Tài liệu Bộ 10 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện

tai lieu, document1 of 66.

BỘ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7
CẤP HUYỆN

luan van, khoa luan 1 of 66.


tai lieu, document2 of 66.

MỤC LỤC
1. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 có đáp án Phòng GD&ĐT Yên Lạc
2. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 có đáp án Phòng GD&ĐT Trực Ninh
3. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 - Phịng
GD&ĐT Thạch Thành
4. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 - Phòng
GD&ĐT Lương Tài
5. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 - Phòng
GD&ĐT Lục Ngạn
6. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 - Phịng
GD&ĐT Hà Trung
7. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2020-2021 - Phịng
GD&ĐT Cao Lộc
8. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 có đáp án Phịng GD&ĐT Chí Linh
9. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng
GD&ĐT Lục Nam
10. Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 - Phịng
GD&ĐT Đơng Hưng

luan van, khoa luan 2 of 66.

tai lieu, document3
of 66. YÊN LẠC
PHÒNG GD&ĐT
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2020-2021

(Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề)
Ngày khảo sát 30/3/2021
Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay!
104.81  16.152
4 4.675
x y z
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:   và 2 x 2  2 y 2  3z 2  100 .
3 4 5
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  0 .

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 

Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a

b
c
d

Tính giá trị của biểu thức: M 

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c

(x là ẩn; a, b, c là hệ số).

Biết rằng: f  0   2018 , f 1  2019 , f  1  2017 . Tính f  2019  .
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

27  2 x
(với x là số nguyên).
12  x

Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vng góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA=2cm, MB=3cm và 
AMC  1350 . Tính MC.

Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa
lấy ln tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT-----------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......

luan van, khoa luan 3 of 66.


tai lieu, document4
of 66. YÊN LẠC
PHÒNG GD&ĐT
TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2020-2021

Ngày khảo sát 30/3/2021
Hướng dẫn chung:
- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm
tối đa.
- Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào khơng chấm điểm phần đó.
Câu
Nội dung
Điểm
4
2
10 .81  16.15
2 4.5 4.3 4  2 4.3 2.5 2

A
=
0,5
44.675
2 8.33.5 2
1

=

2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2  1) 225  1
= 4
2 .3
2 8.33.5 2

=

2 5.7 14
224
=
=
24.3
2 4 .3 3

x y z
x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3 z 2 2 x 2  2 y 2  3 z 2  100
  ta suy ra:








4
3 4 5
9 16 25 18
32
75
 25
 25
 x  6

2
 y  8
 x  36
 x  10
 2
Suy ra:  y  64  
( Vì x, y, z cùng dấu)
x


6


 2
  y  8
 z  100

 z  10

Từ

2

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
4

3

2018

Vì (x - 2)  0; (2y – 1)
 0 với mọi x, y nên
4
2014
(x - 2) + (2y – 1)
 0 với mọi x, y.
4
Mà theo đề bài : (x - 2) + (2y – 1) 2014  0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0
suy ra x = 2, y =

1
2

Khi đó tính được: M = 24.

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d




a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
Suy ra :
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd




(*)
a
b
c
d

4
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d)
ab bc cd d a
 M 



= -4
cd d a ab bc
Nếu a + b + c + d  0 thì từ (*)  a = b = c = d
luan van, khoa luan 4a of
 b66. b  c c  d d  a
M 



=4
cd d a ab bc

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Từ:

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


tai lieu, document5
KL: ......of 66.

5

Xét x =0: f (0)  2018  c  2018
Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  1 (1)
Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1
Từ đó tìm được f  x   x  2018
Suy ra: f  2019   1
27  2 x
3

= 2+
.
12  x
12  x
3
Suy ra Q lớn nhất khi
lớn nhất
12  x
3
* Nếu x > 12 thì 12  x  0 
 0.
12  x
3
* Nếu x < 12 thì 12  x  0 
0.
12  x
3
Từ 2 trường hợp trên suy ra
lớn nhất khi 12-x>0
12  x
3
Vì phân số
có tử và mẫu là các số ngun dương, tử khơng đổi nên phân số có
12  x

