Phân tích giới hạn cận dưới tấm sàn bê tông cốtt hép dùng phần tử morley và tiêu chuẩn nielsen

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------

NGÔ TRUNG CHÁNH

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CẬN DƯỚI TẤM SÀN BÊTƠNG
CỐT THÉP DÙNG PHẦN TỬ MORLEY
VÀ TIÊU CHUẨN NIELSEN

Chuyên ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
Mã ngành: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 06 NĂM 2013


i

Cơng trình được hồn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1:

TS. LÊ VĂN CẢNH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2:

PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

TS. NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

Cán bộ chấm nhận xét 2:

TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày 13 tháng 09 năm 2013.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1.

TS. HỒ HỮU CHỈNH

2.

TS. NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC

3.

TS. LƯƠNG VĂN HẢI

4.

TS. LÊ VĂN PHƯỚC NHÂN

5.

PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau
khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TS. HỒ HỮU CHỈNH

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

----------------

---oOo---

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGÔ TRUNG CHÁNH

Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 10/05/1981

Nơi sinh : Vĩnh Long

Chun ngành: Xây dựng cơng trình DD & CN

MSHV: 11210231

1- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CẬN DƯỚI TẤM SÀN BÊTÔNG CỐT
THÉP DÙNG PHẦN TỬ MORLEY VÀ TIÊU CHUẨN NIELSEN
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
1) Rời rạc trường momen của tấm dùng phần tử Morley.
2) Xây dựng bài toán tối ưu dưới dạng qui hoạch toán học để tìm hệ số tải trọng giới
hạn .
3) Biến đổi bài toán tối ưu rời rạc về dạng bài tốn tối ưu hình nón bậc 2.
4) Lập trình mơ phỏng số một số bài toán tấm sàn dựa trên ngơn ngữ lập trình Matlab.
5) Phân tích và so sánh kết quả thu được với kết quả số của các bài báo đã công bố.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : tháng 01 năm 2013
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : tháng 06 năm 2013
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS. LÊ VĂN CẢNH
HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: PGS.TS CHU QUỐC THẮNG
Tp. HCM, ngày … tháng … năm 2013
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1

TS. LÊ VĂN CẢNH
BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG
TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

iii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng
dẫn Ts. Lê Văn Cảnh (Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Quốc Tế, Đại Học Quốc
Gia Tp. HCM). Thầy đã hướng dẫn tận tình, cung cấp những tài liệu cần thiết và chỉ
bảo cho tác giả phương pháp nghiên cứu khoa học. Thầy định hướng và giảng dạy
những kiến thức nền tảng để tác giả có thể hồn thành luận văn này. Một lần nữa tác
giả cảm ơn thầy.
Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy đồng hướng dẫn Pgs.Ts. Chu
Quốc Thắng. Thầy truyền đạt những kiến thức về phương pháp số và giúp cho tác
giả bước đầu tiếp cận với những con số. Những kiến thức quý báu này đã góp phần
cho tác giả hồn thành luận văn này.
Tác giả gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Xây
dựng dân dụng và công nghiệp khóa học 2011-2013.
Xin cảm ơn hai bạn Phương và Phúc (cao học K2011), đã cùng tác giả trao
đổi, đóng góp ý kiến và học hỏi lẫn nhau về những kiến thức liên quan trong suốt
quá trình thực hiện luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, đặc biệt là người
mẹ quá cố của tác giả. Tuy mẹ khơng cịn hiện diện trên cõi đời này nữa nhưng hình
bóng mẹ ln mãi khắc sâu trong lịng con. Chính sự vất vả, hy sinh của mẹ là sức
mạnh và động lực lớn lao tiếp bước cho con học hành tới ngày hôm nay. Cảm ơn
hai em Quốc và An ủng hộ anh về mặt tinh thần.
Tp.HCM, ngày 21 tháng 6 năm 2013
Học Viên Cao Học

Ngô Trung Chánh

iv

TĨM TẮT LUẬN VĂN
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CẬN DƯỚI TẤM SÀN BÊTÔNG CỐT THÉP
DÙNG PHẦN TỬ MORLEY VÀ TIÊU CHUẨN NIELSEN

