Các định lý hội tụ của dãy số, dãy hàm và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ CÔNG HUÂN

CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY Số, DÃY HÀM
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - Năm 2020

VÕ CÔNG HUÂN

CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY Số, DÃY HÀM
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương Pháp Tốn sơ CẤP
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. NGUYỄN NGỌC QUốC THƯƠNG


Muc luc

3


4

Mở đầu
Dãy số và dãy hàm là một trong những chủ đề trọng tâm của giải tích tốn học. Trong lý
thuyết dãy số, dãm hàm thì người ta ln quan tâm đến sự hội tụ, phân kỳ của chúng.
Luận văn nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các các đinh lý hội tụ của
dãy số, dãy hàm và các ứng dụng quan trọng của chúng. Ngoài ra luận văn cũng giới thiệu
một số bài toán nâng cao về dãy số, dãy hàm phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở
bậc trung học phổ thông.
Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả
quan trọng nhất về dãy số và dãy hàm. Chương 2 trình bày một cách chi tiết và có hệ thống
các đinh lý liên quan đến sự hội tụ của dãy số và sự hội tụ điểm, hội tụ đều của dãy hàm.
Cuối cùng trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của dãy cấp số cộng, dãy
cấp số nhân và một số bài toán nâng cao phù hợp với chương trình tốn bậc phổ thơng.
Luận văn được hồn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới
sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương. Nhân đây tơi xin được bày tỏ
lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng biết ơn tất cả các thầy cơ Khoa Tốn và Thống kê đã
dạy dỗ, dìu dắt tơi trong suốt 4 năm học đại học cũng như 2 năm học thạc sỹ. Tôi xin gửi lời
cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) đã quan tâm, động
viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lịng kính trọng,
biết ơn đối với bố, mẹ và gia đình và người thân của tơi.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng
thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn được hồn
thiện hơn.
Bịnh Định, tháng 8 năm 2020
Học viên

Võ Công Huân

4


Chương 1

Đại cương về dãy số và dãy hàm
Trong chương này chúng tơi trình bày khái niệm cơ bản dãy số, dãy hàm, các ví dụ và
tính chất cơ bản của dãy số, dãy hàm.

1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một ánh xạ a : N —> R được cho bởi n a(n) := a . Dãy số thường
được ký hiệu là {an}, hoặc (an), hoặc a , a ,..., a ,... Trong luận văn này ta sẽ dùng ký hiệu
(an). Số hạng a được gọi là số hạng tổng quát của dãy (an).
n

1

2

n

n

Dãy số thường được cho bởi công thức của số hạng tổng quát hoặc được cho bởi công
thức truy hồi (hay bằng quy nạp). Ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.2. Cho dãy số (an) được xác đinh bởi
.n
2 ,

a = n + sin —, n 1.
n
Với cách đinh nghĩa như vậy ta hoàn toàn xác đinh được mọi số hạng của dãy, chẳng hạn
cho n = 100 thì số hạng thứ 100 của dãy là
•n
2
aioo = 100 + sin 100.
n

Ví dụ 1.3. Cho trước hai số thực q, d với q 0. Xét dãy (an) được xác đinh bởi
a,n+1 = qan + d, nĩz 1.
Nếu ta xét hàm số bậc nhất f(x) = qx + d thì dãy trên được viết lại là
a

n+1 = f(an) , n Ĩĩ- 1-

Dãy được đinh nghĩa như trên được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một. Ta xét hai trường
hợp đặc biệt sau đây.


•

Cho q = 1, khi đó dãy (an) có dạng
an+1 = an -Ị- d, n^- 1.
Dãy (an) như thế được gọi là dãy cấp số cộng (hay gọi tắt là cấp số cộng) với cơng
sai d.

