Về một lớp không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương và
không gian các dãy Orlicz

5

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian lồi địa phương 15
1.3. Các họ số khả tổng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương . . . . . . 20
1.5. Hàm Orlicz và không gian các dãy Orlicz

. . . . . . . . . . . 21

2 Không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa
phương xác định bởi hàm Orlicz

23

2.1. Xây dựng không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi
địa phương xác định bởi hàm Orlicz

. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Một số tích chất của một lớp không gian con
Kết luận

. . . . . . . . . 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


3

MỞ ĐẦU

Trong giải tích hàm, lớp khơng gian tuyến tính định chuẩn có vai trị
quan trọng là lớp khơng gian các dãy. Không gian các dãy cổ điển được xét
với dãy nhận giá trị trong trường vơ hướng, các tính chất của khơng gian
các dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [6]

sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã
xây dựng khơng gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng
từ lớp các hàm thực đặc biệt, mà chúng được gọi là các hàm Orlicz. Các
tính chất của các khơng gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắc
thông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J . Lindenstrauss và L. Tzafriri.
Trong [4] tác giả đã xây dựng lớp không gian các dãy Orlicz nhận giá
trị trong không gian lồi địa phương và đưa ra một số tính chất của chúng.
Một sự mở rộng tự nhiên của các dãy đó là các dãy suy rộng (hay còn gọi
là các họ số) xuất hiện khá nhiều trong giải tích (xem [8]). Cũng như vậy,
sự mở rộng tự nhiên của các họ số đó là họ các phần tử trong không gian
định chuẩn cũng được trình bày trong [8]. Mục đích của luận văn này là
xây dựng không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương
xác định bởi các hàm Orlicz. Vì vậy, chúng tơi lựa chọn đề tài: Về một
lớp không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương
Nội dung của luận văn được viết thành 2 chương. Chương 1 dành cho
việc hệ thống lại những khái niệm và kết quả phục vụ cho việc xây dựng
không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định
bởi hàm Orlicz như: không gian lồi địa phương; các họ số bị chặn, họ số
hội tụ tới không và họ số khả tổng; các họ bị chặn, họ hội tụ tới không và


4

họ khả tổng nhận giá trị trong không gian lồi địa phương; hàm Orlicz và
không gian các dãy số xác định bởi hàm Orlicz. Chương 2 trình bày những
kết quả nghiên cứu của chúng tôi về xây dựng cấu trúc lồi địa phương cho
không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định
bởi hàm Orlicz và một số tính chất của lớp khơng gian con của nó.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc

của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh
đạo Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học
và cảm ơn các thầy, cơ giáo trong bộ mơn Giải tích, Khoa Sư phạm Tốn
học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trong
Tổ Tốn Trường THPT Hịa Hội, Bà Rịa-Vũng Tàu đã giúp đỡ, tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học. Cuối cùng, tơi chân
thành cảm ơn các anh chị, bạn cùng khóa học đặc biệt là các bạn trong
lớp Cao học 22 Giải tích tại Trường Đại học Sài gòn đã cộng tác, giúp đỡ
và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù
đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 6 năm 2016
Bùi Quốc Trung


5

CHƯƠNG 1
CÁC HỌ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA
PHƯƠNG VÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY ORLICZ

Chương này nhằm mục đích trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần
dùng về sau, không gian lồi địa phương, không gian các họ nhận giá trị
trong không gian lồi địa phương, hàm Orlicz và không gian các họ Orlicz.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về tập định hướng, không gian định
chuẩn, không gian Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm

thấy trong [2].
1.1.1 Định nghĩa. Tập I = ∅ được gọi là định hướng được nếu trên đó
đã xác định một quan hệ ">" thoả mãn các tính chất:
1) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho m > n và n > p thì m > p;
2) Với mọi m ∈ I thì m > m;
3) Với mọi m, n ∈ I thì tồn tại p ∈ I sao cho p > m, p > n.
Khi đó, tập I được gọi là định hướng bởi quan hệ ">" và ký hiệu là (I, >)
hoặc viết tắt là I .
Ta dễ dàng có mệnh đề sau.
1.1.2 Mệnh đề. Cho I là một tập chỉ số tuỳ ý. Ký hiệu
F(I) = J ⊂ I : J hữu hạn .


