Bài 2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG điều hòa

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CƠ HỌC
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được các cơng thức tìm A, ,  để viết phương trình dao động điều hòa.
+ Viết được các mối quan hệ độc lập thời gian trong dao động điều hòa.
 Kĩ năng
+

Chuẩn hóa được phương trình dao động điều hịa.

+

Sử dụng được đường trịn lượng giác và giải phương trình lượng giác để viết phương trình dao
động điều hịa.

+ Sử dụng các mối quan hệ độc lập thời gian để giải các bài tập có liên quan.
A. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Chuẩn hóa phương trình dao động

Một số cơng thức lượng giác thường sử

Phương trình li độ chuẩn của dao động điều hịa có dạng như sau:

dụng để chuẩn hóa phương trình dao

A  0
x  A cos  t    với 
    

động:

Bình thường, pha ban đầu  có thể nhận thấy giá trị bất kỳ nào
trên trục số thực, tuy nhiên việc chuẩn hóa pha ban đầu giúp



sin a  cos  a  
2

 sin a  sin  a   
 cos a  cos  a   

phương trình sáng sủa hơn và việc so sánh pha trở nên dễ dàng

sin a  sin  a  k2 

hơn.

cos a  cos  a  k2 

2. Viết phương trình dao động
Viết phương trình tức là tìm các giá trị cụ thể của A, ,  để lắp
vào phương trình nhằm thu được dạng tường minh của nó.
Phương pháp đường trịn lượng giác
Phương pháp đường tròn lượng giác thường được sử dụng để xác
định pha ban đầu  trong trường hợp đã biết biên độ, li độ và
chiều chuyển động của vật lúc t = 0.


Dựa vào mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển

động tròn đều, biểu diễn dao động trên đường trịn.


Xác định vị trí ban đầu của dao động dựa trên vị trí và

chiều chuyển động tại thời điểm t = 0.


Xác định pha ban đầu  trên đường tròn.

Một số giá trị đặc biệt của pha ban đầu  :

Trang 1


Phương pháp đại số
Phương pháp đại số thường được sử dụng khi đề bài cho biết 2
trong ba giá trị của x, v, a ở thời điểm t = 0.
Ta thực hiện giải hệ phương trình lượng giác để tìm ra các giá trị
của biên độ A và pha ban đầu .
x

cos   o

x
A
 A cos   x o


  t 0
vo



 v t 0  A sin   v o  sin   
A



2
ao

a  t 0   A cos   a o
cos    2 A


Trang 2


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
A: Phụ thuộc CƠ NĂNG của dao ng

W

m2 A 2
2W
A
2
m2

A

L
Độ dài qũy đạo
2

* Cú th tìm A bằng giải hệ phương trình
lượng giác.

 A cos   x
0


 A sin    v 0 
 2
 A cos   a  0 

A: Biên độ



A, 

x  A cos  t   

 : Tần số góc

 : Pha ban đầu

Phụ thuộc CẤU TRÚC của hệ

Phụ thuộc chọn GỐC THỜI GIAN:

c  k g
;


m  m

2
  2 f 
T

Có thể xác định bằng:





Dùng đường trịn.



Giải hệ phương trình lượng giác

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài toán 1: Biết biên độ, li độ và chiều chuyển động của vật
Phương pháp giải
Với bài toán này, ta có thể giải bằng một trong hai Ví dụ: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo

phương pháp đường tròn lượng giác hoặc phương trục Ox với biên độ 5 cm, chu kì 2 s. Tại thời điểm
pháp đại số.

t = 0, vật đi qua cân bằng O theo chiều dương. Viết
phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính biên độ và tần số góc của vật.

Biên độ dao động A = 5 cm.
Tần số góc:  

2
 (rad / s)
T

Bước 2: Sử dụng đường tròn lượng giác hoặc giải Sử dụng đường tròn lượng giác ta thấy ứng với
trường hợp vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
hệ phương trình để tìm ra giá trị pha ban đầu .

