HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - VECTƠ potx

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email:
VECTƠ
A – TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng
Cho
AB
uuur
thì A: điểm gốc, B: điểm ngọn, đường thẳng AB là giá của
AB
uuur
- Chiều đi từ A đến B là hướng của
AB
uuur
- Độ dài của vectơ
AB
uuur
, kí hiệu: .
- Vectơ không:
0
r
, vectơ đơn vị
II. Quan hệ giữa hai vectơ
1. Vectơ cùng phương: Hai vectơ khác
0
r
được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc
trùng nhau.
2. Vectơ bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
3. Vectơ đối nhau: Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
III. Phép cộng các vectơ:

Cho 2 vectơ
a,b
r r
. Từ điểm O bất kỳ, vẽ
OA a,AB b= =
uuur r uuur r
thì ta có:
c OB a b= = +
r uuur r r
- Quy tắc 3 điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có:
OB OA AB= +
uuur uuur uuur
- Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta co:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
IV. Phép trừ các vectơ
1)
( )
a b a b− = + −
r r r r
2) Quy tắc 3 điểm đối với phép trừ:
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
V. Phép nhân một vectơ với một số thực:
1) Cho
a 0≠
r r
và k
≠
0. Vectơ

ka
r
là một vectơ cùng phương với
a
r
và thỏa các tính chất sau: -
Cùng hướng với
a
r
nếu k > 0 , ngược hướng với
a
r
nếu k < 0
- Có độ dài:
ka k a=
r r
2) Quy ước:
k.0 0.a 0= =
r r r
VI. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ
( )
a,b b 0≠
r r r r
cùng phương
k R :a k.b⇔ ∃ ∈ =
r r
VII. Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔

AB
uuur
cùng phương với
AC
uuur

k R : AB k.AC⇔ ∃ ∈ =
uuur uuur
VIII. Quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm
1) I là trung điểm của AB
IA IB 0 MA MB 2MI⇔ + = ⇔ + =
uur uur r uuuur uuur uuur
(M là điểm bất kỳ)
2) G là trọng tâm tam giác ABC
GA GB GC 0⇔ + + =
uuur uuur uuur r
MA MB MC 3MG⇔ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
(M là điểm bất kỳ)
B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ
Ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
1. Biến đổi vế trái thành vế phải hay ngược lại, hoặc biến đổi hai vế thành một đại lượng thứ ba.
2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng.
3. Biến đổi một đẳng thức vectơ cho trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Lưu y: Thường áp dụng các quy tắc: ba điểm, trung điểm, trọng tâm, hình bình hành trong quá trình biến đổi.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
AB AC AD 2AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng:

a)
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
1
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email:
b)
MA MB MC 3MG+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
(M là điểm bất kỳ)
Bài 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a)
AB CD AD CB
+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AB CD AC BD
− = −
uuur uuur uuur uuur
c)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uur uuur uur uuur
Bài 4. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. Chứng
minh rằng:
a)
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
b)
MA MB MC MD 4.MO+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur uuuur

Bài 5. Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh rằng:
RJ IQ PS 0+ + =
uur uur uur r
Bài 6. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Chứng minh rằng:
AA' BB' CC' 3.GG'+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
Bài 7. Cho tam giác ABC, gọi A’, C’, B’ là các điểm được định bởi:
2.A'B 3.A'C 0; 2.B'C 3.B'A 0; 2.C'A 3.C'B 0+ = + = + =
uuuur uuuur r uuuur uuuur r uuuur uuuur r
Chứng minh rằng: hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh:
2 1
AH AC AB
3 3
= −
uuur uuur uuur
và
( )
1
CH AB AC
3
= − +
uuur uuur uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1 5
MH AC AB
6 6
= −

