Sự phát triển vũ trụ trong mô hình hấp dẫn cải tiến f(r) dạng hàm mũ đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

OCOTNKT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠN N HỆ CẤP TRƯỜN

••
ĐTI

Sự phát triển vũ trụ trong mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng
hàm mũ đa thức

Mã số:
Thuộc Chương trình nghiên cứu:

Chủ nhiệm đề tài: TS. Võ Văn Ớn


ình Dương, 12/2019
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

OCOTNKT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔN N HỆ CẤP TRƯỜN

••
ĐTI

Sự phát triển vũ trụ trong mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng

hàm mũ đa thức

Mã số:
Thuộc Chương trình nghiên cứu:

Chủ nhiệm đề tài: TS. Võ Văn Ớn


ình Dương, 12/2019
MỤC LỤC
...1 .
. 3 ...3
.3 ..4
. .4 hương
1. Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ và hướng tiếp cận hấp dẫn cải tiến f(R) để giải thích
sự kiện này
..6
1.2.......................................................................................................................
1.3.
1.4. hương 2. Các kịch bản phát triển vũ trụ trong mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R)
dạng hàm mũ đa thức
1.5. ũ
1.6.

ũr
1.7.

rũr

1.8............................................................................................2.4 Kết luận chương 2

................................................................................................................................ 16
1.9. hương 3. Ước lượng các tham số mơ hình từ quan sát thiên văn
1.10. 3.1 c ơ chế tắc k è ho a trong 1 ớp lý thuyết hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ - đa
thức . . . . 1 7 0
1.11.
1.12.

u ki n tầng mỏng 0 .
ự . .23 r

.
. 24

1.13. r r 24
1.14. 3 . .25
1.15.
luận chung đ tài và kiến nghị
1.16.

Tài li u tham kh o .. 27

Kết
5


1.17. BÁO CÁO TỔNG KẾT
1.18. Sự phát triển vũ trụ trong mơ hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm

mũ
đa thức

1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC CỦA
1.19.
ĐỀ TÀI Ở TRONG VÀ NGỒI NƯỚC
1.1.

Ngồi nước:

1.20. - Nghiên cứu về hướng hấp dẫn cải tiến f(R) khác hấp dẫn của Einstein bắt đầu từ
năm 1970 với cơng trình của Hans Adolph Buchdahl[1], ông ta thay độ cong vô hướng R
trong tác dụng Einstein - Hilbert bằng một hàm tổng quát hơn là ọ(R), hiện nay ta dùng là
f(R). Nhà vật lý Nga Starobinsky[2] vào những năm 1980 cho thấy rằng hấp dẫn cải tiến
f(R) có thể giải thích cho sự lạm phát vũ trụ. Sau khi phát hiện vũ trụ giãn nở tăng tốc vào
năm 1998, sự nghiên cứu cải tiến hấp dẫn Einstein trở nên sôi động hơn bao giờ hết, mở
đầu là cơng trình của S. Carroll cùng các cộnng sự[3], các nghiên cứu sau đó có thể kể của
nhiều tác giả tên tuổi khác như Faraoni, F [4], De Felice [5], Sotiriou, T. P [6,7],
Capozziello, S [8]. Riêng hướng hấp dẫn cải tiến f(R) có dạng hàm mũ cũng được nghiên
cứu bởi vài tác giả trên thế giới nhưng ở dạng đơn giản như của Eric V. Linder [9],
Kazuharu Bamba, Chao-Qiang Geng and Chung-Chi Lee [10], XU Qiang and CHEN Bin
[11]. Mơ hình hấp dẫn f( R) dạng hàm mũ - đa thức với tác dụng khá tổng quát và phức
tạp lần đầu tiên được đề xuất bởi tác giả của đề tài này vào năm 2012.
1.2.

Trong nước:

-

Nhóm nghiên cứu cua GS. Hồng Ngọc Long ở Viện Vật Lý và Điện tử thuộc Viện
hàn lâm khoa học và cơng nghệ quốc gia có nghiên cứu về sự phát triển vũ trụ
nhưng trong mơ hình lý thuyết 3-3-1, khơng đi theo hướng f(R).

-

Nhóm nghiên cứu của TS. Nguyễn Ái Việt ở khoa Vật Lý trường ĐH.Khoa học Tự
nhiên Hà Nội có nghiên cứu về hấp dẫn, vũ trụ nhưng không làm theo hướng f(R).

-

Tại ĐH. Khoa học Tự nhiên tp.HCM, TS. Võ Quốc Phong nghiên cứu sự phát triển
vũ trụ nhưng trong không gian nhiều chiều và mơ hình 3-3-1.

