Phân tích giới hạn cho tấm mindlin reisser dùng phương pháp ES DSG3 kết hợp với kỹ thuật thích nghi lưới

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------

TRẦN THẾ VÂN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO TẤM MINDLIN-REISSNER
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ES-DSG3 KẾT HỢP VỚI KỸ
THUẬT THÍCH NGHI LƯỚI.

Chuyên ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
Mã ngành: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 09 năm 2013


Cơng trình được hồn thành tại: Trường đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM
Cán bộ hướng dẫn 1:

PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ hướng dẫn 2:

TS. LÊ VĂN CẢNH

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. NGUYỄN THỜI TRUNG

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. NGUYỄN HỒNG ÂN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày 15 tháng 09 năm 2013
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm
1. PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH
2. PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG
3. TS NGUYỄN THỜI TRUNG
4. TS NGUYỄN HỒNG ÂN
5. TS HỒ ĐỨC DUY
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau
khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

----------------

---oOo---

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRẦN THẾ VÂN

Phái:

Ngày, tháng, năm sinh: 04/06/1982

Nơi sinh: Phú n

Chun ngành: Xây dựng cơng trình DD&CN

MSHV:

Nam
10210258

1- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN CHO TẤM MINDLIN-REISSNER
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ES-DSG3 KẾT HỢP VỚI KỸ
THUẬT THÍCH NGHI LƯỚI.
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
 Rời rạc hóa trường chuyển vị bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên
cạnh (ES-FEM). Sử dụng phương pháp lệch trượt (DSG3) biến đổi ma trận biến
dạng thành hằng số.
 Tính tốn năng lượng tiêu tán dẻo theo tiêu chuẩn von Misses, thiết lập bài tốn
tối ưu chương trình nón bậc hai cho phân tích giới hạn cận trên.
 Kết hợp kỹ thuật thích nghi lưới.
 Khảo sát một số ví dụ số dựa trên ngơn ngữ lập trình Matlab. Đánh giá hiệu quả
của phương pháp thông qua việc so sánh với các kết quả số khác.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : tháng 01 năm 2013
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : tháng 06 năm 2013
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG
HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS. LÊ VĂN CẢNH
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 09 năm 2013

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

TS. LÊ VĂN CẢNH

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


i

LỜI CẢM ƠN
Tri thức là kho tàng vô giá của nhân loại. Do vậy việc chiếm lĩnh được nó là
niềm vinh dự, tự hào và hạnh phúc mà ai cũng ao ước có được. Và tác giả đang dần
có niềm hạnh phúc ấy sau khi trải qua quá trình học cao học nói chung và thực hiện
luận văn nói riêng. Tạo tiền đề về việc nghiên cứu khoa học sau này. Quá trình thực
hiện luận văn là dịp mà tác giả tự nhìn nhận lại, đúc kết lại và vận dụng những kiến
thức đã được học vào luận văn.
Đầu tiên cho phép tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy Ts. Lê Văn
Cảnh. Thầy đưa ra những ý tưởng ban đầu, tài liệu cần thiết, hướng phát triển và
cách giải quyết vấn đề. Thầy đã tận tình hướng dẫn, góp ý những mặt cịn hạn chế,
động viên tác giả vượt qua những khó khăn. Nếu khơng có sự giúp đỡ của thầy chắc
chắn tác giả không thể hoàn thành được luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Cô Pgs.Ts. Nguyễn Thị Hiền
Lương đã tận tình hướng dẫn, góp ý và động viên tác giả trong suốt thời gian thực
hiện luận văn.

Tác giả xin gửi cảm ơn chân thành đến các thầy cô tham gia công tác giảng
dạy và quản lý tại khoa Kỹ thuật cơng trình đã truyền đạt những kiến thức bổ ích và
tạo điều kiện để tác giả hồn thành Luận văn này.
Và cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bé nhỏ của mình, người
thân và bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong thời
gian qua.
Cuối cùng tác giả gửi lời kính chúc sức khỏe, thành cơng trong sự nghiệp
“trăm năm trồng người” đến tồn thể q thầy cơ.
Xin chân thành cảm ơn !
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 09 năm 2013

