HT KIẾN THỨC cơ bản toán THCS

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHỤC VỤ THI VÀO LỚP 10
MƠN TỐN

Mục lục
Phần đại số:

======= PHẦN ĐẠI SỐ =======
Đ_1.Các dấu hiệu chia hết:
a)
b)
c)
d)

Dấu hiệu chia hết cho 2: Những số có chữ số tận cùng là “số chẵn” thì chia hết cho 2
Dấu hiệu chia hết cho 3: Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3thì chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.
Ví dụ: 136 có chia hết cho 4 vì 36 ⋮ 4.

e) Dấu hiệu chia hết cho 8: Ba chữ số tận cùng chia hết cho 8.

Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8.
f) Dấu hiệu chia hết cho 9: Những số chó tổng các chữ số chia hết cho 9 thì xhia hết cho 9.
g) Dấu hiệu chia hết chi 11: Những số có Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn

chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.
Ví dụ: 253 chia hết cho 11 vì (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11 => 253 ⋮ 11.
h) Dấu hiệu chia hết cho 25: Nhứng số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25.

Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25.
i) Dấu hiệu chi hết cho 125: Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho

125…
Ví dụ: 2345312125 chia hết cho 25 vì 125 chia hết cho 25.
• Chú ý:- Những số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10
Những số chia hét cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6
Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
Những số chia hết cho 125 thì chia hết cho 25.

Đ_2. Số nguyên tố - hợp số:
a) Số nguyên tố( SNT): là những số chỉ có duy nhất 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53…..
1


b) Hợp số: là những số có từ 3 ước số trở lên.
* Lưu ý: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
c) Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Cách làm như sau
588 2
294 2
147 3
49 7
7 7
1
=> 588 = 2.2.3.7.7 = 22.3.72

Đ_3. Lũy thừa:
1)
2)
3)
4)

Công thức cần nhớ
x .xn = xm+n
xm : xn = xm-n ( m ≥ n)
(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm.ym
m

Ví dụ minh họa
23.24 = 23+4 = 27
35 : 32 = 35-2 = 33

5)
(xm)n
Đ_4. Tỷ lệ thức:
6)

a) Tính chất:

b) Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:

Đ_5. Đơn thức – đa thức:
a) Định nghĩa:
* Đơn thức: Là biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên các biến chỉ gồm phép
nhân và lũy thừa với số mũ tự nhiên.
* Đa thức: Là biểu thức gồm tổng các đơn thức.
b) Phép nhân đa thức:
* A.(B+C) = A.B + A.C
* ( A+B).(C+D) = A.C + B.C + A.C + A.D

Đ_6. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
1.
2.
3.
4.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
( A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
( A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

5. A2 – B2 = ( A - B)(A + B)
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2)

Đ_7. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Là biến đổi một đa thức thành tích của nhiều đa
thức khác 0.
b) Các cách phân thích đa thức thành nhân tử:
 Đặt nhân tử chung
 Dùng hằng đẳng thức
 Nhóm hạng tử
 Thêm – bớt; tách hạng tử
2


 Phối hợp nhiều cách.

Đ_8. Phân thức đại số:
a) Khái niệm: Dạng tổng quát: trong đó : A,B là các đa thức, B khác 0

b) Rút gọn phân thức:

Đ_9. Biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai:
Kiến thức cần nhớ:
1)

có nghĩa khi A ≥ 0

2)
3)

=

4)
5) =

6)
7)
8)
9)
10)

nếu A ≥ 0 , B ≥ 0
nếu A ≤ 0 , B ≤ 0
nếu A.B ≥ ) và B ≠ 0
, ( A ≥ 0 , A ≠ B2 )
, ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)

Đ_10. Phương trình:
a) Phương trình bậc nhất và bậc hai:

Phương trình bậc
nhất một ẩn
Dạng
ax + b = 0 (a ≠ 0)
tổng quát
⇔ ax = -b
⇔x=

Cách giải

Phương trình bậc hai một ẩn
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
 Theo công thức nghiệm:

∆ = b2 – 4ac
- ∆ < 0 thì TP vơ nghiệm
- ∆ = 0 thì pt có N0 kép
x1 = x2 =
- ∆ > 0 thì:
x1 = ; x2 =
 Theo Vi – et:
- Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =
- Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = -

∆’ = b’
- ∆’ < 0 thì T
- ∆’ = 0 thì pt
x1 = x2 =
- ∆’ > 0 thì:
x1 = ; x2

Ví dụ minh họa:
VD_1: Giải phương trình 3x – 1 = 0  3x = 1  x =
VD_2: Giải phương trình: 3x2 – 4x +1 = 0
Cách 1: ∆ = b2 – 4ac = (- 4)2 – 4.3.1= 4 > 0 =>
x1 = ; x2 = = ….= 1
Cách 2: ∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 3.1= 1 > 0 =>
x1 = ; x2 = = ….= 1
Cách 3:
Nhận xét các hệ số : a + b + c = 3 – 4 + 1= 0 => x1 = 1 ; x2 =
b) Phương trình đưa về phương trình bậc hai :
* Phương trình trùng phương:
- Dạng tổng quát: ax4 + bx2 + c = 0
- Cách giải: đặt x4 = t ≥ 0 ta được phương trình bậc hai ẩn là t: at2 + bt + c = 0
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình
+Đặt ta có : t2 – 3t + 2 = 0
+ Giải ra ta được t1 = 1; t2 = 2
+ Với t1 = 1 ta có: ⇔ ⇔
3


(x ≠ -1)
+ Với t2 = 2 ta có: ⇔ ⇔
(x ≠ -1)
* Phương trình tích:
- Dạng tổng qt: A(x) .B(x)…..C(y) = 0
Trong đó: A(x), B(x).. C(y) là những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2.
- Cách giải:
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình: x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
⇔ (x3 + 3x2) – (2x + 6) = 0

⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0
⇔ (x+3)(x2 – 2) = 0 ⇔ ⇔
* Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Dạng tổng quát:
- Cách giải: theo qui tắc 4 bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện: B(x) ≠ 0
+ Bước 2: Qui đồng và khử mẫu
+ Bước 3: Giải phương trình sau khi đã qui đồng và khử mẫu
+ Bước 4: Kết luận nghiệm: Nghiệm phải thỏa đ/k ở bước 1.
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình :
+ Đ/K : MTC = x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2; 3
+ Khi đó ta có: 2x(x – 3) – 5(x – 2) = 5 ⇔ 2x2 – 11x + 5 = 0
+ Giải phương trình này ta được: x1 = ; x2 = 5 đều TMĐK
c) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• DẠNG 1: = m
- Cách giải: f(x) = m hoặc f(x) = - m
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình: = 1
⇔ ⇔ ⇔ ……⇔
• DẠNG 2: = g(x)
- Cách giải:
 Cách 1: + Đặt đ/k: g(x) 0
+ Bình phương hai vế :
Cách 2:+ Xét f(x) 0 => f(x) = g(x)
+Xét f(x)≤0 => - f(x) = g(x)
Cách 3: + Với g(x)0 ta có: f(x) = ± g(x)
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình:
Ta dùng cách 1: ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ x = 0 ( TMĐK)
• DẠNG 3: =
Cách giải: Lập bảng xét dấu Theo qui tắc: “trong trái – ngoài cùng”

x
a
b
-α
+α
f(x)
0
+
+

g(x)
0
+

- Ví dụ minh họa: Giải phương trình :
+ Lập bảng xét dấu như sau:
x
-∞
+∞
0
+

+

0
+
+ Ta tiến hành các trường hợp như sau:
 Với x < - thì ta có: - 2x – 1 = 2 – 3x ⇔ x = 3 ( Loại)
4

 Với thì ta có: 2x + 1 = 2 – 3x ⇔ 5x = 1 ⇔ x = ( TMĐK)
 Với thì ta có: 2x + 1 = 3x – 2 ⇔ x = 3 ( TMĐK)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là: x = hoặc x = 3.
d) Phương trình vơ tỷ:
• DẠNG 1: = g(x)
- Cách giải: = g(x)
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình:

•
-

Điều kiện: x
(1)
+ Cách 1: 15 – x + 3 – x + 2 = 36
 =9+x
Đ/K : x (2)
 = (9+x)2
 …. 36x = - 36  x = -1 ( thoả mãn cả 2 đ/k)
+ Cách 2: Đặt u = ; v = , (u 0; v ta có:
⇔ ⇔ ⇔
Với v= 2 => 3 – x = 4 => x = -1.
Với u = 4 => 15 – x = 16 => x = -1
Vậy phương trình có nghiệm là : x = -1.
DẠNG 2: + = g(x)
Cách giải:Tìm đ/k:
sau đó bình phương hai vế 2 lần đưa về dạng 1
Ví dụ minh họa: Giải phương trình: +

-

Điều kiện: ⇔ ⇔ Đặt u = và v = , ( u; v , ta có:
⇔ ⇔
Khi đó u và v là nghiệm của phương trình: X2 – 5X + 6 = 0 ⇔ X = 2 hoặc X = 3
Với u = 2 => = 2=> … x = ±
Với u = 3 => = 3 =>…..x = ± 1
Vậy phương trình có 4 nghiệm là : x = ± và x = ± 1

-

DẠNG 3: + =
Cách giải : Tương tự dạng 2
Ví dụ minh họa: Giải phương trình :

Điều kiện: ⇔ ⇔ - 4
(1)
Bình phương hai vế hai lần ta được: …x(2x+7) = 0 ⇔ x1 = - , x2 = 0.
DẠNG 4: + = +
Cách giải:
+ Đặt điều kiện:
+ Bình phương 2 vế, ta có:
f(x) + g(x) + 2= h(x) + k(x) + 2
Đưa về dạng: + = và giải tiếp tùy theo từng bài……
• DẠNG 5: + =
- Cách giải: Đặt t = +
( Đối với dạng 4 và 5 tương đối phức tạp. Vì vậy tài liệu khơng đưa ra ví dụ minh họa)
e) Một số phương trình bậc cao:
• Phương trình bậc cao dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m / a + b = c + d
- Cách giải: Đưa về phương trình:

=0
- Ví dụ minh họa: Giải phương trình:
• hương trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 ± kbx ± ak2 = 0
- Cách giải : Đưa về dạng: a + b + c = 0 (*)
•
-

5


Đặt x ± = t . Ta có :(x ± ) 2 = t2 => = t2 – 2k
Khi đó (*) a(t2 – 2k ) +bt = 0  at2 + bt – 2ak = 0
• Phương trình dạng: = k
- Cách giải : Đặt ax2 + bx = u => = k
f) Phương trình nghiệm nguyên
- Phương trình bậc nhất một ẩn:
+ Dạng thường gặp: (ax + b)(cx + d)(…) = m
+ Cách giải: (ax+b), (cx+d) …là các ước của m
+ Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình: x4 = 24x + 9
⇔ x4 - 24x = 9 ⇔ x (x3 – 24) = 9
Ta xét bảng giá trị sau:
x3 - 24
9
-9
3
-3
1
-1
x3
33

15
27
21
25
23
x
Loại
Loại
3
Loại
Loại
Loại
Đáp số: x = 3
- Phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Dạng tổng quát: ax + by = c (1)
+ Cách giải: - Ta có : => -ax + c chia hết cho b
- Thay y vào (1) sao cho x là số nguyên
+ Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên ủa phương trình: 12x + 7y = 45
Dễ thấy y , đặt y = 3t (t ∈ Z) Rút gọn ta được : 4x – 7t = 15
⇒ x = . Đặt k =
Đáp số : với k là số nguyên tùy ý
- Phương trình bậc hai với 2 ẩn:
+ Dạng 1: axy + bx + cy + d = 0 ( a,b,c,d ∈Z)
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11
Lời giải: Biểu diễn y theo x ta được: ( 2x+3)y = 5x + 11
 y=
Để y ∈ Z thì x + 5 2x + 3 ⇒ 2(x+5) 2x + 3 ⇒ (2x + 3 + 7) 2x + 3 ⇒ 7 2x + 3
Ta có bảng sau:
2x + 3
1

