tài liệu hình học phẳng

I
F
E
K
M
N
O
C
A
B
D
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
Bài 1
Cho tam giác ABC. E là trung điểm đoạn AB, M nằm trên đường thẳng CE thoả
mãn
·
·
ACE EMB
=
. Đặt
·
CEB
ϕ
=
. Tính tỉ số
CM
AB
theo
ϕ
.
Lời giải :

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên CE.
Từ AE = EB suy ra AH = BK
CAH MBK CH MK CM HK
∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =
Vậy
2
os
2
CM HK KE
c
AB AB EB
ϕ
= = =
Bài 2
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Đường thẳng MN vuông góc với BD tại O ( M
thuộc đoạn AB và N thuộc BC kéo dài). E, F lần lượt là trung điểm của AD và DC.
Chứng minh : ME vuông góc với NF.
Chứng minh :
Cách 1
Gọi I là trung điểm của BC; K là giao điểm của ON và CD
∆
MEO =
∆
KIO
⇒
ME // KI (1)
Xét
∆
IFN có FC
⊥

IN và NK
⊥
FI (do IF // BD) nên K là trực tâm
∆
IFN

⇒
IK
⊥
NF (2)
Từ (1) và (2) suy ra ME
⊥
IK

Cách 2
• Nhận xét :
Cho
∆
ABC ,
∆
A’B’C’.
M thuộc đoạn BC, M’ thuộc đoạn B’C’ thoả
mãn
' '
' '
MB M B
MC M C
=
Khi đó 3 mệnh đề sau tương đương :
a)

∆
ABC ~
∆
A’B’C’.
b)
∆
ABM ~
∆
A’B’M’.
c)
∆
ACM ~
∆
A’C’M’.
• Chứng minh
Tứ giác AMOD nội tiếp suy ra
·
· ·
DMO DAC DBC
= =

⇒
tứ giác DMBN nội tiếp
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà

⇒

·
·

0
90MDN MBN
= =

⇒

·
·
ADM CDN=

⇒

∆
ADM ~
∆
CDN (g-g).

⇒

∆
DEM ~
∆
DFN (theo nhận xét)

⇒
(EM, FN) = (DE, DF) =
2
π
Bài 3
Cho tam giác nhọn ABC. M là 1 điểm thuộc miền trong tam giác thoả mãn

·
· ·
·
,BAM MBC MAC MCB
= =
. N thuộc đường thẳng BC sao cho NA = NM. O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
·
·
2ANM ONB=
Chứng minh :
• Nhận xét : BC tiếp xúc với đường tròn (AMB)
CB tiếp xúc với đường tròn (AMC)
• Gọi O
1
là tâm đường tròn (AMB)
O
2
là tâm đường tròn (AMC)
Ta có
1 2
1
2
OO O MBC
NO NB
NO NC
∆ ∆




=


:
1
ON O NBM⇒ ∆ ∆:
(theo nhận xét bài 2)
·
·
·
·
·
·
1
1
O
O
2
ON MNB
MN ONB
ANM ONB
⇒ =
⇒ =
⇒ =
Bài 4
Cho tam giác ABC, M chạy trên đoạn BC. Dựng hình bình hành APMN ( P thuộc
đoạn AB, N thuộc đoạn AC). Chứng minh rằng : đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán phụ :
Cho tam giác ABC cân tại A. M chạy trên đoạn BC. Dựng MH

⊥
AB, MK
⊥
AC (H
thuộc AB, K thuộc AC) . Chứng minh rằng : MH + MK không đổi.
Chứng minh bài toán phụ :
Cách 1 :
Đặt
·
·
ABC ACB
α
= =
Ta có MH = MB.sin
α
, MK = MC.sin
α
Suy ra MH + MK = BC. sin
α
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
Cách 2 :
Dựng BE
⊥
AC, MF
⊥
BE
Khi đó MH + MK = BF + FE = BE ( không đổi)
Dự đoán kết quả cho bài 4 :
Khi M

≡
B thì N
≡
A, P
≡
B, đường tròn (ANP)
tiếp xúc với AC tại A
Khi M
≡
C thì P
≡
A, N
≡
C, đường tròn (ANP)
tiếp xúc với AB tại A
Chứng minh bài 4
Dựng đường tròn (O
1
) qua A, B, tiếp xúc với AC tại A
Dựng đường tròn (O
2
) qua A, C, tiếp xúc với AB tại A
Gọi K là giao điểm của 2 đường tròn đó. Ta cần chứng minh tứ giác APKN nội
tiếp
Ta có :
·
·
BAK ACK=
(chắn cung
»

AK
của (O
2
))
·
·
ABK CAK=
(chắn cung
»
AK
của (O
1
)) (*)
⇒
∆
KAB ~
∆
KCA (g-g)
⇒
KB AB
KA AC
=
(1)
Lại có
PB NA
PA NC
=
⇒

AB

A+NC AB
PB NA PB NA PB
PB PA N AC NA AC
= ⇒ = ⇒ =
+

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
KB PB
KA NA
=
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
∆
KPB ~
∆
KNA (c – g – c)
⇒

·
·
BPK ANK=
⇒
tứ giác APKN nội tiếp
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP luôn đi qua điểm Kcố định.
Bài 5
Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân ABE, AFC. Chứng
minh rằng : BF, CE, EF là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và tính các góc của tam giác đó
theo
,

α β
Chứng minh :
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
Dựng hình bình hành BECK,
∆ BFK có 2 cạnh là BF, BK = CE.
Chỉ cần chứng minh FK = EF.
Có
·
·
2
EAF BAC
π
= +