Trần Thế Vân


ii

TĨM TẮT
Phân tích giới hạn được sử dụng rộng rãi trong thiết kế và đánh giá độ an toàn
cho kết cấu bỏ qua việc tính tốn ở các bước trung gian rất tốn kém về thời gian và
chi phí. Phân tích giới hạn được thực hiện qua hai giai đoạn: Xấp xỉ trường biến
dạng và tối ưu hóa bài tốn. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn (ES-FEM) được sử
dụng kết hợp với “rời rạc lệch trượt” (DSG3) mục đích làm trơn hóa biến dạng và
xử lí hiệu quả hiện tượng “Shear locking”.
Năng lượng tiêu tán dẻo phần tử tam giác thu được từ chương trình nón bậc hai
(SOCP) được xem như “sai số do rời rạc” trong kỹ thuật thích nghi lưới. Và phương
thức làm mịn lưới bằng cách phân chia đỉnh gần nhất. Do đó khi giải quyết bài tốn
phân tích giới hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn kết hợp lệch trượt (ESDSG3) với kỹ thuật thích nghi lưới mang lại kết quá đáng tin cậy.


iii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

............................................................................................ i

TĨM TẮT

........................................................................................... ii

MỤC LỤC

..........................................................................................iii

DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................... v
DANH MỤC BẢNG BIỂU ...................................................................................... ix
Chương 1.

TỔNG QUAN ...................................................................................... 1

1.1.

Tổng quan: ....................................................................................................1

1.2.

Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết đề tài ............................................... 4

1.2.1. Trên thế giới ............................................................................................. 4
1.2.2. Trong nước ............................................................................................... 6

1.3.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn:............................................................. 6

1.4.

Cấu trúc luận văn:......................................................................................... 7

Chương 2.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT .......................................................................... 8

2.1

Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner ............................................................ 8

2.2

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) .................................................. 11

2.3

Mơ hình vật liệu ......................................................................................... 14

2.3.1. Mơ hình đàn hồi - dẻo lý tưởng .............................................................. 15
2.3.2. Mơ hình cứng dẻo - lý tưởng .................................................................. 15
2.4

Tiêu chuẩn Von Mises ................................................................................ 15

2.5

Luật chảy dẻo ............................................................................................. 16

2.6

Định đề Drucker – giả thiết về tính ổn định của vật liệu ........................... 17

2.7

Luật chảy dẻo kết hợp ................................................................................ 18

2.8

Nguyên lý công ảo ...................................................................................... 18

2.8.1. Trường ứng suất khả dĩ tĩnh ................................................................... 19
2.8.2. Trường chuyển vị, biến dạng khả dĩ động .............................................. 19
Chương 3.

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN - REISSNER BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ES -DSG3 VỚI KỸ THUẬT THÍCH NGHI LƯỚI. ............. 21
3.1.

Tổng quan về phân tích giới hạn ................................................................ 21


iv

3.2.

Cơng thức phân tích giới hạn tấm dày Mindlin-Reissner .......................... 23

3.3.

Phương pháp "rời rạc lệch trượt" – Discrete Shear Gap (DSG3): ............. 26

3.4.

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM): .................. 28

3.5.

Rời rạc phương trình phân tích động (Định lý cận trên) ............................ 30

3.6.

Kỹ thuật tối ưu hình nón bậc hai (Second order cone programming–

SOCP): .................................................................................................................. 30
3.7.

Biến đổi bài tốn tối ưu về dạng hình nón bậc hai: .................................... 31

3.8.

Gán các biến về dạng hình nón trong Mosek: ............................................ 33

3.9.

Kỹ thuật thích nghi lưới ............................................................................. 34

3.9.1 Tính sai số rời rạc dựa vào năng lượng tiêu tán dẻo............................... 34
3.9.2 Cách thức làm mịn lưới .......................................................................... 35
3.10. Sơ đồ khối cho bài tốn phân tích giới hạn tấm Mindlin-Reissner bằng
phương pháp ES-DSG3 kết hợp với kỹ thuật thích nghi lưới ............................... 36
Chương 4.

VÍ DỤ SỐ ......................................................................................... 38

4.1.

Tấm hình vng.......................................................................................... 38

4.2.

Tấm hình chữ nhật. ..................................................................................... 47

4.3.

Tấm hình L .................................................................................................61

4.4.

Tấm hình thoi ............................................................................................. 64

4.5.

Tấm hình tam giác ...................................................................................... 69

Chương 5.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................... 72

5.1.

Kết luận: ..................................................................................................... 72

5.2.

