chuyen de the tich khoi da dien le minh tam

LÊ MINH TÂM
CHƯƠNG 01.

THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ


THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ................................................................................ 3

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. ..................................................................................................3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP. .....................................................................................................6
 Dạng tốn 1. CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY. ................................. 6
 Dạng tốn 2. CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY. .................................... 8
 Dạng tốn 3. CHĨP ĐỀU. .................................................................................................. 11
 Dạng tốn 4. TỶ SỐ THỂ TÍCH....................................................................................... 14
 Dạng tốn 5. TỔNG HIỆU THỂ TÍCH............................................................................. 18
 Dạng tốn 6. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG. ...............................................................24
 Dạng tốn 7. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN. .................................................................. 29
 Dạng tốn 8. THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG – KHỐI HỘP. .................................. 33
 Dạng toán 9. KHỐI ĐA DIỆN ĐƯỢC CẮT RA TỪ KHỐI LĂNG TRỤ. ................... 37
 Dạng tốn 10. MAX – MIN THỂ TÍCH. .....................................................................44
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN. .................................................................................................50
IV. BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO. ..............................................................................127

Biên soạn: LÊ MINH TÂM

Trang 2


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

CHUYÊN ĐỀ

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Các định nghĩa.
– Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
– Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song
với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.
– Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Thể tích khối chóp.
 Cơng thức tính thể tích khối chóp:
1
V  .S.h
3

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
Cách xác định đường cao khối chóp:
a. Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao chính là cạnh bên.
b. Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vng góc
đáy.
c. Chóp có mặt bên vng góc đáy: chiều cao của mặt bên vng góc đáy.
d. Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.

e. Chóp có hình chiếu vng góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường
cao là từ đỉnh tới hình chiếu.
Thể tích khối lăng trụ.
 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ:
V  S.h

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
● Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c .
● Thể tích khối lập phương: V  a3 .

Trang 3

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Cơng thức diện tích đáy.
Ta có các đa giác thường gặp sau:
1
1
1
a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  ba.sin A  ca.sin B  ba.sin C

2
2
2
abc
S
 2R 2 .sin A.sin B.sin C
4R
với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp
S  p.r
S

Tam giác

ABC .

với p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp
S  p  p  a  p  b  p  c  với p 

ABC .

abc
hoặc
2

2
2
1 
a  b   c 2  c 2   a  b  

 


4 
1
1
ABC vuông tại A : S  AB.AC  BC.AH .
2
2

S

ABC đều, cạnh

 x
x :S 

2

4

Chiều cao tam giác đều h 

3

 x

Hình vng cạnh x .

S   x

Hình chữ nhật.

S   x  .  y  ( x ; y : dài và rộng)

Hình bình hành ABCD .

S  AB.AD.sin BAD

Hình thoi ABCD .

S  AB.AD.sin BAD 

Hình thang:

S

;

2

3

.

2

1
AC.BD
2

1

 a  b  .h (a, b: hai đáy, h: chiều
2

cao)

Tứ giác ABCD có hai
đường chéo vng góc

LÊ MINH TÂM

S

1
AC.BD
2

Trang 4


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Tỷ số diện tích
AM trung tuyến,
đặt SABC  S 
 S1  S2 

S
.
2

G là trọng tâm,
S
3

đặt SABC  S 
 S1  S2  S3  .

NM  MN  NC

đặt SABC  S 
 S1  S2  S3 

S
.
3

S
SABCD  S 
S1  S2  S3  S4  .
4

S
SABC  S 
 S1  S2  S3  S4  .
4

SAMN AM AN


.

SABC
AB AC

Trang 5

LÊ MINH TÂM


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Dạng tốn 1. CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY.
Phương pháp giải
Khối chóp có sẵn chiều cao và diện tích đáy.
1
3

Áp dụng cơng thức: V  .S.h

 Ví dụ 01.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vng cạnh a . Biết SA vng góc với
 ABCD  và SA  a 3 . Thể tích của khối chóp

S

S.ABCD là:
a3
A. .
4

B. a3 3 .

C.

a

3

3

6
D. 3a3 .

A

.

