Khảo sát chuyển động của một vật thể trong môi trường có ma sát bằng phần mềm maple 17

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG
KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016

KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT
•••
THỂ TRONG MƠI TRƯỜNG CĨ MA SÁT BẰNG
PHẦN MỀM MAPLE 17

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN


BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015 - 2016

KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT
•••

THỂ TRONG MƠI TRƯỜNG CĨ MA SÁT BẰNG
PHẦN MỀM MAPLE 17
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên
Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Thu Hà

Nam, Nữ: Nữ
Dân tộc: Kinh
Lớp, khoa: C13VL01, Khoa học Tự Nhiên Năm thứ: 3 /Số năm đào tạo: 3
Ngành học: Sư phạm Vật lí
Người hướng dẫn: Tiến sĩ Võ Văn Ớn

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Khảo sát chuyển động của một vật thể trong mơi trường có ma sát bằng
phần mềm Maple 17.
- Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Thu Hà


- Lớp: C13VL01 Khoa: Khoa học Tự nhiên Năm thứ: 3 Số năm đào tạo:3
- Người hướng dẫn: Tiến sĩ Võ Văn Ớn
2. Mục tiêu đề tài:

• So sánh nghiệm số với nghiêm giải tích của bài tốn về chuyển động của một vật
•

thể trong trường có ma sát.
Đánh giá và bàn luận về các kết quả thu được.

3. Tính mới và sáng tạo:

•
•

Khảo sát số bằng phần mềm Maple
Tìm được kết quả một nghiệm............................................................................

4. Kết quả nghiên cứu:

•

Tìm hiểu được cách sử dụng phần mềm Maple trong một số tính tốn có liên quan đến đề
tài.

•
•

Khảo sát được chuyển động của một vật thể trong mơi trường có ma sát bằng giải tích.
Khảo sát được chuyển động của một vật thể trong mơi trường có ma sát bằng phần mềm
Maple.

5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả
năng áp dụng của đề tài:

6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài (ghi rõ họ tên tác
giả, nhan đề và các yếu tố về xuất bản nếu có) hoặc nhận xét, đánh giá của cơ sở đã áp
dụng các kết quả nghiên cứu (nếu có):....................................................................


Ngày tháng năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề tài
(phần này do người hướng dẫn ghi):..................................................................................

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Ảnh 4x6

I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:
Ngày tháng năm 2015

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Người hướng dẫn
(ký, họ và tên)

Họ và tên: Phạm Thị Thu Hà
Sinh ngày: 03 tháng 10 năm 1994
Nơi sinh: Ninh Bình
Lớp: C13VL01

Khóa: 2013-2015

Khoa: Khoa học tự nhiên
Địa chỉ liên hệ: 70/10 tổ 74 khu 8 phường Phú Lợi, Tp.TDM, Bình Dương.
Điện thoại: 0989992238

Email:

II. Q TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm đang
học):
* Năm thứ 1:

Ngành học: Sư phạm vật lý

Khoa: Khoa học Tự nhiên


Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: 7.71
* Năm thứ 2:
Ngày tháng năm 2016

Xác nhận của lãnh đạo khoa

Sinh viên chịu trách nhiệm chính

(ký, họ và tên)

thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Ngành học: Sư phạm vật lý

Khoa: Khoa học Tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: 7.5
DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

STT

Họ và tên

MSSV

Lớp

Khoa

1

Phạm Thị Thu Hà

1311402110027

C13VL01

Khoa học tự nhiên

2

Nguyễn Thị Kim Tuyền

1311402110066
MỤC LỤC

C13VL01

Khoa học tự nhiên

Mục lục....................................................................................................................................
Danh mục hình.........................................................................................................................

MỞ ĐẦU


DANH MỤC HÌNH


Tên hình

Trang


X
'
’ y = ——
Hình 1.1: Đồ thị hàm số J
X2+1
Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = sinx và “

5
3ía '

6

’

y=X——

5

fx2 + 1 khi X < 1 V — ỉ

l3-xkhix>l

Hình 1.3: Đồ thị hàm số

6
(x = 2cos3t
Hình 1.4: Đồ thị đường asteroid y - 2sin t

6

(x = 2cos3t r X = t
Hình 1.5: Đồ thị hai hàm số y — 2sm t y t

7

sm(
7

Hình 1.6: ĐỒ thị: = ‘p
Hình 1.7: Đồ thị hàm số r = 2sin3<+)
Hình 1.8: Đồ thị hàm ẩn: x + y - 3xy = 0
Hình 1.9: Đồ thị X2 - y2 = 1 và X2 + y2 = 4