Kiến nghị: ................................................................................................... 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 74
PHỤ LỤC

......................................................................................... 77


v

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các kiểu thích nghi lưới .............................................................................. 3
Hình 2.1. Mơ hình Kirchhoff và mơ hình Mindlin – Reissner....................................8
Hình 2.2. Lý thuyết biến dạng ................................................................................... 12
Hình 2.3. Mối liên hệ    trong mơ hình đàn - dẻo lý tưởng ............................... 15
Hình 2.4. Mối liên hệ    trong mơ hình cứng - dẻo lý tưởng .............................. 15
Hình 2.5. Ứng xử ổn định và khơng ổn định theo Drucker ...................................... 17
Hình 2.6. Hình học của luật chảy dẻo kết hợp .......................................................... 18
Hình 2.7. Vật thể cân bằng ........................................................................................ 19

Hình 3.1. Phần tử tam giác 3 nút ............................................................................... 23
Hình 3.2. Phần tử tam giác 3 nút và tọa độ địa phương ............................................ 27
Hình 3.3. Phân chia miền trơn

 k ...........................................................................29

Hình 3.4. Phân chia phần tử tam giác ....................................................................... 36
Hình 4.1. Điều kiện biên bài tốn tấm hình vng. .................................................. 39
Hình 4.2. Phân chia miền bài tốn tấm hình vng. ................................................. 39
Hình 4.3. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình vng biên ngàm. ................... 40
Hình 4.4. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình vng biên ngàm. .............. 40
Hình 4.5. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình vng biên ngàm. ......................... 40
Hình 4.6. Đánh giá hiệu quả sử dụng kỹ thuật thích nghi lưới cho bài tốn tấm hình
vng biên ngàm. ...................................................................................................... 41
Hình 4.7. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình vuông biên ngàm............................. 43


vi

Hình 4.8. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình vng biên tựa đơn. ............... 44
Hình 4.9. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình vng biên tựa đơn. ........... 44
Hình 4.10. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình vng biên tựa đơn. ................... 44
Hình 4.11. Đánh giá hiệu quả sử dụng kỹ thuật thích nghi lưới cho bài tốn tấm
hình vng biên tựa đơn............................................................................................ 45
Hình 4.12. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình vng biên tựa đơn. ..................... 46
Hình 4.13. Điều kiện biên cho bài tốn tấm hình chữ nhật....................................... 48
Hình 4.14. Phân chia miền bài tốn tấm hình chữ nhật. ........................................... 49
Hình 4.15. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình chữ nhật biên ngàm. ............. 49
Hình 4.16. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình chữ nhật biên ngàm. ........ 50
Hình 4.17. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình chữ nhật biên ngàm. ................... 50

Hình 4.18. Đánh giá hiệu quả sử dụng kỹ thuật thích nghi lưới cho bài tốn tấm
hình chữ nhật biên ngàm. .......................................................................................... 51
Hình 4.19. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình chữ nhật biên ngàm. ..................... 52
Hình 4.20. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hìnhchữ nhật biên tựa đơn. ........... 53
Hình 4.21. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình chữ nhật biên tựa đơn. ..... 53
Hình 4.22. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình chữ nhật biên tựa đơn. ................ 53
Hình 4.23. Đánh giá hiệu quả sử dụng kỹ thuật thích nghi lưới cho bài tốn tấm
hình chữ nhật biên tựa đơn. ....................................................................................... 54
Hình 4.24. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình chữ nhật biên tựa đơn. ................. 56
Hình 4.25. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình chữ nhật biên 2 ngàm – 2 tự
do. .............................................................................................................................. 57


vii

Hình 4.26. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình chữ nhật 2 ngàm – 2 tự do.
................................................................................................................................... 57
Hình 4.27. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình chữ nhật biên 2 ngàm – 2 tự do..57
Hình 4.28. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình chữ nhật biên 3 ngàm – 1 tự
do. .............................................................................................................................. 57
Hình 4.29. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình chữ nhật 3 ngàm – 1 tự do.
................................................................................................................................... 58
Hình 4.30. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình chữ nhật biên 3 ngàm – 1 tự do..58
Hình 4.31. Quan hệ giữa hệ số   và số phần tử ứng với các điều kiện biên........... 60
Hình 4.32. Quan hệ giữa hệ số   và tỷ số 2H/h ứng với các điều kiện biên. ......... 60
Hình 4.33. Quan hệ giữa   và tỷ số 2L/2H ............................................................ 61
Hình 4.34. Bài tốn tấm hình L. ................................................................................ 61
Hình 4.35. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình L biên tựa đơn. ..................... 62
Hình 4.36. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình L biên tựa đơn.................. 62
Hình 4.37. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình L biên tựa đơn. ........................... 62

