Ảnh hưởng của mở rộng doppler lên vận tốc nhóm ánh sáng trong môi trường eit ba mức cấu hình lambda

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ THANH NGÂN

ẢNH HƢỞNG CỦA MỞ RỘNG DOPPLER
LÊN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MƠI TRƢỜNG EIT BA MỨC
CẤU HÌNH LAMBDA

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGHỆ AN - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ THANH NGÂN

ẢNH HƢỞNG CỦA MỞ RỘNG DOPPLER
LÊN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MƠI TRƢỜNG EIT BA MỨC
CẤU HÌNH LAMBDA
Chun ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. NGUYỄN HUY BẰNG

NGHỆ AN – 2017


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Ngành Vật lí
và Phịng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện tốt nhất
để chúng tôi học tập và nghiên cứu khoa học trong suốt khóa học.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS.
Nguyễn Huy Bằng, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để giúp tơi hồn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tơi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Vinh đã giảng dạy
và truyền thụ những kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm nền tảng cốt lõi và bổ
ích; xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Lê Văn Đoài và các anh chị nghiên
cứu sinh Lê Thị Minh Phương và Nguyễn Tuấn Anh đã có nhiều ý kiến đóng góp
q báu cho tơi trong q trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến ba mẹ và bạn bè đồng nghiệp
đã luôn ủng hộ, tạo điều kiện giúp đỡ và động viên tơi vượt qua những khó khăn
trong q trình học tập.
TP.HCM, tháng 06 năm 2017

Tác giả


MỤC LỤC
Mở đầu .............................................................................................................. 1
Chƣơng 1. Lý thuyết lan truyền ánh sáng trong môi trƣờng ......................... 5
1.1. Sự dao động của ngun tử theo mơ hình cổ điển .............................. 5
1.2. Các phƣơng trình Maxwell và các tính chất của mơi trƣờng ............ 6

1.3. Mơ hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính ........................................ 7
1.4. Vận tốc pha và vận tốc nhóm ............................................................... 9
1.4.1. Phương trình sóng và chiết suất phức .................................................. 9
1.4.2. Vận tốc pha ....................................................................................... 12
1.4.3. Vận tốc nhóm .................................................................................... 12
1.5. Xung quang học lan truyền trong môi trƣờng cộng hƣởng ............. 13
1.6. Mở rộng Doppler của vạch phổ ......................................................... 17
Kết luận chƣơng 1 .......................................................................................... 19
Chƣơng 2. Ảnh hƣởng của mở rộng Doppler lên vận tốc nhóm ánh sáng .. 20
2.1. Phƣơng trình ma trận mật độ cho h nguy n tử a mức ................. 20
2.1.1. Phương trình ma trận mật độ ............................................................. 20
2.1.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một ................ 25
2.2. Độ cảm đi n của mơi trƣờng khi chƣa có mở rộng Doppler ............ 27
2.3. H số hấp thụ và h số tán s c khi chƣa có mở rộng Doppler .......... 29
2.4. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm khi chƣa có mở rộng Doppler.... 32
2.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm khi có mở rộng Doppler ............. 33
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................ 43
Kết luận chung ............................................................................................... 44
Bảng số li u ..................................................................................................... 45
Tài li u tham khảo ......................................................................................... 46


1

MỞ ĐẦU
Nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng nhanh và ánh sánh chậm của xung ánh
sáng trong các hệ môi trường đã được nghiên cứu trong thế kỷ 20 và được phát
triển mạnh ở đầu thế kỷ 21 do chúng có nhiều ứng dụng hữu ích trong cơng
nghệ lưu trữ và thông tin truyền thông [1]. Trong môi trường tán sắc, các sóng
đơn sắc sẽ lan truyền với các vận tốc khác nhau. Mỗi sóng đơn sắc lan truyền

với vận tốc pha vp của nó, cịn xung thì lan truyền với vận tốc gọi là vận tốc
nhóm vg. Nghĩa là, vận tốc nhóm là vận tốc truyền năng lượng (mang thơng tin)
được liên hệ với vectơ Poynting S , cịn vận tốc pha liên hệ với vectơ sóng k .
Như vậy, chúng ta nói “ánh sáng nhanh hay chậm” là tùy thuộc vào giá trị của
vận tốc nhóm vg so với vận tốc ánh sáng trong chân không c.
Về mặt toán học, vận tốc pha được định nghĩa theo hệ thức v p 

c
, với
n( )

n( ) là chiết suất pha. Tương tự, vận tốc nhóm được định nghĩa ởi vg 

ng  n( )  