-1
7
-7
x
-1
-2
2
-5
y
6
-1
3
2
Các giá trị trong bảng đều thỏa mãn
+ Dạng 2: ax2 + by2 + c = 0 ( a,b,c ∈ Z)
Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình : 3x2 + 4y2 = 84
Lời giải: Vì 4y2 ≥ 0 nên 3x2 ≤ 28 => x2 ≤ 28.
Ta lại có 3x2 là số chẵn nên x2 là số chẵn. Suy ra x2 ∈
- Với x2 = 0 thì 4y2 = 84 => y2 = 21 (loại)
- Với x2 = 4 thì 4y2 = 72 => y2 = 18 (loại)
- Với x2 = 16 thì 4y2 = 36 => y2 = 9 => y = ± 3
Kết luận: Nghiệm (x;y) là: (4;3); (4;-3); (-4;3); (-4;-3)
+ Dạng 3: ax2 + by2 + cx + d = 0 hoặc : ax2 + by2 + cy + d = 0
Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình x2 - y2 - 2x -11 = 0
Lời giải: Đưa về phương trình tích ta được: x2 – 2x +1 – y2 = 12
⇔ (x – 1)2 – y2 = 12
⇔ ( x – 1 – y)(x – 1 + y) = 12
Ta xét bảng sau:
x–1–y
1

12
-1
-12
2
6
-2
-6
3
4
-3
x–1+y
12
1
-12
-1
6
2
-6
-2
4
3
-4

-4
-3
6


Kết luận: Nghiệm (x;y) là: (5;2); (5; -2); (-3;2); (-3;-2)
+ Dạng 4: ax2 + by2 + cxy + d = 0 ( a,b,c,d ∈Z)

Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình 5x2 – y2 + 4xy – 9 = 0
Lời giải: Đưa về phương trình tích ta được: 5x2 + 5xy – xy – y2 = 9
 5x(x + y) – y(x + y) = 9  (x + y)(5x – y) = 9
Ta lập bảng sau:
x+y
1
9
-1
-9
3
-3
5x – y
9
1
-9
-1
3
-3
6x
10
10
-10
-10
6
-6
x
Loại
Loại
Loại
Loại

1
-1
y
2
-2
Đ/s: Nghiệm (x; y) : (1; 2) ; (-1; -2)
+ Dạng 5: ax2 + by2 + cx + dy = 0 ( a,b,c,d ∈Z)
Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm ngun dương của phương trình : x2 + y2 = 5(x – y) (1)
Lời giải: Coi phương trình là bậc hai ẩn x ta được: x2 – 5x + (5y + y2) = 0 (2)
Để phương trình này có nghiệm thì ∆ = 25 – 4(5y + y2) = 25 – 20y – 4y2 ≥ 0
 4y(y + 5) ≤ 25
2
Vì y ∈ nên y = 1 , thay vào (2) ta được: x – 5x + 6 = 0 => x1 = 2, x1 = 3
Đ/s: Nghiệm nguyên dương của phương trình là: (2;1); (3;1)
+ Dạng 6: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 ( a,b,c,d ,e∈Z)
Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x2 + 4y2 + 12x + 3y + 5 = 0 (1)
Lời giải: Viết phương trình (1) dưới dạng bậc hai ẩn x ta được:
3x2 + 12x + ( 4y2 + 3y + 5) = 0 (2)
Để phương trình (2) có nghiệm thì ∆’ ≥ 0
 36 – 3(4y2 + 3y + 5) = 3(7 – 4y2 – 3y) ≥ 0  4y2 + 3y – 7 ≤ 0  y(4y + 3) ≤ 7
- Với y ≥ 2 thì (4y + 3) ≥ 2.11 = 22 -- Loại
- Với y ≤ - 2 thì y(4y + 3) ≥ (-2)(-5) = 10 -- Loại
- Với y = -1 thì ∆’ = .. 18 khơng là số chính phương - Loại
- Với y = 0 thì ∆’ = .. 21 khơng là số chính phương - Loại
- Với y = 1 thì thay vào (2) ta được: x2 + 4x + 4 = 0 <=> x = - 2
- Đ/s : Nghiệm của phương trình là: ( -2; 1)
+ Dạng 7: ax2 + by2 + cxy + dx + ey = 0 ( a,b,c,d ,e∈Z)
Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm ngun của phương trình x2 + y2 = xy + x + y (1)
Lời giải: (1) ⇔ x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0 (2)
Để (2) có nghiệm thì ∆ = (y + 1)2 – 4.(y2 – y) = …= - 3y2 + 6y + 1 ≥ 0 ⇔ 3(y – 1)2 ≤ 4

Do y ∈ Z nên (y – 1)2 ≤ 1 => y chỉ có thể là 0,1,2
- Với y = 0, thay vào (2) ta được: x2 – x = 0. Ta có x1 = 0; x2 = 1
- Với y = 1 , thay vào (2) ta được: x2 – 2x = 0. Ta có x3 = 0, x4 = 2
- Với y = 2, thay vào (2) ta được: x2 – 3x + 2 = 0. Ta có x5 = 1, x6 = 2
Đáp số Nghiệm (x; y) là: (0;0); (1;0); (0;1); (2;1); (1;2) ; (2;2)
+ Dạng 8: ax2 + by2 + cxy + dx + ey + g = 0 ( a,b,c,d ,e,g∈Z)
Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 –xy – 2x + 3y + 2 = 0
Lời giải: Viết phương trình dưới dạng bậc 2 đối với y ta được:
y2 + (3 - x)y + ( x2 – 2x + 2) = 0 (2)
Để phương trình này có nghiệm thì ∆ = (3-x)2 – 4(x2 – 2x + 2) = - 3x2 + 2x + 1 ≥ 0
…..⇔ x(3x – 2) ≤ 1
- Với x ≥ 2 thì x(3x – 2) ≥ 2.4 = 8 -- Loại
- Với x ≤ -1 thì x(3x – 2) ≥ (-1).(-5) = 5 -- Loại
7


Với x = 0, thay vào (2) ta được: y2 + 3y +2 = 0, ta có: y1 = -1, y2 = -2
Với x = 1, thay vào (2) ta được: y2 + 2y + 1 = 0, ta có: y3 = -1
Đáp số: Nghiệm (x;y) là: (0; -1); (0; -2); ( 1; -1)

-

Đ_11. Hệ phương trình:
a) Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
- Dạng tổng quát:
- Cách giải: Bằng PP cộng hoặc thế
- Điều kiện nghiệm của HPT:
Hệ vô nghiệm
Hệ có nghiệm duy nhất