Hình 4.38. Quan hệ giữa hệ số   và số phần tử tấm hình L biên tựa đơn .............. 63
Hình 4.39. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình L biên ngàm. ........................ 64
Hình 4.40. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình L biên ngàm. .................... 64
Hình 4.41. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình L biên ngàm. .............................. 64
Hình 4.42. Tấm hình thoi   600 . ........................................................................... 65
Hình 4.43. Phân chia miền bài tốn tấm hình thoi .................................................... 65


viii

Hình 4.44. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình thoi biên tựa đơn. ................. 66
Hình 4.45. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình thoi biên tựa đơn. ............. 66
Hình 4.46. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình thoi biên tựa đơn. ....................... 66
Hình 4.47. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình thoi biên ngàm...................... 66
Hình 4.48. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình thoi biên ngàm. ................ 67
Hình 4.49. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình thoi biên ngàm............................ 67
Hình 4.50. Quan hệ giữa hệ số   và góc  tấm hình thoi biên tựa đơn ................. 68
Hình 4.51. Quan hệ giữa   và góc  tấm hình thoi biên ngàm ............................. 68
Hình 4.52. Phân chia miền cho tấm hình tam giác với 75 phần tử tam giác ban đầu.
................................................................................................................................... 69
Hình 4.53. Mơ phỏng kết quả làm mịn lưới tấm hình tam giác biên tựa đơn. .......... 70
Hình 4.54. Mơ phỏng năng lượng tiêu tán dẻo tấm hình tam giác biên tựa đơn. ..... 70
Hình 4.55. Mơ phỏng trường chuyển vị tấm hình tam giác biên tựa đơn. ................ 70
Hình 4.56. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hìnhtam giác biên tựa đơn.................... 71


ix

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 4.1. Đánh giá tính hiệu quả của phương pháp pháp (2L/h=100) bài tốn tấm

vng biên ngàm. ...................................................................................................... 41
Bảng 4.2. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài tốn tấm hình vng
biên ngàm. ................................................................................................................. 42
Bảng 4.3. Đánh giá hiệu quả của phương pháp (2L/h=100) bài tốn tấm vng biên
tựa đơn. ...................................................................................................................... 44
Bảng 4.4. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài tốn tấm hình vng
biên tựa đơn. .............................................................................................................. 45
Bảng 4.5. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình vng chiều dày tấm giảm dần..... 47
Bảng 4.6. Đánh giá hiệu quả của phương pháp (2H/h=100) bài tốn tấm hình chữ
nhật biên ngàm. ......................................................................................................... 50
Bảng 4.7. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài toán tấm chữ nhật biên
ngàm. ......................................................................................................................... 51
Bảng 4.8. Đánh giá hiệu quả của phương pháp (2H/h=100) bài toán tấm hình chữ
nhật biên tựa đơn. ...................................................................................................... 54
Bảng 4.9. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài tốn hình chữ nhật
biên tựa đơn. .............................................................................................................. 55
Bảng 4.10. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài tốn tấm hình chữ
nhật với các điều kiện biên khác nhau. ..................................................................... 58
Bảng 4.11. Hệ số tải trọng giới hạn   cho tấm hình chữ nhật với các điều kiện biên
khác nhau................................................................................................................... 59
Bảng 4.12. Hệ số tải trọng giới hạn   trong bài toán hình chữ nhật tỷ số hai cạnh
thay đổi. ..................................................................................................................... 60


x

Bảng 4.13. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình L biên tựa đơnchịu tải
phân bố đều. .............................................................................................................. 63
Bảng 4.14. Hệ số tải trọng giới hạn   tấm hình L biên ngàm chịu tải phân bố đều.
................................................................................................................................... 64

Bảng 4.15. Bảng so sánh hệ số tải trọng giới hạn   trong bài toán tấm hình thoi
chịu tải phân bố đều. .................................................................................................67
Bảng 4.16. Hệ số tải trọng giới hạn   trong bài toán tấm hình tam giác biên tựa
đơnchịu tải phân bố đều. ........................................................................................... 70


