Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp nội suy điểm địa phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------

NGUYỄN XUÂN KHÁNH

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM BẰNG
PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY ĐIỂM ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp
Mã số ngành: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 09 năm 2013


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1: PGS.TS Chu Quốc Thắng

Cán bộ hướng dẫn 2: TS. Bùi Quốc Tính

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Lê Văn Phước Nhân

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Hồ Hữu Chỉnh

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM,

ngày 13 tháng 9 năm 2013.

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS. TS Chu Quốc Thắng
2. TS. Nguyễn Trọng Phước
3. TS. Lương Văn Hải
4. TS. Lê Văn Phước Nhân
5. TS. Hồ Hữu Chỉnh

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: NGUYỄN XUÂN KHÁNH

MSHV: 09210903

Ngày, tháng, năm sinh: 06 – 01 – 1986

Nơi sinh: TPHCM

Chuyên ngành: Xây dựng Dân Dụng và Cơng Nghiệp

Mã số : 60.58.20

I. TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY ĐIỂM ĐỊA PHƯƠNG

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Nghiên cứu và phát triển phương pháp khơng lưới RPIM để phân tích tần số và
chuyển vị tại đầu tự do của dầm trong bài toán dao động cưỡng bức ứng với các
trường hợp tải trọng khác nhau.
- So sánh lời giải RPIM với các thuật tốn tích phân thời gian khác nhau khi áp
dụng phương pháp NEWMARK và họ thuật toán G-α cho bài toán dao động của
dầm. Kết quả được so sánh với lời giải giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn,
xác định phần trăm sai số và rút ra kết luận về độ chính xác của phương pháp.
- Thay đổi các tham số ban đầu của bài toán và nghiên cứu sự ảnh hưởng của
chúng đến kết quả bài toán, xác định phần trăm sai số và rút ra kết luận về ảnh
hưởng của các thông số đến hệ số tần số và chuyển vị của dầm.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 21/01/2013
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013


V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG
TS. BÙI QUỐC TÍNH

Tp. HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2013

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA….………
(Họ tên và chữ ký)


Lời cảm ơn
Thực hiện luận văn cao học này là một thử thách lớn trong đời, đó cịn là cơ hội để
học hỏi thêm kiến thức và tiếp thu thêm kinh nghiệm trong học thuật và việc nghiên cứu
khoa học.
Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS. TS. Chu Quốc Thắng,
Đại học quốc tế Hồ Chí Minh. Những lời nhắc nhở, động viên, những gợi ý nghiên cứu,
hướng dẫn trình bày khoa học của Thầy luôn là nguồn động lực lớn lao để tác giả hồn
thành luận văn trong thời gian sớm nhất có thể. Một lần nữa xin cảm ơn Thầy.
Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến Thầy hướng dẫn TS. Bùi
Quốc Tính, Bộ mơn Cơ Kết cấu, Đại học Siegen, Cộng hòa liên bang Đức. Luận văn
khoa học này thật sự sẽ khơng hồn thành kịp thời hạn nếu khơng có sự nhiệt tình hướng
dẫn của Thầy. Thầy không những đề xuất đề tài luận văn mà còn cung cấp những tài liệu
cần thiết, chỉ bảo cho tác giả cách nghiên cứu, cách thể hiện kết quả cũng như là cách thể
hiện nội dung để hồn thành luận văn trong thời gian nhanh nhất có thể. Tác giả rất biết
ơn sự giúp đỡ tận tình của Thầy.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô đã truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt thời gian của
khóa học. Cảm ơn những người bạn, những người thân trong gia đình đã ln bên cạnh

động viên tác giả về mặt tinh thần.
Sau cùng, tác giả xin gởi lời chúc sức khỏe, sự thành công trong công việc đến với
quý Thầy, Cô giảng dạy tại trường Đại học Bách khoa.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 09 năm 2013