Trang 3


dương tương ứng pha ban đầu:  


.
2

Bước 3: Thay các đại lượng vào phương trình và Phương trình dao động: x  5cos  t    cm


2 

tính.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox với tần số
bằng 3 Hz, quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ O. Độ dài quỹ đạo bằng
12cm. Thời điểm ban đầu t = 0, chất điểm đi ngang qua vị trí có tọa độ
3 3 cm và đang chuyển động theo chiều dương. Viết phương trình dao

động của chất điểm.
Hướng dẫn giải:
Biên độ dao động: A 

L 12

 6(cm)
2 2

Tần số góc:   2f  6(rad / s).
Cách 1: Sử dụng đường trịn lượng giác

Vẽ đường trịn có bán kính R = A = 6cm
Lúc t = 0 có x o  3 3 , dựng đường vng góc được 2 điểm Mo và M o .
Do vật đang chuyển động theo chiều dương nên chọn điểm dưới M o . Do
đó ta biểu diễn được góc  trên hình vẽ.
cos  

3 3
3




6
2
6

Pha ban đầu:  

5
6

5 

Phương trình dao động: x  6 cos  6 t   cm.
6 


Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số


5

x  3 3 cos   3 3   3
5

  
Lúc t = 0: 

6 

6
2 
6

v  0
A sin   0
sin   0



Trang 4


5 

Phương trình dao động: x  6 cos  6 t   cm.
6 


Ví dụ 2: Một con lắc đơn gồm dây treo có độ dài 25 cm và một vật nhỏ,
treo tại nơi có gia tốc trọng trường bằng 10 m/s2. Lấy gần đúng 2  10 .
Đưa vật theo chiều dương tới vị trí dây treo lệch với phương thẳng đứng
một góc bằng 8o rồi bng nhẹ. Thời điểm ban đầu, t = 0 được chọn sau
thời điểm vật bắt đầu chuyển động

1
s . Phương trình li độ góc của chất
3

điểm là

o

o

2 



A.   4 cos  2t   . B.   8cos  2t   .
3 
2


o

o

2 
2 


C.   8cos  2t   . D.   8cos  2t 
.
3 
3 


Hướng dẫn giải:

Kéo con lắc ra 8o, rồi bng ra nên trong q trình dao động con lắc lệch Qua 2 ví dụ trên, ta thấy với

những bài đơn giản, phương

góc lớn nhất bằng 8o    8o.


g



pháp đại số cho khả năng giải

10
 40  2 rad / s.
0,25

quyết rất nhanh. Tuy nhiên
các em vẫn cần nắm vững

Ban đầu kéo ra 8 theo chiều dương nên vật ở biên dương. Sau đó một phương pháp đường trịn để
1
2
, lúc này tính từ có đa dạng phương pháp giải
quãng thời gian s , M quay được một góc   t 
3
3
giúp giải bài tập một cách
o

thời gian vật bắt đầu dao động (t = 0) nên  

2
.
3

linh hoạt và hiệu quả nhất có
thể.

o

2 

→Phương trình:   8cos  2t 
.
3 

Chọn D.
Bài toán 2: Biết các giá trị tức thời mà chưa biết biên độ
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp đại số, giải các phương trình Ví dụ: Cho một chất điểm dao động điều hịa trên
để tìm ra biên độ và pha ban đầu của dao động sau
đó thay vào phương trình để ra dạng tường minh

trục Ox với tần số bằng

2
Hz. Thời điểm ban đầu


Trang 5

t  0 , li độ và vận tốc của chất điểm lần lượt bằng

của nó.

3
2

cm và 6 2cm / s. Viết phương trình dao động

của chất điểm.
Bước 1: Tính tần số góc của dao động

Hướng dẫn giải:
Tần số góc:   2f  4(rad / s)

Bước 2: Xác định các giá trị đề bài cho biết

Tại thời điểm ban đầu:

3
3


cm
x 
A cos  
2
2


ABC

v  6 2cm / s 4A sin   6 2


Bước 3: Lập hệ phương trình với ẩn A và 

Chia vế:
4A sin  6 2

 tan   1
3
A cos 
2

Bước 4: Biện luận và giải hệ phương trình tìm ra A
và  (chú ý điều kiện A > 0).


 


 



3
A
 3(cm)
4

2 cos 
3
3
A
 3(cm)  0
4
2 cos 



Bước 5: Thay vào phương trình để ra dạng tường Phương trình dao động: x  3cos  4t   cm
4

minh của nó.