c
, với
ng

dn( )
là chiết suất nhóm. Như vậy, vận tốc nhóm sẽ phụ thuộc vào
d

độ tán sắc của vật liệu

dn( )
. Trong miền tán sắc thường có độ tán sắc lớn và
d

dương do đó vg < c, tức là miền của ánh sáng chậm, cịn trong miền tán sắc dị

thường có độ tán sắc âm nên vg > c hay vg < 0, đây là miền của ánh sáng nhanh.
Đối với vật liệu truyền thống, vì đường cong tán sắc biến thiên nhanh
trong miền cộng hưởng nên có độ tán sắc lớn. Tuy nhiên, các thiết bị quang tử
hoạt động trong miền cộng hưởng sẽ gặp bất lợi là sự hấp thụ mạnh làm suy hao
tín hiệu và gây nên các hiệu ứng nhiệt không mong muốn. Hơn nữa, do độ tán
sắc không thay đổi được nên thực tế vận tốc nhóm ánh sáng không thể điều
khiển.
Hiện nay, sự khám phá về hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (EIT)
không chỉ làm triệt tiêu hấp thụ mà cịn tạo ra các mơi trường có độ tán sắc cực


2

lớn và dương trong lân cận tần số cộng hưởng nguyên tử. Hơn nữa, độ lớn và
dấu của tán sắc của mơi trường đối với một chùm ánh sáng hồn toàn được điều
khiển bởi chùm ánh sáng khác. Đây là cơ sở để điều khiển và làm chậm ánh sáng.
ử dụng kĩ thuật EIT, Hau và cộng sự đã quan sát ánh sáng được làm
chậm tới 17 m/s trong môi trường ngưng tụ Bose-Einstein của nguyên tử Na a
mức cấu hình lambda ở nhiệt độ cỡ nK [2]. Sau đó, Kash và đ ng nghiệp [3 đã
làm chậm ánh sáng tới 90 m/s trong hơi nguyên tử Rb ở nhiệt độ phịng, Budker
[4] đã cải tiến thí nghiệm của Kash sau đó và ánh sáng đã được làm chậm tới 8
m/s. Và gần đây nhất, một nhóm như C.Liu và đ ng nghiệp đã làm dừng lại hoàn
toàn một xung ánh sáng [5]. Trong các thí nghiệm của họ, thơng tin được mang
bởi ánh sáng đã được lưu trữ tạm thời trong môi trường tán sắc, cho phép các
nhà nghiên cứu tạo ra sau đó các xung ánh sáng mang thơng tin giống nhau với
các mất mát rất nhỏ. Ngồi các mơi trường khí ngun tử, một số nhóm đã
nghiên cứu làm chậm ánh sáng trong các vật liệu khác như như sợi quang/ống
dẫn sóng, tinh thể, chất bán dẫn hay giếng lượng tử [6-13 ,… Lĩnh vực này đang
được kì vọng tạo nên ước đột phá trong cơng nghệ quang tử như: mã hóa thơng
tin quang, lưu trữ và xử lý thơng tin quang, máy tính lượng tử và thông tin lượng

tử, v.v.
Ở Việt Nam, trong những năm gần đây nhóm nghiên cứu Quang học
quang phổ tại Trường Đại học Vinh đã tiến hành xây dựng mơ hình giải tích
nghiên cứu hiệu ứng EIT [18,19] và các ứng dụng liên quan [20-22] trong các hệ
nguyên tử khác khau. Đặc biệt, đề tài về điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng dựa
vào hiệu ứng EIT đã được nghiên cứu với cấu hình lambda 3 mức năng lượng
[20,21]. Tuy nhiên, các cơng trình [20,21 đã ỏ qua hiệu ứng mở rộng Doppler
nên chỉ có thể áp dụng cho các mơi trường nguyên tử siêu lạnh (chẳng hạn được
làm lạnh bằng laser). Do đó khi áp dụng vào thực tế thì rất khó khăn do phải bố
trí hệ làm lạnh và chi phí tốn kém.


3

Những nghiên cứu gần đây về ảnh hưởng của nhiệt độ (độ rộng Doppler)
lên các tính chất hấp thụ và tán sắc của môi trường EIT cho thấy ở nhiệt độ
phịng hoặc cao hơn, hiệu ứng Doppler làm cho cơng tua hấp thụ và tán sắc mở
rộng đáng kể, đ ng thời làm giảm hiệu suất trong suốt [23 . Do đó, sẽ ảnh
hưởng đến sự điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng. Vì vậy, trong thực tế, để vận
dụng cho các thiết bị quang tử hoạt động được ở các điều kiện nhiệt độ khác
nhau thì chúng ta cần thiết phải nghiên cứu ảnh hưởng của mở rộng Doppler lên
vận tốc nhóm ánh sáng.
Vì vậy, trên cơ sở những điều kiện thuận lợi và tính cấp thiết của vấn đề
nghiên cứu, chúng tôi chọn chủ đề "Ảnh hƣởng của mở rộng Doppler lên vận
tốc nhóm ánh sáng trong mơi trƣờng EIT ba mức cấu hình lambda" làm đề
tài luận văn tốt nghiệp của mình.
Mục đích của đề tài là xây dựng mơ hình giải tích nghiên cứu ảnh hưởng
của mở rộng Doppler lên vận tốc nhóm ánh sáng trong mơi trường khí ngun tử
ba mức năng lượng cấu hình lambda. Các kết quả giải tích sẽ được áp dụng cho
hệ ngun tử 87Rb ở nhiệt độ phịng. Theo đó, chúng tơi nghiên cứu điều khiển