Nguyễn Xuân Khánh
i


Tóm tắt
Phương pháp khơng lưới RPIM là một bước phát triển mới của phương pháp không
lưới thực. Trong luận văn này, phương trình RPIM kết hợp với hai kỹ thuật tích phân
theo thời gian : Newmark và họ các thuật tốn tích phân generalized-α được sử dụng để
phân tích động (dao động tự do và dao động cưỡng bức) cho dầm Cantilever. Dạng yếu
của phương pháp được xây dựng bằng phương pháp phần dư có trọng. Phép nội suy
Radial PIM, được dùng để xây dựng hàm dạng, thỏa tính chất hàm Kronecker delta. Do
phương pháp RPIM sở hữu tính chất Kronecker delta nên điều kiện biên chính được thực
hiện dễ dàng như quá trình thực hiện với FEM. Một vài ví dụ số với các trường hợp tải
khác nhau của dầm được khảo sát để chứng minh sự chính xác, tính ứng dụng và hiệu
quả của phương pháp này.

ii


Abstract
The Radial Point Interpolation Method (RPIM) is newly developed truly meshless
method. In this thesis, a new RPIM formulation combined with two time integration
scheme : Newmark and family of generalized-α time integration algorithms is proposed
to deal with the dynamic analysis (free vibration and forced vibration) of Cantilever

beam. Local weak forms are developed using weighted residual method locally. The
Radial PIM interpolation scheme is used for constructing the shape functions. Because
the shape functions so-obtained possess delta function property, the essential boundary
conditions can be implemented with ease as in the conventional Finite Element Method
(FEM). Some numerical examples are considered to demonstrate the accuracy,
applicability and the effectiveness of the proposed RPIM approach.

iii


Mục lục
Lời cảm ơn……………………………………………………………………………......i
Mục lục…………………………………………………………………………....…......iv
Danh mục hình vẽ…………………………………………………………………….....vi
Danh mục bảng tính…………………………………………………………………......viii
1. Giới thiệu………………………………………………………………………….....1
1.1. Tổng quan…………………………………………………………………........2
1.2. Mục đích của đề tài………………………………………………………..........4
1.3. Kết cấu luận văn……………………………………………………………......4
2. Kiến thức cơ bản của phương pháp không lưới RPIM……………………..........6
2.1. Miền giá đỡ ………………………………….…………………………….......7
2.2. Miền ảnh hưởng ………………………………………………………….........8
2.3. Xác định kích thước miền giá đỡ ………………..…………………..…….......8
2.4. Phép nội suy RPIM ………………..…………………………………….........10
2.5. Tính chất tốn học của hàm nội suy RPIM ………………………………......13
3. Phương pháp RPIM cho bài tốn dao động..........................................................14
3.1. Phương pháp RPIM……………………………………………………...........15
3.1.1.

Phương trình tổng qt………………………………………............15

3.1.2.

Dạng yếu địa phương……………….………………………………..16

3.1.3.

Hàm trọng số…………………………...…………………………….17

3.1.4.

Rời rạc hóa dạng yếu địa phương………………..…………………..19

3.2. Phương pháp RPIM cho bài toán dao động……………………...……............20
3.2.1.

Dao động tự do……………….………………………………..……..21

3.2.2.

Dao động cưỡng bức …………………………...…………………….23

3.3. Lưu đồ phương pháp RPIM…………………………………………….….......25
4. Một số phương pháp tích phân thời gian................................................................26
4.1. Phương pháp NEWMARK…………………………………………………......27
4.2. Họ thuật tốn tích phân G-α……………………………………….……...........31
4.3. Các tính chất của phương pháp tích phân thời gian Newmark và G-α…….......34