1

Chương 1. TỔNG QUAN
1.1. Tổng quan:
Việc phân tích kết cấu đàn dẻo cho đến khi phá hoại là một quá trình phức
tạp do phải tiến hành từng bước với việc gia tăng tuần tự tải trọng. Q trình phân
tích trên cho phép ta hiểu biết được tồn bộ q trình hình thành và phát triển biến
dạng dẻo nhưng khơng có lợi về mặt tính tốn số và tiêu tốn khơng ít thời gian xử
lý. Do vậy một hướng khác giúp ta tìm được tải trọng giới hạn khi kết cấu đạt đến
trạng thái phá hoại mà không cần phải qua các bước trung gian đó chính là “Lý
thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn” hay còn gọi là “Phân tích giới hạn”.
Phân tích giới hạn đóng vai trị quan trọng vì đã cung cấp cho người kỹ sư trị số của
tải trọng giới hạn làm cơ sở cho việc thiết kế và đánh giá độ an toàn cho kết cấu.
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một trong
những phương pháp xấp xỉ số mạnh và được sử dụng rộng rãi trong tất cả bài tốn
nói chung và phân tích giới hạn cho tấm dày nói riêng vì có những ưu điểm sau:
 Đơn giản trong các bước thiết lập và giải phương trình.
 Giải được hầu hết các bài toán: dao động, ổn định,… với nhiều dạng hình
học khác nhau như: trịn, tam giác, tứ giác,….
 Áp dụng được nhiều lý thuyết giải khác nhau.
Tuy nhiên hạn chế của FEM là hiện tượng “shear locking” sẽ xảy ra đối với
phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp (low oder) khi chiều dày của tấm mỏng dần
về zero do đó dẫn đến kết quả phân tích khơng chính xác hay khơng hội tụ.
Một trong những phương pháp số được đề xuất có thể đáp ứng các yêu cầu

trên là phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (Edge-based smoothed
finite element method – ES FEM) kết hợp với phương pháp lệch trượt (gọi tắt là
ES-DSG) được sử dụng để giải quyết bài tốn phân tích giới hạn cho tấm Mindlin.
Phương pháp rời rạc lệch trượt (Discrete shear gap – DSG3) được đề xuất
bởi tác giả Bletzinger và Bischoff (2000) [26]. Phương pháp “rời rạc lệch trượt” gần
giống phương pháp giả định biến dạng tự nhiên ANS (Assumed Natured Strain) và


2

làm việc tốt cho phần tử có hình dáng và bậc khác nhau. Hạn chế của phương pháp
này là tính ổn định chưa tốt.
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn được đề xuất bởi Giáo sư Liu, phương
pháp này mang tính kế thừa của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, điểm
mới của nó là kỹ thuật làm trơn hóa các biến dạng (Strain smoothing technique)
mục đích làm cho kết quả chính xác hơn. Phần tử hữu hạn trơn gồm có: dựa trên
phần tử (Cell-based smoothed finite element method – CS-FEM), dựa trên cạnh
(Edge-based smoothed finite element method – ES-FEM) và dựa vào nút (Nodebased smoothed finite element method – NS-FEM), trong đó phương pháp phần tử
hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) cho lời giải ổn định và có nhiều ưu điểm:
 Cho kết quả chính xác hơn, kết quả hội tụ nhanh hơn với PTHH truyền
thống.
 Bỏ qua bước xây dựng ma trận hàm dạng chính xác.
 Áp dụng cho các loại phần tử: tam giác, tứ giác, đa giác n cạnh…
Các nghiên cứu trước đây [1,3] khi sử dụng ES-DSG để giải quyết bài tốn
phân tích tấm Mindlin cho kết quả tốt và hội tụ nhanh, hiện tượng “ Shear locking”
được giải quyết triệt để. Tuy nhiên vẫn còn mặt hạn chế là việc làm mịn lưới phần
tử để phân tích kết quả tốt hơn.
Để giải quyết bài tốn phân tích giới hạn cần sử dụng thuật tốn tối ưu tính
tốn, trong luận văn này cần đưa bài tốn phân tích giới hạn tấm Mindlin, tác giả sử
dụng kỹ thuật tối ưu hình nón bậc hai để giải quyết bài toán với sự hỗ trợ của phần

mềm thương mại Mosek, ưu điểm của kỹ thuật này theo các nghiên cứu trước đây
[1, 4, 14, 16] đã chỉ ra rằng:
 Phù hợp với hầu hết các tiêu chuẩn chảy dẻo (trong luận văn này tác giả
sử dụng tiêu chuẩn VonMises).
 Giải quyết hầu hết các bài toán kể cả bài tốn lớn, mang lại kết quả tương
thích với kết quả của các phương pháp khác.
Tiết kiệm thời gian và chi phí tính tốn. Như đã biết độ chính xác của lời giải
phụ thuộc vào vấn đề rời rạc hóa. Do vậy mục tiêu của việc áp dụng sai số và thích
nghi để hồn thiện và gia tăng q trình tính tốn hoặc kết hợp cả hai để thu được


