VẬN DỤNG LÍ THUYẾT GRAPH TRONG DẠY HỌC PHẦN DI TRUYỀN HỌC (SINH HỌC 12 – THPT)

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ KHIÊN

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT GRAPH TRONG DẠY HỌC PHẦN DI TRUYỀN
HỌC (SINH HỌC 12 – THPT)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC

Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

1


2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ KHIÊN

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT GRAPH TRONG DẠY HỌC PHẦN DI
TRUYỀN HỌC (SINH HỌC 12 – THPT)

CHUYÊN NGÀNH: Lý luận và PPDH bộ môn Sinh học
MÃ SỐ: 62.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ ĐÌNH TRUNG

Hà Nội, 2014

LỜI CAM ĐOAN
2


3

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu, kết
quả nghiên cứu của luận án là khách quan, trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kì cơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Khiên

3


4

LỜI CẢM ƠN!
Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều
sự giúp đỡ rất quý báu của các tập thể và cá nhân.
Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Lê
Đình Trung người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt q
trình nghiên cứu, thực hiện và hồn thành luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ mơn Lí luận và
Phương pháp dạy học Sinh học, các thầy cô giáo trong khoa Sinh học - Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu các trường THPT của
các tỉnh Hải Dương, Hải Phòng, Quảng Ninh, các giáo viên cộng tác, các bạn đồng
nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện tiến hành thực nghiệm thành công luận án.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp
Trường Đại học Hải Dương đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả nghiên cứu và
hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án.
Hà Nội, ngày tháng năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Khiên

4


5

MỤC LỤC

5


6

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT, CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN ÁN

TT

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

31
32
33

6

VIẾT TẮT
aa
ADN
ARN
CĐ
ĐB
ĐB NST
ĐBG
ĐC
ĐH
DT
DTH
E
GV
HS
KNSH
MT
NSBS
NST
Nu
PPDH
PTDH
QLDT
SGK

SVNS
SVNT
THPT
TN
TT
TTDT
V
VC
VCDT
VD

XIN ĐỌC LÀ
Axit amin
Axit Deoxy ribo Nucleic
Axit Ribo Nucleic
Cao đẳng
Đột biến
Đột biến nhiễm sắc thể
Đột biến gen
Đối chứng
Đại học
Di truyền
Di truyền học
Đỉnh
Giáo viên
Học sinh
Khái niệm sinh học
Môi trường
Nguyên tắc bổ sung
Nhiễm sắc thể

Nucleotit
Phương pháp dạy học
Phương tiện dạy học
Quy luật di truyền
Sách giáo khoa
Sinh vật nhân sơ
Sinh vật nhân thực
Trung học phổ thơng
Thực nghiệm
Tính trạng
Thơng tin di truyền
Cung
Vật chất
Vật chất di truyền
Ví dụ


7

DANH MỤC BẢNG

7


8

DANH MỤC HÌNH

8

9
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Xuất phát từ mục đích dạy học hiện nay
Mục đích của việc dạy là làm cho học sinh (HS) biết học đúng cách, điều này
thể hiện ở chỗ HS bắt đầu quan niệm về hiện tượng và ý tưởng theo cách mà các
nhà khoa học đã quan niệm, nghĩa là làm cho HS hiểu các nhà khoa học đó. Người
dạy phải tự hỏi về những tác động của việc dạy của mình đối với việc học của HS
như thế nào và trước hết có làm cho HS hiểu đúng khơng? Có dẫn tới một cách học
của HS mà giáo viên (GV) mong muốn hay không? [21];[22];[25].
Dạy nhằm làm cho HS hiểu, giúp HS hiểu đúng, hiểu nhanh. Cho nên GV
luôn phải nắm được cách hiểu của HS đối với những điều GV dạy. Để làm được
việc này HS phải biết cách trình bày sự hiểu của mình thơng qua cách minh hoạ,
truyền đạt kiến thức của mình cho người khác hoặc tự thể hiện bằng nhiều mức độ
như: tái hiện; mô tả bằng hình vẽ, sơ đồ, bảng biểu..cuối cùng biết vận dụng vào
thực tế để giải quyết các vấn đề.
1.2. Xuất phát từ chủ trương, đường lối của Đảng và Chính phủ về yêu cầu đổi
mới phương pháp dạy học hiện nay
Nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo là một mục tiêu quan trọng của sự
nghiệp đổi mới giáo dục hiện nay ở nước ta, trong đó đổi mới phương pháp dạy học
được coi là một trong những nhiệm vụ chiến lược.
Cuối thế kỉ XX, khoa học giáo dục đã chuyển từ quan điểm dạy học "lấy
người dạy làm trung tâm" sang quan điểm "lấy người học làm trung tâm"; Nghị
quyết đại hội lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa
VIII, 1997) [2] đề ra giải pháp chủ yếu trong việc đổi mới phương pháp giáo dục –
đào tạo là “ Đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một
chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy - học, bảo đảm
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại

học…”; Đại Hội IX của Đảng (4/2001) và chiến lược phát triển giáo dục 2001-2010

9


10
tiếp tục khẳng định" Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung,
phương pháp dạy và học... phát huy tinh thần độc lập suy nghĩ và sáng tạo của học
sinh, sinh viên để nâng cao năng lực tự học, tự hoàn thiện học vấn và tay nghề.."; Vì
thế, năng lực học của HS phải được nâng lên, nhờ vào học sinh biết "học cách học"
và giáo viên biết "dạy cách học"; Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa
Việt Nam đã quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên”.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị
quyết số 29-NQ/TW) ngày 04 tháng 11 năm 2013 [5] về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu CNH-HĐH trong điều kiện kinh tế thị trường
định hướng XHCN và hội nhập quốc tế. Trong đó nhiệm vụ và giải pháp cụ thể về
tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại: “Phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục
lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ
năng, phát triển năng lực…”
Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệu vụ quan trọng của
ngành giáo dục nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của HS. Nhiệm vụ đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của HS khơng chỉ
là định hướng mà cịn địi hỏi cần nghiên cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận
dụng của những phương pháp dạy học tích cực.
1.3. Xuất phát từ lợi thế của Graph trong dạy học
Phương pháp Graph bắt nguồn từ phương pháp nghiên cứu khoa học. Từ một

