GK1 TOAN 9 2020 2021 THCS CAU GIAY QUAN CAU GIAY HN TOAN THCS VN

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY
ĐỀ KIỂM TRAGIỮA HỌC KÌ I
NĂM HỌC 2020-2021. MƠN: TỐN 9
Bài 1:

(2 điểm) Tính giá trị biểu thức

(

)

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

B=

A = 2 6 − 4 3 + 5 2 .3 6

C = 48 − 10 7 + 4 3 + 2 + 3
Bài 2:

(1,5 điểm) Giải các phương trình sau
a)
b)

x −3 x −4 = 0
2x −1 + x −1 = 5

(x

x2 + 2 x + 7 = 3

2

+ 1) . ( x + 3)

c)
x +7
x −1

A=
Bài 3:

(2,5 điểm) Cho biểu thức:
a) Tính giá trị của
b) Rút gọn

A

biết

và

với

x ≥ 0 x ≠1
,

x =9+4 2

B

c) Tìm các giá trị nguyên của
Bài 4:

1
3
x+8
+
+
x + 2 1− x x + x − 2

B=

x

để biểu thức

P = A.B

có giá trị nguyên

(3,5 điểm)

8,5 m
1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài
xấp xỉ

2. Cho

38°

. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc

. Tính chiều cao của cột đèn ? (Kết quả làm trịn đến 1 chữ số thập phân)

∆ABC

nhọn có

cắt đường thẳng

AH

tại

·ABC = 60°

D

. Gọi

E

, đường cao
và

F

AH

. Đường thẳng qua

lần lượt là hình chiếu của

H

C

vng góc với

trên

AC

và

CD

AC

.

AH = 3cm AC = 5 cm
HC HD CD
a) Nếu
,
. Tính độ dài các đoạn thẳng

,
,
?

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:1.


b) Chứng minh rằng

CF .CD = CE.CA

.

AB + BC = 8 cm
c) Biết

, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

a , b, c
Bài 5:

(0,5 điểm) Cho

là các số thực dương thỏa mãn:

P=

ABC

.

ab + bc + ca = abc

. Tìm giá trị lớn nhất

a
b
c
+
+
bc ( a + 1) ca ( b + 1) ab ( c + 1)

của biểu thức:

.
 HẾT 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1:

(2 điểm) Tính giá trị biểu thức

(

)

A = 2 6 − 4 3 + 5 2 .3 6

B=

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

C = 48 − 10 7 + 4 3 + 2 + 3
Lời giải

(

)

A = 2 6 − 4 3 + 5 2 .3 6
A = 2 6.3 6 − 4 3.3 6 + 5 2.3 6
A = 36 − 12 18 + 15 12

A = 36 − 12 32.2 + 15 22.3
A = 36 − 12.3 2 + 15.2 3 = 36 − 36 2 + 30 3

B=

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

B=

( 2 − 3) + ( 2 + 3)
( 2 + 3 ) .( 2 − 3 ) ( 2 − 3 ) .( 2 + 3 )

B=

( 2 − 3)

2

2

+

2

( 2 + 3)

2

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:2.


B = 2− 3 + 2+ 3
B = 2− 3 +2+ 3 = 4

C = 48 − 10 7 + 4 3 + 2 + 3

C = 48 − 10

( 2 + 3)

2

+2+ 3

C = 48 − 10. 2 + 3 + 2 + 3

C = 48 − 20 − 10 3 + 2 + 3
C = 28 − 10 3 + 2 + 3

C=

( 5 − 3)

2

+ 2+ 3

C = 5− 3 + 2+ 3 = 5− 3 + 2+ 3 = 7
Bài 2:

(1,5 điểm) Giải các phương trình sau
a)

x −3 x −4 = 0
2x −1 + x −1 = 5

b)

x2 + 2 x + 7 = 3

(x

2

+ 1) . ( x + 3)

c)
Lời giải
a)

x −3 x −4 = 0

(điều kiện:

x≥0

)

⇔ x+ x −4 x −4=0

(

) (

)

⇔ x+ x − 4 x +4 =0
⇔

x.

(

) (

x +1 − 4

)

x +1 = 0

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:3.


⇔

(

)(

x −4 .

⇔

x −4=0

⇔

x =4

⇔ x = 16

)

x +1 = 0
x +1 > 0

(do

2x −1 + x −1 = 5

⇔(

x≥0

)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm
b)

với mọi

2x −1 + x −1

)

⇔ 2 x − 1 + x − 1 + 2.

x = 16

(điều kiện:

2

x ≥1

)

= 52

( 2 x − 1) . ( x − 1)

= 25

2
⇔ 3x − 2 + 2. 2 x − 3x + 1 = 25

2
⇔ 2. 2 x − 3x + 1 = 27 − 3 x

(điều kiện:

x≤9

)

⇔ 8 x 2 − 12 x + 4 = 9 x 2 − 162 x + 729
⇔ x 2 − 150 x + 725 = 0
⇔ x 2 − 5 x − 145 x + 725 = 0
⇔ ( x − 5 ) . ( x − 145 ) = 0
⇔ x −5 = 0
⇔ x=5

(do đk

x≤9

(thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm

x2 + 2 x + 7 = 3

(x

2

x − 145 < 0

1≤ x ≤ 9
x=5

(điều kiện:

(x

2

+ 1) + 2 ( x + 3) − 3

(x

2

)

)

+ 1) . ( x + 3)

c)

⇔

nên

x ≥ −3

)

+ 1) . ( x + 3 ) = 0

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:4.