3

kết quả tốt nhất. Phương pháp làm mịn lưới tự động dựa vào đánh giá hậu sai số.
Đánh giá hậu sai số được phân loại thành 2 trường hợp:
 Kiểu phục hồi (recovery-type) được phát triển bởi Zienkiewicz &
Zhu, 1987, 1992.
 Kiểu dư (residual-type) được phát triển bởi Babuska & Rheinboldt,
1978; Zhu & Zhang, 1999.
Sai số kiểu phục hồi đơn giản và được ứng dụng rộng rãi trong những bài
toán thực tiễn.
Lưới sẽ được thích nghi tại những vùng mà có sai số lớn. Có một vài kỹ
thuật thích nghi lưới như: làm mịn lưới (h-adaptivity), làm giàu lưới (p-adaptivity)
và sắp xếp lại lưới (r-adaptivity). Hay kết hợp cả hai trường hợp trong tất cả các
trường hợp trên.

Hình 1.1. Các kiểu thích nghi lưới
Kỹ thuật làm mịn lưới đơn giản nên được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực kỹ thuật, đặc biệt trong bài tốn phân tích giới hạn được nhiều tác giả sử dụng
để phân tích.

Trong Luận văn này tác giả sử dụng kỹ thuật (h-adaptivity) để phân tích. Ý
tưởng cốt lõi của kỹ thuật thích nghi là:
 Sai số do rời rạc: sai số này được xác định rất đơn giản, đó chính là
kết quả năng lượng tiêu tán dẻo phần tử thu được từ chương trình hình
nón bậc hai (SOCP) với sự hỗ trợ của phần mềm thương mại Mosek.


4

 Kỹ thuật làm mịn lưới: sau khi đánh dấu được các phần tử tam giác có
năng lượng tiêu tán dẻo lớn, ta tiến hành kỹ thuật làm mịn lưới. Cách
thức làm mịn như sau: i) Một tam giác được phân chia thành hai tam
giác con nối với nhau tại điểm giữa cạnh biên dài nhất; ii) Một góc
mới tạo ra tại điểm giữa cạnh đáy được quy định đỉnh của tam giác
con đó.
Ưu điểm của phương pháp phân tích thích nghi từ các nghiên cứu trước đây
[10, 24, 25] là:
 Kết quả tốt hơn so PTHH truyền thống, và hội tụ nhanh hơn với cùng
số phần tử khảo sát.
 Làm mịn lưới một cách dễ dàng.
Tác giả khảo sát bài tốn phân tích giới hạn tấm Mindlin bằng phương pháp
ES-DSG3 với kỹ thuật thích nghi lưới thu được kết quả khá tốt được thể hiện chi
tiết ở phần ví dụ số.
1.2. Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết đề tài
1.2.1. Trên thế giới
Phân tích giới hạn cho tấm Mindlin được thực hiện qua các bài báo được
công bố:
[1] A. Capsoni and M. Vicente da Silva. A finite element formulation of
Mindlin plates for limit analysis. Communications in Numerical Methods
in Engineering, 27: 143–156, 2011. Trong bài báo này các tác giả phân

tích giới hạn cho tấm hình trịn với tải trọng phân bố và tập trung tại tâm
tấm.
[2] A. Capsoni and L. Corradi. Limit analysis of plates - a finite element
formulation. Structural Engineering and Mechanics, 8: 325 – 341, 1999.
Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phương pháp phân tử hữu hạn
để phân tích giới hạn bằng cách sử dụng lý thuyết tấm dày Mindlin áp
dụng cho tấm mỏng.


5

[3] Canh. V. Le, H. Nguyen-Xuan, H. Nguyen-Dang. Upper and lower
bound limit analysis of plates using FEM and second-order cone
programming. Computer and Structure, 88(1-2), 2010; 65-73. Trong bài
báo này, các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn
cận trên và cận dưới, kết hợp với chương hình nón bậc hai.
Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trong phân tích giới hạn cho bài
toán phẳng 2D được thực hiện trong các bài báo được công bố sau:
[1] H. Nguyen – Xuan, G.R.Liu, C. Thai – Hoang, Trung. Nguyen – Thoi,
''An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with
stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin
plates''. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 199 (2010) 471–489.
Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên
cạnh kết hợp với kỹ thuật ổn định lệch trượt cho phân tích giới hạn tấm
Reissner–Mindlin.
[2] Canh.V.Le, H. Nguyen-Xuan, H.Askes, T.Rabczuk, T. Nguyen-Thoi,
Computation of using edge-based smoothed finite element method and
second-order cone programming, 2011. Trong bài báo này, các tác giả đã
sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và chương trình nón bậc hai.
Những bài báo cơng bố về thích nghi lưới trong phân tích giới hạn trong