Phương pháp phân tích giới hạn cận dưới tấm sàn bêtơng cốt thép (BTCT)
được trình bày trong luận văn này. Một trường mômen bậc hai được thêm vào
trường mômen hằng số của phần tử cân bằng Morley để đạt sự cân bằng chính xác
khi áp lực phân bố đều tác dụng lên tấm. Phần tử cân bằng Morley với trường
môment bổ sung được sử dụng để rời rạc hóa trường mơmen của bài tốn. Tiêu
chuẩn dẻo Nielsen được xem xét trong bài tốn phân tích giới hạn cho tấm sàn
BTCT. Áp dụng định lý cận dưới, phân tích giới hạn cận dưới trở thành bài toán tối
ưu. Cuối cùng, bài toán tối ưu được đưa về dạng bài tốn tối ưu hình nón bậc hai
(SOCP) và thơng qua thuật tốn tối ưu hóa của phần mềm Mosek bài tốn được giải
quyết một cách nhanh chóng. Các ví dụ số thể hiện khả năng và hiệu quả của
phương pháp.


v

SUMMARY OF THESIS
TITLE OF THESIS:
“LOWER BOUND LIMIT ANALYSIS OF REINFORCED SLABS USING
MORLEY ELEMENT AND NIELSEN CRITERION”

Lower bound limit analysis method of reinforced concrete slabs is presented
in this thesis. A second degree moment field is added to constant moment fields of
Morley equilibrium element to achieve exact equilibrium when applying a uniform

pressure to slabs. A Morley equilibrium element with enhanced moment fields is
used to discrete the problem moment fields. The Nielsen yield criterion is examined
for limit analysis problem of reinforced concrete slabs. Applying lower bound
theorem, lower bound limit analysis problem becomes a problem optimization.
Finally, lower bound limit analysis problem is formulated in the form of a standard
second – order cone programming (SOCP) and through optimal algorithm of the
Mosek software, problem is rapidly solved. Numerical examples show that the
capabilities and the effectivities of the method.


vi

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ........................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................ iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN ............................................................................................................ iv
SUMMARY OF THESIS.............................................................................................................v
MỤC LỤC .................................................................................................................................. vi
DANH MỤC HÌNH ẢNH.......................................................................................................... ix
DANH MỤC BẢNG BIỂU........................................................................................................ xi
CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN ............................................................................................1

1.1.

Đặt vấn đề .................................................................................................................... 1

1.2.

Tình hình nghiên cứu đề tài.......................................................................................... 3

1.2.1.

Tình hình nghiên cứu trên thế giới ....................................................................... 3

1.2.2.

Tình hình nghiên cứu trong nước ......................................................................... 5

1.3.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn.............................................................................. 6

1.4.

Bố cục của luận văn ..................................................................................................... 7

CHƯƠNG 2.
2.1.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................................8

Lý thuyết chảy dẻo ....................................................................................................... 8

2.1.1.

Giả thiết ................................................................................................................ 8

2.1.2.

Mơ hình vật liệu.................................................................................................... 8

2.1.3.

Luật chảy dẻo ....................................................................................................... 9

2.1.4.

Định đề Drucker – giả thiết về tính ổn định của vật liệu ...................................... 9

2.1.5.

Luật chảy dẻo kết hợp......................................................................................... 10

2.2.

Tiêu chuẩn chảy dẻo tấm sàn bêtông cốt thép............................................................ 11

2.2.1.

Giả thiết cho điều kiện chảy dẻo tấm sàn BTCT ................................................ 11

2.2.2.

Tấm sàn BTCT chịu uốn thuần túy .................................................................... 11

2.2.3.

Tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen cho tấm sàn bêtông cốt thép ................................ 13

vii

2.3.

Phương pháp phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn .................................................... 14

2.3.1.

Các giả thiết cơ sở của phương pháp phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn ....... 14

2.3.2.

Các định lý cơ bản của phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn ............................. 16

2.3.3.

Các phương pháp giải của lý thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn......... 17

2.3.4.

Phân tích tải trọng giới hạn dưới dạng bài toán qui hoạch tốn học .................. 18

2.4.

Cơng thức cho tấm chịu uốn ...................................................................................... 20

2.4.1.

Các giả thiết tính tốn tấm .................................................................................. 20

2.4.2.

Phương trình vi phân cân bằng tấm .................................................................... 20

2.5.

Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm chịu uốn ....................................................... 23

2.5.1.

Giới thiệu ............................................................................................................ 23

2.5.2.

Phần tử cân bằng Morley .................................................................................... 23

2.5.3.

Rời rạc hóa phần tử............................................................................................. 27

2.6.

Bài tốn tối ưu hình nón bậc hai ................................................................................ 29

2.6.1.

Định nghĩa .......................................................................................................... 29

2.6.2.

Chuyển đổi tiêu chuẩn Nielsen về dạng hình nón bậc hai xoay ......................... 29

2.6.3.