6

Trên F(I) định nghĩa quan hệ bao hàm ” > ” như sau
với mỗi J, K ∈ F(I) : J > K ⇔ K ⊂ J.
Khi đó, F(I) với quan hệ bao hàm là một tập định hướng.
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử I là một tập định hướng bởi quan hệ ” > ”.
Khi đó, hàm S xác định trên I được gọi là một lưới hay dãy suy rộng và
được ký hiệu là (S, I, >) hoặc viết tắt là S .
Nếu miền giá trị của S là không gian tơpơ thì nó được gọi là lưới trong
khơng gian tơpơ.
1.1.4 Ví dụ. 1) Nếu I là tập số tự nhiên N với quan hệ thứ tự thơng
thường thì lưới xác định trên N là dãy thông thường.
2) Nếu I là tập chỉ số tùy ý và S là hàm xác định trên F(I) thì S là
một lưới với quan hệ bao hàm.
1.1.5 Định nghĩa. Giả sử I là một tập định hướng bởi quan hệ ” > ”
và (X, τ ) là một khơng gian tơpơ. Khi đó, lưới (Sn , I, >) được gọi là hội
tụ trong không gian tôpô đến điểm S đối với tôpô τ , nếu với mọi lân cận

U của S đều tồn tại n0 ∈ I sao cho với mọi n thuộc I mà n > no thì
Sn ∈ U. Khi đó, ký hiệu là lim Sn = S hay Sn → S

1.1.6 Định nghĩa. Cho hàm thực f : (a, b) → R. Hàm f được gọi là lồi
nếu
f λx + (1 − λ)y

với mọi x, y ∈ (a, b) và 0

λ

λf (x) + (1 − λ)f (y)

(1.1)

1.

1.1.7 Nhận xét. Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau:
f (t) − f (s)
t−s

với mọi a < s < t < u < b.

f (u) − f (t)
u−t

(1.2)


7

1.1.8 Mệnh đề. Cho f : (a, b) → R là hàm lồi và c ∈ (a, b). Khi đó,
f (x) − f (c)
hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định bởi p(x) =
là không
x−c
giảm.
Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàm
lồi.
1.1.9 Hệ quả. Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó, f là lồi khi
và chỉ khi f là hàm đơn điệu tăng trên (a, b).
1.1.10 Hệ quả. Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và
f (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi.

1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f (x) = ex lồi trên R và
y = xp là các hàm lồi trên (0, ∞) với p

1.

1.1.12 Định nghĩa. ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm
Orlicz nếu
1) M là hàm không giảm, liên tục;
2) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞;
t→∞

3) M là hàm lồi.
1.1.13 Định nghĩa. Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0
sao cho M (t) = 0.
1.1.14 Ví dụ. Các hàm M (t) = tp ; M (t) = tet là hàm Orlicz.
1.1.15 Định nghĩa. Cho E là khơng gian tuyến tính trên trường K.

Hàm . : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều
kiện sau:
1) x

0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E .

Khi đó (E, . ) được gọi là một không gian định chuẩn.


8

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E . Không gian định chuẩn E được gọi là không

gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép tốn cộng và nhân vơ hướng trên E là liên
tục.
Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Ta đã biết L(E, F ) là không
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup

f (x) , ∀f ∈ L(E, F ).

x =1

Nếu F là khơng gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach. Đặc biệt,
L(E, K) := E ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gian

Banach.
Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trong
luận văn của chúng tơi.
1.1.16 Ví dụ. Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức. Ký hiệu
l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) là dãy bị chặn ;
C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) là dãy hội tụ ;
C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = 0 ;
n→∞

và

∞

|xn |p < ∞ , p

lp = x = (xn ) ⊂ K :

1.

n=1

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thơng thường
ta có l∞ (E) là khơng gian tuyến tính và C , C0 và lp là các không gian con
của l∞ . Hơn nữa
lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ .

9

Ta đã biết l∞ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ .

(1.3)

n 1

Đặc biệt C0 , C là các không gian con đóng của l∞ , vì thế chúng cũng là
các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên lp không đóng trong l∞ .
Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định bởi công thức
∞

x

p

|xn |p

=

1/p

, ∀x ∈ lp .

(1.4)

n=1

Khi đó, lp cũng là một khơng gian Banach.
1.1.17 Định nghĩa. Không gian vectơ tôpô là một không gian vectơ
cùng với một tơpơ trên đó sao cho các phép tốn cộng và nhân vơ hướng
là liên tục(hoặc cũng có thể định nghĩa là: Không gian vectơ X được gọi
là không gian vectơ tơpơ nếu trên đó đã cho một tơpơ tương thích với cấu
trúc đại số trên X sao cho mỗi điểm trên X là một tập con đóng).
1.1.18 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X .
a) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A và với mọi t ∈ [0; 1], ta
có t.x + (1 − t).y ∈ A;
b) Tập A được gọi là cân nếu αA ⊂ A với mọi α ∈ K và |α| < 1;
c) Tập A được gọi là hút, nếu với mọi x ∈ X đều tồn tại λ > 0 sao cho
x ∈ µA với mọi µ thỏa điều kiện |µ| ≥ λ.

d) Tập A được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận V của 0 tồn tại số
s > 0 sao cho A ⊂ tV với mọi t > s.