Hệ vơ số nghiệm

b) Hệ phương trình với nghiệm nguyên: ( HS tự tìm hiểu)
10

Đ_12. Hàm số và đồ thị:

10

* Lưu ý: A (xA; yA); B(xB; yB) Khi đó độ dài đoạn AB =
8

8

a) Tổng qt:
6
6

Cơng thức hàm số

Dạng đồ thị

Cách vẽ đồ thị

4
4

10

2

2

M

y = ax ( a ≠ 0 )

-15

-10

- Chọn M( xM;yM) tùy ý.
- Kẻ đường thẳng OM

10
8

O

-5

-15

5

-10

10

15

O

-5

5

10

15

8

6

-2

M
-2

a>0
-4

a<0
6

4

-4
4

2

-6

A

-15

-6
2

B

y = ax + b ( a ≠ 0)
-10

-8

-5

-15

10
-8

-2

-10

8

5

8

-10

A

B
6

-5

- Chọn 2 điểm:
A(0;b) và B(
- Kẻ đường thẳng AB
15

5

10

15

6

-10

a>0

a<0
-2

4

-4
4

-4
-6

2

2
10

-6
-8

y=

-10

-5

-10

A

-5

A

5

10

8

-8

10
-2

-10

- Lập bảng giá trị
- Nối các điểm bằng
đường cong đều
5

10

-2
6

-10

8

-4

a>0

4

-4

a<0

6
-6
2

-6

4

O

-8
-15

-10

y = ax2 + bx + c
( a ≠ 0)
-15

-10

-5

- Lập bảng giá trị
- Nối các điểm bằng
đường cong Parabol
5

-8

2
-2

-5

O

5

a>0

-6

-4

-8

-2

10

-4

10

15

15

a<0
8


b) Quan hệ giữa các đường
* Quan hệ giữa hai đường thẳng:
(d): y = ax + b
(d): ax + by = c
(d’): y = a’x + b’
(d’): a’x + b’y = c’
- Song song
a = a’, b ≠ b’
- Cắt nhau
a ≠ a’
- Trùng nhau
a = a’; b = b’, c = c’
- Vng góc với nhau
a.a’ = -1
- d tạo với trục Ox một góc α
tan α = a
tanα =

* Quan hệ giữa đường thẳng(d) và đường cong (P):
Quan hệ giữa (d) và (P)
(d): y = ax + b
(P): y = a’x2
- Khơng cắt nhau
P.T. hồnh độ a’x2 = ax + b vơ nghiệm
- Tiếp xúc nhau
P.T. hồnh độ a’x2 = ax + b có nghiệm kép
- Cắt nhau tại hai điểm A và B
P.T. hoành độ a’x2 = ax + b có 2 nghiệm phân biệt
Quan hệ giữa (d) và (d’)

Đ_13. Hệ thức Vi-et và ứng dụng:

a) Hệ thức Vi-et: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có ∆ (∆’) > 0
S = x1 + x2 =

−b
a

P = x1.x2 =

c
a

thì
và
b) Ứng dụng:
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
• Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)

a/ Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 =
b/ a - b + c = 0 Thì x1 = -1 ; x2 =

c
a

−c
a

Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có 2 nghiệm:
−3
2

x1 = -1 và và x2 =
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có 2 nghiệm:
−11
3

•

x1 = 1 và x2 =
Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số
của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 – qx +50 = 0, biết phương trình có hai
nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
9


⇒ p=

a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được 4 – 4p + 5 = 0
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 =

1
4

5 5
=
x1 2

b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được: 25+ 25 + q = 0

⇒ q = −50

−50 −50
=
= −10
x1

5

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 =
c/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức
Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
 x1 − x2 = 11  x1 = 9
⇔

 x1 + x2 = 7
 x2 = −2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trị của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x 1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 =
50 ta có hệ phương trình sau:
 x1 = 2 x2
x = 5
⇔ 2 x2 2 = 50 ⇔ x2 2 = 52 ⇔  2

 x1.x2 = 50
 x2 = −5

- Với

x2 = 5

thì

x2 = −5

x1 = 10

Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

x1 = −10

- Với
thì
Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
• Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ: Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 S = x1 + x2 = 5

 P = x1.x2 = 6

⇔
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x2 – Sx + P = 0
x2 – 5x + 6 = 0
• Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một
phương trình cho trước
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1 = x2 +

1
x1

y2 = x1 +

1
x2

và
Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
S = y1 + y2 = x2 +

1 1
1
1
x +x
2 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
3 2
 x1 x2 


1
1
1
1 9
P = y1. y2 =  x2 + ÷.  x1 + ÷ = x1.x2 + 1 + 1 +
= 2 + 1+ 1+ =
x1  
x2 

x1 x2
2 2

y − Sy + P = 0

y2 −

2

Vậy phương trình cần lập có dạng:

hay

9
9
y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0
2
2
10


 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x 2
– Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải: Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1
 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm
đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Viét rồi tính giá trị của biểu thức.
• Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
2
x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
a/
b/

2
x13 + x2 3 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 



2
x14 + x2 4 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) − 2 x12 x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2


2

c/
d/
e/

2

2

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

x1 − x2 = ?

( x1 − x2 )

2

Ta có:

⇒ x1 − x2 = ±

( x1 + x2 )

2

= x12 − 2 x1 x2 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 4 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2

− 4 x1 x2

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm:
Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, hãy tính:
•

x1 + x2
2

a/

2

b/

1 1
+
x1 x2

Giải:
 S = x1 + x2 = 8

 P = x1.x2 = 15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
2
x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 82 − 2.15 = 34
a/
1 1 x1 + x2 8
+ =
=
x1 x2
x1 x2
18

b/
 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và
≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
11


- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa

các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa
hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng khơng phụ thuộc vào m.
Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 1
m ≠ 1
m − 1 ≠ 0
m ≠ 1

⇔ 2
⇔
⇔

4
m − ( m − 1) ( m − 4 ) ≥ 0
∆ ' ≥ 0
5m − 4 ≥ 0
m ≥ 5

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:

Rút m từ (1), ta có:

2m
2


 S = x1 + x2 = m − 1
 S = x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)
⇔

m
−
4
 P = x .x =
 P = x .x = 1 − 3 (2)
1 2
1 2
m −1
m −1



2
2
= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =
(3)
m −1
x1 + x2 − 2

Rút m từ (2), ta có:

Từ (3) và (4), ta có:

3
3
= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =
(4)
m −1
1 − x1 x2

2
3
=
⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và

≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ: Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
x1 + x2 = x1 x2

x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m ≠ 0
m − 1 ≠ 0
m ≠ 0
⇔

⇔
2

2
2
∆ ' ≥ 0
∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9 ( m − 3) m ≥ 0
∆ ' = 9 m − 2m + 1 − 9m + 27 ≥ 0

(

)

m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔
m ≥ −1
∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Vì

x1 + x2 = x1 x2

6(m − 1)

 S = x1 + x2 = m

 P = x .x = 9(m − 3)

1 2

m

(giả thiết)
12


Nên

6(m − 1) 9( m − 3)
=
⇔ 6(m − 1) = 9( m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
m
m

( thỏa mãn)
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1 + x2 = x1 x2

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:
trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1
x2
S = x 1 + x2
P = x 1 x2

Điều kiện chung
m
±
≥
≥
trái dấu
P<0
 0
 0 ; P< 0
±
±
≥
≥
cùng dấu
P>0
 0
 0;P>0
≥
≥
cùng dương +
+
S>0
P>0
 0
 0;P>0;S>0
≥
≥
cùng âm
S<0
P>0

 0
 0;P>0;S<0
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2 nghiệm
trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
∆ = ( 3m + 1) 2 − 4.2. ( m 2 − m − 6 ) ≥ 0
 ∆ = ( m − 7 ) 2 ≥ 0∀m
∆ ≥ 0

⇔
⇔
⇔ −2 < m < 3

m2 − m − 6
P < 0
P =
 P = ( m − 3) ( m + 2 ) < 0
<0
2


−2 < m < 3

Vậy với
thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để: A =
Giải:

x12 + x2 2 − 6 x1 x2

Theo hệ thức Vi_ét, ta có:
Theo đề bài ta có:

có giá trị nhỏ nhất.


 S = x1 + x2 = − ( 2m − 1)


 P = x1.x2 = −m

x12 + x2 2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m 2 − 12m + 1 = ( 2m − 3 ) − 8 ≥ −8
2

A=

min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 ⇔ m =

2

2

3
2

Suy ra:
Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của phương trình.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
B=

2 x1 x2
x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1

2

Giải:

13


 S = x1 + x2 = m

 P = x1.x2 = m − 1

Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:
B=

2 ( m − 1) + 3 2m + 1
2 x1 x2
2 x1 x2
=
=
= 2
2
x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2

m2 + 2
m +2
2
1

2

Theo đề bài ta có:
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
B=

m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
m2 + 2

( m − 1)

2

( m − 1)
= 1−

m2 + 2

( m − 1)
≥0⇒

2

m2 + 2

Vì

2

≥ 0 ⇒ B ≤1

⇔

Vậy maxB = 1
m=1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m + 2m + 2 − m 2 − 2
m + 4m + 4 − m 2 + 2
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2

2
2
m +2
m +2
2 m +2 2

(

( m + 2)

2

≥0⇒

( m + 2)

)

2

2 ( m + 2)
2

≥0⇒ B≥ −

(

1
2

)

min B = −

(

)

1
⇔ m = −2
2

Vì
. Vậy
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho
tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với mọi m.
B=

2m + 1
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
2
m +2

∆ = 1 − B ( 2 B − 1) = 1 − 2 B + B

(với ẩn là m và B là tham số)

(*)

2

Ta có:
Để phương trình trên (*) ln có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
1 − 2 B 2 + B ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≥ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
Hay

1
B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2


  B ≥ 1
1
B −1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1


Vậy:

max B = −1 ⇔ m = 1

min B = −

;

1
⇔ m = −2
2

Đ_14. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:



a) Qui tắc:
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Bước 2: Lập phương trình (hệ hương trình):
- Biểu diễn các đại lượng cịn lại trong bài theo ẩn
- Lập phương trình (hệ phương trình)
14





Bước 3: Giải phương trình (hệ phương trình)
Bước 4: Kết luận , sau khi đã đối chiếu với bước 1
b) Các dạng bài toán thường gặp:









Dạng 1: Toán về năng suất lao động
Khối lượng cơng việc Thời gian hồn thành
Năng suất
Dự định (KH)
M1
t1
Thực hiện
M2
t2
Dạng 2:Tốn về cơng việc làm chung, làm riêng
Nếu cả cơng việc hồn thành trong x giờ thì 1 giờ sẽ làm được
Dạng 3:Tốn về quan hệ các số
Tìm hai số biết tổng và hiệu.
Tìm hai số biết tổng và tỷ.
Tìm hai số biết hiệu và tỷ.
……………….
Dạng 4: Tốn có liên quan đến các mơn học: Hình , Lý, Hóa …
Chú ý các cơng thức trong hình học: Chu vi, diện tích các hình tam giác, hình
thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng, hình trịn, tứ giác có hai
đường chéo vng góc với nhau, định lý Py-ta-go…các công thức liên hệ giữa các đại
lượng: khối lượng, khối lượng riêng, trọng lượng, trọng lượng riêng, thể tích…Nồng độ

%, thể tích khối, nồng độ mol/lít…
Dạng 5: Toán chuyển động
 Chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều:
Quãng đường = vận tốc x thời gian
 Chuyển động trên dịng sơng:
 Chuyển động trịn:
- Chú ý cơng thức tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn.