Ta có:

6

Q=

giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.
Hay 12  x  1  x  11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11

7

Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c
Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)
 a2 (a+3) + 5  a + 3
Mà a2 (a+3)  a + 3  5  a + 3
 a + 3  Ư (5)
Hay: a+ 3  {  1 ;  5 } (1)
Do a  Z+  a + 3  4
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5  a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52  b = 2
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5  c = 1
Vậy: a = 2; b = 2; c = 1

luan van, khoa luan 5 of 66.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


tai lieu, document6
66. tam giác BOM cân tại B vì
- Chứngofminh

x

  BMO
  300
BOM

0,5

- BK là đường cao của tam giác cân BMO
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)
8

0,5

B
z

- Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n)
M

- Suy ra BH=OK (2)

K

0,25

O

- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm

H
y

9

0,5

- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A
D
(D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì:
A
AD=AM ( AMD vng cân tại A)
  CAD
 (cùng phụ với CAM

BAM
AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M
M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1
B
C
=>CD=1cm
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng khơng có số nào là bội
của số kia (vì 101.2>200).
Do đó k  101 (1)
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1  a1  a2  a3  ...  a101  200 .
Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:

0,25
0,25

0,5
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a1  2 n1.b1
a2  2n2 .b2
a3  2 n3 .b3
...........

10

a101  2n101.b101

Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i  1;101 )
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng
nhau.
n
Suy ra trong hai số ai  2n .bi và a j  2 .b j sẽ có một số là bội của số còn lại.
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì ln có 2 số mà số này là bội của số
kia (2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.
i

j

----------Hết--------luan van, khoa luan 6 of 66.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
tai lieu, document7
ofTRỰC
66.
HUYỆN
NINH
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1(4 điểm).

7.1410.2  1024.21.710
10.28.7 9.98  285.7 6
1  1   1
  1

 1

b) Tính: B    1 .  1 .   1 ...
 1 . 
 1
 4   9   16   100   121 
c) Tìm x biết: x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605x
Câu 2 (4 điểm).
2x  1 3 y  2
a) Tìm x, y biết :

và x  y  2
5
3
b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác không
xy
yz
zx
x2  y2  z 2
thỏa mãn:


 2
ay  bx bz  cy cx  az a  b 2  c 2
Câu 3 (2 điểm)
10 2021  539
a) Chứng minh rằng
có giá trị là một số tự nhiên.
9
b) Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm

A  x12  x9  x8  x 7  x 6  x 3  1
Câu 4 (8,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A 

  2C.
 Kẻ AH  BC(H  BC) . Trên tia
Cho ABC vuông tại A có B
HC lấy D sao cho HD  HB . Từ C kẻ đường thẳng CE vng góc với đường
thẳng AD (E  AD) .

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh DH  DE ; HE / / AC
c) So sánh HE 2 và ( BC 2  AD 2 ) : 4
d) Gọi K giao AH và CE , lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng HE
3
 I khác H ; I khác E  . Chứng minh AC  IA  IK  IC
2
Câu 5 (2 điểm)
Tìm x nguyên biết : x  1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
_____________Hết_____________
luan van, khoa luan 7 of 66.


tai lieu, document8 of 66.

HÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH

Câu
Câu 1

(4
điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
MƠN TỐN LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Ý

Hướng dẫn

a

Điểm

7.14 .2  1024.21.7
7.(2.7) .2  2 .3.7.7

10.28.79.98  285.7 6 5.2.28.7 9.2.7 2  (2 2.7)5 .7 6

0,5

7.210.710.2  210.3.7.710
211.711  210.3.711


5.2.28.79.2.7 2  (22.7)5 .76 5.210.711  210.711

0,5

210.711 (2  3) 5
 10 11

2 .7 (5  1) 4

0,25

10

10

10

10

10

1  1   1
  1
 1
 3 8 15 99 120
 1 . 
 1  . .
...
.
  1 .   1 .   1 ... 
 4   9   16   100   121  4 9 16 100 121

b

c

luan van, khoa luan 8 of 66.

