Tài liệu HÌNH HỌC PHẲNG luyện thi vào 10 Chuyên

BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

BÀI TẬP HÌNH PHẲNG
LUYỆN THI VÀO 10 CHUN TỐN

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (AD(O). Gọi K là giao điểm của AN, MB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
NOC tại J
a. Chứng minh KBNJ nội tiếp
b. Chứng minh I,O,K thẳng hàng

a,
𝐵𝐾𝑁 =

1
2

(𝑠đ 𝐴𝑀 + 𝑠đ 𝐵𝑁)

𝐵𝐽𝑁 = 𝐵𝐽𝐶 − 𝑁𝐽𝐶 = 𝐵𝐼𝐶 − 𝑁𝑂𝐶 =

1

2

(𝑠đ 𝐴𝐷 + 𝑠đ 𝐵𝐶) −

1
2

(𝑠đ 𝐷𝑀 + 𝑠đ 𝑁𝐶) =

1
2

(𝑠đ 𝐴𝑀 + 𝑠đ 𝑁𝐵) → đ𝑝𝑐

b,
+) Chứng minh K,O,J thẳng hàng (1)
𝑂𝐽𝑁 = 𝑂𝐶𝑁 = 𝑀𝐷𝑁; 𝑀𝐷𝑁 = 𝐾𝐽𝑁 ( cùng bù góc MBN) Nên 𝑂𝐽𝑁 = 𝐾𝐽𝑁 ⇒ 𝐾, 𝑂, 𝐽 thẳng hàng
+) K,I,J thẳng hàng (2)
𝐼𝐽𝐵 = 𝐼𝐶𝐵 = 𝐴𝐷𝐵 = 𝐴𝑁𝐵 = 𝐾𝐽𝐵 ⇒ 𝐼𝐽𝐵 = 𝐾𝐽𝐵 → K, I,J thẳng hàng

Từ (1), (2) ta có đpcm

Bài 2: Cho tam giác nội tiếp (O). Lấy P thuộc cung BC nhỏ. Gọi (K) là đường tròn đi qua A,P tiếp xúc với AC.
Đường tròn (K) cắt tại S. Gọi (L) là đường tròn đi qua A,P đồng thời tiếp xúc AB và đường tròn này cắt BP tại
T. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC

2


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

a. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DPT
b. Chứng minh 3 điểm S,T,D thẳng hàng

a,
2

Có 𝐵𝐴 = 𝐵𝑃. 𝐵𝑇( hệ thức phương tích). Mà BD=BA
2

⇒ 𝐵𝐷 = 𝐵𝑃. 𝐵𝑇 → 𝐵𝐷𝑃 = 𝑃𝑇𝐷 → 𝐵𝐷là tiếp tuyến của (DPT)
b,
Có
𝐵𝐷𝑇 + 𝐵𝐷𝑆 = 𝐵𝑃𝐷 + (𝐶𝐷𝑆 − 𝐵𝐷𝐶) = 𝐵𝑃𝐷 + 𝐶𝑃𝐷 − 𝐵𝐴𝐶 = 360 − 𝐵𝑃𝐶 − 𝐵𝐴𝐶 = 360 − 180 = 180
Nên 𝐵𝐷𝑇 + 𝐵𝐷𝑆 = 180 ⇒ 𝑆𝐷𝑇 = 180 ⇒3 điểm S,D,T thẳng hàng

3


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 3: Cho 3 đường tròn (O), (O1),(O2) biết (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại I và (O1),(O2) lần tiếp xúc trong
với (O) tại M1,M2. Tiếp tuyến của (O1) tại I cắt (O) lần lượt tại A, A’. AM1 cắt (O1) tại N1, AM2 cắt (O2) tại
N2
a, Chứng minh M1N1N2M2 nội tiếp và AO vng góc với N1N2
b, Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ vng góc AI ( P nằm trên cung AM1 không chứ M2)

Chứng minh rằng nếu PM1, M2Q khơng song song thì AI, PM1, QM2 đồng quy.