Ví dụ mẫu
Ví dụ mẫu: Một chất điểm dao động điều hịa, trong thời gian  giây, chất
điểm thực hiện được 2 dao động toàn phần. Thời điểm ban đầu t = 0, vận tốc
và gia tốc của chất điểm lần lượt bằng 12 3 cm / s và 48cm / s2 . Phương
trình dao động của chất điểm là


A. x  6 cos  4t   cm.
3




B. x  3cos  4t   cm.
3





C. x  3cos  t   cm.
3


2 

D. x  6 cos  t   cm.
3 


Hướng dẫn giải:
Chu kì: T 

t 
2
 (s)   
 4(rad / s)
N 2
T

Tại thời điểm ban đầu:

Trang 6




3 3
v  12 3 (cm / s) 4A sin   12 3 sin   A ( 0)



2
2
a  48(cm / s )
4 A cos   48
cos   3

A
Chia vế: tan   3   

3 3

 6(cm)
(vì sin   0)  A 
sin 
3



Phương trình dao động: x  6 cos  4t   cm
3


Chọn A.
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì bằng 2s. Gốc tọa độ ở vị
trí cân bằng. Tại thời điểm ban đầu, t = 0, chất điểm có vận tốc bằng

2 3 cm / s và gia tốc bằng 22 cm / s2 . Phương trình vận tốc của chất điểm là

A. v  2  cos  t  cm / s.



B. v  2 cos  t   cm / s.
3




C. v  4 cos  t   cm / s.
6


2 

D. v  4  cos  t   cm / s.
3 

Mẹo: Trong quá trình giải

Hướng dẫn giải

hệ phương trình, ta nên kết

2
 (rad / s)
Tần số góc:  

T

hợp với các điều kiện A >
0,   0 để rút ra nhận xét

Tại thời điểm ban đầu:


2 3
sin  
( 0)
v  2 3cm / s A sin   2  3 
A



 2

2
2
2
a  2 cm / s
 A cos   2 
cos   2

A
Chia vế: tan   3   

về dấu của sin  hoặc

cos 

để

loại

nhanh

nghiệm.

2 3
2
 4(cm)
(vì sin   0)  A 
sin 
3

Phương trình vận tốc:
2 
7 




v  4 sin  t 
 4 cos  t    4 cos  t   cm / s.

3 
6 
6





Chọn C.
Ví dụ 3: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì bằng
0,25 s và biên độ bằng 4 cm quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ O. Tại thời
điểm ban đầu, t = 0, chất điểm có li độ âm và đang chuyển động với vận tốc

16 cm / s. Phương trình dao động của chất điểm là
5 

A. x  4 cos  4 t   cm.
3 




B. x  4 cos  4 t   cm.
3


Trang 7


5 

C. x  4 cos  8t   cm.
6 


5 

D. x  4 cos  8t   cm.
6 


Hướng dẫn giải
Tần số góc;  

2
 8(rad / s).
T

Tại thời điểm ban đầu:

cos   0
x  0
A cos   0
5




16
1     (rad).
6

v  16 (cm / s) Asin  16 sin  
8.4

2

5 

Phương trình dao động: x  4 cos  8t   cm.
6 


Chọn C.
Bài tập tự luyện
Bài tập cơ bản
Câu 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với tần số góc  và có biên độ A. Biết gốc tọa
A
độ O ở vị trí cân bằng của vật. Chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí có li độ
và đang chuyển động theo
2
chiều dương. Phương trình dao động của vật là


A. x  A cos  t   .
3




B. x  A cos  t   .
4





C. x  A cos  t   .
4




D. x  A cos  t   .
3


Câu 2: Một chất điểm dao động điều hịa có phương trình vận tốc là v  4 cos2t (cm / s) . Gốc tọa độ ở
vị trí cân bằng. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ và vận tốc là
A. x  2cm, v  0

B. x  0,v  4 cm / s.

C. x = 2 cm, v = 0.

D. x  0,v  4 cm / s.

Câu 3: Một điểm dao động điều hòa vạch ra một đoạn thẳng AB có độ dài 10cm, thời gian mỗi lần đi hết
đoạn thẳng từ đầu nọ đến đầu kia là 0,5s. Chọn gốc thời gian lúc chất điểm ở A, chiều dương từ A đến B.
Phương trình dao động của chất điểm là:
A. x  2,5cos  2 t  cm.

