0
2a)
0,25
www.DeThiThu.Net
sin x 0
sin x 2cos x
sin x 0 x k
sin x 2cos x tan x 2 x arctan 2 k
0,25
Tham gia ngay! Group FB: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
2
Ta có: 1 3i z 1 i z 5 i 1 3i z 2i z 5 i
(1)
Đặt z a bi a, b R z a bi
Do đó (1) trở thành 1 3i a bi 2i a bi 5 i
2b)
3
0,25
5
a
3
a 5b b a i 5 i
b 2
3
5 2
29
nên z i z
.
3 3
3
0,25
ĐKXĐ: x 0
2
PT log 24 x 2log 4 x 2 3 0 log 4 x 4 log 4 x 3 0
0,25
log x 1
x 4
4
(t/m)
x 64
log 4 x 3
0,25
x 2 0
ĐKXĐ:
x 2 .
2
6
x
2
x
4
2
x
2
2x2 4x 8
2
Nhận xét : 6 x 2 x 4 2 x 2
0 x 2 .
6 x2 2x 4 2 x 2
0,25
Do đó BPT:
2.
x2 2
6 x2 2x 4 2 x 2
1
2
www.DeThiThu.Net
x 2 2 6 x2 2x 4 2 x 2
2
2 x 2 2 x 2 4 6 x 2 2 x 2 4
Đặt t x 2 t 0 , bất phương trình trở thành
4
0,25
2t 2 t 4 6 t 2 2t 4 .(1)
Ta thấy t 0 không là nghiệm của BPT trên t 0
2
4
BPT (1) 2 t
2 6 t t 2 (2)
www.DeThiThu.Net
t
2
4
Đặt u t
u 2 t 4 , do đó BPT (2) trở thành
t
t
2u 2 0
u 1
2u 2 6 u 2 2 2
u2
2
2
4
u
8
u
4
6
u
12
2
u
2
0
0,25
t 1 3
2 t 2 0
t 1 3 L
t 4 2 3 x 2 2 3 (t/m).
Vậy BPT đã cho có nghiệm duy nhất là x 2 2 3.
0,25
t
2
2
t
t
2
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
1
1
1
Ta có I 2 x 3 x.e x dx 2 x 3 dx xe x dx
0
0
1
1
5
x4
9
2
x
dx
2
x
.
0
4
4
0
www.DeThiThu.Net
3
1
0,25
0
1
xe dx xde x.e
x
0
Vậy I
x
x
1
1
e dx e e
0
0
x
0
13
.
4
x
1
0
0,25
1
0,25
www.DeThiThu.Net
0,25
0,25
Gọi H là trung điểm của AB SH AB mà SAB ABC SH ABC
Do SAB vuông cân tại S SH
6
AB a
.
2
2
a2 3
Mà ABC đều S ABC
.
4
www.DeThiThu.Net
1
a3 3
Do đó: VSABC SA.S ABC
(đvdt).
3
24
Dựng hình bình hành ABDC , ta có
AC || SBD d AC , SB d AC ; SBD d A; SBD 2d H ; SBD
0,25
0,25
Kẻ HK BD tại K và HI SK tại I.
Ta có BD SHK BD HI , do đó HI SBD d H ; SBD HI
a 3
4
1
1
1
a 3
Xét tam giác vuông SHK, ta có
HI
2
2
2
HI
HS
HK
2 7
Xét tam giác vuông BHK có HBK 600 HK HB.sin 600
Vậy d AC, SB 2 HI a
0,25
3
.
7
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
0,25
Gọi I là giao điểm của BD và MN, gọi H và K là hình chiếu của B và D lên MN
Ta có: BIH đồng dạng với DIK
DK DI
DI DN 4
, mà DN||MB
BH BI
BI MB 5
4
4
8
Suy ra DK BH d D; MN d B; MN d D; MN
1 .
5
5
5
Do D thuộc đường thẳng x y 4 0 D a; 4 a .
a 5
8
Suy ra (1)
3a 7 8
.
a 1
5
5
3
1
1 13
Với a D ; (Không thỏa mãn vì D và B nằm cùng phía
3
3 3
với bờ là đường thẳng MN
Với a 5 D 5; 1 (t/m).
