BT không gian vecto

Khóa

– GV: Nguyễn Đức Trung

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

Facebook: Thay.Trung.Toan

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chun đề: KHƠNG GIAN VECTO

Bài 04.02.1.001.T168
Các tập sau đây là ĐLTT hay PTTT:
a)u1  1,2  và u2   3, 6  trong

2

b)u1   2,3 , u2   5,8 và u3   6,1 trong

2

c) p1  2  3x  x 2 và p2  6  9x  3x 2 trong P2
1 3
 1 3
d)A  
,B  

 trong M 2
2
0


2
0





Bài 04.02.1.002.T169
Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:
a) 1,2,3 ,  3,6,7  trong

3

b)  4, 2,6  ,  6, 3,9  trong

3

c)  2, 3,1 ,  3, 1,5 , 1, 4,3 trong
d)  5,4,3 ,  3,3,2  , 8,1,3 trong

3

3

Bài 04.02.1.003.T169
Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:
a)  4, 5,2,6 ,  2, 2,1,3 ,  6, 3,3,9 ,  4, 1,5,6 trong

4

b) 1,0,0,2,5 ,  0,1,0,3,4  ,  0,0,1,4,7  ,  2, 3,4,11,12 trong

Moon.vn - Học để khẳng định mình

1

5

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

– GV: Nguyễn Đức Trung

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

Facebook: Thay.Trung.Toan

Bài 04.02.1.004.T169
Tập nào trong P2 dưới đây là PTTT:

a) 2  x  4 x 2 , 3  6 x  2 x 2 , 1  10 x  4 x 2
b) 3  x  x 2 , 2  x  5 x 2 , 4  3 x 2
c) 6  x 2 , 1  x  4 x 2
d ) 1  3x  3x 2 , x  4 x 2 , 5  6 x  3x 2 , 7  2 x  x 2
Bài 04.02.1.005.T169
Tập nào trong C  ,   dưới đây là PTTT:
a) 2, 4sin 2 x,cos 2 x

b) x,cos x

c) 1,sin x,sin 2 x

d ) cos 2 x,sin 2 x,cos 2 x

e) 1  x  , x 2  2 x,3

f ) 0, x, x 2

2

Bài 04.02.1.006.T169
Tìm  thực làm cho các vecto sau đây phụ thuộc tuyến tính trong

1 1

v1    ,  ,  
2 2


1
 1
v2    ,  ,  
2
 2

3

 1 1 

v3    ,  ,  
 2 2 

Bài 04.02.1.007
Cho hệ véctơ 1 , 2 ,..., m ĐLTT trong không gian véctơ V . Chứng minh:
a)Hệ vecto 1  1, 2   2   2 ,..., m  1   2  ...   m cũng ĐLTT
b)Hệ vecto:

 1  a111  ...  a1m m
 2  a211  ...  a2 m m
 m  am11  ...  amm m
ĐLTT khi và chỉ khi det A  0 , trong đó:

Moon.vn - Học để khẳng định mình

2

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

– GV: Nguyễn Đức Trung

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

 a11 a12
a
a22
A   22



 am1 am 2

Facebook: Thay.Trung.Toan

a1m 
a2 m 



... amm 
...
...

Bài 04.02.1.008
Cho V là không gian vectơ trên R và x, y, z thuộc V. Chứng minh rằng
{x,y,z} ĐLTT khi và chỉ khi { x + y, y + z, z + x } cũng ĐLTT.
Bài 04.02.1.009.T170
Hãy giải thích tại sao các tập sau khơng phải là cơ sở của không gian tương ứng.
a) u1  1,2 , u2   0,3 , u3   2,7  đối với
b) u1   1,3,2  , u2   6,1,1 đối với

2

3

c) p1  1  x  x 2 , p2  x  1 đối với P2
d)

 1 1
A
,
 2 3

 6 0
B
,
 1 4

5 1 
D
,
 4 2

7 1
E= 

 2 9

3 0 
C

1 7 

đối với M 2

Bài 04.02.1.010.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong

2

:

a)  2,1 ,  3,0 

b)  4,1 ,  7,8 

c)  0,0  , 1,3

d )  3,9  ,  4, 12 

Bài 04.02.1.011.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong

Moon.vn - Học để khẳng định mình

3

:

3

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

– GV: Nguyễn Đức Trung

Facebook: Thay.Trung.Toan

a) 1,0,0  ,  2, 2,0  ,  3,3,3
b)  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1, 4,8 
c)  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1
d ) 1,6, 4  ,  2, 4, 1 ,  1, 2,5 