vận tốc nhóm ánh sáng theo các tham số của laser và nhiệt độ của môi trường.
So sánh các kết quả với trường hợp không có mở rộng Doppler.
Cấu trúc luận văn, ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, bao
g m hai chương:
Chƣơng 1. Lý thuyết lan truyền ánh sáng trong mơi trƣờng
Chương này đề cập đến các tính chất của mơi trường khi có sự lan
truyền của ánh sáng theo quan điểm cổ điển trên cơ sở các phương trình
Maxwell và mơ hình Lorentz. Từ đó, dẫn ra các hệ thức cho hệ số tán sắc, hệ số
hấp thụ, chiết suất nhóm và vận tốc nhóm.
Chƣơng 2. Ảnh hƣởng của mở rộng Doppler lên vận tốc nhóm ánh sáng
Trong chương này, chúng tôi khảo sát sự tương tác giữa nguyên tử ba
mức cấu hình lambda với hai trường laser: một trường có cường độ mạnh (gọi là


4

trường điều khiển) và một trường có cường độ rất yếu (gọi là trường dò). Sự
tương tác giữa nguyên tử với các trường laser được mơ tả theo phương trình
Liouville cho các phần tử ma trận mật độ trong gần đúng sóng quay và gần đúng
lưỡng cực điện [16]. Chúng tơi giải các phương trình ma trận mật độ trong điều
kiện dừng và tìm được các biểu thức: hệ số hấp thụ, hệ số tán sắc, chiết suất
nhóm, vận tốc nhóm của trường dị theo các tham số của hệ nguyên tử, của
trường điều khiển và nhiệt độ của môi trường. au đó, chúng tơi dẫn ra biểu thức
độ cảm điện khi tính đến ảnh hưởng của mở rộng Doppler. Từ đó, dẫn ra biểu
thức của vận tốc nhóm/chiết suất nhóm để khảo sát ảnh hưởng của mở rộng
Doppler lên vận tốc nhóm ánh sáng.


5

Chƣơng 1
LÝ THUYẾT LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƢỜNG
1.1. Sự dao động của ngun tử theo mơ hình cổ điển
Chúng ta khảo sát chuyển động của điện tích được liên kết với hạt nhân
nặng, có thể được mơ tả như một dao động tử điều hòa tắt dần. Trường điện từ
ngồi của ánh sáng tới có tác dụng như một lực cưỡng bức đối với các điện tích
và tuân theo các định luật của điện từ. Giả sử, biểu thức của điện trường ánh
sáng tới có dạng: E = E0.exp(it) và lan truyền dọc theo trục z. Chuyển động
của điện tích có thể được biểu diễn bởi phương trình:
m

dx
d 2x
+ b + kx = qE0eit,
2
dt
dt

(1.1)

trong đó, m là khối lượng và q là điện tích của electron, b là hệ số tắt dần, k là hệ
số mô tả sự h i phục của điện tử khi nó bị lệch khỏi vị trí cân bằng.
Nghiệm của phương trình (1.1) có dạng:
x(t ) 

qE 0
eit
. 2
,
m (0   2  i )

(1.2)

trong đó  =b/m và 02 = k/m.
Nếu ta tính tốn mơđun của x(t) thì ta thu được một đường cong dạng
chng và có giá trị cực đại tại tần số cộng hưởng r 2  02  ( / 2) .

Hình 1.1. Li độ dao động x(t) của điện tử trong nguyên tử.


6

Theo cơ học cổ điển, tại lân cận tần số cộng hưởng thì có rất nhiều dao
động xảy ra. Trong vùng lân cận này, trường ánh sáng cộng hưởng với các điện
tích dao động và điện trường sẽ bị mất năng lượng do chúng bị hấp thụ.
1.2. Các phƣơng trình Maxwell và các tính chất của mơi trƣờng
Sự lan truyền của ánh sáng trong môi trường được đặc trưng ởi các
phương trình Maxwell. Giả sử mơi trường vật chất là đẳng hướng và tuân theo
định luật Ohm đối với sự dẫn điện. Khi đó các phương trình Maxwell có dạng:
.E 


,


(1.3a)

.B  0 ,

 E  

(1.3b)
B
,
t

  B   E  

(1.3c)
E
.
t

(1.3d)