1
Gọi J là trung điểm của BD J 2;2 , ta có JB 1;1 là VTPT của đường
3
chéo AC, do AC đi qua J AC : x y 0 .
a 24 a 1
7
0,25
0,25
2
Do A AC A t ; t AJ 2 t 2 , mà AJ BJ 3 2
A 5;5 C 1; 1
t 5
.
t 1 A 1; 1 C 5;5
0,25
Với A 5;5 , C 1; 1 , D 5; 1 loại vì A và D nằm khác phía với MN
Với A 1; 1 , C 5;5 , D 5; 1 . thỏa mãn.
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 1; 1 , C 5;5 , D 5; 1 .
8
Mặt phẳng (P) có VTPT là n 1; 2;2 , do đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng (P), suy ra n 1; 2;2 là VTCP của đường thẳng .
0,25
x 1 t
Mà đi qua A 1;2;3 , suy ra có phương trình là : y 2 2t .
z 3 2t
0,25
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
Do H H 1 t ; 2 2t ; 3 2t , ta có OH 1 t ;2 2t ;3 2t .
Mà OH OH .u 0 với u 1; 2;2 là VTCP của đường thẳng
1
2 8 7
11 t 2 2 2t 2 3 2t 0 t H ; ; .
3
3 3 3
5
Không gian mẫu của phép thử là C100
.
Gọi A là biến cố “đoàn thanh tra lấy được ít nhất 2 phế phẩm”
Khi đó A là biến cố “đoàn thanh tra lấy được số phế phẩm nhỏ hơn 2”
Ta có:
Số cách lấy được 5 sản phẩm trong đó toàn chính phẩm là C955 cách.
9
0,25
0,25
0,25
Số cách lấy được 5 sản phẩm trong đó có đúng 1 phế phẩm là C954 .C51 .
Suy ra n A C955 C954 .C51 73858244 .
P A 1 P A 1
0,019 .
n A
www.DeThiThu.Net
n
Lưu ý: lấy kết quả xấp xỉ bằng 0,02 cũng được .
10
CMR:
3
a
2
0,25
2 b 2 2 c 2 2 8 3 a 2 b 2 c 2
2
Ta có: a b c 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 27
0,25
3 a 2 b2 c 2 3
Do đó BĐT đã cho tương đương với
3
a
2
2 b 2 2 c 2 2 11
a 2 2 b 2 2 c 2 2 113
0,25
www.DeThiThu.Net
ln a 2 2 ln b 2 2 ln c 2 2 3ln11
6
x 3 ln11 0 x 1;9 .
11
x 3
2x
6
Thật vậy, ta có f ' x 2
f ' x 0
,
x 2 1;9
x 2 11
3
BBT:
Mặt khác ta lại có: f x ln x 2 2
x
f ' x
1
+
3
0
0
9
0,25
-
f (x )
Suy ra: f x 0 x 1;9 .
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!
6
2
ln
a
2
a 3 ln11 0
11
f a 0
6
Mà a, b, c 1;9 f b 0 ln b 2 2 b 3 ln11 0
11
f
c
0
6
2
ln c 2 11 c 3 ln11 0
Cộng các BĐT trên lại với nhau ta được
ln a 2 2 ln b 2 2 ln c 2 2 3ln11 .
0,25
Đẳng thức xảy ra khi a b c 3 .
……………………..Hết………………….
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2x − m −1
(1) .
x−2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1) khi m = 1 .
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) biết tiếp điểm có tung độ y = 3 .
c. Tìm các giá trị m ≠ 3 để hàm số (1) đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
Câu 2 (1,0 điểm)
1
π
7π
a. Cho sin (π + α ) = − với < α < π . Tính tan
−α .
3
2
2
b. Giải bất phương trình 8.3
x −x
+9
x −x+1
≥1
( x ∈ » ).
Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x + 1 , trục hoành và
hai đường thẳng x = ln 3, x = ln 8 .