B

D

C

Lời giải
Chọn D
Thể tích khối chóp VS. ABCD

1
a3 3
 SABCD .SA 

.
3
3

 Ví dụ 02.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là
hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA  2a . Thể tích khối chóp
S.ABCD bằng:
4a3
A.
.
3
B. 2a3 .
a3
C. .
3
2a3
D.
.
3

Lời giải
Chọn D
1
1
2a3
VS. ABCD  SABCD  SA   a 2  2a 
.
3

3
3
LÊ MINH TÂM

Trang 6


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 03.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật AB  a, BC  2a , cạnh bên SA
vng góc với đáy và SA  a 2 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD .
2a3 3
A.
.
3
B. a3 2 .

C. 2a3 2 .
D.

2a3 2
.
3

Lời giải
Chọn D
1

3

Diện tích đáy: SABCD  AB.BC  2a2 . Thể tích: V  SABCD .SA 

2 a3 2
.
3

 Ví dụ 04.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vng cạnh a . Cạnh bên SA vng
góc với đáy và có độ dài bằng 2a . Thể tích
khối tứ diện S.BCD là:
a3
.
4
a3
C. .
6

a3
.
8
a3
D. .
3

A.

B.

Lời giải
Chọn D
Ta có: S

BCD

1
1
a2
 SABCD  . Suy ra VS. ABCD  SA.S
3
2
2

BCD

1
a 2 a3
 .2a.  .
3
2
3

 Ví dụ 05.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vng tâm O cạnh 2a . Biết SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Tính
thể tích khối chóp S.ABO .
a3 2

A.
.
3

C.

a3 2
.
12

2a3 2
B.
.
12

D.

4a3 2
.
3

Lời giải
Chọn A
Trang 7

LÊ MINH TÂM


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
AC

1
 a 2  SOAB  OA.OB  a 2 .
2
2
1
2 3
 .a 2 .a2 
.a .
3
3

Ta có: AC  2a. 2  OA  OB 
1
3

Vậy: VS.OAB  SA.SOAB

 Dạng tốn 2. CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY.
Phương pháp giải
Khối chóp có mặt bên vng góc mặt phẳng đáy.
1
3

+ Áp dụng cơng thức: V  .S.h .
+ Chiều cao khối chóp là đoạn thẳng từ đỉnh của chóp ta kẻ vng góc vào giao tuyến của mặt
bên và mặt đáy.
Một số kiểu thường gặp:
 Mặt bên SAB  vuông với đáy  ABCD  và SAB là tam giác
đều cạnh x  SH   ABCD   h  SH 


x 3
với H là trung
2

điểm AB .
Mặt bên SAB  vuông với đáy  ABCD  và SAB là tam giác

cân tại S  SH   ABCD   h  SH với H là trung điểm AB .

 Ví dụ 01.
Hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có
AB  2a 3; AD  2a . Mặt bên SAB  là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với
đáy. Thể tích khối chóp S.ABD là.
2 3 3
a .
3
B. 4 3a3 .
C. 4a3 .

A.

D. 2 3a3 .
Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung diểm của AB  SH   ABCD  .
2a 3  3
 3a .
2

1
1
  3a   2a 3  2a  2 3a3 .
3
2

Tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a 3 nên SH 
1
3

Vậy thể tích khối chóp SABD là V   SH  SABD
LÊ MINH TÂM

Trang 8


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 02.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng
cạnh a; hình chiếu của S trên  ABCD  trùng
3a
2
. Thể tích của khối chóp S.ABCD tính theo a

với trung điểm của cạnh AB; cạnh bên SD 
bằng:
A.

a3 5

.
3

C.

a3 7
.
3

a3 3
.
3
a3
D. .
3

B.

Lời giải
Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB nên SH   ABCD  .
2

a
5
a.
Lại có DH  a    
2
2
Xét tam giác SDH vuông tại HL .