•

Cho d = 0, khi đó dãy (an) có dạng

an+1 = qa , n^ 1.
n

Dãy (an) như thế được gọi là dãy cấp số nhân (hay gọi tắt là cấp số nhân) với công
bội q.
Định nghĩa 1.4. Dãy số (an) được gọi là
•

bị chặn trên nếu tồn tại số thực M (không phụ thuộc vào n) sao cho
an < M Mne N;

•

bị chặn dưới nếu tồn tại số thực L (không phụ thuộc vào n) sao cho
a L 'in e N;
n

•

bị chặn nếu nó bi chặn trên và bi chặn dưới, hay tồn tại số thực P (không phụ thuộc
vào n) sao cho
|a | P Vne N.
n

Định nghĩa 1.5. Dãy số (an) được gọi là
•

tăng (giảm) nếu a < a^+ (a

•

tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) nếu a < a (a > a ) với mọi ne N.

n

1

n

an+ ) với mọi ne N;
1

n

n+1

n

n+1

Ta gọi chung các dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm và giảm nghiêm ngặt là các dãy đơn
điệu.
Định nghĩa 1.6. Cho dãy số (an) và (mn) là một dãy tăng nghiêm ngặt các số tự nhiên. Khi
đó dãy (a n) được gọi là một dãy con của dãy (an). Ta viết (am ) cz (an). Ví dụ 1.7.
m

(a ) là một dãy con của dãy (an).
2n

2. Dãy (an) là một dãy con của chính nó.

n

1. Dãy


7

3. Dãy a , a , a , a , a ,... không là dãy con của dãy (an).
1

1

Nhận xét 1.8.

2

3

3

1. Nếu (a ) cz (an) thì mn

n với mọi n.

mn

2. Nếu (am J

(akj và (ajc (an) thì(amkJ

k

M.

Định nghĩa 1.9 ([3]). Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy (an), kí hiệu là liman = L hoặc a
—> L, nếu với mọi 6 > 0, tồn tại N e N sao cho với mọi n N ta có

n

|an — L| < 6.
Khi đó ta nói dãy (an) hội tụ. Trong trường hợp ngược lại thì ta nói dãy {an} phân kỳ.
Định nghĩa 1.10 ([3]). Ta nói dãy (an) phân kỳ đến + 00, kí hiệu là lima = +oo hoặc a —>
+ 00, nếu với mọi M > 0, tồn tại N e N sao cho với mọi nỷ.\ ta có
n

n

a > M.
n

Ta nói dãy (an) phân kỳ đến —00, kí hiệu là lim a = — 00 hoặc a
M < 0, tồn tại Ne N sao cho với mọi n N ta có
n

n

— 00, nếu với mọi

a < M.

n

Định lý 1.1 ([3]). Mỗi dãy số có nhiều nhất một giới hạn.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại một dãy (an) có hai giới hạn là L và
L . Đặt
1

2

L

L

1— 2

£

~
3
.
Vì dãy (an) hội tụ đến L nên tồn tại N^ e N sao cho
1

n :ỷ ,'N. =- |an — L1 < 6.
Vì dãy (an) hội tụ đến L nên tồn tại N e N sao cho
2

2

n < ,V2 = |a — L2\ < 6.

n

Đặt N = max {N1, N2} giả sử rằng n
L

1 — L2 =

- (L1 — an)
— L2

N. Khi đó
+

(an —

L2)|

<

an — L1| +

an

< 6 + 6 = 26
2
Điều này vô lý. Vậy một dãy khơng thể có nhiều hơn một giới hạn.
□
Định nghĩa 1.11 (Dãy Cauchy, [3]). Dãy số (an) được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản)

8

nếu với mọi £ > 0, tồn tại N = N(ể) e N sao cho với mọi m n N ta có
I

a

m an

I < £•

Định lý 1.2 (Tính chất của dãy Cauchy). Cho (an) là một dãy Cauchy. Khi đó
1. Nếu (a n) cz (an) và lim a n = a thì lim a = a;
m

n

m

n^x,-

n—>00

2. Dãy (an) bị chặn.
Chứng minh. 1. Cố đinh £ > 0. Vì lim a = a nên tồn tại n1 =

e) e N sao cho

mn

\amn — a| < E/2 Mn> n1.
Vì {an} là dãy Cauchy nên tồn tại n = n2{e) e N sao cho
2

|am — a | < e/2 Mm, n^ n2.
n

Khi đó, do mn^ n nên với mọi n

n = max{n , n2}, ta có
0

I an a I

1

I an am.n | l I amn

a

I < £.

Vậy dãy {an} hội tụ đến a.
2. Vì {an} là dãy Cauchy nên với ố = 1 tồn tại số tự nhiên n cố đinh sao cho
0

I an an0 I <■- 1 Vn n0.
Vì

I an I

I an0 I I an an0 I nên
I

a I < I a 01 + 1 Vn no.
n

n

Đặt
-M

max

| |al|, . . . , |an0 —1|, an0 | l i}.

