Phân tích giới hạn nền công trình theo tiêu chuẩn MOHR coulomb và CS FEM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

----------------------------

NGUYỄN KIM NGÂN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN CƠNG TRÌNH THEO
TIÊU CHUẨN MOHR-COULOMB VÀ CS-FEM

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp
Mã ngành

: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp. HCM, 06 - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

----------------------------

NGUYỄN KIM NGÂN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN CƠNG TRÌNH THEO
TIÊU CHUẨN MOHR-COULOMB VÀ CS-FEM

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp

Mã ngành

: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp. HCM, 06 - 2013


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS. LƯƠNG VĂN HẢI
Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS. LÊ VĂN CẢNH
Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS. TS. CHU QUỐC THẰNG
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. LÊ VĂN PHƯỚC NHÂN
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM,
ngày 13 tháng 09 năm 2013.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1 Chủ tịch: TS. HỒ HỮU CHỈNH
2 Thư ký: TS. NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC
3 Phản biện 1: PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG
4 Phản biện 2: TS. LÊ VĂN PHƯỚC NHÂN
5 Ủy viên: TS. LƯƠNG VĂN HẢI
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG

TS. HỒ HỮU CHỈNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên:

Nguyễn Kim Ngân

Ngày, tháng, năm sinh :

MSHV : 11211015
Nơi sinh: An Giang

12/08/1986

Chuyên ngành : Xây dựng dân dụng và cơng nghiệp

Mã số : 605820

I. TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN CƠNG TRÌNH THEO TIÊU
CHUẨN MOHR – COULOMB VÀ CS-FEM
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
1) Rời rạc hóa phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM
2) Thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho phần tử theo tiêu chuẩn Mohr – Coulomb
3) Đưa bài toán phân tích giới hạn về tối ưu tốn học

4) Chuyển đổi cơng thức tìm được về dạng tối ưu hình nón bậc hai
5) Lập trình mơ phỏng số cho bài toán đã được khảo sát trong các bài báo đã được
xuất bản
6) Phân tích, so sánh kết quả, của phương pháp mới so với các phương pháp số khác
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 20/08/2012

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1 : TS. LƯƠNG VĂN HẢI
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2 : TS. LÊ VĂN CẢNH

Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 2013
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS. LƯƠNG VĂN HẢI

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

TS. LÊ VĂN CẢNH

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


i

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin được gởi lời tri ân tới các thầy cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng,
trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh. Các thầy cơ đã tận tình giảng
dạy truyền đạt, khơng chỉ kiến thức chuyên ngành mà còn cả những lời khuyên

chân thành về cuộc sống, về lý tưởng và niềm hăng say trong nghiên cứu. Nếu
khơng có các thầy cơ, có lẽ tơi sẽ khơng thể nào có được nền tảng kiến thức vững
chắc để có thể được như ngày hơm nay, được đi trên con đường khoa học mà
mình đã lựa chọn.
Tôi xin cảm ơn thầy PGS.TS. Bùi Công Thành, người đã giúp đỡ tơi rất nhiều
trong q trình học tập tại trường, chính thầy là người đã giúp tơi định hướng lĩnh
vực mà mình u thích và muốn gắn bó, đi sâu tìm hiểu.
Xin cảm ơn cơ PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương, thầy TS. Nguyễn Xuân Hùng,
thầy TS. Nguyễn Sỹ Lâm, thầy TS. Nguyễn Thời Trung. Chính nhờ các thầy cơ
trong q trình bảo vệ đề cương luận văn đã thẳng thắn chỉ ra những khó khăn
trong đề tài và đưa ra những lời khuyên hữu ích đã giúp tơi định hướng giải quyết
vấn đề trong q trình thực hiện đề tài, tiên liệu được những khó khăn mà mình sẽ
gặp phải, từ đó giúp việc thực hiện luận văn được tốt hơn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc của mình đến hai thầy hướng dẫn của tôi, TS.
Lương Văn Hải và TS. Lê Văn Cảnh. Nếu khơng có hai thầy tơi nghĩ mình khơng
thể hồn thành được luận văn trong khoảng thời gian qui định. Từ hai thầy tơi học
được rất nhiều thứ, từ lịng say mê nghiên cứu khoa học, đến phong cách làm việc
và cách tiếp cận vấn đề. Hai thầy đã giúp tôi rất nhiều trong những ngày đầu tiên
còn bỡ ngỡ chưa hiểu mình phải làm gì để có thể tiếp xúc và tìm kiếm thơng tin,
hai thầy đã tạo điều kiện, nơi chốn để tôi nghiên cứu đề tài cũng như hướng dẫn
tôi làm cách nào để thực hiện tốt nhất hướng nghiên cứu của mình. Chính hai thầy
đã sắp xếp cho tôi được tham dự các buổi hội thảo chuyên ngành, giúp tôi trong
những bước đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học trong nước cũng như gặp
gỡ các nhà nghiên cứu quốc tế khác.