phương pháp riêng của toán học, nay Graph đã trở thành một phương pháp chung
của nhiều ngành khoa học, được ứng dụng rộng rãi trong những lĩnh vực khác nhau,
trong đó có phương pháp dạy học - cả khoa học tự nhiên và khoa học xã hội như:
Hố học, Vật lí, Sinh học, Kĩ thuật nông nghiệp, Kĩ thuật quân sự, Lịch sử, Địa lí,
Ngữ văn....Bởi vì graph tốn học là phương pháp khoa học có tính hệ thống, logic,
khái qt, trực quan, ổn định và chuyển tải cao. Nó thuộc phương pháp riêng, rộng,

10


11
có thể áp dụng trọng nhiều mơn khoa học và dễ kết hợp với các phương pháp dạy
học khác như: Diễn giảng, đàm thoại, nêu vấn đề.. để mã hóa các mối quan hệ của
các đối tượng được nghiên cứu. Ngoài ra, mỗi graph được xây dựng phải trải qua
phân tích, so sánh, tổng hợp, phát hiện cái chung và cái riêng nên rất thuận lợi áp
dụng phương pháp graph vào quá trình dạy học trong các khâu của bài lên lớp như
dạy học hình thành kiến thức mới, dạy học củng cố, ơn tập, hồn thiện kiến thức và
trong kiểm tra, đánh giá. Nhờ tính trực quan, khái quát, hệ thống, logic nên Graph
có tính chuyển tải cao, trong một thời gian ngắn có thể cung cấp cho người học một
lượng kiến thức lớn, với những mối quan hệ phức tạp. Lý thuyết Graph đã tạo điều
kiện thuận lợi trong việc giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu nội dung bài học, môn
học theo hướng quy nạp, diễn dịch, xác định được mối quan hệ giữa tổng thể và bộ
phận, giúp học sinh nắm chắc được logic của vấn đề cần lĩnh hội. Chính vì thế việc
nghiên cứu kĩ về lí thuyết Graph và vận dụng nó vào dạy học sẽ bảo đảm nâng cao
chất lượng học các kiến thức Di truyền một cách tối ưu.
1.4. Xuất phát từ các đặc trưng cơ bản của phần Di truyền học (Sinh học 12 –
THPT)
Phần Di truyền học (DTH) (Sinh học 12 – THPT) nghiên cứu những tri thức
cơ bản về cơ sở vật chất, cơ chế của hiện tượng di truyền và biến dị ở các cấp độ tổ
chức sống từ phân tử, tế bào đến cơ thể, quần thể, về tính quy luật của hiện tượng di

truyền, những ứng dụng của di truyền trong sản xuất và đời sống và cả di truyền học người.
Như vậy, nội dung kiến thức phần Di truyền học, mang tính hệ thống, tầng
bậc rõ ràng, là một hệ thống lớn bao gồm nhiều hệ thống nhỏ. Kiến thức phần Di
truyền học là phần kiến thức khó mang tính trừu tượng cao và là một trong những
phần trọng tâm của chương trình Sinh học THPT.
Vì vậy, việc tìm ra một cách dạy, cách học phù hợp với kiến thức Di truyền
là rất quan trọng, đảm bảo cho học sinh vừa tiếp thu được nội dung kiến thức mới,
vừa hệ thống được các kiến thức trong một logic chặt chẽ và biết vận dụng chúng
vào thực tiễn sản xuất chăn nuôi, trồng trọt và đời sống con người. Vì vậy, sử dụng
sơ đồ, bảng biểu trong dạy học phần Di truyền học sẽ rất thuận lợi trong việc mơ hình
hố, hệ thống hố kiến thức.

11


12
Graph có nhiều điểm mạnh trong việc thể hiện mối quan hệ và tính tầng bậc
trong phần Di truyền học. Do đó, sử dụng Graph trong dạy học Di truyền cho HS
THPT sẽ giúp các em không chỉ thấy từng yếu tố riêng biệt một cách rời rạc, biệt
lập mà còn thấy cả một hệ thống với những mạng lưới quan hệ chằng chịt của các
cấp độ tổ chức sống và sự tồn tại các cấp độ tổ chức đó trong Sinh giới một cách
khái quát, cụ thể và trực quan hơn.
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tơi chọn đề tài “Vận dụng lý thuyết
Graph trong dạy học phần Di truyền học (Sinh học 12 – THPT)”.
2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng lý thuyết Graph để cấu trúc hóa nội dung phần DTH thành graph
nội dung theo logic hệ thống và sử dụng chúng vào quá trình dạy học vừa như là
phương tiện, vừa như là phương pháp dạy học, nhằm tích cực hóa hoạt động học tập
của HS để góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy và học phần Di
truyền học (Sinh học 12 THPT).