-

Một vài bài báo nghiên cứu của nhóm nghiên cứu của tác giả được trình bày tại hội
ngh Vật lý lý thuyết toàn quốc năm 2012 và hội ngh Vật lý mô ph ng ĐH.Bách
Khoa tp.HCM năm 2014, hội ngh cấp trường tại Đại học Thủ Dầu Một tháng 4 năm
2017, tại hội ngh Vật lý lý thuyết toàn quốc tháng 8 năm 2017 tại tp. Cần Thơ

-

Một bài báo về hướng này cũng đã được đăng tại tạp chí ĐH.Thủ Dầu Một năm
2012.

-

Một bài báo được chấp nhận đăng ở tạp chí TDM năm 2017.
4


1.3. Danh mục các cơng trình đã cơng bố thuộc lĩnh vực của đề tài của chủ
nhiệm và những thành viên tham gia nghiên cứu:

[1] . Võ Văn Ớn , Trần Trọng Nguyên, Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong mơ hình
hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ - đa thức, Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4, tập 6,
trang. 3-7, 2012
[2] . Vo Van On , Tran Trong Nguyen, Some Scenarios of Cosmol ogical Revolution in
Polynomial Exp onential f( R) Modified Theory of Gravity, Chinese Journal of
Physics, 53, 3, pp. 060101-1....060101-10, 2015( SCI)
[3] . Võ Văn Ớn - Trương Hữu Ngh , Nhiễu loạn tuyến tính của vũ trụ trong mơ hình
hấp
1.21.
dẫn cải tiến
f(R) dạng hàm mũ - đa thức,
, số 3, tập 34,
1.22. trang 3-14, 2017
[4] . Võ Văn Ớn - Nguyển Hải Đăng, Cosmic inflation in modified gravity f( R) of
polynomial - exponential form, Báo cáo tại hội ngh VLLT toàn quốc 2017
[5] . Vo Van On - Nguyen Ngoc, Mechaleon mechanism in modified gravity f(R) of
polynomial - exponential form, Journal of Physics: Conf. Series 1034 012002 ,
pp.1-9 ,2018( Scopus)
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
- Vũ trụ đang giãn nở tăng tốc đầy bí ẩn. Có nhiều mơ hình lý thuyết giải thích cho
hiện tượng này nhưng chưa có mơ hình nào thật th a đáng. Cách giải thích được
cho là hợp lý nhất hiện nay là sự tăng tốc này do một loại vật chất bí ẩn gọi là năng
lượng tối chiếm hơn 70% tổng năng lượng vũ trụ gây ra. Tuy nhiên cách giải thích
này cũng gặp nhiều khó khăn như: người ta chưa quan sát được bất cứ hạt năng
lượng tối nào dù nó có tỉ lệ rất lớn trong vũ trụ, các mơ hình năng lượng tối đều gặp
phải các khó khăn khó vượt qua được. Một hướng lý thuyết khơng cần viện dẫn đến
năng lượng tối bí ẩn nhưng vẫn giải thích được sự tăng tốc của vũ trụ là hấp dẫn cải
tiến f(R), tức là hướng mở rộng Thuyết tương đối rộng của Einstein.
- Lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ - đa thức do tác giả đề xướng năm
2012 cũng thuộc lớp lý thuyết này, trong đó biểu thức của f(R) là tích của một hàm

đa thức của R và một hàm e mũ của đa thức theo R nên khá tổng quát so với những
dạng lũy thừa khác và hứa hẹn cho một giải thích tốt cho sự tăng tốc và một số khía
cạnh khác của vũ trụ nếu được nghiên cứu thấu đáo nên có tính cấp thiết.
3. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Tìm hiểu sự phát triển của vũ trụ có thể có trong mơ hình hấp dẫn f(R) dạng hàm
mũ - đa thức qua phương pháp giải số kết hợp với giải tích.
4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
13.1.

Đối tượng nghiên cứu:
5


-

Nghiên cứu về lớp lý thuyết hấp dẫn cải tiến f(R).

1.23. - Nghiên cứu về sự phát triển vũ trụ trong lớp mơ hình này.
1.24. - Khảo sát các ràng buộc lên mơ hình từ các quan sát thiên văn học.
13.2.