2

2

2
3   5 
1
1
2
2
SH  SH  DH   a   
a   a  V  SABCD .SH  a3 .
3
3
 2   2 

 Ví dụ 03.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a , SAD    ABCD  , SA  SD .
Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết
SC 

a 21
.
2

a3 7
A. V 
.
2

B. V  2a3 .
a3 7
.
6
2a3
D. V 
.
3

C. V 

Lời giải
Chọn D
Ta có: HC 

Trang 9

a 5
1
2a3
 SH  2a  V  .a2 .2a 
.
2
3
3

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 04.
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vng
cân tại C và nằm trong mặt phẳng vng góc
với mặt phẳng  ABD  , tam giác ABD là tam
giác đều và có cạnh bằng 2a . Tính thể tích của
khối tứ diện ABCD .
A. a

3

a3 3
B.
.
3

2.

C. a3 3 .

D.

a3 3
.
9

Lời giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB . Ta có DH   ABC  và DH  a 3 .
1

a3 3
ABC vuông cân tại C  2CA2  AB2  AC  BC  a 2  VABCD  DH.SABC 
.
3
3
 Ví dụ 05.
Cho chóp S.ABCD có ABCD là hình vng
cạnh 3a . SAB cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Tính thể tích V
S.ABCD , biết góc giữa SC và  ABCD  bằng
600

A. V  18a3 15

B. V  18a3 3 .

9a3 15
.
2

D. V  9a3 3 .

C. V 

Lời giải
Chọn C
Ta có SABCD   3a   9a2
2

Gọi H là trung điểm AB  SH   ABCD 

CH là hình chiếu vng góc của SC trên  ABCD 





 SC ,  ABCD   SC , CH   SCH  60

Xét

SCH vng tại H có

CH  BC 2  BH 2 

3a 5
3a 15
, SH  CH tan SCH 
2
2

1
9a3 15
.
VS. ABCD  SABCD .SH 
3
2

LÊ MINH TÂM

Trang 10

Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Dạng tốn 3. CHĨP ĐỀU.
Phương pháp giải
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
1
3

+ Áp dụng công thức: V  .S.h .
+ Chiều cao khối chóp là đoạn thẳng từ đỉnh của chóp hạ vng góc xuống tâm mặt đáy.
Một số kiểu thường gặp:
 Chóp đều S.ABCD , góc giữa mặt phẳng bên và mặt đáy là hoặc góc giữa cạnh bên và
mặt đáy là .
 Chóp đều S.ABC , góc giữa mặt phẳng bên và mặt đáy là hoặc góc giữa cạnh bên và
mặt đáy là .

Một số cơng thức tính nhanh:
Chóp đều cạnh x , đáy là tam giác

 x
V

3

12

2

.

Chóp đều có cạnh bên bằng x , đáy là tam
giác cạnh y .

 y
V

2

3x 2  y 2
.
12

Chóp đều có các mặt bên cùng tạo với đáy
một góc , đáy là tam giác cạnh x .

 x
V

3

Trang 11

tan
.
24

Chóp đều cạnh x , đáy là tứ giác

 x
V

3

6

2

.

Chóp đều có cạnh bên bằng x , đáy là tứ
giác cạnh y .

 y
V

3

4x 2  2 y 2
.
6

Chop đều có các mặt bên cùng tạo với
đáy một góc , đáy là tứ giác cạnh x .

 x
V

3

tan
.
6
LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 01.
Tính chiều cao của hình chóp tứ giác đều có
cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b ?
A.

4b 2  2 a 2
.
2

B.

4b 2  2 a 2
.
2

C.

4b2  a 2
.
2

D.

4b2  a 2
.
2

Lời giải
Chọn B
Gọi H là tâm hình vng ABCD ,
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH   ABCD  .
2

 a 
4b 2  2 a 2

Ta có SH  SC  HC  b  
.

2
 2
2

2

2

 Ví dụ 02.
Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh
đáy bằng a và cạnh bên bằng b là:
A.

a 2 b 2  2a 2
.
6

B.

a 2 4b 2  2 a 2
.
6

a 2 4b 2  2 a 2
C.
.
6

D.

a 2 4b 2  a 2
.
6

Lời giải
Chọn B
S.ABCD là chóp tứ giác đều nên SO   ABCD  .
BD là đường chéo hình vuông cạnh a nên BD  a 2  OB 
2

 a 
Ta có SO  SB  OB  b  

 
 2
2

2

2

a 2
.
2

4b 2  2 a 2
.
2

1
1 4b2  2a 2 2 a 2 4b2  2a 2
V  .SH .SABCD  .
.a 
.
3
3
2
6

LÊ MINH TÂM

Trang 12

Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 03.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Thể tích
của hình chóp đều đó là:
A.