Trong đó, E là vectơ cường độ điện trường, B là vectơ cảm ứng từ,  là mật độ
điện tích,  là độ từ thẩm,  là độ dẫn điện và  là độ điện thẩm của môi
trường. Độ từ thẩm, độ dẫn điện và độ điện thẩm của môi trường là các thông số
gắn liền với các tính chất của mơi trường, các hằng số này thường phụ thuộc vào
các điều kiện nhiệt động của môi trường.
Rõ ràng có mối liên hệ giữa các tính chất quang và điện của mơi trường,
vì tất cả các chất dẫn điện thì khơng trong suốt trong khi đó các vật chất trong
suốt đều là chất cách điện. Tuy vậy, sự trong suốt của các vật liệu cách điện
cũng ị ảnh hưởng bởi cấu trúc hạt trong vật chất. Với giả thiết này thì các
phương trình Maxwell có dạng rút gọn:
.E  0 ,

(1.4a)

.B  0 ,

(1.4b)

 E  

B
,
t

(1.4c)


7

  B  

E
.
t

(1.4d)

Ở đây, các hệ thức tuyến tính giữa vectơ cảm ứng điện D và vectơ cường độ
điện trường E , vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ từ trường H được mô tả
như sau:
D E,

(1.5a)

B  H .

(1.5b)

Trong quang học tuyến tính thì sự phân cực vĩ mô của hệ nguyên tử dưới
tác dụng của điện trường ngoài E được xác định bởi:
P  0 E ,

(1.6)

ở đây  là độ cảm điện tuyến tính (mơ tả các tính chất của vật chất), cịn  0 là
độ điện thẩm trong chân không.
Hằng số điện môi  r là tỷ số giữa độ điện thẩm của môi trường  và độ
điện thẩm trong chân không  0 :
r   / 0  1  .

(1.7)

Độ từ thẩm tương đối r là tỷ số giữa độ từ thẩm của môi trường  và độ
từ thẩm trong chân không 0 :
 r   / 0  1   m .

(1.8)

1.3. Mơ hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính
Chúng ta suy ra cơng thức tán sắc cho độ cảm điện tuyến tính bằng cách
khảo sát mômen lưỡng cực cảm ứng mà electron sinh ra dưới tác dụng của điện
trường của trường ánh sáng tới.
Mômen lưỡng cực vi mơ p có dạng:
q2E0
eit

.
p = q.x(t) =
,
m (0 2   2  i )

ở đây, ta đã thay nghiệm phức của x(t) trong phương trình (1.2).

(1.9)


8

Nếu trong mẫu có N dao động tử trên một đơn vị thể tích thì sự phân cực
vĩ mơ P sẽ bằng tổng của tất cả các mômen lưỡng cực vi mô p của mỗi dao động
tử trong mẫu:
P = Np = Nq.x(t) = 0E ,

(1.10)

trong đó E  E0 .eit .
Do đó khi thay kết quả của (1.10) vào (1.9) chúng ta tìm được biểu thức của độ
cảm điện tuyến tính có dạng Lorentz:


Nq 2
1
. 2
m 0 (0   2  i )



(0 2   2  i )
Nq 2
. 2
m 0 (0   2  i )(0 2   2  i )



Nq 2 (0 2   2 )  (i )
.
.
m 0 (0 2   2 ) 2  ( ) 2

(1.11)

Nếu tách phần thực và phần ảo của      i   ta được:
Re[]    

 2 2
Nq 2
. 2 02 2
,
m 0 (0   )   2 2

(1.12)

Im[]    

Nq 2


. 2
.
m 0 (0   2 )2   2 2

(1.13)

Trong vùng lân cận tần số dịch chuyển nguyên tử 0, tức là 0  

0 ,

chúng ta sẽ sử dụng phép tính gần đúng 02   2  (0  )(0   ) 20 (0   ) và
 2 0 , nên các phần thực và phần ảo của độ cảm tuyến tính được lấy gần

đúng:

 


 2 2
Nq 2
. 2 02 2
m 0 (0   )   2 2
20 (0   )
Nq 2
.
m 0 [20 (0   )]2   2 2

0  
Nq 2


.
,
2m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2

(1.14)


9

  

Nq 2

. 2
m 0 (0   2 )2   2 2



Nq 2

.
m 0 [20 (0   )]2   2 2



Nq 2

.
.
2

4m 00 (0   )  ( / 2) 2

(1.15)

1.4. Vận tốc pha và vận tốc nhóm
1.4.1. Phƣơng trình sóng và chiết suất phức
Sử dụng các phương trình Maxwell: rot E  

B
E
và rot B  
ta tìm
t
t

được phương trình sóng cho cả điện trường và từ trường lan truyền trong môi
trường điện môi (ở đây độ dẫn điện không được kể đến).
Phương trình sóng cho điện trường: lấy rot 2 vế của phương trình
rot E  

B
ta được:
t
rot rot E  rot

B
t

 graddivE  2 E  

 2 E  


rotB
t

2
E.
t 2

(1.16)

Tương tự, ta có phương trình sóng cho từ trường: lấy rot 2 vế của phương trình
rot B  

E
ta được:
t
rotrot B  rot ( 

E
)
t

 graddivB  2 B   (
 2 B  

2
B.
t 2


rotE )
t

(1.17)


10

Tiếp theo, ta xác định chiết suất phức n dựa vào công thức:
v

với c0 

1

 0 0

1





1

 r  0 r 0

c



 r r

,

(1.18)

, suy ra n   r r .

