Tiều Luận Xét tính khả vi của hàm nhiều biến (Giải Tích)

Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi học về hàm một biến số thì có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm số
khả vi. Tuy nhiên, khi mở rộng phạm vi trên hàm nhiều biến số thì điều này
khơng cịn đúng nữa, hàm số có các đạo hàm riêng chưa chắc hàm số đó khả
vi. Chính sự khác nhau này đã làm cho bài tốn xét tính khả vi của hàm nhiều
biến số trở nên khó khăn hơn. Việc xét tính khả vi của hàm nhiều biến thực
chất là ta đi tính các đạo hàm riêng và xét tính liên tục của chúng. Xét tính
liên tục thì cơng việc chính là tính giới hạn, tuy nhiên tính giới hạn của hàm
nhiều biến số thì khơng có phương pháp cụ thể. Hàm nhiều biến thường là
những hàm số phức tạp và rắc rối, vì thế việc tính đạo hàm của hàm nhiều
biến cũng phức tạp hơn hàm một biến; trong q trình tính đạo hàm riêng, ta
dễ bị nhầm lẫn giữa các biến với nhau. Do đó bài tốn xét tính khả vi rất
phong phú, đa dạng và cũng tương đối khó, địi hỏi hỏi nhiều kĩ năng tính
tốn và tư duy. Với mong muốn có thể hệ thống lại các dạng bài tập xét tính
khả vi của hàm nhiều để thuận tiện hơn trong việc dạy và học nên tôi chọn đề
tài “ Xét tính khả vi của hàm nhiều biến” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Đới tượng nghiên cứu
Tính khả vi trên hàm số nhiều biến.
3. Mục đích nghiên cứu
Nắm rõ các tính chất và định lý của hàm khả vi.
Giải các dạng bài tập về khả vi.
4. Phạm vi nghiên cứu
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chỉ nghiên cứu trên hàm số hai
biến. Hàm số ba biến trở lên ta có thể làm tương tự như hàm hai biến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dựa trên các kiến thức đã có và tìm kiếm các dạng bài tập ở trên thư
viện, sách, báo, Internet và trên các diễn đàn sinh viên.

SV. Hồ Văn Cường

Trang 1


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
PHẦN NỢI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Định nghĩa
Giả sử D là miền mở trong �2 , xét hàm số f : D � �2 .
Lấy P (x, y) � D và P’(x +  x, y +  y) � D
Vi phân của hàm số u = f (x, y) tại điểm P (x, y) là biểu thức dạng
du = A.  x+ B.  y

(1)

trong đó A và B khơng phụ thuộc vào  x,  y (nhưng nói chung phụ thuộc
vào x, y) và
u

du = o(  )

(2)

Khi  = x 2  y 2 � 0 với  u = f (x +  x, y +  y) f (x, y).
Như vây:

du: vi phân của u tại (x, y)

* Chú ý:
i) Hàm có vi phân được gọi là hàm khả vi.

ii) Hàm số f (x, y) khả vi tại điểm Mo thì nó liên tục tại điểm đó.
iii) Hàm số f (x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi
điểm của miền đó.
1.2. Tính chất
1.2.1. Định lý 1
Nếu hàm số u = f (x, y) có vi phân (khả vi) tại điểm P(x, y) � D thì tại
điểm này tồn tại các đạo hàm riêng của u và A =

SV. Hồ Văn Cường

�
u
�
u
và B =
, tức là:
�
y
�
x

Trang 2


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

u khả vi tại P(x, y)

D

Chứng minh:
Cho x số gia  x và giữ y khơng đởi, thế thì
P (x, y) � P’(x +  x, y +  y) � D.
Khi đó du = A. x (do  y = 0) và  u = du + o(  ) = A. x + o(  )
Từ đó

u
o(  )
=A+
.
x
x

Cho qua giới hạn khi x � 0 thì vế phải dần tới A, do đó vế trái tồn tại
giới hạn lim
x �0

u
=A
x

Tức là:

�
u
=A
�
x

Chứng minh tương tự ta thấy tồn tại đạo hàm riêng theo y và

�
u
= B.
�
y

* Chú ý:
i) Từ định lý trên, ta thấy vi phân của một hàm tại một điểm nếu tồn tại thì
duy nhất.
ii) Như ta đã biết hàm một biến số thì có đạo hàm đồng nghĩa với việc hàm
số khả vi và ngược lại hàm số khả vi tức là hàm số tồn tại đạo hàm. Tuy
nhiên, khi mở rộng phạm vi trên hàm nhiều biến số thì điều này khơng cịn
đúng nữa, hàm số có các đạo hàm riêng chưa chắc hàm số đó khả vi, ví dụ
dưới đây sẽ làm rõ điều này.
Ví du: Xét tính khả vi của hàm số u =
SV. Hồ Văn Cường

tai điểm (0,0).
Trang 3


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

Giải
Vì u = 0 trên cả hai trục Ox, Oy cho nên thấy ngay rằng tại điểm (0,0)
các đạo hàm riêng tồn tại và

u
u

= y = 0.
x

Giả sử tại điểm (0,0) tồn tại vi phân của hàm số u =

thì theo

định lý trên, ta có:
du 

�
u
�
u
.x  .y = 0
�
x
�
y

Mà  u du = o(  ), suy ra:  u = o(  )
Nhưng nếu lấy  x =  y
=
u

(3)

0 thì
x 2  y 2 =  x

du =  u = f(  x,  y) f(0,0) =  x

Suy ra:  = o(  u)
Điều đó mâu thuẫn với (3). Vậy hàm số đã cho không khả vi tại (0,0).
Tuy nhiên, định lý sau cho ta điều kiện đủ để một hàm hai biến số có
vi phân tại một điểm.
1.2.2. Định lý 2
Nếu tại điểm P (x, y)

D, các đạo hàm riêng �u và �u của hàm số
�
x

�
y

u = f (x, y) tồn tại và liên tục thì hàm số có vi phân (khả vi) tại điểm này.

SV. Hồ Văn Cường

Trang 4


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

du 

liên tục tại P (x, y)

SV. Hồ Văn Cường

�
u
�
u
.x  .y
�
x
�
y

tại P(x, y)

Trang 5


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

Chứng minh:
Đặt  = x 2  y 2 và du 

�
u
�
u
.x  .y .
�
x
�
y

Ta phải chứng minh rằng  u du = o(  ) khi 
Trước hết lưu ý rằng giả thuyết

0.

u u
,
liên tục tại điểm P(x, y)
x y

D

có nghĩa là chúng tồn tại trong lân cận của điểm P. Ta có:
 u = f (x +  x, y+  y)

= [ f (x +  x, y+  y)

f (x, y)
f (x, y +  y) ] + [ f (x, y +  y)

f (x, y) ].

(4)

Trong dấu ngoặc thứ nhất, đối số thứ hai được giữ không đởi và bằng
y +  y, cịn đối số thứ nhất thì dịch chuyển so với x một số gia  x. Với
│  x│, │  y│đủ nhỏ thì các điểm (x, y +  y) và (x +  x, y +  y) nằm trong
lân cận tồn tại các đạo hàm riêng

u u
,
. Khi đó ta có thể áp dụng định lý
x y

số gia giới nội Lagrange đối với biến số x và có
f(x +  x, y +  y)

f (x, y +  y) = f ’x (x +

1

 x, y +  y)  x

(0<

1

<1).

Hoàn toàn tương tự, đối với hiệu nằm trong dấu ngoặc thứ hai ta có:
f (x, y +  y)

f (x, y) = f ’y (x , y +

2

 y)  y

(0<

<1).