a3 6
.
6

a3 3
B.
.
6

C.

a3 3
.
2

D.

a3 6
.
2

Lời giải
Chọn A
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 
 SCO  60  tan 60 

SO
a
 SO  OC 3 
. 3
OC
2

1 3
a3 6
 V  a .a 2 
.
3 2
6

 Ví dụ 04.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a . Gọi điểm O là giao điểm của AC và
BD . Biết khoảng cách từ O đến SC bằng

a
6

.

Tính thể tích khối chóp S.ABC .

a3
.
6
a3
C. .
8

A.

a3
.
4
a3
D.
.
12

B.

Lời giải
Chọn D
H là hình chiếu của O lên SC nên OH 

ABCD là hình vng có OC 

a
6

,

1
a 2
AC 
2
2

SOC vng tại O có OH là đường cao
1
1
1
a





 SO  .
2
2
2
2
OH
SO OC

 VS. ABCD

Trang 13

1
1 1

a3
 SABC .SO  . SABCD .SO 
.
3
3 2
12

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 05.
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng
b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Thể tích của hình chóp đó là
3 3
b cos sin .
4
3
B. b3 sin 2 cos .
4
3
C. b3 cos2 sin .
4
3 3
D.
b cos2 sin .
4

A.

Lời giải
Chọn D
Xét tam giác

SH  SA sin

SHA vng tại H , ta có: 

 AH  SA cos

 b sin
 b cos

3
3
AH  b cos .
2
2
AB 3
2 AM
Mà: AM 
 AB 
 3 cos .
2
3
 AM 

1

1
VSABC  .SH .SABC  .b sin .
3
3

3



3b cos
4



2



3 3
b cos 2 sin .
4

 Dạng tốn 4. TỶ SỐ THỂ TÍCH.
Phương pháp giải
A. Cho khối chóp S.ABC có A ; B ; C lần lượt là nằm trên SA ; SB ; SC khi đó:
1. Nếu A  A ; B  B và C  C thì

VS. ABC
VS. ABC



SABC
(Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt đáy).
SABC

2. Định lý SIMSON cho khối chóp tam giác

VS. ABC
VS. ABC



SA SB SC


.
SA SB SC

3. Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho

LÊ MINH TÂM

SB1
 k thì
SA1

Trang 14

Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

VS.B1B2 ...Bn
VS. A1A2 ... An

 k3

B. Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành lần lượt tại
M ; N ; P ; Q sao cho

SM
SN
SP
SQ
 ;
 ;
 ;
 :
SA
SB
SC
SD

VS. MNPQ
VS. ABCD



. . . 1 1 1 1
    và

4 

1



1



1



1

.

 Ví dụ 01.
Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của SA, SB, SC . Tỉ số thể tích

VS. ABC
VS. MNP

bằng
A. 12 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 3 .

Lời giải
Chọn C
Ta có

Trang 15

VS. ABC SA SB SC

.
.
 2.2.2  8 .
VS. MNP SM SN SP

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 02.
Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là
trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ số
thể tích

V MIJK

bằng

V MNPQ

1
3
1
B.
4
1
C.
6
1
D.
8

A.

Lời giải
Chọn D
Ta có:

VM . IJK
VM . NPQ



MI MJ MK 1 1 1 1
.
.
 . .  .
MN MP MQ 2 2 2 8

 Ví dụ 03.

Cho khối tứ diện có thể tích bằng V . Gọi V  là
thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các
trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã
cho, tính tỉ số
V 2
 .
V 3
V 5
B.
 .
V 8
V 1
C.
 .
V 2
V 1
D.
 .
V 4

V
.
V

A.

Lời giải
Chọn B
Cách 1.
Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a .

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc của tứ diện, mỗi góc cũng là một
tứ diện đều có cạnh bằng

a
.
2

Do đó thể tích phần cắt bỏ là V   4.