Dạng 6: Tốn lên quan đến %:
- Lưu ý cách tính tỷ số phần trăm của hai số.
-

Đ_15. Bài tốn tìm Max, Min:
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
• Để chứng tỏ Min f(x) = m , ta cần chứng minh f(x) với mọi x thuộc tập hợp xác
định của f(x), đồng thời chỉ ra có ít nhất một giá trị x = x0 thuộc tập xác định đó sao
cho f(x0) = m.
• Để chứng tỏ Max f(x) = n , ta cần chứng minh f(x) với mọi x thuộc tập hợp xác
định của f(x), đồng thời chỉ ra có ít nhất một giá trị x = x0 thuộc tập xác định đó sao
cho f(x0) = n.
• Một số bất đẳng thức quan trọng:
1) a > b <=> a – b > 0
6) a > b, c > 0 => a.c > b.c
2) a > b, b > c => a > c
7) a > b, c < 0 => a.c < b.c
3) a > b a + c > b + c
8) a > b > 0, c >d > 0 => a.c > b.d
9) a > b > 0

=>n( n N*)
4) a > b, c > d => a + c > b + d
10) , a > 1 :
5) a > b 0 
0 < a <1 :
11) a 0, b => ( Dấu “ =” xảy ra  a = b ) ---------------- Côsi.
2
2
2
2
2
12) a.b + c.d .Hay (a.b +c.d) (a +c )(b + d )
15


( Dấu “ = ”xảy ra = ) ------------------------------------------ Bunhiaxcopxki
13) , ( Dấu “ = ”xảy ra khi và chỉ khi a.b 0)
14) ( Dấu “ = ”xảy ra khi và chỉ khi a.b 0)
15)
B – MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA:
♦Ví dụ 1: Cho a;b > 0 và a2 + b2 = 8. Tìm Max A =
Giải:
Với hai số dương x; y ta có :
x + y => xy (*). Dấu “ = ” xảy ra khi x = y. ( BĐT Cơ si )
Ta có : a3 + 1 = (a + 1)( a2 –a + 1)
Mà : a > 0 nên : a + 1 > 0; a2 – a + 1 = > 0
Áp dụng BĐT (*) ta được: (a + 1)( a2 –a + 1) =>
Tương tự :
Do đó : A = 6.
Dấu “ = ” xảy ra khi <=> ….<=>

Vậy maxA = 6 khi a = b = 2.
♦Ví dụ 2: Cho a;b;c > 0 và a + b + c = 1.
Tìm minB =
Giải:
2
2
2
2
2
Ta có: a – ab + b = (a – 2ab + b ) + (a + b2) = (a - b)2 + (a2 + b2)
Áp dụng BĐT : (a - b)2 = 2a2 +2b2 – 2ab –a2 – b2 = 2(a2 + b2) – ( a+ b)2
Hay 2(a2 + b2) ( a+ b)2 => (a2 + b2) ( a+ b)2
Mà : ( a – b )
Nên: ( a+ b)2
=> (a + b) . Dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Tương tự : (b + c) , Dấu “ = ” xảy ra khi b = c
(a + c), Dấu “ = ” xảy ra khi a = c
Do đó : B
Dấu “ = ” xảy ra khi  a = b = c = 1
♦ Ví dụ 3: Cho x > 2y và x.y = 1. Tìm minC =
Giải:
Ta có : C = =

Vì x > 2y nên x- 2y > 0 =>
Áp dụng BĐT Cô si ta có : = 4
Do đó minC = 4 khi  …
 hoặc
♦ Ví dụ 4: Tìm Max và Min y =
Giải :
2

Vì x + 1 > 0 nên y xác định .
Do đó : y =
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Phương trình này phải có nghiệm.
• Xét y = 0, ta có: (1)  -x = 0  x = 0
• Xét y khác 0, thì (1) phải có nghiệm.
.Khi đó
.Khi đó
16


♦ Ví dụ 5: Cho x; y > 0 và x + y = 1. Tìm min S =
Giải:
2
2
Theo BĐT Cơsi ta có: x + y với x; y > 0
=>
Mà x + y
=> S = 6
Vậy minS = 6. Khi đó x = y =
♦ Ví dụ 6: Cho a . Chứng minh:
(15)
Giải:
Ta có :
Áp dụng BĐT Cơ si ta được:


Dấu “ = ” không thể xảy ra. ( HS tự giải thích)
♦ Ví dụ 7: Cho a + b = 2. Chứng minh: (16)
Giải:

Nhân 2 vế của (16) với 2 ta được:
2(
 2(
 … (a – b)2
BĐT này luôn đúng => (16) đúng. Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = 1.
♦ Ví dụ 8: Cho a; b; c > 0. Chứng minh: (17)
Giải:
Vì a + b + c = 1 nên : ; ;
=>
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c =
♦ Ví dụ 9: Cho x > 0, y > 0. Chứng minh:
(18)

Giải
=
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y.
♦ Ví dụ 10: Cho a,b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
( 19)
Giải:
Ta có: a + b – c > 0, c + b – a> 0, c + a – b > 0
Áp dụng bài 18 ta có:
=>
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c : Tam giác ABC đều.
♦ Ví dụ 11: Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
(20)
Giải:
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương: 4a + 1 và 1 ta có:

=> :
17


Dấu “ = ” xảy ra khi 4a +1 = 4b +1 = 4c +1 = 1  a = b = c = 0 .
♦ Ví dụ 12: Cho x > y và xy = 1. Chứng minh:
(21)
Giải:
Ta có:
Áp dụng BĐT Cơ si ta có:
Dấu “ = ”xảy ra khi và xy = 1 => x = và y =
♦ Ví dụ 13: Cho a;b . Chứng minh rằng:
a)

Giải:
Xét hiệu :
Do đó : . Dấu “ = ” xảy ra khi a = b.
b) Xét hiệu :
Vì a;b => . . Dấu “ = ” xảy ra khi a = b.
♦ Ví dụ 14: Cho x + y = 1. Chứng minh:
a)

Giải:
Ta có : (x + y) = 1, ( x – y) => (x + y) + ( x – y)2 => x2 + y2
2

2

2

=> (x2 + y2 )2 => (x2 + y2 )2 + (x2 - y2 )2 => 2x4 + 2y4
Hay x4 + y4 . Dấu “ = ” xảy ra khi x = y =
Đ_16.Bất đẳng thức, bất phương trình:

====== PHẦN HÌNH HỌC ======
H_1.Các bài tốn dựng hình cơ bản:
Vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Vẽ tam giác.
Vẽ một góc bằng góc cho trước.
Vẽ tia phân giác của một góc.
Vẽ đường trung trực, trung điểm của một đoạn thẳng.
 Qua 1 điểm cho trước, vẽ 1 đường thẳng //, ⊥ với 1 đường thẳng cho trước.