·
·
·
2
BCK EBC ABC
π
= = +
·
·
·
·
·
·
·
2

2
2 2 2
FCK ACF ACB BCK
ACB ABC BAC
π
π π π
π
⇒ = − − −
= − − − − = +
Do đó
·
·
( . . )EAF FCK EAF KCF c g c= ⇒ ∆ = ∆

F=FKE⇒
Vậy ∆ BFK có 3 cạnh thoả mãn yêu cầu.
Bài 6
Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O; R). Điểm M nằm trong (O;R). Đặt OM = d.
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tính diện tích tam giác
đó theo R, d
Chứng minh :
Ý 1 : chứng minh MA, MB, MC là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Cách 1: Dựng ∆ MBN đều
∆ ABM = ∆ CBN (c-g-c) ⇒ NC = MA.
Vậy ∆ MNC có 3 cạnh thỏa mãn yêu cầu.
Cách 2: Qua M dựng các đường thẳng lần lượt song song
với các cạnh của tam giác ABC ( như hình vẽ ). Khi đó
MTAV, MVBY, MYCT là các hình thang cân nên
MA = TV
MB = VY

MC = YT
Vậy tam giác TVY có 3 cạnh thoả mãn yêu cầu
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
Nhận xét
Gọi A’, B’,C’ là giao điểm của AM, Bm, CM với đường tròn (O)
Khi đó :
22
..
''
.
''
.
''
.
dR
MCMBMA
BA
ABMC
AC
CAMB
CB
BCMA
−
===
Thật vậy:
∆ MC’B’ ~ ∆ MBC (g-g)⇒
BC
BC
MC

MB '''
=
Do đó
''
.
'
.
'.
....
22
CB
BCMA
MB
MCMA
MBMB
MCMBMA
dR
MCMBMA
===
−
Ý 2: Tính diện tích
∆ ABC đều ⇒ AB = BC = CA nên
)(3
..
''''''
22
dRR
MCMBMA
BA
MC

AC
MB
CB
MA
−
===
Gọi tam giác có 3 cạnh MA, MB, MC là ∆(M). Ta có:

2
2 2
( ) . .
( ' ' ')
3. .( )
S M MA MB MC
S A B C
R R d
 
∆
=
 
−
 
(1)
( do ∆(M) ∼ ∆ A’B’C’)

[ ]
3
)22
3
..(3

)..(
'''.''.'
..
dRR
MCMBMA
ACCBBA
MCMBMA
−
=
⇒
3 2 2 3 2 2 2 3
2 2 2
' ' '
3 3 .( ) 3 3 .( )
. .
' '. ' '. ' ' 4
A B C
R R d R R d
MA MB MC
A B B C C A S
− −
= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
2 2 2 3
2 2
' ' '
( )
2 2 2 2 2 2 2 2

. . .
3 3. .( ) 3
( )
3 ( ) 4.3 ( ) 4
A B C
M
MA MB MC S
R R d
S R d
R R d R R d
∆
−
= = = −
− −
Bài 7
Cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB sao cho
AP
AB
BM CN
k
BC CA
= = =
. Chứng minh : AM, BN, CP là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm k
để diện tích tam giác đó nhỏ nhất .
Chứng minh :
Vẽ hình bình hành ABCD. Lấy E trên CD sao
cho NE // BC // AD
Dễ chứng minh BN = ME, AE = CP.
Khi đó tam giác AME là tam giác có 3 cạnh
độ dài là AM, BN, CP.

Gọi S là diện tích tam giác ABC
Ta có :
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
Chuyên đề Hình học phẳng, biên soạn theo bài giảng của thầy Nguyễn Minh Hà
2
2
2 . (1 ). . (1 ).
( 1).
1 3 3
[(k - ) ].S
2 4 4
AME ABCD ABM MCE AEB
S S S S S
S k S k k S k S
k k S
S
= − − −
= − − − − −
= − +
= + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
k =
Vậy khi
1
2
k =
thì tam giác tạo được có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8

Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC thoả mãn

·
·
·
·
·
·
BMC BAC CMA CBA AMB ACB
− = − = −

Chứng minh : MA. BC = MB. CA = MC. AB
Chứng minh
Vẽ đường tròn (ABC)
AM, BM, CM cắt (ABC) tại A’,B’,C’.
·
·
¼
¼
¼
¼
1 1 1
( ' ' ') ' ' '
2 2 2
BMC BAC sd BA C sd B AC sd BA C sd B AC− = + − =
Tương tự:
·
·
¼
1

' '
2
CMA CBA sdC BA− =

·
·
¼
1
' '
2
AMB ACB sd A CB− =
⇒ B’C’ = C’A’ = A’B’ (1)
Ta có:
. . .
(2)
' ' ' ' ' '
MA MB MB CA MC AB
B C C A A B
= =
( đã biết )
Từ (1) & (2) ⇒ MA.BC = MB.CA = MC.AB
Bài 9:
Cho hình chữ nhật OABC, đường tròn (O ; OA) cắt BC tại D, tiếp tuyến tại D của
(O ; OA) cắt OC tại E. Chứng minh : AE
⊥
OB
Chứng minh :
Cách 1
Ta có:
2

.OD OC OE=

2
.OA OC OE⇒ =

OA OE
OC OA
⇒ =

OA OE
AB OA
⇒ =
Người biên soạn: Phùng Thị Thu Hà - GV Toán - THPT chuyên Nguyễn Tất Thành