Phạm vi nghiên cứu:

1.25. - Nghiên cứu lý thuyết f(R) ở một vài dạng đặc biệt, không khảo sát tổng quát.
1.26. - Chỉ khảo sát khía cạnh các k ch bản phát triển vũ trụ trong mơ hình.
1.27. - Chỉ khảo sát ở thời gian sau vụ nổ Big Bang, ngay trước giai đoạn lạm phát, từ 1035
s sau Big Bang về sau.
5. CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.28. 14.1. Cách tiếp cận:
1.29. - Thu thập các tài liệu liên quan đến lý thuyết hấp dẫn f(R) đang được nghiên cứu

trên thế giới.
1.30. - Tìm hiểu cách tính số, cách tiếp cận đến các khía cạnh của lý thuyết f(R).
1.31. - Tìm hiểu các cách rút ra dáng điệu phát triển vũ trụ từ lý thuyết f(R).
1.32. - Tìm hiểu cách xác đ nh các tham số của mô hình từ các quan sát thiên văn.
14.2.

Phương pháp nghiên cứu:

1.33. - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết hấp dẫn f(R).
1.34. - Rút ra các phương trình Friedmann cải tiến trong mơ hình.
1.35. - Giải số các phương trình Friedmann tìm dáng điệu phát triển của vũ trụ.
1.36. - Phân tích, so sánh, đánh giá các kết quả tính tốn được với các kết quả thu được
từ các quan sát thiên văn.
6. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN ĐỘ THỰC HIỆN
1.37. Nội dung nghiên cứu:
1.38. - Xây dựng tác dụng cải tiến cho lý thuyết f(R); Rút ra các phương trình Friedmann
cải tiến.
1.39. + xây dựng tác dụng cải tiến f(R) dạng hàm mũ - đa thức.
1.40.
rút ra các phương trình Friedmann cải tiến.
- Giải số các phương trình Friedmann tìm nghiệm vũ trụ.
1.41.
giải số các phương trình Friedmann.
1.42.
bàn luận kết quả
- Ước lượng các tham số mô hình từ các quan sát thiên văn.
1.43.
thu thập các số liệu quan sát thiên văn - vũ trụ liên quan đến mơ hình. ước
lượng các tham số của mơ hình từ các số liệu quan sát thiên văn.
6

1.44. Nội dung báo cáo tổng ết
1.45. Phần mở đầu. Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ
1.46. Chương 1. Các phương trình Friedmann cải tiến trong mơ hình hấp dẫn f( R) dạng
hàm mũ - đa thức.
1.47. Chương 2. Giải số các phương trình Friedmann cải tiến
1.48. Chương 3. Ước lượng các tham số mơ hình từ quan sát thiên văn
1.49. Tài liệu tham khảo

7


1.50. Chương 1

Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ và hướng tiếp cận hấp dẫn cải tiến
f(R) để giải thích sự iện này
1.51.

Có nhiều dữ kiện quan sát trong thời gian gần đây chỉ ra rằng vũ trụ
chúng ta đang ở trong giai đoạn tăng tốc. Những quan sát này dựa trên sao siêu mới
loại IA[12,13,14,15], bức xạ nền vũ trụ[16], sự tạo thành cấu trúc trên giai lớn của
vũ trụ[17], gương hấp dẫn yếu[18]. Có ba hướng tiếp cận lý thuyết có thể giải thích
được sự tăng tốc này của vũ trụ là[19]:
1.52.

- Một hằng số vũ trụ A,
- Năng lượng tối,
- Hấp dẫn cải tiến.
1.53.

Trong hướng tiếp cận đầu tiên, một hằng số vũ trụ A đang đẩy vật chất

của vũ trụ làm cho nó tăng tốc và xu hướng này đang chiếm ưu thế trong vũ trụ hiện
nay, nó đưa vũ trụ vào trong pha de Sitter tăng tốc mãi mãi. Cách tiếp cận này có vẻ
là hướng giải thích rõ ràng nhất cho sự tăng tốc hiện nay, tuy nhiên nó gặp phải hai
vấn đề rất nan giải là vấn đề hằng số vũ trụ( sự khác biệt đến 120 bậc độ lớn giữa
giá tr lý thuyết và giá tr quan sát của hằng số vũ trụ)[20, 21]và vấn đề trùng nhau
(sự trùng nhau về bậc độ lớn khơng thể giải thích được giữa mật độ vật chất thông
thường và mật độ năng lượng vacuum vật lý, nó xác đ nh độ lớn của hằng số vũ trụ,
ở thời điểm hiện tại dù rằng tốc độ thay đổi của chúng là khác nhau trong quá trình
phát triển của vũ trụ). Do hai vấn đề nan giải này, phần lớn các nhà vật lý loại b
hướng tiếp cận này trong sự giải thích sự tăng tốc của vũ trụ.
Trong hướng tiếp cận thứ hai, hầu hết các mơ hình đều nằm trong
khn khổ của Thuyết tương đối tổng quát của Einstein, và đều công nhận rằng có
tồn tại một dạng vật chất mới trong vũ trụ gọi là năng lượng tối với phương trình
trạng thái P~-p( p là áp suất, plà mật độ năng lượng của vật chất tối), nó đang chiếm
ưu thế trong vũ trụ trong giai đoạn vật chất ưu thế hiện nay, năng lượng tối thậm chí
có thể là năng lượng “ma” với phương trình trạng thái P<-p. Nhiều mơ hình năng
lượng tối đã được nghiên cứu nhưng khơng có một mơ hình nào hoàn toàn thuyết
phục hoặc tránh được vấn đề tinh chỉnh để có thể được xem là một mơ hình “đúng”.
1.54.