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 600
và AC ' = 2a . Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của A’C và OC’. Tính thể tích khối
lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (EBD).
Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC, gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của các đỉnh B, C lên các cạnh AC, AB. Các đường thẳng BC và EF lần lượt có phương trình
là BC : x − 4 y − 12 = 0 , EF : 8 x + 49 y − 6 = 0 , trung điểm I của EF nằm trên đường thẳng
∆ : x − 12 y = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết BC = 2 17 và đỉnh B có hoành độ âm.
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; − 2;0), B (−5; − 3;1) , C ( −2; −3;4 )
x +1 y z − 2
= =
.
1
1
−1
a. Chứng minh tam giác ABC đều. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng ∆ sao cho thể tích tứ diện D.ABC bằng 3.
và đường thẳng ∆ :
Câu 7 (1,0 điểm)
a. Giải phương trình
3x + 2 + 2 x + 1 = x + 1 ( x ∈ » ) .
b. Từ tập E = {1;2;3;4;5} , lập các số tự nhiên có ba chữ số. Lấy ngẫu nhiên hai số trong các số
vừa lập. Tính xác suất để trong hai số được lấy ra có ít nhất một số có đúng hai chữ số phân biệt.
Câu 8 (1,0 điểm) Tìm số phức z biết
( z + 3 − i)
2
− 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 .
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a, b, c ≥ 1 là các số thực thỏa mãn a + b + c = 6 . Tìm giá trị lớn nhất của
P = ( a 2 + 2 )( b 2 + 2 )( c 2 + 2 ) .
--------- Hết --------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh………………………………………….; Số báo danh………….
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
TỔ TOÁN
------------------------
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn : TOÁN; Lần 3
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
Đáp án
Điểm
1
2x − 2
a.
(1,0
điểm)
y
=
(2,0
x−2
điểm) * Tập xác định: D = » \ {2} .
* Sự biến thiên:
−2
Đạo hàm y ' =
< 0, ∀ x ∈ D . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 0.25
2
( x − 2)
( −∞;2 ) ; ( 2; +∞ ) .
Giới hạn:
lim y = lim y = 2 , nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị ( C1 ) .
x →+∞
x →−∞
0.25
lim y = +∞; lim y = −∞ , nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị ( C1 ) .
x → 2+
x → 2−
Bảng biến thiên:
0.25
* Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Điểm đặc biệt
0.25
b. (0,5 điểm)
1
2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 4;3) :
Ta có y = 3 ⇒ x = 4; y ' ( 4 ) = −
0.25
0.25
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
y=−
1
1
( x − 4) + 3 ⇔ y = − x + 5
2
2
c. (0,5 điểm)
−3 + m
Ta có y ' =
, tập xác định D = » \ {2} .
2
x
−
2
(
)
0.25
Với m ≠ 3 , hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;2) và ( 2;+∞ ) khi và chỉ khi
y ' > 0, ∀x ≠ 2 ⇔ m > 3 .
a. (0,5 điểm)
2
(1,0
1
1
điểm) Ta có sin (π + α ) = − 3 ⇒ sin a = 3 .
π
1
2 2
Do < α < π nên cos α < 0 ⇒ cos α = − 1 − = −
.
2
9
3
π
cos α
7π
π
tan
− α = tan 3π + − α = tan − α = cot α =
= −2 2 .
2
sin α
2
2
b. (0,5 điểm)
Điều kiện: x ≥ 0
Bất phương trình tương đương với 8.3
x −x
(
+ 9. 3
x −x
)
2
−1 ≥ 0 .
1
Đặt t = 3 , t > 0 , ta có 9t + 8t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≤ −1 (loại) hoặc t ≥ .
9
1
Do vậy 3 x − x ≥ ⇔ x − x ≥ −2 ⇔ − x + x + 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 .
9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = [ 0; 4] .
0.25
0.25
0.25
0.25
2
x −x
ln8
ln8
3
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ln 3 e x + 1 dx = ∫ln 3 e x + 1dx .