8
8
9

Hình 1.10: Đồ thị z = X2 + y2 trong miền D: -1O“X“ 10 và -10~y~ 10 (THI)

10

Hình 1.11: Đồ thị z = X2 + y2 trong miền D: -1O“X“ 10 và -10~y~ 10 (TH2)

10

Hình 1.12: Đồ thị z = X2 + y2 trong miền D: -10“x“ 10 và -10~y~ 10 (TH3)

10

3

3

Hình 2.1: Đường dịng vân tốc quanh quả cầu chảy thành lớp trong trường hợp
chất lưu lý tưởng với vận tốc nhỏ
Hình 2.2: Đường dịng vân tốc quanh quả cầu chảy thành cuộn xoáy trong trường
hợp chất lưu lý tưởng với vận tốc lớn
Hình 2.3: Các giá trị Cx đối với các vât có hình dạng khác nhau
Hình 2.4: Bảng giá trị các hệ số Reynolds phụ thuộc vào vận tốc và đường kính
đặc trưng của vật
Hình 4.1: Biểu diễn Fc =k.v với k =1 (kg/s) với các vận tốc khác nhau
Hình 4.2: Biểu diễn Fc = - k1.v2 với k1= 1 (kg/m) với vận tốc nhỏ hơn hay bằng
10m/s
Hình 4.3: Biểu diễn Fc = - k1.v2 với k1= 1 (kg/m) với vận tốc lớn hơn 10m/s
Hình 4.4: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 0m/s
Hinh 4.5: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 2m/s
Hình 4.6: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 3m/s
Hình 4.7: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 3,13m/s
Hình 4.8: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 9,8m/s

Hình 4.9: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =k1.v2 với v = 10m/s

14
15
17
19
23
24
24
25
25
26
26
27
27


Hình 4.10: Đường biểu diễn khi Fc=kv và Fc =ki.v2 với v = 100m/s
Hình 4.11: Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với
các giá trị khác nhau của 11. Y với giá trị Vo=1 m/s
Hình 4.12: Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với
các giá trị khác nhau của ụ. Y với giá trị vo=10 m/s
Hình 4.13: Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với
các giá trị khác nhau của ụ. Y với giá trị vo=10 m/s
Hình 4.14: Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với
các giá trị khác nhau của 11. Y với giá trị vo=10 m/s
Hình 4.15: Hình biểu diễn các đường cong v(t) khi lực ma sát có 2 thành phần với
các giá trị khác nhau của ụ. Y với giá trị vo=100 m/s
Hình 4.16: Đường biểu diễn Fc= -^.kv -Yk1v2 , với ^,Y < 1 và Fc= -v
Hình 4.17: Đường biểu diễn Fc= -^.kv -Yk1v2 , với ^,Y < 1 và Fc= -v2

28
29
30
30
31
31
32
32


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài:
Hiện nay, khoa học công nghệ ngày một phát triển vì thế vị trí và vai trị của máy tính
ngày càng trở nên quan trọng, nhất là trong lĩnh vực giáo dục và nghiên cứu. Càng ngày
con người càng sáng tạo ra nhiều chương trình phục vụ cho việc dạy và học, nhằm nâng
cao chất lượng dạy học. Yêu cầu con người đặt ra ngày một cao đó là phải làm như thế
nào, cách nào để làm việc và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả, nhanh chóng, đơn
giản mà lại tiết kiệm thời gian. Chính vì thế phần mềm Maple đã ra đời nhằm giải quyết
nhu cầu trên.
2. Lý do lựa chọn đề tài
Hiện nay, khoa học cơng nghệ ngày một phát triển vì thế vị trí và vai trị của máy tính
ngày càng trở nên quan trọng, nhất là trong lĩnh vực giáo dục và nghiên cứu. Càng ngày
con người càng sáng tạo ra nhiều chương trình phục vụ cho việc dạy và học, nhằm nâng
cao chất lượng dạy học. Yêu cầu con người đặt ra ngày một cao đó là phải làm như thế
nào, cách nào để làm việc và giải quyết các bài tốn một cách hiệu quả, nhanh chóng, đơn
giản mà lại tiết kiệm thời gian. Chính vì thế phần mềm Maple đã ra đời nhằm giải quyết
nhu cầu trên.
Viêc khảo sát chuyển đơng của vât trong trường có ma sát là mơt bài tốn khó, lúc
này các phương pháp giải gần đúng là hết sức cấp thiết và quan trọng. Phần mềm Maple là

phần mềm mạnh cho phép ta tính tốn hình thức trên các biểu thức và cả giải số. Ứng
dụng của phần mềm Maple để tìm lời giải gần đúng của các bài toán khảo sát chuyển động
của một vật thể trong trường có ma sát là một cơng việc quan trọng và có ý nghĩa giúp cho
sinh viên bước đầu làm quen dần với nghiên cứu khoa học.
3. Mục tiêu đề tài