1.55.

Trong hướng tiếp cận thứ ba, người ta thay đổi Thuyết tương đối tổng


qt của Einstein để có thể giải thích sự tăng tốc của vũ trụ hiện nay nhưng không
cần đến hằng số vũ trụ hay năng lượng tối bí ẩn, trong hướng tiếp cận này lớp mơ
hình hấp dẫn cải tiến f(R) được quan tâm đặc biệt.

1.1 Cở sở hấp dẫn f(R)
1.56. Hấp dẫn f(R) có 3 hình thức luận sau:
1.57.

• Hình thức luận mêtric hay hình thức luận bậc hai,

1.58.

• Hình thức luận Palatini hay hình thức luận bậc một,

1.59.

• Hình thức luận mêtric - affin

1.60. Trong đề tài này, chúng tơi chỉ đề cập đến hình thức luận mê tríc thơi.
1.61. Tác dụng Einstein- Hilbert là:
1.62.
1.63.
1.64. Khi thay đổi tác dụng này đối với tenxơ metric gab ta được phương trình

trường:


1.66.
1.67.

1.65. 1
f' (R)Rab - 1 gabf (R) - VaV bf' (R) + gabV y f' (R) = K2

ở đây:

(5)

f '(R) = df (R)IdR vàT =ỏSM Iổgab
ab

(6
)

1.68. phương trình(5) là phương trình vi phân bậc 4, nó rất khó giải.

1.69. Về ngun tắc, tenxơ mêtríc có thể gồm nhiều bậc tự do như tenxơ, véctơ, vơ

hướng có khối lượng hoặc khơng khối lượng. Trong thuyết hấp dẫn của Einstein chỉ
có duy nhất graviton với spin 2 lan truyền, khi chuyển sang hấp dẫn cải tiến f(R)
ngồi graviton cịn có thêm một mode vơ hướng có khối lượng nữa, nó có thể dẫn
dắt cho vũ trụ tăng tốc thời gian sau tương tự như một trường vô hướng dẫn dắt cho
vũ trụ lạm phát ở giai đoạn vũ trụ rất sớm.
1.70. Một cách hình thức, ta có thể viết phương trình (5) dưới dạng phương trình

Einstein hiệu dụng như sau:
(7)
đây

(8)

1.71.
1.72.

1.73. là tenxơ năng- xung hiệu dụng chứa các số hạng hình học. Ở đây K2 = 8nG.

1.74. Tenxo năng - xung hiệu dụng không thỏa bất kỳ một điều kiện năng lượng

nào và dĩ nhiên là mật độ năng lượng hiệu dụng khơng xác đ nh dương.
1.75. Từ các phương trình trên, người ta cũng đ nh nghĩa một hằng số hấp dẫn hiệu

dụng như sau Geff - G/f(R). Rõ ràng là f(R) phải dương để graviton có động năng
dương.
1.76. Trong một vũ trụ phẳng, mêtríc Friedmann- Robertson- Walker có dạng:

10


1.77.

ds2 = -dt2 + a(t)2(dx2 + dy2 + dz2)

(10)

1.78. Lúc này các phương trình trường ( 5) có dạng sau: ở đây dấu chấm trên chỉ vi

phân đối với thời gian trong hệ đồng chuyển động t.

•

1.79.

1.2.

__9
Av

- [p(mafier) + f'"(R)(R)

K

2

+ 2HRf"(R)

(11)

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của một lý thuyết f(R)

1.80. Để một lý thuyết f(R) thành công hay tồn tại được, nó khơng chỉ cần giải

thíchđược các vấn đề lien quan đến vũ trụ mà còn phải vượt qua được các rang buộc
1.81. trong hệ Mặt trời và các thực nghiệm thiên thể trong hấp dẫn tương đối tính

và nó
1.82. cịn phải th a một số tiêu chuẩn cho sự tồn tại tối thiểu như sau:
1.83.