B. x  5cos  2 t  cm.

C. x  5cos  t    cm.

D. x  5cos  2 t    cm.

Câu 4: Một con lắc đơn có chiều dài 20cm dao động với biên độ góc 6 o tại nơi có gia tốc trọng trường

g  9,8m / s2 . Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí có li độ góc 3o theo chiều âm. Phương trình dao
động của con lắc là:
A.  




cos  7t   rad.
30
3


B.  




cos  7t   rad.
60
3


C.  





cos  7t   rad.
30
3


D.  




cos  7t   rad.
60
3


Trang 8


Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa trên một trục cố định. Chiều dài quỹ đạo là 10cm, tần số 10 Hz.
Tại thời điểm t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ - 2,5 cm và đi theo chiều dương của trục tọa độ. Phương
trình dao động của vật là


A. x  5cos  20t   cm.
3


2 


B. x  5cos  20t   cm.
3 




C. x  5cos  20t   cm.
3


2 

D. x  5cos  20t   cm.
3 


Câu 6: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Vật qua vị trí cân bằng với vận tốc 31,4 cm/s. Khi

t  0 vật đi qua li độ x = 5cm theo chiều âm. Lấy 2  10. Phương trình dao động điều hịa của vật là
5 

A. x  5cos  t   cm.
6 




B. x  10 cos  t   cm.
3




C. x  10 cos  2 t   cm.
3




D. x  10 cos  t   cm.
6


Câu 7: Một con lắc lị xo gồm lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Khối lượng
của vật m = 1 kg. Kéo vật khỏi vị trí cân bằng x = +3 cm và truyền cho vật vận tốc v = 30 cm/s, ngược
chiều dương, chọn t = 0 là lúc vật bắt đầu chuyển động. Phương trình dao động của vật là


A. x  3 2 cos  10t   cm.
4




B. x  3 2 cos  10t   cm.
3


3 


C. x  3 2 cos  10t   cm.
4 




D. x  3 2 cos  10t   cm.
4


Câu 8: Một vật dao động điều hòa với tần số góc   5rad / s. Lúc t = 0, vật đi qua vị trí có li độ
x  2cm và có tốc độ 10 cm/s hướng về phía vị trí biên gần nhất. Phương trình dao động của vật là


A. x  2 2 cos  5t   cm.
4


3 

B. x  2 2 cos  5t   cm.
4 


5 

C. x  2 cos  5t   cm.
4 




D. x  2 cos  5t   cm.
4


Câu 9: Một con lắc đơn đang dao động điều hịa với biên độ góc bằng 0,05 rad dưới tác dụng của trọng
lực. Ở thời điểm ban đầu, dây treo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc bằng 0,025 rad và vật đang
chuyển động về vị trí cân bằng theo chiều âm với tốc độ

75 2
 (cm / s) . Lấy g  2 (m / s2 ) . Phương
2

trình dao động của vật là


A.   0,05 cos  4 t   rad.
3


2 

B.   0,05 cos  t   rad.
3 


2 

rad.

C.   0,05 cos  2t 
3 




D.   0,05 cos  t   rad.
3


Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa, trong thời gian 

giây, chất điểm thực hiện được 2 dao

động toàn phần. Thời điểm ban đần t = 0, vận tốc và gia tốc của chất điểm lần lượt bằng 12 3 cm / s và

48cm / s2 . Phương trình dao động của chất điểm là

Trang 9




A. x  6 cos  4t   cm.
3




B. x  3cos  4t   cm.

3




C. x  3cos  t   cm.
3


2 

D. x  6 cos  t   cm.
3 


Câu 11: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6 (cm). Lúc t = 0, con lắc qua vị trí có li độ
x  3 2(cm) theo chiều dương với gia tốc có độ lớn





2
cm / s2 . Phương trình dao động của con lắc là
3

A. x  6 cos  9t  cm.

 t 
B. x  6 cos    cm.