iv

5. Kết quả số……………………………….……………………………………........35
Phần A : DAO ĐỘNG TỰ DO………………………………………………..…....38
(a) Ảnh hưởng của chia lưới nền đến kết quả bài toán……………………………..40
(b) Ảnh hưởng của việc thay đổi hệ số α đến kết quả bài toán……………………..42
(c) Ảnh hưởng của việc lựa chọn hàm nội suy RBFs đến kết quả bài toán………..44
Phần B : DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC………………………………………..…....47
B1: Harmonic loading…………………………………………..………………….47
(a) Ảnh hưởng của chia lưới nền đến kết quả bài toán………………….……..49
(b) Ảnh hưởng của việc thay đổi hệ số α đến kết quả bài toán………………...52
(c) Ảnh hưởng của việc lựa chọn hàm nội suy RBFs đến kết quả bài toán…...54
(d) Ảnh hưởng của việc chia bước thời gian đến kết quả bài tốn………….…56
(e) Ảnh hưởng của việc chọn hệ số tích phân đến kết quả bài toán……….…..58
B2:Heaviside loading…………………………………………..……….………….60
(a) Ảnh hưởng của chia lưới nền đến kết quả bài toán………………….……..61
(b) Ảnh hưởng của việc thay đổi hệ số α đến kết quả bài toán………………...64
(c) Ảnh hưởng của việc lựa chọn hàm nội suy RBFs đến kết quả bài toán…...66
(d) Ảnh hưởng của việc chia bước thời gian đến kết quả bài toán………….…68
(e) Ảnh hưởng của việc chọn hệ số tích phân đến kết quả bài toán……….…..70
B3:Transient loading…………………………………………..……….………….72
B4:Một số tải trọng khác……………………………………………….………….75
6. Kết luận và hướng phát triển……………………………………...….….....…..78
6.1. Kết luận..........................................................................................................79
6.2. Hướng phát triển thêm...................................................................................80
Tài liệu tham khảo......................................................................................................82

v


Danh mục hình vẽ

2.1

Miền giá đỡ hình trịn và hình chữ nhật ………….…………………………....…7

2.2

Miền ảnh hưởng của nút……………………………………………………........8

3.1

Miền Ω được giới hạn bởi biên Γ ……………………………………….………15

3.2

Thuật tốn phân tích dao động dầm bằng phương pháp không lưới RPIM….…25

5.1

Dầm Cantilever……………………………………………………………….…38

5.2

10 mode dao động đầu tiên của dầm cantilever………………………………...39

5.3

Ảnh hưởng của việc chia lưới nền đến tần số dao động……….…………........ 41

5.4

Ảnh hưởng của hệ số α đến tần số dao động……….………………….…........ 43

5.5

Ảnh hưởng của hàm nội suy RBFs đến tần số dao động…………………........ 46

5.6

Harmonic loading………………………...……………………………………..48

5.7

Ảnh hưởng của việc chia lưới nền đến chuyển vị (Newmark)..……..….……... 50

5.8

Ảnh hưởng của việc chia lưới nền đến chuyển vị (G-α)..……..……….….…... 51

5.9

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số α đến chuyển vị (Newmark)..……..…….…... 52

5.10

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số α đến chuyển vị (G-α)..………………….…... 53

5.11

Ảnh hưởng của việc chọn hàm nội suy đến chuyển vị (Newmark)..………...... 54

5.12

Ảnh hưởng của việc chọn hàm nội suy đến chuyển vị (G-α)..……………....... 55

5.13

Ảnh hưởng của việc chọn bước thời gian đến chuyển vị (Newmark)..……...... 56

5.14

Ảnh hưởng của việc chọn bước thời gian đến chuyển vị (G-α)..……............... 57

5.15

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số β đến chuyển vị (γ = 0.5)..………...…….…... 58

5.16

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số ρ đến chuyển vị (G-α)..………………….…... 59

5.17

Heaviside loading………………………...……………………………………..60

5.18

Ảnh hưởng của việc chia lưới nền đến chuyển vị (Newmark)..……..….……... 62

5.19

Ảnh hưởng của việc chia lưới nền đến chuyển vị (G-α)..……..……….….…... 63

5.20

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số α đến chuyển vị (Newmark)..……..…….…... 64

5.21

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số α đến chuyển vị (G-α)..………………….…... 65