2

Khi đó đẳng thức (4) có thể viết:
 u = f ’x (x +

1

x, y +  y)  x + f ’y (x , y +

2

y)  y

Và do đó:
u

du = [f ’x(x +

1

 x, y +  y) f ’x(x, y) ]  x +[f ’y(x , y +

2

 y)

f ’y(x, y)]  y

Vì │  x│  , │  y│  nên:
SV. Hồ Văn Cường

Trang 6


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
Vu  du


│f ’x (x +

1

 x, y +  y)

f ’x (x, y)│+ │f ’y (x, y +

2

 y)

f ’y (x, y)│

Vì f ’x (x, y) và f ’y (x, y) liên tục tại điểm P (x, y) nên khi 
f ’x (x +

1

0 thì

x, y +  y) f ’x (x, y)

f ’y (x , y +

2

y) f ’y (x, y)

0

Do đó:
Vu  du
= 0 hay  u = du + o(  ).
 �0


lim

Điều đó chứng tỏ rằng du 

�
u
�
u
.x  .y là vi phân của hàm số
�
x
�

y

u = f(x, y) tại điểm P (x, y).
* Chú ý:
i) Nếu u = f (x, y) = x thì

= 1,

= 0 cho nên du = dx =  x.

Tương tự, nếu u = f (x, y) = y thì suy ra du = dx =  y.
Do đó ta ln có thể viết biểu thức vi phân của hàm số u = f (x, y) tại
điểm P (x, y) như sau:
du 

�
u
�
u
dx  dy .
�
x
�
y

ii) Khái niệm vi phân và các tính chất của nó dễ dàng mở rộng cho trường
hợp hàm số 3 (hoặc nhiều hơn 3) biến số:
 Vi phân của hàm số u = f (x, y, z) là biểu thức dạng
du = A.  x + B.  y + C.  z
trong đó A, B, C khơng phụ thuộc  x,  y,  z và thoả mãn điều kiện:

u

SV. Hồ Văn Cường

du = o(  ) khi  =

x 2  y 2  z 2

0.

Trang 7


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến


Nếu tại điểm P (x, y, z) vi phân của hàm số u = f (x, y, z) tồn tại thì tồn

tại các đạo hàm riêng

�
u
u u u
�
u
�
u
, y ,
tại điểm đó và A =
,B=

,C =
.
�
y
x
z
�
x
�
z

Hơn nữa dx =  x, dy =  y, dz =  z tức là du 

�
u
�
u
u
dx  dy 
dz .
�
x
�
y
z

Hàm số u = f (x, y, z) được gọi là khả vi tại điểm P (x, y, z) nếu tại
điểm đó nó có vi phân.
Nếu tồn tại các đạo hàm riêng liên tục của hàm số u = f (x, y, z) tại
điểm P (x, y, z) thì nó khả vi tại điểm đó.



Tởng qt cho hàm số u = f (x1, x2,..., xn). Vi phân tồn phần của hàm

số đó là:
�
u

�
u

�
u

du = df = �x dx1 + �x dx2 +...+ �x dxn
1
2
n
Nếu như ta nhận xét hàm số nói trên như là hàm số của một biến độc
lập xi (1< i < n) coi các biến cịn lại là hằng số thì vi phân của một biến tương
ứng được gọi là vi phân riêng của hàm số u = f (x1,x2,...,xn) theo biến xi. Vi
phân riêng này được kí hiệu và tính theo cơng thức:
�
u

dxi f = �x dxi
i
Ví du: Tính vi phân tồn phần của hàm số: z f (x, y) 

y 2x

.

Ta có:

Ta suy ra: dz df  3

z x' 3

y 2

zy' 

4xy

y 2

 dx 

4xy dy.

