Tìm hiểu phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ của ảnh và ứng dụng trong xử lí lọc nhiễu ảnh đa mức xám

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN NHẬP MÔN XỬ LÝ ẢNH
Tên đề tài:
Tìm hiểu phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ của ảnh và
ứng dụng trong xử lí lọc nhiễu ảnh đa mức xám

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TH.S LÃ QUANG TRUNG
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: 1. ĐẮC THỊ TRÀ MY
2. NGUYỄN THỊ TRÀ MY
3. ĐÀO THỊ HƯỜNG
LỚP: 69DCHT21

HÀ NỘI 04-2021

LỜI NÓI ĐẦU
1


Xử lí ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và cơng nghệ. Nó là một ngành
khoa học mới mẻ so với nhiêu ngành khoa học khác nhưng tốc độ phát triển của nó
rất nhanh, kích thích các trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt là máy tính
chuyên dụng riêng cho nó.
Lợi ích của xử lí số các tín hiệu ngày càng được khẳng định rõ ràng. Nó cũng
được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những hiệu quả đặc biệt là trong các
ngành khoa học chứ không phải chỉ là một môn học. Với mức độ phát triển ngày
càng cao về cơ bản, về phương pháp và khả năng ứng dụng nó đã lơi cuốn nhiều kỹ
sư, các nhà vật lý cũng như các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Do đó, nhóm em đã làm bài luận về phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân
tích phổ của ảnh để tìm hiểu sâu hơn về cách hoạt động và ứng dụng trong xử lý

lọc nhiễu đa mức xám. Trong suốt quá trình thực hiện đề tài này, nhóm em đã nỗ
lực tìm hiểu, khảo sát tuy nhiên, những thiếu sót và sơ xuất sẽ khơng thể tránh khỏi
và nhiều vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu trong tương lai. Nhóm xin chân thành cảm
ơn sự hướng dẫn giúp đỡ của thầy Lã Quang Trung trong quá trình học tập bộ mơn
này!

2


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER.....................................................3
1.1.

Giới thiệu...................................................................................................................3

1.2.

Phép biến đổi Fourier.............................................................................................4

1.2.1.

Phép biến đổi Fourier liên tục......................................................................4

1.2.2.

Biến đổi Fourier rời rạc – DFT(Discrete Fourier Transform)................5

1.2.3.

Thuật toán biến đổi nhanh – FFT (Fast Fourier Transform).................7

1.2.4.

Biến đổi Fourier của một số hàm thường dùng......................................8

1.3.

Các tính chất của biến đổi Fourier.....................................................................8

1.3.1.

Tính đối xứng....................................................................................................8

1.3.2.

Nguyên lý cộng.................................................................................................9

CHƯƠNG 2 THỬ NGHIỆM PHÂN TÍCH PHỔ CỦA ẢNH................................................9
2.1.

Khái niệm...................................................................................................................9

2.2.

Thử nghiệm phân tích phổ.................................................................................10

2.2.1.

Phân tích phổ Fourier...................................................................................10

2.2.2.

Biến đổi Fourier trong ảnh..........................................................................11

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC XÁM..............14
3.1.

Bộ lọc 1: Áp dụng bộ lọc thông thấp trong lọc nhiễu làm mịn ảnh........14

3.2.

Bộ lọc 2: Áp dụng bộ lọc thông cao trong lọc nhiễu...................................14

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................15

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
1.1. Giới thiệu
Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh trong phân tích hệ thống tuyến tính. Nó
cho phép chúng ta xác định số lượng các tác dụng của các hệ thống số hóa, các
điểm lấy mẫu, các bộ khuếch đại điện tử, các bộ lọc tích chập, nhiễu và các điểm
3


hiển thị. Những người kết hợp kiến thức nguyên lý của các tính chất biến đổi
Fourier với kiến thức thực tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để
tiếp cận hầu hết các bài toán xử lý ảnh. Bình thường, những người phát triển sự
kết hợp các kỹ năng là các sinh viên khoa điện tử và vật lý quang học, và họ thực
hiện công việc này trong các khoá học. Tuy nhiên, đối với bất kỳ người nào thực
sự có ý định sử dụng xử lý ảnh số trong cơng việc của họ, thì thời gian bỏ ra để
thành thạo với biến đổi Fourier là đáng để đầu tư.