1.1.19 Nhận xét. Tập A ⊂ X bị chặn khi nó bị hút bởi mọi lân cận
của 0 ∈ X
1.1.20 Định nghĩa. Không gian vectơ tôpô được gọi là lồi địa phương
nếu nó có cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập lồi.


10

1.1.21 Mệnh đề. Giả sử X là không gian lồi địa phương. Khi đó
0 ∈ X có cơ sở lân cận U thoả mãn:

1) U, V ∈ U thì có W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;
2) αU ∈ U với mọi α ∈ K, α = 0 và với mọi U ∈ U;

3) Mọi U ∈ U là lồi, cân và hút.
Hơn nữa, nếu không gian vectơ X có họ các tập con U (khơng rỗng)
thoả mãn 1), 2) và 3) thì nó là khơng gian lồi địa phương với U là một
cơ sở lân cận của 0.
1.1.22 Nhận xét. Mỗi (E, . ) không gian định chuẩn là không gian lồi
địa phương. Cở sở lân cận các tập lồi của 0 là các hình cầu mở
1
Bn = {x ∈ E : x < }, n = 1, 2, ...
n

.
1.1.23 Định nghĩa. 1) Không gian vectơ tôpô X được gọi là không
gian khả định chuẩn nếu trên X có một chuẩn sao cho mêtric sinh bởi
chuẩn sinh ra tôpô trên X . 2) Không gian vectơ tôpô X được gọi là bị
chặn địa phương nếu tồn tại lân cận của 0 là tập bị chặn.
Người ta chứng minh được kết quả sau:
1.1.24 Định lý. Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ
khi nó lồi địa phương và bị chặn địa phương.
Mệnh đề sau chỉ ra sự tồn tại tôpô lồi địa phương từ họ các tập lồi,
cân và hút.
1.1.25 Mệnh đề. Nếu khơng gian véctơ E có họ U gồm các tập con
lồi, cân và hút thì trên E tồn tại tơpơ yếu nhất sao cho hai phép toán
trên E liên tục và E trở thành không gian lồi địa phương. Hơn nữa,
cơ sở của 0 trong E là họ các tập
U = ε ∩ni=1 Vi , ε > 0, Vi ∈ U, 1

i

n.

11

1.1.26 Mệnh đề. Nếu tôpô lồi địa phương τ trên X nhận U làm cơ
sở lân cận của điểm 0 ∈ X thì tơpơ này là Hausdorff khi và chỉ khi
εU = 0.
U ∈U;ε>0

Sau đây ta trình bày những kết quả cốt yếu về sự xác định của tôpô lồi
địa phương thông qua họ các nửa chuẩn. Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm
nửa chuẩn.
1.1.27 Định nghĩa. Cho X là một không gian vectơ. Hàm p xác định
trên X và nhận giá trị thực được gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với
mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ K ta có
N1 ) p(x)

0;

N2 ) p(x + y)

p(x) + p(y);

N3 ) p(λx) = |λ|p(x).

Nửa chuẩn p trên không gian vectơ X là chuẩn trên X nếu p(x) = 0
suy ra x = 0. Nếu p là một chuẩn trên X và x ∈ X thì số p(x) thường
được kí hiệu là ||x||.
1.1.28 Mệnh đề. Nếu p là một nửa chuẩn trên khơng gian vectơ X
thì với mọi α > 0 các tập A = {x ∈ X : p(x) < α} và B = {x ∈ X :
p(x)

α} là lồi, cân và hút.

1.1.29 Nhận xét. Giả sử P là họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ
X . Khi đó, kết hợp các Mệnh đề 1.1.25 và Mệnh đề 1.1.28 ta có: Trên X

tồn tại một tôpô yếu nhất sao cho X không gian vectơ tôpô và các p ∈ P
liên tục. Hơn nữa, X là không gian lồi địa phương và cơ sở lân cận tại 0
là họ các tập lồi có dạng
U = {x ∈ X : sup pi (x) < ε, i = 1, 2..., n},

trong đó ε > 0, pi ∈ P , n ∈ N.


12

1.1.30 Định nghĩa. Giả sử A là tập con tuyệt đối lồi, hút của không
gian vectơ tôpô X . Hàm thực khơng âm µA : X → R+ cho bởi
µA (x) = inf{t > 0 : x ∈ tA} với mọi x ∈ X

được gọi là phiếm hàm Minkowski của tập hợp A.
1.1.31 Định lý. Nếu A là tập lồi, cân và hút của khơng gian vectơ
tơpơ X thì µA := p là nửa chuẩn trên X . Hơn nữa
{x ∈ X : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p(x)

1}.