• nó có các hệ quả động lực học vũ trụ đúng,

1.84.

• nó th a tính ổn đ nh và khơng có ghost,

1.85.

• nó có giới hạn Newton và Post- Newton đúng,

1.86.

• nó cũng dẫn đến được các nhiễu loạn vũ trụ phù hợp với các dữ liệu

về bức
1.87. xạ nền vũ trụ và cấu trúc ở khoảng cách lớn của vũ trụ,
1.88.

• nó có được bài tốn Cơsi được đặt tốt.

1.89. sự thiếu vắng dù chỉ một trong các tiêu chuẩn này xem như lý thuyết không

dùng được.
1.3.

Động lực học vũ trụ đúng
11


1.90. Theo ý kiến của hầu hết các nhà vũ trụ học, để một mơ hình vũ trụ chấp nhận

được nó phải có thời kỳ lạm phát sớm, sau đó đến thời kỳ bức xạ thống tr , kế đến là
thời kỳ vật chất thống tr và rồi đến giai đoạn tăng tốc hiện tại. giai đoạn phát triển
tương lai của vũ trụ thường là pha tăng tốc de Sitter mãi mãi hay kỳ d Big Rip. Sự d
ch chuyển từ giai đoạn này đến giai đoạn khác của vũ trụ địi h i phải “êm ả”. Trong
nhiều mơ hình f(R) việc chuyển từ thời kỳ bức xạ thống tr sang một thời kỳ khác có
thể gặp phải nhiều vấn đề.
1.4Tính ổn định của một mơ hình hấp dẫn f(R)

1.91. Dolgov và Kawasaki [22] và sau đó là các tác giả khác đã chỉ ra rằng một lý
1.92. thuyết f(R) là ổ đ nh khi:
1.93.

f" > 0 (12)

1.95.

f" < 0 (13)

1.94. và không ổn đ nh khi:

1.96. về mặt vật lý, vấn đề này có thể được minh họa như sau: ta nhớ rằng hằng số

hấp
1.97. dẫn hiệu dụng là Geff = G/f(R) , nếu dGeff /dR = -f'G/(f)2 > 0 ( nó tương ứng

với r < 0), thì Geff sẽ tăng theo R, một độ cong lớn sẽ làm cho hấp dẫn trở nên mạnh
hơn, và như thế làm cho hấp dẫn càng mạnh hơn. Cơ chế phản hồi dương này sẽ
làm cho hệ không ổn đ nh. Ngược lại, nếu dGeff /dR < 0, thì một cơ chế phản hồi
âm sẽ làm giảm bớt cường độ hấp dẫn và hệ ổn đ nh.
1.5Ghosts
1.98.
nên cố
sự
Ghosts
thiếutổng
là
vắng
các

tính
trạng
unita
thái
và
khối
là
lượng
tình
trạng
với chuẩn
chungâm
gặp
nóphải
gây
khi
gắng
qt
hóa
thuyết
tương
đối

12


1.99. rộng của Einstein. Tuy nhiên người ta chứng minh được là các lý thuyết f(R)

thì khơng có ghost.
1.6Các động lực học đúng của các nhiễu loạn vũ trụ

1.100. L ch sử phát triển của vũ trụ một mình nó khơng đủ để phân biệt các mơ hình

hấp dẫn f(R) khác nhau, nhưng sự phát triển cấu trúc giai lớn của vũ trụ có thể làm
được điều này. Song, Hu và Sawicki, đã chỉ ra rằng các mode vecto và tenxo không
b ảnh hưởng bởi sự hiễu chỉnh thành f(R) trong tác dụng Einstein ở bậc thấp nhất,
trong khi mode vơ hướng thì b ảnh hưởng. Một kết quả rất đángchú ý từ các nghiên
cứu này là các hiệu chỉnh f(R) làm giảm độ d hướng góc lớn trong bức xạ nền của
vũ trụ và sinh ra sự tương quan giữa bức xạ nền và cấu trúc giai lớn của vũ trụ khác
hơn sự tương quan trong các mơ hình năng lượng tối. Các nghiên cứu về tạo thành
cấu trúc trong các thuyết hấp dẫn f(R) vẫn đang được nghiên cứu và trong các mơ
hình cụ thể.
1.7Bài tốn Cơsi
1.101. Một lý thuyết vật lý phải có giá tr tiên đốn và do đó một bài tốn giá tr ban

đầu được đặt tốt. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng bài tốn Cơsi cho hấp dẫn f(R)
mêtric là được phát biểu tốt và được đặt tốt cho chân không và một vài dạng vật
chất “hợp lý” (các chất l ng hoàn hảo, các trường vô hướng, trường Maxwell) trong
khi đối với hấp dẫn f(R) Palatini không được phát biểu tốt , cũng như khơng được
đặt tốt do sự có mặt của đạo hàm bậc cao của các trường vật chất trong các phương
trình trường.
1.8Kết luận chương 1
1.102.

