Tài liệu Đường cô-nic doc

Đường cô-nic

Các loại đường Cô-níc

Ellipse (e=1/2), parabol (e=1) và hyperbol (e=2) với tiêu điểm F và đường chuẩn.

Bảng conic, Cyclopaedia, 1728
Trong toán học, một đường cô-níc (hoặc gọi tắt là cô-níc) là một đường cong tạo nên
bằng cách cắt một
mặt nón bằng một mặt phẳng. Đường cô-nic được nhắc đến và nghiên
cứu 200 năm TCN, khi Apollonius of Perga tiến hành một nghiên cứu có hệ thống về tính
chất của các đường cô-níc.
Các định nghĩa
Đường cô-nic có thể được định nghĩa theo hai cách:
•
Đường cô-nic là quĩ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách từ nó tới điểm cố định
F trên khoảng cách từ nó tới đường cố định L thì bằng giá trị thực e.
o
Đối với 0 < e < 1 ta được hình Ellipse
o
Đối với e = 1 là một parabol
o
Đối với e > 1 là một hình hyperbol.
Ta có điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi là
đường chuẩn và giá trị thực e được gọi là tâm sai.
•
Đường cô-níc là đường giao giữa mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng. Khi giao
của hình nón và mặt phẳng là một đường cong kín, tức mặt phẳng giao với toàn
bộ các đường sinh, không song song với đường sinh nào thì có tiết diện là một
đường ellipse. Nếu mặt phẳng song song một đường sinh của mặt nón, đường cô-
níc sẽ trở thành một parabol. Cuối cùng, trường hợp mặt phẳng giao với hai mặt

nón có chung đỉnh (đồng thời cũng cắt hai đáy của hai hình nón này), tạo thành
hai đường cong riêng biệt gọi là hyperbol.
Tên gọi đường cô-nic xuất phát từ việc cắt mặt nón tròn xoay này, với tên tiếng anh của
mặt nón là cone
Các đường Cô-níc
Dạng suy biến
Theo định nghĩa thứ nhất, ta có rất nhiều dạng suy biến của hình cô-nic, trong đó có
trường hợp mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp. Phần giao trong trường hợp đó có thể là
một
đường thẳng (khi mặt phẳng tiếp xúc với hình nón); một điểm (khi góc tạo bởi mặt
phẳng với trục của hình nón lớn hơn góc tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc với trục của hình
nón) hoặc một cặp đường thẳng cắt nhau (khi góc đó nhỏ hơn).
Các điểm đặc biệt của Ellipse và Hyperbol
Hai bộ tiêu điểm và đường chuẩn
Đối với hình ellipse và hình hyperbol, thì có hai bộ tiêu điểm-đường chuẩn và chúng tạo
nên một hình ellipse hoặc một hình hyperbol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo ra tâm của
hình (trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm). Theo đó, hình
ellipse và hình
hyperbol còn có thể định nghĩa theo một cách khác mà đường parabol không thể định
nghĩa theo được.
•
Hình Ellipse là quĩ tích của các điểm M mà MF
1
+MF
2
=2a (hằng số), trong đó F
1

và F
2

là tiêu điểm.
•
Hình hyperbol là quĩ tích của các điểm M mà |MF
1
-MF
2
|=2a (hằng số), trong đó
F
1
và F
2
là tiêu điểm.
Theo hai định nghĩa này thì
parabol có thể được coi là dạng suy biến của hình ellipse khi
tiêu điểm còn lại bị kéo dài ra xa đến vô tận. Cũng theo định nghĩa này thì hình tròn được
coi là dạng suy biến khi hai tiêu điểm của ellipse hợp lại thành một.
Trục thực (trục lớn) và trục ảo (trục bé)


Trục thực
x và trục ảo y
Ở hình ellipse và hình hyperbol còn có thêm hai trục đối xứng mà ở parabol chỉ có một:
•
Ở hình ellipse được gọi là trục lớn và trục bé. Trục lớn là trục đi qua hai tiêu điểm
và tâm, trục bé là trục vuông góc với trục lớn tại tâm.
•
Còn ở hình hyperbol tương ứng được gọi là trục thực và trục ảo. Trục thực là trục
đi qua hai tiêu điểm, hai đỉnh của hai nhánh, tâm. Trục ảo là trục vuông góc với
trục thực ở tâm của hyperbol.
Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) bằng giá trị không đổi 2a. Độ dài trục ảo (trục bé)

bằng giá trị không đổi 2b. Trong đó, c = a − b
2 2 2
đối với ellipse và c = a + b
2 2 2
đối với
hyperbol (F
1
F
2
=2c và được gọi là tiêu cự).
Hình chữ nhật cơ sở
•
Ở hình hyperbol, hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật có bốn đỉnh nằm trên hai
đường tiệm cận. Trong bốn cạnh của hình chữ nhật, có hai cạnh là hai đường tiếp
tuyến tiếp xúc với hai nhánh của hình hyperbol ở đỉnh của chúng, và tương ứng
hai đỉnh này của hyperbol là hai trung điểm của hai cạnh. Hai cạnh đó song song
với trục ảo và bằng trục ảo. Hai cạnh còn lại song song với trục thực và có độ dài
bằng trục thực.
•
Ở hình ellipse, hình chữ nhật cở sơ là hình ngoại tiếp ellipse. Giống như hình
hyperbol: Trong bốn cạnh của hình chữ nhật, có hai cạnh là hai đường tiếp tuyến
tiếp xúc với hình ellipse tại hai đỉnh (các giao điểm của trục lớn với hình ellipse),
và tương ứng hai đỉnh này của ellipse cũng là hai trung điểm của hai cạnh. Hai
cạnh đó song song với trục ảo và bằng trục ảo. Hai cạnh còn lại song song với
trục thực và có độ dài bằng trục thực.
Trục tọa độ Descartes
Trong hệ tọa độ Descartes, hình của phương trình bậc hai hai ẩn luôn luôn là một đường
conic, và tất cả các đường cô-níc đều có thể biểu diễn được dưới dạng này. Phương trình
này có dạng
với , , không đồng thời

bằng 0.