Phát biểu bài tốn tối ưu ..................................................................................... 31

2.7.

Qui trình tính tốn ...................................................................................................... 31

CHƯƠNG 3.
3.1.

VÍ DỤ SỐ ................................................................................................35

Bài tốn tấm bêtơng cốt thép hình vng................................................................... 35

3.1.1.

Dữ liệu đầu vào................................................................................................... 35

3.1.2.

Kết quả bài tốn tấm hình vng bốn biên tựa ................................................... 36

3.1.3.

Kết quả bài tốn tấm hình vng bốn biên ngàm ............................................... 40

3.2.

Bài tốn tấm bêtơng cốt thép hình chữ nhật ............................................................... 43

3.2.1.

Dữ liệu đầu vào................................................................................................... 43

3.2.2.

Kết quả bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa ............................................... 44

3.2.3.

Kết quả bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm ........................................... 48

3.3.

Bài tốn tấm bêtơng cốt thép hình tròn ...................................................................... 51


viii

3.3.1.

Dữ liệu đầu vào................................................................................................... 51

3.3.2.

Kết quả bài tốn tấm hình tròn biên ngàm biên ngàm theo chu vi ..................... 52

3.4.

Bài tốn tấm bêtơng cốt thép hình chữ L ................................................................... 55

3.4.1.

Dữ liệu đầu vào................................................................................................... 55

3.4.2.

Kết quả bài tốn tấm hình chữ L ........................................................................ 57

3.5.

Bài tốn tấm bêtơng cốt thép hình thoi ...................................................................... 59

3.5.1.

Dữ liệu đầu vào................................................................................................... 59

3.5.2.

Kết quả bài toán tấm hình thoi bốn biên ngàm ................................................... 59

CHƯƠNG 4.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................63

4.1.

Kết luận ...................................................................................................................... 63

4.2.

Kiến nghị .................................................................................................................... 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..........................................................................................................65
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ........................................................................................................68
PHỤ LỤC ...................................................................................................................................69


ix

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1.1. Tịa nhà One Warrington Garden, LonDon. .......................................................... 1
Hình 1.2. Tịa nhà East India Dock. ....................................................................................... 2
Hình 2.1. Mơ hình cứng – dẻo lý tưởng................................................................................. 8
Hình 2.2. Ứng xử ổn định và không ổn định theo Drucker ................................................. 10
Hình 2.3. Hình học của luật chảy dẻo kết hợp ..................................................................... 10
Hình 2.4. Tấm sàn bêtơng chịu uốn thuần túy ..................................................................... 11
Hình 2.5. Mặt chảy dẻo theo tiêu chuẩn Nielsen ................................................................. 13
Hình 2.6. Vật thể cân bằng .................................................................................................. 14
Hình 2.7. Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới ............................................................ 18
Hình 2.8. Tấm mỏng ............................................................................................................ 20
Hình 2.9. Xét cân bằng phân tố tấm .................................................................................... 21
Hình 2.10. Các thành phần nội lực trong tấm ...................................................................... 22
Hình 2.11. Vectơ đơn vị trên biên vật thể ............................................................................ 24
Hình 2.12. Phần tử cân bằng Morley ................................................................................... 24

Hình 2.13. Quan hệ giữa hệ tọa độ tổng thể (Oxy) và hệ tọa độ địa phương (OXY) .......... 26
Hình 3.1. Tấm bêtơng cốt thép hình vng ......................................................................... 35
Hình 3.2. Hệ chia lưới bài tốn tấm hình vng .................................................................. 36
Hình 3.3. So sánh kết quả bài tốn tấm hình vng bốn biên tựa với các bài báo .............. 38
Hình 3.4. Trường mơmen bài tốn tấm hình vng bốn biên tựa........................................ 39
Hình 3.5. So sánh kết quả bài tốn tấm hình vng bốn biên ngàm với các bài báo .......... 41
Hình 3.6. Trường mơmen bài tốn tấm hình vng bốn biên ngàm .................................... 42
Hình 3.7. Tấm bêtơng cốt thép hình chữ nhật ..................................................................... 43
Hình 3.8. Hệ chia lưới bài tốn tấm hình chữ nhật .............................................................. 44