3 4

 t 
C. x  6 cos    cm.
3 4



D. x  6 cos  3t   cm.
3


Bài tập nâng cao
Câu 12: Cho con lắc đơn gồm một vật nhỏ có khối lượng m1 = 100 g treo trên một sợi dây mảnh, không
dãn, độ dài 40cm. Cho gia tốc trọng trường bằng 10m/s2. Khi hệ đang đứng cân bằng thì có một vật nhỏ
m2 = 50 g chuyển động theo phương ngang với tốc độ 90 cm/s tới va chạm với m1. Sau va chạm hai vật bị
dính liền với nhau. Chọn gốc thời gian t = 0 lúc xảy ra va chạm, và ngay sau va chạm, hệ chuyển động về
phía li độ dương. Phương trình li độ dài của dao động là


A. x  6 cos  5t   cm.
2




B. x  6 cos  5t   cm.
2




C. x  5cos  6t   cm.
2




D. x  5cos  6t   cm.
2


Câu 13: Cho con lắc gồm một lị xo có độ cứng bằng 30 N/m gắn với một vật nhỏ có khối lượng
m1=100g. Chọn trục Ox nằm ngang dọc theo trục của lò xo, gốc O trùng với vị trí cân bằng của m1. Khi
m1 đang đứng cân bằng, một vật m2 = 50g chuyển động theo chiều dương với tốc độ v2 = 60 m/s dọc theo
trục của lò xo tới va chạm với vật m1, sau va chạm hai vật dính nhau. Chọn t = 0 lúc xảy ra va chạm, và
bỏ qua mọi ma sát. Phương trình dao động của hệ sau va chạm là


A. x  cos  20t   cm.
2




B. x  2 cos  10 2t   cm.
2


C. x  2 cos  20t  cm.



D. x  2 cos  10 2t   cm.
2


B. QUAN HỆ ĐỘC LẬP THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. So sánh pha của hai dao động cùng tần số

Ví dụ: Xét 2 dao động điều hịa:

Xét hai dao động điều hòa cùng tần số với phương trình:

2 

x1  2 cos  10t 
cm và
3 


x1  A1 cos  t  1  và x 2  A 2 cos  t  2  , khi đó: Độ

lệch pha của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất:
   t  2    t  1   2  1

Nếu 2  1  0 thì dao động x2 được gọi là sớm pha

5 


x 2  4 cos  10t   cm
6 


Độ lệch pha:   2  1 

3
0
2

Trang 10


(nhanh) pha hơn dao động x1 hoặc dao động x1 trễ (chậm) Ta nói dao động thứ hai trễ pha hơn dao
pha hơn dao động x2 và ngược lại.

động thứ nhất một góc

Các khái niệm đặc biệt về độ lệch pha:

3
hoặc dao động
2



Nếu   k2  hai dao động cùng pha.

thứ nhất sớm pha hơn dao động thứ hai



Nếu    2k  1   hai dao động ngược pha.

một góc



Nếu   (2k  1)


 hai dao động vuông pha.
2

3
.
2


  (2k  1) (k  2)
2
 hai dao động vuông pha.

2. Quan hệ đặc biệt về pha
Xét các quan hệ về pha của các dao động điều hòa, vận
dụng cho 4 đại lượng: li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục.
x  A cos  t   



v  A cos  t    
2

a  2 A cos  t     2 A cos  t     
F  m2 A cos  t     m2 A cos  t     

a. Quan hệ vuông pha

Nhận xét:

Nếu hai dao động x1 và x2 vuông pha với nhau ta có:

Vận tốc vng pha với li độ và gia tốc, lực

2

2

 x1   x 2 
  
 1
 A1   A 2 

phục hồi.

Vận dụng:

hồi.

Li độ ngược pha với gia tốc và lực phục

2

2

x  v 
Li độ và vận tốc vuông pha nhau:    
 1
 A   A 

Gia tốc cùng pha với lực hồi phục.

Sau khi biến đổi, ta suy ra các công thức:
v   A 2  x 2 ;x   A 2 


v2
v2
2
;A

x

;
2
2

v
A2  x2

Vận tốc và gia tốc vuông pha nhau:
2

2

 v   a 
 A    2 A   1

 


Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa li độ và
vận tốc là một đường elip.