(1,0
điểm)
2t
Đặt t = e x + 1 ⇒ e x = t 2 − 1 ⇒ e x dx = 2tdt ⇒ dx = 2
dt
t −1
Đổi cận : x = ln 3 ⇒ t = 2, x = ln 8 ⇒ t = 3
3
Khi đó S = ∫2
0.25
0.25
0.25
3
2t 2
1
1
dt = ∫2 2 +
−
dt
2
t −1
t −1 t +1
0.25
3
t −1
3
= 2t 2 + ln
= 2 + ln
t +1 2
2
3
4
(1,0
điểm)
∆ABD có
AB = AD = a, BAD = 600
nên ∆ABD đều,
a 3
suy ra AO =
⇒ AC = a 3 ;
2
CC ' = a ..
0.25
D'
C'
A'
B'
H
0.25
D
I
C
O
A
B
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
1
a2 3
a3 3
AC.BD =
. Do vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = CC '.S ABCD =
.
2
2
2
Vẽ CH ⊥ OC '( H ∈ OC ') (1)
S ABCD =
Ta có
BD ⊥ OC
⇒ BD ⊥ (OCC ') ⇒ BD ⊥ CH (2)
BD ⊥ CC '
0.25
0.25
Từ (1) và (2) ta có CH ⊥ ( IBD) nên d ( C , ( IBD ) ) = CH .
AC cắt (IBD) tại O và O là trung điểm của AC.
Do vậy d ( A, ( IBD ) ) = d ( C , ( IBD ) ) = CH
a 3
a 21
2
=
=
=
.
2
2
2
7
CC ' + OC
3a
a2 +
4
CC '.OC
0.25
a.
5
(1,0 Vì I thuộc ∆ nên I (12m; m ) , mà I thuộc
điểm)
6
EF nên ta có m =
, suy ra
145
72 6
I
;
145 145
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông
góc với EF, ta có d :49 x − 8 y − 24 = 0
Đường thẳng d cắt BC tại trung điểm M
của BC, do vậy M ( 0; −3) .
Ta có BM = 17, B ( 4b + 12; b ) , BM =
0.25
2
( 4b + 12 ) + ( b + 3)
2
nên ta có phương
trình
b = −2 ⇒ B ( 4; −2 )
= 17 ⇔ 17b 2 + 102b + 136 = 0 ⇔
b = −4 ⇒ B ( −4; −4 )
Chọn B ( −4; −4 ) ⇒ C ( 4; −2 ) .
2
( 4b + 12 ) + ( b + 3)
2
0.25
6 − 8e
16 2
64 14
Lấy E e;
, ta có BE.EC = 0 , do vậy E ; − và F − ; hoặc
49
5 5
29 29
16 2
64 14
F ; − và E − ; .
5 5
29 29
16 2
64 14
+ Với E ; − và F − ; . Ta có BE : x − 2 y − 4 = 0, CF : 2 x + 5 y + 2 = 0 ,
5 5
29 29
16 10
suy ra A ; − (loại vì AB. AC < 0 ⇒ cos AB, AC < 0 ⇒ A > 90o ).
9
9
64 14
16 2
+ Với E − ; và F ; − . Ta có BE : 5 x − 2 y + 12 = 0, CF : 2x + y − 6 = 0 ,
29 29
5 5
suy ra A ( 0;6 ) (thỏa mãn).
(
0.25
)
0.25
Vậy A ( 0;6 ) , B ( −4; −4 ) , C ( 4; −2 ) .
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
a. (0,5 điểm)
6
(1,0 Ta có AB = BC = AC = 3 2 nên tam giác ABC đều.
2
điểm)
3 2
3 9 3
Diện tích tam giác ABC là: S =
=
.
4
2
b. (0,5 điểm) .
1
3V
2
Ta có VD. ABC = d ( D, ( ABC ) ) .S ABC = 3 ⇒ d ( D, ( ABC ) ) =
=
.
3
S
3
AB = ( −4; −1;1) , AC = ( −1; −1;4 ) ⇒ AB, AC = ( −3;15;3) .
Phương trình mặt phẳng (ABC) là : x − 5 y − z − 9 = 0 .