5.22

Ảnh hưởng của việc chọn hàm nội suy đến chuyển vị (Newmark)..………...... 66

5.23

Ảnh hưởng của việc chọn hàm nội suy đến chuyển vị (G-α)..……………....... 67

5.24

Ảnh hưởng của việc chọn bước thời gian đến chuyển vị (Newmark)..……...... 68

vi


5.25

Ảnh hưởng của việc chọn bước thời gian đến chuyển vị (G-α)..……............... 69

5.26

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số β đến chuyển vị (γ = 0.5)..………...…….…... 70

5.27

Ảnh hưởng của việc chọn hệ số ρ đến chuyển vị (G-α)..………………….…... 71

5.28

Transient loading………………………....……………………………………..72

5.29

So sánh chuyển vị giữa FEM va RPIM (Newmark)..……..….………………... 73

5.30

So sánh chuyển vị giữa FEM va RPIM (G-α)..……………….………………... 73

5.31

Sai số của phương pháp RPIM khi chia lưới nền quá thưa…………………..… 74

5.32

Sai số của phương pháp RPIM khi chia bước thời gian quá lớn……………..… 74

5.33

So sánh chuyển vị giữa FEM và RPIM ……………........................................... 75

5.34

So sánh chuyển vị giữa FEM và RPIM ……………........................................... 76

5.35

So sánh chuyển vị giữa FEM và RPIM ……………........................................... 77

vii


Danh mục bảng tính
2.1

Các hàm RBFs và các hệ số………………..………………………….…………10

4.1

Các hệ số trong phương pháp G-α……………………………………………….29

5.1

Tần số dao động 10 mode đầu tiên.......................................................................40

5.2

Sai số của phương pháp RPIM ứng với 3 trường hợp lưới nền…………….…...41

5.3

Tần số dao động 10 mode đầu tiên.......................................................................42

5.4

Sai số của phương pháp RPIM ứng với 3 trường hợp hệ số α……………...…...43

5.5

Tần số dao động 10 mode đầu tiên.......................................................................45

5.6

Sai số của phương pháp RPIM ứng với 2 trường hợp hàm nội suy RBFs.……...45

viii


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

Chương 1
Giới thiệu

1


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

1.1 Tổng quan
Hơn 5 thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) đã trở thành cơng cụ tính

tốn đắc lực cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt là cơ học. Tuy nhiên vẫn còn một số hạn
chế mà PTHH chưa thực sự giải quyết được hoặc chưa phù hợp. Ví dụ khi giải bài tốn
có biến dạng lớn, khi đó phần tử dễ bị suy biến về mặt hình học dẫn đến kết quả thiếu
chính xác (thường phải chia lại lưới) dẫn đến mất thời gian cho người tính tốn, hoặc sự
khơng liên tục của các biến thứ cấp (chẳng hạn ứng suất) trên biên các phần tử tiếp giáp
nhau cũng là một vấn đề hạn chế.
Trong 3 thập kỷ gần đây, các nhà nghiên cứu đã tìm ra phương pháp tính gần đúng
(phương pháp số) mới. Đó là phương pháp không lưới (Meshless Method). Đây là công
cụ rất tốt để giải quyết các bài toán trị biên mà đặc biệt là các bài toán biến dạng lớn. Nếu
như PTHH rời rạc hóa phương trình vi phân trên cơ sở chia nhỏ miền tính tốn thành một
lưới (Mesh) gồm các phần tử ràng buộc lẫn nhau trên lưới theo những nguyên tắc xác
định thì với các phương pháp khơng lưới, miền tính tốn được chia thành một tập hợp
hữu hạn điểm rời rạc, có thể bố trí tùy ý (unstructured) và khơng có bất kỳ sự ràng buộc
nào về vị trí tương đối giữa chúng trong q trình tính tốn. Kết quả là phương pháp
khơng lưới rất thích hợp cho các bài toán biến dạng lớn (như trong cơ học rạn nứt) hay
bài tốn có biên di động (như dự đốn q trình điền khn đúc hay mơ phỏng mặt tiến
dầu-nước/khí-dầu trong q trình bơm ép/thu hồi tăng cường dầu) trong khi đối với
PTHH việc giải bài toán này sẽ rất phức tạp (đôi khi làm giảm sự chính xác) do thường
xuyên phải điều chỉnh lại lưới bị biến dạng trầm trọng.
Mặc dù phương pháp không lưới chỉ mới phổ biến trong mấy năm gần đây, song tư
tưởng của nó đã có từ cuối những năm 70 của thế kỷ XX. Các nhà nghiên cứu đã đề xuất
ra rất nhiều phương pháp không lưới như :
 Lucy (1977) đã giới thiệu phương pháp SPH (Smooth Particle Hydrodynamics)
khi mô hình hóa các hiện tượng vật lý thiên thể.
 Nayroles, Touzot và Villon (1992) đã nghiên cứu phương pháp phần tử khuếch
tán (Diffuse Element Method - DEM).
 Belytschko, Lu và Gu (1994) đã phát triển thêm DEM và đưa ra phương pháp
phần tử tự do Galerkin (Element Free Galerkin(EFG) method).
 Liu và một số tác giả khác (1995) đã đưa vào hàm điều chỉnh nhân tử của phép
biến đổi tích phân trong SPH để chỉnh lý các điều kiện tái sinh và gọi phương