3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết và cách thức vận dụng lí thuyết Graph vào dạy học
phần DTH (Sinh học 12 – THPT).
3.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học Di truyền học (Sinh học 12 – THPT).
4. Phạm vi nghiên cứu
- Lí thuyết graph và ứng dụng của nó vào dạy học phần Di truyền học (Sinh học
12 – THPT).
- Thực nghiệm sư phạm tại một số trường THPT tại hai tỉnh Hải Dương và
Hải Phòng để khẳng định tính khả thi của giả thuyết.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được quy trình xây dựng Graph nội dung và xây dựng được một
hệ thống các graph nội dung mang tính khoa học và có phương pháp sử dụng chúng
hợp lí vào các khâu trong q trình dạy học vừa như là một phương tiện, một
phương pháp dạy học phù hợp sẽ phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong
việc lĩnh hội kiến thức và kĩ năng học của HS theo tiếp cận lí thuyết graph.

12


13
6. Nhiệm vụ nghiên cứu:
6.1. Nghiên cứu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy
học nói chung và dạy học phần Di truyền học , Sinh học 12 – THPT nói riêng;
6.2. Tìm hiểu thực trạng việc vận dụng graph trong dạy phần Di truyền học,
Sinh học 12 - THPT hiện nay của giáo viên;
6.3. Cấu trúc hóa nội dung phần DTH làm cơ sở để xây dựng các graph nội
dung theo nội dung từng chủ đề để thuần lợi cho việc tổ chức quá trình dạy học;
6.4. Xây dựng quy trình lập graph nội dung từ đó thiết kế các graph nội dung

theo từng chủ đề, để tổ chức dạy học phần DTH, Sinh học 12 THPT;
6.5. Xây dựng quy trình sử dụng graph và đề xuất phương pháp sử dụng
graph vào các khâu của quá trình dạy học đặc biệt là khâu dạy kiến thức mới;
6.6. Xác định các tiêu chí đánh giá hiệu quả dạy học bằng graph với một số
kĩ năng cơ bản phát triển năng lực tư duy HS;
6.7. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu quả của việc vận dụng dạy
học graph phần DTH, Sinh học 12 theo giả thuyết đề ra.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
Nghiên cứu các tài liệu có liên quan về lý thuyết Graph và ứng dụng của
chúng để xây dựng cơ sở lý luận của đề tài: Các giáo trình lý luận dạy học, tài liệu
về graph (giáo trình, luận án, bài báo…), các giáo trình DTH, sách giáo khoa (SGK)
Sinh học 12 - THPT và các tài liệu có liên quan khác làm cơ sở lý luận đặt tiền đề
cho việc phân tích khái niệm, bản chất, vai trị, phân loại graph, rút ra ngun tắc,
quy trình lập graph nội dung và phương pháp sử dụng chúng để tổ chức hoạt động
nhận thức cho học sinh trong dạy – học DTH theo hướng tích cực hóa hoạt động người học.
7.2. Phương pháp điều tra sư phạm
- Điều tra thực trạng dạy – học DTH bằng phương pháp graph, tọa đàm với
giáo viên và học sinh thông qua phỏng vấn, trả lời phiếu điều tra, quan sát thông
qua dự giờ để tìm hiểu thực trạng và phân tích ngun nhân thực trạng chất lượng
dạy – học bộ môn.
- Điều tra tình hình học tập của HS phần Di truyền học nói riêng và Sinh học
12 (THPT) nói chung thơng qua kết quả sổ điểm bộ môn và phiếu điều tra làm cơ sở
tìm nguyên nhân gây ra thực trạng.

13


14
7.3. Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, xin ý kiến góp ý của các thầy cơ có học vị cao, các đồng
nghiệp có kinh nghiệm và uy tín trong giảng dạy bộ mơn về ngun tắc, quy trình
xây dựng và sử dụng graph nội dung để tổ chức dạy học phần DTH vào các khâu
của bài lên lớp.
7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Dạy thực nghiệm một số giáo án theo phương pháp sử dụng graph tại một số
lớp thực nghiệm ở một số trường THPT thuộc 2 tỉnh Hải Dương, Hải Phòng để đánh
giá hiệu quả dạy - học bằng việc vận dụng Graph.
7.5. Phương pháp xử lí số liệu
Sử dụng phần mềm excel để xử lý kết quả thu đựơc trong thực nghiệm thông
qua các tham số:

X

; S2 (phương sai); S (độ lệch chuẩn); m (sai số trung bình cộng);

Cv (hệ số biến thiên); Td (độ tin cậy) [11];[17] làm cơ sở so sánh kết quả thu được
giữa nhóm lớp ĐC và TN để rút ra hiệu quả của vận dụng Graph vào dạy học phần
DTH (Sinh học 12 – THPT).
7.6. Phương pháp đánh giá
* Đánh giá mặt định lượng: Dựa trên kết quả thu được từ thực nghiệm so
sánh giá trị Td với Tα (tra được từ bảng phân phối student) để rút ra nhận xét, đánh giá.
* Đánh giá mặt định tính:
- Dựa vào tiêu chí về phát triển năng lực để phân tích các mức độ nhận thức
kiến thức của học sinh trong học tập.
- Dựa vào khả năng nghiên cứu SGK, cấu trúc hóa nội dung, đọc, dịch và tự
lập graph của học sinh để đánh giá các mức độ nhận thức của học sinh về các kĩ
năng học của HS khi sử dụng Graph như là phương tiện, một phương pháp dạy học.
- Dựa vào kết quả kiểm tra phân tích khả năng tiếp thu kiến thức và vận dụng
kiến thức sau mỗi bài học (Mức độ lĩnh hội kiến thức) để đánh giá năng lực tư duy và

độ bền kiến thức cũng như thái độ, ý thức học tập của học sinh giữa nhóm lớp đối chứng và
thực nghiệm.
8. Đóng góp mới của luận án