Vì D ∈ ∆ nên D ( −1 + t ; t ;2 − t ) .
(
0.25
)
0.25
0.25
−1 + t − 5t − 2 + t − 9
t = −2
2
2
⇔
=
⇔ 3t + 12 = 6 ⇔
3
3 3
3
t = −6
Vậy có hai điểm D thỏa mãn điều kiện bài toán : D ( −3; −2;4 ) hoặc D ( −6; −7;8 ) .
a. (0,5 điểm)
7
(1,0
1
điểm) Điều kiện x ≥ − 2 .
Với điều kiện đó, ta có 3 x + 2 + 2 x + 1 = x + 1
d ( D, ( ABC ) ) =
(
2 x + 1 )(
⇔ 3x + 2 + 2 x + 1 =
⇔
(
3x + 2 +
3x + 2 + 2 x + 1
)(
3x + 2 − 2 x + 1
)
3x + 2 − 2 x + 1 − 1 = 0
0.25
)
0.25
⇔ 3x + 2 − 2 x + 1 = 1( do 3 x + 2 + 2 x + 1 > 0)
⇔ 3x + 2 = 2 x + 1 + 1
⇔ 3x + 2 = 2 x + 1 + 1 + 2 2 x + 1
x ≥ 0
⇔ 2
x − 8x − 4 = 0
⇔ x = 4 + 2 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 + 2 5 .
b. (0,5 điểm)
Từ tập hợp E = {1; 2;3; 4;5} ta có thể lập được 53 = 125 số có 3 chữ số. Chọn 2 số
2
từ 125 số ở trên có C125
cách.
Gọi A là biến cố : « Hai số được chọn có ít nhất một số có đúng hai chữ số phân
biệt ».
Trong 125 số trên có C52 .6 = 60 số có ba chữ số trong đó có đúng hai chữ số phân
biệt. Do vậy n ( Ω A ) = 60.65 + C602 .
Vậy xác suất cần tìm là : P =
0.25
0.25
0.25
60.65 + C602 567
=
≈ 0,73 .
2
C125
775
Đặt t = z + 3 − i , phương trình trở thành : t 2 − 6t + 13 = 0 .
Ta có ∆ ' = −4 = 4i 2 , ∆ ' có hai căn bậc hai là ±2i
8
(1,0
điểm) Phương trình trên có hai nghiệm phức là t = 3 − 2i hoặc t = 3 + 2i .
Do vậy z + 3 − i = 3 − 2i hoặc z + 3 − i = 3 + 2i
Vậy z = −i hoặc z = 3i .
0.25
0.25
0.25
0.25
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Không mất tổng quát có thể giả sử a ≥ b ≥ c . Suy ra 6 = a + b + c ≥ c + c + c suy ra
9
(1,0 c ≤ 2; a + b ≥ 4
2
điểm)
a + b 2
2
2
Ta chứng minh bất đẳng thức ( a + 2 )( b + 2 ) ≤
+2
2
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
4
a + b)
(
2
2
4
2 2
2
2
a b + 2a + 2b ≤
+ ( a + b ) ⇔ 16 ( a − b ) ≤ ( a + b ) − 16a 2b 2
16
2
2
⇔ 16 ( a − b ) ≤ ( a 2 − b 2 ) + 4ab ( a − b )
2
0.25
0.25
2
2
2
⇔ 16 ( a − b ) ≤ ( a − b ) ( a + b ) + 4ab
2
Bất đẳng thức cuối cùng đúng bởi vì ( a + b ) ≥ 42 = 16 .
Đặt x =
a+b
ta có
2
(a
2
2
+ 2 )( b 2 + 2 )( c 2 + 2 ) ≤ ( x 2 + 2 ) ( c 2 + 2 ) = ( x 2 + 2 )
Vì c ≥ 1 nên ta có 2 x + c = 6 ⇒ x ≤
2
((6 − 2x)
2
+2
)
5
.
2
5
Hơn nữa 2 x = a + b ≥ 4 nên ta có x ∈ 2; .