LÊ MINH TÂM

V V
 .
8 2

Trang 16


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Vậy V  

V
V 1

 .
2
V 2

Cách 2.

Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác có cùng đáy là hình bình hành úp lại.
1 1
2 4

1
2

Suy ra: V   2VN . MEPF  4.VN . MEP  4.VP. MNE  4. . V  V
Cách 3.
V ' V  V A.QEP  VB.QMF  VC . MNE  VD . NPF

V
V
V
V
V
V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1  A.QEP  B.QMF  C . MNE  D . NPF  1  . .  . .  . .  . .  .
V
V
V
V
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Ta có

 Ví dụ 04.
Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C  , D theo
thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính

tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABCD và
S.ABCD .
1
16
1
C.
8

1
4
1
D.
2

A.

B.

Lời giải
Chọn C
Ta có
Và

VS. ABD SA SB SD 1
V
1

.
.
  S. ABD  .

VS. ABD
SA SB SD 8
VS. ABCD 16

VS.BDC SB SD SC 1
V
1

.
.
  S. BDC  .
VS.BDC
SB SD SC 8
VS. ABCD 16

Suy ra

VS. ABD VS.BDC 1 1 1
V
1

    S. ABCD  .
VS. ABCD VS. ABCD 16 16 8
VS. ABCD
8

 Ví dụ 05.
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình
hành. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của
các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA . Gọi O là điểm

bất kỳ trên mặt phẳng đáy ABCD . Biết thể tích
khối chóp OMNPQ bằng V . Tính thể tích khối
chóp SABCD .
27
V.
8
9
C. V .
4

A.

Trang 17

27
V.
2
27
D.
V.
4

B.

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Lời giải

Chọn B
Ta có  MNPQ  //  ABCD   d  S ,  MNPQ    2d O ,  MNPQ    VSMNPQ  2VOMNPQ  2V
+
+

VSMNQ
VSEFK
VSNPQ
VSFGK



SM SN SQ 2 2 2 8
8
.
.
.
 . . 
 VSMNQ 
V
SE SF SK 3 3 3 27
27 SEFK



SN SP SQ 2 2 2 8
8
.
.
.

 . . 
 VSNPQ 
V
SF SG SK 3 3 3 27
27 SFGK

 VSMNQ  VSNPQ 

8
8
8
27
27
VSEFK  VSFGK  VSMNPQ 
VSEFGK  VSEFGK
VSMNPQ 
V.
27
27
27
8
4

1
BE.BF.sin B
SEBF
1
1
1
2

Ta có:

  SEBF  SABC  SABCD .
SABC 1
4
4
8
BA.BC.sin B
2
Khi đó, SEFGK  SABCD  SABF  SFCG  SGDK  SKAE   SABCD  4SEBF
1
 SEFGK  SABCD
2
1
d S,  EFGK  SEFGK
VSEFGK
1
27
3
Nên

  VSABCD  2VSEFGK 
V.
VSABCD 1
2
2
d S,  ABCD  SABCD
3








 Dạng toán 5. TỔNG HIỆU THỂ TÍCH.
Phương pháp giải
 Trong q trình tính thể tích một khối đa diện lồng ghép trong khối chóp ta gặp khó khăn
với cách tính thực tiếp thì khi đó:
 Ta có thể tách khối chóp ra thành các khối nhỏ và tính trực tiếp từng khối đã tách.
 Phần cần tính sẽ là phần khối chóp bỏ đi những khối nhỏ đã tính.
 Ví dụ minh họa: Cho khối chóp S.ABCD , mặt phẳng   chia khối chóp thành 2 phần V1 ;
V 2 . Tính thể tích khối V 2 .

Giải.
Để tính trực tiếp thể tích khối V 2 ta sẽ khó áp
dụng cơng thức vì thế ta sẽ cắt khối chóp thành
hai phần:
+ V1 là phần chứa đỉnh S .
+ V 2 là phần dưới mặt phẳng

 .

Gọi thể tích khối chóp S.ABCD là V , vậy
V  V1  V2  V2  V  V1 .