1.1.32 Nhận xét. Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có cơ sở
lân cận các tập lồi, cân và hút. Do đó, cơ sở lân cận này tương ứng với họ
các nửa chuẩn là các phiếm hàm Minkowski tương ứng. Kết hợp với Nhận

xét 1.1.29 suy ra rằng mỗi tơpơ lồi địa phương hồn toàn được xác định
bởi một họ các nửa chuẩn và ngược lại.
1.1.33 Nhận xét. Nếu X là lồi địa phương khả định chuẩn thì họ các
nửa chuẩn P có thể chọn mỗi phần tử là một chuẩn.
1.1.34 Nhận xét. Giả sử P là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa
phương trên E . Khi đó E là Hausdorff khi và chỉ khi p(x) = 0 với mọi
p ∈ P kéo theo x = 0.

Trong luận văn này các không gian lồi địa phương đều được giả thiết
là Hausdorff.
1.1.35 Định nghĩa. Một không gian tôpô được gọi là khả mêtric nếu
tơpơ của nó có thể xác định được bởi một mêtric.
1.1.36 Định lý. Nếu E là không gian Hausdorff lồi địa phương E
được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thì E khả mêtric, tức là
trên E tồn tại một mêtric sinh ra tôpô trùng với tôpô lồi địa phương
ban đầu của nó.


13

Tư định lý trên ta có ngay nhận xét sau:
1.1.37 Nhận xét. Giả sử E là không gian Hausdorff lồi địa phương E
được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn pn . Khi đó, tơpơ trên E
sinh bởi mêtric

∞

d(x, y) =
n=1

1 pn (x − y)
.
2n 1 + pn (x − y)

Ta có
1) Dãy (xk ) ⊂ E hội tụ tới x ∈ E khi và chỉ khi
pn (xk − x) → 0 khi k → ∞

với mọi n.
2) Dãy (xk ) ⊂ E là dãy Cauchy khi và chỉ khi
pn (xk − xl ) → 0 khi k, l → ∞

với mọi n.
Các không gian lồi địa phương khả mêtric gọi là F -khơng gian, nếu nó
đầy đủ, tức mọi dãy Cauchy đều hội tụ, thì gọi là không gian Frechet.
1.1.38 Mệnh đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương xác định bởi
họ các họ nửa chuẩn P = {pa : α ∈ Λ}. Khi đó, tập A ⊂ E là bị chặn
khi và chỉ khi nó bị chặn với mỗi pα , tức là với mỗi α ∈ Λ
pα (x) < rα < ∞

với mọi x ∈ A.
Sau đây là một số ví dụ về khơng gian Frechet.
1.1.39 Ví dụ. Giả sử
R∞ := {x = {xn } : xn ∈ R, n

1}


14

với phép cộng và nhân vô hướng thông thường theo từng số hạng. Xét họ
Q = {pn } là họ đếm được các nửa chuẩn trên R∞ xác định bởi
Pn (x) = |xn |; x = {xn }, n = 1, 2, ...

Khi đó R∞ là khơng gian lồi địa phương. Do họ các nửa chuẩn là đếm
được nên R∞ còn khả mêtric
∞

d(x, y) =
n=1

1 |xn − yn |
2n 1 + |xn − yn |

với mọi x, y ∈ R∞ . Tuy nhiên, R∞ không phải là không gian bị chặn địa
phương. Thật vậy, nếu ngược lại thì nó là khơng gian định chuẩn. Khi đó,
tồn tại chuẩn trên R∞ sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpô sinh
ra bởi {pn }. Xét B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1}. Khi đó, tồn tại
V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I}

trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1). Lấy x0 = {x0n } ∈ R∞
sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n = 0 với n ∈
/ I . Khi đó, x0 = 0 và suy ra
x0 = r > 0. Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có
kx0 ∈ V . Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k . Suy ra kx0 = kr < 1 với mọi
k . Ta nhận được sự mâu thuẫn.

1.1.40 Ví dụ. Gọi C(R) là không gian vectơ các hàm thực liên tục trên
R. Với mỗi n = 1, 2, ... đặt
pn (f ) = sup {|f (x)| : x ∈ [−n, n]} ,

với mọi f ∈ C(R). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được pn là các nửa chuẩn
trên C(R). Do đó, C(R) là không gian lồi địa phương sinh bởi họ các nửa
chuẩn {pn }. Hơn nửa, C(R) là không gian Frechet với khoảng cách
∞

d(f, g) =
n=1

với mọi f, g ∈ C(R).