những năm gần đây:
[1] H. Ciria, J. Peraire and Bornet. Mesh adaptive computation of upper and
lower bounds in limit analysis. International Journal for numerical
methods in Engineering 75 (2008) 899-944. Trong bài báo này tác giả
ứng dụng kỹ thuật thích nghi lưới trong phân tích giới hạn cận trên và
cận dưới cho bài toán dầm conson.
[2] Lavinia Borges, Nestor Zouain, Cyntia Costa, Raul Feijóo. An adaptive
approach to limit analysis. International Journal of Solids and Structures
38 (2001) 1707-1720. Trong bài báo này tác giả ứng dụng kỹ thuật thích
nghi lưới trong phân tích giới hạn để giải quyết bài toán vết nứt, khoét lỗ
trong tấm hay tấm có tiết diện thay đổi.


6

1.2.2. Trong nước
Thích nghi lưới trong phân tích giới hạn là vấn đề cịn khá mới mẻ đối với
tình hình nghiên cứu ở Việt Nam.
[1] Phuc. V. Phung, Trung T. Nguyen, Hoang C. Nguyen, Canh V. Le. An
effective adaptive limit analysis of soil using FEM and second-order
cone programming. The International Conference on Advances in
Computational Mechanics (ACOME), Ho Chi Minh City, Vietnam,
August 14-16, 2012. Trong bài báo này tác giả ứng dụng thích nghi lưới
trong phân tích giới hạn cho đất sử dụng FEM và chương trình nón bậc
hai.
[2] Nguyen-Thoi T, Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Tran C. Adaptive
analysis using the node-based smoothed finite element method (NSFEM). International Journal for Numerical Methods in Biomedical
Engineering 2011; 27(2): 198-218. Trong bài báo này tác giả phân tích
thích nghi phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút.
[3] Luận văn cao học năm 2012 của Đoàn Thị Mỹ Thuỳ. Phân tích giới hạn

cho tấm dày Mindlin-Reissner bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn
dựa trên cạnh ES-DSG3 và chương trình nón bậc 2 (SOCP).
[4] Luận văn cao học năm 2012 của Trương Anh Tuấn. Phân tích giới hạn
cho tấm dày Mindlin-Reissner bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn
dựa trên phần tử CS-DSG3 và chương trình nón bậc 2 (SOCP).
1.3. Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn:
Mục tiêu của đề tài nghiên cứu này là phát triển thích nghi lưới trong phương
pháp phân tích giới hạn cho bài toán tấm dày Mindlin – Reissner dựa trên phương
pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-DSG3) và thuật tốn tối ưu nón bậc hai.
Để đạt được mục tiêu trên, các công việc sau đây cần được thực hiện:
 Tính tốn năng lượng tiêu tán dẻo trên cạnh, sau đó chuyển năng lượng
về từng phần tử khảo sát.


7

 Tiến hành làm mịn lưới thông qua năng lượng tiêu tán dẻo trên từng
phần tử.
 Lập trình mơ phỏng số cho bài tốn thuđược ở trên dùng ngơn ngữ lập
trình Matlab và phần mềm thương mại Mosek. Đánh giá tính hiệu quả
của phương pháp thơng qua việc so sánh kết quả thu được với các kết
quả số khác.
1.4. Cấu trúc luận văn:
Cấu trúc luận văn bao gồm những vấn đề sau:
 Chương 1: Giới thiệu về đề tài, tình hình nghiên cứu trong, ngồi
nước và mục tiêu của đề tài.
 Chương 2: Cơ sở lý thuyết về tấm Mindlin, những vấn đề về phân tích
dẻo.
 Chương 3: Xây dựng cơ sở lý thuyết, cơng thức phân tích giới hạn và
thích nghi lưới cho tấm Midlin.

 Chương 4: Khảo sát các ví dụ số và so sánh các kết quả thu được với
kết quả các bài báo đã được công bố.
 Chương 5: Kết luận và kiến nghị hướng phát triển của đề tài.