ii

Bên cạnh thầy cô, anh chị, bạn bè những người đã đồng hành cùng tôi trong
nghiên cứu khoa học, tôi muốn gởi lời cảm ơn chân thành đến một người anh,

cũng là người bạn đời của tơi, anh Đồn Quang Nhật. Anh là người đã luôn ở bên
cạnh tôi, giúp đỡ tơi vào những lúc khó khăn trong cuộc sống, động viên và
khuyến khích để tơi có thể tồn tâm cho niềm hăng say của mình.
Lời cảm ơn cuối cùng, con xin cảm ơn cha mẹ đã sinh ra và dạy dỗ con nên người,
đã giúp con được học hành tử tế và định hướng cho con theo con đường học tập
nghiên cứu để con có thể thấy, hiểu và lựa chọn con đường khoa học.

Tp.HCM, ngày 18 tháng 06 năm 2013

NGUYỄN KIM NGÂN


iii

TĨM TẮT LUẬN VĂN
Trong luận văn này bài tốn tính toán tải trọng tới hạn của đất nền sẽ được tính
tốn trực tiếp bằng cách phân tích giới hạn với lời giải cận trên. Điểm mới trong
luận văn là việc áp dụng một phương pháp trong rời rạc trường biến dạng nhằm
giúp giải quyết tốt hơn bài tốn phân tích giới hạn. Đó là phương pháp phần tử
hữu hạn trơn dựa trên phần tử CS-FEM (Cell-based Smoothed Finite Element
Method).
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM được sử dụng để xấp xỉ trường biến
dạng trung bình trên miền trơn. Vì trường biến dạng này là hằng số nên ta dễ dàng
lấy tích Gauss trên miền trơn của phần tử, tránh được những khó khăn trong q
trình lấy đạo hàm của hàm dạng.
Sau khi rời rạc hóa trường chuyển vị, bài tốn phân tích giới hạn với lời giải cận
trên của đất nền sẽ được thực hiện tính tốn tối ưu bằng cách đưa về dạng hình
nón bậc hai trước khi đưa vào tính tốn bằng phần mềm thương mại Mosek. Ưu
điểm của việc tính tốn tối ưu hình nón bậc hai là cách đặt ẩn phụ t để đưa vào
tính tốn giúp giảm đáng kể khối lượng tính tốn, do vậy tốc độ tính tốn cũng tốt

hơn nhiều so với các phương pháp tối ưu khác. Từ đây các bài toán địa kỹ thuật sẽ
được khảo sát dễ dàng và nhanh chóng hơn, giúp xác định tải trọng sụp đổ và cơ
chế trượt của bài toán dễ dàng hơn.
Trong luận văn này, tác giả sẽ sử dụng kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn
CS-FEM và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai để khảo sát một số bài toán
địa kỹ thuật như sức chịu tải của đất nền đồng nhất có và khơng có kể đến sự phá
hủy do trọng lượng bản thân lớp đất; sức chịu tải của đất nền có và khơng có hiện
tượng thốt nước; sức chịu tải của đất nền khơng đồng nhất gồm hai lớp đất sét,
khảo sát sự phá hủy của đất nền trong trường hợp lớp sét cứng nằm trên lớp sét
mềm và ngược lại. Ngoài ra, luận văn còn khảo sát cơ chế sụp đổ của mái dốc do
trọng lượng bản thân lớp đất với những trường hợp góc dốc khác nhau.


iv

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
TS. Lương Văn Hải và TS. Lê Văn Cảnh.
Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu
khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về cơng việc mà mình đã thực hiện.