LÊ MINH TÂM

Trang 18

Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 01.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Trên
AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao
cho MA  MB  0 và NC  2ND . Mặt phẳng
 P  chứa MN và song song với AC chia khối
tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó
khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính
V.
A. V 

2
.
18

B. V 

11 2
.
216

C. V 

7 2
.
216

D. V 

2
.
108

Lời giải
Chọn B
Từ N kẻ NP//AC , N  AD
M kẻ MQ //AC , Q  BC . Mặt phẳng  P  là MPNQ
1
2
3
12
 VAMPC  VMQNC  VMPNC

Ta có VABCD  AH.SABCD 
V  VACMPNQ

AM AP
1 2
1
.
.VABCD  . VABCD  VABCD
AB AD
2 3
3
1
1 CQ CN
11 2
1

VMQNC  VAQNC 
.
.VABCD 
. VABCD  VABCD
2
2 CB CD
22 3
2
2
2 1
2 1 AM
2 11
1
VMPNC  VMPCD  . VMACD  .
.VABCD  .
VABCD  VABCD
3
3 3
3 3 AB
3 32
9
1 1 1
11
11 2
Vậy V      VABCD  V  VABCD 
.
18
216
3 6 9

Ta có VAMPC 

 Ví dụ 02.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh a , SA  a và SA   ABCD  . Gọi M

S

là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD
sao cho SN  2ND . Tính thể tích V của tứ diện
ACMN .
a3
.
12
a3
C. V  .
8

A. V 

M

a3
.
6
a3
D. V  .
36

B. V 

N

B
O

D

Trang 19

A

C

LÊ MINH TÂM


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Lời giải
Chọn A
M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN  2ND nên
SM 1 SN 2
 ,

SB 2 SD 3
Ta có: VC. AMN  2VO. AMN  2  VS. ABD  VS. AMN  VM. AOB  VN . AOD 

Lại có:
1

a3
a3
a3
VS. ABCD  .SA.AB.AD   VS. ABD  , VS. AOB  VS. AOD 
3
3
6
12
3
VS. AMN SM SN 1 2 1
1
a

.
 .   VS. AMN  VS. ABD 
VS. ABD
SB SD 2 3 3
3
18

VM . AOB MB 1
1
a3

  VM . AOB  VS. AOB 
VS. AOB
SB 2
2
24
VN . AOD ND 1

1
a3

  VN . AOD  VS. AOD 
VS. AOD SD 3
3
36

 a3

Do đó: VC . AMN  2VO. AMN  2 

6



a3 a3 a3  a3
   .
18 24 36  12

 Ví dụ 03.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật với cạnh AD  2CD . Biết hai mặt
phẳng SAC  , SBD  cùng vuông góc với mặt
đáy và đoạn BD  6 ; góc giữa SCD  và mặt
đáy bằng 60 . Hai điểm M , N lần lượt là trung
điểm của SA, SB . Thể tích khối đa diện
ABCDMN bằng
A.

108 15
.
25

B.

128 15
.
15

C.

16 15
.
15

D.

18 15
.
5

Lời giải
Chọn D
Gọi O  AC  BD . Do SAC    ABCD  , SBD    ABCD   SO   ABCD  .
Theo tính chất hình chữ nhật: AD2  CD2  BD2  5CD 2  62  CD 

6
5

và AD 

12
5

.

72
.
5
Gọi I là trung điểm của CD . Do CD  SO, CD  OI  CD  SOI   CD  SI

Khi đó diện tích đáy: SABCD  AD.CD 





 SCD  ,  ABCD   SI , OI   SIO  60 .
LÊ MINH TÂM

Trang 20


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trong tam giác SOI vuông tại O , OI 
1
3

6 3
AD
6

, SIO  60 có: SO  OI .tan 60 
.
2
5
5

1 72 6 3 144 15
.