Đối với các vật liệu khơng có từ tính thì r rất gần 1 nên n   r .

(1.19)

Do đó từ các phương trình (1.7) và (1.19) ta có:
1
n    1   1  .
2

(1.20)

Vì độ cảm điện tuyến tính  có dạng phức nên chiết suất n cũng có dạng
phức. Bây giờ để làm rõ ý nghĩa vật lý của chiết suất phức, ta cần tách phần thực
và phần ảo của chiết suất: n = n' + in" (với n' và n" tương ứng là các phần thực
và phần ảo của n, đặc trưng cho sự tán sắc và hấp thụ của môi trường). Ở đây, ta
đã xét trong vùng lân cận của tần số dịch chuyển nguyên tử và thay q = e, ta suy
ra:
0  
Ne 2

1
.
n' = 1 + ' = 1 +
,
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2
2

(1.21)

Ne2
 /2
1
.
" =
.
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2
2

(1.22)

n'' =

Tiếp theo từ phương trình sóng cho điện trường (1.16), chúng ta tìm được
nghiệm của nó có dạng:
E ( x, t )  E0e

i(

n'x
t )

c

.e



n " x
c

,

(1.23)

với c là vận tốc của ánh sáng trong chân khơng.
Phương trình (1.23) cho biết rằng, phần ảo n'' của chiết suất mơ tả sự hấp
thụ sóng điện từ của mơi trường. Sự hấp thụ sóng điện từ của môi trường tuân
theo định luật Beer:
I  I 0e z ,

(1.24)


11

trong đó I0 là cường độ của ánh sáng tới, z là khoảng cách mà sóng đi vào mơi
trường, cịn  là hệ số hấp thụ được tính bởi cơng thức:


2 n ''
Ne2

 /2

.
.
c
2mc 0 (0   ) 2  ( / 2) 2

(1.25)

Tại tần số cộng hưởng, tức là   0 thì độ hấp thụ lớn nhất và bằng:
  0 

Ne 2
.
2mc 0 ( / 2)

(1.26)

Khi đó ta viết lại hệ số tán sắc:
n '  1
 1

0  
Ne 2
.
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2
c 0 (0   )( / 2)
,
20 (0   ) 2  ( / 2) 2

(1.27)

và hệ số hấp thụ:
Ne 2
 /2

.
2mc 0 (0   ) 2  ( / 2) 2
( / 2) 2
 0.
.
(0   ) 2  ( / 2) 2

(1.28)

Đ thị liên hệ giữa các hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc được mô tả trên hình sau:

Hình 1.2. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc trong vùng lân cận tần số dịch chuyển 0.


12

1.4.2. Vận tốc pha
Khảo sát một sóng phẳng đơn sắc có tần số góc  lan truyền trong một
mơi trường có chiết suất n. Sóng này có thể được mơ tả bởi phương trình [14]:
E ( z, t )  Aei ( kz t )  c.c ,

trong đó

k

n
.
c

(1.29)
(1.30)

Người ta định nghĩa vận tốc pha vp là vận tốc tại các điểm của hằng số
pha chuyển động qua môi trường. Theo phương trình (1.29) pha của sóng này là:
  kz  t .

(1.31)

Khi các điểm của hằng số pha chuyển động được khoảng cách z trong thời
gian t thì pha cũng khơng thay đổi nên từ phương trình (1.31) ta có:
k .z  .t .

(1.32)

Như vậy vận tốc pha có dạng:
vp 
vp 

hoặc

z
,
t


k



(1.33)
c
.
n

(1.34)

1.4.3. Vận tốc nhóm
Bây giờ chúng ta khảo sát sự lan truyền của một xung là sự ch ng chất
của nhiều sóng qua một mơi trường vật chất với tần số góc  (xung là một bó
sóng bao g m nhiều tần số rất sát nhau và rất gần với tần số góc ). Chúng ta
viết lại pha của sóng này là [14]:


n
z  t .
c

(1.35)

Vì  không thay đổi bậc nhất đối với , tức là: dn/d = 0.
Do đó:
 z dn nz
 t  0,
c d c

(1.36)


13

mà z = vg.t , vì vậy vận tốc nhóm vg được cho bởi:
c

vg 

dn
n 
d



d
,
dk

c
,
ng

hoặc

vg 

trong đó

ng  n  

(1.37)