Tp. HCM, ngày 18 tháng 06 năm 2013

NGUYỄN KIM NGÂN


v

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................ i
TÓM TẮT LUẬN VĂN ...............................................................................................iii
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ iv
MỤC LỤC ..................................................................................................................... v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ..................................................................................... vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ................................................................................. ix
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ................................................................................... x
CHƯƠNG 1 .................................................................................................................. 1
TỔNG QUAN ............................................................................................................... 1
1.1 Đặt vấn đề............................................................................................................. 1
1.2 Tình hình nghiên cứu đề tài ................................................................................... 3
1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới ........................................................... 3
1.2.2 Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam ............................................................ 4
1.3 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn ....................................................................... 4
1.3.1 Mục tiêu .................................................................................................. 4
1.3.2 Nhiệm vụ của luận văn ............................................................................ 4
1.4 Cấu trúc luận văn .................................................................................................. 5
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................................. 6
2.1 Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr – Coulomb .................................................................. 6
2.2 Luật chảy dẻo kết hợp ........................................................................................... 7
2.3 Lý thuyết phân tích giới hạn cận trên .................................................................... 8
2.4 Phương pháp CS-FEM .......................................................................................... 9
2.4.1 Tóm tắt phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM) .................... 9
2.4.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) ........... 10
2.5 Chương trình hình nón bậc hai ............................................................................ 12
2.6 Phương pháp cầu phương Gauss ......................................................................... 13
CHƯƠNG 3: THIẾT LẬP VÀ GIẢI BÀI TỐN TÍNH TỐN HỆ SỐ TẢI
TRỌNG TỚI HẠN NỀN CƠNG TRÌNH .................................................................. 15
3.1 Thiết lập hàm mục tiêu ........................................................................................ 15

3.2 Thiết lập điều kiện ràng buộc của bài tốn.......................................................... 17
3. 3 Tóm tắt .............................................................................................................. 17
CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN ĐỒNG NHẤT ................................... 19
4.1 Bài toán nền đồng nhất, bỏ qua trọng lượng bản thân của đất .............................. 19


vi
4.1.1 Ví dụ 1: Đất nền đồng nhất khơng thốt nước, bỏ qua trọng lượng bản
thân của đất và phụ tải hơng .......................................................................... 20
4.1.2 Ví dụ 2: Đất nền đồng nhất có thốt nước bỏ qua trọng lượng bản thân
của đất và phụ tải hơng .................................................................................. 24
4.2 Bài tốn nền đồng nhất, có kể đến trọng lượng bản thân của đất ......................... 29
4.2.1 Ví dụ 3: Nền đồng nhất thốt nước có kể đến trọng lượng bản thân của
đất, tiếp xúc giữa móng và đất được xem là mềm (smooth footing) ................ 31
4.2.2 Ví dụ 4: Trường hợp tiếp xúc của móng và đất là cứng (rough footing) . 34
CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN HAI LỚP ĐẤT SÉT .......................... 37
5.1 Đặt vấn đề........................................................................................................... 37
5. 2 Ví dụ 5: Đất nền có lớp sét cứng nằm trên lớp sét mềm chịu tải trọng từ móng
truyền xuống ............................................................................................................. 39
5. 3 Ví dụ 6: Đất nền có lớp sét mềm nằm trên lớp sét cứng chịu tải trọng từ móng
truyền xuống ............................................................................................................. 43
CHƯƠNG 6: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH MÁI DỐC SỬ DỤNG CS-FEM VÀ
CHƯƠNG TRÌNH HÌNH NĨN ................................................................................. 50
6.1 Đặt vấn đề .......................................................................................................... 50
6.2 Ví dụ 7: Xác định hệ số trọng lượng riêng phá hủy của mái dốc đồng nhất thốt
nước, có góc dốc β = 50-900 ..................................................................................... 51
CHƯƠNG 7: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 59
PHỤ LỤC .................................................................................................................... 63
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ........................................................................................ 84

vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1 Một số hình ảnh về sự phá hoại của đất nền ..................................................... 1
Hình 2.1 Tiêu chuẩn Mohr – Coulomb với đườg bao phá hoại thẳng ............................. 6
Hình 2.2 Vật liệu đàn dẻo lý tưởng ................................................................................. 7
Hình 2.3 Minh họa bằng hình học định luật chảy dẻo kết hợp ......................................... 8
Hình 2.4 Chia phần tử tứ giác thành những miền trơn trong CS-FEM bằng cách kết nối
nút giữa của các cạnh đối diện ..................................................................................... 11
Hình 2.5 Hình dạng phần tử trơn  ks ........................................................................... 12
Hình 2.6 Phép cầu phương Gauss với các sơ đồ có số điểm Gauss khác nhau .............. 13
Hình 4.1 Móng băng đặt trên nền đồng nhất ................................................................. 19
Hình 4.2 Chia lưới và điều kiện biên cho bài tốn phân tích Nc .................................... 21
Hình 4.3 Tốc độ hội tụ của lời giải FEM, ES-FEM và CS-FEM .................................... 22
Hình 4.4 Trường vector vận tốc của đất, phương pháp CS-FEM với N=1000 phần tử .. 23
Hình 4.5 Năng lượng tiêu tán dẻo đất, phương pháp CS-FEM với N=1000 phần tử ...... 24
Hình 4.6 Chia lưới và điểu kiện biên chuyển vị khi tính Nc (φ = 50÷300 ) ...................... 26
Hình 4.7 Hệ số sức chịu tải Nc trường hợp đất thốt nước............................................ 27
Hình 4.8 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   50 ............ 28
Hình 4.9 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   100 .......... 28
Hình 4.10 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   150 ........ 28
Hình 4.11 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   200 ........ 28
Hình 4.12 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   250 ........ 29
Hình 4.13 Trường vector vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo của nền với   300 ........ 29
Hình 4.14 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị khi tính Nγ trong trường hợp tiếp xúc
giữa đất nền và móng là mềm ....................................................................................... 31
Hình 4.15 Hệ số sức chịu tải Nγ trường hợp tiếp xúc giữa móng và đất là mềm ............. 33
Hình 4.16 Chia lưới và điểu kiện biên chuyển vị khi tính Nγ trong trường hợp tiếp xúc