14


15
8.1. Hệ thống, bổ sung, hồn thiện cơ sở lí luận về lý thuyết Graph gồm: Bản
chất graph, cách phân loại graph, đặc điểm của graph và vai trò của graph trong tổ
chức các loại bài lên lớp.
8.2. Xây dựng được hệ thống Graph nội dung phần DTH và sử dụng chúng
vào các khâu của q trình dạy học góp phần hình thành cho người học năng lực tư
duy hệ thống theo logic nội dung về ở các cấp độ tổ chức sống làm cơ sở thuận lợi
giúp cho HS có phương pháp để học tất cả các kiến thức Sinh học khác.
8.3. Cấu trúc hóa nội dung SGK phần Di truyền học làm cơ sở xây dựng
graph tổng quát về cơ sở vật chất, cơ chế của hiện tượng di truyền và biến dị ở các
cấp độ tổ chức sống từ phân tử, tế bào đến cơ thể, quần thể, về tính quy luật của
hiện tượng di truyền, những ứng dụng của di truyền trong sản xuất và đời sống, về
di truyền học người từ đó đã xây dựng được các graph nội dung chi tiết để tổ chức
các hoạt động học theo phương pháp Graph.
8.4. Đề xuất các nguyên tắc, quy trình xây dựng graph nội dung làm khuôn
mẫu cho việc định hướng mức độ cần đạt của người học sau mỗi hoạt động dạy học
bằng phương pháp Graph.
8.5. Luận án đã đề xuất quy trình sử dụng Graph như một phương tiện, một
phương pháp vào các khâu của quá trình dạy học (đặc biệt là khâu nghiên cứu tài
liệu mới) trong dạy học phần DTH, Sinh học 12 góp phần nâng cao chất lượng học
tập qua việc rèn luyện các kĩ năng học bằng Graph.
8.6. Luận án bước đầu đã khẳng định vai trò của việc dạy – học bằng Graph
vừa như là một phương tiện, một phương pháp dạy học tạo điều kiện cho HS hình

thành và phát triển tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa theo con đường quy
nạp và diễn dịch có hiệu quả, góp phần nâng cao năng lực học cho HS trong dạy học
Sinh học nói chung và dạy học phần DTH nói riêng ở trường phổ thơng.
8.7. Xây dựng các giáo án thực nghiệm theo hướng nghiên cứu để triển khai
thực nghiệm đã bước đầu khẳng định được vai trò to lớn của graph trong dạy học
phần DTH (Sinh học 12 – THPT) và có giá trị làm tư liệu tham khảo cho các giáo
viên THPT.
9. Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục,
luận án được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn về vận dụng graph trong dạy học;

15


16
Chương 2. Xây dựng và sử dụng graph để tổ chức hoạt động nhận thức của
học sinh trong dạy phần Di truyền học (Sinh học 12 – THPT);
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG
LÍ THUYẾT GRAPH TRONG DẠY HỌC PHẦN DI TRUYỀN HỌC (SINH
HỌC 12 – THPT)
1.1. Lược sử nghiên cứu về lí thuyết graph ứng dụng vào dạy học
1.1.1. Nghiên cứu và ứng dụng graph trong dạy học trên thế giới
Lý thuyết graph là một chuyên ngành của toán học được khai sinh kể từ cơng trình
về bài tốn “Bảy cây cầu ở Konigsburg” của Leonhard Euler (1707 – 1783), nhà tốn học
Thụy sỹ cơng bố vào năm 1736. Lúc đầu, lý thuyết graph là một bộ phận nhỏ của toán học,
chủ yếu nghiên cứu giải quyết những bài tốn có tính chất giải trí và tiêu khiển chưa thu
hút được sự chú ý của các nhà khoa học nên thành tựu của nó khơng nhiều. Thời điểm

nhảy vọt của lý thuyết graph có thể tính từ khoảng cuối thế kỷ XIX, đầu thế kỷ XX, khi
một số cơng trình có quan hệ chặt chẽ với lý thuyết graph như topo và lí thuyết tập hợp đã
trở thành tâm điểm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Tuy thế, lúc bấy giờ lí thuyết graph
cũng chỉ mới được coi là có chỗ đứng trong “vương quốc” của toán học.
Lý thuyết graph hiện đại bắt đầu được công bố trong cuốn sách “ Lý thuyết
graph định hướng và vô hướng” của Comig, xuất bản ở Lepzic vào năm 1936. Từ đó đến
nay, nhiều nhà tốn học trên thế giới đã nghiên cứu làm cho môn học này ngày càng
phong phú và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của các ngành khoa học như điều
khiển học, mạng điện tử, lý thuyết thông tin, vận trù học, kinh tế học..v.v.
Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lý thuyết graph và những ứng
dụng của nó”. Trong cuốn sách này, tác giả đã trình bày những khái niệm và định lý toán
học cơ bản của lý thuyết graph, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết graph trong nhiều lĩnh
vực khác nhau.
Trên mạng Internet, tính đến nay đã có hàng ngàn bài báo nghiên cứu về
lý thuyết graph và những ứng dụng của nó được đăng tải trên các tạp chí như:
Tạp chí lý thuyết Graph (Journal of Combinatorial Theory); và nhiều tạp chí nổi

16


17
tiếng khác. Có thể đọc các tài liệu trên mạng internet về lý thuyết graph và
những ứng dụng của nó theo các địa chỉ sau:
“Graph theory” [46]
“Some graph
theory algorithm animations” [47];
, Jonathan L Gross & Jay Yellen, Topological Graph
Theory, New York USA [49];
Hiện nay, trên thế giới có những nhóm tác giả đang nghiên cứu để chuyển hóa lý
thuyết graph vào những lĩnh vực khoa học khác nhau: trường Đại học tổng hợp Antrep –