1 pn (f − g)
,
2n 1 + pn (f − g)


15

1.1.41 Định nghĩa. Giả sử E, F là các không gian vectơ tôpô. Ta gọi
E đẳng cấu với F nếu tồn tại ánh xạ ϕ : E → F là đẳng cấu tuyến tính

và ϕ, ϕ−1 là các ánh xạ liên tục.
Ta dễ dàng có được kết quả sau.
1.1.42 Định lý. Cho E và F là các không gian Hausdorff lồi địa
phương với tôpô sinh bởi lần lượt các họ nửa chuẩn P = {pα : α ∈ I}
và Q = {qα : α ∈ I}. Giả sử ánh xạ f : E → F và rα , kα là các số
dương, thỏa mãn
rα pα (x)

qα (f (x))

kα pα (x)

với mỗi α ∈ I và với mỗi x ∈ E . Khi đó, f là đẳng cấu từ E lên F .
1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong khơng gian lồi địa
phương

Mục này trình bày một số kết quả về không gian các dãy nhận giá trị
trong không gian lồi địa phương. Các kết quả này cơ bản được đề xuất và
chứng minh trong [5].
Giả sử E là không gian Hausdorff lồi địa phương trên trường K và E
được sinh bởi họ các nửa chuẩn P = {pα : ∀α ∈ Λ}. Ký hiệu
l∞ (E) = x = (xn ) ⊂ E : pα (xn ) là dãy số bị chặn với mọi α ∈ Λ ;
C(E) = x = (xn ) ⊂ E : pα (xn ) là dãy hội tụ với mọi α ∈ Λ ;
C0 (E) = x = (xn ) ⊂ E : lim pα (xn ) = 0với mọi α ∈ Λ ;
n→∞

và
∞

(pα (xn ))q < ∞, với mọi α ∈ Λ , q

lq (E) = x = (xn ) ⊂ E :
n=1

1.


16

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thơng thường
ta có l∞ (E) là khơng gian tuyến tính và C(E), C0 (E) và lq (E) là các
không gian con của l∞ (E). Hơn nữa
lq (E) ⊂ C0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l∞ (E).

1.2.1 Định lý. l∞ (E) là không gian Hausdorff lồi địa phương với họ
các nửa chuẩn xác định bởi
(1.5)

bα (x) = sup pα (xn )
n 1

với mọi x = (xn ) ∈ l∞ (E) và với mỗi α ∈ Λ.
1.2.2 Nhận xét. 1) Vì C0 (E), C(E) và lq (E) là các khơng gian tuyến
tính con của l∞ (E) nên chúng cũng là không gian lồi địa phương khi E là
không gian lồi địa phương với họ các nửa chuẩn xác định trong (1.5).
2) Nếu E là được xác định bởi họ đếm được chuẩn thì các khơng
gian C0 (E), C(E) và lq (E) cũng vậy. Do đó, nếu E là F -khơng gian thì
C0 (E), C(E) cũng là các F -khơng gian.

Ngồi ra, trên lq (E) ta cịn có kết quả sau:
1.2.3 Định lý. lq (E) là không gian Hausdorff lồi địa phương với họ
các nửa chuẩn xác định bởi
1
q

∞

pqα (xn )

cα (x) =

(1.6)

n=1

với mọi x = (xn ) ∈ lq (E) và α ∈ Λ. Hơn nữa, nếu E là F -khơng gian
thì lq (E) cũng là các F -khơng gian.
Nếu (E, . ) là khơng gian định chuẩn thì
l∞ (E) = x = (xn ) ⊂ E : ( xn ) : là dãy số bị chặn ;


17

C(E) = x = (xn ) ⊂ E : (xn ) hội tụ ;
C0 (E) = x = (xn ) ⊂ E : lim xn = 0 ;
n→∞

trở thành không gian định chuẩn với chuẩn
(1.7)

x = sup xn ,
n 1

và

∞

lq (E) = x = (xn ) ⊂ E :

xn

q

< ∞ ,q

1

n=1

cũng trở thành không gian định chuẩn
∞

x

q

=

xn

q

1/q

, ∀x ∈ lq (E).