2
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của
2
2
f ( x ) = ( x 2 + 2 ) ( 6 − 2 x ) + 2 = 4 x 6 − 24 x5 + 54 x 4 − 96 x3 + 168 x 2 − 96 x + 152
5
trên 2; .
2
0.25
5
f ' ( x ) = 12 ( x 2 + 2 ) ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 1) , và f ' ( x ) < 0, ∀ x ∈ 2; .
2
Nhưng f ( 2 ) = 216 nên f ( x ) đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0.25
x = 2.
Vậy ta có ( a 2 + 2 )( b 2 + 2 )( c 2 + 2 ) ≤ 216 , hay P đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi a = b = c = 2 .
Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác đáp án và đúng thì vẫn được điểm tối đa.
----------------Hết----------------
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t m i ngày!!
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
Câu 1 (2,0 điểm) Chohàmsố y
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 LẦN III
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
x3
x 1
(C )
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố ( C )
b) Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthịhàmsố ( C ) tạigiaođiểmcủađồthịvớitrụctung.
Câu 2( 1,0 điểm)
T
De
2
2 và tan(
) 1; tínhgiátrịbiểuthức: A cos(
) sin
4
6
b) Chosốphức z thỏamãn: 3( z 1 i ) 2i( z 2 ) .Tìmmoduncủasốphức w z iz 5
a) Cho
Câu 3 (0,5 điểm)
2x
x
Giảibấtphươngtrìnhsau: 3 10.3 9 0
Câu 4 (1,0 điểm)
www.DeThiThu.Net
x 1 x 3 2 x3 4 x 2 8 x 5 2 x
1
7 6x
dx
Câu 5 (1,0 điểm) Tínhtíchphânsau: I
www.DeThiThu.Net
3
x
2
0
Giảiphươngtrìnhsau:
hiT
Câu 6(1,0 điểm)
Chohìnhlăngtrụ ABC. A ' B ' C ' có
ACB =135 0 ,CC '
a 10
; AC a 2 , BC a, Hìnhchiếuvuông
4
góccủa C ' lênmặtphẳng ( ABC ) trùngvớitrungđiểm M củađoạn AB .Tínhtheo a thểtíchkhốilăngtrụ
ABC. A ' B ' C ' vàgóctạobởigiữađườngthẳng C 'M vàmặtphẳng (ACC'A')
hu
Câu 7 (1,0 điểm)
Trongmặtphẳng Oxy chohìnhthang ABCD vuôngtại A và D có C D 2 A D 2 A B ,Gọi E( 2; 4 ) là
điểm thuộcđoạn AB saocho AB 3 AE .Điểm F thuộc BC saochotamgiác DEF cântại E .Phương
đ ộcácđỉnhcủahìnhthangbiết D thuộcđườngthẳng d : x y 0
trình EF là: 2 x y 8 0. Tìmtọađ
vàđiểm A cóhoànhđộnguyênthuộc ườngthẳng d ' : 3 x y 8 0.
Câu 8(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P có phương trình :
.N
2 x 2 y z 9 0 .Viết phươngtrìnhtham số củađườngthẳng d đi qua điểm A và vuông gócvới mặt
phẳng P .Tìmtọađộđiểm A ' đốixứngvớiđiểm A quamặtphẳng P .
Câu 9(0,5 điểm)
Gọi S làtậpcácsốtựnhiêncó 4 chữsốđ
đ ôimộtkhácnhauđượcchọntừcácchữsố 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 .Chọn
et
ngẫun
n hiênmộtsốtừtập S ,tínhxácsuất ểsốđượcchọnlàsốchẵnđồngthờisốhàngđơnvịbằngtổngcác
sốhà gchục,trămvànghìn.
Câu 10(1,0 điểm)
www.DeThiThu.Net
Chocácsốthựcdương a, b, c thỏamãn a2 b2 c2 3 6 abc
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức P a2 ( 2 a 1) b2 ( 2b 1) c2 ( 2 c 1)
( a b c)2 2015
ab c
…..HẾT….
Họ và tên thí sinh:. ..........................................................................................Số báo danh:.
...........................................................................................................................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Tham gia ngay! Group Facebook ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