Khi đó
|a | < M Vne N.
n

Vậy dãy (an) bi chặn.
□

Định nghĩa 1.12. Dãy các đoạn [0n,bn] cz R được gọi là thắt lại nếu
[a^+1, bn+1] ' [a , bn] với mọi số tự nhiên n và lim (b — a ) = 0.
n

n

n

n—>00

Định lý 1.3 (Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thắt lại, [1]). Mọi dãy đoạn thắt lại đều có


9

duy nhất một điểm chung.
Chứng minh. Giả sử {[a ,bn]} thắt lại. Khi đó dãy {an} tăng và bi chặn trên bởi b và dãy {bn}
giảm và bi chặn dưới bởi a . Vì vậy các dãy {an} và {bn} hội tụ. Vì lim (b — an} = 0 nên tồn
tại £ sao cho lim a = £ = lim b . Vì dãy ịan} tăng và dãy {bn} giảm nên £ e [an, bn] với mọi ne
N. Giả sử tồn tại £ e [an, bn] với mọi n. Khi đó |£ — £'| < b — a với mọi n. Do lim (Ịb — a )
= 0 ta suy ra £ = £.
□
n—»GO
1

n

1

n

n

n

n

n

n

n

1.2 Dãy hàm
Định nghĩa 1.13 (Dãy hàm). Giả sử
F = {f :

R}

là họ tất cả các hàm số xác đinh trên A c R. Ta gọi ánh xạ
f : N-F, n~f„(x)
là một dãy hàm xác đinh trên A. Dãy hàm thường được ký hiệu là {/4x)} hoặc x,

f

2(

x

) ,-J4x),...

Với mỗi x e A thì {fn(y0)} là một dãy số. Nếu dãy số {fn(x0)} hội tụ (tương ứng, phân kỳ)
0

thì điểm x được gọi là điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) của dãy hàm ơn(x) }.
0

Tập A gồm mọi điểm hội tụ của dãy hàm {/4x)} được gọi là miền hội tụ của dãy hàm.
Tập A = A\Ao gồm mọi điểm phân kỳ của dãy hàm {/4x)} được gọi là miền phân kỳ của
dãy hàm.
0

1

Định nghĩa 1.14 (Hội tụ điểm, [3]). Dãy hàm {fn(X} xác đinh trên Ac R được gọi là hội tụ
điểm đến hàm số f (x) trên A nếu với mọi x e A và mọi £ > 0, tồn tại N = N(x, 4 e N sao cho
với mọi n N ta có
|f4x~ f(x)| < 4
Ký hiệu:
f

4 x)->f(x), xeA.


10

Ví dụ 1.15. Xét dãy hàm fn(x) = xn, xe R. Ta có
{0

,

1

nếu |x| < 1,

ĩ

nếu

x = 1.

Với x ị (—1,1] thì dãy hàm {fn(x)} khơng có giới hạn. Vậy miền hội tụ của dãy hàm { fn(x)}
là (-11.
Định nghĩa 1.16 (Hội tụ đều, [3]). Dãy hàm {fn(x}} xác đinh trên A ' R được gọi là hổi tụ
đều đến hàm số f (x) trên A nếu với mọi £ > 0, tồn tại N = N(ể) e N sao cho với mọi IINE N
và mọi x e A ta có
|fn(

x

}~ f(x)\ < £■

Ký hiệu:
f

n( x =^f (x),

xeA.

Nhận xét 1.17. Từ hai đinh nghĩa trên, ta dễ dàng suy ra nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy
hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm số f (x) trên A thì {f n(x)} hội tụ điểm đến hàm số f (x) trên
A.
3

Ví dụ 1.18 ([3]). Chứng minh rằng dãy hàm fn(x = j-Ị——2 hội tụ đều trên R.
Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho n ta được
x3

fn(x) = T±-2 .
1+x
2

n

Nếu x X 0 thì lim fn(x) = x.
n—>00

Nếu x = 0 thì lim fn(0) = 0 = x.
n—>00

Do đó f(x) := x là giới hạn của dãy hàm {fn}. Tiếp theo ta sẽ chứng minh sự hội tụ này là
3
f

n(

x)-

|x|
1 + nx

nx - x
1 + nx
,

f x

()

3

2

2

2

đều trên R. Thật vậy, ta có đánh giá
Ta cần chọn Ne N sao cho '42 < £ với mọi Nĩ N. Ta có
1+ nx2

|x|
1 + nx

2

•

|x|
1
2| x\ựn 2VP

Bằng cách chọn N = [1/(2e)2] + 1, khi đó với mọi n^ N ta có | n( ) - f(x)\ < 2/n < £.
f

x

Vậy dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm số f (x) = x trên R.