Bỉ (University of Antwerp) có nhóm nghiên cứu của giáo sư Dirk Janssens; trường Đại
học kỹ thuật Beclin – Đức, có nhóm nghiên cứu của giáo sư Hartmut Ehrig; trường Đại
học Tổng hợp Layden – Hà lan có giáo sư Grzegorz Rozenberg; trường Đại học Roma
(Italia) có giáo sư Francesco Parisi Presicce…[10]
Ở Hoa kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lý thuyết graph làm cơ sở khoa
học cho lý thuyết mạng máy tính và chuyển hóa vào các ngành khoa học khác. Trong đó
nổi bật nhất là những cơng trình nghiên cứu của Jonathan L Gross (trường Đại học
Columbia, Niu Yooc) và Jay yellen (trường Rolin, Florida), hai tác giả này đã cơng bố
nhiều cơng trình về graph [44], [45], [50]; [49].
Cuốn sách “Handbook of Graph Theory” [50] của Jonathan L Gross và Jay Yellen
là một trong những cuốn sách hướng dẫn tra cứu đầy đủ nhất về lý thuyết graph đã được
xuất bản với ngơn ngữ trình bày trong sáng, đem đến cho độc giả những thông tin dễ
hiểu. Sự bàn luận của mỗi chủ đề trong lý thuyết graph bao gồm những định nghĩa mang
tính bản chất, những cơ sở khoa học kèm theo ví dụ, những bảng với những lời bình.
Trong một vài lĩnh vực các tác giả cịn nêu lên sự phỏng đốn và những vấn đề “mở”
yêu cầu độc giả suy nghĩ sâu hơn.
Trong cuốn “Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó” [48], Jonathan L Gross
và Jay Yellen đã trình bày bài tốn về “cây” và ứng dụng lý thuyết grap trong các lĩnh
vực tin học, thiết kế mạng Internet, mạng điện…. Với hơn 700 hình vẽ và hơn 1600 ví
dụ hướng dẫn cụ thể.
Tóm lại, lý thuyết grap và những ứng dụng của nó đã và đang được nghiên cứu
để áp dụng vào các lĩnh vực khác nhau trong đó có lĩnh vực giáo dục.

17


18
1.1.1.2. Vận dụng lí thuyết graph vào dạy học trên thế giới
Về mặt lí luận, graph có tính khái qt cao, tính chuyển tải rộng và ổn định
vững chắc. Cịn xét về mặt tâm lí - lí luận dạy học, graph vừa trừu tượng, khái quát

lại vừa có thể biểu đạt bằng sơ đồ hình hoạ cụ thể mang tính trực quan. Chính vì thế
mà phương pháp graph tốn học đã tiếp cận và chuyển hoá thành phương pháp dạy học
trong nhà trường.
Đến năm 1960 các thành tựu nghiên cứu graph ứng dụng vào dạy học trong
trường học mới thu được những thành tựu đáng kể. Năm 1965-1966, nhà sư phạm
Nga L.N Lanđa đã tiến hành thực nghiệm chuyển hoá phương pháp algơrit của tốn
học thành phương pháp dạy học chung cho nhiều môn khoa học trong nhà trường.
Phương pháp algorit toán học đã được cải biến cho phù hợp với những quy luật tâm
lí học và lí luận dạy học để thật sự trở thành một phương pháp dạy học. Dạy học
bằng graph đã đem lại những hiệu quả cao. Cơng trình của L.N.Lanđa mở ra một xu
hướng mới cho việc chuyển hoá những phương pháp khoa học khái quát thành
những phương pháp dạy và học. Cũng bắt đầu từ thời điểm đó, nhiều nhà khoa học
Nga (Liên Xơ cũ), Đức, Pháp, Thuỵ Sĩ... lần lượt cho ra đời những cơng trình
nghiên cứu về lí thuyết graph cũng như những ứng dụng của nó trong mọi mặt của đời
sống xã hội hiện đại.
Năm 1965 A.M.Xokhor là người đầu tiên đã vận dụng một số quan điểm lí
thuyết graph định hướng để mơ hình hóa nội dung một tài liệu giáo khoa về một
khái niệm, một định luật. Ông cho rằng trong dạy học Hóa học, khái niệm là phần
tử cơ bản hợp thành tài liệu giáo khoa. Cấu trúc của một đoạn tài liệu giáo khoa là
tổ hợp những mối liên hệ bên trong các khái niệm và mối liên hệ qua lại của các
phần tử chứa đựng trong đoạn tài liệu đó. Cấu trúc của tài liệu giáo khoa có thể diễn
tả một cách trực quan bằng một graph và gọi là “cấu trúc logic của tài liệu” [42].
Cụ thể là ông đã diễn tả những khái niệm bằng những graph, khái niệm cịn
được bố trí trong các ô và các mũi tên chỉ sự liên hệ.
A.M.Xokhor cũng giải thích rằng: Graph nội dung của một tài liệu giáo khoa
cho phép người giáo viên có những đánh giá sơ bộ đặc điểm dạy học của tài liệu được

18

19
biên soạn một cách khách quan bằng một graph qua mối quan hệ bản chất trong các
khái niệm tạo nên tài liệu giáo khoa đó, giúp học sinh hiểu bản chất, nhớ lâu hơn [42].
Năm 1965, nhà lí luận dạy học Hố học V.X. Pơlơxin dựa vào cách làm của
Xơkhor, dùng phương pháp graph đã diễn tả trực quan những diễn biến của một
tình huống dạy học bằng sơ đồ trình tự những hành động của thày và trị trong một
thí nghiệm hố học. Graph của tính huống dạy học do ơng xây dựng giúp chúng ta
phân tích được bản chất của phương pháp dạy học được áp dụng trong tình huống
dạy học đó và giải thích được hiệu quả của nó.
Năm 1972 - V.P.Garkunop đã sử dụng phương pháp graph để mơ hình hố
các tình huống của dạy học nêu vấn đề. Trên cơ sở đó, ơng đã phân loại ra các tính
huống khác nhau trong dạy học nêu vấn đề.
Tuy