Nhận xét: Tích trên có chẵn các thừa số âm
3.8.15...99.120
1.3.2.4.3.5...9.11.10.12


4.9.16...100.121 2.2.3.3.4.4...10.10.11.11
1.2.3...9.10 3.4.5...11.12 1 12 6

.
 . 
2.3.4...10.11 2.3.4...10.11 11 2 11

x  1  0; x




 x  2  0; x
Vì 

......................






 x  100  0; x
 x  1  x  2  x  3  ...  x  100  0 ; x
Mà x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605x
 605x  0
 x 0
 x 1  x 1




x2 x2
Khi đó 

......................





 x  100  x  100
Ta có x  1  x  2  x  3  ...  x  100  605 x
(1  100).100
100x 
 605 x
2

0,5
0,5
0,5

0,25

0,25

0,25
0,25


tai lieu, document9 of 66.

(1  100).100
 605 x
2
 505x=5050

100x 

0,25

 x=10
KL:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
2 x  1 3 y  2 6 x  3 6 y  4 6 x  3  6 y  4 6( x  y )  7
=




5

3
15
6
15  6
21

Câu 2
(4
điểm)

6.2  7 5

(vì x + y = 2)
21
21
23
 2x  1 5


x

 5
42 x  21  25 42 x  46

21
21


 


63 y  42  15 63 y  57
3y  2  5
 y  57

 3
21
63
23

 x  21
Vậy 
 y  57

63
xy
yz
zx
Từ


ay  bx bz  cy cx  az
xyz
yzx
zxy



ayz  bxz bzx  cyx cxy  azy
(vì x, y, z là các số khác 0)
ayz  bxz  bzx  cyx


bzx  cyx  cxy  azy
ayz  bxz  cxy  azy



a

b

luan van, khoa luan 9 of 66.

ayz  cyx  az  cx


 bzx  azy  bx  ay
bxz  cxy
bz  cy


x z
a  c

x y z
y x
    
a b c
b a
z y
c  b



(vì x, y, z là các số khác 0)

0,5
0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25


tai lieu, document10 of 66.

 x  ak
x y z

Đặt    k ( k  0)   y  bk thay vào đề bài ta có
a b c
 z  ck

2

2
ak .bk
(ak )  (bk )  (ck )2

abk  bak
a 2  b2  c 2
k k 2 (a 2  b 2  c 2 )
 
 k2
2
2
2
2
a b c
1
k  2k 2  k (1  2k )  0  k 
vì k  0
2
1

x

a

2

1

 y  b
2


1

 z  2 c

10 2021  539
có giá trị là một số tự nhiên.
9
10 2021  539 100...00000  539 100...00539
Ta có


9
9
9
Trong đó số 100…00539 là số có tổng các chữ số chia hết cho
9 nên số đó chia hết cho 9.
10 2021  539
Vậy
có giá trị là một số tự nhiên
9

0,25

0,5

0,5

0,25đ

Chứng minh rằng
a

A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1
Ta có x12; x8; x6  0 với mọi x (*)

Câu 3
(2
điểm)

x12  x9  x12  x9  0 


+) Nếu x  1 khi đó x8  x 7   x8  x 7  0  suy ra
x 6  x3  x 6  x 3  0 

b

luan van, khoa luan 10 of 66.

A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1  1>0
+) Nếu x  0 khi đó –x9; -x7; -x3  0 kết hợp với (*) ta có
A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1  1>0
+) Nếu 0 < x < 1 ta có A  x12  x9  x8  x 7  x 6  x 3  1 =
12
8
6
3
x12  x8  x9  x 6  x 7  1  x3 = x  x (1  x )  x (1  x )  1  x
Vì 0 < x < 1 nên 1-x >0, 1-x3 > 0 kết hợp với (*) suy ra

A  x12  x 9  x8  x 7  x 6  x 3  1 >0

0,25

0,5

0.25

0,25

0,25

0,25


tai lieu, document11 of 66.