x

Hình 3.9. So sánh kết quả bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa với các bài báo .......... 45
Hình 3.10. Trường mơmen bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa .................................. 47
Hình 3.11. So sánh kết quả bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm với các bài báo .... 48
Hình 3.12. Trường mơmen bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm .............................. 50
Hình 3.13. Tấm bêtơng cốt thép hình trịn biên ngàm theo chu vi chịu tải phân bố đều ..... 51
Hình 3.14. Hệ chia lưới bài tốn tấm hình trịn biên ngàm theo chu vi ............................... 52
Hình 3.15. So sánh kết quả bài tốn tấm hình trịn biên ngàm với các bài báo ................... 54
Hình 3.16. Tấm bêtơng cốt thép hình chữ L chịu tải phân bố đều ...................................... 55
Hình 3.17. Hệ chia lưới bài tốn tấm hình chữ L ................................................................ 56
Hình 3.18. Trường mơmen bài tốn tấm hình chữ L hai biên tựa ....................................... 58
Hình 3.19. Tấm bêtơng cốt thép hình thoi bốn biên ngàm chịu tải phân bố đều ................. 59
Hình 3.20. Khảo sát độ hội tụ bài tốn tấm hình thoi bốn biên ngàm ................................. 60
Hình 3.21. So sánh kết quả bài tốn tấm hình thoi bốn biên ngàm với các bài báo ............ 62
Hình 3.22. Trường mơmen bài tốn tấm hình thoi bốn biên ngàm (α=600) ........................ 62


xi

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình vng bốn biên tựa............................... 37
Bảng 3.2. So sánh hệ số tải trọng giới hạn λ bài tốn tấm hình vng bốn biên tựa ........... 38
Bảng 3.3. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình vng bốn biên ngàm ........................... 40
Bảng 3.4. So sánh hệ số tải trọng giới hạn λ bài toán tấm hình vng bốn biên ngàm ....... 41
Bảng 3.5. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa ........................... 45
Bảng 3.6. So sánh hệ số tải trọng giới hạn λ bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa ....... 46
Bảng 3.7. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm ....................... 48
Bảng 3.8. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm ...... 49
Bảng 3.9. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình trịn biên ngàm theo chu vi................... 53
Bảng 3.10. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài tốn tấm hình trịn biên ngàm chu vi........ 54
Bảng 3.11. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình chữ L hai biên tựa .............................. 57
Bảng 3.12. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm hình chữ L hai biên tựa ............. 57
Bảng 3.13. Hệ số tải trọng giới hạn λ của tấm hình thoi bốn biên ngàm (

mp
qR 2

) ............... 60

Bảng 3.14. So sánh hệ số tải trọng giới hạn λ bài toán tấm hình thoi biên ngàm (

mp
qR 2

) .. 61


1

CHƯƠNG 1.
1.1.

TỔNG QUAN

Đặt vấn đề
Trong những thập niên gần đây, phân tích trạng thái giới hạn đã được nghiên

cứu trong thiết kế kết cấu cơng trình xây dựng. Phân tích giới hạn tấm sàn sẽ giúp
cho kỹ sư xác định được tải trọng giới hạn và cơ cấu sụp đổ của tấm sàn. Từ đó
thiết kế dẻo cho tấm sàn sẽ góp phần làm giảm chi phí xây dựng cơng trình so với
thiết kế đàn hồi. Phương pháp phân tích hiệu quả đã được đưa ra để thiết kế dẻo sàn
như: phương pháp đường chảy dẻo (Johansen’s), phương pháp dải (Hillerborg). Một
số cơng trình tiêu biểu đã được thiết kế sàn theo phương pháp đường chảy dẻo ở
Anh như: nhà cao tầng Cardington, One Warrington Garden, East India Dock,
Onslow House… Tuy nhiên những phương pháp này sẽ gặp khó khăn khi giải quyết
bài tốn tấm với hình dạng bất kỳ hoặc sàn có cột, lỗ trống. Để khắc phục những
hạn chế này, chúng ta sử dụng phương pháp số phân tích giới hạn để tự động tìm hệ
số tải trọng giới hạn và cơ cấu sụp đổ của sàn.

Hình 1.1. Tòa nhà One Warrington Garden, LonDon.


2

Hình 1.2. Tịa nhà East India Dock.
Ngày nay, phương pháp phần tử hữu hạn trở thành một cơng cụ tính toán đắc
lực cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt là cơ học. Sự phát triển mạnh mẽ của máy
tính hiện đại giúp giải quyết những bài toán phức tạp với khối lượng tính tốn lớn.