pháp này là phương pháp tái sinh nhân chất điểm (Reproducing Kernel Particle
Method – RKPM).

2


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM
 Duarte và Oden (1996) đề xuất phương pháp Hp-Clouds.
 Melennk và Babuska (1996) đưa ra phương pháp PUFEM (Partition of Unity
Finite Element Method).
 Atluri và Zhu (1998) đưa ra phương pháp không lưới Petrov-Galerkin (Meshless
Local Petrv-Galerkin Method) và được viết tắt là MLPG.
Như chúng ta biết, các phương pháp số ln tồn tại những khó khăn nhất định và
phương pháp không lưới cũng không phải là ngoại lệ. Hầu hết các phương pháp khơng
lưới khi được áp dụng thì đều gặp những khó khăn chung trong việc áp đặt điều kiện biên
vì hàm dạng khơng thỏa mãn tính chất hàm Kronecker delta. Nên việc áp đặt các điều
kiện biên không được thực hiện trực tiếp như trong phương pháp FEM. Vì lý do này mà
đã có nhiều nghiên cứu được giới thiệu nhằm khắc phục những hạn chế trên bằng những
phương pháp khác nhau. Điển hình là: phương pháp nhân tử Lagrange (Belytschko, Lu,
Gu, 1994), phương pháp biên phạt (Liu,2003; Cho, Song, Choi, 2008) hay là phương
pháp kết hợp với phương pháp FEM (Belyschko, Organ, Krongauz, 1995; Krongauz,
Belyschko, 1996; Fernandez-Mendez, Huerta, 2004; Hegen, 1996),v.v. Như vậy, cần tìm
ra một hàm dạng phải thõa tính chất Kronecker delta trong phương pháp khơng lưới. Trên
cơ sở đó, phương pháp được sử dụng trong luận văn này, phương pháp không lưới Radial
point interpolation method được gọi tắt là phương pháp RPIM, sử dụng hàm nội suy
Radial PIM có hàm dạng thỏa tính chất hàm Kronecker delta và do đó đã khắc phục được
những khó khăn liên quan đến điều kiện biên, vì vậy q trình thực hiện của phương pháp
RPIM hồn tồn giống như phương pháp FEM. Do điều kiện biên chính tự thỏa mãn nên
trong q trình tính tốn khơng cần áp dụng các phương pháp đặc biệt để điều chỉnh.
Phương pháp không lưới RPIM với phép nội suy RPIM lần đầu tiên được đề xuất

vào năm 2002 bởi G.R.Liu và các cộng sự .Cho đến nay, phương pháp RPIM được nhiều
tác giả áp dụng rộng rãi trong nhiều bài toán khác nhau: sử dụng RPIM để mơ phỏng bài
tốn 2 chiều cho tấm áp điện (Liu GR, Dai KY, Lim KM, Gu YT,2003), áp dụng RPIM
phân tích tấm FGM (Dai KY, Liu GR, Lim KM, Han X, Du SY,2004 ), áp dụng RPIM
cho bài toán mất ổn định của tấm dày Mindlin (Liew KM, Chen X, 2004), áp dụng RPIM
cho bài toán ba chiều (Liu GR, Zhang GY, Gu YT, Wang YY, 2005), áp dụng RPIM cho