Trên đây là một vài khía cạnh cơ bản của hướng tiếp cận hấp dẫn cải

tiến f(R).
1.103. Nó cho thấy rằng hướng tiếp cận này có thể giải thích cho sự tăng tốc hiện

nay của

1.104. 10


hết đề
một
đây
lý
thuyết
hãy
cịn
đúng.
được
Hy
xem
vọng
như
rằng
các
mơxác
các
hình
nghiên
thử
nghiệm
trong
hơn
thời
là
gian

hướng
tới
tiếp
sẽ
cận
cho
này
tagia
một
trong
câu
nhận
trả
thức
lời
của
ta
nh
vềcứu
về
vũ
vai
trụ
trị
vàđể
cùng
của
hịa
thử
trong

ngh
dịng
một
chảy
lớp
mơ
đó,
hình
trong
hấp
chương
dẫn
f(R)
2 đ
và
khá
3,
tổng
chúng
qt
tơi
sẽ
giải
thích
cho
sự
tốc
hiện
nay
vũ

trụ.

15


1.106. Chương 2
1.107.
Các kịch bản phát triển vũ trụ trong mơ hình hấp dẫn cải tiến f( R)
dạng hàm mũ đa thức
2.1 Hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ đa thức
1.108. Ta xét tác dụng hấp dẫn phi tuyến theo độ cong vô hướng R như sau:
1.109. S = ^2 f.f (R)'/-gd4x + Su (g,,^)
(14)

với

1.110.

f (R) = R + a + -^ (1 + bR2 + cR3 )e Rn':

1.111.

R

m

(15)

1.112. ở đây a > 0, p > 0, m, n, a, b là những hằng số.
1.113. Khi a = 0 hoặc R chúng ta trở lại thuyết hấp dẫn Einstein. Trong đề tài này tôi chỉ

nghiên cứu trường hợp b = c = 1, a = 2A, m = n = 1, a > 0, p > 0.
1.114. Biến thiên tác dụng (14) đối với mê tríc ta thu được phương trình trường:

;::

('16)
1.115.
G„- R,:-1 Rg,„' = T
+ T"
1.116. ở đây TM là tenxơ năng - xung vật chất, ĩ: là một tenxơ
năng xung hiệu dụng, nó chỉ các đóng góp từ thuộc tính h.nh học của mơ h.nh, biểu thức
của nó là:
1 f (R) - Rf (R)
1.117.
-' g + f'(R\ P (g
Teff = [
g - g g )]
Z1_
g
( ) (g g gg )]
1.118.
;: f'(R)
:’
;a vịì ữfi
(17)
1.119.
đây dấu phẩy chỉ đạo hàm đối với vô hướng Ricci R. Chúng ta chỉ quan tâm
ở đây vai trò dẫn dắt vũ trụ phát triển của chỉ các yếu tố hình học nên ta có thể xem rằng
khơng quan tâm đến Lagrangian của trường vật chất (ZM = 0) , nghĩa là trong các phần sau
TM = 0.

1.120.
Không thời gian phẳng FRW cho bởi:
a

1.121.

ds2 = dt2 - a2 (t)[dr2 + r2 (dỡ2

+ sin2 ỡdộ2)]

(18)

1.122.
ở đây a(t) là nhân số giai của vũ trụ. Ta thu được các phương trình
Friedmann cải tiến trong mơ hình như sau:
1.123.

14 = -ịíịơ' - Rf') - 3 -jf]


af2

a


1.124.
1.125.

21+=-1[2 a Rf ’+Rf2■ + R 2f■- i(f - Rf')]

aafa

(20
)
1.126.
1.127. dấu châm (•) trên chỉ đạo hàm đối với thời gian vũ trụ t, và hằng số Hubble H =
1.128.
1.129.
1.130. Độ cong vô hướng được cho bởi công thức:
2.2 Nghiệm vũ trụ của mơ hình
a a\
R =aa
-6( + 2)

a

(21)

1.131. Ta thấy rằng vô hướng R chứa đạo hàm bậc hai của nhân số giai t, như vậy các
phương trình Friedmann (19), (20) là hệ phương trình vi phân cấp 4 của nhân số giai a(t) .
]

(22)

Hệ này có dạng rất phức tạp và rất khó giải chính xác bằng phương pháp giải tích, chúng
tơi sẽ phát triển một phương pháp để giải số cho các phương trình này tương tự như cách
mà các tác giả [23, 24] đã dùng để giải số cho các mơ hình đơn giản hơn khác.
1.132.
Sử dụng các phương trình (19) và (20) ta thu được:
1.133.