Vậy đa thức đã cho không có nghiệm với mọi x

Câu 4 (8,0 điểm) Hình vẽ:

0,25

K

B
H

I

E

D

A

C

M
x

Câu a) ABD là tam giác gì? Vì sao? (1,5 điểm)
Chứng minh ABD có đường vng góc AH đồng thời là đường trung
tuyến ứng với cạnh BD suy ra ABD cân tại A

0,75

  600 suy ra ABD cân có một góc bằng 600 là tam
Tính được góc B
giác đều.

0,75

Câu b) Chứng minh DH  DE , HE / / AC (2,5 điểm)

1,5

  300 (1)
Tính được C

0,25

  300 (2)
Tính được CAD

0,25

Từ (1) và (2) suy ra ADC cân tại D

0,25

Suy ra DA  DC

0,25

Chứng minh được AHD  CED (cạnh huyền - góc nhọn)

0,25

Suy ra DH  DE

0,25

Tính được 
ADC  1200
 (đối đỉnh)
Ta có 
ADC  HDE
  1200
Suy ra HDE

  300 (3)
Tính được DHE
1,0


Từ (1), (3) suy ra 
ACD  DHE

luan van, khoa luan 11 of 66.

0,25
0,25
0,25


tai lieu, document12 of 66.

Ta có


 (cmt )
ACD  DHE


 HE / / AC
mà hai góc này ở vị trÝ so le trong 

0,25

(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Câu c) (2,0 điểm) So sánh HE 2 và ( BC 2  AD 2 ) : 4
Chứng minh AHE cân tại H (tam giác có 2 góc bằng 300
Suy ra HA  HE

(4)

0,5

Trong góc 
AHC kẻ tia Hx cắt AC tại M sao cho 
AHM  600
0,25

Chứng minh được HMC cân tại M
Suy ra MH  MC

(5)

Chứng minh được AHM đều
Suy ra AH  HM  MA

Từ (4), (5) và (6) suy ra HE 
Ta có lại có

AC
 AC 
 HE 2  

2
 2 

BC 2  AD 2 AB 2  AC 2  AD 2

4
4



Suy ra HE 2 

0,25

(6)

2

AC
 AC 


4
 2 

2

0,25

(vì BC 2  AB 2  AC 2 )
0,5

2

(Vì AB 2  AD 2 )

BC 2  AD 2
4

0,25

Câu d) (2 điểm) Chứng minh
Chứng minh KAC đều

3
AC  IA  IK  IC
2

(tam giác có 2 góc bằng 600 )

Suy ra AK  KC  AC
Xét IKA có IK  IA  AK (bất đẳng thức  )
Xét IKC có IK  IC  KC (bất đẳng thức  )
Xét ICA có IC  IA  AC (bất đẳng thức  )
Suy ra IK  IA  IK  IC  IC  IA  AK  KC  AC

luan van, khoa luan 12 of 66.



0,5

0,5

0,5


tai lieu, document13 of 66.

=> 2.IA  2.IK  2.IC  3. AC

(vì AC  AK  KC )

=> 2.( IA  IK  IC )  3. AC
3
2

3
2

=> IA  IK  IC  AC . Vậy . AC  IA  IK  IC

(ĐPCM)

0,5

Câu 5. Tìm x nguyên sao cho: x 1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
Câu 5
(2,0
điểm)




x  2  x  2 ; x 

..........................


x  45  x  45 ; x 

x  46  46  x ; x

x  47  47  x ; x 


...........................

x  90  90  x ; x 
x  1  x  1 ; x

0,25

 x  1  x  2  x  3  ...  x  90 
x  1  x  2  ...  x  45  46  x  47  x  ...  90  x ; x
 x  1  x  2  x  3  ...  x  2020  

(1  45).45 (46  90).45

2
2

0,25đ

0,5đ

 x  1  x  2  x  3  ...  x  90  2025
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x 1  x  1

x2  x2
..........................
x  45  x  45
x  46  46  x

x  47  47  x
...........................
x  90  90  x




x 1  0 






x20 








.............







x

45

0

  45  x  46




x

46

0







x

47

0








..............





x  90  0







Mà x là số nguyên suy ra x  45;;46
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
luan van, khoa luan 13 of 66.