a,
2

𝐴𝑁1. 𝐴𝐻1 = 𝐴𝐼 = 𝐴𝑁2. 𝐴𝑀2
𝐴𝑁1𝑁2 + 𝑂𝐴𝑀1 = 𝑁2𝑀 𝑀1 +
2

1
2

(180 − 𝐴𝑂𝑀) =

1
2

(2 𝑁2𝑀2𝑀1 + 180 − 2 𝑁2𝑀2𝑀1) = 90

b,
+) C/m 𝑂1𝑂2//𝑃𝑄 ⇒ 𝑀2𝑂2𝐼 = 𝑀2𝑂𝑃.Mà △𝑂2𝐼𝑀2cân tại 𝑂2 và △𝑂𝑃𝑀2cân tại O
⇒△𝑂2𝐼𝑀2 ∼ △𝑂𝑃𝑀2 ⇒ 𝑂2𝑀2𝐼 = 𝑂𝑀2𝑃 → 𝑃, 𝐼, 𝑀2thẳng hàng
Chứng minh tương tự thì 𝑄, 𝐼, 𝑀1thẳng hàng .
Khi đó Chứng minh I trực tâm của tam giác PSQ
⇒ 𝑆𝐼 ⊥ 𝑃𝑄 mà laị có 𝐴𝐼 ⊥ 𝑃𝑄 ⇒......

4


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B,C cắt
nhau tại G, GD cắt EF tại S, M là trung điểm của BC, EF cắt BC tại T, AT cắt (O) tại K
a. Chứng minh A,E,F,K,H cùng thuộc 1 đường tròn
b. Chứng minh M,H,K thẳng hàng và TO vng góc với GD
c. Chứng minh M,H� 𝑅𝑀𝑄 + 𝑅𝑆𝑄 = 180 ← 𝐾𝑀𝐿 + 𝐴𝐾𝑀 = 180 ; 𝑅𝑆𝑄 = 𝐴𝐾𝑀 (𝐾𝑀𝑆𝐶 𝑛𝑡)
⇑
AK//ML
12


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

c,
+) 𝑅𝑄𝑃𝐺 𝑛𝑡 ⇐ 𝑅𝑃𝑄 = 𝑅𝐺𝑄
𝑅𝑃𝑄 ≡ 𝐵𝑃𝐶 = 𝑅𝐸𝑀 + 𝑀𝐵𝑄 = 𝑅𝐺𝑀 + 𝑀𝐺𝑄 = 𝑅𝐺𝑄
+) 𝑅𝑀𝐸𝐺 𝑛𝑡 ⇐ 𝑅𝑀𝐺 = 𝑅𝐸𝐺 ← 𝐴𝑀𝐿 = 𝐶𝐸𝐺 ← 𝐶𝐴𝐺 = 𝐶𝐸𝐺 ; Tương tự BMQG nội tiếp

d,
Kẻ Gy là tiếp tuyến của (O), gọi giao điểm vủa AP và (O) là X
+) 𝐼𝑃𝐶 = 𝐼𝐺𝑅 = 𝑀𝐶𝐸 = 𝐸𝐶𝐷 → 𝐼𝑃//𝐶𝐷
+) 𝑀𝐴𝐵 = 𝑃𝐴𝐸 ⇒ 𝐵𝐴𝐶 + 𝐶𝐴𝐺 = 𝑋𝐴𝐷 + 𝐷𝐴𝐸 ⇒ 𝐶𝐴𝐺 = 𝑋𝐴𝐷 → 𝑠đ 𝐶𝐺 = 𝑠đ 𝑋𝐷
⇒ 𝐺𝑋//𝐷𝐶 → 𝐼𝑃//𝐺𝑋 ⇒ 𝐴𝑃𝐼 = 𝐴𝑋𝐺
Mà CGXD là hình thang cân; P thuộc đường trung trực CD ⇒ 𝑃 ∈đường trung trực của GX, 𝑃𝐺𝑋 = 𝑃𝑋𝐺
→ 𝐴𝑃𝐼 = 𝑃𝐺𝑋
Có 𝑃𝐺𝑦 = 𝑃𝐺𝑋 + 𝑋𝐺𝑦 = 𝐴𝑃𝐼 + 𝐺𝐴𝑋 = 𝑃𝐼𝐺 ⇒Gy là tiếp tuyến của (PIG)