nhiên,

phương

pháp

graph

được A.M.Xokhor,

V.X.Pôlôxin,

V.P.Garkunop và những tác giả khác đề xuất mới chỉ dừng ở mức là phương pháp
nghiên cứu khoa học trong lý luận dạy học, chứ chưa phổ biến áp dụng để trở thành
một phương pháp dạy học trong các trường phổ thơng [40], [42].
L.Iu.Veregyna (1997) với cơng trình “Graph và ứng dụng của nó” [26] gồm 8

chương, đề cập đến khái niệm graph và ứng dụng của graph trong lĩnh vực kinh tế và
điều khiển giáo dục. Mục đích của cuốn sách là “giúp đỡ giáo viên, học sinh, nắm vững
khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị... và làm quen với một vài ứng dụng của nó dưới
dạng phổ cập”.
Các cơng trình khác cũng đề cập nghiên cứu về ứng dụng của graph như: Clauđơ
Becgơ (1967) với "Lí thuyết graph và những ứng dụng"; R.J Wilson (1977) với "Nhập
mơn lí thuyết graph" ; Một số cơng trình khác như "Graph và mạng lưới hữu hạn" của
R.Baxaep, T.Xchi; "Lí thuyết graph" của V.V. Belop, E.M Vơpơbơep, V.E Xatlôp.
Sự ứng dụng của graph ngày càng khảng định vai trò trong nghiên cứu khoa
học và dạy học các bộ môn: Văn học, Vật lý, Sinh học, Giáo dục học…

19


20
1.1.2. Nghiên cứu và ứng dụng lý thuyết graph dạy học các
môn học ở Việt Nam
1.1.2.1. Nghiên cứu và ứng dụng lý thuyết graph vào dạy học
Giáo sư Nguyễn Ngọc Quang đầu tiên nghiên cứu việc ứng dụng lí thuyết graph
vào dạy học nói chung và dạy Hố học nói riêng. Năm 1972 ơng đã chọn phương pháp
graph tốn học làm đối tượng nghiên cứu thực nghiệm, chuyển hóa nó thành phương
pháp dạy học Hóa học. Ơng cùng các cộng sự triển khai nghiên cứu thực nghiệm vận
dụng lí thuyết graph vào q trình dạy học các mơn học ở trường Trung học phổ thông
và các trường chuyên nghiệp, Cao đẳng, Đại học vào các khâu của quá trình dạy học
như: giảng dạy bài mới; ôn tập củng cố và hồn thiện kiến thức; kiểm tra đánh giá.
Năm 1979 ơng cho ra mắt bạn đọc cơng trình “Lý luận dạy học – khoa học
về trí dục và dạy học” như một lời tun ngơn cho việc “tìm cách vận dụng những
phương pháp khoa học (như thực nghiệm, dự đốn, mơ hình hóa, algorit, sơ đồ
mạng…) vào thực tiễn dạy học ở trường phổ thông”. Từ năm 1981 đến năm 1983
ông đã lần lượt cơng bố các cơng trình [34] “Phương pháp graph trong dạy học”,

(năm 1981); [35] “Phương pháp graph và lý thuyết về bài tốn Hóa học”; [36] “Sự
chuyển hóa phương pháp khoa học thành phương pháp dạy học”, (năm 1983) đã
làm sáng rõ hơn hiệu quả to lớn cho việc sử dụng graph trong dạy học. [37] “Lý
luận dạy học đại cương, tập 1” (năm 1986) Ông lại tiếp tục khẳng định “Dạy theo
graph nội dung, giáo viên có được một định hướng rõ rệt, khơng sa vào những điều
thứ yếu, vụn vặt.. học theo graph nội dung, học sinh dễ dàng định hướng vào cái cơ
bản, theo dõi được sự phát triển logic của vấn đề để tự lực tái hiện những chi tiết,
những chứng minh và đặc biệt là sử dụng sách giáo khoa có hiệu quả và thơng minh
hơn”. Ơng khẳng định việc sử dụng phương pháp graph trong dạy học có giá trị rất
lớn về mặt trí dục vì “Khi lập được graph nội dung của một vấn đề có nghĩa là nắm
vững được cả cấu trúc và logic phát triển của nội dung vấn đề đó, đồng thời graph
nội dung của vấn đề chính là điểm tựa cho sự lĩnh hội, tái hiện nội dung đó”. Ngồi
ra, phương pháp này cịn có giá trị rất lớn về mặt đức dục vì: “Graph nội dung của
một bài lên lớp là công cụ cho cả giáo viên và học sinh nhằm đạt được chất lượng cao
của dạy và học đặc biệt là của tự học” [38].

20


21
Trên cơ sở kế thừa và tiếp thu những thành tựu nghiên cứu khoa học của GS
Nguyễn Ngọc Quang, nhiều cơng trình nghiên cứu luận án tiến sĩ của các tác giả
khác như:
Phạm Tư (năm 1984) [42] "Dùng graph nội dung của bài lên lớp để dạy và
học chương Nitơ- phôtpho ở lớp XI trường PTTH" đây là những công trình đầu tiên
nghiên cứu, một cách có hệ thống việc sử dụng graph để dạy học. Tác giả đã trình
bày khá đầy đủ cơ sở lý luận về lý thuyết graph và việc chuyển hóa từ phương pháp
nghiên cứu khoa học thông qua việc xử lý sư phạm để trở thành phương pháp dạy
học; giới thiệu cấu trúc của graph nội dung, các quy trình triển khai graph nội dung
khi nghiên cứu tài liệu mới; giới thiệu khái quát quá trình nghiên cứu, thực nghiệm