Phương pháp phần tử hữu hạn cũng được sử dụng phổ biến trong bài toán phân tích
giới hạn vì có những ưu điểm sau: dể dàng lập trình, kết quả thu được tốt nếu chia
mịn lưới phần tử và giải được bài toán với nhiều dạng hình học khác nhau.
Trong những nghiên cứu trước đây, bài tốn phân tích giới hạn cho tấm sàn
bêtơng cốt thép (BTCT) thường sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo hình vng hoặc tiêu
chuẩn dẻo được tuyến tính hóa nên độ chính xác chưa cao. Vào thập niên 60, tiêu
chuẩn dẻo Nielsen mô tả trạng thái giới hạn của tấm sàn BTCT đã được đưa ra
nhưng gặp khó khăn về ràng buộc phi tuyến trong bài tốn phân tích giới hạn. Phân
tích giới hạn dựa trên hai định lý cơ bản về cận trên và cận dưới. Phương pháp cận
trên tìm kiếm một dạng cơ cấu sụp đổ khả thi với khả năng chịu tải trọng là nhỏ
nhất. Trong khi phương pháp cận dưới thì tìm kiếm một trường ứng suất hợp lệ sao
cho khả năng chịu tải trọng là lớn nhất. Phương pháp cận dưới có lợi thế là hệ số tải
trọng sụp đổ thì ln ln an tồn so với phương pháp cận trên. Áp dụng định lý
cận dưới thì bài tốn phân tích giới hạn trở thành bài toán tối ưu toán học. Để giải


3

bài tốn tối ưu này, chúng ta có thể sử dụng thuật tốn tối ưu tuyến tính hoặc phi
tuyến. Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là:
- Sử dụng thuật tốn tối ưu tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính
hóa. Vì vậy số ẩn số, số ràng buộc sẽ tăng lên dẫn đến thời gian, chi phí tính tốn rất
lớn và gặp khó khăn khi phân tích bài tốn có số lượng phần tử lớn.
- Thuật tốn tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến.
Tuy nhiên, hàm mục tiêu (năng lượng tiêu tán dẻo đối với bài tốn phân tích cận
trên) không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo, trong khi các
thuật tốn tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi
nơi.
Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai (second-order cone programming)
được phát triển để khắc phục những khó khăn trên và phần lớn các tiêu chuẩn chảy

dẻo đều có thể chuyển về dạng hình nón bậc hai.
Trong đề tài nghiên cứu này, phần tử cân bằng Morley được sử dụng để rời
rạc hóa trường mơmen bài tốn cận dưới. Phần tử Morley với trường mơmen hằng
số được bổ sung vào một trường mômen bậc hai nhằm thỏa mãn phương trình cân
bằng tấm khi chịu tải trọng phân bố đều. Bài tốn phân tích giới hạn cận dưới được
xem xét với tiêu chuẩn dẻo Nielsen cho tấm sàn BTCT và áp dụng thuật tốn tối ưu
hình nón bậc hai để giải bài tốn tối ưu này.
1.2.

Tình hình nghiên cứu đề tài

1.2.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Phân tích trạng thái giới hạn cho tấm sàn cứng dẻo lý tưởng đã được nghiên
cứu và phát triển trong nhiều năm qua.
Chan HSY (1972) [7] sử dụng phần tử hữu hạn và chương trình tốn học để
tính tốn hệ số tải trọng sụp đổ của tấm sàn BTCT theo tiêu chuẩn dẻo hình vng.
Tác giả trình bày phương pháp cận trên và phương pháp cận dưới với ví dụ số là
tấm hình vng biên ngàm chịu tải phân bố đều.


4

Anderheggen E và Knopfel H (1972) [8] trình bày một phương pháp số dựa
trên mơ hình phần tử hữu hạn hổn hợp và lập trình tuyến tính để xác định hệ số tải
trọng giới hạn của tấm sàn.
Fox EN (1974) [9] phân tích giới hạn tấm cứng – dẻo lý tưởng. Tác giả đưa
ra nghiệm giải tích của bài tốn phân tích tải trọng giới hạn tấm hình vng, biên
ngàm với vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, chịu tải phân bố đều theo tiêu chuẩn chảy
dẻo hình vng. Trong nghiên cứu này, nghiệm chính xác của bài tốn tấm hình chữ
nhật biên tựa chịu tải trọng tập trung cũng được đưa ra và tác giả mở rộng phân tích