0,5

0,5đ


tai lieu, document14 of 66.

luan van, khoa luan 14 of 66.


tai lieu, document15 of 66.

luan van, khoa luan 15 of 66.


tai lieu, document16 of 66.

luan van, khoa luan 16 of 66.


tai lieu, document17 of 66.

luan van, khoa luan 17 of 66.

tai lieu,
document18
of 66.
PHÒNG
GD&ĐT
HÀ TRUNG

Số báo danh
……………………..

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021
Mơn : TOÁN 7
Ngày thi : 09 tháng 4 năm 2021
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu, 01 trang

Câu 1(4,0 điểm): Thực hiện phép tính:
7 10 7 9 2
.  . 
35 9 19 35 35
5.415.99  4.320.89
b) B  10 19
5.2 .6  7.229.276
1
1
1
1
1 
c) C   1    1    1    1   ...  1 


 1.3   2.4   3.5   4.6   98.100 
10 5 5
3 3
155   
  0, 9
7 11 23  5 13
d) D 
26 13 13 7
3
403   
 0,2 
7 11 23 91
10

a) A 

Câu 2 ( 3,5 điểm)
a. Tìm x : 3x  2  4.3x 1  3x 1  66
b. Tìm x,y,z biết :

3 x  2 y 2 z  5 x 5 y  3z
và x  y  z  50


5
3
2

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Cho đa thức : f ( x )  x 8  99 x 7  99 x 6  99 x 5  99 x  25 . Tính f(100)
b)

Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương
5 4 6

của 3 số đó bằng 24309. Tìm số A.
Câu 4 (3,0 điểm):
a) Tìm x, y  Z biết : xy+2x-y = 5
b) Cho A 

1 1
1
1
. Chứng minh A< 1.
 2  2  ... 
2
2 3
4
20002

Câu 5 (5,5 điểm):
1) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường
thẳng vng góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia Ac
tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF

c) AE 

AB  AC
2

2) Cho A nằm trong góc xOy nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho
tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất
Câu 6 (1,0 điểm): Tìm các số x,y,z nguyên dương thỏa mãn : x + y + z = xyz

luan van, khoa luan 18 of 66.

---HẾT---


tai lieu, document19 of 66.

luan van, khoa luan 19 of 66.


tai lieu, document20 of 66.
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

Tìm x biết:
2

1
1

a)  x   
0
3  16


b) x 

3 1
  2017
4 2

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho

a
b
c
ab bc ca
. Tính : P 
.





bc ca ab
c
a
b

b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2
Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.
b) Cho đa thức A  x 2  10 xy  2017 y 2  2 y và B  5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018 .
Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.
b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vng góc với MD
tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.
c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d  25 .
c
b

d
a

Tìm giá trị lớn nhất của M   .
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….
Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..

luan van, khoa luan 20 of 66.


tai lieu, document21 of 66.
UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu Ý

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN - LỚP 7
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)
Nội dung

1 1
1


x


x



3 4
12
1
1



a x   

3  16  x  1   1
 x  7



3
4
12
2

x

1
b

3 1
3 1
4035
  2017  x    2017 
4 2
4 2
2

3 4035
8067



x


x



4
2
4


 x  3  4035
 x  8073


4
2
4
Ta có:

a

0,5
0,25

0,5

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b

Khi đó P  (1)  (1)  (1)  3

0,25
0,25

+ Nếu a  b  c  0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

a  b b  c c  a 2c 2a 2b





6
c
a
b
c
a
b

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6.

0,25
0,25

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.
Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z 

x y z

 
6 4 3

b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau



x y z xyz
  
6 4 3 643

26
2
13

 x = 12, y = 8, z = 6.
3

0,5

0,25

a
b
c
abc



b  c c  a a  b 2(a  b  c)

Khi đó P 
2

Điểm

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.
a  f(-1) = 0  a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0  a - b -2 = 0  a = b + 2.
Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm.

luan van, khoa luan 21 of 66.