giữa đất nền và móng là cứng ....................................................................................... 34
Hình 4.17 Hệ số sức chịu tải Nγ trường hợp tiếp xúc giữa móng và đất là cứng ............ 36
Hình 5.1 Móng băng đặt trên nền đất sét khơng thốt nước .......................................... 37
Hình 5.2 Chia lưới và điều kiện biên bài tốn sức chịu tải của nền có hai lớp đất sét.... 39
Hình 5.3 Hệ số sức chịu tải N*c trường hợp H/B = 1 ..................................................... 41
Hình 5.4 Hệ số sức chịu tải N*c trường hợp H/B = 1.5 .................................................. 41
Hình 5.5 Hệ số sức chịu tải N*c trường hợp H/B = 2 ..................................................... 42


viii
Hình 5.6 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo trường hợp

cu1
 3 ..................... 43
cu2

Hình 5.7 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo trường hợp

cu1
 1.25 ................. 43
cu2

Hình 5.8 Hệ số sức chịu tải trường hợp H/B=0.25 ........................................................ 46
Hình 5.9 Hệ số sức chịu tải trường hợp H/B=0.5 .......................................................... 46
Hình 5.10 Hệ số sức chịu tải trường hợp H/B=0.75 ...................................................... 47
Hình 5.11 Hệ số sức chịu tải trường hợp H/B=1 ........................................................... 47
Hình 5.12 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo phần tử trường hợp H/B=0.25,
cu1/cu2 =0.8 ................................................................................................................... 48
Hình 5.13 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo phần tử trường hợp H/B=0.5,
cu1/cu2 =0.8 ................................................................................................................... 48

Hình 5.14 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo phần tử trường hợp H/B=0.75,
cu1/cu2 =0.8 ................................................................................................................... 49
Hình 5.15 Trường vận tốc và năng lượng tiêu tán dẻo phần tử trường hợp H/B=1, cu1/cu2
=0.8.............................................................................................................................. 49
Hình 6.1 Sơ đồ mái dốc ................................................................................................ 50
Hình 6.2 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho bài tốn mái dốc β ......................... 52
Hình 6.3 Hệ số trọng lượng riêng giới hạn của đất ...................................................... 53
Hình 6.4 Trường chuyển vị và cơ cấu trượt của nền khi β=70, φ= 00 ........................... 54
Hình 6.5 Trường chuyển vị và cơ cấu trượt của nền khi β=70, φ = 10 0......................... 54
Hình 6.6 Trường chuyển vị và cơ cấu trượt của nền khi β=70, φ = 20 0......................... 54
Hình 6.7 Trường chuyển vị và cơ cấu trượt của nền khi β=70, φ = 30 0......................... 54
Hình 6.8 Trường chuyển vị và cơ cấu trượt của nền khi β=70, φ = 40 0......................... 55


ix

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1 Tọa độ ri và trọng số wi trong phép cầu phương Gauss ................................. 14
Bảng 4.1 Giá trị hệ số sức chịu tải Nc trong trường hợp đất khơng thốt nước ............. 22
Bảng 4.2 Giá trị kích thước trường khảo sát biến dạng……………………………...……...25
Bảng 4.3 Giá trị hệ số sức chịu tải Nc trong trường hợp đất thoát nước……………....…26
Bảng 4.4 Hệ số sức chịu tải Nγ trong trường hợp tiếp xúc giữa móng và đất là mềm ..... 32
Bảng 4.5 Hệ số sức chịu tải Nγ trong trường hợp tiếp xúc giữa móng và đất là cứng..... 35
Hình 5.2 Chia lưới và điều kiện biên bài tốn sức chịu tải của nền có hai lớp đất sét.... 39
Bảng 5.1 Giá trị hệ số sức chịu tải N c* trường hợp lớp sét cứng đặt trên lớp sét mềm... 40
Bảng 5.2 Giá trị hệ số sức chịu tải N c* trường hợp lớp sét mềm đặt trên lớp sét cứng... 44
Bảng 6.2 Bảng so sánh hệ số trọng lượng riêng cực đại................................................ 55


x

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt
CS-FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử
(Cell-based smoothed finite element method)

