Tài liệu luyện thi vào 10 năm 2007-2008

LUYỆN THI VÀO LỚP 10 − THPT
PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết)
1. Các bài toán rèn luyện kĩ năng tính toán cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)−
3)
2
( 3 2)−
4)
2
( 3 2)−
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21−
3)
5 24+
4)
12 140−
5)
14 6 5+
6)
8 28−
7)
9 4 2+

8)
28 6 3+
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
1) x
2
− 5x + 6 2) x
2
− 7x + 6 3) x
2
+ 9x + 20 4) x
2
+ 6x + 8
5) 2x
2
+ 3x − 5 6) 3x
2
− 4x + 1 7) 4x
2
− 7x + 3 8) 5x
2
+ 12x − 17
Bài 4: Với x ≥ 0. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử
1)
x 5 x 6− +
2)
x 3 x 2− +
3)
x 4 x 3− +
4)
x 7 x 6− +

5)
2x 3 x 1− +
Bài 5: Giải các hệ phương trình
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2

+ =


− =

Bài 6: Tìm giá trị của x để
1) x
2
− 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2)
2
1
x 2x 5+ +
có giá trị lớn nhất
3)
2
2
2x 5
2x 1
+
+
có giá trị lớn nhất 4)
2
2
x 2x 1
x 4x 5
− +
+ +
có giá trị nhỏ nhất
Bài 7: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A =

6
x 1−
2) B =
14
2x 3+
3) C =
x 5
x 2
+
+
4) D =
4x 3
2x 6
+
−
Bài 8: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3)
5x 2 1 2x
4 12
− −
>
4)
11 3x 5x 2
10 15
− +
<
2. Các bài toán tổng hợp
Các dạng toán:
1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

2) Rút gọn biểu thức
3) Dạng giải phương trình, bất phương trình
4) Tìm cực trị của biểu thức
5) Xác định giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 1: Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) min A = 4 khi

1
x
4
=
ĐỖ TRUNG THÀNH − GIÁO VIÊN THCS Trang 1
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 − THPT
Bài 2: Cho biểu thức:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6
+
= − +
+ −
+ −
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2
b)
x 1
A
x 2
+
=
−
c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1
Bài 3: Cho biểu thức
1 1 x 2

C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+
   
= − + − −
 ÷  ÷
− −
   
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20= +
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0
b)
x 2
C
x 2
−
=
+
c)
C 5 2= −
d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 4: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −

− −
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi
x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
c) B > 0 ⇔ x > 1 (thỏa); B < 0 ⇔ x < 1 (Không có nghiệm do đk: x > 0); B = 0 ⇔ x = 1 (loại).
Bài 5: Cho biểu thức
x 1 2 x
H 1 :
x 1
x 1 x x x x 1
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a) Rút gọn biểu thức H
b) Tính giá trị của biểu thức H khi
53
x
9 2 7
=
−

c) Tìm giá trị của x để H = 16
HD: a) x > 1:
H x 2 x 1= − −
b)
x 9 2 7 H 7= + ⇒ =
c) H = 16 ⇔ x = 26
Bài 6: Cho biểu thức
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= + −
+ −
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị của N khi
a 4 2 3, b 4 2 3= + = −
c) Chứng minh rằng nếu
a a 1
b b 5
+
=
+
thì N có giá trị không đổi.
HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0:
a b
N
b a
+
=
−

b)
N 3= −
c)
a a 1 a 1
b 5a
b b 5 b 5
+ −
= = ⇒ =
+ −
⇒
3
N
2
=
ĐỖ TRUNG THÀNH − GIÁO VIÊN THCS Trang 2
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 − THPT
PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20
phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi
lẫn về là 5 giờ 50 phút.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0).
Ta có phương trình:
x x 1 5
5
30 25 3 6
+ + =
. Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận
tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc
10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng

đường AB.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Ta có phương trình:
x x x
60 : 40 60 : 50 1
2 2 40
   