11

Chương 2

Các định lý hội tụ của dãy số và dãy
hàm
Trong chương này chúng tơi trình bày các đinh lý hội tụ của dãy số và dãy hàm. Đối với
dãy số, chúng tơi trình bày các điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy hội tụ và đưa ra một số ví
dụ minh họa. Đối với dãy hàm chúng tơi trình bày và phân biệt khái niệm hội tụ điểm và hội
tụ đều của dãy hàm.

2.1 Các định lý hội tụ của dãy số
Định lý 2.1 ([3]). Nếu (an) hội tụ thì (an) bị chặn.
Chứng minh. Giả sử dãy (an) hội tụ đến a. Khi đó với ố = 1 tồn tại số tự nhiên N cố
đinh sao cho
aN — a < 1 Vn 5ỉ N.
Vì
an — |a| < an — a
nên ta có
an < 1 + a Vn 5ỉ N.
Đặt
Khi đó |an|

M = ma^{|a1|,..., \aN- 1 , 1 + a }.
M với mọi số tự nhiên n.

Nhận xét 2.1. Điều ngược lại nói chung là khơng đúng. Thật vậy, dãy (an) với a = (—1) bi

chặn nhưng không hội tụ.
n

n


12

Định lý 2.2 ([3]). Cho (an) và (bn) là các dãy dãy hội tụ với lim a = a, lim bn = b n—>Xvà a là một số thực bất kỳ. Khi đó các dãy (aan) và (a + bn) cũng hội tụ và
n

n

1. lim (aan) = a lim an;
n—>X2. lim (a + bn) = lim a + lim b .
n

n

n—>X-

n

Chứng minh. 1. Ta xét các trường hợp a = 0 và a 0.
•

•

a = 0, khi đó aa = 0 (mọi hạng tử của dãy {aữn} đều bằng 0). Do đó dãy {aan} hội tụ
về 0 (chính là a lim (a^)).

n

a / 0. Lấy £ > 0 và chọn N sao cho Vn
xét a 0). Khi đó:

N, |a — a| < (lý do vì sao ta cần
n

a

Vn N : |aan — aa| = |a| |an — a| < |a| á' = £
Do đó {aOro} hội tụ và lim (aan) = aa = a lim an
2. Lấy £ > 0. Ta chọn hai só nguyên dương N , N sao cho nếu n
và nếu n£'.\'2 thì n'< N .
1

2

N thì |a — a| < I
1

n

2

Chọn N = max {N1, N2} và giả sử n

N1. Khi đó:

|(a + bn) - (a + b)\ = |(an - a) + (bn- b|)

<

|an - a| + \bn- b|

<

7- + 7- = £

£,£
22
Do đó (a + bn) hội tụ và lim (a + bn) = lim a + lim b
n—>Xn

n

n

□

n

Định lý 2.3 ([3]). Cho (an), (bn) là các dãy hội tụ và lim a = a, lim bn = b. Khi đó
n—>Xn

cũng hội tụ


13
• Giả sử

b = 0. Vì lim bn = 0 nên tồn tại N e N sao cho với mọi n£'.\, ta có
\bn\< £•
1n

M

Khi đó
|anbn

KI

• |bn|

'M

’

M

£

tức là ta đã chứng minh được lim (a b ) = 0 = ab = lim a lim bn.
n

• Giả sử

n

n

b 0. Vì lim an = a, do đó tồn tại N1 e N sao cho với mọi II£'.\Ị ta có
I

I
a a|

£

< 2b’

Hơn nữa vì lim bn = b nên tồn tại N G N sao cho với mọi n > N ta có
£
b
b<
2M.
2

2

Chọn N = max {N1, N2} và giả sử n£'.\'. Khi đó
\anbn — ab\ = \anbn — anb + a b — ab|
n

< \anbn- anb| + \anb- ab\ = |aj|bn - b\ + \b\ \an- a " M2M + |b| 2 b = l +
2

£

.