phương pháp graph ở bộ mơn Hóa học với từng bước triển khai cụ thể. Tuy nhiên,
phạm vi nghiên cứu của tác giả thuộc hóa học 9 THCS. Khối lượng nội dung nghiên
cứu quá ngắn gọn chỉ đề cập đến một chương của lớp 9 (cũ) trong mơn Hóa học.
Các hình thức triển khai khi thực hiện bài lên lớp có nhiều điểm trùng lặp như: hình thức
thứ nhất và hình thức thứ hai đều có thể áp dụng cho hình thức thứ năm và hình thức thứ
sáu, cách đưa ra các hình thức trình bày trên chưa dựa vào tiêu chí nào là chủ yếu, chưa
thể hiện được vai trò của giáo viên và học sinh trong việc hoạt động nhận thức tri thức,
theo chúng tơi cách phân chia các hình thức như vậy chưa rõ ràng.
Kết quả nghiên cứu của Phạm Tư trong các năm tiếp theo “Dạy học bằng

phương pháp Graph góp phần nâng cao chất lượng giờ giảng”, (2003) đã
khẳng định tính hiệu quả của việc sử dụng graph trong dạy học như một bằng chứng
xác nhận tính khả thi của việc chuyển hóa phương pháp khoa học thành phương
pháp dạy học trong nhà trường. Dạy học bằng phương pháp graph đã góp phần nâng
cao được năng lực nhận thức, khả năng tự học, tự khám phá của học sinh;
Nguyễn Giang Tiến (năm 1985) [41] “Hệ thống khái niệm và phương pháp
hình thành khái niệm trong giáo trình địa lý kinh tế các nước các lớp 10, 11 trường
THPT” đề cập tới sự phân cấp các khái niệm theo mơ hình các nguyên tắc phân chia
khái niệm trong giáo trình địa lý kinh tế các nước, cơ sở lý thuyết, phương pháp mơ
hình hóa bằng sơ đồ (Graph) với trình tự thực hiện trên lớp. Luận án cũng chưa đề

21


22
cập tới giá trị của việc sử dụng sơ đồ graph trong các khâu của bài lên lớp cũng như
giá trị chỉ đạo của phương pháp này trong quá trình học tập phát triển tư duy nâng
cao khả năng khám phá trong học tập của học sinh;
Hoàng Việt Anh (năm 1993) [1] "Vận dụng phương pháp sơ đồ graph vào
dạy học Địa lí các lớp 6 và 8 PTCS" tác giả chỉ ra quy trình 4 bước triển khai graph

nội dung trong dạy học đối với giáo viên và học sinh. Tác giả luận án chỉ mới
nghiên cứu Graph như một phương tiện, chứ chưa nghiên cứu mặt phương pháp dạy
học của Graph;
Nguyễn Thị Ban (năm 2002) [4] “Sử dụng graph vào việc phân tích mối quan
hệ nghĩa giữa các câu trong đoạn văn” tạp chí Giáo dục, số 42 (10/2002); (năm 2004)
trong luận án tiến sỹ [4] " Sử dụng graph trong dạy Tiếng Việt" đã đề cập tới cơ sở lí
luận, vai trị của graph trong dạy học như một phương tiện và phương pháp dạy học
vào các khâu của bài lên lớp như dạy kiến thức mới, ôn tập, củng cố; luyện tập thực
hành, kiểm tra đánh giá trong dạy học mơn Tiếng việt, đây cịn là vấn đề hết sức mới
mẻ đối với các môn khoa học xã hội. Tuy nhiên, cơng trình của tác giả chỉ mới đề cập
tới phương pháp sử dụng graph nội dung đã có sẵn để giáo viên tổ chức việc nghiên
cứu bài mới cho HS;
Phạm Minh Tâm (năm 2002), [39],[40] với cơng trình nghiên cứu "Sử dụng
graph vào dạy học Địa lí lớp 12 THPT” chỉ ra cơ sở lý luận về phân loại graph,
phương án trình bày nội dung bài lên lớp bằng graph dựa vào năng lực nhận thức
của học sinh. Tác giả sử dụng graph vừa là một phương tiện dạy học vừa là một
phương pháp dạy học. Từ việc hướng dẫn học sinh xây dựng graph kiến thức đến
việc học sinh tự lực xây dựng graph nội dung.
Nhiều cơng trình nghiên cứu sử dụng graph trong dạy học những năm gần
đây đã trở lên phong phú, đa dạng trong nhiều lĩnh vực áp dụng trong việc giảng
dạy ở trường phổ thông và cả ở các trường đại học (ĐH), cao đẳng (CĐ), trung cấp
chuyên nghiệp [30],[33].

22


23
Tóm lại, việc vận dụng lí thuyết graph vào q trình dạy học ở Việt Nam
hiện đã được các nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu và đưa vào ứng dụng dạy học ở
nhiều bộ môn. Sử dụng graph đã giúp học sinh nắm vững kiến thức và phát triển tư