giới hạn tấm đa giác đều biên ngàm, chịu tải phân bố đều.
Krenk S (1994) [10] trình bày một thảo luận về lựa chọn các phần tử tấm tam
giác cân bằng được dùng trong lập trình tuyến tính hóa để phân tích giới hạn và
thiết kế tối ưu tấm sàn. Phần tử cân bằng được xác định theo ba mômen tại các góc
và mặt chảy dẻo được tuyến tính hóa. Định lý đối ngẫu của lập trình tuyến tính hóa
dẫn đến đại diện đối ngẫu trường tĩnh học và trường động học. Sự tối ưu hóa của
đặc tính vật liệu, như phân phối cốt thép trong tấm cũng được tác giả xem xét.
Poulsen và Damkile (2000) [13] đã phân tích giới hạn của tấm cứng – dẻo
chịu lực trong mặt phẳng tấm bằng cách sử dụng phần tử ứng suất và lập trình tuyến
tính. Ba phần tử được thành lập, đó là phần tử tấm tam giác, phần tử thanh và phần
tử dầm. Bài tốn trình bày là phân tích cận dưới và biến đối ngẫu được hiểu như là
chuyển vị. Cả tải trọng và tối ưu vật liệu được trình bày. Phương pháp được áp dụng
cho tấm có cốt thép phân bố và cốt thép tập trung.
Krabbenhoft K (2002) [17] đề nghị một giải thuật tốn tối ưu để phân tích
cận dưới tấm sàn với tiêu chuẩn chảy dẻo phi tuyến. Một phần tử với trường mơmen
tuyến tính cho sự cân bằng được thỏa mãn chính xác kết nối với thuật toán tối ưu
vào trong tiêu chuẩn chảy dẻo phi tuyến. Bài tốn tối ưu tải trọng và vật liệu được
trình bày , bằng thuật tốn đối ngẫu của chương trình tuyến tính chuyển vị được rút
ra từ những biến đối ngẫu.


5

L.V Cảnh, Gilbert và Askes (2009) [21] phân tích giới hạn cận trên tấm chịu
tải trọng phân bố đều dùng phương pháp khơng lưới EFG và chương trình hình nón
bậc hai. Các ví dụ số được xem xét theo tiêu chuẩn dẻo von Mises.
L.V Cảnh, Gilbert và Askes (2010) [20] đã sử dụng phương pháp khơng lưới
EFG và chương trình hình nón bậc hai để phân tích hệ số tải trọng giới hạn cho tấm.
Tác giả phân tích cận dưới tấm sàn chịu tải phân bố đều. Tiêu chuẩn dẻo von Mises
được xem xét cho tấm kim loại và tiêu chuẩn Nielsen được xét cho tấm sàn BTCT.

L.V Cảnh et al. (2010) [22] trình bày 2 phương pháp số mới dùng FEM và
chương trình hình nón bậc hai để xác định cận trên và cận dưới của tấm chịu tải
trọng phân bố đều theo tiêu chuẩn dẻo von Mises.
Maunder và Ramsay (2012) [24] đưa ra mơ hình cân bằng để phân tích giới
hạn cận dưới tấm sàn BTCT. Bài tốn trình bày dưới dạng biến tĩnh đại diện cho
trường mơmen siêu tĩnh và ràng buộc dựa trên tiêu chuẩn hình nón. Các ví dụ số
được trình bày bao gồm bài tốn chuẩn là tấm hình vng tựa đơn.
Zhou et al.(2012) [25] trình bày một phương pháp số mới để xác định hệ số
tải trọng giới hạn tấm mỏng. Tác giả dùng phương pháp không lưới C1 NEM xác
định cận trên tấm cứng – dẻo lý tưởng theo tiêu chuẩn dẻo von Mises.
1.2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam, các nghiên cứu về phân tích giới hạn tấm sàn BTCT không
nhiều. Sau đây là một số nghiên cứu trong thời gian qua:
N.D Hưng, Yan Ai-Min, B.C Thành and Jospin R.J (1998) trình bày “On the
Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures”. Tác giả phân
tích giới hạn và thích nghi kết cấu dẻo và nứt.
N.A Danh, B.C Thanh, N.D Hung (1999) tại hội nghị cơ học toàn quốc ở Hà
Nội đã trình bày phân tích giới hạn cho khung với đề tài “A recursive approach for
limit analysis of frame”.


6

L.V Cảnh (2004) luận văn cao học chương trình EMMC8 tại Trường Đại
Học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh với đề tài phân tích đối ngẫu tấm chịu
uốn.
N.T Nhơn (2012) luận văn cao học tại Trường Đại Học Bách Khoa Thành
Phố Hồ Chí Minh với đề tài phân tích giới hạn tấm dày Reissner - Mindlin dùng
phương pháp không lưới EFG và sử dụng thuật tốn tối ưu hình nón bậc hai
(SOCP).