2. Ta sẽ chứng minh rằng lim — = - .Vì 0 = an- — nên kết quả nhận được từ mệnh bn b
bn
bn
đề đầu tiên.
n

Lấy £ > 0. Với giả thiết b 0 ta suy ra > 0, do đó tồn tại N e N sao cho với
1

|bn- b|Tương tự, tồn tại N e N sao cho với mọi n£'.\2 ta có ã.
2

2•
\bn- b\<
mọi n£'.\\ ta có
Từ đó suy ra với mọi n N ta có
2

\b[= \b[
22

\bn\ = \b + bn- b\ĩĩ \b\- \bn
Chọn N = max {N1, N2} và giả sử n 5ỉ
1
b

n

1

b

N. Khi đó

bn —
bbn b
^bỉ
< K, =

£• Ibl lb


14

Định lý 2.4 (Nguyên lý kẹp, [3]). Cho ba dãy (an), (b£ và (cn) thoả mãn các điều kiện sau.
(i) lim a = lim cn = L;
n—>Xn

(ii) an < bn < c với mọi ne N.
n

Khi đó dãy (b£ hội tụ và lim bn = L.
n—>XChứng minh. Lấy £ > 0. Theo giải thiết (i), tồn tại các số tự nhiên N , N sao cho
1

n N^> |an — L| < £,
n^ N

|cn — L| < £.

2

Chọn N = max {N1, N2} và giả sử n£'.\'. Khi đó
—£ < an — L

< £n
■

- <
£

c
n

-L<
£

—£ an — L

^bn-

L

c
n

-L<
£.

Do đó

Từ đó suy ra
—£

- < £
L

< b

' n

hay |b — L\ < £ và limbn = L.
n

Ví dụ 2.2. Cho a > 0. Tính giới hạn
a

n

n^o (1 + a (1 + a2£ ■ ■ (1 + an)
Ta
ba Đặt
trường hợp sau đây:
Lờixét
giải.

a
(1 + a (1 + a2)--1-(1 + an)
n

u

• TH1:

n

a = 1. Khi đó

do đó

un = — n
2n

lim u = 0.
n

n—>00

n\£ 1,

n 1.

2


15

• TH2: 0 < a < 1. Vì
(1 + a (1 + a2) • ■ ■ (1 + an) > 1,

Vn 5ỉ 1

nên ta có đánh giá
0 < u n

Hơn nữa a

Vn

n

1.

0, do đó theo nguyên lý kẹp ta kết luận được limu = 0.

n

n

(1 + a (1 + a2) • • • (1 + an{ > a.a2 ■ ■ ■ an =
a
• TH3: a > 1. Vì

1+2

+-+n = a

a

n

0

u

<■ n <

a

2

, Vn 5ĩ 1,

1.

— 1) 1
a n(n
2

n„+1)

n(n+1)
2

0, nên theo nguyên lý kẹp, ta có limu
'
n\n — 1) a
2
nên ta có đánh giá
Mà ,

n

0.

Vậy với mọi a > 0, ta ln có limu = 0.
n

Mệnh đề 2.5 ([3]). Cho (an) là dãy hội tụ với lim a = a n—
>Xmọi ne N. Khi đó a 5ỉ 0.
n

Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng a < 0 và đặt ố = 4. hạn
của dãy {an} là vì khoảng (a — ố, a + Ố) không chứa a .
n

a<0

và giả sử rằng a

n

0 với

Lý do a không thể là giới
Thật vậy,

|a| = —a

Do đó

a

a
a 4"" ố = a +

=a——

a<0

Suy ra nếu a e (a — ố, a + Ố) thì a < a + ố < 0 (mâu
thuẫn giả thiết). Vậy không có phần tử nào của dãy {an} nằm giữa a — ố và ^-£ và a không
là giới hạn của dãy {an}.
□
n

n

Hệ quả 2.6 ([3]). Cho (an), (bn) là hai dãy hội tụ với lim a = a, lim bn = b và giả n—>X- sử
rằng an < b với mọi ne N. Khi đó a b.
n

n

Chứng minh. Đặt
c
n

— bn

a

n

■ n e N.