8

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner
Trong lý thuyết tấm mỏng, với giả thiết Kirchhoff, các biến dạng trượt  zx
và  zy là bằng 0. Tuy nhiên, cũng như lý thuyết dầm chịu uốn ngang phẳng, khi tỷ
số

h
( a là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) khơng đủ nhỏ thì sự bỏ
a

qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
Đầu tiên, Reissner [12] xem các góc xoay của các đoạn thẳng vng góc với
mặt trung bình tấm trong các mặt phẳng xz và yz , cùng với hàm độ võng được xem
là các biến độc lập trong lý thuyết tính tốn. Sau đó, Mindlin đã đơn giản hóa giả
thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến này trước và sau biến dạng vẫn
cịn thẳng nhưng khơng cịn vng góc với mặt trung bình tấm. Ngồi ra ứng suất
pháp  z (vng góc với mặt trung bình) vẫn xem như bỏ qua và bằng 0 (như giả
thiết Kirchhoff).
A

A
B

B

w 


xz
y
x



w
x

A'
B'

w
x
Mô hình Kirchhoff

 xz  0

A'
B'

w
x

y

Mô hình Mindlin - Reissner

Hình 2.1. Mơ hình Kirchhoff và mơ hình Mindlin – Reissner
Theo giả thiết Mindlin - Reissner chuyển vị của tấm có thể biểu diễn bởi:


9

 u  z. x

 v  z. y
 w  w( x, y )


(2.1)

Hay viết dưới dạng ma trận:

 u  0 z 0  w 
  
 
 v   0 0 z   x 
 w 1 0 0   
  
 y

(2.2)

Hay

U  Lu u

w
u 
0 z 0
 
 
U   v  ; Lu  0 0 z  ; u   x 
 w
 
 
1 0 0
 y

(2.3)

Các thành phần biến dạng:

 x



z
x

x

  z  y
 y
y


 z  0

  x  y 

 xy  z  y  x 




u w
w

 x 
 zx 
z x
x

v w
w

 zy  z  x   y  y

Hay có thể viết dưới dạng ma trận:

(2.4)


10


0

x   0
  
 y  

 xy    0
  
 zx   
 zy  
x


 y

z


x
0

z


y
1
0



0 


z
y 
w
  
z
 
x   x 
  y 
0 


1 


(2.5)

Hay

ε = Lu

(2.6)

Với


0


0
x 

 

 y 
ε =  xy  ; L   0

 

zx
 

 zy 
 x


 y

z


x
0

z


y
1

0


0 


z
y 
w


 
z
; u   x 
x 
 

 y
0 


1 


(2.7)

Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng như sau:

 x 
 

 y 
E
 xy  =
2
  1 
 zx 
 zy 

1


0

0
 0


1
0
0
0

0
0
 x 
  
0
0
  y 
  xy 

(1  ) / 2
0
0
 
0
k (1  ) / 2
0
  zx 
0
0
k (1  ) / 2   zy 
0
0

(2.8)

Hay

σ = Dε
Trong đó:

(2.9)


11

 x 
 
 y 
σ =  xy 

 
 zx 
 zy 
1

E 
0
D=
1  2 
0
 0


1
0
0
0

0
0


0
0


(1  ) / 2
0
0


0
k (1  ) / 2
0

0
0
k (1  ) / 2 
0
0

(2.10)

x 
 
 y 
ε   xy 
 
 zx 
 zy 

2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)
Có nhiều mơ hình lý thuyết tấm khác nhau nhưng có ba giả thiết thơng dụng
về biến dạng cắt: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) [12].
Lý thuyết tấm cổ điển (Hình 2.2b) là lý thuyết biến dạng cắt đơn giản nhất
khi bỏ qua biến dạng cắt, lý thuyết này dựa vào lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff. Xem
các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn cịn thẳng và vng góc
với mặt trung bình khi tấm chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi. Từ giả thiết
này dễ thấy rằng các góc vng tạo bởi các phần tử thẳng vng góc với mặt trung
bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn cịn là góc vng trong q

trình biến dạng, như vậy khơng có sự trượt trong các mặt phẳng đó hay  xz   yz  0
. Do đó trường chuyển vị trong tấm có dạng:

u  u0  zw,x

v  v0  zw,y

 w  w0

(2.11)


12

Hình 2.2. Lý thuyết biến dạng
Đối với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Hình 2.2c) xét sự ảnh hưởng của
biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, tức là đoạn thẳng vng góc với mặt trung hịa của
tấm sau biến dạng vẫn còn thẳng so với trước biến dạng, nhưng bị lệch đi một góc

 so với mặt phẳng trung hịa, lúc này trường chuyển vị trong tấm trở thành:
u = u0 + z  x
v = v0 + z  y

(2.12)

w = w0
Trong đó u, v, w : lần lượt là chuyển vị theo phương x, y, z được khai triển
chuyển vị tại mặt trung bình của tấm là ( u0 , v0 , w0 ), z là khoảng cách từ mặt trung
bình đến điểm ta cần xét, (  x , y ) là góc xoay của đoạn thẳng pháp tuyến của mặt
phẳng tấm xung quanh trục y, x.