ES-FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh
(Edge-based smoothed finite element method)

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method)

S-FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn
(Smoothed finite element method)

Ma trận và vector
u

Vector chuyển vị theo phương ngang

v

Vector chuyển vị theo phương đứng

u

Vector gia tốc của chuyển vị u

v

Vector gia tốc của chuyển vị v

εxx

Vector biến dạng uốn theo phương x

εyy

Vector biến dạng uốn theo phương y

γ xy

Vector biến dạng uốn trong mặt phẳng xy

B

Ma trận hàm dạng tính chuyển vị - biến dạng

ε

Vector biến dạng trơn tính bằng phương pháp CS-FEM

K

Độ cứng đất nền

D

Ma trận hàm năng lượng tiêu tán dẻo phần tử

Ký hiệu



Trọng lượng bản thân đất

c

Lực dính của đất



Góc ma sát trong của đất


xi

W 0ext

Công do trọng lượng bản thân đất gây ra

We

Công do ngoại lực sinh ra

Nc

Hệ số sức chịu tải bỏ qua trọng lượng bản thân của đất

Nγ

Hệ số sức chịu tải có kể đến trọng lượng bản thân của đất

u

Biên phần tử

V

Thể tích phần tử


1

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề
Để cơng trình tồn tại và sử dụng được một cách bình thường thì khơng những các kết
cấu bên trên phải đủ độ bền và ổn định mà bản thân nền và móng cũng phải đủ độ bền
cần thiết và biến dạng trong phạm vi cho phép. Việc sai phạm trong công tác thiết kế
nền móng có thể khiến cho cơng trình hoặc q thiên về an tồn gây lãng phí, hoặc

nghiêm trọng hơn nữa là cơng trình sẽ bị sụp đổ. Trong thực tiễn, phần nhiều các
cơng trình bị sự cố là do sai sót trong q trình thiết kế nền móng gây ra.

a) Phá hủy do tải trọng vượt quá khả năng chịu tải của đất nền

b) Phá hủy do sự trượt của mái dốc
Hình 1.1 Một số hình ảnh về sự phá hoại của đất nền


2
Trong thiết kế nền móng cơng trình thì phân tích và thiết kế tải trọng tới hạn là một
khâu rất quan trọng, giúp người thiết kế tiên đoán trước tải trọng giới hạn cũng như
cơ cấu trượt của nền, ngoài ra người thiết kế cịn có thể dùng phân tích giới hạn để
khảo sát những bài toán khác của nền móng cơng trình như: bài tốn ổn định mái dốc,
áp lực đất bị động của tường chắn, phân tích ổn định cơng trình ngầm…
Để đáp ứng u cầu phân tích và thiết kế cho các kỹ sư trong quá trình thiết kế thực
hành, Prandt (1920), Terzaghi (1943), Meyerhof (1957), Hansen (1969), Vesic (1975)
… đã lần lượt đề xuất các công thức để phỏng đoán sức chịu tải của nền. Tuy nhiên,
các công thức này đều dựa trên giả thuyết là nền đồng nhất, trong một số trường hợp
không thể áp dụng vì điều kiện phức tạp của địa chất cơng trình.
Từ u cầu thực tế này, nhiều thuật tốn số dựa trên lý thuyết phân tích giới hạn cận
trên và cận dưới đã được nghiên cứu và trình bày. Thuật giải số cho loại bài toán này
là xấp xỉ rời rạc trường chuyển vị hay trường ứng suất bằng phương pháp phần tử hữu
hạn (FEM); tiếp theo áp dụng định lý cận trên hoặc cận dưới để tiên đoán tải trọng tới
hạn. Trong luận văn này, để thiên về tính an toàn tác giả sử dụng định lý cận trên để
khảo sát các bài toán địa kỹ thuật.
Để đơn giản, những phần tử chuyển vị bậc thấp thường được sử dụng để thực hiện
tính tốn. Tuy nhiên, việc áp dụng những phần tử xuất hiện hiện tượng “locking”
trong công thức tính chuyển vị khi áp đặt điều kiện chảy dẻo, kết quả tính tốn số hội
tụ chậm hoặc khơng hội tụ.

Trong nỗ lực để khử hiện tượng “locking" người ta đề xuất tăng số bậc tự do tổng thể
của bài toán bằng cách dùng các phần tử chuyển vị bậc cao. Tuy nhiên, việc tính tốn
vì vậy mà tăng lên nhiều và vấn đề tạo lưới cũng phức tạp hơn so với phần tử bậc
thấp.
Trong bài nghiên cứu này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (CSFEM) sẽ được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị. Trường biến dạng được sử dụng là
trường biến dạng trung bình được tính tốn trên miền làm trơn. Sau khi rời rạc hóa
trường chuyển vị và áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, bài tốn phân tích tới hạn
trở thành bài toán tối ưu toán học.