Về ý nghĩa nào đó, biến đổi Fourier giống như một ngôn ngữ thứ hai để miêu tả
các chức năng. Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận
thấy một ngôn ngữ tốt hơn ngôn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đó. Tương tự,
các nhà phân tích xử lý ảnh có thể di chuyển lui tới giữa miền không gian và miền
tần số trong khi tiến hành trọn vẹn một vấn đề.
Đầu tiên khi học một ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh
của anh ta hay cơ ta và nhẩm dịch trước khi nói. Tuy nhiên, sau khi đã trở nên trơi
chảy, họ có thể nghĩ đến một ngôn ngữ khác. Tương tự, một khi đã quen thuộc với
biến đổi Fourier, nhà phân tích đều có thể thao tác trong miền không gian hay
miền tần số và khả năng rất hữu ích.
Trong phần đầu tiên của chương này, chúng ta sẽ trình bày các tính chất của
biến đổi Fourier sử dụng các hàm một chiều cho các ký hiệu đơn giản. Sau đó,
chúng ta tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp hai chiều. Quy ước trong phần
hai của quyển sách này là xem xét các hàm một chiều như các ví dụ đơn giản và
sau đó khai triển cho các hàm khơng gian hai biến như các ví dụ xử lý ảnh.

1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Phép biến đổi Fourier liên tục
Biến đổi Fourier cho một tín hiệu có thể hình dung như sau:

-

Biến đổi Fourier cho một tín hiệu một chiều gồm một cặp biến đổi:
Biến đổi thuận: chuyển sự biểu diễn từ không gian thực sang không gian tần

-

số (phổ và pha).
Các thành phần tần số này được gọi là các biểu diễn của đối tượng từ không

gian tần số sang không gian thực.
1.2.1.1. Không gian một chiều
Cho một hàm f(x) liên tục. Biến đổi Fourier của f(x), kí hiệu F(u), u biểu diễn
tần số không gian, được định nghĩa :
4


1.2.1.2. Không gian hai chiều
Cho f(x,y) hàm biểu diễn ảnh liên tục trong không gian 2 chiều f(x,y) được định
nghĩa:
-Biến đổi thuận :

-Biến đổi ngược:

Trong đó: u,v biểu diễn tần số không gian
1.2.2. Biến đổi Fourier rời rạc – DFT(Discrete Fourier Transform)
Biến đổi DFT được phát triển dựa trên biến đổi Fourier cho ảnh số . Ở đây, ta
dùng tổng thay cho tích phân. Biến dổi DFT tính các giá trị của biến đổi Fourier
cho một tạp các giá trị trong không gian tần số được cách đều.
1.2.2.1. DFT cho tín hiệu một chiều
Khai triển Fourier rời rạc DFT cho một dãy {u(n), n = 0,1,…, N-1} định nghĩa
bởi :

Và biến đổi ngược :
5


WN-kn, với k=0,1,…,N-1
Thực tế trong xử lý ảnh người ta hay dùng DFT đơn vị:

1.2.2.2. DFT cho tín hiệu hai chiều (ảnh số)
DFT hai chiều của một ảnh M x N : {u(m,n) } là một biến đổi tách được và
được định nghĩa:

Và biến đổi ngược:

Cặp DFT đơn vị hai chiều được định nghĩa :

:
6


1.2.3. Thuật toán biến đổi nhanh – FFT (Fast Fourier Transform)
1.2.3.1. Trường hợp 1 chiều

Nhận xét :
 Với mỗi giá trị k ta cần N phép nhân và N phép cộng.
 Để tính N giá trị của v(k) ta cần N2 phép nhân.
Để tính tốn một cách hiệu quả , người ta dùng thuật toán nhanh gọi là FFT với
độ phức tạp tính tốn là O(Nlog2N).
Thuật tốn tính nhanh có thể tóm tắt như sau:
 Giả sử N = 2n
 Giả sử WN là nghiệm thứ N của đơn vị :

ta có:

Khai triển cơng thức trên ta được:

1.2.3.2. Trường hợp hai chiều
Do DFT 2 chiều là được tách nên ta có

Ta có cách tính DFT 2 chiều như sau :
 Tính DFT 1 chiều với mỗi giá trị x(theo cột).
 Tính DFT 1 chiều theo hướng ngược lại (theo hàng) với giá trị thu được
ở trên.
1.2.4. Biến đổi Fourier của một số hàm thường dùng
7


Bảng liệt kê các biến đổi Fourier của một số hàm phổ biến

1.3. Các tính chất của biến đổi Fourier
1.3.1. Tính đối xứng
Trong trường hợp tổng quát , một hàm phức của một biến trị thực có biến đổi
Fourier cũng là một hàm phức của biến thực. Tuy nhiên , có một số lớ các hàm bị
hạn chế vì tính đối xứng của chúng tạo ra hành vi dưới phép biến đổi Fourier.
1.3.1.1. Tính chẵn lẻ
Danh sách các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier:

1.3.1.2.

- Một hàm thành phần chẵn tạo ra một thành phần biến đổi chẵn.
- Một hàm thành phần lẻ tạo ra hàm thành phần biến đổi lẻ.
- Một hàm thành phần lẻ sẽ có hệ số -j.
- Một hàm thành phần chẵn khơng có hệ số.
Các thành phần thực ảo

Chúng ta có thể sử dụng 4 qui tắc cho trước để giảm ảnh hưởng cho biến đổi
Fourier trên các hàm phức. Nếu chúng ta phân rã các hàm phức tổng quát thành
tổng của 4 thành phần – phần thực một chẵn và một lẻ, cộng với phần ảo một chẵn

và một lẻ-chúng ta có thể viết 4 qui tắc đối với biến đổi Fourier như sau:
-

Phần chẵn thực tạo ra một phần chẵn thực.
Phần lẻ thực tạo ra một phần lẻ thực.
Phần chẵn ảo tạo ra một phần chẵn ảo.
Phần lẻ ảo tạo ra một phần lẻ ảo.

Trong các quan tâm khác là mối quan tâm với trường hợp hàm nhập mà là thực,
chúng ta thông thường sử dụng hàm thực để đưa lại các ảnh nhập vào. chú ý đó là
một hàm thực đưa ra một biến đổi mà có một phần hàm là chẵn thực và một phần
8


hàm lẻ ảo. Điều này được đề cập như một hàm Hermite, và nó có tính chất đối
xứng liên hợp.
F(s) = F*(-s)

Trong đó: * ký hiệu cho liên hợp phức.

Bảng các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier

1.3.2. Nguyên lý cộng

CHƯƠNG 2 THỬ NGHIỆM PHÂN TÍCH PHỔ CỦA ẢNH
2.1.

Khái niệm
Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đơi khi cịn được gọi

là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu
thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số
thực hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thơng tin trên
các máy tính.
Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành
liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo
hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh
bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).