H

=:1
e

1 -a

e

234

[m + pR + (m - 2)^2 + (m - 3 + P)RÌ + fiR4

(23)

1.134.
Với tác dụng từ cơng thức (15), phương trình trường (22) thành:
1.135.
1.136.
L ,R HR R
R)]
R
1.137.
[(- -3)+
a(HR - R)]
1.138.
R2 R R
R2
1.139.
Đây là một phương trình phức tạp rất khó để thu đươc các nghiệm giải tích

chính xác, tuy nhiên ta có thể thu được các nghiệm tiệm cận ở các giai đoạn khác nhau
như sau:
1.140. • Sự giãn nở theo dạng hàm mũ a(t) ~ eH°0 khi q = 1 trong giai đoạn sớm của
1.141.
vũ trụ.
1.142. • Sự giãn nở theo dạng a(tt)~ t2 khi q = -1/2 trong giai đoạn sau của vũ trụ.
Biến thiên của q đối với a(t) trong pha phát triển tuyến tính và pha hàm mũ được biểu
diễn trong hình 1 và 2 tương ứng.
1.143.
Chúng ta dùng tham số

18


giảm tốc sau đây để nghiên cứu sự phát triển của vũ trụ bằng phương pháp giải số:
(20
1.144. (24)
)

19


1.145. Chúng ta có thể nghiên cứu sự phát triển vũ trụ bằng cách giải số. Do q là một hàm
của H và đạo hàm của nó, ta có thể viết lại phương trình (21) như là một phương trình vi
phân cấp hai của q theo biến H. Vì q chứa các số hạng chứa a, ta có thể thay thế các số
hạng với đạo hàm bậc bốn của nhân số giai trong phương trình (23) bởi q (H). Các hàm q
và H không độc lập nhau. Đạo hàm theo thời gian trong các phương trình trên bây giờ có
thể được thay thế bằng đạo hàm đối với H khi sử dụng phương trình (24). Ta thu được
phương trình vi phân phi tuyến sau:
q' + A(q , H)q'1 + B (q, H)qq

1.146.

+ C (q, H) = 0

(25)

1.147.
ở đây dấu phẩy chỉ đạo hàm của q đối với H. Các hàm A(q,H) , B(q,H) và
C(q,H) như sau:
1.148.

A(q, H) = -6(72 H2 +12 p3 H2 R +12 H2 p3 R3 +12 H2 p3 R5 + 72 H2 pR +36 H2 p2 R2 -36 p2 H2 R4 -72 p2 H2
R5 + 72pH2R4 -7p2R6 +p3R4 + 2pR4p3R7 + p3R6 -4p2 R5 + lơpR5 + 4pR2 + 2pR + 4R-2R4)H2 /((R+12H2)
(2pR+p2R2 +p2R4 +p2R5 -4pR4 -2pR3 +2+2R3)R)

1.149. (26)
1.150.

B(q,H) = -2(66H +24p H R +24H p R +24H p R +66H
2

3

2

6

2

3

+4R+4pR -8R )/(H(R+12H )(2pR+p R +
2

4

2

2

2

3

2

3

5

2

pR +33H p R -111p H R +78pH R -16p R
2

2

2

2

2

4

2

3

2

6

p R +p R -4pR -2pR +2+2R )) -183p H R +300pH R -78H R
2

4

2

5

4

3

3

2

2

5

2

4

2

3

+2p R +8pR +2p R -10p R +2p R + 28pR +2p R
3

7

4

3

6

2

5

3

4

5

2

3

1.151. (27)
1.152. C(q, H) = 1(-R(6ae~pRR+2ae~pRR7p3 + 2ae-pRR4p3 + 2ae-pRR6 p3 + 6ae-pRR2 p+ 3aeR R‘p2 -9ae-R5p2
-

15ae-pRR6p2 + 24ae-pRR5 p+6ae-pRpR4 -6ae-pRR4) -6R(8ae-pRR6 p3 + 8ae-pRR5 p3 -61ae-pRR5 p2
37 ae-pR R4 p2 + 99ae-pR pR4 + 25ae-pR R3 p - 24(7. e-pR R3 + 8ae-pR p3 R3 + ae-pR R2 +11ae~pR p2 R2 + R2