Sau khi biến đổi, ta suy ra các công thức:

Trang 11


v   v 2max 
A

a2
;a   a 2max  v 2 2 ;
2

1 2 a2
v  2



Vận tốc và lực hồi phục vuông pha nhau:
2

Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa gia tốc

2

 v   F 
 A    m2 A   1

 


và vận tốc là một đường elip.

b. Quan hệ cùng pha
Nếu hai dao động x1 và x2 cùng pha với nhau ta có:

x1 x 2

A1 A 2
Vận dụng:
Gia tốc và lực hồi phục cùng pha nhau:
F
a
 2  F  ma
2
m A  A

c. Quan hệ ngược pha
Nếu hai dao động x1 và x2 ngược pha với nhau ta có:

x1
x
 2
A1
A2
Vận dụng:
Li độ và gia tốc ngược pha nhau:
x
a
 2  a  2 x
A A

Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa lực hồi
phục và vận tốc là một đường elip.

Trang 12


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 v2
a2

1

2
2
2

A



A


 2
2
2
2
a   (A)  v



2
2
a    A   v









a  A2 cos  t     
a  2x



v  A cos  t    
2


x  A cos  t   

F  m2 x
 x2
v2

1
 2
2
A
A




 2
2
2
2
v   A  x



2

2
v   A  x



F  mA2 cos  t     



 v2
F2

1

2
2
2
A



mF



F  ma

2
2
F   m  A   v






II. CÁC DẠNG BÀI TẬP



Phương pháp giải
Để nhận biết và giải bài tập có sử dụng các hệ thức Ví dụ: Một con lắc gồm lị xo có độ cứng 40 N/m,
độc lập thời gian, ta làm theo các bước sau:

treo vật có khối lượng 100g, đang dao động điều
hòa. Tại một thời điểm, li độ và vận tốc tức thời của
vật lần lượt bằng 3cm và 80 cm/s. Biên độ dao
động của con lắc bằng
A. 2 cm.

B. 5 cm.

C. 2 5cm.

D. 5 2cm.

Hướng dẫn giải
Bước 1: Xác định các đại lượng đề bài đã cho biết Bài cho biết ở một thời điểm:
và đại lượng chưa biết cần tìm (dạng bài này x = 3 (cm), v = 80 (cm/s)
thường cho biết các giá trị tức thời của các đại
lượng ở một thời điểm).

Tần số góc:  

k
 20(rad / s)
m

Li độ vng pha với vận tốc.
Trang 13


Bước 2: Xác định quan hệ về pha giữa các đại
lượng đề bài cho.
Bước 3: Xác định hệ thức độc lập thời gian cần sử
dụng chứa các đại lượng trên.
Bước 4: Thay số và tìm ra kết quả.

v
Biên độ: A  x 2   
 

2

2

 80 
A  3     5(cm)
 20 
2

Chọn B.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, một con lắc đơn có chiều
dài dây treo bằng 39,2 cm, đang dao động điều hòa với biên độ góc bằng 0,05
rad. Tại thời điểm, khi vận tốc của con lắc bằng 2,4 cm/s thì gia tốc của con
lắc có độ lớn xấp xỉ bằng
A. 47,5 cm/s2.

B. 45,7 cm/s2.

C. 75,4 cm/s2.

D. 54,7 cm/s2.
Lưu ý: Khi sử dụng hệ thức

Hướng dẫn giải:
Tần số góc:  

g

 5(rad / s)

Biên độ dài của con lắc: A  o .  0,0196(m)  1,96(cm)
Ở thời điểm t: v = 2,4 cm/s.
Gia tốc: a  

 A 

2

độc lập thời gian với con lắc
đơn dao động điều hịa thì
biên độ trong các cơng thức
chính là biên độ dài của con
lắc.

 v 2  47,5(cm / s2 )

Chọn A.
Ví dụ 2: Cho một chất điểm dao động điều hòa với tần số 3 Hz. Tốc độ cực
đại trong quá trình dao động bằng 30 cm / s. Khi ngang qua vị trí có li độ 4
cm, tốc độ chuyển động của chất điểm bằng
A. 8 cm / s.