13


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 11: Chuyên Đại học KHTN năm 2015 vòng 1

1,
+) C/m E,F thuộc AB,AC
𝐼𝐶𝐹 = 𝐼𝐶𝐴(= 𝐼𝐶𝐵) →thẳng hàng
+)

𝐵𝐷
𝐶𝐷

=

𝐴𝐵
𝐵𝐸
→
𝐴𝐶
𝐶𝐹

=

𝐴𝐵
𝐴𝐶

→ 𝐵𝐶//𝐹𝐸

2,
△𝐽𝑀𝑁 𝑣à △𝐷𝐹𝐸 𝑐ó 𝐽𝑀//𝐷𝐹, 𝑀𝑁//𝐸𝐹, 𝐽𝑁//𝐷𝐸 ⇒△𝐽𝑀𝑁 ∼ △𝐷𝐹𝐸 → 𝑀𝐽𝑁 = 𝐸𝐷𝐹
𝑀𝑃𝑁 = 𝑀𝑃𝐴 + 𝑁𝑃𝐴 = 𝐵𝐸𝐷 + 𝐷𝐹𝐶 = 𝐵𝐷𝐸 + 𝐹𝐷𝐶
⇒ 𝑀𝐽𝑁 + 𝑀𝑃𝑁 = 𝐸𝐷𝐹 + 𝐵𝐷𝐸 + 𝐹𝐷𝐶 = 180 → 𝑀𝐽𝑁𝑃 𝑛𝑡
3,
𝑀𝐽𝑁𝑃 nội tiếp ⇒ 𝑀𝑃𝐽 = 𝑀𝑁𝐽 = 𝐷𝐸𝐹
C/m 𝐷𝐸𝐵 = 𝐷𝐸𝐹(= 𝐵𝐷𝐸)

14


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

𝐵𝐸𝐷 = 𝑀𝑃𝐴 → 𝑀𝑃𝐴 = 𝑀𝑃𝐽 → 𝑀, 𝐽, 𝐴 thẳng hàng

Bài 12: Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội (vòng 2) năm 2014

15


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

16

BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 13: Chun tốn TP Hồ Chí Minh 2017-2018

a,
+) 𝑀𝐻𝐶 = 𝐴𝐻𝐿 =

1
2

(180 − 𝐵𝐴𝐶) =

1
2

(𝐴𝐷𝐶 + 𝐴𝐶𝐵) = 𝐷𝐵𝐶 + 𝑂𝐶𝐵 = 𝑀𝑂𝐶

⇒ 𝑀𝐻𝑂𝐶 nội tiếp → 𝑂𝐻𝐶 = 𝑂𝑀𝐶 → 𝑂𝑀𝐶 = 90
+) 𝐴𝐶𝐻 =

1
2

(180 − 𝐵𝐴𝐶) = 𝑂𝐵𝐶 + 𝑂𝐶𝐵 = 𝑁𝑂𝐵 ⇒ 𝐵𝐿𝑁𝐷 𝑛𝑡 → 𝐵𝑁𝑂 = 90

Suy ra BNMC nội tiếp

b,

BDFC nội tiếp
⇑

P thuộc BC ;