-

So sánh nghiệm số với nghiêm giải tích của bài tốn về chuyển động của một vật
thể trong trường có ma sát.
- Đánh giá và bàn luận về các kết quả thu được.
4. Phương pháp nghiên cứu

-

Thu thập tư liệu từ internet, sách báo.
Đặt bài toán.
Giải số bằng phần mềm Maple, chạy chương trình.
So sánh với kết quả khảo sát bằng giải tích.
Biện luận kết quả.

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1.

Đối tượng nghiên cứu:
10


-

Phần mềm Maple.
Bài toán chuyển động của vật thể trong trường ma sát.
5.2. Phạm vi nghiên cứu:

-

Khảo sát chuyển dông của vât có vân tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vân tốc ánh sáng.
Vật thể chuyển động trong môi trường khí, lỏng.
6. Nội dung nghiên cứu.
- Nghiên cứu vận dụng một số cơng cụ tính tốn của Maple 17 để tính tốn những
vấn đề liên quan trong đề tài.

-

Khảo sát bằng phương pháp giải tích chuyển động của vật thể trong môi trường với
lực cản tỉ lệ với v và v2.

-

Khảo sát số chuyển động của vật thể trong môi trường với lực cản tỉ lệ với v và v2.

Mở rộng
tiếp
từ chảy
nghiên
tầng
cứusang
lực chảy
cản 2rối.
thành phần trong giai đoạn chuyển

11


Chương 1: TÌM HIỂU PHẦN MỀM MAPLE TRONG MƠT SƠ TÍNH TỐN
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1.

Hàm số và đồ thị

1.1.1.
Hàm số cơ bản
Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như:
a. Các hàm* số cho số nguyên (Integer)

r rp * I X

Ý nghĩa

Tên hàm số
abs(x)
min(xi, X2, ...)
max(xi, X2, ...)
irem(m, n)
iquo(m, n)
igcd(ni, n2, ...)
ilcm(ni, n2, ...)
isprime(n)
nextprime(n)

Trị tuyệt đối của x
Giá trị nhỏ nhất của Xi, X2, ...
Giá trị lớn nhất của Xi, X2, ...
Dư số trong phép chia m/n
Thương số trong phép chia m/n
Ước số chung lớn nhất của ni, n2, ...
Bội số chung nhỏ nhất của ni, n2, ...
Kiểm tra xem số n có là số nguyên tố không
Số nguyên tố nhỏ nhất và “ n

prevprime(n)

Số nguyên tố lớn nhất và “ n

ithprime(n)
ifactor(n)

Số nguyên tố thứ n trong dãy các số nguyên tố
Thừa số nguyên tố của n
Ví du:

>

irem(23,4):
3

> iặĩio{23,4);
’

5

> ịgcd(2± 16, 112):
’

8

>ifcflĩ(x, 12, 9):
72

b. Các hàm
số Icho
số/Vthực (Float)
r rpA
X

Tên hàm số

Ý nghĩa
x

exp(x)
ln(x) hay log(x)
log10(x), log[b](x)

e
Logarit nêpe (cơ số e) của X
Logarit thập phân lgx, logarit cơ số b

sqrt(x)

Hàm căn bậc hai:

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)
sec(x), csc(x)
arcsin(x), arcos(x), arctan(x), arccot(x)

sinx, cosx, tgx, cotgx
1/cosx, 1/sinx
Arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx


— e x ex + e x

sinh(x), cosh(x)
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

2'2
e* — e x

coth(x) = cosh(x)/sinh(x)

e* + g-.r
e* _|_ e~T
e* £-*

Ví dụ:
,
~
,
A = Vsinx + *

Biểu diễn biểu thức:

■

theo Maple

K. .. .
, (loglO(jc) -I- 2*) .
> Ả := sm(x) -I- ——-—:

_

taỉĩx
■ Biểu diễn thành lũy thừa hàm sinh(x) và hàm sec(x) theo sinx, cosx _>
ỮOWVE7Í( sinh (x), exp):
_> ơo/ivert(see
sĩncos
ì:
r rpA I(x),
X
*
Ý nghĩa
Tên hàm số
Re(z)
Phần thực của số phức z
Im(z)
Phần ảo của số phức z
argument(z)
Argument của số phức z
z

abs(x)
môđun của số phức z
c. Các hàm số cho số phức (complex)
> argument(3 + 47):

■

sin(l)
arctan

Ví du:
> Itn(exp(J)):
1.1.2.
Vẽ đồ thị hàm số
a. Hàm 1 biến: dùng lệnh plot(f, h, v, optionl, option2, ..
Trong đó
- f: hàm số thực hoặc biểu thức chứa x
- h: miền ngang (horizontal range) dạng a.b hoặc x=a..b
- v: miền dọc (vertical range) tùy chọn
- option gồm:
o title = “tiêu đề đồ thị”
o titlefont = [family, style, size]
o color = n
o style = point, line, patch ...
o numpoints: số điểm vẽ (độ mịn)
o axes = none, normal, boxed, framed


o legend = [danh sách chú thích]

X
____
_
,V
=
——
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số : - -

line)


Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số 1

Hình 1.2
. _ (z2 + 1 khi z < 1
, _y = <
,“,
__ _
'■ ' ■

b. Hàm dạng tham số
■ Hệ tọa độ Descartes: pỉot([x(t), y(t), t = a..b], option);
fx = 2cos3t

Ví dụ l:Nễảồ thi đường asteroid -

25171 Ễ

Hình 1.4
Ịx = 2C053t ( X = t

Vỉ dụ 2: Vẽ đồ thị hai hàm số - — 2sm t y t trên cùng một hệ trụC tọa độ.

■ Hệ tọa độ cite: pỉot([r(t), (p(.t:\t=to..tl], coords = polar, option);
sin(ip)
, r = ---------------

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị:

sinự)

*

■, £, t=-Pi ..Pi , coords = polar, title = "cochleoid1


c. Hàm số ẩn: F(x,y) = 0
Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots, implicitplot);
Và vẽ bằng lệnh:
implicitplot (F(x,y), x=a..b, y=c..d):


d. Hàm nhiều biến:
Dùng lệnh:


plot3d (exprl, x=a..b, y=c..d, options)
plot3d (f, a..b, c..d, options)

plot3d ([exprf, expfg, exprh], x=a..b, y=c..d, options)
plot3d ([f, g, h], a..b, c..d, options)
Trong đó:
exprl, exprf, exprg, exprh là biểu thức chứa x, y
f, g, h là các hàm hai biến
options bao gồm các lựa chọn sau:
■ coords = c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical (trụ), spherical (cầu)

■

orientation = [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham số (0' ^)
trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45],

■

Projection = r: chọn chiếu phối cảnh với r e[0,sl], r=0 (‘FISHEYE’), r=0.5
(‘NORMAL), giá trị ngầm định (default) là r=1 (‘ORTHOGONAL').

■

style = s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh
ghép - default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức),
PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE.

Vỉ dụ: Vẽ đồ thị z = X2 + y2 trong miền D: -10~x~ 10 và -10~y~ 10
p> pỉũtỉdÌH -I- JC=- 10 -.10, y=-10 -.10, orientation = [30, 90], ỂDŨSS = normal):

Hĩnh 1.10
> pỉoĩ3ờ(xf + I*. JC=-10 ..10, y=-10 -.10, orientation = [30,90 ], style = wireframes, axes = normal)

Câu lệnh:
int(expr, x): Tích phân bất định int(expr, x=a..b, ...): Tích phân xác định
Trong đó:
Expr - một biểu thức đại số
x - tên biến tích phân
a, b - cận tích phân
... - tùy chọn
,
,,
'
, A ■ ■ . f -^—dx
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định ‘ A’ +1
s

> íní ,x ,x I:
+l/
-ỵ- ln(j? — JC + 1) + 4“ / 3” arctan

(2 JC — 1) ựv I ị- ln(jr + 1Ị


Ví dụ 2: Tính tích phân xác định

_,,

_____c_^—ảx

Ví dụ 3: Tính tích phân suy rộng

1.3. Phương trình vi phân dsolve(ODE);
Câu lệnh:
dsolve({ODE, ICs}, y(x), Options);
Trong đó:
ODE - phương trình vi phân thường ( y(x) - hàm 1 biến độc lập
Options - tùy chọn bao gồm: implicit (dạng ẩn), explicit (dạng hiện - ngầm
định), uselnt (Dạng tích phân), series (chuỗi), numeric (dạng số)...
ICs - điều kiện ban đầu (để tìm nghiệm riêng) dạng y(a) = b, D(y)(a) = c, ...
Vỉ dụ 1: Giải phương trình vi phân: y’ = y.tgx
T> ode ■■= dịff(y{x),x} =y(*) tan(jc):
<Kfe:= V(JC) = >'(JC) tanW
p> dsolve{ ods, y (JC)):

Trong đó _C1 là hằng số tùy ý.