1.153.
-

+ 21ae-pRpR + 21ae~pR)H2 + (-72R2 + 864ae-pRR3 -936aepRRip-36ữaeTpRp2R2 + 2232ae-pRR5p2

648ae-pR pR -3672ae-pR pR4 - 288ae-pR R5 p3 - 288ae-pRR6p3 +1368(7 e R4p2 - 288ae-pR p3R3
72aeTpR R2 - 648ae-pR)H4)R / (H2 (ae-pR (2pR + p2R2 + p2R4 + p2R5 - 4pR4 - 2pR3 + 2 + 2R3)R2 H2 + 24ae-pR (2pR +
p2 R2 + p2 R4 + p2 R5 - 4pR4 - 2pR3 + 2 + 2R3)RH4 + 144ae R (2,pR + p2R2 + p2R4 + p2R5 - 4pR4 - 2pR3 + 2 +
-

2R3)H6))

1.154. (28)
20

1.155. Phương trình trên dù rất phức tạp nhưng là phương trình vi phân cấp hai của biến q.
đây cả q và H đều phụ thuộc thời gian và không thể giải một cách chính xác để thu được
dạng phiếm hàm đã biết. Vì 1/H đo tuổi của vũ trụ và H là một hàm giảm đơn điệu của
thời gian vũ trụ, phương trình (15) có thể được dùng để nghiên cứu sự phát triển đ nh tính
của vũ trụ theo q. Chúng ta chọn đơn v sao cho H0 , giá tr của H hiện nay, bằng đơn v và
tìm bộ các giá tr của q và q'(H) từ vùng phù hợp với kết quả quan sát[25]. Chúng ta vẽ q
theo H đối với các cấu hình khác nhau của hệ. Vì ngh ch đảo của H cho ta một ước lượng
về tuổi của vũ trụ, sự phát triển tương lai của vũ trụ được hiểu từ vùng H < 1 và quá khứ
từ vùng q >1 trong mặt phẳng (q-H). Vì vũ trụ hiện tại đang tăng tốc, chúng ta sử dụng q <
0 ở giai đoạn hiện tại, H = H0 = 1 và vũ trụ đi vào trong pha q âm ( tức tăng tốc ) của sự
giãn nở chỉ trong q khứ gần. Mơ hình cũng được sử dụng để tiên đoán sự phát triển
trong tương lai của vũ trụ.
1.156. Đồ th giải số phương trình trên như sau:

1.157.
1.158.

1.159. Hình 1. Các chuyển pha giảm tốc - tăng tốc trong mơ hình với vài giá tr alpha, beta khác
nhau
21


1.160. So sánh với sự phát triển trong một số mơ hình khác:

22


1.161.
1.162.

1.163. Hình 2: Mơ hình với[3] f (R) = R

23


1.164.

24


1.2.

Hình 4. Mơ hình [27]với f (R) = R + aR -

R

1.165.
Hình 3: Mơ hình [26] với f (R) = R + m exp(-nR)
1.166.
2.3 àn luận về dáng điệu phát triển của vũ trụ t mơ hình
1.167. Từ dáng điệu của đồ th hình 1, ta thấy một số đặc điểm về sự phát triển của vũ trụ
như sau:
-

vũ trụ trong quá khứ ở trong giai đoạn giảm tốc ứng với đường cong phát triển nằm
phía trên đường q =0.

-

vũ trụ trong giai đoạn hiện nay đang tang tốc, ứng với đường cong phát triển nằm

phía dưới đường q = 0.

-

vũ trụ trong tương lai chuyển qua giai đoạn giảm tốc trở lại khi đường cong phát
triển quay lại phía trên đường q =0.

2.4 Kết luận chương 2
1.168.
Trong
chương
này
chúng
tơi
đã
thu
được
nghiệm
vũalpha
trụra
của
thức
một
bằng
lớp
phương
mơ
hình
pháp
hấp

giải
dẫn
số.
cải
Chúng
tiến
f(R)
tơi
đã
dạng
tìm
hàm
được
mũ
các
đa
pha
giãn
tốc
trong
nở
khác
q
nhau
khứ
trong
đến
pha
mơ
tăng

hình:
tốc
vũ
hiện
trụ
chuyển
tại
cách
từ
nay
pha
6,5
giảm
đến
7
giai
tbeta.
năm,
đoạn
sau
giảm
giai
tốc
đoạn
trong
tăng
tương
tốc
lai.
này

vũ
Khoảng
trụ
lại
thời
chuyển
gian
xảy
sang
sự
và
giảm
tốc
này
tùy
thuộc
vào
giá
tr
của
các
tham
số

25