.
3 5
25
5

Thể tích S.ABCD là: V  .SABCD .SO  .
Ta có VS. ABD  VS.BCD 
Do S

SMN

1
 S
4

SAB

V
.
2

1
1
 VSMND  VSABD  V .
4
8

Do N là trung điểm của SB  d  N , SCD    d  B, SCD    VSCDN  VSBCD  V .
1
2

3
8

1
2

3
8

5
8

Ta có: VS.CDMN  VSMND  VSCDN  V  VABCDMN  V  V  V 

1
4

18 15
.
5

 Ví dụ 04.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi
cạnh a và ABC  60 . Biết rằng SA  SC ,
SB  SD và SAB   SBC  . G là trọng tâm tam
giác  SAD  . Tính thể tích V của tứ diện GSAC .
A. V 

a3 2
96

B. V 

a3 2
48

a3 2
C. V 
24

D. V 

a3 2
12

Lời giải

Chọn B
Ta có VGSAC  d G , SAC   .S
1
3

* Tính S

SAC

SAC

.

?
SA  SC  SO  AC

 SO   ABCD  .
SB

SD

SO

BD

Kẻ OH  SB , do AC  SBD  nên SB   AHC  .

Gọi O  AC  BD , do 

Suy ra  SAB  ,  SBC     AH , CH   AHC  90 .

Do OH  AC và OH là trung tuyến nên tam giác AHC vuông cân tại H .
1
2

Khi đó OH  AC 

a
a 3
và OB 
.
2
2

Mà tam giác SOB vng tại O có đường cao OH nên
Trang 21

1
1
1
a 6


 SO 
.
2
2
2
4
OH
OS OB

LÊ MINH TÂM


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1
1 a 6
a2 6
Vậy S SAC  .SO.AC  .
.
.a 
2
2 4
8
* Tính d  E, SAC   ?

Gọi E là trung điểm của AD thì

d  G ,  SAC  
d  E,  SAC  



SG 2
 .
SE 3

Gọi F là trung điểm của OA thì EF  SAC   d  E, SAC    EF  OD 
1
2

a 3
.
4

Suy ra d G , SAC    d  E, SAC    .

2 a 3 a 3
.

3 4
6

2
3

Vậy VG.SAC

1
 d G , SAC   .S
3

SAC

1 a 3 a2 6
2a3
.
 .
.


3 6
8
48

 Ví dụ 05.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Mặt phẳng  P 
chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E . Biết góc giữa
hai mặt phẳng  P  và  BCD  có số đo là thỏa
5 2
. Gọi thể tích của hai tứ diện
7
ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V 2 .

mãn tan 

Tính tỉ số

V1
.
V2

1
.
8
5
C. .
8

3
.

5
3
D. .
8

A.

B.

Lời giải
Chọn B
Gọi H , I lần lượt là hình chiếu vng góc của A , E trên mặt phẳng  BCD  . Khi đó
H , I  DM với M là trung điểm BC .

Ta tính được AH 

a 6
a 3
a 3
, DH 
, MH 
.
3
3
6

Ta có góc giữa  P  với  BCD     P  ,  BCD    EMD  . Khi đó tan 

EI 5 2


.
MI
7


a 6
x.

DE.AH
3 x 6
 EI 

DE EI
DI

AD
a
3 .



Gọi DE  x 
AD AH DH
a 3

x.

DE.DH
x 3
3

 DI  AD  a  3


Khi đó MI  DM  DI 
LÊ MINH TÂM

a 3 x 3

.
2
3

Trang 22


Chuyên Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
x 6
5
5 2
EI 5 2
3
 x a.


Vậy tan 

8
7
MI
7

a 3 x 3

2
3
VDBCE DE 5
VABCE 3

 
 .
Khi đó:
VABCD AD 8
VBCDE 5

 Ví dụ 06.
Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P lần
lượt thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho
BC  4BM , AC  3AP , BD  2BN . Tính tỉ số thể
tích hai phần của khối tứ diện ABCD được
phân chia bởi mp  MNP  .
7
.
13
7
B.
.
15
8
C.
.
15

8
D.
.
13

A.