(1.8)

n=1

Nếu E = K thì ta nhận được các khơng gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.16.
1.3. Các họ số khả tổng

Sau đây ta trình bày một số kết quả về các họ số khả tổng.
1.3.1 Định nghĩa. ([1]) Cho (xi )i∈I là một họ các số (thực hoặc phức).
Họ (xi )i∈I được gọi là khả tổng nếu lưới hay dãy suy rộng {SJ }J∈F(I) là
hội tụ đến số S , trong đó SJ =

xi . Khi đó ta viết
i∈J

xi = S.
i∈I

Nói cách khác

xi = S nếu với mọi ε > 0, tồn tại J0 sao cho với mọi
i∈I

J ∈ F(I) mà J > J0 thì
|

xi − S| < ε.
i∈J


18

1.3.2 Nhận xét. Khi I = N là tập các số tự nhiên thì dãy số (xn )n∈N

∞

là khả tổng nếu và chỉ nếu chuỗi số

xn là hội tụ không điều kiện, tức
n=1

là hội tụ với mọi phép đổi vị trí các số hạng của chuỗi. Như ta đã biết
∞

điều này tương đương với sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi

xn bởi định lý
n=1

Dirichlet.
1.3.3 Mệnh đề. ([8]) Nếu với họ các số (xi )i∈I tuỳ ý, tồn tại số C > 0
sao cho
xi | < C, ∀J ∈ F(I)

|
i∈J

|xi | < 4C .

thì
i∈J

1.3.4 Mệnh đề. ([8]) Họ các số (xi )i∈I là khả tổng khi và chỉ khi tồn
|xi | < C .

tại C > 0 sao cho với mọi J ∈ F(I) thì
i∈J

1.3.5 Nhận xét. Từ Mệnh đề 1.3.4, ta thấy họ số (xi )i∈I là khả tổng
khi và chỉ khi họ (|xi |)i∈I khả tổng. Đặc biệt
|xi | = sup
i∈I

|xi | : J ∈ F(I) .
i∈J

1.3.6 Hệ quả. ([8]) Nếu họ số (xi )i∈I là họ khả tổng thì mọi xi = 0
trừ ra một tập đếm được.
1.3.7 Định nghĩa. ([8]) Họ số (xi )i∈I được gọi là bị chặn nếu tập
{xi : i ∈ I} là tập bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho |xi | < M với mọi
i ∈ I.

Ký hiệu
l∞ (I) = (xi )i∈I : (xi )i∈I bị chặn

là không gian các họ số bị chặn. Trên l∞ (I) trang bị các phép toán như
sau:


19

Phép cộng: Với mọi x = (xi )i∈I , y = (yi )i∈I ∈ l∞ (I) ta định nghĩa
x + y = (xi + yi )i∈I .

Phép nhân với vô hướng: Với mọi x = (xi )i∈I ∈ l∞ (I) và λ ∈ K ta định
nghĩa
λx = (λxi )i∈I .

Dễ dàng kiểm tra hai phép toán cho trên là xác định và với hai phép toán
này l∞ (I) là một khơng gian tuyến tính. Hơn nữa l∞ (I) là khơng gian
Banach với chuẩn
x = sup |xi |.
i∈I

1.3.8 Định nghĩa. ([8]) Họ số (xi )i∈I được gọi là hội tụ tới 0 nếu với
mọi ε > 0, tồn tại J0 ∈ F(I) sao cho
|xi | < ε, ∀i ∈ I \ J0 .

Ký hiệu
C0 (I) = (xi )i∈I : (xi )i∈I hội tụ tới 0

là không gian các họ hội tụ tới 0.
1.3.9 Mệnh đề. ([8])C0 (I) là không gian con đóng của l∞ (I).
Với p

1 đặt
|xi |p < ∞

lp (I) = (xi )i∈I :
i∈I

là không gian các họ số p−khả tổng. Dễ dàng kiểm tra được lp (I) là
không gian con của C0 (I). Hơn nữa bản thân lp (I) là không gian Banach
với chuẩn

x

p

|xi |p

=
i∈I

1
p.


20

Đặc biệt khi p = 2 thì ta gọi l2 (I) là khơng gian các họ số bình phương
khả tổng. Nó là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
xi yi , ∀x, y ∈ l2 (I).

< x|y >=
i∈I

1.4. Các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương

Giả sử E là không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn
P = {pα : ∀α ∈ Λ} và I là tập chỉ số (vơ hạn). Kí hiệu:
l∞ (E) = x = (xi )i∈I ⊂ E : pα (xi ) là họ số bị chặn với mọi α ∈ Λ ;
C(E) = x = (xi )i∈I ⊂ E : pα (xi ) là họ hội tụ với mọi α ∈ Λ ;
C0 (E) = x = (xi )i∈I ⊂ E : pα (xi ) là họ số hội tụ tới 0 với mọi α ∈ Λ ;

và
(pα (xi ))q < ∞, với mọiα ∈ Λ , q ≥ 1.

lq (E) = x = (xi )i∈I ⊂ E : (xi ) :
i∈I

Lưu ý rằng họ (xi )i∈I ⊂ E được gọi là hội tụ tới x ∈ E nếu họ số
pα (xi − x)

i∈I

hội tụ tới 0 với mọi α ∈ Λ. Rõ ràng, ta có
lq (E) ⊂ C0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l∞ (E).