3


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM
bài tốn phân tích tĩnh và động cho tấm laminated composite (Liu GR, Zhao X, Dai KY,
Zhong ZH, Li GY, Han X ,2008).

1.2 Mục đích của đề tài
Mục tiêu chính của luận văn là sử dụng phương pháp RPIM với các thuật tốn tích
phân khác nhau để phân tích bài tốn dao động tự do và cưỡng bức cho dầm Cantilever
với các hàm tải trọng khác nhau (harmonic loading, heavisive loading và transient
loading). Cả hai phương pháp NEWMARK và họ các thuật toán Generalized-α (G-α)
được kết hợp vào phương RPIM để phát triển và nghiên cứu.
Đề tài phát triển chương trình tính tốn số với phương pháp RPIM và các thuật tốn
thời gian khác nhau. Để chứng minh sự chính xác của phương pháp, vài ví dụ số tiêu biểu
cho bài toán dao động với các trường hợp tải khác nhau cũng như thay đổi cách chia lưới,
bước thời gian, các hệ số quan trọng của phương pháp và so sánh kết quả của 2 phương
pháp RPIM (dùng NEWMARK và họ các phương pháp G-α để tính tốn) với phương
pháp phần tử hữu hạn để đánh giá mức độ chính xác của phương pháp cũng như ảnh
hưởng của các thông số đầu vào đến phương pháp RPIM.

1.3 Kết cấu luận văn
Luận văn được trình bày trong 6 chương như sau :

Chương 1 trình bày tổng quan về phương pháp khơng lưới. Tình hình phát triển và
áp dụng của phương pháp meshless nói chung và phương pháp meshless RPIM nói
riêng.

Chương 2 trình bày một số kiến thức cơ bản của phương pháp RPIM.bao gồm :
khái niệm miền giá đỡ, miền ảnh hưởng, phép nội suy Radial PIM.

Phương pháp RPIM áp dụng cho bài tốn dao động dầm Cantilever thì được trình
bày trong chương 3.

4


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

Chương 4 trình bày một số phương pháp tích phân thời gian khác nhau được áp
dụng cho bài tốn.
.
Chương 5 trình bày các ví dụ số phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức
với các trường hợp tải khác nhau, áp dụng 2 phương pháp phân tích theo thời gian
NEWMARK va G-α để tiện so sánh. Kết quả được so sánh với phương pháp phần
tử hữu hạn (FEM) nhằm đánh giá tính chính xác và hiệu quả của phương pháp sử
dụng.

Vài nhận xét thu được từ việc nghiên cứu này thì được tổng hợp trong chương 6.
Những ưu điểm, khó khăn thường gặp khi sử dụng phương pháp RPIM vào phân
tích dao động cho dầm Cantilever. Từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu mới
trong tương lai.

5

Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

Chương 2
Kiến thức cơ bản của phương pháp
không lưới Radial Point Interpolation
Method

6


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

2.1. Miền giá đỡ [1]
Tạo miền đại diện của bài toán bằng cách bố trí một tập các nút bên trong và trên biên
miền bài tốn. Các nút có thể được bố trí có quy tắc hoặc là bất quy tắc. Độ mật độ của
các nút phụ thuộc vào yêu cầu tính chính xác của bài tốn và tốc độ xử lý của máy tính
đang dùng.
Để tăng tính chính xác của bài tốn thì những nơi có biến dạng lớn ta bố trí nút dày
đặc hơn những vị trí khác. Để nội suy chuyển vị của một điểm nào đó trong miền bài
toán, ta cần xây dựng miền giá đỡ và xác định chuyển vị của điểm thông qua chuyển vị
của các nút trong miền giá đỡ. Miền giá đỡ có nhiều dạng hình học khác nhau hình
vng, hình chữ nhật, hình trịn, v.v.