Lời giải
Chọn A
Gọi E  MN  CD , Q  EQ  AD , do đó mặt phẳng  MNP  cắt tứ diện ABCD theo thiết
diện là tứ giác MNQP .
1
2

Gọi I là trung điểm CD thì NI CB và NI  BC ,
2
3

Do BC  4BM nên suy ra NI  MC .
Bởi vậy

EN EI
NI 2


 .
EM EC MC 3

EI 2
ED 1

 suy ra
 .
EC 3
EC 3
EK KD ED 1


 .
Kẻ DK AC với K  EP , ta có
EP AC EC 3
KD 2
QD QK KD 2
 . Do đó


 .
Mặt khác AC  3AP nên suy ra
QA QP AP 3
AP 3
EK 1
EQ 3
QK 2
 suy ra
 .
 và
Từ
QP 3
EP 3
EP 5
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD , V1 là thể tích khối đa diện ABMNQP , V 2 là thể

Từ I là trung điểm CD và

tích khối đa diện CDMNQP .
Trang 23

LÊ MINH TÂM


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Ta có

S
S

CMP
CAB



CM CP 3 2 1
.
 .  S
CB CA 4 3 2









CMP



1
 S
2

CAB

.



ED 1
3
 nên d E;  ABC   d D;  ABC  . Do đó :
EC 3
2
1
1 1
3
3 1
3
VE.CMP  S CMP .d E;  ABC   . S CAB . .d D;  ABC   . S CAB .d D;  ABC   V .
3

3 2
2
4 3
4
VE. DNQ ED EN EQ 1 2 3 2
2
2 3
1

.
.
 . .  , nên suy ra VE.DNQ  VE.CMP  . V  V .
VE.CMP EC EM EP 3 3 5 15
15
15 4
10

Vì



3
4

Từ đó ta có V2  VE.CMP  VE.DNQ  V 
Và V1  V  V2  V 
Như vậy :







1
13
V  V.
10
20

13
7
V V.
20
20

V1 7

V2 13

 Dạng tốn 6. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG.
Phương pháp giải
 Áp dụng cơng thức chính: V  S.h .
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
 Tính được diện tích đáy ta xem lại “Cơng thức tính diện tích đáy”
 Lăng trụ đứng sẽ có các đường cao song song nhau, tùy vào trường hợp đề ra ta sẽ sử
dụng đường cao hợp lý.
Định nghĩa
Tính chất
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng

Là hình lăng trụ có cạnh bên
Hình lăng trụ đứng
là các hình chữ nhật và vng góc
vng góc với mặt đáy.
với mặt đáy.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có đáy là
Hình lăng trụ đều
là các hình chữ nhật bằng nhau và
đa giác đều.
vng góc với mặt đáy.
 Xem lại cách xác định góc giữa đường – mặt; mặt – mặt để tính được chiều cao.
 Ví dụ 01.
Khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a , đường cao bằng a 3 có thể tích bằng
A.

a3 3
.
3

B. a3 3 .

C. 2a3 3 .

D.

a3 3
.
6

Lời giải
Chọn B
V  S.h  a2 .a 3  a3 3.

LÊ MINH TÂM

Trang 24


Chun Đề. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 Ví dụ 02.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AA  a .
Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và
AB  a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã
cho.
a3
A. V  .
3
a3
C. V  .
2

a3
B. V  .
6

D. V  a3 .
Lời giải

Chọn C
Theo giả thiết ABC.ABC là lăng trụ đứng có đáy là tam giác ABC vng cân tại A .
1
2

Suy ra thể tích của khối lăng trụ là V  AA.SABC  AA. .AB.AC 

a3
.
2

 Ví dụ 03.
Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là
tam giác vuông tại A; BC  2a; ABC  30 . Biết
cạnh bên của lăng trụ bằng 2a 3 . Thể tích khối
lăng trụ là.
A. 2a3 3 .
B. 3a3 .
C. 3a3 .
D. 6a3 .
Lời giải
Chọn C
Xét tam giác ABC. vuông tại A có AC  2a.sin30  a; AB  2a.cos30  a 3. .
Trong đó h  AA  2a 3. .
S

ABC



1
3 2
AB  AC 
a . Vậy Vlt  3a3 .
2
2

 Ví dụ 04.
Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B' C ' có đáy ABC là
tam giác vng cân tại A, BC  2a, A ' B  3a. Thể
tích của khối lăng trụ ABC.A ' B' C ' bằng?
A. 2a3 .
a3 2
.
3
C. 6a3 .

B.

D. a3 7 .
Trang 25

LÊ MINH TÂM