(1.38)
dn
,
d

(1.39)

gọi là chiết suất nhóm của mơi trường đối với sóng điện từ có tần số .
Như vậy, rõ ràng nếu hệ số góc của miền tán sắc thường càng lớn thì độ
tán sắc dn/d rất lớn, do đó chiết suất nhóm lớn hay vận tốc nhóm có giá trị rất
nhỏ so với vận tốc ánh sáng trong chân khơng. Để làm xuất hiện miền tán sắc
thường thì chúng ta phải làm giảm sự hấp thụ chùm ánh sáng.
1.5. Xung quang học lan truyền trong môi trƣờng cộng hƣởng nguyên tử
Xét sự tán sắc của chiết suất xung quanh tần số cộng hưởng, khi đó hệ số
tán sắc có biểu thức:
n '  1

0  
Ne 2
.
.
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2

(1.40)

Tiếp theo, chúng ta xét các cực trị của hệ số tán sắc ằng cách lấy đạo
hàm của hệ số tán sắc theo tần số :
dn '
0  
Ne2
d

. [
]
dt 4m 00 dt (0   ) 2  ( / 2) 2

Cho



Ne2 (0   ) 2  ( / 2) 2  2(  0 )(0   )
.
4m 00
[(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2



Ne 2 (0   ) 2  ( / 2) 2  2(0   ) 2
.
4m 00
[(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2



(0   ) 2  ( / 2) 2

Ne 2
.
.
4m 00 [(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2

dn '
 0 , suy ra: (0   )  ( / 2) .
d

(1.41)


14

Tức là hệ số tán sắc n ' có các giá trị cực đại và cực tiểu:
n 'max  1 

Ne 2 1
.
2m 00 

 1   n max ,
n 'min  1 

Ne 2 1
.
2m 00 

 1   n max ,

trong đó  n max 

(1.42)

(1.43)

Ne 2 1
. .
2m 00 

Do vậy, chúng ta có thể viết lại hệ số tán sắc:
n '  1
 1

(0   )
Ne 2
.
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2
(0   )( / 2)
Ne2
.
2m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2

 1   n max .

(0   )( / 2)
,
(0   ) 2  ( / 2) 2

(1.44)

và hệ số hấp thụ:
Ne 2
( / 2)

.
2mc 0 (0   ) 2  ( / 2) 2


Ne 2
( / 2) 2
.
2mc 0 ( / 2) (0   ) 2  ( / 2) 2

2 n max
( / 2) 2

.
.
c
(0   ) 2  ( / 2) 2

(1.45)

Chiết suất nhóm khi đó sẽ có dạng:
ng  n ' 

dn '
d

0  
Ne2
Ne 2 (0   ) 2  ( / 2) 2
 1
.

.
4m 00 (0   ) 2  ( / 2) 2 4m 0 [(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2
Ne 2 (0   ) 2  ( / 2) 2

.
.
4m 0 [(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2

(1.46)


15

Tương tự, đối với chiết suất nhóm, ta cũng lấy đạo hàm hai vế của chiết suất
nhóm theo tần số :
dng
d



d Ne 2 (0   ) 2  ( / 2) 2
{
.
}

d 4m 0 [(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2



Ne 2 2(0   )[3( / 2) 2  (0   ) 2 ]
.
4m 0
[(0   ) 2  ( / 2) 2 ]3

Ne 2 (0   )[3( / 2) 2  (0   ) 2 ]

.
.
2m 0
[(0   ) 2  ( / 2) 2 ]3

Cho

dng
d

(1.47)

 0 , ta tìm được hai nghiệm là: (0   )  0 và (0   )  3( / 2) .

Tức là, chiết suất nhóm cũng có các giá trị cực đại và cực tiểu:
ng (min) 

Ne 2 ( / 2) 2
.

4m 0 ( / 2) 4



0
Ne 2
.
2m 00 2( / 4)



o nmax
,
( / 2)

ng (max) 

(1.48)

Ne2 [ 3( / 2)]2  ( / 2) 2
.
4m 0 [3( / 2) 2 +( / 2) 2 ]2



0
Ne 2
.
2m 00 16( / 4)



o n max
.
8( / 2)

(1.49)

Từ phương trình (1.37), vận tốc nhóm ánh sáng lan truyền trong mơi trường
được viết lại dưới dạng:
vg 



c
n 

dn
d



c
ng

4mc 0 [(0   ) 2  ( / 2) 2 ]2
.
.
Ne 2
(0   ) 2  ( / 2) 2

(1.50)


16

Khi độ lệch tần (0  )  0 thì vận tốc nhóm có biểu thức:
vg  

4mc 0
( / 2)2 .
2
Ne

(1.51)

Khi độ lệch tần (0   )  3( / 2) thì vận tốc nhóm có biểu thức:
vg 

32mc 0
( / 2)2 .
2
Ne

(1.52)

Thay số 0 = 5.1014 Hz và  = 109 Hz [14] ta thấy chiết suất nhóm biến thiên
trong khoảng: -5.104 đến 5.104. Nghĩa là, vận tốc nhóm của xung ánh sáng có
thể nhỏ hơn rất nhiều lần vận tốc ánh sáng trong chân không c, gọi là ánh sáng
chậm và có thể lớn hơn c hoặc âm, gọi là ánh sáng nhanh.