Hình 2.1. Miền giá đỡ hình trịn và hình chữ nhật.

7

Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

2.2. Miền ảnh hưởng [1]
Miền ảnh hưởng là miền mà một nút có ảnh hưởng ở đó. Nó đi liền với nút, ngược lại
với miền giá đỡ đi liền với một điểm không nhất thiết là một nút. Dùng miền ảnh hưởng
là một cách khác để chọn nút cho việc nội suy, và nó vẫn tốt cho các nút phân bố không
đều. Miền ảnh hưởng được xác định cho mỗi nút trong miền bài tốn, và nó có thể khác
nhau từ nút này sang nút khác.

Hình 2.2. Miền ảnh hưởng của nút.
Hình 2.2 biểu diễn miền ảnh hưởng của 3 nút 1, 2, 3. Bán kính của 3 miền ảnh hưởng
này là khác nhau. Để xây dựng hàm dạng cho điểm xQ ta cần dùng nút 1 và nút 2.

2.3. Xác định kích thước miền giá đỡ [1]
Trong phương pháp khơng lưới, tính chính xác của phép nội suy phụ thuộc vào số nút
trong miền giá đỡ của điểm muốn nội suy

dm  dc

(2.1)

trong đó :
dm là bán kính miền giá đỡ,
dc là khoảng cách trung bình giữa các nút,
 là hệ số của bán kính miền giá đỡ.

8


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

1 L
H
dc  (

) : trong hệ tọa độ Đề các
2 nL  1 nH  1

(2.2)

1
n 2
2 R
dc  ( R  R
*R
) : trong hệ tọa độ cực
2
nR  1
n

(2.3)

với L, H: chiều dài các cạnh theo phương x, y,
nL, nH: số nút trên các cạnh theo phương x, y,
R, nR: bán kính miền bài tốn, và số nút trên bán kính,
n: số nút trên cung trịn.
Hệ số  được xác định cho bất kỳ phương pháp không lưới nào thì được chọn trong
khoảng: 2    4 sẽ cho lời giải tốt. Trong bài toán 2D,  được chọn sao cho bán kính
dm đủ lớn để có ít nhất là 6 nút trong miền ảnh hưởng của 1 điểm, nhằm tránh sự suy biến
của ma trận momen A. Cận trên và cận dưới của  , tức là số 4 và số 2, ta có được là do

kinh nghiệm tính tốn.  khơng được q bé và cũng khơng được q lớn vì nếu  q
bé thì ma trận A bị suy biến dẫn đến kết quả khơng chính xác. Ngược lại, nếu như  q
lớn thì sẽ có quá nhiều nút trong miền ảnh hưởng của 1 điểm, dẫn đến kích thước ma trận
cứng, véctơ tải trọng, ma trận khối lượng sẽ là quá lớn và khi ghép nối các ma trận nút để
được các ma trận và véctơ tải trọng tổng thể ta sẽ ghép nối những ma trận, véctơ có kích
thước lớn, như vậy điều này là khơng cần thiết. Do đó trong bài toán 2D ta nên chọn
2   4.