9


Ảnh thu được đồng thời theo nhiều kênh phổ (thường từ 4 đến 6 kênh) bằng hệ
thống máy chụp ảnh nhiều ống kính hoặc hệ thống quét. Ảnh đa phổ thường được
quét hoặc chụp trong các dải phổ từ 0,4 μm đến 1,1 μm.
Ảnh đa phổ có thể là ảnh hàng không hoặc ảnh vũ trụ. Ảnh đa phổ dựa trên
ngun lí các đối tượng có bề mặt với tính chất vật lí khác nhau có khả năng phản
xạ phổ và đặc trưng phổ khác nhau, nhằm nâng cao khả năng suy giải các đối
tượng của ảnh.
2.2. Thử nghiệm phân tích phổ
2.2.1. Phân tích phổ Fourier
Ảnh trước hết là 1 tín hiệu trực quan (visual signal). Giống như âm thanh là tín
hiệu âm (audio signal). Chúng ta có thể phân tích các tần số của tín hiệu này, để
phân tích các tần số này, chúng ta tạo 1 ảnh mới có chứa tất cả các tần số của ảnh
giống như đồ họa tần số 2D. Công cụ : biến đổi Fourier (Fourier Transform).
Khi làm việc với các tần số của ảnh, chúng ta nói đến miền tần số (frequential
domain), đối ngược với miền không gian (spatial domain) (image).
Khi sử dụng Fourier để phân tích phổ, dãy {x_n} thường đại diện cho một dãy
hữu hạn các mẫu tại các thời điểm cách đều nhau của một tín hiệu x(t), trong
đó t để chỉ thời gian. Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc)

chuyển biến đổi Fourier liên tục của x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời
rạc (DTFT), và thường gây ra hiệu ứng răng cưa. Việc chọn lựa tần số lấy mẫu
thích hợp (xem tần số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng
này.
-

Thể hiện thành phần phổ phức:
F(u,v) = R(u,v) + jI(u,v)
Trong đó: R(u,v) là phần thực và I(u,v) là phần ảo

Suy ra ta định nghĩa được cường độ và pha của thành phần phổ phức như sau:
MAGNITUDE = |F(u,v)| =
và:
PHASE = Φ(u,v) =
-

Dữ liệu cường độ chứa thông tin độ tương phản, cường độ sáng.

-

Dữ liệu pha chứa thông tin về vị trí của đối tượng nằm trong một ảnh.

10


Đối với các hàm tuần hoàn, cả phép biến đổi Fourier và phép biến đổi
Fourier thời gian rời rạc (DTFT) chỉ bao gồm một tập hợp các thành phần tần số
rời rạc (chuỗi Fourier) và các phép biến đổi phân kỳ ở các tần số đó. Một thực hành
phổ biến (không được thảo luận ở trên) là xử lý sự phân kỳ đó thơng qua các hàm
Dirac delta và Dirac comb . Nhưng thơng tin phổ tương tự có thể được phân biệt

chỉ từ một chu kỳ của hàm tuần hồn, vì tất cả các chu kỳ khác đều giống hệt nhau.
Tương tự, các hàm có thời lượng hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi
Fourier, khơng có thơng tin mất mát thực tế ngoại trừ tính tuần hoàn của phép biến
đổi nghịch đảo chỉ là một hiện vật.
2.2.2. Biến đổi Fourier trong ảnh
Âm thanh mà ta nghe được, dù đó là nhạc, lời nói hay những tiếng ồn trong
đám đông đều là kết quả của sự dao động trong màng nhĩ lỗ tai, được mơ phỏng
bằng sóng âm lan truyền trong khơng khí phát ra từ tai nghe, âm thanh nhạc cụ,
tiếng nói của con người hay từ một kẻ vơ dun nói lun thun sau lưng bạn khi
xem phim ngoài rạp. Khi vẽ đồ thị những dao động này theo cường độ hay áp suất
theo thời gian, ta được biểu diễn hình ảnh của âm thanh.

11


Hình 2.1 Sóng âm thanh phát ra từ âm thoa (ảnh trên) và sóng âm thanh phát ra khi
con người nói (ảnh dưới)
Chúng ta có thể xem hình ảnh là một hàm biến đổi, tuy nhiên, hàm biến đổi này
không biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo không gian 2 chiều của ảnh. Đối với
ảnh xám, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn cường độ ảnh. Do đó,
cường độ của điểm ảnh là một hàm số theo toạ độ trục tung và trục hồnh tương
ứng với vị trí của điểm ảnh đó. Bạn có thể xem ảnh như một cảnh có những gợn
sóng nhấp nhô, với chiều cao của cảnh tương ứng với giá trị của điểm ảnh.
VD: Một tấm ảnh số được đăng trên tạp chí Plus, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến
255 biểu diễn mức xám của điểm ảnh.