Đ thị hệ số hấp thụ, hệ số tán sắc và chiết suất nhóm có dạng như hình 1.3.
Ánh sáng chậm

Ánh
sáng
nhanh

Hình 1.3. Các cơng tua hệ số hấp thụ (hình a), hệ số tán sắc (hình b) và chiết suất
nhóm (hình c) tại lân cận tần số cộng hưởng nguyên tử.


Dựa vào hình 1.3a, chúng ta thấy rằng công tua hấp thụ của chùm ánh sáng
khi đi qua mơi trường ngun tử có dạng Lorentz thì độ hấp thụ đạt cực đại
tại tần số cộng hưởng 0. Phía ngồi tần số cộng hưởng 0 thì độ hấp thụ
giảm dần.



Dựa vào hình 1.3 , chúng ta cũng thấy rằng tại lân cận tần số cộng hưởng có
độ tán sắc dn/d âm, được gọi là miền tán sắc dị thường. Cịn phía ngồi


17

vùng cộng hưởng có độ tán sắc dn/d dương, được gọi là miền tán sắc
thường.


Dựa vào hình 1.3c, tương ứng với miền tán sắc dị thường trên công tua tán
sắc thì trên cơng tua chiết suất nhóm đó là miền có chiết suất nhóm âm, có

cực trị tại tần số cộng hưởng và là miền ánh sáng nhanh. Ứng với miền tán
sắc thường là miền có chiết suất nhóm dương và là miền ánh sáng chậm.

1.6. Mở rộng Doppler của vạch phổ
Trong các mơi trường khí, do các ngun tử (hoặc phân tử) chuyển động
nhiệt nên các vạch phổ phát xạ hoặc hấp thụ của bản thân mỗi nguyên tử sẽ bị
dịch chuyển so với trường hợp nguyên tử đứng yên. Các vạch phổ sẽ bị dịch
chuyển về phía tần số cao hoặc tần số thấp tùy thuộc vào nguyên tử chuyển động
lại gần hay ra xa ngu n thu (hiệu ứng Doppler).
Giả sử ta có N nguyên tử ở trạng thái kích thích có mức năng lượng cao
Ei chuyển xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn Ek và phát ra bức xạ có

tần số v . Vì các nguyên tử chuyển động hỗn loạn nên:
 Đối với những nguyên tử chuyển động ra xa máy thu thì tần số máy thu
nhận được sẽ nhỏ hơn v .
 Đối với những nguyên tử chuyển động lại gần máy thu thì tần số máy thu
nhận được sẽ lớn hơn v .
Trong thực tế, ngu n thu không chỉ thu tín hiệu của một nguyên tử mà là
tập hợp của nhiều nguyên tử chuyển động theo các hướng khác nhau. Vì vậy,
vạch phổ thu được sẽ bị mở rộng về hai phía so với trường hợp vạch phổ phát xạ
của các nguyên tử đứng yên, gọi là mở rộng Doppler.
Mỗi nguyên tử chuyển động ứng với vectơ sóng k xác định so với ngu n
thu (giả sử quan sát theo phương z) có phổ phát xạ bị dịch chuyển một lượng:
    21  k .v  k .vz ,

(1.53)


18

với v là vận tốc nguyên tử. Ở điều kiện cân bằng nhiệt động (ứng với nhiệt độ
T), số nguyên tử N có vận tốc trong khoảng v đến v + dv sẽ tuân theo phân bố
Maxwell – Boltzmann:


N (vz )dvz

e

mvz2
2 k BT

dvz  e



mc 2 ( 21 )2
2
221
k BT

c

21

d   N ( )d  .

(1.54)

Vì cơng suất hấp thụ hay phát xạ tỷ lệ thuận với Ni ( )d của các nguyên

tử hấp thụ hay phát xạ trong khoảng d nên ta có cơng tua cường độ vạch phổ
khi có mở rộng Doppler là:
c(  21 ) 2
I ( )  I 0 .exp{  [
]} ,
21.vD

(1.55)

với vD là vận tốc căn quân phương của khí nguyên tử và có biểu thức:
vD  (2kBT / m)2 .

(1.56)

Biểu thức (1.55) cho thấy cơng tua vạch phổ khi có mở rộng Doppler có dạng
Gauss với độ rộng vạch phổ (theo đơn vị tần số góc) được xác định là:
D  (

21
c

) 8kBT ln 2 / m .