1.2.3. Tính chất
Cho f (x, y) và g (x, y) khả vi, tương tự như hàm một biến ta cũng có
một số tính chất sau:
SV. Hồ Văn Cường

Trang 8


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

d(cu) = cdu
d(u v) = du

dv

d(uv) = vdu + udv
u
v

d( ) =

vdu  udv
v2

1.2.4. Tính bất biến của dạng vi phân
Ta đã biết, nếu hàm số u = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục
và

�
u
�
x

�
u
với x , y là các biến độc lập thì ta có biểu thức vi phân
�
y
du 

�
u
�
u
dx  dy
�
x
�
y

(*)

Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp x , y là các hàm số của t , s
(tức là x   (t , s) và y   (t, s) ) với giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng liên tục
�
x �
x �
y �
y
;
;
; , biểu thức của hàm u  f ( x, y ) vẫn có dạng (*).
�
t �
s �
t �
s

Thật vậy, nếu x , y là các hàm số của t , s ta có
du 

�
u
�
u
dt  ds .
�
t
�
s

(**)

Mà ta lại có
�
u �
�
u
�
u �
x
y
=
+
�
y �
�
t
�
x �

t
t
�
u �
�
u
�
u �
x
y
=
+
�
y �
�
s
�
x �
s
s

Thay vào (**) ta được
du = (

=

�
u �
�
u �

�
u �
x
y
�
u �
x
y
+
) dt + (
+
) ds
�
y �
�
y �
�
x �
t
t
�
x �
s
s
�
u �
�
u �
x
�

x
y
�
y
ds ) +
ds )
( dt +
( dt +
�
y �
�
x �
t
�
s
t
�
s

Nhưng
SV. Hồ Văn Cường

Trang 9


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
�
x
�
x

dt +
ds = dx
�
t
�
s
�
y
�
y
dt +
ds = dy
�
t
�
s

Do đó
Ta có dạng của

du =

�
u
�
u
dy
dx +
�
y

�
x

biểu thức vi phân du

giống như (*), tức là giống như dạng vi phân du trong trường hợp x , y là các
biến độc lập. Điều này chứng tỏ tính bất biến của dạng vi phân.

SV. Hồ Văn Cường

Trang 10


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

Chương 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP
Bài tập về tính khả vi của hàm nhiều biến địi hỏi nhiều kĩ năng tính
tốn và tư duy. Muốn giải tốt dạng bài tập này ta cần nắm rõ các định lý và
tính chất của hàm khả vi, các cơng thức tính đạo hàm, các kỹ thuật tính giới
hạn. Tuỳ vào từng bài mà ta linh hoạt, nhạy bén xử lý khơng nên máy móc, tư
duy theo một hướng, rập khuôn cách giải.
2.1. Tính vi phân
Trước khi làm bài tập dạng này, ta sẽ nhắc lại công thức tính vi phân
tồn phần của hàm hai biến số u = f (x, y) tại điểm P(x, y) như sau:
du 

�
u
�
u

dx  dy
�
x
�
y

Bài tập 1: Tính vi phân tồn phần của các hàm số sau:
a) z = x3 + y3 3xy(2x y)
b) z =

3y

c) z =
d) z = x 1  y 2
e) z =

+

Giải
a) z = x3 + y3 3xy(2x y)
Ta có:
= 3x2 12xy+ 3y2
SV. Hồ Văn Cường

Trang 11


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
= 3y2 + 6xy 6x2
Suy ra: dz =

dx +

dy = (3x2 12xy + 3y)dx + (3y2 + 6xy 6x2)dy

= 3(x2 4xy + y)dx + 3(y2 +2xy 2x2)dy
b) z =

3y
z = y2 x 3 2

Ta có:
= y2 x

Do đó:

1

2

3y x

1

3y x 2 3
3

=

y2

2y

= 2 y x3  3 3 x 2
Suy ra: dz =

dx +

dy = ( y2

2y

)dx + ( 2 y x 3  3 3 x 2 )dy

c) z =
Ta có:
=
 ( x 2  xy  y 2 ) x 1 y   (2x  y ) x y 
=
( x 2  xy  y 2 )2

=
 y  1 x ( x 2  xy  y 2 )  (2 y  x) x y 
=
( x 2  xy  y 2 )2

SV. Hồ Văn Cường

Trang 12

Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
Suy ra:
dz =

dx +

dy

 ( x 2  xy  y 2 ) x 1 y   (2x  y ) x y 
 y  1 x ( x 2  xy  y 2 )  (2 y  x) x y 
=
dx +
( x 2  xy  y 2 )2
( x 2  xy  y 2 )2

dy
x 1 y  [ ( x 2  xy  y 2 )  x(2x  y )]
x y  1[  ( x 2  xy  y 2 )  y (2 y  x)]
=
dx +
dy
( x 2  xy  y 2 ) 2
( x 2  xy  y 2 )2
x 1 y  1
2
2
2
2
= 2