16

Khi đó
c

n

Ịĩ

0, Vne N

và
lim c = lim b — lim a = b — a.
n

n

n

n—>X-

Vì lim cn^ 0 nên a.

□

n—>00

Định lý 2.7 (Nguyên lý Weierstrass, [1]). Nếu dãy (an) tăng và bị chặn trên thì dãy (an) hội
tụ và hơn nữa
lim an = sup{ai, a2,..., an,
n—>00

Nếu dãy (an) giảm và bị chặn dưới thì dãy (an) hội tụ và hơn nữa
lim an = inf{ai, a2,..., an,...}.
n—>00

Chứng minh. Ta chỉ chứng minh cho trường hợp dãy tăng và bi chặn trên, còn trường hợp
dãy giảm và bi chặn dưới được chứng minh tương tự.
Giả sử dãy (an) tăng và bi chặn trên. Theo nguyên lý supremum tồn tại
a = sup{an}.
n

Theo tính chất của supremum thì với mọi £ > 0 tồn tại n

0

= n0(£

e N sao cho

a £<

c ano.

Vì dãy {an} tăng nên

a — £ < a0
n

an < a < a + £ \/n

an — a < £

n.
0

Vn 5ỉ n0.

Suy ra
Vậy lim a = a.
n

n—>00

Ví dụ 2.3 ([3]). Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy (an) được cho bởi
ai = V2
a

n+1

-\/2 + an,

n1

.

Lời giải. Ta sẽ chứng minh dãy (an) tăng và bi chặn trên bằng phương pháp quy nạp toán
học.


17

1. (an) tăng:
•

a 2 ==== -ỵ/2 + a1 > "x/2 = a 1.

•

Giả sử a^+1 > a . Khi đó ta có
n

n+2 = -\/2 + an +1 > V2 + an = an+1.

a

2. (an) bị chặn trên: ta sẽ chứng minh rằng
an < 2 Vne N.
•

ai = \/2 Y 2.

•

Giả sử an < 2. Khi đó
an+1 — -\/2 + an íí -\/2 + 2 — 2.

Đặt lim a = Ế. Khi đó l = VẾ + 2. Giải phương trình này ta được l = 2.
n

n—>00

Vậy dãy (an) hội tụ và lim a = 2.

□

n

Ví dụ 2.4 ([3]). Chứng minh rằng dãy a hội
n

/ 1\n

ự -I—J tăng và bị chặn trên, do đó nó

tụ.
n—>00

a

n+1

\Jn^ 1.

a

n

Lời giải. Đầu tiên ta chứng minh (an) là dãy tăng. Ta sẽ chứng minh
Ta có
a,.+1 0 + *) n+1 /1 + n+1\n+'(. 1Ỵ
an (1 + ĩ)n

(1 + n J " n/

Hơn nữa,

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli:
n2 + 2n + 1

1
Do đó

ữn+1 > n / A = n n+ 1 _ 1
a
n + 1 \ nJ n + 1 n
n


18

Suy ra (0«) là dãy tăng.
Để chứng minh dãy (an) bi chặn trên, ta xét dãy b = ự + -)
tự như trên ta có thể chứng minh được
b
■ 1 Vn>

1.
b

. Lập luận tương

n

n

Do đó (Ịbn) là dãy giảm. Hơn nữa
a < b < b = 4 Vn e N.
n

n

1

Tức là dãy (an) bi chặn trên bởi 4.
Nhận xét 2.5. Giới hạn của dãy (an) trên đây nằm giữa a = 2 và b = 4. Người ta gọi giới hạn
của dãy này là hằng số e. Người ta tính được e % 2, 7.
1

1

Ví dụ 2.6 ([3]). Chứng minh rằng dãy c = 1 + 1 + — + — -I
-------------------------------------------------------------------------------------—
n! hội tụ đến số e.
1
2! 3!
n