⇔

(x

+ 1) −

x2 + 1

⇔

⇔

2

(

(

(x

2

+ 1) . ( x + 3) + 2 ( x + 3) −

)

x2 + 1 − x + 3 + 2 x + 3

)(

x2 + 1 − 2 x + 3 .

Trường hợp 1:

(x

2

+ 1) . ( x + 3 ) = 0

)

(

x + 3 − x2 + 1 = 0

)

x2 +1 − x + 3 = 0

x2 + 1 − 2 x + 3 = 0

⇔ x 2 + 1 = 2 x + 3 ⇔ x 2 + 1 = 4 x + 12 ⇔ x 2 − 4 x − 11 = 0
2

⇔ x 2 − 4 x − 11 = 0 ⇔ x 2 − 4 x = 11 ⇔ x − 4 x + 4 = 15 ⇔ ( x − 2 ) = 15
2

Ta có

⇔ x = 2 ± 15

Trường hợp 2:

(thỏa mãn điều kiện)

x2 + 1 − x + 3 = 0 ⇔

⇔ ( x − 2 ) . ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1

hoặc

x2 + 1 = x + 3 ⇔ x2 + 1 = x + 3 ⇔ x2 − x − 2 = 0

x=2

(thỏa mãn điều kiện)

{

S = 2 − 15; −1; 2; 2 + 15
Kết hợp với điều kiện ta được phương trình có tập nghiệm
A=
Bài 3:

(2,5 điểm) Cho biểu thức:
a) Tính giá trị của
b) Rút gọn

A

biết

x +7
x −1

1
3
x+8
+
+
x + 2 1− x x + x − 2

B=
và

với

}

.

x ≥ 0 x ≠1
,

x =9+4 2

B

c) Tìm các giá trị nguyên của

x

để biểu thức

P = A.B

có giá trị nguyên

Lời giải

(

)

x = 9 + 4 2 = 8 + 2.2 2.1 + 1 = 2 2 + 1
a) Ta có:
⇒ x=

(

)

2 2 +1

2

2

= 2 2 +1
, thay vào biểu thức

(thoả mãn điều kiện)

A

, ta có:

TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:5.


A=

Vậy

(

x =9+4 2

1
3
x+8
+

+
x + 2 1− x x + x − 2

B=

=

1
3
−
+
x +2
x −1

(

x +2

(

)(

x +2

3

−

)

(

x +2

(

x +2

(

)(

)(
)

x −1

x +2

)(

Mà

)

x −1

x +2

)(

)

) (

x −1

x +8
x +2

)(

)

x −1

)

x −1

)

=

(

x − 2 x +1
x +2

)(

, để

thì

)

x −1

x −1
x +2

)

x −1 =

x + 7 x −1
.
=
x −1 x + 2

P ∈¢

⇒

x +7
5
= 1+
x +2
x +2

5
∈¢
⇒ 5M x + 2 ⇒ x + 2 ∈ Ö ( 5 ) ⇒ x + 2 ∈ { ±1; ±5}
x +2

x ≥ 0 x ≠1
với
,

x +2 =5⇒ x =3 ⇒ x =9

x=9

+

2

x +2≥2

Do đó:
Vậy

x ∈¢

(

x +2

x −1

c) Ta có:

Ta có:

)(

x + 2 + x +8

P = A.B =

Bài 4:

(

) (

x −1

(

x+8

x −1− 3 x − 6 + x + 8

=

=

x −1

x −1 − 3

=

A = 2 2 +1

, thì

x ≥ 0 x ≠1
,
ta có:

b) Với

=

)

2 2 + 1 + 7 2 2 + 8 2 2. 2 2 + 1
=
=
= 2 2 +1
2 2 + 1 −1
2 2
2 2

P = A.B

(thoả mãn)

có giá trị ngun.

(3,5 điểm)

TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:6.


8,5 m
1. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài
xấp xỉ

38°

. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc

. Tính chiều cao của cột đèn ? (Kết quả làm tròn đến 1 chữ số thập phân)
Lời giải

Hình vẽ minh hoạ bài tốn

AB

µ
B

: bóng của cột đèn trên mặt đất

: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất

AC

Xét

: Chiều cao của cột đèn

∆ABC

vuông tại

AC = AB.tan B

A

, ta có:

(quan hệ giữa góc và cạnh tam giác vuông)

AC = 8,3.tan 38° ≈ 6, 6 ( m)
6,6 m
Vậy chiều cao của cột đèn là
2. Cho

∆ABC

·ABC = 60°

nhọn có

cắt đường thẳng

AH

.

tại

D

. Gọi

E

, đường cao
và

F

AH

C

. Đường thẳng qua

lần lượt là hình chiếu của

H

vng góc với

trên

AC

và

CD

AC

.