3
Ngày nay, một trong những thuật toán mạnh và hiệu quả để giải quyết bài toán tối ưu
là chuyển tiêu chuẩn chảy dẻo về dạng hình nón bậc hai, sau đó thực hiện tính tốn
bằng những code thương mại. Trong luận văn này, bài tốn phân tích giới hạn sẽ
được giải bằng cách đưa về dạng hình nón bậc hai, kế đến sẽ được tiến hành tính tốn
bằng phần mềm thương mại Mosek.
1.2 Tình hình nghiên cứu đề tài
1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Trong những năm gần đây tính tốn tải trong giới hạn thu hút sự chú ý của nhiều nhà
nghiên cứu khoa học chủ yếu là do sự phát triển nhanh của các thuật toán tối ưu hóa
mang lại hiệu quả cao trong tính tốn.
Năm 1995, S. W. Sloan và P. W. Kleeman áp dụng công thức động học trên miền bất
liên tục vào bài toán cận trên để tính tốn tải tới hạn nền đất.
Năm 2001, J. S. Chen et al lần đầu tiên đề nghị kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng để dễ
dàng hợp nhất các nút trong phương pháp không lưới (mesh-free method).
Năm 2003, J. S. Shiau, A. V. Lyamin and S. W. Sloan đã sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn với các phần tử dạng tam giác để tính tốn khả năng chịu lực của móng
băng trên nền đất cát và đất sét.
Năm 2007, Liu et al đã áp dụng kỹ thuật biến dạng trơn SFEM và CS-FEM vào tấm
2D và việc phát triển lý thuyết này cũng được thực hiện trong năm 2007 bởi G. R.

Liu, T. T. Nguyen, K. K. Dai và K. K. Lam.
Trong 2009, G.R. Liu và đồng nghiệp liên tiếp đề nghị một số công thức của phần tử
hữu hạn trơn là NS-FEM, ES-FEM, và FS-FEM. Mỗi loại trong những cơng thức làm
trơn hóa biến dạng phần tử hữu hạn này có những đặc điểm và tính chất khác nhau,
và được sử dụng để tìm ra kết quả mong muốn cho những bài toán cơ học khác nhau.
Năm 2010, C. V. Le et al ứng dụng phương pháp CS-FEM kết hợp với chương trình
hình nón bậc hai để giải quyết bài tốn phân tích giới hạn động học của tấm theo tiêu
chuẩn Von Mises.


4
1.2.2 Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam
Ở Việt Nam, các nghiên cứu về phân tích giới hạn cho bài tốn địa kỹ thuật khơng
nhiều. Về phân tích giới hạn nền sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn có luận văn
thạc sỹ của Nguyễn Chánh Hoàng, bảo vệ năm 2012 tại Trường Đại học Bách Khoa
thành phố Hồ Chí Minh.
Về nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) có nhóm nghiên cứu do
TS. Lê Văn Cảnh với sự tài trợ của quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia
Nafosted đang thực hiện phát triển các bài tốn số về phân tích giới hạn kết cấu và
nền móng cơng trình. Trong đó, luận văn này là một phần của việc nghiên cứu phân
tích tích giới hạn cho bài toán địa kỹ thuật.
1.3 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
1.3.1 Mục tiêu
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) kết hợp với
chương trình hình nón bậc hai trong bài tốn phân tích giới hạn để xác định tải trọng
giới hạn của một số bài toán như: (i) xác định sức chịu tải của nền đất đồng nhất có
và khơng có thoát nước, (ii) xác định sức chịu tải của đất nền 2 lớp có thốt nước,
(iii) xác định cơ cấu trượt của mái dốc.
1.3.2 Nhiệm vụ của luận văn
Nhiệm vụ chủ yếu của luận văn là xây dựng tiến trình giúp giải quyết các bài toán địa

kỹ thuật xây dựng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Các bước thực hiện bao gồm:
1) Rời rạc hóa phần tử bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM
2) Thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho phần tử theo tiêu chuẩn Mohr– Coulomb
3) Đưa bài tốn phân tích giới hạn về bài tốn tối ưu tốn học
4) Chuyển đổi cơng thức tìm được về dạng tối ưu hình nón bậc hai
5) Lập trình mơ phỏng số cho bài tốn đã được khảo sát trong các bài báo đã
được xuất bản
6) Phân tích, so sánh kết quả của phương pháp mới với các phương pháp số khác.