Lời giải. Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức
sau đó áp dụng nguyên lý kẹp.
Đặt a = (1 + 1) . Áp dụng công thức khai triển nhi (1 + 1) , ta thức Newton cho a
n

n

n

n

có
a-Ê (n)à
Dễ thấy hạng tử thu được với k = 0 và k = 1 đều bằng 1.
k=0

Với k^ 2

1
n(n — 1)... (n — k + 1)
n
1 -2---k
n—k+1
1nn—1
n
k! n n
- áo
1
k-1^

1n
k1 \
n
k

Chọn N là một số nguyên dương lớn hơn 2. Ta có nếu n >

N thì

— ẳ ÌK1-;)(- n) Iim a'^ i,mP+w- ấ-H1-n) ộ- (■k=2
N

k- 1^

k=2

a n ' cn < e,
N

1

e1

+ 1 + 2 — = cn

k- 1 \
n/

\/ne N,

19
k=2

’


Suy ra cn < e,Ve N. Mặt khác
n

1
c

~T

a

n—
fe=2

1) (1- D
nJ\nJ

n

k

(■-)

^l + ẳ

fe=2

Do đó an < cn < e, Vn e N và áp đụng nguyên lý kẹp, ta kết luận được thì cn là dãy hội tụ và
có giới hạn bằng e.
□

a

a\

a

)

1 7^ 0

n+1

a

n + _ ) an/

a ỉí 0, ne N.

Ví dụ 2.7. Xét sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy số sau
Lời giải. Ta xét 3 trường hợp sau đây:
• TH1:

a = 0, khi đó
a

n

a

1

2-

n 1

0.

a
a
2an+1 = an.l------n

=> an+1 2Ạ/Ỡ — an — 2Ạ/ÕÍ +
_

• TH2: a

a
a
n

> 0 và a1 > 0, khi đó an > 0 với mọi ne N. Hơn nữa, ta có

Từ đó suy ra

\ín^ 1.

'2 2(an+1 —
Va)

Ta có

. a—an 0

1
a

íỉ.T 1

a
n

2

n

V

2.

a
n

a
Ạ/Ỡ Vn 5Ĩ 2.
Vì dãy (an) giảm và bi chặn dưới nên (an) hội tụ. Ta tính được lim a = Ạ/Ỡ.

n

n

• TH3: a

> 0 và a1 < 0, khi đó an < 0 với mọi n 1. Lập luận như ở TH2, ta chứng minh


được dãy (an) tăng, từ đó suy ra (an) hội tụ và tính được lim an = — ựỡ.


a

(ữn + 0-)

a

I - '3 0,

n+1

a> 0, ne N.

a

V

n/

Nhận xét 2.8. Xét dãy (an) được cho bởi
b

n

a
—,
n 1.
a
n

Ta dễ dàng kiểm tra được
a
n + bn
a

n+1 =

„

2

bn+1

n 1.

X+X
b

a

n

n

Ta biết rằng dãy (an) giảm, bi chặn dưới và hội tụ về Ạ/Ỡ. Tiếp theo, ta đặt
Tức là, a^+ và bn+1 lần lượt là trung bình cộng (arithmetic mean) và trung bình điều hoà
(harmonic mean) của hai số a và b . Ta có
1

n

n

b

n+1

.

1

a

n+1 Vn

Dãy (a^) giảm và bi chặn dưới, cịn dãy (Ịbn) tăng và bi chặn trên. Hơn nữa cả hai dãy này
cùng hội tụ đến ựã.
Định lý 2.8 (Bổ đề Bolzano - Weierstrass, [1]). Từ một dãy bị chặn có thể trích ra một dãy
con hội tụ.

Chứng minh. Giả sử dãy {un} bi chặn. Khi đó tồn tại a,be R để a
n.

u

n

b với mọi

Chia A = [a, b] thành hai phần bằng nhau. Lúc đó, ít nhất một trong hai đoạn sẽ chứa vô
số số hạng của dãy {un}. Ta ký hiệu đoạn đó là A = [a , bj. Nếu cả hai đoạn đều chứa vô số
số hạng của {un} thì chọn một trong hai đoạn đó là A .
1

1

1

Chia A thành hai phần bằng nhau. Lúc đó, ít nhất một trong hai đoạn sẽ chứa vô số số
hạng của dãy {un}. Ta ký hiệu đoạn đó là A = [a , b2]. Nếu cả hai đoạn đều chứa vơ số số
hạng của {un} thì chọn một trong hai đoạn đó là A .
1