ỉ.xy

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân: y' =
_> aỉiasíy=y(i)) :

p> didfoe(/tfv£y):


y
VíT+y
dụ 3: Giải phương trình vi phân: y'

‘ > ode ■■= dịff(y(x},x} = —-

=

|”> dsoỉveịpds, uselra):

r> vaỉue{%}-

_____,, . _ „
x

ln(

Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân: y'' =j àịf(y(x),x)
y'
j
> ode := X diff[y(x},x,x] =dịff\y{x},x} -ln

p> dsoỉve{odeỴ.

y'

Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân: y”•> -•>- - = x(x-1) thỏa điều kiện: y(2) = 1, y'(2) = -1
> «fe:=

p> ỂÙofre( {odẹ,ỵị2} = 1,D(j}(2) =-1), J(JC)):
4
J(I) = ịx - 4"^ 17
■'
8

=x (x- 1):

6

+ 3_ĩ+ 4
2

3


Ví du 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: yy”-y’2=0 thỏa: y(O)=l, y’(0)=2 |~>
ode ■■= y[i) -4ỗn(j?(x},x$2} -

=

I > dsoỉ-ve{ {ũũíạ.y(O) = 1,D(y) (0} = 2));

Vỉ dụ 7: Giải phương trình vi phân: xy” + y’ + 4x\ = 0 _> a?ias(j7 = y(x}} :
> ode := xdiffXy, JC$2) + dịff\y,x) + 4-J? 5 = ữ:

p> dsoive(ode,y):

p> dsoỉveịods>ỵ, series):

Chương 2: SƠ LƯỢC VỀ CÁC Lực CẢN CỦA MÔI TRƯỜNG
2.1. Lực cản do ma sát
Với dịng có vận tốc khơng lớn, khi ở trong lớp biên có chế độ chảy thành lớp, chất lưu
chảy quanh vật nhịp nhàng (không bị đứt ra). Các đường dịng có dạng giống như trong
trường hợp chảy lượn của chất lưu lý tưởng.


Để thí dụ ta lại xét sự chảy quanh quả cầu. Trường hợp chất lưu lý tưởng (xem hình

2.1), tổng các áp lực lên mặt quả cầu bằng 0 do sự đối xứng của các đường dòng. Cũng do
nguyên nhân đó tổng các áp lực vng góc với mặt cầu cũng sẽ bằng 0 cả trong trường
hợp chất lưu nhớt chảy thành lớp quanh quả cầu.
Có nghĩa là lực do chất lưu tác dụng vào
quả cầu là lực ma sát YdS đật vào mỗi phần
tử măt cầu. Ứng suất Y phụ thuôc vào
gradient vân tốc, gradient vân tốc lại phụ
thuôc vào chiều dày của lớp biên. Lớp biên
mỏng nhất ở các điểm C và D (hình 2.1) và
dày nhất ở các điểm A và B. Vì vậy gradient
vân tốc và do đó cả ứng suất Y sẽ có giá trị
lớn nhất ở các điểm C và D và nhỏ nhất ở các
điểm A và B. Tất nhiên là lực tổng hợp Fms
của tất cả các lực, do sự đối xứng của sự
chảy, thì hướng theo dịng. Lực ma sát Fms chỉ
phụ thuôc vào đô nhớt n, vân tốc tương đối v o
(vân tốc của dịng khơng bị nhiễu loạn) và
bán kính R của cầu.
Hình

2.1

(1)
Ta xác định được x, y, z bằng tính chất thứ nguyên: thứ nguyên của vế trái bằng thứ
nguyên của vế phải.
Thứ nguyên của vế trái: [Fms ] —[M] [L] [T]-2

Thứ nguyên của vế phải:
wx

[Vo] [ R] —{[ L]- [M] [T]- }{[ L] [T]- }[ L]

— [ L]

y

-x+y+z

z

x

[M ] [T ]- x

x

x

y

x

y

y

z

(2)