5
1.4 Cấu trúc luận văn
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1 giới thiệu tổng quan về cách xác định hệ số tải trọng giới hạn của đất nền
bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) kết hợp với
chương trình tối ưu hình nón bậc hai, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và
ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài.
Chương 2 trình bày ngắn gọn các lý thuyết có liên quan đến việc tìm hệ số tải trọng
phá hủy từ lời giải cận trên.
Chương 3 trình bày cách thiết lập và hướng dẫn phương pháp giải bài tốn phân tích
giới hạn nền cơng trình ở dạng tổng qt.
Chương 4 trình bày 4 ví dụ tìm hệ số tải trọng giới hạn của đất nền đồng nhất gồm:
trường hợp bỏ qua trọng lượng bản thân của đất, có và khơng có kể đến hiện tượng
thốt nước; trường hợp đất nền có kể đến trọng lượng bản thân của đất với điều kiện
tiếp xúc giữa móng và đất nền là cứng và trường hợp tiếp xúc giữa đất và móng là
mềm.
Chương 5 trình bày ví dụ xác định hệ số tải trọng của đất nền có 2 lớp đất sét cho 2
trường hợp: lớp sét cứng nằm trên lớp sét mềm và trường hợp ngược lại, lớp sét mềm
nằm trên lớp sét cứng.
Chương 6 khảo sát ổn định của mái dốc dưới tác dụng của trọng lượng bản thân của

đất.
Chương 7 đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận van và kiến nghị
hướng phát triển của đê tài trong tương lai.
Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu
của đề tài.
Phụ lục trình bày một số đoạn mã lập trình Matlab chính để mơ phỏng và tính tốn
các ví dụ trong chương 4, 5, 6 của luận văn.


6

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày ngắn gọn các lý thuyết có liên quan đến việc tìm hệ số tải trọng
phá hủy từ lời giải cận trên. Bài tốn phân tích tới hạn được đưa về bài tốn tối ưu
toán học, mà trong luận văn này, là bài tốn cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo của tồn
miền hình học xét cho từng bài tốn cụ thể. Mơ hình dẻo lý tưởng Mohr-Coulomb và
luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng xác định thành phần gia tăng biến
dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng Mohr.
2.1 Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr – Coulomb
Tiêu chuẩn Mohr, được đề nghị từ năm 1900 dựa trên giả thuyết sự phá hủy xảy ra
khi ứng suất tiếp đạt tới giá trị cực đại. Tiêu chuẩn Mohr xem ứng suất tiếp giới hạn τ
trong một mặt phẳng là một hàm của ứng suất pháp σ trong cùng mặt phẳng:

  f ( )

(2.1)

trong đó f ( ) là đường cong bao phá hủy, xác định bằng thí nghiệm.
Dạng đơn giản nhất của đường bao Mohr f ( ) là đường thẳng, được minh họa như

Hình 2.1. Phương trình cho đường bao thẳng được Coulomb đề xuất như sau:
   tan   c

(2.2)

trong đó c là lực dính kết và φ là góc ma sát nội; cả hai là các hằng số vật liệu và
được xác định bằng thí nghiệm. Tiêu chuẩn phá hủy liên kết với phương trình (2.2)
được gọi là tiêu chuẩn Mohr – Coulomb.


T


c cu
O’ O

 cu

n
3



1 

Hình 2.1 Tiêu chuẩn Mohr – Coulomb với đườg bao phá hoại thẳng


7
Tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr – Coulomb được sử dụng rộng rãi trong cơ học đất. Mọi

điểm thuộc vòng tròn Mohr ứng suất được xem là ứng xử đàn hồi và khi vòng tròn
Mohr chạm vào đường bao phá hoại thì biên dạng dẻo xảy ra và ứng xử là dẻo lý
tưởng.
2.2 Luật chảy dẻo kết hợp
Hàm chảy được định nghĩa như một giới hạn đàn hồi của vật liệu dưới tất cả các tổ
hợp có thể của ứng suất σij, được viết dưới dạng
f ( ij )  F( ij )  k  0

(2.3)

Ý nghĩa của hàm chảy có thể hiểu như là một mặt chảy dẻo trong không gian ứng
suất. Đối với vật liệu chảy dẻo lý tưởng, hàm chảy dẻo được giả thuyết là không đổi.
Do đó, thơng số k trong phương trình (2.3) là hằng số và mặt chảy dẻo là cố định
trong không gian ứng suất (Hình 2.2).

a) Quan hệ ứng suất biến dạng đơn trục

b) Sự biểu diễn hình học của mặt chảy

Hình 2.2 Vật liệu đàn dẻo lý tưởng

Năm 1928, Von Mises đề nghị khái niệm hàm thế năng dẻo, nó là hàm vô hướng của
các ứng suất g ( ij ) . Phương trình chảy dẻo có thể viết dưới dạng:


8
g
d  d 
ij


ij

(2.4)

trong đó dλ là hệ số vơ hướng dương của tính tỉ lệ. Quan hệ (2.4) hàm ý rằng vector
chảy dẻo d  ij hướng theo phương pháp tuyến của bề mặt thế năng dẻo (Hình 2.4).
Trường hợp đơn giản nhất là khi hàm chảy và hàm thế năng dẻo trùng nhau f=g. Khi
đó
f
d  d 
ij

ij

(2.5)

và hàm dẻo phát triển theo phương pháp tuyến của bề mặt chảy f /  ij (Hình 2.4).
Phương trình (2.5) được gọi là định luật chảy dẻo kết hợp.

Hình 2.3 Minh họa bằng hình học định luật chảy dẻo kết hợp
2.3 Lý thuyết phân tích giới hạn cận trên
Phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái sụp đổ của cấu kiện và cơ chế phá hủy
ứng với trạng thái đó. Để giải bài tốn phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận ở 2 trường
chuyển: trường ứng suất (áp dụng định lý cận dưới) và trường biến dạng (áp dụng
định lý cận trên). Trong luận văn này ta tiếp cận ở trường biến dạng, nghĩa là sử dụng
định lý cận trên.
Định lý cận trên được phát biểu như sau:


9

“Hệ số tải trọng chính xác là giá trị cực tiểu trong số các hệ số tải trọng λ+ tương ứng
với các trường vận tốc chuyển vị khả dĩ động”.
Bài toán động học:
λ  min λ +  min

(2.6)

ε  Bu

u  0
W  0
 E

ràng buộc

trong đó:

WI
WE

trên V
trên  u

(2.7)

V

-

miền thể tích của vật thể,

u

-

biên động học của vật thể,

B

-

ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị,
.

WI   D( ε ij )dV

(2.8)

V

.

.

WE   f.u i dV   g.u i dΓ

(2.9)

Γt

V

Tuy nhiên, để dễ dàng trong việc tính tốn người ta đã chứng minh là nghiệm của bài
tốn khơng đổi nếu ta chuẩn hóa cơng suất ngoại và bài toán trở thành:
.

λ  min λ +  min WI  min  D( ε ij )dV

(2.10)

V

ràng buộc

ε  Bu

u  0
W  1
 E

trên V
trên  u

(2.11)

2.4 Phương pháp CS-FEM
2.4.1 Tóm tắt phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM)
Trong phương pháp FEM, chuyển vị tại 1 điểm bất kỳ được nội suy tuyến tính như
sau:
Nn

u h ( x )   N I ( x )d I
I 1

Nn

;

 u h ( x)   N I ( x) d I
I 1

(2.12)


10
trong đó Nn là tổng số nút rời rạc của miền bài toán, dI là vector chuyển vị nút và
NI(x) là ma trận hàm dạng.
Hệ phương trình đại số rời rạc trong FEM như sau:
K FEM d  f

(2.13)

trong đó KFEM và f tương ứng là ma trận độ cứng và vector lực của hệ, và được lắp
ráp từ các ma trận độ cứng phần tử và vector lực phần tử sau:
K FEM
  B TI DB jd 
ij

(2.14)



f I   N TI ( x)bd    N TI ( x) td 


(2.15)



với BI (x) là ma trận chuyển vị - biến dạng tương thích và có dạng:

B I ( x)   s N I ( x )

(2.16)

2.4.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (CS-FEM)
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn S-FEM (Smoothed Finite Element Method) sử
dụng kỹ thuật trơn hóa biến dạng trong phương pháp không lưới (Mesh-free) kết hợp
với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (FEM). Trong phương pháp S-FEM
lưới phần tử hữu hạn vẫn được chia tương tự như phương pháp FEM truyền thống.
Tuy nhiên, ma trận độ cứng địa phương của phần tử sẽ được thực hiện bởi kỹ thuật
trơn hóa biến dạng dựa trên các miền trơn, miền này được tạo ra từ các thành phần
của lưới phần tử hữu hạn như phần tử (cell), hay nút (node), hay cạnh (edge), hay mặt
(face). Ở đây ta chỉ trình bày về phương pháp phần tử hữu hạn trơn có miền trơn
được tạo ra từ phần tử (cell), gọi là CS-FEM.
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM, sau khi rời rạc miền bài toán
thành Ne phần tử Ωe như trong phương pháp truyền thống FEM, ta chia tiếp miền Ωe
s
thành Ns miền "trơn"  k , được định nghĩa :   1   2  ...   Ns

e

s

s

s