2

2

2

Tiếp tục q trình trên ta nhận được một dãy đoạn {An} thỏa mãn

A A A z> ... và lim (bn — an) = lim b n a = 0.
n^&:
n^co 2n
Vậy {A^} là dãy đoạn thắt lại. Theo Nguyên lý Cantor tồn tại duy nhất a e fì N A và lim a =
lim b = a.
1

2

n

n

n

n^^

n—>00

Trong A chọn tùy ý u . Trong A chọn tùy ý u với m > m1 (điều này làm được là do
trong A chứa vô số số hạng của {un}). Tiếp tục quá trình trên, ta sẽ tìm được một dãy con
{u n} của {un}.
1

mi

2

m

2

2

m

Do cách chọn u ta có a < u < b với mọi n. Theo Nguyên lý kẹp ta nhận được lim u = a.
mn

n

mn

n

mn


□


Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy (an) hội tụ khi và chỉ khi (an) là dãy Cauchy.
Chứng minh. (=>) Giả sử lim a = a. Khi đó với mọi £ > 0, tồn tại n = n0(e) e N
n—>00
n

a
m

sao cho vi mi m,n

T ú suy ra

0

IÊ
-ôl< 2 ã

I Ê an - a| < 2.

n0 ta có
am — an| < an — a| + am — a| < £ 'im, Hỷ- n0.

Vậy (an) là dãy Cauchy.
(«=) Ngược lại, giả sử (an) là dãy Cauchy. Theo Mệnh đề 1.2, dãy (an) bi chặn. Bởi Nguyên
lý Bolzano - Weierstrass, dãy (an) có một dãy con (a n) hội tụ đến a. Theo Mệnh đề 1.2 dãy
(an) cũng hội tụ đến a.
□
m

1- an —

„1.1 .1
2

3J+- + ÙỈ•nìs 1;

-.1.1 .1
2. bn = 1 + ệ + f+ •• • + ;-, n
1.
2 3

n
Ví dụ 2.9 ([3]). Xét sự hội tụ của dãy (an), (bn) được cho bởi
Lời giải. 1. Lấy £ > 0. Chọn N = [VS] + 1. Khi đó với m n

\n n + 1)
1 111.
nmnN

\n + 1 n + 2)

N, ta có

\m — 1 mJ

Vậy (an) là dãy Cauchy, do đó nó hội tụ.
2. Chọn ố = 1/2 và lấy N e N. Nếu ta chọn n = N và m = 2N thì m n N và ta có

Vậy (an) khơng là dãy Cauchy, do đó nó phân kỳ.

2.2 Các định lý hội tụ của dãy hàm
Định lý 2.10 ([3]). Dãy hàm {fn(x)} xác định trên A ' R hổi tụ đều đến hàm số f(x] trên A khi
và chỉ khi
sup \fn(x — f(x)|

0, khi n —> 00.


zeA
Chứng minh. Giả sử {fn(x]} hội tụ đều đến hàm số f (x) trên A. Lấy £ > 0, theo đinh nghĩa
hội tụ đều, tồn tại N e N sao cho

|fn(x) - f(x)| < 2 ^n^N, MxeA.
Điều đó có nghĩa là với mọi n N, tập {\fn(X _ f(x)| : X e A} bi chặn trên bởi X2. Do đó
Pn := sup |fn(x) - f(x)\ < 1 < I.
2

xeA

Cho n —> 00, ta được
lim pn < £.
n—>X-

Vì £ > 0 có thể chọn bé tuỳ ý nên lim pn = 0.
n—»G0
Giả sử pn := sup |fn(x) — f(x)| —► 0 khi n —> 00. Lấy £ > 0, khi đó tồn tại N e N
zeA
sao cho
pn < £
N.
Do đó với mọi x e A và mọi HX, ta có
|fn(x]- f(x)\ < pn< £.
Tức là dãy hàm {fn} hội tụ đều đến hàm số f trên A.

□

Ví dụ 2.10. Xét sự hội tụ đều của dãy hàm fn(x) = x trên đoạn [0,1/2].
n

Lời giải. Hàm giới hạn là f (x) = 0, và ta có
|fn(x) - f(x\ = \xn- 0| = x , xe [0,1/21.
n

Ta có
sup {|fn( x) — f (x)| : xe [0,1/2]} = sup {x : xe [0,1/2]} = 1/2
n

Vậy dãy hàm fn{x = x hội tụ đến 0 trên đoạn [0,1/21.
n

n

0.
□