B. 18 cm / s.

C. 6 3 cm / s.

D. 4 3 cm / s.

Hướng dẫn giải:
Tần số góc:   2f  6(rad / s)
Bài cho biết: v max  A  30(cm / s)  A  5(cm),x  4(cm)
Tốc độ chuyển động của chất điểm: v   A2  x2  18(cm / s)
Chọn B.
Ví dụ 3: Một con lắc đơn lý tưởng có độ dài dây treo bằng 20cm, treo tại nơi
có gia tốc trọng trường bằng 10 m/s2, đang dao động điều hòa. Tại một thời
điểm, vận tốc và gia tốc tức thời của quả nặng lần lượt là 20 cm/s và

2 3m / s2 . Tốc độ cực đại của quả nặng trong quá trình dao động bằng
Trang 14


A. 20,59 cm/s.

B. 0,785 m/s.

C. 0,765 m/s.

D. 0,529 m/s

Hướng dẫn giải:
Tần số góc:  

g

 5 2(rad / s)

Bài cho biết: v  20(cm / s)  0,2(m / s),a  2 3m / s2 .
Biên độ dao động: A 

1
a2
14
v2  2 
(m)


50

7
 0,529(m / s)
5

Tốc độ cực đại: v max  A 
Chọn D.

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hịa, khi vật có li độ 4 cm thì vận tốc là

30 cm / s , cịn khi vật có li độ 3 cm thì vận tốc là 40 cm / s. Biên độ và tần
số của dao động bằng

Lưu ý: bài toán cho vận tốc
và gia tốc thường chưa đồng
nhất đơn vị, vận tốc thường

A. A = 5cm, f = 5Hz.

B. A = 12cm, f = 12Hz.

cho đơn vị cm/s và gia tốc

C. A = 12cm, f = 10Hz.

D. A = 10cm, f = 10Hz.

cho đơn vị m/s2 các em cần

Hướng dẫn giải:

lưu ý đổi đơn vị cho đồng

Bài cho biết:

nhất.

Ở thời điểm t1: x1  4(cm),v1  30(cm / s).

Mẹo: trong quá trình làm

Ở thời điểm t2: x2  3(cm),v 2  40(cm / s).
2

Liên hệ giữa x và v:

2

x
v

1
2
A  A  2

(1)

bài, các em khơng nên làm
trịn kết quả sớm mà chỉ nên
làm tròn kết quả cuối cùng
để tránh ra đáp án sai. Khi

Thay các giá trị x và v ở hai thời điểm vào (1) ta có hệ phương trình:

bấm máy tính nên bấm liên

 42  30 2
 2
1  1  1
2
 2 25
A

 A 
A  5
A  5
A  5
A









2
1
1
A  50   10 f  5

 32  40 


2
2


1
2500

 A2
  A 
2
 A 


tục.
Lưu ý: Bài toán cho biết các
đại lượng ở hai thời điểm ta
lập hệ phương trình để tìm
các ẩn.

Chọn A.
Ví dụ 5*: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox. Cho ba điểm
M, I, N trên Ox với I là trung điểm của đoạn MN. Gia tốc của chất điểm khi
ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s2 và 10 cm/s2. Gia tốc chuyển động
của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là
A. 15 cm/s2.

B. 30 cm/s2.

C. 5 cm/s2.

D. 0 cm/s2.
Trang 15


Hướng dẫn giải:
Bài cho biết và hỏi gia tốc tại các vị trí. Liên hệ giữa gia tốc và li độ: Chú ý: Bài cho biết vị trí
các điểm, hỏi gia tốc, ta cần

a  2x

tìm biểu thức liên hệ giữa li

Tại M: a M  20(cm / s2 )  2 x M

độ của chúng từ đó suy ra

Tại I: a I  10(cm / s )   x I
2

2

I là trung điểm của MN: x I 

biểu thức liên hệ về gia tốc
và ngược lại.

xM  xN

 x N  2x I  x M
2

Nhân cả hai vế với 2 :



 

2 x N  2 2 x I  2 x M



 a N  2a I  a M
Thay số: a N  2.10  20  0  cm / s2  .
Chọn D.
Bài tập tự luyện
Bài tập cơ bản
Câu 1: Khi một vật dao động điều hịa thì
A. Vận tốc và li độ cùng pha.

B. Gia tốc và li độ cùng pha.

C. Gia tốc và vận tốc cùng pha.

D. Gia tốc và li độ ngược pha.

Câu 2: Gia tốc tức thời trong dao động điều hòa biến đổi
A. Cùng pha với li độ.