9


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM

2.4. Phép nội suy RPIM
Trong miền bài toán  , xét miền con  x là lân cận của điểm x,  x bao gồm các nút
Si, i=1,2…,n, với n là tổng số nút trong miền con  x . Xem u(x) là hàm xác định trên
miền  , hàm xấp xỉ uh(x) tại một điểm x trong  x được định nghĩa như sau:
n

m

u ( x )   Ri  x ai   p j  x  b j
h

i 1

(2.4)

j 1

trong đó :
Ri là hàm cơ sở Radial, với r là khoảng cách giữa nút x và xi, trong bài tốn 2D thì
2
2
r    x  xi    y  y i  



1/ 2

(2.5)

với : Ri được lấy theo một trong các hàm RBFs trong bảng 2.1
Bảng 2.1. Các hàm RBFs và các hệ số [1]

Tên hàm

RBF

Hệ số

Multi-quadrics (MQ))

Ri  x    ri 2  C 2 

Gaussian (EXP)

Ri  x   exp  cri 2 

c

Thin Plate Spline (TPS)

Ri  x   ri



q

C, q

trong đó : ai là các hệ số của Ri
pj là hàm cơ sở đa thức (tương tự như trong FEM), m số phần tử trong cơ sở
VD: Cơ sở tuyến tính trong bài toán 2 chiều là:
pT(x) = {1, x, y}, m = 3

10


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM
với : bi là các hệ số của pj
Công thức (2.4) có thể viết dưới dạng ma trận

u h ( x )  R T  x  a + pT  x  b

(2.6)

aT  a1 , a2 ,...., an 

(2.7)

bT  b1 , b2 ,...., bm 

(2.8)

R T  R1  x  , R2  x  ,...., Rn  x 

(2.9)

pT   p1  x  , p2  x  ,...., pn  x 

(2.10)

trong đó :

Hàm xấp xỉ tại nút thứ k có dạng
n

m

i 1

j 1

uk ( x )  u ( xk , yk )   ai Ri  xk , yk    b j p j  xk , yk  , k  1,2,..., n

(2.11)

Dưới dạng ma trận

U S = R Q a + Pm b

(2.12)

Ngồi ra cịn phải thỏa mãn
n

 p  x , y a ,
j

i

i

i

j  1, 2,..., m

(2.13)

i 1

Dưới dạng ma trận
PmT a  0

(2.14)

11

Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM
Trong đó
 R1  r1  R2  r1 

 R1  r2  R2  r2 
RQ  

 
 R1  rn  R2  rn 

 Rn  r1  

 Rn  r1  


 
 Rn  rn  

 P1  x1 , y1  P2  x1 , y1 

 P1  x2 , y2  P2  x2 , y2 
Pm  



 P1  xn , yn  P2  xn , yn 

(2.15)



Pn  x1 , y1  

 Pn  x2 , y2  




 Pn  xn , yn  

(2.16)

Từ (2.12) ta có
a = R 1U S  R 1Pm b
Q

Q

(2.17)

Thay (2.17) vào (2.14), ta có

b  SbU S

(2.18)

Trong đó
1

S b   PmT R Q1Pm  PmT R Q1

(2.19)

Thay (2.18) vào (2.17), ta có

a = Sa U s

(2.20)

S a  R Q1 1  PmS b   R Q1  R Q1Pm S b

(2.21)

Trong đó

Thay (2.18) và (2.20) vào (2.6),ta có

12


Phân tích dao động của dầm bằng phương pháp RPIM
u  x    R T  x  S a  pT  x  S b  U S    x  U S

(2.22)

Trong đó hàm dạng được định nghĩa là
  x    R T  x  S a  pT  x  S b   1  x  , 2  x  ,...., n  x  

(2.23)

2.5. Tính chất tốn học của hàm nội suy Raial-PIM
Tính chất Kronecker-Delta
Một trong những tính chất quan trọng nhất của hàm dạng Radial PIM là tính chất
kronecker delta. Tính chất này giúp ta có thể áp đặt điều kiện biên trực tiếp, không cần
phải điều chỉnh điều kiện biên như những phương pháp khơng lưới khác.
Từ (2.23) ta có hàm dạng của nút thứ k
n

m

k  x    Ri  x  Sika   p j  x  S bjk
i 1

(2.24)

j 1

Có thể viết dưới dạng ma trận:

k  x   R Q S a  Pm S b

(2.25)

Thay S a trong (2.21) vào (2.25), ta có

k  x   R Q  R Q1 1  Pm S b   Pm S b  1

13

(2.26)