PD.PF=PB.PC

⇑ 𝑂𝐽𝐵 = 90

⇑

𝑂𝐽𝑃 = 90
⇑

𝑃𝐷. 𝑃𝐹 = 𝑃𝐾. 𝑃𝐽 = 𝑃𝑀. 𝑃𝑁 = 𝑃𝐵. 𝑃𝐶
⇑
⇑
⇑

2

DJKF nt

𝑂𝐽 = 𝑂𝐷. 𝑂𝑃
⇑
2

𝑂𝐻 = 𝑂𝐼 . 𝑂𝐴

JNMK nt
⇑

câu a

𝑃𝐽𝑁 = 𝑃𝑀𝐾
𝑃𝑀𝐾 = 𝑂𝑀𝐻 + 𝐵𝑀𝐾 = 𝑂𝐶𝐻 + 𝑀𝐵𝐶 = 𝐷𝐶𝐵 + 𝑂𝑁𝐽 = 𝑃𝐽𝑁
17


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), Vẽ đường tròn (K) qua B,C cắt AC,AB lần lượt tại E,F. BE,CF
cắt nhau tại G, GA cắt BC tại D. Gọi H là hình chiếu của B lên AD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HDC cắt
(K) tại L, M là trung điểm của BC. Vẽ tiếp tuyến tại B,C của (K) cắt nhau tại T, (AEF) vắt BE,CF lần lượt tại
P,Q
a. Chứng minh AQ song song BT
b. Chứng minh A,T,G thẳng hàng
c. Chứng minh ML vng góc với LC

a,
𝐴𝑄𝐸 = 𝑀𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝑥𝐵𝐴 → 𝐵𝑥//𝐴𝑄
b, CMTT câu a có AP//CT
𝑃𝑄𝐺 = 𝑃𝐴𝐸 ; 𝐸𝐵𝐶 = 𝐸𝐹𝐶 = 𝑃𝐴𝐸 ⇒ 𝑃𝑄𝐺 = 𝐸𝐵𝐶 ⇒ 𝑃𝑄//𝐵𝐶 → △𝐴𝑃𝑄 ∼ △𝑇𝐶𝐵
⇒

𝐴𝑄

𝐵𝑇

=

𝑃𝑄
𝐶𝐵

=

𝐺𝑄
(PQ//BC) ⇒ △𝐴𝑄𝐺 ∼ △𝑇𝐵𝐺 (𝑐𝑔𝑐) ⇒ 𝐴𝐺𝑄 = 𝐵𝐺𝑇
𝐺𝐵

c, C/m BHMT nội tiếp ( 𝐵𝐻𝑇 = 𝐵𝑀𝑇=90)

18


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

𝑇𝐵𝐿 = 𝐿𝐶𝐵(=

1
2

NĂM HỌC: 2020-2021

𝑠đLB)=𝐿𝐻𝐷 ⇒ 𝑇𝐵𝐿 = 𝑇𝐻𝐿 ⇒ 𝐵𝐻𝐿𝑇nội tiếp → 5 điểm B,H,L,M,T thuộc 1 đường tròn

𝑀𝐿𝐶 = 𝐻𝐿𝐶 − 𝐻𝐿𝑀 = 𝐻𝐷𝐶 − 𝐻𝑇𝑀 = 𝐻𝑇𝑀 + 90 − 𝐻𝑇𝑀 = 90

Bài 15: Cho (O) và dây AB. Lấy M thuộc cung lớn AB sao cho tam giác MAB nhọn. Kẻ MH vng
góc với AB. E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AM,BM
a. Chứng minh OM vng góc EF
b. Lấy I thuộc MH, AI,BI cắt MB,MA lần lượt tại C,D. Đường thẳng qua I song song AB cắt
HC,HD lần lượt tại P,Q. Chứng minh IP=IQ
2

c. Gọi giao điểm của OM và AB là N. Chứng minh
d. Chứng minh

𝐻𝐴
𝐻𝐵

+

𝑁𝐴
𝑁𝐵

𝑀𝐴
𝑀𝐵

2

=

𝐻𝐴
𝐻𝐵

.

𝑁𝐴
𝑁𝐵

𝑀𝐴

≥2 𝑀𝐵

a, Kẻ đường kính MK
b, Từ M kẻ đường thẳng // BC cắt HD,HC lần lượt tại Y,X.

Áp dụng định lý Ceva vào tam giác ABC có
𝑀𝐶
𝐶𝐵

.

𝐵𝐻
𝐻𝐴

.

𝐴𝐷
𝑀𝑋
= 1⇒
𝐷𝑀
𝐻𝐵

.