B. Ngược pha với li độ.

C. Lệch pha vng góc so với li độ.

D. Lệch pha


so với li độ.
4

Câu 3: Trong dao động điều hòa, đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ vào vận tốc có dạng một đường
A. Hypebol.

B. Parabol.

C. Thẳng.

D. Elipse.

Câu 4: Xét một vật dao động điều hịa với biên độ A, tần số góc  . Hệ thức nào sau đây là không đúng
cho mối liên hệ giữa tốc độ v và gia tốc a trong dao động điều hồ đó?


a2 
A. v 2  2  A 2  4  .
 

C. 2 

B. A 2 

A2  a 2
.
v2

v2 a2
 .
2 4

D. a 2  4 A2  v 22 .

Câu 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ 6cm, tần số góc 4 rad / s. Tốc độ của vật tại điểm cách vị
trí cân bằng một đoạn 2 cm bằng
A. 6 12cm / s.

B. 22 cm/s.

C. 16 2cm / s.

D. 16 cm / s.

Câu 6: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 1,5 cm. Vật nhỏ của
con lắc có khối lượng 50g, lị xo có độ cứng 20 N/m. Khi vật nhỏ có vận tố
c 18 cm/s thì gia tốc
chuyển động của vật có độ lớn là
A. 24 m/s2.

B. 2,4 m/s2.

C. 4,8 m/s2.

D. 48 m/s2.
Trang 16


Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa tại một nơi có g  10m / s2 , chiều dài dây treo bằng 1,6m với
biên độ góc 0,1 rad/s thì khi đi qua vị trí có li độ góc
A. 10 3cm / s.

B. 20 2cm / s.

o
vận tốc có độ lớn bằng
2

C. 20 3cm / s.

D. 20 cm / s.

Câu 8: Một con lắc lò xo thực hiện dao động điều hòa với biên độ A dọc theo trục Ox. Tại vị trí có li độ
x1 thì độ lớn vận tốc vật là v1, tại vị trí có li độ x2 thì vận tốc vật là v2 có độ lớn được tính:
A. v 2 

1
v1

A 2  x 22
.
A 2  x12

1
C. v 2 
2v1

A 2  x 22
.
A 2  x12

B. v 2  v1

A 2  x12
.
A 2  x 22

D. v 2  v1

A 2  x 22
.
A 2  x12

Câu 9: Một con lắc lị xo gồm lị xo nhẹ có độ cứng 50 N/m và vật nhỏ có khối lượng 2kg, dao động điều
hòa trên phương ngang. Tại một thời điểm, khi gia tốc của vật bằng 75 cm/s2 thì vận tốc của vật bằng
15 3(cm / s). Biên độ dao động của vật bằng

A. 5 cm.

B. 6 cm.

C. 9 cm.

D. 10 cm.

Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được
100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc
độ là 40 3cm / s. Lấy   3,14. Biên độ dao động của chất điểm bằng
B. 2 2cm.

A. 4 cm.

D. 2 3cm.

C. 3 cm.

Bài tập nâng cao
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng. Gia tốc của chất điểm khi ngang qua vị
trí M và N lần lượt bằng 30 cm/s2 và 70 cm/s2. Khi đi ngang qua trung điểm I của đoạn MN, gia tốc
chuyển động của chất điểm bằng
A. 30 cm/s2.

B. 40 cm/s2.

C. 50 cm/s2.

D. 26 cm/s2.

Câu 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng, khi đi qua M và N trên đoạn thẳng đó
chất điểm có gia tốc lần lượt là aM = 2m/s2 và aN = 4 m/s2. C là một điểm trên đoạn MN và CM = 4 CN.
Gia tốc của chất điểm khi đi qua C bằng
A. 2,5 m/s2.

B. 3 m/s2.

C. 3,6 m/s2.

D. 3,5 m/s2.

ĐÁP ÁN
A. Viết phương trình dao động điều hịa
1-A

2-D

3-D

4-C

5-B

6-B

8-B

9-D

10-A

11-B

12-A

13-B

7-A

B. Quan hệ độc lập thời gian trong dao động điều hòa
1-D

2-B

3-D

4-C

5-C

6-C

7-C

8-D

9-B

10-A

11-C

12-C

Trang 17