2 2 [ ((  2) x  (1   ) xy   y ) dx + (  x  (1   ) xy  (   2) y ) dy]
( x  xy  y )

d) z = x 1  y 2
Ta có:
= 1 y2
= x
Suy ra: dz =

e) z =

dx +

y
1 y2

dy = 1  y 2 dx + x

y
1 y2

dy

+
Ta có:
=

+

=

+

SV. Hồ Văn Cường

.

.

Trang 13


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

+

=

+

=

(

+

)

+

=

=

+

=

+

=

+

=

( +

.

.

.

)

Suy ra:
dz =

=

dx +

dy

(

SV. Hồ Văn Cường

+

)dx +

+

)dy

Trang 14


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

[(

+

)dx + ( +

)dy]

Bài tập 2: Tính vi phân tồn phần của các hàm số sau:
a) z =
b) z =

c) z =
x

y

d) z = e y  e x
e) z =
f) z = lntg

y
x

g) z = ln sin

xa
y

h) z = ln [x

]

Giải

a) z =
Ta có:
z=

lnz =

lnx

(*)

Ta đạo hàm (*) vế theo vế được:
=(

SV. Hồ Văn Cường

lnx)

=z

hay

=

Trang 15


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
Do đó:
=

(y

=

(

ln2x)

dx +

dy =

Suy ra: dz =

lnx +

)=

(ylnx + 1)

(ylnx + 1)dx +

(

ln2x)dy

(ylnx + 1) dx + ln2x dy]

=
b) z =

=

.

Tương tự câu a) ta có:
z=

lnz = ln

(*)

Ta đạo hàm theo biến y (*) vế theo vế được:
=
Hay

=z
=

Khi đó:
=

Suy ra: dz =
=

SV. Hồ Văn Cường

dx +
.

dy

+

Trang 16


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

[

+

]

c) z =
Ta có:
=

=

=

=
Suy ra:
dz =

dx +

dy

=

+
x

d) z = e y  e

y
x

Ta có:
=

=
SV. Hồ Văn Cường

.

+

.

+

.

=

.

+

=

Trang 17


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

Suy ra: dz =

dx +

dy = (

+

)dx + (

)dy

e) z =
Ta có:
=

=

=

Suy ra: dz =

dx +

=

[

f) z = lntg

dy =

+

]

y
x

Ta có:

Suy ra: dz =

=

SV. Hồ Văn Cường

=

=

=

=

dx +

=

=

=

=

dy

dx +

dy

Trang 18


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

g) z = ln sin

[

dx + dy]

xa
y

Ta có:

=

=

. cot

=

=

Suy ra: dz =

dx +

=

. cot

dx

.cot

=

. cot

[ dx

dy ]

h) z = ln [x

.cot

dy

dy

]

Ta có:
=

SV. Hồ Văn Cường

Trang 19


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

=

=

=

=

Suy ra: dz =

dx +

dy

=

dx +

=

[(

dy

+(

]