𝐵𝐻
𝐻𝐴

.

𝐴𝐻
= 1 → 𝑁𝑋 = 𝑀𝑌 ⇒I là trung điểm của PQ
𝑌𝑀

c,
𝑁𝐴 𝐴𝑀
=
𝑁𝐾 𝐾𝐵
𝐴𝐾
𝑁𝐴 𝐴𝑀
→
=
𝑀𝐵
𝑁𝐵 𝑀𝐵

+) △𝐴𝑁𝑀 ∼ △𝐾𝑁𝐵 →
→

𝑁𝐾
𝑁𝐵

𝑁𝐴

𝐴𝑀

. 𝑁𝐾 = 𝐾𝐵 .

△𝐴𝑁𝐾 ∼ △𝑀𝑁𝐵 →

.

𝐴𝐾
𝐾𝐵

19

𝑁𝐾 𝐴𝐾
=
𝑁𝐵 𝑀𝐵


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

𝐴𝐻 𝐴𝑀
=
𝐾𝐵 𝐾𝑀
𝑀𝐾
𝑀𝐴 𝐴𝐻
→
=
𝑀𝐵
𝑀𝐵 𝐻𝐵

+) △𝐴𝑀𝐻 ∼ △𝐾𝑀𝐵 →
→

𝐴𝐻
𝐾𝐵

𝐾𝐴

𝐴𝑀

. 𝐻𝐵 = 𝐾𝑀 .

NĂM HỌC: 2020-2021

𝐻𝐵 𝐵𝑀
=
𝐴𝐾 𝐾𝑀
𝐾𝐴
𝑁𝐴 𝑀𝐴
Mà
=
𝐾𝐵
𝑁𝐵 𝑀𝐵

△𝐴𝑁𝐾 ∼ △𝑀𝑁𝐵 →

.

𝐴𝐾
𝐻𝐴 𝑀𝐴
⇒
=

𝐾𝐵
𝐻𝐵 𝑀𝐵

.

.

𝐾𝐴
𝐾𝐵

→đpcm

d, Áp dụng AM-GM
𝐻𝐴
𝐻𝐵

𝑁𝐴

+ 𝑁𝐵 ≥ 2

𝐻𝐴
𝐻𝐵

.

𝑁𝐴
𝑁𝐵

𝑀𝐴

= 2 𝑀𝐵

Bài 16: Cho (O) đường kính AB, kẻ dây CD vng góc với AB tại H ( H nằm giữa A và O). lấy G
thuộc HC, AG cắt (O) tại E. BE cắt DC tại K
a, Chứng minh KC.KD=KB.KE
b, AK cắt (O) tại F. Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HFE
c, Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A,B lên EF. Chứng minh HE+HF=MN

c, Gọi I đối xứng với F qua AB, suy ra I thuộc (O)
Có 2𝐴𝐻𝐹 = 𝐹𝐻𝐼 ⇒ 𝐹𝐻𝐼 = 𝐴𝐻𝐹 + 𝐸𝐻𝐵 ⇒ 𝐹𝐻𝐼 + 𝐸𝐻𝐹 = 𝐴𝐻𝐹 + 𝐸𝐻𝐹 + 𝐸𝐻𝐵 = 180 → 𝐸, 𝐻, 𝐼 thẳng
hàng
+) Kẻ AJ vuông góc với BN→ 𝐽 ∈ (𝑂)
𝐻𝐸 + 𝐻𝐹 = 𝑀𝑁 ← 𝐸𝐼 = 𝐴𝐽 ← 𝐴𝐸𝐽𝐼 là hình thang cân← 𝑠đ 𝐴𝐼 = 𝑠đ 𝐸𝐽; 𝐴𝐹𝐸𝐽 𝑛𝑡; 𝐸𝐹//𝐴𝐽

⇑
20

⇓


BS: BÙI DUY LONG-PHÙNG CHÍ KIÊN- NAM ĐỊNH

NĂM HỌC: 2020-2021

sđ AF=sđ EJ

21

AFEJ là hình thang cân