uuuur uuur uuur
Vấn đề 2. Xác định vị trí của một điểm M thỏa một điều kiện vectơ cho trước
- Khai triển hệ thức để được đẳng thức:
AM u=
uuuur r
, trong đó A cố định,
u
r
không đổi.
Bài 9. Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M thỏa:
a)
MA MB 2MC 0+ + =
uuuur uuur uuur r
b)
MA MB MC BC+ − =
uuuur uuur uuur uuur
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí của điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
Vấn đề 3. Chứng minh vectơ tổng, hiệu không đổi. Tính độ dài vectơ tổng, hiệu
- Biến đổi vectơ tổng, hiệu thành vectơ duy nhất rồi tính độ dài vectơ dó.
Bài 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh các vectơ sau không đổi và tính độ
dài của nó:
a)
u 2MA MB MC= − −
r uuuur uuur uuur
b)
u 4MA 3MB MC 2MD= − + −
r uuuur uuur uuur uuuur
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC = a, AB = 2a. Tính độ dài vectơ:

AB AC+
uuur uuur
và
AB AC−
uuur uuur
Bài 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ:
AB AC+
uuur uuur
và
AB AC−
uuur uuur
Bài 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi H là trung điềm của BC, M và N lần lượt là hai điểm thỏa:
MA MB 0+ =
uuuur uuur r
và
NA 3NC 0+ =
uuur uuur r
a) Tính
MN
uuuur
thao
HA
uuur
và
HC
uuur
b) Tính
MN
uuuur
Vấn đề 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm
Bài 15. Cho tam giác ABC và 2 điểm I, F xác định bởi:
IA 3IC 0 FA 2FB 3FC+ = = + +
uur uur r uuur uur uuur
Chứng minh I, F, B thẳng hàng
2
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
HÌNH HOÏC 10 – Chöông I Email:
Bài 16. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho:
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
a) Chứng minh:
AB AC AD AE+ = +
uuur uuur uuur uuur
b) Tính vectơ
AS AB AD AC AE= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
theo
AI
uur
c) Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Gọi:

MS MA MB MC MD= + + +
uuur uuuur uuur uuur uuuur
.
Chứng minh rằng: MS luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
Bài 18. Cho tam giác ABC, gọi I, J là 2 điểm xác định bởi:
IA 2IB=
uur uur

;
3JA 2JC 0+ =
uur uur r
a) Tình
IJ
ur
theo
AB
uuur
và
AC
uuur
b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Vấn đề 5. Tìm tập hợp điểm thỏa hệ thức
- Nếu là hệ thức vectơ thì biến đổi về dạng:
AM k.v=
uuuur r
, trong đó k là số thực thay đổi,
v
r
là vectơ
cho trước, A là điểm cố định. Lúc đó: tập hợp M là đường thẳng qua A và cùng phương với
v
r
.
- Nếu là hệ thức về độ dài thì rút gọn về dạng:
AM l=
uuuur
( l là độ dài cho sẵn). Kho đó tập hợp M là:
+ Đường tròn tâm A, bán kính l nếu l >0

+ Điểm A nếu l = 0
+
∅
nếy l < 0
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
MA MB MC MD 4AB+ + + =
uuuur uuur uuur uuuur
Bài 20. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp M thỏa:
( )
MA MB 5 MA MC+ = −
uuuur uuur uuuur uuur
Bài 21. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện sau:
a)
MA MB=
uuuur uuur
b)
MA MB MC 0+ + =
uuuur uuur uuur r
c)
MA MB MA MC+ = +
uuuur uuur uuuur uuur
d)
MA MB MC 4+ + =
uuuur uuur uuur
Bài 22. Chi hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích các điểm M thỏa:
MA MB MA MD+ = −
uuuur uuur uuuur uuuur
Bài 23. Cho tứ giác ABCD
a) Xác định điểm O sao cho:
OB 4.OC 2OD+ =

uuur uuur uuur
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức:
MB 4MC 2MD 3MA+ − =
uuur uuur uuuur uuuur
Bài 24. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
MA MB MC MD ME MF 3 MA MD+ + + + + = −
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
3