Bài 04.02.1.012.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong P2 :

a) 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x
b) 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2
c) 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2
d )  4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2
Bài 04.02.1.013.T170
Chứng minh rằng họ sau đây là cơ sở trong M 2
3 6   0 1  0 8  1 0 
a) 
 ,  1 0  ,  12 4  ,  1 2 
3

6

 
 
 

1 0   0 1   0 0   0 0 

b) 
 ,  0 0  , 1 0  ,  0 1 
0
0

 
 
 


Bài 04.02.1.014.T171
Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau:
2 x1  x2  3 x3  0

x  y  z  0
1)  x1  2 x2  0
3 x  2 y  z  0
x  x  0

3
 2
3) 2 x  4 y  z  0
 x1  3 x2  x3  0
4 x  8 y  3 z  0


2) 2 x1  6 x2  2 x3  0
2 x  y  2 z  0
3 x  9 x  3 x  0
2

3
 1
Bài 04.02.1.015.T171
Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau:
Moon.vn - Học để khẳng định mình

4

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

– GV: Nguyễn Đức Trung

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

3 x1  x2  x3  x4  0
1) 
5 x1  x2  x3  x4  0

Facebook: Thay.Trung.Toan

2 x1  4 x2  x3  x4  0
 x  5x  2 x  0
2
3
 1
3) 2 x2  2 x3  x4  0
 x  3x  x  0

2
4
 1
 x1  2 x2  x3  x4  0

3 x1  x2  2 x3  0

2) 4 x1  5 x3  0
 x  3x  4 x  0
2
3
 1

Bài 04.02.1.016.T171
Xác định cơ sở của các không gian con của

3

a) Mặt phẳng 3x  2 y  5z  0
b) Mặt phẳng x  y  0
 x  2t

c) Đường thẳng  y  t
 z  4t


-  t  

d) Các vecto có dạng  a, b, c  trong đó b  a  c
Bài 04.02.1.017.T172

Xác định số chiều của các không gian con của

4

a) Các vecto có dạng  a, b, c,0 
d  a  b
b) Các vecto có dạng  a, b, c, d  trong đó 
c  a  b

c) Các vecto có dạng  a, b, c, d  trong đó a  b  c  d
Bài 04.02.1.018.T172
Xác định số chiều của không gian con P3 gồm các đa thức:
a0  a1x  a2 x 2  a3 x3 ,

a0  0

Bài 04.02.1.019.T172
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của

3

sinh bởi các vecto

sau:
Moon.vn - Học để khẳng định mình

5

Hotline: 0432 99 98 98

Khóa

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

– GV: Nguyễn Đức Trung

Facebook: Thay.Trung.Toan

a) 1, 1, 2  ,  2,1,3 ,  1,5,0 
1

b)  2, 4,1 ,  3,6, 2  ,  1, 2,  
2


Bài 04.02.1.020.T172
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của

4

sinh bởi các vecto

sau:
a) 1,1, 4,3 ,  2,0, 2, 2  ,  2, 1,3, 2 
b)  1,1, 2,0  ,  3,3,6,0  ,  9,0,0,3
c) 1,1,0,0  ,  0,0,1,1 ,  2,0, 2, 2  ,  0, 3,0,3 
d ) 1,0,1, 2  , 1,1,3, 2  ,  2,1,5, 1 , 1, 1,1, 4 

Bài 04.02.1.021.T172

a) Chứng minh rằng tập các hàm khả vi trên  a, b thỏa mãn f ' 4 f  0
tạo thành một không gian con của C  a, b
b) Tìm số chiều và một cơ sở của nó.
Bài 04.02.1.022.T177
Hãy tìm ma trận tọa độ và vecto tọa độ của w đối với cơ sở S  u1 , u2  của
2

, trong đó:
a )u1  1,0 

u2   0,1

w   3, 7 

b)u1   2, 4 

u2   3,8 

w  1,1

c)u1  1,1

u2   0, 2 

w   a, b 

Bài 04.02.1.023.T177
Hãy tìm ma trận tọa độ và vecto tọa độ của w đối với cơ sở S  u1 , u2  của
3

, trong đó:

a) w   2, 1,3 , u1  1,0,0  , u2   2,2,0  , u3  3,3,3 
b) w   5, 12,3 , u1  1,2,3 , u2   4,5,6  , u3   7, 8,9 
Moon.vn - Học để khẳng định mình