Bài tập 3: Tính vi phân tồn phần của các hàm số sau:

a) z = arctg

x y
x y

b) z = sin . cos

SV. Hồ Văn Cường

Trang 20


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
c) z =

(cos y + xsin y)

d) z =
Giải
a) z = arctg

x y
x y

Ta có:
2 y
2 y
y
( x  y)2
2

2
2
= 1  ( x  y ) 2 = ( x  y)  ( x  y ) = ( x  y 2 )
x y

=

2x
2x
x
( x  y )2
2
2
2
= 1  ( x  y )2 = ( x  y)  ( x  y ) = ( x  y 2 )
x y

=

Suy ra: dz =

dx +

dy =
=

y
x
dy
2 dx +

2
(x  y )
(x  y2 )
2

1
(x  y2 )
2

[ ydx + xdy]

b) z = sin . cos
Ta có:
=

cos cos +

=

cos cos

sin sin

sin sin

Suy ra:
SV. Hồ Văn Cường

Trang 21

Xét tính khả vi của hàm nhiều biến
dz =

dx +

dy

= ( cos cos +
c) z =

sin sin )dx + (

cos cos

sin sin )dy

(cosy + xsiny)
Ta có:
=

.(cosy + xsiny) +

=

(cosy + xsiny) +

siny

=

(cosy + xsiny + siny)

=

.(cosy + xsiny) +

= ( siny + xcosy)
Suy ra: dz =

dx +

dy

=

(cosy + xsiny + siny)dx + (

siny + xcosy)

=

[(cosy + xsiny + siny)dx + (

siny + xcosy)

]

d) z =
Ta có:

=

=
SV. Hồ Văn Cường

Trang 22


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

=

=
Suy ra:
dz =

dx +

dy

=

+

Nhận xét:
Thực chất bài tốn tính vi phân của hàm nhiều biến chính là việc tính các
đạo hàm riêng của hàm số đó. Mà tính đạo hàm hàm riêng thì tương tự như
tính đạo hàm của hàm một biến. Vì vậy, ta cần nắm rõ và sử dụng nhuần
nhuyễn các cơng thức tính đạo hàm của hàm một biến, và làm đơn giản các
biểu thức trước khi lấy đạo nếu có thể, điều này giúp việc tính đạo hàm sẽ dễ

hơn, giảm những sai sót trong khi tính tốn.

SV. Hồ Văn Cường

Trang 23


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

2.2. Xét tính khả vi
Trước khi làm bài tập dạng này, ta nên lưu ý khi tính fx’(xo, yo) hoặc
fy’(xo, yo), nếu khi thế (xo, yo) vào fx’ hoặc fy’ mà rơi vào dạng vơ định khơng
tính ra số cụ thể được thì ta có thể dùng định nghĩa đạo hàm để tính.
f ’x(xo, yo) =

f ’y(xo, yo) =

Cơng thức này có thể sử dụng khi fx’ hoặc fy’ tại điểm P(xo, yo) khơng
tồn tại hoặc việc tính đạo hàm trở nên phức tạp và khó khăn. Như vậy, ta có
thể tính được fx’ hoặc fy’ tại điểm P(xo, yo) mà không cần đi tính các đạo hàm
riêng nếu ta khơng cần dùng các đạo hàm riêng đó. Điều này, sẽ giúp ta tiết
kiệm được thời gian và hạn chế sai sót trong việc tính các đạo hàm riêng.
Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số f (x, y) = x

khả vi tại điểm

(0,0).
Giải
f

’x =

+

f ’y =
Bây giờ, ta xét tính liên tục của các đạo hàm riêng:
 Đặt g(x, y) =

SV. Hồ Văn Cường

+

Trang 24


Xét tính khả vi của hàm nhiều biến

g(0,0) = f ’x(0,0) =

=

=

│

=0

Ta có:
+

g(x, y) =

(vì 0

│

│ │

Suy ra g(0,0) =

│= │x│ 0 suy ra

=0

= 0 và

= 0)

g(x, y) = 0

Hay f ’x liên tục tại điểm (0,0).
 Đặt h(x, y) =

h(0,0) = f ’y(0,0) =

=

=0

Ta có:

h(x, y) =

(vì 0

│

│ │

Suy ra h(0,0) =

│ = │x│

0 suy ra

=0

= 0)

h(x, y) = 0

Hay f ’y liên tục tại điểm (0,0).

SV. Hồ Văn Cường

Trang 25