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


tai lieu, document22 of 66.

 f(2)=0  a.(2)2 +b.(2) -2 =0  4a + 2b -2 = 0
0,25

 4(b +2) + 2b - 2 = 0  4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0
 b = -1  a = 1. Vậy a = 1; b = -1

0,25

C=A–B



 

 x 2  10 xy  2017 y 2  2 y  5 x 2  8 xy  2017 y 2  3 y  2018



 x 2  10xy  2017y2  2y  5x 2  8xy  2017y 2  3y  2018
b  4x 2  2xy  y  2018
C  4x2  2xy  y  2018  2x(2x  y)  y  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  2x  y  2018  (2x  y)  2018
Thay 2x + y = 1 vào ta được C  1  2018  2017

0,25
0,25
0,25
0,25

A
H

E

0,25

D

1
B

2 3
M

4

5

C
F

Xét  ABM và  ACM có:
AM chung; AB = AC (  ABC vng cân); MB = MC (gt)

0,25

  ABM =  ACM (c.c.c)
4

a

  AMC
 . Mà AMB
  AMC
  1800  AMB
  AMC
  900
 AMB

 AM  BC
  900 ; ACM
  450 (  ABC vuông cân tại A)
-  AMC có AMC
  AMC vng cân tại M  MA = MC (1)

M
  900 (MD  ME) và M
 M
  900 (AM  BC)
Ta có: M
2
3
3
4
 M
 (2)
 M
2
4


  MAC
  BAC  450
Do

ABM
=


ACM

MAB
b
2
Xét  AMD và  CME có:
 M
 (theo (2)); MAD
  ACM
  450
AM = CM (theo (1)); M
2
4

  AMD =  CME (g.c.g)  MD = ME
luan van, khoa luan 22 of 66.

0,25
0,5

0,25

0,25

0,5


tai lieu, document23 of 66.

Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H.

- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC.
- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC

c

0,25
0,25

Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC.
Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF
Mặt khác DF  HF  DF  AC hay MD + ME  AD + AE

0,25

- Dấu “=” khi MD  AB.
Vì a + b = c + d = 25 nên 1  a, b, c, d  24
Nếu cả hai phân số

c
d
và
đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết.
b
a

Vậy có một phân số khơng vượt q 1.
Khơng mất tính tổng quát giả sử
+ Nếu d  23 thì
5

c
1
b

d
c d
 23 (vì a  1 )  M    1  23  24 (1)
a
b a
1
b

+ Nếu d  24 thì c = 1  M  
- Nếu a > 1 thì  M  1 

(2)

1 24 577


24 1
24

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max( M ) 

577
24

Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24
hoặc a = c = 24; b = d = 1.

Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.

luan van, khoa luan 23 of 66.

0,25

24
a

24
 13
2

- Nếu a = 1 thì b = 24  M 

0,25

0,25

(3)

0,25


tai lieu, document24 of 66.

luan van, khoa luan 24 of 66.


tai lieu, document25 of 66.

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG HƯNG
TRƯỜNG THCS AN CHÂU
-------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN
Năm học 2020 – 2021
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài : 90 phút
-------------------------

Bài 1. (4,0 điểm)
1
3

2 3 4
99 100
 3  4  .....  99  100
2
3 3 3
3
3
3
Chứng minh rằng :
C<
16

Cho biểu thức : C  

Bài 2: (3 điểm) Cho

9  x 11  x
x  16 y  25 z  9
và



 2 .Tìm x+y+z
9
16
25
7
9

Bài 3: (2 điểm)
Tìm x, y  Z biết 2xy+ 3x = 4
Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức.
b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vng. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận
tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn
cạnh là 59 giây.
Bài 6. (5,0 điểm).
Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD
vng góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng
đoạn thẳng AE vng góc với AC và AE = AC.
1) Chứng minh rằng BE = CD .
2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC
3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
Bài 7. (2 điểm) Cho biết xyz=1

Tính giá trị A =

x
y
z


xy  x  1 yz  y  1 xz  z  1

----- Hết -----

luan van, khoa luan 25 of 66.