Đ.T.M Thùy (2012) luận văn cao học tại Trường Đại Học Bách Khoa Thành
Phố Hồ Chí Minh với đề tài phân tích giới hạn tấm dày Reissner - Mindlin dựa trên
phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES_FEM) và sử dụng thuật tốn tối ưu
hình nón bậc hai (SOCP).
N.H. Phương (2013) luận văn cao học tại Trường Đại Học Bách Khoa Thành
Phố Hồ Chí Minh với đề tài phân tích giới hạn tấm sàn BTCT theo tiêu chuẩn dẻo
Nielsen.
1.3.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Mục tiêu của đề tài này là nghiên cứu, phát triển phương pháp phân tích giới

hạn cận dưới tấm sàn BTCT dùng phần tử Morley và tiêu chuẩn Nielsen.
Luận văn trình bày các nội dung chính sau đây:
- Rời rạc trường mơmen của tấm dùng phần tử Morley.
- Xây dựng bài toán tối ưu dưới dạng qui hoạch tốn học để tìm hệ số tải
trọng giới hạn .
- Biến đổi bài toán tối ưu rời rạc về dạng bài toán tối ưu hình nón bậc 2.
- Lập trình mơ phỏng số một số bài tốn tấm sàn dựa trên ngơn ngữ lập trình
Matlab.
- Phân tích và so sánh kết quả thu được với kết quả số của các bài báo đã
công bố.


7

1.4.

Bố cục của luận văn
Luận văn được trình bày trong 4 chương như sau:

Chương 1: Tổng quan: đặt vấn đề, tình hình nghiên cứu đề tài, mục tiêu và

nhiệm vụ của luận văn.
Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết của luận văn: lý thuyết chảy dẻo, tiêu
chuẩn chảy dẻo tấm sàn BTCT, phương pháp phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn,
công thức cho tấm chịu uốn, phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm chịu uốn, bài
toán tối ưu hình nón bậc hai và qui trình tính tốn.
Chương 3: Trình bày các ví dụ số. Kết quả tính tốn được so sánh với lời giải
giải tích và các phương pháp số khác nhằm chứng minh tính đúng đắn và hiệu quả
của phương pháp.
Chương 4: Kết luận và kiến nghị hướng phát triển tiếp theo của đề tài.


8

CHƯƠNG 2.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Lý thuyết chảy dẻo
2.1.1. Giả thiết
Lý thuyết dẻo tốn học nhằm mục đích thiết lập các quy luật phản ánh các
hiện tượng thí nghiệm đạt được. Lý thuyết này được xây dựng dựa trên các cơ sở
các giả thiết về mặt vật lý như sau:
- Vật liệu được xem là đồng nhất về mặt vĩ mô.
- Vật liệu được xem là chưa chịu tải và đẳng hướng lúc ban đầu.
- Biến dạng được xảy ra trong điều kiện đẳng nhiệt trừ trường hợp đặc biệt.
- Tải trọng tác dụng thật chậm xem như tĩnh để loại trừ ảnh hưởng động.
- Biến dạng xem là nhỏ.
2.1.2. Mơ hình vật liệu

Trong lý thuyết dẻo, để tiện lợi cho việc tính tốn, quy luật ứng xử của vật
liệu dẻo thường được thay thế bởi các mơ hình lý tưởng như: mơ hình đàn hồi - dẻo
lý tưởng, mơ hình đàn hồi - dẻo với tái bền tuyến tính, mơ hình cứng - dẻo lý tưởng,
mơ hình cứng - dẻo với tái bền tuyến tính, mơ hình Ramberg – Osgood,…
Mơ hình cứng - dẻo lý tưởng được đưa ra bởi Von Mises (1913). Mơ hình
này bỏ qua biến dạng đàn hồi, chỉ xét đến biến dạng dẻo.

Hình 2.1. Mơ hình cứng – dẻo lý tưởng


9

2.1.3. Luật chảy dẻo
Biến dạng vi phân tổng quát gồm hai thành phần là biến dạng đàn hồi và
biến dạng dẻo
e
p
dij  dije  dijp  (*)
ij  ij  ij

(2.1)

Trong đó, biến dạng đàn hồi tuân theo định luật Hooke

deij  Hijkl kl  ije  Hijkl kl

(2.2)

Tồn tại một mặt đặt tải trong không gian các ứng suất, độc lập với thời gian,
sao cho:

f(σij , αmn) < 0 : vùng đàn hồi, ij  0

(2.3)

f(σij , αmn) = 0 : xuất hiện biến dạng dẻo

(2.4)

f(σij , αmn) > 0 : vùng khơng thể đạt được

(2.5)

p

Trong đó:

σij là trạng thái ứng suất
αmn là thông số nội tại xét đến ảnh hưởng của các hiện tượng

không thuận nghịch: tái bền, hiện tượng Bauschinger,…
f(σij , αmn) = 0 là phương trình mặt chảy dẻo trong không gian ứng suất
nếu αmn = 0, ta có phương trình mặt chảy dẻo lý tưởng: f(σij) = 0
2.1.4. Định đề Drucker – giả thiết về tính ổn định của vật liệu
“Cơng thực hiện ứng với một chu trình khép kín của tải trọng thì khơng âm”

 (

ij

 ij0 )dij  0

(2.6)

Trong đó σij là trường ứng suất hiện tại,  ij là trường ứng suất ban đầu.
0


10

Hình 2.2. Ứng xử ổn định và khơng ổn định theo Drucker

2.1.5. Luật chảy dẻo kết hợp

Hình 2.3. Hình học của luật chảy dẻo kết hợp

Luật chảy dẻo kết hợp được phát biểu: “Vectơ gia số biến dạng dẻo (hay vận
tốc biến dạng dẻo) vng góc với mặt đặt tải và hướng ra ngoài mặt này”.

dijp  d

f
ij

f
Hay   
ij
p
ij

với

d  0
(2.7)

với   0


11

2.2.

Tiêu chuẩn chảy dẻo tấm sàn bêtông cốt thép

2.2.1. Giả thiết cho điều kiện chảy dẻo tấm sàn BTCT
Tấm làm việc theo giả thiết Kirchhoff.
Tấm sàn bêtông được giả thiết được bố trí cốt thép 2 lớp: lớp thép ở trên và
lớp thép ở dưới.
Sự khác nhau do ảnh hưởng chiều cao làm việc d giữa bố trí thép theo hai
phương được bỏ qua.
Bê tông được ứng xử bởi điều kiện chảy dẻo ứng suất phẳng, bỏ qua biến
dạng phẳng.
2.2.2. Tấm sàn BTCT chịu uốn thuần túy
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài của lớp dưới được kí hiệu là As
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài của lớp trên được kí hiệu là A’s
Xét trường hợp đơn giản: A’sx = A’sy = Asy = 0 và Asx = As

Hình 2.4. Tấm sàn bêtơng chịu uốn thuần túy

Cân bằng lực theo phương x ta có:
AsfY = afc

(2.8)


12



Ta đặt:

As  fY a

d  fc d

(2.9)

Mômen chảy dẻo của tiết diện một đơn vị chiều dài:
1   1 

 1 
mp  As fY  d  a   1    As fY d  1     d 2 f c
2   2 

 2 

(2.10)

Đối với trường hợp có kể đến cốt thép chịu kéo và cốt thép chịu nén
As=Asx là diện tích của cốt thép chịu kéo
Asc=A’sx là diện tích của cốt thép chịu nén

Ta đặt:

0 

As  fY
h  fc

(2.11)



Asc
As

(2.12)

Trong công thức, chúng ta giả thiết chúng có cùng khoảng cách hc, là khoảng
cách từ bề mặt bêtông đến lớp thép gần nhất.
Mômen chảy dẻo trên một đơn vị chiều dài:

  1

1 hc
0 h

0 


h
1 hc

h 1

, m P  1  2 c  1     c  0 1      As fY h
1  h
h
h 2



2

hc 1 1  hc  
1 hc
0 
, m P  1  2 
   As fY h
1  h
h 2 0  h  


  1


h
1 hc
h 1

, m P  1  2 c  1     c  0 1      As fY h
0 h
h

h 2



(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)


13

2.2.3. Tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen cho tấm sàn bêtông cốt thép

Hình 2.5. Mặt chảy dẻo theo tiêu chuẩn Nielsen

Phát biểu của Nielsen về tiêu chuẩn chảy dẻo của tấm sàn bêtông cốt thép:
 m px  mx  m px
 

 m py  m y  m py



2
 ( m px  mx )( m py  m y )  mxy  0




2
 ( m px  mx )( m py  m y )  mxy  0

(2.17)

Trong đó:

m px : là giá trị số của mômen chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu mômen
uốn thuần túy trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x).

m px : là giá trị số của mômen chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu mơmen uốn
thuần túy trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x).

m py : là giá trị số của mômen chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu mômen
uốn thuần túy trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y).

m py : là giá trị số của mômen chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu mômen uốn
thuần túy trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y).