AH = 3cm AC = 5 cm
HC HD CD
a) Nếu
,
. Tính độ dài các đoạn thẳng
,
,
?
b) Chứng minh rằng

CF .CD = CE.CA

.

AB + BC = 8 cm
c) Biết

, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

ABC

.

Lời giải

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:7.


AH = 3cm AC = 5 cm
HC HD CD
a) Nếu
,
. Tính độ dài các đoạn thẳng
,
,
?
+) Xét

∆AHC

vng tại

AH 2 + HC 2 = AC 2

H

, đường cao

HE

ta có:

(định lý Py-ta-go)

⇒ HC 2 = AC 2 − AH 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16
⇒ HC = 4

(cm)

HC 2 = CE. AC
⇒ CE =

HC 2 42 16
=
= = 3, 2
AC
5
5

+) Xét tứ giác

⇒

(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vng)

tứ giác

HECF

HECF

có:

(cm)

·
·
·
HEC
= ECF
= HFC
= 90°

là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

⇒ HF = CE = 3, 2
(cm)
+) Xét

∆CHD

vng tại

1

1
1
=
+
2
2
HF
HC
HD 2
⇒

H

, đường cao

HF

ta có:

(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vng)

1
1
1
=
−
2
2
HD
HF

HC 2

TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:8.


42. ( 3, 2 )
HC 2 .HF 2
256
⇒ HD =
=
=
2
2
2
HC − HF
9
42 − ( 3, 2 )
2

2

⇒ HD =

256 16
= ≈ 5,3
9
3
(cm)

Có:

HF .CD = HC.HD

(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)

16
HC.HD
20
⇒ CD =
= 3 =
≈ 6, 7
16
HF
3
5
4.

b) Chứng minh rằng
+) Xét

∆AHC

+) Xét

∆CHD

Từ

( 2)
và

H

.

, đường cao

HE

ta có:

( 1)
(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)
vuông tại

HC 2 = CF .CD

( 1)

CF .CD = CE.CA

vuông tại

HC 2 = CE. AC

(cm)

H

, đường cao

HF

ta có:

( 2)
(quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)
⇒ CF .CD = CE.CA

(điều phải chứng minh)

AB + BC = 8 cm
c) Biết

, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
S ABC =

Ta có:
Vì

∆ABH

Do đó:

H

nên ta có

AH = AB.sin B

1
1
1 3
3
AB.BC.sin B = AB.BC.sin 60° = . . AB.BC =
AB.BC
2
2
2 2
4
2

Mặt khác

.

1
AH .BC
2

vuông tại

S ABC =

ABC

2

 AB + BC   8 
AB.BC ≤ 
÷ =  ÷ = 16
2

 2

AB = BC = 4 cm
Dấu “=” xảy ra khi

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:9.


3
.16 = 4 3 ( cm2 )
4

S ∆ABC ≤
Do đó:

max S∆ABC = 4 3 cm2
Vậy

khi

∆ABC

cân tại

B

.

a , b, c
Bài 5:

(0,5 điểm) Cho

là các số thực dương thỏa mãn:

P=

ab + bc + ca = abc

. Tìm giá trị lớn nhất

a
b
c
+
+
bc ( a + 1) ca ( b + 1) ab ( c + 1)

của biểu thức:

.
Lời giải

Ta có:
a
a
a
a
1
a
a
=
=
=
≤ 
+
bc ( a + 1) abc + bc ab + bc + ca + bc b ( a + c ) + c ( a + b ) 4  b ( a + c ) c ( a + b )


÷
÷


Tương tự ta chứng minh được:
b
1
b
b
≤ 
+
ac ( b + a ) 4  a ( b + c ) c ( a + b )



÷
÷


c
1
c
c
≤ 
+
ab ( c + 1) 4  b ( a + c ) a ( b + c )


÷
÷


P=

Do đó

a
b
c
1 a+c
b+c
a+b 
+
+
≤ 

+
+
÷
bc ( a + 1) ca ( b + 1) ab ( c + 1) 4  b ( a + c ) a ( b + c ) c ( a + b ) ÷


1  1 1 1  1 ab + bc + ca 1
⇔ P ≤  + + ÷= .
=
4a b c 4
abc
4
⇒ max P =

1
4

b ( a + c ) = c ( a + b ) = a ( b + c ) ⇔ ab + bc = ac + bc = ab + ac
Dấu bằng xảy ra khi
⇔ abc − ac = abc − ab = abc − bc
⇔ ab = bc = ca

mà

.

ab + bc + ca = abc ⇔ a = b = c = 3

 HẾT 

TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:10.


TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/

Trang:11.