Với các phép toán cộng các phần tử và nhân một phần tử với một vô
hướng ta có l∞ (E) là khơng gian tuyến tính và C(E), C0 (E) và lq (E) là
các không gian con của l∞ (E).
Với mỗi α ∈ Λ, đặt
bα (x) = sup pα (xi ),

(1.9)

i∈I

với mọi x = (xi ) ∈ lq (E). Khi đó, tương tự như trong Mục 1.2 ta chứng
minh được bα là nửa chuẩn trên l∞ (E). Do đó, ta có kết quả sau


21

1.4.1 Định lý. ([8]) l∞ (E) là không gian lồi địa phương xác định bởi
họ các nửa chuẩn B = {bα : α ∈ Λ}.
Do C0 (E), C(E), lq (E) là các khơng gian con của khơng gian tuyến
tính l∞ (E) nên chúng cũng là không gian lồi địa phương khi E là không
gian lồi địa phương với họ các nửa chuẩn Q. Ngồi ra, trên lq (E) ta cịn
xét họ các nửa chuẩn C = {cα : α ∈ Λ}, trong đó cα xác định bởi:
cα (x) =

pα (xi )

q

1
q

(1.10)

i∈I

với mọi x = (xi ) ∈ l∞ (E).
Nếu E được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thì các khơng
gian C0 (E), C(E), lq (E) cũng vậy. Do đó nếu E là F −khơng gian thì
C0 (E), C(E), lq (E) cũng là các F − không gian.
1.5. Hàm Orlicz và không gian các dãy Orlicz

Mục này nhắc lại không gian các dãy xác định bởi hàm Orlicz đã trình
bày trong [6]. Cho M là hàm Orlicz, kí hiệu:
∞

lM = x = (xi ) ⊂ K :

M(
i=1

|xi |
) < ∞, ρ > 0 nào đó
ρ

.

Khi đó, lM là khơng gian tuyến tính với phép cộng các phần tử và phép
nhân một phần tử với một số, và nó cũng là một khơng gian Banach, điều
đó được mơ tả qua định lý.
1.5.1 Định lý. ([6]) Cho M là hàm Orlicz. Khi đó, lM là khơng gian
Banach với chuẩn được xác định như sau:
∞

x = inf

ρ>0:

M(
i=1

|xi |
) ≤ 1 , ∀x ∈ lM
ρ

∞

Kí hiệu: hM = x = (xi ) ⊂ K :

M(
i=1

ta có các kết quả sau:

|xi |
) < ∞, ∀ρ > 0 . Khi đó,
ρ


22

1.5.2 Định lý. ([6]) Nếu M là hàm Orlicz thì
i) hM là khơng gian con đóng của lM .
ii) hM là không gian khả li.
1.5.3 Định lý. ([6]) Nếu M là hàm Orlicz suy biến thì
i) lM đẳng cấu với l∞ .
ii) hM đẳng cấu với C0 .


23

CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN CÁC HỌ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG
GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG XÁC ĐỊNH BỞI HÀM ORLICZ

Chương này dành cho việc nghiên cứu không gian các họ nhận giá trị
trong không gian lồi địa phương xác định bởi hàm Orlicz. Đây là sự mở

rộng hoàn toàn tự nhiên của việc xây dựng không gian các dãy nhận giá
trị trong không gian lồi địa phương xác định bởi hàm Orlicz đã được thực
hiện trong [4].
Trong cả chương này các không gian lồi địa phương được giả thiết là
Hausdorff.
2.1. Xây dựng không gian các họ nhận giá trị trong không gian
lồi địa phương xác định bởi hàm Orlicz

Mục này nghiên cứu phương pháp xây dựng cấu trúc tuyến tính, lồi
địa phương cho không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa
phương xác định bởi hàm Orlicz.
Giả sử M là hàm Orlicz, E là không gian lồi địa phương xác định bởi
họ nửa chuẩn P = {pα : α ∈ Λ} và I là tập chỉ số tùy ý. Ký hiệu:
lM (E) = x = (xi ) ⊂ E :

M
i∈I

pα (xi )
< ∞, ρ > 0 nào đó, với mọi α ∈ Λ .
ρ

(2.1)
Để ý rằng, với mỗi α ∈ Λ thì
cũng là họ số. Do đó,

pα (xi )
ρ

i∈I

là họ số, tức là M

pα (xi )
ρ

i∈I


24

pα (xi )
<∞
ρ

M
i∈I

được hiểu là họ số M

pα (xi )
ρ
i∈I

khả tổng.

Với mỗi α ∈ Λ và x ∈ lM (E) ta đặt
qα (x) = inf ρ > 0 :

M

i∈I

pα (xi )
ρ

1 .