− + + = −
 ÷  ÷
   
. Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc
của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
80 80 1
8
x 4 x 4 3
+ =
+ −
. Giải ra ta được:
1
4
x
5
= −
(loại), x
2
= 20 (km)
Bài 4: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h,

canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận
tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình:
x x 2
20 24 3
− =
. Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24
km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước
yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
Ta có phương trình:
24 16
2
x 4 x 4
+ =
+ −
. Giải ra ta được x
1
= 0 (loại), x
2
= 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi
xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp
2,5 lần vận tốc xe đạp.
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
50 50
(1,5 1)

x 2,5x
= + +
. Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ
mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi
xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
Ta có phương trình:
100 100 5
x 2 x 2
− =
−
. Giải ra ta được: x
1
= −8 (loại), x
2
= 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc
của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao
nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng
2
5
diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
ĐỖ TRUNG THÀNH − GIÁO VIÊN THCS Trang 3
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 − THPT
Ta có phương trình:
2
2
4x (24 2x)(18 2x)

5
= − −
. Giải ra ta được: x
1
= −18 (loại), x
2
= 4 (thỏa)
Bài 9: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần,
nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là
xy
(0 < x, y ≤ 9 và x, y ∈ Z)
Ta có hệ:
6(x y) 10x y x 5
xy 25 10y x y 4
+ = + =
 
⇔
 
+ = + =
 
. Vậy số phải tìm là 54
Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy
2
5
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao
lâu mới đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:

80 80
1
x 120
x y
10 12 2 y 240
x y 15

+ =

=


⇔
 
=


+ =


Bài 11: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và
người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình
thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
1
x 24
x y
3 6 1 y 48

x y 4

+ =

=


⇔
 
=


+ =


(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế.
Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x ∈ Z, x > 0)
Ta có phương trình:
360
(x 1) 1 400
x
 
+ + =
 ÷
 
. Giải ra ta được: x
1

= 15, x
2
= 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.
PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết)
Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
HD: a) Hai đường thẳng cắt nhau ⇔ 2m + 1 ≠ 2 ⇔
1
m
2
≠
b) Hai đường thẳng song song với nhau ⇔
1
m
2
=
c) Không xảy ra.
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1 ; 3) và B(0 ; 5)
HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b. Vì đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Nên (a,
b) là nghiệm của hệ:
a b 3 a 2
b 5 b 5
− + = =
 
⇔
 
= =

 
ĐỖ TRUNG THÀNH − GIÁO VIÊN THCS Trang 4
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 − THPT
Bài 3: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x
2
và hai đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD: a) Khi m = 1 thì giao của (d
1

) và (d
2
) là nghiệm của hệ:
x y 2 x 3
3x 2y 11 y 1
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
⇒ M(3 ; 1)
b) (d
1
) song song với (d
2
) ⇔
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x
2
− mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m
2
= 16 ⇔
m 4
m 4

=


= −

Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2). Tìm các giá trị của m, n trong mỗi trường hợp
sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(−1 ; 2) và B(3 ; −4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2−
và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng
2 2+
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d
1
): −2y + x − 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d
2
): 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d
3
): y − 2x + 3 = 0
HD: a) ĐS:
1
m n
2
= =
b) ĐS:
3 2
m 1 2 ; n

2
= − =
c) ĐS: (d) cắt (d
1
) khi m ≠ 2,5 và n tùy ý
d) ĐS: (d) song song với (d
2
) ⇔ m = 0,5 và n ≠ 0,5
e) ĐS: (d) ≡ (d
3
) ⇔ m = 4 và n = 3
Bài 6: Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
Bài 7: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d
1
): 5x + 11y = 8 (d
2
): 10x − 7y = 74 (d
3
): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d
2
): 2x + 3y = 7 (d

3
): (d
1
): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




− =


b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

− =





+ =


c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+ −



− = −

+ −

d)
4 5
2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y


+ =

− +



− =

+ −

HD: a) ĐS:
10
(x ; y) 2 ;
3
 
=
 ÷
 
b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
 
 ÷
 
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
 

=
 ÷
 
ĐỖ TRUNG THÀNH − GIÁO VIÊN THCS Trang 5