H_2. Đường thẳng song song:
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khơng có điểm chung.
Ký hiệu: a//b
b) Dấu hiệu nhận biết:
 Các cặp góc so le trong, đồng vị, so le ngoài bằng nhau.
 Các cặp góc trong cùng phía, ngồi cùng phía bù nhau.
c) Tiên đề ƠClit::
“ Qua 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng có 1 và chỉ 1 đường thẳng song song (vng góc) với
đường thẳng đã cho”

H_3. Liên hệ giữa tính song song và tính vng góc:
 Hai đường thẳng cùng vng góc với 1 đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

 Một đường thẳng vng góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì nó vng góc với

đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.
 Nếu 1 đường thẳng cắt 1 trong 2 đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn
lại.
18


 Hai góc có cạnh tương ứng vng góc (hoặc song song) thì chúng bằng nhau nếu cả hai

đều nhonh hoặc đều tù; chúng bù nhau nếu 1 góc nhọn và 1góc tù.

H_4. Tam giác:
a) Tính chất về tổng các góc trong 1 tam giác:
 Tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 1800.
 Tổng hai góc nhọn của tam giác vng bằng 900.
 Trong 1 tam giác thì sđ góc ngồi bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.
 Trong 1 tam giác thì sđ góc ngồi lớn hơn mỗi góc trong khơng kề với nó.
b) Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
 Tam giác thường: 3 trường hợp: C-C-C;
C-G-C;
G-C-G:
 Tam giác vuông:4 trường hợp
 Trường hợp: Hai cạnh góc vng.
 Trường hợp: Cạnh góc vng - góc nhọn.
 Trường hợp: Cạnh huyền – góc nhọn.
 Trường hợp: Cạnh huyền – cạnh góc vng
c) Tam giác cân, tam giác đều:

- Tam giác cân thì hai cạnh bên, hai góc đáy bằng nhau.
- Tam giác vng cân thì mỗi góc nhọn bằng 450.
- Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau và bằng 600.
d) Tam giác vuông:
* Định lý Py-ta-go: “ Trong một tam giác vng, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình
phương hai cạnh góc vng”
* Định lý: “ Tam giác vng  Trung tuyến của cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và ngược lại”
e) Định lý Ta-let:
A

M

B

N
C

f) Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác:
Trong một tam giác đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ( và ngược lại)
g) Quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên:
Nếu từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng , ta kẻ đường vng góc và các đường xiên đến đường
thẳng thì:
 Đường vng góc là đường ngắn nhất.
 Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau (và ngược lại).
 Trong hai đường xiên không bằng nhau, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
(và ngược lại)
h) Bất đẳng thức tam giác:
Trong 1 tam giác: Hiệu hai cạnh < cạnh còn lại < tổng hai cạnh
i) Các đường đồng qui trong tam giác:
 Trực tâm: Là giao điểm của 3 đường cao

 Trọng tâm: Là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng
độ dài đường trung tuyến.
 Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao điểm của 3 đường trung trực.
 Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao điểm của 3 đường phân giác.
 Chú ý:
- Trong 1 tam giác đều thì 4 điểm: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại – nội tiếp của
1 tam giác nằm trên 1 đường thẳng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác.
19


- Đường tròn bàng tiếp của tam giác: Tâm là giao điểm của 1 đường phân giác trong và 2
đường phân giác ngồi.

O

A

B

C

k) Tính chất đường phân giác của tam giác:
A

A

C

B

C

D

D

B

l) Các trường hợp đồng dạng của tam giác:
 Tam giác thường: 3 trường hợp
 Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh ( c-c-c):
“ Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì chúng đồng dạng với nhau”
 Trường hợp cạnh – góc – cạnh ( c-g-c):
“ N 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh
đó bằng nhau thì chúng đồng dạng”
 Trường hợp góc – góc (g-g):
“ Nếu 2 góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì chúng đồng dạng”
 Tam giác vng: 3 trường hợp
- Trường hợp góc nhọn:
“ Nếu 1 góc nhọn của tam giác vng này bằng 1 nhọn của tam giác vng kia thì chúng đồng
dạng”
- Trường hợp hai cạnh góc vng:
“ Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vuông này tỷ lệ với 2 cạnh góc vng của tam giác
vng kia thì chúng đồng dạng”
- Cạnh huyền và cạnh góc vng:
“ Nếu cạnh huyền và 1 cạnh góc vng của tam giác vng này tỷ lệ với cạnh huyền và 1 cạnh
góc vng của tam giác vng kia thì chúng địng dạng”
 Chú ý:
+ Tỷ số đồng dạng bằng tỷ số đường cao, tỷ số hai đường trung tuyến tương ứng
+ Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng.

m) Đường trung bình của tam giác:
Hình vẽ
Tính chất
A

M

B

N

MA = MB và NA = NC => MN // =
C

H_5. Tứ giác:
20


Tên hình
Hình thang
A

Tính chất

B
N

M
D

C

Dấu hiệu nhận biết

1. Hai góc kề cùng 1 cạnh bên thì bù
nhau
2. Đường TB song song với 2 đáy và
bằng nửa tổng 2 đáy.

1. Tứ giác có 1 cặp cạnh song song.
2. Tứ giác có 2 góc kề 1 cạnh bù nhau.

1. Hai góc ở đáy bằng nhau
2. Hai đường chéo bằng nhau.
3. Tổng 2 góc đối bằng 1800.

Hình thang có 1 trong 3 tính chất bên

1. Các cạnh đối bằng nhau từng đơi
một.
2. Các góc kề với mỗi cạnh bù nhau.
3. Các góc đối bằng nhau từng đôi
một.
4. Hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm O mỗi đường.
5.Có 1 tâm đ.xứng là điểm O

1. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song
2. Tứ giác có 1 cặp cạnh đối vừa song
song vừa bằng nhau.

3. Tứ giác có 1 trong 4 t/c : 1,2,3,4 ở bên.

1. hai đường chéo bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
2. Có 4 góc vng.
3. Có 2 trục đối xứng và 1 tâm đối
xứng.

1. Tứ giác có 3 góc vng.
2. Hình bình hành có 1 góc vng.
3. HBH có 2 đường chéo bằng nhau

1. Hai đường chéo vng góc với nhau
và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
2. Hai đường chéo đồng thời là phân
giác của các góc.
3. Có 1 tâm đối xứng.