(2.2)

Ta có bổ đề sau.
2.1.1 Bổ đề. Nếu qα (x) = 0 với x ∈ lM (E)thì
M
i∈I

pα (xi )
≤1
qα (x)

(2.3)

Chứng minh. Giả sử x ∈ lM (E) và qα (x) = 0. Khi đó, với mọi ε > 0, từ
định nghĩa của qα (x), tồn tại ρα > 0 sao cho ρα
M
i∈I

qα (x) + ε và

pα (xi )
≤ 1.
ρα

Do tính khơng giảm của hàm M suy ra
M
i∈I

pα (xi )
≤
qα (x) + ε

M
i∈I

pα (xi )
≤ 1.
ρα

Cho ε → 0 ta nhận được
M
i∈I

pα (xi )
≤ 1.
qα (x)

Bổ đề sau chỉ ra lM (E) là tập con của không gian các họ bị chặn trong
E.

2.1.2 Bổ đề. lM (E) ⊂ l∞ (E).

25

l∞ (E). Khi đó tồn tại x = (xi ) ∈ lM (E)

Chứng minh. Giả sử lM (E)

không bị chặn, điều đó có nghĩa rằng tồn tại α ∈ Λ sao cho họ pα (xi )

i∈I

không bị chặn. Mặt khác, vì x ∈ lM (E) nên tồn tại ρα > 0 sao cho
M
i∈I

pα (xi )
< ∞.
ρα

Suy ra tồn tại k > 0 thỏa mãn
M

pα (xi )
< k với mọi i.
ρα

Vì M liên tục trên [0, ∞), M (0) = 0 và lim M (t) = ∞ nên tồn tại
t→∞

t0 ∈ (0, ∞) sao cho M (t0 ) = k . Từ họ pα (xi )
pα (xi0 )

tồn tại i0 sao cho
> t0 . Kéo theo
ρα
M

Điều này mâu thuẫn với M

i∈I

không bị chặn suy ra

pα (xi0 )
≥ M (t0 ) = k.
ρα
pα (xi )
ρα

< k với mọi i. Vậy lM (E) ⊂ l∞ (E).

Trong chương trước ta đã biết l∞ (E) là không gian lồi địa phương.
Định lý sau đây chứng tỏ lM (E) là không gian con của l∞ (E).
2.1.3 Định lý. lM (E) là khơng gian tuyến tính với phép toán cộng
các phần tử và nhân một phần tử với một số thông thường.
Chứng minh. Giả sử x = (xi ), y = (yi ) ∈ lM (E). Khi đó với mỗi α ∈ Λ
tồn tại ρ1 , ρ2 > 0 sao cho:
M
i∈I

pα (xi )
< ∞,

ρ1

M
i∈I

pα (yi )
< ∞.
ρ2


26

Đặt ρα = ρ1 + ρ2 . Khi đó, ta có
pα (xi + yi )
pα (xi + yi )
=M
ρα
ρ 1 + ρ2
pα (xi ) + pα (yi )
≤M
ρ 1 + ρ2
ρ1 pα (xi )
ρ2 pα (yi )
≤M
+
ρ1 + ρ2 ρ 1
ρ1 + ρ 2 ρ2
ρ1
pα (xi )
pα (yi )

ρ2
≤
M
M
+
.
ρ 1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ2
ρ2

M

Suy ra
M
i∈I

<

ρ1
ρ1 + ρ2

M
i∈I

pα (xi + yi )
ρα

pα (xi )
ρ1

+
ρ1
ρ1 + ρ2

M
i∈I

pα (yi )
< ∞.
ρ2

Vì vậy, x + y ∈ lM (E).
Nếu λ = 0 thì λx = (0, 0, · · · , 0, · · · ) ∈ lM (E). Nếu λ = 0 thì với mọi
ρ1
ρ=
ta có
|λ|
M
i∈I

pα (λxi )
=
ρ1

M
i∈I

|λ|pα (xi )
=
ρ1

M
i∈I

pα (xi )
< ∞.
ρ

Suy ra λx ∈ lM (E). Do đó lM (E) là khơng gian con tuyến tính của
l∞ (E).

Như vậy, lM (E) là không gian lồi địa phương xác định bởi họ các nửa
chuẩn cảm sinh từ l∞ (E). Sau đây, chúng ta trang bị tôpô lồi địa phương
khác cho lM (E).
2.1.4 Định lý. lM (E) là không gian lồi địa phương xác định bởi họ
nửa chuẩn Q = {qα : α ∈ Λ} cho bởi:
qα (x) = inf ρα > 0 :

M
i∈I

với mọi x ∈ lM (E) và với mỗi α ∈ Λ.

pα (xi )
≤1
ρα

(2.4)