(1.57)

Như vậy, độ rộng Doppler D tỉ lệ thuận với 21 và T , tỷ lệ nghịch
với m . Vì vậy, với cùng điều kiện về nhiệt độ và miền phổ thì độ rộng Doppler
sẽ lớn nhất đối với nguyên tử hyđrô (khối lượng nhỏ nhất).
Trong một số trường hợp, biểu thức (1.57) được viết lại theo số
Avogradro N A , khối lượng mol M  N A .m và hằng số chất khí R  N A .k B như

sau:
D  (

221
) 2RT ln 2 / M ,
c

(1.58)

hoặc theo đơn vị tần số:
D  7,16.107 v0 T / M (Hz).

(1.59)


19

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trên cơ sở lý thuyết cổ điển về sự lan truyền ánh sáng trong môi trường
điện môi, chúng tơi đã tính tốn và rút ra được các iểu thức của hệ số hấp thụ,
hệ số tán sắc, chiết suất nhóm và vận tốc nhóm của mơi trường nguyên tử hai
mức.
Tại lân cận tần số cộng hưởng của ngun tử thì sự hấp thụ của mơi
trường đối với xung ánh sáng là lớn nhất, đ ng thời trong vùng này là miền tán
sắc dị thường có độ tán sắc dn/d lớn và âm, do đó đây là miền ánh sáng nhanh.
Phía ngồi tần số cộng hưởng có sự hấp thụ giảm dần và là miền tán sắc thường
có độ tán sắc dn/d lớn và dương, đây là miền ánh sáng chậm.
Đối với một hệ nguyên tử nhất định với một chùm ánh sáng thì chúng ta
rất khó khăn để điều khiển độ tán sắc của môi trường. Để làm thay đổi tính chất
quang của mơi trường, chúng ta đưa thêm vào một trường laser điều khiển để

kích thích hệ nguyên tử ba mức năng lượng sẽ được trình bày ở chương 2.


20

Chƣơng 2
ẢNH HƢỞNG CỦA MỞ RỘNG DOPPLER LÊN
VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
2.1. Phƣơng trình ma trận mật độ cho h nguy n tử a mức
2.1.1. Phƣơng trình ma trận mật độ
Khảo sát hệ nguyên tử ba mức năng lượng cấu hình lam da được kích
thích bởi hai trường laser được mơ tả như hình 2.1.
5P1/2 F’= 2
2

c

p

3

5S1/2 F = 2

1

5S1/2 F =1
Hình 2.1. ơ đ kích thích hệ a mức năng lượng cấu hình lam da.

Một laser điều khiển có cường độ rất lớn tương ứng với tần số Rabi c
kích thích dịch chuyển giữa các mức 3  2 . Cịn một laser dị có cường độ rất

nhỏ tương ứng với tần số Rabi  p sẽ kích thích dịch chuyển giữa các mức
1  2 . Giả thiết rằng các chùm laser điều khiển và chùm laser dò đều phát ở

chế độ liên tục và đơn mode với các tần số c ,  p tương ứng.
Chúng ta đặt  p   p  21 và c  c  32 tương ứng là độ lệch tần số của
chùm laser dò và laser điều khiển.


21

Sự tương tác của hệ nguyên tử với các trường bức xạ được mơ tả theo
phương trình Liouville qua ma trận mật độ có dạng như sau:
d ˆij
dt

i
  [ Hˆ , ˆ ]ij  (ˆ )ij ,

(2.1)

trong đó:


 là tốn tử mơ tả q trình tích thốt do phân rã tự phát, va chạm, v.v.



ˆ là toán tử ma trận mật độ cho hệ nguyên tử a mức năng lượng và được

biểu diễn dưới dạng ma trận vuông cấp ba (3  3):

 11
   21

 31

12
22
32

13 
23  .
33 

(2.2)

Các phần tử nằm trên đường chéo ii (i = 1, 2, 3) cho ta xác suất tìm thấy hạt
ở trạng thái i , do đó

3


i 1

ii

 1 . Các phần tử nằm ngoài đường chéo ij (i  j )

cho ta xác suất dịch chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j và phải thỏa
mãn điều kiện tự liên hợp ij   *ji .
 Hˆ là Hamilton toàn phần của hệ ba mức và được xác định bằng:

Hˆ  Hˆ 0  Hˆ I .

(2.3)

Hˆ 0 là Hamilton của nguyên tử tự do được xác định theo công thức:
3

Hˆ 0   i i i  1 1 1  2 2 2  3 3 3 ,

(2.4)

i 1

và dạng ma trận của nó là:
 1
Hˆ 0   0
 0

0

2
0

0 
0  .
3 

(2.5)

Hˆ I là Hamilton tương tác giữa hệ nguyên tử a mức và hai trường laser trong

gần đúng sóng quay.