duy độc lập nâng cao được chất lượng dạy học.
1.1.2.2. Nghiên cứu vận dụng lí thuyết graph vào dạy học Sinh học THPT
Có thể thấy việc vận dụng lí thuyết graph vào dạy học không phải là vấn đề
mới mẻ đối với dạy học ở nước ta. Tuy nhiên việc vận dụng lí thuyết graph vào dạy
Sinh học mới chỉ có một số cơng trình nghiên cứu của Nguyễn Phúc Chỉnh [8] (1999)
“Sử dụng Graph nhằm tích cực hố hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học
sinh thái học”, (2005) [9] “Nâng cao hiệu quả dạy học Giải phẫu - Sinh lý người ở trung
học cơ sở bằng áp dụng phương pháp grap”; (2005) [10] “Phương pháp graph trong
dạy học Sinh học”; [7] “Chuyển hóa Graph Tốn thành Graph học Sinh học”.
Nguyễn Phúc Chỉnh đã đề cập đến các loại graph có hướng, vơ hướng; các ngun
tắc xây dựng graph dạy học; quy trình lập graph nội dung; graph hoạt động; Sử
dụng phương pháp graph trong dạy học Sinh thái học, giải bài tập Di truyền về cơ sở
vật chất và cơ sở di truyền ở cấp phân tử ở trường phổ thông.
Trần Văn Kiên (năm 2006) [24], “Vận dụng tiếp cận giải quyết vấn đề trong dạy
học di truyền học ở trường THPT” đã vận dụng lý thuyết tiếp cận hệ thống để dạy học
giải quyết vấn đề trong Di truyền học ở THPT.
Phạm Thị My (năm 2000), "Ứng dụng lí thuyết graph xây dựng và sử dụng
sơ đồ để tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học Sinh học THPT";
Nguyễn Mạnh Hùng, (năm 2012) Xây dựng và sử dụng graph trong dạy học chương
“ Cơ chế di truyền và biến dị”, Sinh học 12 trung học phổ thông; Mai Văn Hưng, “Bài
giảng Vận dụng lý thuyết Graph trong dạy học Giải phẫu sinh lý người Sinh học 8 trung
học cơ sở”[23].
Như vây, cho đến nay các nhà sư phạm đã vận dụng lí thuyết Graph vào dạy
học ở nhiều mơn học và ở các bậc học xem đó là một phương tiện, một phương
pháp dạy học có hiệu quả. Tuy nhiên, đối với phần Di truyền học (Sinh học 12 –
THPT) mới chỉ có một số nghiên cứu vận dụng Graph vào dạy học ở mức khởi đầu

23

24
như là phương tiện dạy học, chưa có tác giả nào đi sâu nghiên cứu một cách hệ
thống việc vận dụng lí thuyết Graph vào giảng dạy phần Di truyền học (Sinh học 12 –
THPT) vừa như là phương tiện, vừa như là phương pháp dạy học.
1.2. Cơ sở khoa học của việc vận dụng lý thuyết Graph vào dạy học
1.2.1. Khái niệm Graph
Graph là một lí thuyết có nguồn gốc từ toán học, tồn tại như một khoa học
độc lập. Đến nay, lí thuyết graph đã được sử dụng rộng rãi, khá quen thuộc đối với
nhiều ngành khoa học như: Tâm lí học, Xã hội học, Xây dựng, Giao thơng, Quản lí
và dạy học....
- Theo từ điển Anh – Việt, Graph (danh từ - noun) có nghĩa là: sơ đồ, đồ thị,
mạch, mạng; khi là động từ, Graph (verb) có nghĩa là: vẽ sơ đồ, vẽ đồ thị, minh họa
bằng đồ thị; vẽ mạng, vẽ mạch; còn khi là tính từ, Graphic (adjective) có nghĩa là:
thuộc về sơ đồ, thuộc về đồ thị, thuộc về mạch mạng....
- Trong tiếng Pháp: Khi là danh từ - noun (Graphe) có nghĩa: sơ đồ, đồ thị,
mạch mạng; khi là phó từ (Graphiquement) có nghĩa là: bằng sơ đồ, bằng đồ thị;
bằng mạch, mạng.
Trong nhiều tình huống chúng ta thường vẽ những sơ đồ gồm những điểm
biểu thị các đối tượng được xem xét và các đường nối các điểm với nhau tượng
trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng – đó chính là graph.
Chữ Graph khi chuyển từ tiếng Anh hay tiếng Pháp sang tiếng Việt đều
được dịch nghĩa là sơ đồ hay mạng, mạch. Để tránh nhầm lẫn, khi nghiên cứu về lí
thuyết graph các nhà khoa học vẫn giữ nguyên tên gọi "graph" chứ không dịch sang
tiếng Việt.
Nội dung lý thuyết graph rất phức tạp, gắn liền với những đặc trưng của tốn học.
Đó là những con số, những công thức, những khái niệm, hiện tượng hết sức khái quát và
trừu tượng.
Dưới đây chúng tôi chỉ xin trình bày một số vấn đề về lý thuyết graph coi đó như
những tiền đề lý luận chính của luận án.

24


25
Theo lý thuyết toán, graph (đồ thị) là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và
các cạnh nối các đỉnh đó. Được mơ tả hình thức: G = (V, E). V gọi là tập các đỉnh
(Vertices) hoặc nút (Nodes) và E gọi là tập các cạnh (Edges) hoặc cung (Provision).
Cạnh có thể có hướng (cung) hoặc vơ hướng. Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một
tập các điểm (các đỉnh) nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh). Có thể coi E là
tập các cặp (u,v) (u, v là hai đỉnh của V) [15].
Như vậy, theo cách hiểu của lý thuyết toán, graph là một tập hợp số lượng
hữu hạn các đỉnh và các cung có đầu mút tại các đỉnh đó [4, tr 28].
Mỗi graph có thể được biểu diễn phẳng khác nhau dưới dạng sơ đồ, dạng
biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận), nhưng phải chỉ rõ được mối quan hệ
giữa các đỉnh (hình 1.1) được biểu diễn bằng hai kiểu khác nhau, nhưng mối quan
hệ của các đỉnh khơng thay đổi [10],[15],[19].

Hình1.1: Hai cách thể hiện khác nhau của một graph
Trong một graph có thể có đỉnh lại là một graph thì đỉnh đó gọi là graph con
(hình 1.2) [15].
A
C
B

Hình 1.2: Graph có đỉnh C là graph con
1.2.2. Bản chất của graph

25