1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
2. HBH có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.
3. Hình bình hành có 2 đường chéo vng
góc với nhau.
4.Hình bình hành có 1 đường chéo là phân
giác của 1 góc

1. Có 4 góc vng.
2. Có 4 cạnh bằng nhau.
3. Hai đường chéo bằng nhau và
vng góc với nhau.
4. Hai đường chéo đồng thời là phân

giác của các góc.
5. Có 2 trục đ. xứng và 1 tâm đ.xứng.

1. HCN có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.
2. Hình chữ nhật có 2 đường chéo vng
góc với nhau.
3. Hình thoi có 1 góc vng.

Hình thang cân
A

B

D

C

Hình bình hành
A

B

D

C

Hình chữ nhật
A

B

D

C

Hình thoi
A
B

D
C

Hình vng
A

B

D

C

H_6. Chu vi, diện tích các hình đã học:
Tên hình
Tam giác

Chu vi

Diện tích

B

A

C

H

Hình thang
A

B

C = AB + BC + BC + CA
D

H

Hình thang cân

C

C = AB + BC + BC + CA

21


A

B

D

C

H

Hình bình hành
A

B

C = AB + BC + BC + CA
D

C

H

Hình chữ nhật
A

B

C = 2.(AB + BC)
D

C

Hình thoi
A

C = 2.(AB + BC)

B

D
C

Hình vng
A

B

C = 4.AB
D

C

H_7. Hệ thức lượng trong tam giác vng:
B

H

A

TT

Định lí

Cơng thức

1

Py - ta - go

2

1

AB2 = BC.BH
AC2 = BC.CH

3

2

AH2 = BH.CH

4

3

BC.AH = AB.AC

5

4

BC2 = AB2 + AC2

C

Phát biểu
Trong tam giác vng bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương 2 cạnh ghóc vng
Trong tam giác vng bình phương cạnh góc
vng bằng tích cạnh huyền nhân với hình chiếu
của nó trên cạnh huyền.
Trong tam giác vng bình phương đường cao
bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng
trên cạnh huyền.
Trong tam giác vng Tích cạnh huyền nhân với
đường cao bằng tích hai cạnh góc vng.
Trong tam giác vng nghịch đảo bình phương
đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai
cạnh góc vng.

22


H_8. Tỷ số lượng giác của góc nhọn:
Các cơng thức
Sinα =
Tanα =
Cosα =
Cotα =
2
2
Sin α + Cos α = 1
tanα.cotα = 1

tanα =
Cot =

B
α

β

A

C

Sinα = Cos(900 – α)
tanα = cot(900 – α)

tanα =
Cotα =

H_9. Đường tròn:
a) Khái niệm về đường trịn:

R

O

Ký hiệu : (O;R)
Bán kính: R = AB
Đường kính : d = 2R

A

b) Liên hệ giữa đường kính và dây cung:
 Trong 1 đường trịn đường kính là dây cung lớn nhất.
 Trong 1 đường trịn đường kính vng góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy (và
ngược lại)
 Trong 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì lón hơn (và ngược lại)
c) Sự xác định đường trịn:
 Qua 1 điểm có vơ số đường trịn
 Qua 2 điểm phân biệt A, B có vơ số dường tròn, tâm của các đường tròn này nằm trên
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
 Qua 3 điểm phân biệt A,B,C có duy nhất 1 đường trịn. Tâm đường tròn ấy là giao điểm
của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
d) Tiếp tuyến đường tròn:
d là tiếp tuyến của (O;R) <=>

O
R
x

A

e) Tiếp tuyến chung của hai đường trịn:
Ngồi nhau

O

Tiếp xúc ngồi nhau

O'

Tiếp xúc trong

Cắt nhau

O'
O

O'

O

O'
O

g) Các góc với đường tròn:
23


Tên
góc

Góc ở tâm

Góc nội tiếp

Góc giữa TT và
dây cung

Góc có đỉnh
bên trong

B'

A

Hình
vẽ

C

O

α

O

Góc có đỉnh
bên ngồi

B

A

α

B

C'
O

B

O

B

α

A

B
A

B'

O

A

α

α

C

C

C'

Tính

chất
A

A
O

m

B

F

B
M

n

O

E
A

O

Hệ
quả

D
C

M
B

S

A

O

B

S

h) Tứ giác nội tiếp:
 Định nghĩa:Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên 1 đường trịn họi là tứ giác nội tiếp.
 Dấu hiệu nhận biết:
Dấu hiệu
Phát biểu
Hình vẽ minh họa
B
C

1

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều 1
điểm một khoảng R khơng đổi

O
D

A

B

B

2

C

Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng
1800.

C
O
O

A

D

D

A

B
C

3

Tứ giác có góc ngồi bằng góc
trong của đỉnh đối diện.

O
D
A

24


B

B

C

Tứ giác có 2 đỉnh liền kề cùng
nhìn cạnh đối diện dưới 1 góc α.

4

C
D

O
A

O

D

A

i) Các cơng thức liên quan:
Độ dài
đường trịn
R
O

Độ dài
cung trịn

Diện tích
hình trịn

Diện tích hình quạt trịn

A

C = 2R.π

n0

S=

B

H_10. Vấn đề quỹ tích:
a) Các quỹ tích cơ bản
 Quỹ tích những điểm cách đều một điểm cố định O một khoảng R khơng đổi là đường trịn
tâm O bán kính R.

 Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2
điểm ấy.
 Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.
 Quỹ tích những điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định bằng một độ dài cho
trước là 2 đường thẳng song song với đường thẳng ấy.
 Quỹ tích những điểm ln nhìn 2 đầu mút của một đoạn thẳng dưới một góc α là hai cung
chứa góc trên đoạn thẳng đã cho.
Đặc biệt: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vng là đường trịn
đường kính AB.
b) Cách giải bài tốn quỹ tích: Có 2 cách thơng dụng
- Quy bài tốn về các quỹ tích cơ bản
- Chứng minh điểm cần tìm quỹ tích thuộc một hình cố định

H_11. Hình học khơng gian:
Tên
hình

Diện tích
xung quanh

Hình vẽ

Diện tích
tồn phần

Thể tích

Lăng
trụ
đứng

a

Hộp
chữ
nhật

b
h

=

25