6

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

– GV: Nguyễn Đức Trung

Facebook: Thay.Trung.Toan

Bài 04.02.1.024.T177
Hãy tìm vecto tọa độ và ma trận tọa độ của A đối với cơ sở
B   A1 , A2 , A3 , A4  của M 2 trong đó:
 2 0
 1 1 
1 1 
0 0 
0 0
A
, A1  
, A2  

, A3  
, A4  





 1 3
 0 0
0 0 
1 0 
0 1 

Bài 04.02.1.025.T177
Hãy tìm vecto tọa độ và ma trận tọa độ của đa thức p đối với cơ sở
B   p1 , p2 , p3 của P2 trong đó:
p  4  3x  x2 , p1  1, p2  x, p3  x 2

Bài 04.02.1.026.T177
Trong 2 , 3 xét tích vơ hướng Euclid và một cơ sở trực chuẩn. Hãy tìm
vecto tọa độ và ma trận tọa độ của w:
1 
 1
 1 1 
a) w   3,7  , u1  
,
,
 , u2   

2

2 2
 2

 2 2 1
2 1 2
1 2 2
b) w   1,0, 2  , u1   ,  ,  , u2   , ,   , u3   , , 
 3 3 3
3 3 3
3 3 3

Bài 04.02.1.027.T178
Trong

2

3 4
 4 3
xét tích vơ hướng Euclid. Xét S  w1 , w2  , w1   ,   , w2   , 
5 5
 5 5

a) Chứng minh S là một cơ sở trực chuẩn của
b) Cho u, v 

2

2

với  u s  1,1 ,  v s   1,4 . Hãy tính u, d  u, v  , u, v .

c) Tìm u và v rồi tính u, d  u, v  , u, v một cách trực tiếp.
Bài 04.02.1.028.T178
Xét các cơ sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  của

Moon.vn - Học để khẳng định mình

7

2

trong đó:

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

– GV: Nguyễn Đức Trung

Facebook: Thay.Trung.Toan

1 
0
 2
 3
u1    , u2    , v1    , v2   
0 

1 
1 
 4

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’
b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB trong đó w   3, 5 và tính  wB '
c) Tính  wB ' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên.
d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
Bài 04.02.1.029.T178
Xét các cơ sở B  u1 , u2  , B '  v1 , v2  của

2

trong đó:

u1   2,2  , u2   4, 1 , v1  1,3 , v2   1, 1

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’
b) Hãy tính ma trận tọa độ  wB trong đó w   3, 5 và tính  wB '
c) Tính  wB ' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên.
d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
Bài 04.02.1.030.T178
Xét trong

3

hai cơ sở B  u1 , u2 , u3 , B '  v1, v2 , v3 trong đó:

u1   3,0, 3 , u2   3,2,1 , u3  1,6, 1
v1   6, 6,0  , v2   2, 6,4  , v3   2, 3,7 

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
b) Tính ma trận tọa độ  wB của w   5,8, 5 và tính  wB '
c) Tính trực tiếp  wB ' và kiểm tra lại kết quả trên.
Bài 04.02.1.031.T178
Xét trong

3

hai cơ sở B  u1 , u2 , u3 , B '  v1, v2 , v3 trong đó:

Moon.vn - Học để khẳng định mình

8

Hotline: 0432 99 98 98


Khóa

TỐN CAO CẤP 2016 - 2017

– GV: Nguyễn Đức Trung

Facebook: Thay.Trung.Toan

u1   2,1,1 , u2   2, 1,1 , u3  1,2,1
v1   3,1, 5 , v2  1,1, 3 , v3   1,0,2 
a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
b) Tính ma trận tọa độ  wB của w   5,8, 5 và tính  wB '
c) Tính trực tiếp  wB ' và kiểm tra lại kết quả trên.

Bài 04.02.1.032.T179
Trong P1 xét các cơ sở B   p1 , p2  , B '  q1 , q2 
với p1  6  3x, p2  10  2 x, q1  2, q2  3  2x
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
b) Tính ma trận tọa độ  p B , p  4  x rồi suy ra  p B '
c) Tính trực tiếp  p B ' và kiểm tra lại kết quả trên.
d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.
Bài 04.02.1.033.T179
Gọi V là không gian sinh bởi f1  sin x, f 2  cos x
a) Chứng minh rằng g1  2sin x  cos x, g2  3cos x tạo thành một cơ sở của V
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B '  g1 , g2  sang B   f1 , f 2 
c) Tính ma trận tọa độ  h B với h  2sin x  5cos x và suy ra  hB '
d) Tính trực tiếp  hB ' và kiểm tra lại kết quả trên.
e) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.

Moon.vn - Học để khẳng định mình

9

Hotline: 0432 99 98 98