Hình 2.2 Ảnh bên phải là hàm ảnh của ảnh bên trái, với mỗi giá trị xám u(x,y),
u(x,y) là chiều cao của bề mặt trong mặt phẳng (x,y)

Biến đổi Fourier của các tổ hợp sóng đơn giản chỉ có vài điểm sáng, nhưng với

những ảnh phức tạp hơn như ảnh kỹ thuật số thì có nhiều điểm sáng hơn khi biến
đổi Fourier do ảnh dùng nhiều sóng để biểu diễn ảnh.
Biến đổi Fourier ở nhiều ảnh số mà ta thường gặp, thông thường cường độ ở
trục x và y sẽ mạnh khi biến đổi, cho thấy các sóng sine chỉ biến đổi dọc theo các
trục này có vai trị rất lớn trong ảnh cuối cùng bởi vì trong một ảnh sẽ chức rất
nhiều đặc trưng theo chiều ngang và dọc và đối xứng, như ảnh chụp bức tường,
cạnh bàn, kể cả cơ thể người cũng có tính đối xứng theo chiều dọc. Bạn có thể
quan sát điều này bằng cách xoay ảnh một chút, khoảng 45ᵒ, khi đó biến đổi
Fourier sẽ có cường độ mạnh tại cặp các đường thẳng vng góc dã được xoay
cùng một lượng với góc xoay của ảnh.

12


Hình 2.3 Ảnh xám trong tạp chí Plus và ảnh sau khi biến đổi Fourier cho thấy chuỗi
các mức đóng góp của sóng dọc biểu diễn bởi các điểm sáng dọc theo trục tung.

Hình 2.4 Ảnh trong tạp chí Plus xoay một góc 45ᵒ và biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier là một cơng cụ tuyệt diệu khi phân tích và sử dụng âm thanh
hay hình ảnh. Đối với ảnh, biến đổi Fourier là cơng cụ tốn học quan trọng khi nén
ảnh (ví dụ như chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh.

13


CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC
XÁM
-

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp lọc nhiễu ảnh đa mức

xám, hay làm trơn ảnh.
 Đầu vào: Ảnh đã biến đổi DFT
 Đầu ra: Ảnh được lọc nhiễu
Sử dụng 2 bộ lọc thông thấp và thơng cao có thể lọc nhiễu làm mịn ảnh .
Bộ lọc 1: Áp dụng bộ lọc thông thấp trong lọc nhiễu làm mịn ảnh.
Giả sử, ta có ma trận kết quả biến đổi DFT của 1 ảnh xám, hệ số DC được

3.1.
-

dịch vào giữa. Do các thành phần tần số thấp ở gần tâm ma trận, ta có thể
thực hiện các bộ lọc tần số thấp bằng cách loại bỏ các hệ số ở cách xa tâm.

Hình 1. Ảnh xám (trái) và biến đổi DFT (phải)

Hình 2. Lọc thông thấp (trái) và kết quả (phải)
3.2.

Bộ lọc 2: Áp dụng bộ lọc thông cao trong lọc nhiễu

-

Ngược lại với lọc thông thấp. Lọc thông cao sẽ loại bỏ các hệ số ở gần tâm
và giữa lại các hệ số cách xa tâm. Với kích thước hình trịn càng lớn thì biên
của đối tượng trong ảnh càng hiện rõ. Tuy nhiên, bộ lọc này không lọc được
nhiễu.

14

Hình 3. Lọc thơng cao (trái) và kết quả (phải)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Chương 3, Digital Image Processing, third edition, Rafael C.Gonzalez, Richard
E.Woods
[2] Giáo trình xử lý ảnh, PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan, Đại học Bách Khoa Hà
Nội.
[3] />[4] />%95i_Fourier_r%E1%BB%9Di_r%E1%BA%A1c
[5] />
[6] />
15